专题10：作图题

专题10图形的计算与证明一、选择题1、若正多边形的内角和是540︒，则该正多边形的一个外角为（）A. 45︒B. 60︒C. 72︒D. 90︒答案：C分析：根据多边形的内角和公式()2180n-•︒求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360︒，依此可以求出多边形的一个外角．解答：Q正多边形的内角和是540︒，∴多边形的边数为54018025︒÷︒+＝，Q多边形的外角和都是360︒，∴多边形的每个外角360572÷︒＝＝．选C．2、下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③答案：A分析：利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线的作法进而判断即可得出答案．解答：解：①作一个角的平分线的作法正确；②作一个角等于已知角的方法正确；③作一条线段的垂直平分线，缺少另一个交点，故作法错误；选A.3、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（）A. 20°B. 30°C. 45°D. 60°答案：B分析：根据内角和定理求得∠BAC=60°，由中垂线性质知DA=DB，即∠DAB=∠B=30°，从而得出答案．解答：在△ABC中，∵∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，由作图可知MN为AB的中垂线，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=30°，∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°，选B．4、木匠有32米的木材，想要在花圃周围做边界，以下四种设计方案中，设计不合理的是（）A. B.C. D.答案：A分析：根据平移的性质以及矩形的周长公式分别求出各图形的周长即可得解．解答：A、∵垂线段最短，∴平行四边形的另一边一定大于6m，∵2（10+6）＝32m ，∴周长一定大于32m ；B 、周长＝2（10+6）＝32m ；C 、周长＝2（10+6）＝32m ；D 、周长＝2（10+6）＝32m ；选A ．5、如图，在四边形ABCD 中，E 是AB 边的中点，连接DE 并延长交CB 的延长线于点F ，且CB BF =添加一个条件使四边形ABCD 是平行四边形，下面四个条件中可选择的是（ ）A. AB DC =B. AD BF =C. A C ∠=∠D. F ADF ∠=∠答案：D分析：把A 、B 、C 、D 四个选项中的条件分别代入验证，发现D 为正确选项，添加F ADF∠=∠时，可先证明△AED ≌△BEF ，得到AD ＝BF ＝CB ，结合AD ∥FC 可得四边形ABCD 是平行四边形．解答：解：A .添加AB DC =时，无法证明AB ∥CD 或AD ＝BC ，故不能使四边形ABCD 是平行四边形，不合题意；B .添加AD BF =时，无法证明AD ∥BC 或AB ＝CD ，故不能使四边形ABCD 是平行四边形，不合题意；C .添加A C ∠=∠时，无法证明∠ABC ＝∠ADC ，故不能使四边形ABCD 是平行四边形，不合题意；D .∵F ADF ∠=∠，∴AD ∥FC ，在△AED 和△BEF 中，F ADF FEB DEA EB EA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AED ≌△BEF （AAS ），∴AD ＝BF ，∵CB BF =，∴AD ＝CB ，∴四边形ABCD 是平行四边形，符合题意；选D ．6、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是¶CD上一点，且¶¶DF BC =，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连接AC. 若∠ABC =105°，∠BAC =25°，则∠E 的度数为（ ）A. 45°B. 50°C. 55°D. 60°答案：B分析：先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC 的度数，再由圆周角定理得出∠DCE 的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．解答：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠ABC =105°，∴∠ADC =180°-∠ABC =180°-105°=75°．∵»»DFBC =，∠BAC =25°， ∴∠DCE =∠BAC =25°，∴∠E =∠ADC -∠DCE =75°-25°=50°．7、如图，在正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 是AD 的中点，BE 与CF 相交于点P ，设AB a =.得到以下结论：①BE CF ⊥；②AP a =；③CP =则上述结论正确的是（ ）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③答案：D分析：由正方形的性质和全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质进行推理即可得出结论．解答：解：如图，（1）//,//EF BC DE AC所以①成立（2）如图延长CF 交BA 延长线于点M ，则：D FAM DF AFCFD MFA CFD AFM ∠=∠⎧⎪=⇒∆≅∆⎨⎪∠=∠⎩CD MA AB a BP CF∴===⊥Q 又 ∴AP 为直角三角形MPB 斜边BM 上的中线，是斜边的一半，即11222AP BM a a ==⨯= 所以②成立（3）∵CP BE ⊥ ∴212CP BE CE BC a ⨯=⨯=∵2BE a ===∴215a CE BC CP a BE ⨯==== 所以③成立选D ．8、如图，AB 是半圆O 的直径，5cm AB =，4cm AC =.D 是弧BC 上的一个动点（含端点B ，不含端点C ），连接AD ，过点C 作CE AD ⊥于E ，连接BE ，在点D 移动的过程中，BE 的取值范围是（ ）A. 925BE ≤≤B. 23BE ≤<C. 935BE ≤<D. 935BE ≤< 答案：B分析：由∠AEC =90°知E 在以AC 为直径以M 为圆心的圆的»CN 上（不含点C 、可含点N ），从而得BE 最短时，即为连接BM 与圆的交点（图中'E 点），作MF ⊥AB 于F ，证△AMF ∽△ABC 得MF AM BC AB =，即可知MF =65，利用勾股定理求出AF =85，BF =175，BM，从而得BE 长度的最小值B 'E =BM -M 'E；由BE 最长时即E 与C 重合，根据BC =3且点E 与点C 不重合，得BE ＜3，从而得出答案．解答：由题意知，∠AEC =90︒，∴E 在以AC 为直径以M 为圆心的圆的»CN 上（不含点C ，可含点N ），∴BE 最短时，即为连接BM 与圆的交点（图中'E 点），∵AB =5，AC =4，∴BC =3，作MF ⊥AB 于F ，∴∠AFM =∠ACB =90︒，∠F AM =∠CAB ，∴△AMF ∽△ABC ， ∴MF AM BC AB =，即235MF = ∴65MF =∴AF 85=则BF =AB −AF =175∴BM =∴BE 长度的最小值B 'E =BM −M 'EBE 最长时，即E 与C 重合，∵BC =3，且点E 与点C 不重合，∴BE ＜3，BE ＜3选B ．9、如图，在Rt ABC ∆中，90︒∠=C ，4AC =，3BC =，点O 是AB 的三等分点，半圆O 与AC 相切，M ，N 分别是BC 与半圆弧上的动点，则MN 的最小值和最大值之和是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8答案：B分析：设⊙O 与AC 相切于点D ，连接OD ，作OP BC ⊥垂足为P 交⊙O 于F ，此时垂线段OP 最短，PF 最小值为OP OF -，当N 在AB 边上时，M 与B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长，根据图形与圆的性质即可求解．解答：如图，设⊙O 与AC 相切于点D ，连接OD ，作OP BC ⊥垂足为P 交⊙O 于F ， 此时垂线段OP 最短，PF 最小值为OP OF -，∵4AC =，3BC =，∴5AB =∵90OPB ︒∠=，∴OP AC P∵点O 是AB 的三等分点， ∴210533OB =⨯=，23OP OB AC AB ==， ∴83OP =， ∵⊙O 与AC 相切于点D ，∴OD AC ⊥，∴OD BC ∥， ∴13OD OA BC AB ==， ∴1OD =， ∴MN 最小值为85133OP OF -=-=， 如图，当N 在AB 边上时，M 与B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长，MN 最大值1013133=+=， 513+=633， ∴MN 长的最大值与最小值的和是6．选B ．10、如图，正方形ABCD ，点F 在边AB 上，且:1:2AF FB =，CE DF ⊥，垂足为M ，且交AD 于点E ，AC 与DF 交于点N ，延长CB 至G ，使12BG BC =，连接CM ．有如下结论：①DE AF =；②4AN AB =；③ADF GMF ∠=∠；④:1:8ANF CNFB S S ∆=四边形．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ①③C. ①②③D. ②③④答案：C分析：①正确．证明()ADF DCE ASA ∆≅∆，即可判断．②正确．利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可． ③正确．作GH CE ⊥于H ，设AF DE a ==，2BF a =，则3AB CD BC a ===，EC =，通过计算证明MH CH =即可解决问题．④错误．设ANF ∆的面积为m ，由//AF CD ，推出13AF FN CD DN ==，AFN CDN ∆∆:，推出ADN ∆的面积为3m ，DCN ∆的面积为9m ，推出ADC ∆的面积ABC =∆的面积12m =，由此即可判断．解答：∵四边形ABCD 是正方形，AD AB CD BC ∴===，90CDE DAF ∠=∠=︒，∵CE DF ⊥，90DCE CDF ADF CDF ∴∠+∠=∠+∠=︒，ADF DCE ∴∠=∠，在ADF ∆与DCE ∆中，90DAF CDE AD CDADF DCE ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ADF DCE ASA ∴∆≅∆，DE AF ∴=；故①正确；∵//AB CD ，AF AN CD CN∴=， ∵:1:2AF FB =，::1:3AF AB AF CD ∴==，13AN CN ∴=， 14AN AC ∴=，∵AC =，14=，AN AB ∴=；故②正确；作GH CE ⊥于H ，设AF DE a ==，2BF a =，则3AB CD BC a ===，EC =，由CMD CDE ∆∆:，可得CM =，由GHC CDE ∆∆:，可得CH =， 12CH MH CM ∴==， ∵GH CM ⊥，GM GC ∴=，GMH GCH ∴∠=∠，∵90FMG GMH ∠+∠=︒，90DCE GCM ∠+∠=︒，FEG DCE ∴∠=∠，∵ADF DCE ∠=∠，ADF GMF ∴∠=∠；故③正确，设ANF ∆的面积为m ，∵//AF CD ，13AF FN CD DN ∴==，~AFN CDN ∆∆， ADN ∴∆的面积为3m ，DCN ∆的面积为9m ，ADC ∴∆的面积ABC =∆的面积12m =，:1:11ANF CNFB S S ∆∴=四边形，故④错误，选C ．11、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC =6cm ，点P 从点A 出发，沿AB 方向以每秒cm 的速度向终点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发沿BC 方向以每秒1cm 的速度向终点C 运动，将△PQC 沿BC 翻折，点P 的对应点为点P ′．设点Q 运动的时间为t 秒，若四边形QPCP ′为菱形，则t 的值为（ ）A. B. 2 C. D. 3答案：B分析：首先连接PP ′交BC 于O ，根据菱形的性质可得PP ′⊥CQ ，可证出PO ∥AC ，根据平行线分线段成比例可得AP CO AB CB=，再表示出AP 、AB 、CO 的长，代入比例式可以算出t 的值．解答：解：连接PP ′交BC 于O ，∵若四边形QPCP ′为菱形，∴PP ′⊥QC ，∴∠POQ =90°，∵∠ACB =90°，∴PO ∥AC ， ∴AP CO AB CB= ∵设点Q 运动的时间为t 秒，∴APt ，QB =t ，∴QC =6-t ，∴CO =3-2t ， ∵AC =CB =6，∠ACB =90°，∴AB，326t -=解得：t =2，选B ．12、如图，在平行四边形ABCD 中，90BAC ∠=o ，AB AC =，过点A 作边BC 的垂线AF 交DC 的延长线于点E ，点F 是垂足，连接BE 、DF ，DF 交AC 于点O ．则下列结论：①四边形ABEC 是正方形；②:1:3CO BE =；③DE =；④AOD OCEF S S ∆=四边形，正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：D分析：①先证明△ABF ≌△ECF ，得AB =EC ，再得四边形ABEC 为平行四边形，进而由∠BAC =90°，得四边形ABCD 是正方形，便可判断正误；②由△OCF ∽△OAD ，得OC ：OA =1：2，进而得OC ：BE 的值，便可判断正误；③根据BC AB ，DE =2AB 进行推理说明便可；④由△OCF 与△OAD 的面积关系和△OCF 与△AOF 的面积关系，便可得四边形OCEF 的面积与△AOD 的面积关系．解答：①90BAC ∠=o Q ，AB AC =，BF CF ∴=，Q 四边形ABCD 是平行四边形，//AB DE ∴，BAF CEF ∴∠=∠，AFB CFE ∠=∠Q ，()ABF ECF AAS ∴∆≅∆=，AB CE ∴=，∴四边形ABEC 是平行四边形，90BAC ∠=o Q ，AB AC =，∴四边形ABEC 是正方形，故此题结论正确；②//OC AD Q ，~OCF OAD ∴∆∆，:::1:2OC OA CF AD CF BC ∴===，:1:3OC AC ∴=，AC BE =Q ，:1:3OC BE ∴=，故此小题结论正确；③∵AB ＝CD ＝EC AB CD EC ==Q ，2DE AB ∴=，AB AC =Q ，90BAC ∠=o ，AB ∴=，22DE BC ∴=⨯=，故此小题结论正确； ④~OCF OAD ∆∆Q ，211()24OCF OAD S S ∆∆∴==∴， 14OCF OAD S S ∆∆∴=∴， :1:3OC AC =Q ，3DCF ACF ACF CEF S S S S ∆∆∆∆∴==Q ，334CEF OCF OAD S S S ∆∆∆∴==， 13()44OCF CEF OAD OAD OCEF S S S S S ∆∆∆∆∴=+=+=四边形，故此小题结论正确． 选D ．二、填空题13、如图，四边形ABCD 是对角线互相垂直的四边形，且OB =OD ，请你添加一个适当的条件______，使ABCD 成为菱形（只需添加一个即可）．答案：OA =OC （答案不唯一）．分析：本题考查了菱形的判定．解答：对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，故可以添加OA =OC ．14、如图，五边形ABCDE 是正五边形，若12l l //，则12∠-∠=______．答案：72分析：延长AB 交2l 于点F ，根据12//l l 得到∠2=∠3，根据五边形ABCDE 是正五边形得到∠FBC =72°，最后根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出． 解答：延长AB 交2l 于点F ，∵12//l l ，∴∠2=∠3，∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠ABC =108°，∴∠FBC =72°，∠1-∠2=∠1-∠3=∠FBC =72°故答案为：72°．15、如图，AB 是⊙O 的直径，弦DE 垂直平分半径OA ，C 为垂足，弦DF 与半径OB 相交于点P ，连接EF 、EO ，若DE ＝，∠DP A ＝45°．则图中阴影部分的面积为______．答案：π-2分析：根据垂径定理得CE 的长，再根据已知DE 平分AO 得CO =12AO =12OE ，解直角三角形求解．在求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可解答：连接OF ．∵直径AB ⊥DE ，∴CE ＝12DE ． ∵DE 平分AO ，∴CO ＝12AO ＝12OE ． 又∵∠OCE ＝90°， ∴sin ∠CEO ＝CO EO ＝12， ∴∠CEO ＝30°．在Rt △COE 中，OE ＝cos30CE ＝2． ∴⊙O 的半径为2．在Rt △DCP 中，∵∠DPC ＝45°，∴∠D ＝90°-45°＝45°．∴∠EOF ＝2∠D ＝90°．∴S 扇形OEF ＝90360×π×22＝π． ∵∠EOF ＝2∠D ＝90°，OE ＝OF ＝2，∴S Rt △OEF ＝12×OE ×OF ＝2． ∴S 阴影＝S 扇形OEF -S Rt △OEF ＝π-2．故答案为：π-2．16、定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 组成圆的折弦，AB ＞BC ，M 是弧ABC 的中点，MF ⊥AB 于F ，则AF ＝FB +BC ．如图2，△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝8，BC ＝6，D 是AB 上一点，BD ＝1，作DE ⊥AB 交△ABC 的外接圆于E ，连接EA ，则∠EAC ＝______°．答案：60分析：连接OA 、OC 、OE ，由已知条件，根据阿基米德折弦定理，可得到点E 为弧ABC 的中点，即»»AE CE=，进而推得∠AOE ＝∠COE ，已知∠ABC ＝60°，则∠AOC ＝2∠ABC ＝2×60°＝120°，可知∠AOE ＝∠COE ＝120°，故∠CAE ＝12∠COE ＝60°． 解答：解：如图2，连接OA 、OC 、OE ，∵AB ＝8，BC ＝6，BD ＝1，∴AD ＝7，BD +BC ＝7，∴AD ＝BD +BC ，而ED ⊥AB ，∴点E 为弧ABC 的中点，即»»AE CE=， ∴∠AOE ＝∠COE ，∵∠AOC ＝2∠ABC ＝2×60°＝120°，∴∠AOE ＝∠COE ＝120°，∴∠CAE ＝12∠COE ＝60°． 故答案为60°．17、刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，如图，若用圆的内接正十二边形的面积1S 来近似估计O e 的面积S ，设O e 的半径为1，则1S S -=______．答案：π-3分析：如图，过点A 作AC ⊥OB ，垂足为C ，先求出圆的面积，再求出△ABC 面积，继而求得正十二边形的面积即可求得答案．解答：如图，过点A 作AC ⊥OB ，垂足为C ，∵O e 的半径为1，∴O e 的面积S π=，OA =OB =1，∴圆的内接正十二边形的中心角为∠AOB =3603012︒=︒， ∴AC =12OB =12， ∴S △AOB =12OB •AC =14， ∴圆的内接正十二边形的面积S 1=12S △AOB =3，∴则13S S π-=-，故答案为：3π-．18、如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ΔABC 的顶点A 在格点上，B 是小正方形边的中点，ABC 50∠︒=，BAC 30∠︒=，经过点A ，B 的圆的圆心在边AC 上．（Ⅰ）线段AB 的长等于______；（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P ，使其满足PAC PBC PCB ∠∠∠==，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）______．答案：2；（Ⅱ）如图，取圆与网格线的交点E F ，，连接EF 与AC 相交，得圆心O ；AB 与网格线相交于点D ，连接DO 并延长，交O e 于点Q ，连接QC 并延长，与点B O ，的连线BO 相交于点P ，连接AP ，则点P 满足PAC PBC PCB ∠=∠=∠．分析：（Ⅰ）根据勾股定理即可求出AB 的长（Ⅱ）先确定圆心，根据∠EAF =090取格点E 、F 并连接可得EF 为直径，与AC 相交即可确定圆心的位置，先在BO 上取点P ，设点P 满足条件，再根据点D 为AB 的中点，根据垂径定理得出OD ⊥ AB ，再结合已知条件ABC 50∠︒=，BAC 30∠︒=得出20PAC PBC PCB ∠=∠=∠=o ，设PC 和DO 的延长线相交于点Q ，根据ASA 可得OPQ OPA ≅∆∆，可得OA =OQ ，从而确定点Q 在圆上，所以连接DO 并延长，交O e 于点Q ，连接QC 并延长，与点B O ，的连线BO 相交于点P ，连接AP 即可找到点P解答：（Ⅰ）解：AB ==（Ⅱ）取圆与网格线的交点E F ，，连接EF ，与AC 相交于点O ，∵∠EAF =090，∴EF 为直径，∵圆心在边AC 上∴点O 即为圆心∵AB 与网格线的交点D 是AB 中点，连接OD 则OD ⊥AB ，连接OB ，∵BAC 30∠︒=，OA =OB∴∠OAB =∠OBA =030，∠DOA =∠DOB =060，在BO 上取点P ，并设点P 满足条件，∵ABC 50∠︒=∵20PAC PBC PCB ∠=∠=∠=o ，∴∠APO =∠CPO =040，设PC 和DO 的延长线相交于点Q ，则∠DOA =∠DOB =∠POC =∠QOC =060∴∠AOP =∠QOP =0120，∵OP =OP ，∴OPQ OPA ≅∆∆∴OA =OQ ，∴点Q 在圆上，∴连接DO 并延长，交O e 于点Q ，连接QC 并延长，与点B O ，的连线BO 相交于点P ，连接AP ，则点P 即为所求19、如图，在矩形纸片ABCD 中，将AB 沿BM 翻折，使点A 落在BC 上的点N 处，BM 为折痕，连接MN ；再将CD 沿CE 翻折，使点D 恰好落在MN 上的点F 处，CE 为折痕，连接EF 并延长交BM 于点P ，若8AD =，5AB =，则线段PE 的长等于______．答案：203分析：根据折叠可得ABNM 是正方形，5CD CF ==，90D CFE ∠=∠=o ，ED EF =，可求出三角形FNC 的三边为3，4，5，在Rt MEF ∆中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证FNC ∆∽PGF ∆，三边占比为3：4：5，设未知数，通过PG HN =，列方程求出待定系数，进而求出PF 的长，然后求PE 的长．解答：过点P 作PG FN ⊥，PH BN ⊥，垂足为G 、H ，由折叠得：ABNM 是正方形，5AB BN NM MA ====，5CD CF ==，90D CFE ∠=∠=o ，ED EF =，∴853NC MD ==-=，在Rt FNC ∆中，4FN ==，∴541MF =-=，在Rt MEF ∆中，设EF x =，则3ME x =-，由勾股定理得，2221(3)x x +-=， 解得：53x =， ∵90CFN PFG ∠+∠=o ，90PFG FPG ∠+∠=o ，∴FNC ∆∽PGF ∆，∴::::3:4:5FG PG PF NC FN FC ==，设3FG m =，则4PG m =，5PF m =，∴43GN PH BH m ===-，5(43)134HN m m PG m =--=+==，解得：1m =，∴55PF m ==， ∴520533PE PF FE =+=+=， 故答案为：203． 20、如图，四边形11OAA B 是边长为1的正方形，以对角线1OA 为边作第二个正方形122OA A B ，连接2AA ，得到12AA A ∆；再以对角线2OA 为边作第三个正方形233OA A B ，连接13A A ，得到123A A A ∆；再以对角线3OA 为边作第四个正方形，连接24A A ，得到234A A A ∆……记12AA A ∆、123A A A ∆、231A A A ∆的面积分别为1S 、2S 、3S ，如此下去，则2019S =______．答案：20172分析：首先求出S 1、S 2、S 3，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题． 解答：Q 四边形11OAA B 是正方形，1111OA AA A B ∴===，1111122S ∴=⨯⨯=， 190OAA ∠=o Q ，211111AO ∴=+∴，2232OA A A ∴==，212112S ∴=⨯⨯=， 同理可求：312222S =⨯⨯=，44S =…， 22n n S -∴=，201720192S ∴=，故答案为：20172．21、如图，在矩形纸片ABCD 中，4AB =，BC =E 是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，将AEF ∆沿EF 所在直线翻折，得到A EF '∆，连接A C '，A D '，则当A DC '∆是以A D '为腰的等腰三角形时，FD 的长是______．答案：2或分析：题干仅告知了A DC '∆是以A D '为腰的等腰三角形，存在两种情况，一种是=DC A D '，连接ED ，利用勾股定理求ED 的长，可判断点E 、A '、D 三点共线，最后在Rt △F A 'D 中可求得；另一种情况是=C A D A ''，证四边形AE A 'F 是正方形，可求得．解答：情况一：当=DC A D '时，如下图，连接ED∵点E 是AB 的中点，AB =4，BC =ABCD 是矩形∴AD =A =90°∴在Rt △ADE 中，ED =6∵将AEF ∆沿EF 所在直线翻折，得到A EF '∆∴A E '=AE =2∵=DC A D '=AB =4∴ED =A E '+A D '∴点E 、A '、D 三点共线∵∠A =90°∴∠F A 'E =∠F A 'D =90°设AF =x ，则A 'F =x ，FD =x∴在Rt △F A 'D 中，()2224x x+=，解得：x∴FD情况二：当=C A D A ''时，如下图∵=C A D A ''∴点A '在线段CD 的垂直平分线上∴点A '在线段AB 的垂直平分线上∵点E 是AB 的中点∴E A '是AB 的垂直平分线∴∠AE A '=90°∵将AEF ∆沿EF 所在直线翻折，得到A EF '∆，四边形ABCD 是矩形∴∠A =∠E A 'F =90°，AF =F A '∴四边形AE A 'F 是正方形∴AF =AE =2∴FD =2故答案为：2或三、解答题22、如图，AB 是半圆O 的直径，过点O 作弦AD 的垂线交半圆O 于点E ，交AC 于点C ，使∠BED ＝∠C ．（1）判断直线AC 与圆O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若AC ＝8，cos ∠BED ＝45，求AD 的长．答案：（1）AC 与⊙O 相切，证明见解答；（2）485． 分析：（1）由于OC ⊥AD ，那么∠OAD +∠AOC =90°，又∠BED =∠BAD ，且∠BED =∠C ，于是∠OAD =∠C ，从而有∠C +∠AOC =90°，再利用三角形内角和定理，可求∠OAC =90°，即AC 是⊙O 的切线；（2）连接BD ，AB 是直径，那么∠ADB =90°，在Rt △AOC 中，由于AC =8，∠C =∠BED ，cos ∠BED =45，利用三角函数值，可求OA =6，即AB =12，在Rt △ABD 中，由于AB =12，∠OAD =∠BED ，cos ∠BED =45，同样利用三角函数值，可求AD ． 解答：解：（1）AC 与⊙O 相切．∵弧BD是∠BED与∠BAD所对的弧，∴∠BAD=∠BED，∵OC⊥AD，∴∠AOC+∠BAD=90°，∴∠BED+∠AOC=90°，即∠C+∠AOC=90°，∴∠OAC=90°，∴AB⊥AC，即AC与⊙O相切；（2）连接BD．∵AB是⊙O直径，∴∠ADB=90°，在Rt△AOC中，∠CAO=90°，∵AC=8，∠ADB=90°，cos∠C=cos∠BED=45，∴AO=6，∴AB=12，在Rt△ABD中，∵cos∠OAD=cos∠BED=45，∴AD=AB•cos∠OAD=12×448=55．23、已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．答案：（1）证明见解答；（2）分析：（1）先求出∠ABC=30°，进而求出∠BAD=120°，即可求出∠OAB=30°，结论得证；（2）先求出∠AOC=60°，用三角函数求出AM，再用垂径定理即可得出结论．解答：（1）如图，∵∠AEC=30°，∴∠ABC=30°，∵AB=AD，∴∠D=∠ABC=30°，根据三角形的内角和定理得，∠BAD=120°，连接OA，∴OA=OB，∴∠OAB=∠ABC=30°，∴∠OAD=∠BAD-∠OAB=90°，∴OA⊥AD，∵点A在⊙O上，∴直线AD是⊙O的切线；（2）连接OA，∵∠AEC=30°，∴∠AOC=60°，∵BC⊥AE于M，∴AE=2AM，∠OMA=90°，在Rt△AOM中，AM=OA•sin∠AOM，∴AE=2AM．24、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF．（1）求证：AE=CF；（2）若AB=6，∠COD=60°，求矩形ABCD的面积．答案：分析：（1）由矩形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，证出OE=OF，由SAS证明△AOE≌△COF，即可得出AE=CF；（2）证出△AOB是等边三角形，得出OA=AB=6，AC=2OA=12，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的长，即可得出矩形ABCD的面积．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，∵BE=DF，∴OE=OF，在△AOE和△COF中，∵OA=OC，∠AOE=∠COF，OE=OF，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE=CF；（2）解：∵OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OB，∵∠AOB=∠COD=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=6，∴AC=2OA=12，在Rt△ABC中，BC∴矩形ABCD的面积=AB•BC．25、如图，△ABC内接于⊙O，AD与BC是⊙O的直径，延长线段AC至点G，使AG＝AD，连接DG交⊙O于点E，EF∥AB交AG于点F．（1）求证：EF与⊙O相切．（2）若EF＝AC＝4，求扇形OAC的面积．答案：（1）见解答；（2）S扇形OAC＝83 ．分析：（1）连接OE，由条件知∠D＝∠OED，证出∠OED＝∠G，可得OE∥AG，证明∠OEF ＝180°−∠AFE＝90°，即OE⊥EF，则EF与⊙O相切．（2）连接OE，过点O作OH⊥AC于点H，求出CH，OH的长，再求出OC的长，得出△AOC是等边三角形，则∠AOC＝60°，可求出扇形OAC的面积．解答：（1）证明：如图1，连接OE，∵OD＝OE，∴∠D＝∠OED，∵AD＝AG，∴∠D＝∠G，∴∠OED＝∠G，∴OE∥AG，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵EF∥AB，∴∠BAF+∠AFE＝180°，∴∠AFE＝90°，∵OE∥AG，∴∠OEF＝180°-∠AFE＝90°，∴OE⊥EF，∴EF与⊙O相切；（2）解：如图2，连接OE，过点O作OH⊥AC于点H，∵AC＝4，∴CH＝1AC2 2=，∵∠OHF＝∠HFE＝∠OEF＝90°，∴四边形OEFH是矩形，∴OH EF==，在Rt△OHC中，OC＝4，∵OA＝AC＝OC＝4，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴S扇形OAC＝2604360π⋅＝83π．26、如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系______；（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；（3）在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．答案：（1）AF AE；（2）AF，证明详见解答；（3）结论不变，AF AE，理由详见解答．分析：（1）如图①中，结论：AF AE，只要证明△AEF是等腰直角三角形即可．（2）如图②中，结论：AF AE，连接EF，DF交BC于K，先证明△EKF≌△EDA再证明△AEF是等腰直角三角形即可．（3）如图③中，结论不变，AF AE，连接EF，延长FD交AC 于K，先证明△EDF≌△ECA，再证明△AEF是等腰直角三角形即可．解答：解：（1）如图①中，结论：AF AE．理由：∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB=DF，∵AB=AC，∴AC=DF，∵DE=EC，∴AE=EF，∵∠DEC=∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AFAE ．（2）如图②中，结论：AFAE ．理由：连接EF ，DF 交BC 于K ．∵四边形ABFD 是平行四边形，∴AB ∥DF ，∴∠DKE =∠ABC =45°，∴EKF =180°-∠DKE =135°，∵∠ADE =180°-∠EDC =180°-45°=135°，∴∠EKF =∠ADE ，∵∠DKC =∠C ，∴DK =DC ，∵DF =AB =AC ，∴KF =AD ，在△EKF 和△EDA 中，EK DK EKF ADE KF AD =∠=⎪∠⎧⎪⎨⎩=，∴△EKF ≌△EDA ，∴EF =EA ，∠KEF =∠AED ，∴∠FEA =∠BED =90°，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴AFAE ．（3）如图③中，结论不变，AFAE ．理由：连接EF ，延长FD 交AC 于K ．∵∠EDF =180°-∠KDC -∠EDC =135°-∠KDC ，∠ACE =（90°-∠KDC ）+∠DCE =135°-∠KDC ，∴∠EDF =∠ACE ，∵DF =AB ，AB =AC ，∴DF =AC在△EDF 和△ECA 中，DF AC EDF ACE DE CE =∠=⎪∠⎧⎪⎨⎩=，∴△EDF ≌△ECA ，∴EF =EA ，∠FED =∠AEC ，∴∠FEA =∠DEC =90°，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴AFAE ．27、如图，AB 是O e 的直径，BM 切O e 于点B ，点P 是O e 上的一个动点（点P 不与A ，B 两点重合），连接AP ，过点O 作//OQ AP 交BM 于点Q ，过点P 作PE AB ⊥于点C ，交QO 的延长线于点E ，连接PQ ，OP ，AE ．（1）求证：直线PQ 为O e 的切线；（2）若直径AB 的长为4．①当PE =______时，四边形BOPQ 为正方形；②当PE =______时，四边形AEOP 为菱形．答案：（1）见解答；（2）①2；②分析：（1）证BOQ POQ ∆∆≌，得出∠OPQ =∠OBQ =90°得证；（2）①根据四边形OBQP 是正方形，可得点E 与点O 重合，故而求得EP 的长；②利用菱形的性质，对角线垂直且相互平分，可在Rt △CPO 中求得CP 的长，进而得出EP 的长．解答：（1）证明：∵BM 切O e 于点B ，∴OB BQ ⊥，∴90OBQ ∠=︒，∵//PA OQ ，∴OPA POQ ∠=∠，OAP BOQ ∠=∠，而OA OP =，∴OPA OAP ∠=∠，∴POQ BOQ ∠=∠，在BOQ ∆和POQ ∆中OB OP BOQ POQ OQ OQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BOQ POQ ∆∆≌．∴90OPQ OBQ ∠=∠=︒．∴直线PQ 为O e 切线；（2）①如下图所示∵四边形OBQP 是正方形∴OP ⊥AB∴点O 与点E 重合∴EP =OP∵直径AB =4∴OP=EP=2②如下图∵四边形AEOP是菱形∴AO⊥EP，且AC=CO，EC=CP∵直径AB=4∴OP=2，CO=1∴在Rt△PCO中，CP∴EP=28、如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示．①线段DG与BE之间的数量关系是______；②直线DG与直线BE之间的位置关系是______；（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE时，上述结论是否成立，并说明理由．（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）．答案：（1）①BE ＝DG ，②BE ⊥DG ；（2）数量关系不成立，DG ＝2BE ，位置关系成立．理由见解答；（3）BG 2+DE 2＝25．分析：（1）先判断出△ABE ≌△DAG ，进而得出BE =DG ，∠ABE =∠ADG ，再利用等角的余角相等即可得出结论；（2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出△ABE ∽△DAG ，得出∠ABE =∠ADG ，再利用等角的余角相等即可得出结论；（3）如图④中，作ET ⊥AD 于T ，GH ⊥BA 交BA 的延长线于H ．设ET =x ，AT =y ．利用勾股定理，以及相似三角形的性质即可解决问题．解答：（1）①如图②中，∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形，∴AE ＝AG ，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠EAG ＝90°，∴∠BAE ＝∠DAG ，在△ABE 和△DAG 中，AB AD BAE DAG AE AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DAG （SAS ），∴BE ＝DG ；②如图2，延长BE 交AD 于T ，交DG 于H ．由①知，△ABE ≌△DAG ，∴∠ABE ＝∠ADG ，∵∠ATB +∠ABE ＝90°，∴∠ATB +∠ADG ＝90°，∵∠ATB ＝∠DTH ，∴∠DTH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG，故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；（2）数量关系不成立，DG＝2BE，位置关系成立．如图③中，延长BE交AD于T，交DG于H．∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，∴∠BAD＝∠DAG，∴∠BAE＝∠DAG，∵AD＝2AB，AG＝2AE，∴ABAD＝AEAG＝12，∴△ABE∽△ADG，∴∠ABE＝∠ADG，BEDG＝12，∴DG＝2BE，∵∠ATB+∠ABE＝90°，∴∠ATB+∠ADG＝90°，∵∠ATB＝∠DTH，∴∠DTH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG；（3）如图④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延长线于H．设ET＝x，AT＝y．∵∠GAH +∠DAG =90°，∠BAE +∠DAG =90°，∴∠GAH =∠BAE ，又∵∠GHA =∠ATE =90°，∴△AHG ∽△ATE ， ∴GH AH AG ET AT AE==＝2， ∴GH ＝2x ，AH ＝2y ，∴4x 2+4y 2＝4，∴x 2+y 2＝1，∴BG 2+DE 2＝（2x ）2+（2y +2）2+x 2+（4-y ）2＝5x 2+5y 2+20＝25．29、已知在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 分别交x 轴和y 轴于点()()3,0,0,3A B -． （1）如图1，已知P e 经过点O ，且与直线1l 相切于点B ，求P e 的直径长； （2）如图2，已知直线2: 33l y x =-分别交x 轴和y 轴于点C 和点D ，点Q 是直线2l 上的一个动点，以Q 为圆心，①当点Q 与点C 重合时，求证：直线1l 与Q e 相切；②设Q e 与直线1l 相交于,M N 两点，连结,QM QN .问：是否存在这样的点Q ，使得QMN ∆是等腰直角三角形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．答案：（1）P e 的直径长为（2）①见解答；②存在这样的点1(3Q -和2(3Q +，使得QMN ∆是等腰直角三角形．分析：（1）连接BC ，证明△ABC 为等腰直角三角形，则⊙P 的直径长=BC =AB ，即可求解；（2）过点C 作CE AB ⊥于点E ，证明CE =AC sin45°=4×2=圆的半径，即可求解； （3）假设存在这样的点Q ，使得QMN ∆是等腰直角三角形，分点Q 在线段CF 上时和点Q 在线段CF 的延长线上两种情况，分别求解即可．解答：（1）如图3，连接BC ，∵∠BOC =90°，∴点P 在BC 上，∵⊙P 与直线l 1相切于点B ，∴∠ABC =90°，而OA =OB ，∴△ABC 为等腰直角三角形，则⊙P 的直径长=BC =AB （2）如图4过点C 作CE AB ⊥于点E ，图4将0y =代入33y x =-，得1x =，∴点C 的坐标为()1,0．∴4AC =，∵45CAE ∠=︒，∴2CE AC == ∵点Q 与点C 重合，又Q e 的半径为∴直线1l 与Q e 相切．②假设存在这样的点Q ，使得QMN ∆是等腰直角三角形，∵直线1l 经过点()()3,0,0,3A B -，∴l 的函数解析式为3y x =+．记直线2l 与1l 的交点为F ，情况一：如图5，当点Q 在线段CF 上时，由题意，得45MNQ ∠=︒．如图，延长NQ 交x 轴于点G ，图5∵45BAO ∠=︒，∴180454590NGA ∠=︒-︒-︒=︒，即NG x ⊥轴，∴点Q 与N 有相同的横坐标，设(),33Q m m -，则(),3N m m +，∴()333QN m m =+--．∵Q e 的半径为∴3(33)m m +--=解得3m =∴336m -=-∴Q 的坐标为(3-．情况二：当点Q 在线段CF 的延长线上时，同理可得3m =，Q 的坐标为(3+．∴存在这样的点1(3Q -和2(3Q +，使得QMN ∆是等腰直角三角形．30、如图，已知等边△ABC 的边长为8，点P 是AB 边上的一个动点（与点A 、B 不重合），直线l 是经过点P 的一条直线，把△ABC 沿直线l 折叠，点B 的对应点是点B ’． （1）如图1，当PB =4时，若点B ’恰好在AC 边上，则AB ’的长度为______；（2）如图2，当PB =5时，若直线l //AC ，则BB ’的长度为______；（3）如图3，点P 在AB 边上运动过程中，若直线l 始终垂直于AC ，△ACB ’的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB =6时，在直线l 变化过程中，求△ACB ’面积的最大值．答案：（1）4；（2）（3）面积不变，S△ACB’=（4）分析：（1）证明△APB′是等边三角形即可解决问题；（2）如图2中，设直线l交BC于点E，连接BB′交PE于O，证明△PEB是等边三角形，求出OB即可解决问题；（3）如图3中，结论：面积不变，证明BB′//AC即可；（4）如图4中，当PB′⊥AC时，△ACB′的面积最大，设直线PB′交AC于点E，求出B′E即可解决问题．解答：（1）如图1，∵△ABC为等边三角形，∴∠A=60°，AB=BC=CA=8，∵PB=4，∴PB′=PB=P A=4，∵∠A=60°，∴△APB′是等边三角形，∴AB′=AP=4，故答案为4；（2）如图2，设直线l交BC于点E，连接BB′交PE于O，∵PE∥AC，∴∠BPE =∠A =60°，∠BEP =∠C =60°，∴△PEB 是等边三角形，∵PB =5，B 、B ′关于PE 对称，∴BB ′⊥PE ，BB ′=2OB ，∴OB =PB ，∴BB ，故答案为（3）如图3，结论：面积不变．过点B 作BE ⊥AC 于E ，则有BE =AB ·sin60°=82⨯=∴S △ABC =11822AC BE =⨯⨯g ， ∵B 、B ′关于直线l 对称，∴BB ′⊥直线l ，∵直线l ⊥AC ，∴AC //BB ′，∴S △ACB ’=S △ABC（4）如图4，当B ′P ⊥AC 时，△ACB ′的面积最大，设直线PB ′交AC 于E ，在Rt △APE 中，P A =2，∠P AE =60°，∴PE =P A∴B ′E =B ′P +PE∴S △ACB 最大值=12×（。

专题十：与翻折或轴对称作图有关的几何证明题解析专题导例如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是．【分析】：先判断出Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），得出∠DAM＝∠CBN，进而判断出△DCE≌△BCE （SAS），得出∠CDE＝∠CBE，即可判断出∠AFD＝90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OF＝AD＝3，利用勾股定理列式求出OC，然后根据三角形的三边关系可知当O、F、C 三点共线时，CF的长度最小．方法剖析轴对称的性质（1）对应线段相等，对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分；（2）轴对称图形变换的特征是不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，新旧图形具有对称性；（3）轴对称的两个图形，它们对应线段或延长线相交，交点在对称轴上.轴对称（折叠）的思考层次全等变换：对应边相等，对应角相等；对称轴性质：对应点所连线段被对称轴（折痕）垂直平分，对称轴（折痕）上的点到对应点的距离相等；指出：（1）在翻折下，前后的图形关于折痕成轴对称，注意前后的图形成镜面对称，即前后的图形的左右位置互换；（2）翻折或对称中建构勾股方程来求取线段长及对最值类问题进行探究；（3）轴对称常见的结构，折叠会产生垂直平分，等腰三形.导例答案：解：如图，在正方形ABC D中，AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD，∠DCE＝∠BCE，在Rt△ADM和Rt△BCN中，，∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），∴∠DAM＝∠CBN，在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠CDE＝∠CBE∴∠DAM＝∠CDE，∵∠ADF+∠CDE＝∠ADC＝90°，∴∠DAM+∠ADF＝90°，∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，取AD的中点O，连接OF、OC，则OF＝DO ＝AD＝3，在Rt△OD C中，OC ＝＝3根据三角形的三边关系，OF+CF＞OC，∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，最小值＝OC﹣OF＝3﹣3．故答案为：3﹣3．典型例题类型一：利用已知直线作对称图形进行证明例1、在等边△AB C中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA（如图1）．（1）求证：∠BAD＝∠EDC；（2）点E关于直线BC的对称点为M，连接DM，AM．①依题意将图2补全；②证明：在点D运动的过程中，始终有DA＝AM．【分析】（1）先判断出∠BAD+∠CAD＝60°，进而得出∠BAD+∠E＝60°，即可得出结论；（2）①由对称性即可补全图形；②由对称性判断出DM＝DE，∠MDC＝∠EDC，再用三角形的外角的性质，判断出∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+∠MDC，进而判断出△ADM是等边三角形，即可得出结论．类型二：对已知图形进行翻折进行证明例2．如图，矩形ABC D中，AB＝4，AD＝3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△DEC≌△EDA；（2）求DF的值；（3）在线段AB上找一点P，连结FP使FP⊥AC，连结PC，试判定四边形APCF的形状，并说明理由，直接写出此时线段PF的大小．【分析】（1）根据矩形的性质、轴对称的性质可得到AD＝EC，AE＝DC，即可证到△DEC≌△EDA （SSS）；（2）易证AF＝CF，设DF＝x，则有AF＝4﹣x，然后在Rt△ADF中运用勾股定理就可求出DF的长．（3）根据三角形的内角和定理求得∠APF＝∠AFP根据等角对等边得出AF＝AP进而得出FC＝AP，从而证得四边形APCF是平行四边形，又因为FP⊥AC证得四边形APCF为菱形，然后根据菱形的面积S菱形＝PF•AC＝AP•AD，即可求得．专项突破1.如图，在Rt△AB C中，∠C＝90°，点D、E分别是BC、AB上一个动点，连接DE．将点B沿直线DE折叠，点B的对应点为F，若AC＝3，BC＝4，当点F落在AC的三等分点上时，BD的长为．2．如图，正方形ABC D中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，连接F C．（1）求证：∠FBC＝∠CDF；（2）作点C关于直线DE的对称点G，连接CG，FG，猜想线段DF，BF，CG之间的数量关系，并证明你的结论．3.已知矩形ABCD，其中AD＞AB，依题意先画出图形，然后解答问题．（1）F为DC边上一点，把△ADF沿AF折叠，使点D恰好落在BC上的点E处．在图1中先画出点E，再画出点F，若AB＝8，AD＝10，直接写出EF的长为；（2）把△ADC沿对角线AC折叠，点D落在点E处，在图2先画出点E，AE交CB于点F，连接BE．求证：△BEF是等腰三角形．4.如图，Rt△AB C中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB边上的一个动点（不与点A，B及A B中点重合），连接CD，点A关于直线CD的对称点为点E，直线BE，CD交于点F．（1）如图1，当∠ACD=15°时，根据题意将图形补充完整，并直接写出∠BFC的度数；（2）如图2，当45°＜∠ACD＜90°时，用等式表示线段AC，EF，BF之间的数量关系，并加以证明．5．在Rt△AB C中，∠ACB＝90°，CA＝C B．点D为线段BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在射线AB上，连接DE，使得DE＝D A．作点E关于直线BC的对称点F，连接BF，DF．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠CAD＝∠BDF；（3）用等式表示线段AB，BD，BF之间的数量关系，并证明．6．如图①，在等腰三角形AB C中，AB＝AC＝8，BC＝14．如图②，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC＝∠AC D．如图③，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABE D．则BE的长是．7．在等边三角形ABC外侧作射线AP，∠BAP=α，点B关于射线AP的对称点为点D，连接CD交AP于点E.（1）依据题意补全图形；（2）当α=20°时，∠ADC= ；∠AEC= ；（3）连接BE，求证：∠AEC=∠BEC；（4）当0°<α<60°时，用等式表示线段AE，CD，DE之间的数量关系，并证明．8.在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连结BD，CD，其中CD交直线AP与点E．（1）如图1，若∠P AB＝30°，则∠ACE＝；（2）如图2，若60°＜∠P AB＜120°，请补全图形，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并说明理由．9．如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：△BDF是等腰三角形；(2)如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连结FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．10.【问题情境】如图①，在Rt△AB C中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为A B中点，连结CD，点E为CB上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC于点F．易知：BE＝CF．（不需要证明）【探索发现】如图②，在Rt△AB C中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为A B中点，连结CD，点E为CB的延长线上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC的延长线于点F．【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由．【类比迁移】如图③，在等边△AB C中，AB＝4，点D是A B中点，点E是射线AC上一点（不与点A、C重合），将射线DE绕点D逆时针旋转60°交BC于点F．当CF＝2CE时，CE＝．11．在△AB C中，∠ACB＝90°，AC＜BC，点D在AC的延长线上，点E在BC边上，且BE＝AD，（1）如图1，连接AE，DE，当∠AEB＝110°时，求∠DAE的度数；（2）在图2中，点D是AC延长线上的一个动点，点E在BC边上（不与点C重合），且BE＝AD，连接AE，DE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接BF，DE．①依题意补全图形；②求证：BF＝DE．专题十：与翻折或轴对称作图有关的几何证明题解析例1．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠BAD+∠CAD＝60°，∵DE＝DA，∴∠CAD＝∠E，∴∠BAD+∠E＝60°，∵∠EDC+∠E＝∠ACB＝60°，∴∠BAD＝∠EDC；（2）①补全图形如图2所示；②∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，由对称性得，∠EDC＝∠MDC，由（1）知，∠EDC＝∠BAD，∴∠MDC＝∠BAD，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+∠MD C．∴∠ADM＝∠B＝60°，由对称性得，DM＝DE，∵DE＝DA，∴DA＝DM，∴△ADM是等边三角形，∴DA＝DM，即：在点D运动的过程中，始终有DA＝AM．例2．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，∵△AEC由△ABC翻折得到，∴AB＝AE，BC＝EC，∠CAE＝∠CAB，∴AD＝CE，DC＝EA，∠ACD＝∠CAE，在△ADE与△CE D中，，∴△DEC≌△EDA（SSS）；（2）解：如图1，∵∠ACD＝∠CAE，∴AF＝CF，设DF＝x，则AF＝CF＝4﹣x，在RT△ADF中，AD2+DF2＝AF2，即32+x2＝（4﹣x）2，解得；x＝，即DF＝．（3）解：四边形APCF为菱形，设AC、FP相较于点O∵FP⊥AC∴∠AOF＝∠AOP又∵∠CAE＝∠CAB，∴∠APF＝∠AFP∴AF＝AP∴FC＝AP又∵AB∥CD∴四边形APCF是平行四边形又∵FP⊥AC∴四边形APCF为菱形，在矩形ABC D中，AB＝4，AD＝3，∴AC＝5，∵S菱形＝PF•AC＝AP•AD，∵AP＝AF＝4﹣＝∴PF＝＝．专项突破1.解：∵折叠∴BD＝DF，∵点F落在AC的三等分点上∴CF＝1或CF＝2，若CF＝1时，在Rt△CDF中，DF2＝CD2+CF2，∴BD2＝（4﹣BD）2+1∴BD＝当CF＝2时，在Rt△CDF中，DF2＝CD2+CF2，∴BD2＝（4﹣BD）2+4∴BD＝故答案为：或2．解：（1）∵ABCD为正方形，∴∠DCE＝90°．∴∠CDF+∠E＝90°，又∵BF⊥DE，∴∠FBC+∠E＝90°，∴∠FBC＝∠CDF（2）如图所示：在线段FB上截取FM，使得FM＝F D．∵∠BDC＝∠MDF＝45°，∴∠BDM＝∠CDF，∵＝＝，∴△BDM∽△CDF，∴＝＝，∠DBM＝∠DCF，∴BM＝CF，∴∠CFE＝∠FCD+∠CDF＝∠DBM+∠BDM＝∠DMF＝45°，∴∠EFG＝∠EFC＝45°，∴∠CFG＝90°，∵CF＝FG，∴CG＝CF，∴BM＝CG，∴BF＝BM+FM＝CG+DF．补充方法：连接GM，证明四边形BMGC是平行四边形即可．3.解：（1）如图1，在BC上截取AE＝AD得点E，作AF垂直DE交CD于点F（或作∠AED的平分线AF交CD于点F，或作EF垂直AE交CD于点F等等），∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝90°，在Rt△ABE中，BE＝＝6，∴EC＝10﹣6＝4，设EF＝DF＝x，在Rt△EF C中，则有x2＝（8﹣x）2+42，解得x＝5，∴EF＝5．故答案为：5；（2）证明：如图2，作DH垂直AC于点H，延长DH至点E，使HE＝DH．方法1：∵△ADC≌△AEC，∴AD＝AE＝BC，AB＝DC＝EC，在△ABE与△CE B中，，∴△ABE≌△CEB（SSS），∴∠AEB＝∠CBE，∴BF＝EF，∴△BEF是等腰三角形．方法2：∵△ADC≌△AEC，∴AD＝AE＝BC，∠DAC＝∠EAC，又∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠EAC＝∠ACB，∴F A＝FC，∴FE＝FB，∴△BEF是等腰三角形．4.（1）如图1中，连接E C．∵A，E关于CD对称，∴∠DCA=∠DCE=15°，CA=CE=C B．∵∠ACB=90°，∴∠ECB=60°，∴△ECB是等边三角形，∴∠CEB=60°，∵∠CEB=∠BFC+∠DCE，∴∠BFC=60°-15°=45°．（2）结论：EF2+BF2=2AC2．理由：如图2，连接CE，AF，延长AC交FE的延长线于点G．∵A，E关于CD对称，∴AC=CE，AF=EF，又∵CF=CF，∴△ACF≌△ECF（SSS），∴∠CAF=∠1，∵AC=BC，∴BC=CE，∴∠1=∠2，∴∠CAF=∠2，∵∠ACB=90°，∴∠G+∠2=90°，∴∠CAF+∠G=90°，∴∠AFG=90°，在Rt△AF B中，AB2=AF2+BF2，在Rt△AB C中，AB2=AC2+BC2=2AC2，∴BF2+AF2=2AC2，∴BF2+EF2=2AC2．5．（1）如图所示：（2）∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠BAC＝∠CBA＝45°，∴∠CAD+∠DAB＝45°，∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠DEB，∵∠DBA是△DBE的一个外角，∴∠EDB+∠DEB＝∠DBA＝45°，∴∠EDB＝∠CAD，∵点E关于直线BC的对称点F，∴∠EDB＝∠FDB，∴∠CAD＝∠FDB；（3）线段AB，BD，BF之间的数量关系是AB﹣BF=√2BD，证明：过点D作AC的平行线交AB于M点，∴∠C＝∠MDB＝90°，∠CAB＝∠DMB＝45°，∴∠DMB＝∠DBM，∴DM＝DB，∴MB=√2BD，∵点E关于直线BC的对称点F，∴DE＝DF，∵AD＝DE，∴AD＝DF，∵AC∥MD，∴∠CAD＝∠ADM，∵∠CAD＝∠FDB，∴∠ADM＝∠FDB，∴△ADM≌△FDB（SAS），∴AM＝BF，∴AB﹣BF＝AB﹣AM＝MB，又∵MB=√2BD，∴AB﹣BF=√2B D．6.解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠DAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ABC，∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴＝，∴＝，∴CD＝，BD＝BC﹣CD＝，∵∠DAM＝∠DAC＝∠DBA，∠ADM＝∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴＝，即＝，∴DM＝，MB＝BD﹣DM＝，∵∠ABM＝∠C＝∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB＝∠BEM，∠EBM＝∠EAD＝∠ABD，∴△ABD∽△MBE，∴＝，∴BE ＝＝＝．故答案为：．7．（1）如图；EDP（2）40°；60 °；（3）证明：∵点B关于射线AP的对称点为点D，∴△BAE≌△DAE．∴∠BAE=∠DAE=α．∵AD=AB=AC，∴∠ADC=()1806022α︒-︒+=60°－α．∴∠AEC=60°．∵∠ACB=60°，∠ACD=∠ADC=60°－α，∴∠BCE=α．∵∠ABC=60°，∠ABE=∠ADC=60°－α，∴∠BEC=60°．（4）证明：法一：在CD上截取AF=AE．F EDAB C P∵∠AEF =60°，∴△AEF 是等边三角形．∴∠AFC =∠AED =120°．∵∠ACD =∠ADC =60°－α，∴△ADE ≌△ACF ．∴DE =CF ．∴CD =2DE +EF ．∵AE =EF ，∴CD =2DE +AE ．法二：在CD 上截取BG =BE ．GEDAB C P∵∠BEC =60°，∴△BEG 是等边三角形．∴∠BGC =∠AED =120°．∵∠BCE =∠DAE =α，∴△BCG ≌△DAE ．∴AE =CG ．∵EG =BE =DE ，∴CD =2DE +CG ．∴CD =2DE +AE ．8.解：（1）连接AD ，如图1．∵点D 与点B 关于直线AP 对称，∴AD ＝AB ，∠DAP ＝∠BAP ＝30°，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴AD ＝AC ，∠DAC ＝120°，∴2∠ACE +60°+60°＝180°，∴∠ACE ＝30°，故答案为：30°；（3）线段AB ，CE ，ED 可以构成一个含有60°角的三角形．证明：连接AD ，EB ，如图2．∵点D 与点B 关于直线AP 对称，∴AD ＝AB ，DE ＝BE ，∴∠EDA ＝∠EBA ，∵AB ＝AC ，AB ＝AD ，∴AD ＝AC ，∴∠ADE ＝∠ACE ，∴∠ABE ＝∠ACE ．设AC ，BE 交于点F ，又∵∠AFB ＝∠CFE ，∴∠BAC ＝∠BEC ＝60°，∴线段AB ，CE ，ED 可以构成一个含有60°角的三角形．9．(1)根据折叠，∠DBC ＝∠DBE ，又AD ∥BC ，∴∠DBC ＝∠ADB ，∴∠DBE ＝∠ADB ，∴DF ＝BF ，∴△BDF 是等腰三角形(2)①菱形，理由：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴FD ∥BG ，又∵FD ∥BG ，∴四边形BFDG 是平行四边形，∵DF ＝BF ，∴四边形BFDG 是菱形②∵AB ＝6，AD ＝8，∴BD ＝10.∴OB ＝12BD ＝5.设DF ＝BF ＝x ，∴AF ＝AD －DF ＝8－x .∴在Rt △ABF 中，AB 2＋AF 2＝BF 2，即62＋(8－x )2＝x 2，解得x ＝254，即BF ＝254，∴FO ＝BF 2－OB 2＝（254）2－52＝154，∴FG ＝2FO ＝152 10.解：【问题情境】证明：∵在Rt △AB C 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 为A B 中点， ∴CD ⊥AB ，CD ＝BD ＝AD ＝AB ，∠BCD ＝∠B ＝45°，∴∠BDC ＝90°，∵∠EDF ＝90°，∴∠CDF＝∠BDE，在△BDE与△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（ASA），∴BE＝CF；【探索发现】成立，理由：∵在Rt△AB C中，D为A B中点，∴CD＝BD，又∵AC＝BC，∴DC⊥AB，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°，∴∠EDB+∠BDF＝∠CDF+∠BDF＝90°，∴∠CDF＝∠BDE，∴∠ADF＝∠CDE，∴AF＝CE，∴CF＝BE；【类比迁移】∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∵∠FDE＝60°，∴∠BDF＝120°﹣∠ADE，∠AED＝120°﹣∠ADE，∴∠BDF＝∠AED，∴△ADE∽△BDF，∴，∵点D为A B中点，AB＝4，∴AD＝BD＝2，AC＝BC＝4，∵CF＝2CE，∴设CE＝x，则CF＝2x，当点E在线段AC上时，∴AE＝4﹣x，BF＝4﹣2x，∴＝，解得：x＝3﹣，x＝3+（不合题意，舍去），∴CE＝3﹣，如图④，当点E在AC的延长线上时，∵AE＝4+x，BF＝4﹣2x，∴＝，解得：x＝﹣1+，（负值舍去），∴CE＝﹣1+．综上所述，CE＝3﹣或﹣1+，故答案为：3﹣或﹣1+．11.解：（1）∵∠AEB＝110°，∠ACB＝90°，∴∠DAE＝∠AEB﹣∠ACB＝20°；（2）①补全图形，如图所示．②证明：由题意可知∠AEF＝90°，EF＝AE．∵∠ACB＝90°，∴∠AEC+∠BEF＝∠AEC+∠DAE＝90°．∴∠BEF＝∠DAE．∵在△EBF和△ADE中，，∴△EBF≌△ADE（SAS）．∴DE＝BF．。

第二章相互作用微专题10力的合成与分解1．力的合成与分解遵循平行四边形定则(三角形定则)。

2.分力与合力是等效替代关系。

3.力的分解常用方法有按实际效果分解和正交分解，多力合成常先正交分解再求和。

4.大小一定的两分力，夹角增大时，合力减小；合力大小一定，夹角增大时，两等大分力增大。

1.戽斗是古代一种小型的人力提水灌田农具，是我国古代劳动人民智慧的结晶。

如图所示，两人双手执绳牵斗取水，在绳子长度一定时()A．两人站得越近越省力B．两人站得越远越省力C．两边绳子与竖直方向夹角为60°时最省力D．绳子拉力大小与两人距离远近无关答案A解析重物的重力一定，则绳的合力一定，两人站得越远，两绳的夹角越大，绳上拉力越大；反之越小。

故A正确。

2．(多选)一物体受到两个大小相等的共点力的作用，二者夹角为θ(0＜θ＜120°)，合力为F，若保证两共点力的方向不变，大小均增加ΔF，合力变为F′。

下列说法正确的是() A．F′与F的方向相同B．F′与F的方向不同C．F′－F＝ΔF D．F′－F＞ΔF答案AD解析根据平行四边形定则可知，两分力都增大ΔF，对角线(即合力的方向)和原对角线方向相同，即F′与F的方向相同，故A正确，B错误；根据平行四边形定则可知，两分力的增加量ΔF构成平行四边形，且夹角为θ(0＜θ＜120°)，F′－F为平行四边形的对角线，故F′－F＞ΔF，故C错误，D正确。

3．两个共点力作用于一个物体上，力的方向可以任意调节，其中一个力为20N，另一个力是F，它们的合力是50N。

则F的大小可能是()A．10N B．25N C．50N D．80N答案C解析若两个力方向相同，则F＝50N－20N＝30N，如果两个力方向相反，则F＝50N＋20N＝70N，则F的范围为30～70N。

故选C。

4．(2023·重庆八中冲刺)如下列各图所示，倾角不同的光滑斜面固定于水平地面上，挡板垂直固定于斜面。

专题10 简单机械（第1期）一、选择题（2022·江苏连云港）1. 下图是生活中几种常见的杠杆，其中属于省力杠杆的是（ ）A. 钓鱼竿B. 道钉撬C. 筷子D. 理发剪刀【答案】B【解析】【详解】A ．钓鱼竿在使用过程中，动力臂小于阻力臂，属于费力杠杆，故A 不符合题意；B ．道钉撬在使用过程中，动力臂大于阻力臂，属于省力杠杆，故B 符合题意；C ．筷子在使用过程中，动力臂小于阻力臂，属于费力杠杆，故C 不符合题意；D ．理发剪刀在使用过程中，动力臂小于阻力臂，属于费力杠杆，故D 不符合题意。

故选B 。

（2022·四川遂宁）2. 码头上的工作人员，利用如图所示的杠杆将一桶淡水从地面转移到船上（杠杆始终保持水平）。

挂在A 端的的桶重100N ，内部底面积为2600cm ，桶内装有800N 的水，水深1m 。

重600N 的工作人员用绳子竖直拉住B 端，工作人员的脚与地面的接触面积2300cm ，:1:3OA OB =。

下列计算结果错误．．的是（ ）（331.010kg m ρ=⨯水，g 取10N kg ）A. 水对桶底的压强为41.010Pa ⨯B. 水对桶底的压力为600NC. 人对地面的压力为375ND. 人对地面的压强为41.010Pa ⨯【答案】C【解析】【详解】A ．水对桶底的压强为 3341.010kg/m 10N/kg 1m=1.010Pa p gh ρ==⨯⨯⨯⨯故A 正确，不符合题意；B ．水对桶底的压力为4-421.010Pa 60010m =600N F pS ==⨯⨯⨯故B 正确，不符合题意；C ．根据杠杆平衡原理，可得人对绳子的拉力为1=900N=300N 3OA F G G OB =+⨯拉水桶（） 所以人对地面的压力为 =600N-300N=300N F G F =-压人拉故C 错误，符合题意；D ．人对地面的压强为4-42300N ==1.010Pa 30010mF p S =⨯⨯压人人 故D 正确，不符合题意。

专题10 作图题一、作图题1．（2022秋·江苏连云港·九年级统考期中）如图甲是晾衣服用的夹子，其简化示意图如图乙所示，其中AOB可以看成杠杆，O点是支点，A点是动力的作用点，B点是阻力的作用点。

请在图乙中画出捏夹子时，动力F1的动力臂l1，以及阻力F2的阻力臂l2。

【答案】【详解】支点为O，从支点O作力F1作用线延长线的垂线段l1、作力F2作用线的垂线段l2，l1、l2分别为动力臂和阻力臂，如图所示：2．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）工人站在地面上，利用如图所示的滑轮组提升重物，请在图中画出滑轮组的绕绳方法。

【答案】【详解】因为滑轮组要求工人站在地面上提升重物，因此在绕绳时，最终的绳子自由端方向应该向下，所以应该由两段绳子承担物重，如图所示：3．（2022秋·江苏淮安·九年级校联考期中）图甲是一个门把手，握住门把手向下压就可以打开门，门把手可以看成如图乙所示的一个杠杆，O为支点，请你在图乙中画出阻力F2的力臂。

【答案】【详解】从支点O作阻力F2作用线的垂线，支点到垂足的距离为阻力臂l2；如图所示：4．（2022秋·江苏南京·九年级统考期中）如图所示，用杠杆将物体A提起，请画出使杠杆平衡的最小力F1的示意图和杠杆受到的阻力F2的示意图。

【答案】【详解】根据杠杆的平衡条件，要使动力最小，则动力臂应最长，即连接O与杠杆最右端B为最长的力臂，力的方向与OB垂直且向上，杠杆受到的阻力F2的方向竖直向下，如图所示：5．（2022秋·江苏无锡·九年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）图甲是小明自行车的手闸，其中ABO可视为一种杠杆，简化示意图如图乙，O为支点，F2为阻力，请在图乙中画出作用在A点的最小动力F1及其力臂l1。

【答案】【详解】由杠杆平衡条件F1l1＝F2l2可知，在阻力跟阻力臂的乘积一定时，动力臂越长，动力越小；图中支点在O点，因此OA作为动力臂l1最长；动力的方向应该向下，过点A垂直于OA向下作出最小动力F1的示意图，如图所示：6．（2022秋·江苏泰州·九年级校考期中）如图所示，杠杆OB在动力F1作用下处于静止状态，请你画出动力臂l1及阻力F2。

专题10 简单机械（原卷版）★考点列表★三年真题考点一：杠杆的概念与应用一、2021年中考真题1．（2021·广东深圳市）下列杠杆中属于费力杠杆的是（）。

A．撬石头B．船桨C．小推车D．修树剪刀2．（2021·广西贺州市）现有若干个规格相同的钩码，如图所示，为了使杠杆在水平位置平衡，应在杠杆的A点挂几个钩码（）。

A．1 B．2 C．3 D．43．（2021·湖北荆州市）2021年1月30日，荆州沙市机场正式通航，为荆州640万人口出行带来极大便利。

某游客来机场乘机，他所用的拉杆旅行箱示意图如图所示。

装有物品的旅行箱整体可视为杠杆，O为支点，B为重心，A为拉杆的端点。

在A点沿图示方向施加拉力F使旅行箱保持静止。

下列说法中正确的是（）。

A．旅行箱受到的重力与水平地面对它的支持力是一对平衡力；B．其它条件不变时，仅缩短拉杆的长度，拉力F减小；C．其它条件不变时，使拉力F的方向沿顺时针改变10°，拉力F增大；D．箱内物体下滑，重心位置由B变至B′，拉力F增大4．（2021·河南中考真题）如图工人师傅正在使用一根硬棒撬动石头，使用此硬棒（）。

A．省力且省距离B．省力但费距离C．费力且费距离D．费力但省距离5．（2021·北京中考真题）图示的四种工具中，正常使用时属于费力杠杆的是（）。

A．园艺剪B．筷子C．瓶盖起子D．核桃夹6．（2021·广西南宁市）图是小华在劳动教育实践活动中体验中国传统农耕“春稻谷”的示意图。

小华若要更省力，下列做法可行的是（）。

A．支点不动，脚在杆上的位置前移；B．将支点靠近人，脚在杆上的位置不动；C．将支点靠近人，同时脚在杆上的位置前移；D．将支点远离人，同时脚在杆上的位置后移7．（2021·江苏泰州市）如图，在均匀杠杆的A处挂3个钩码，B处挂2个钩码，杠杆恰好在水平位置平衡。

下列操作中，仍能使杠杆在水平位置平衡的是（所用钩码均相同）（）。

模块四电学专题10 电（磁）学实验*知识与方法一、初中物理实验方法1.控制变量法：在研究物理问题时，某一物理量往往受几个不同因素的影响，为了确定该物理量与各个不同因素之间的关系，就需要控制某些因素，使其固定不变，只研究其中一个因素，看所研究的因素与该物理量之间的关系。

分析思路：找好自变量、因变量和控制变量。

自变量：实验中主动变化的量。

因变量：实验中被动变化的量，一般也是研究目标。

控制变量：除自变量之外其他可能会引起因变量变化的量，需控制不变。

2.转换法：在科学探究中，对于一些看不见、摸不着或者不易观察的现象，通常改用一些非常直观的现象去认识。

3.等效替代法：等效替代法是在保证某种效果（特性和关系）相同的前提下，将实际的、陌生的、复杂的物理问题和物理过程用等效的、简单的、易于研究的物理问题和物理过程代替来研究和处理的方法。

4.科学推理法：以可靠的事实为基础，以真实的实验为原型，通过合理的推理得出结论，深刻地揭示科学规律的本质。

二、测定性实验多种方法测电阻详见专题03多种方法测电功率详见专题07三、探究性实验1.探究串、并联电路中的电流关系说明：①应选择不同规格的灯泡进行实验；②一次实验结束后，应更换灯泡规格再重复实验，获得多组数据总结规律。

（1）串联：结论：在串联电路中，各处的电流都相等。

I总=I1=I2=∙∙∙=I n（2）并联：结论：在并联电路中，干路电流等于各支路电流之和。

I总=I1+I2+∙∙∙+I n2.探究串、并联电路中的电压关系说明：①应选择不同规格的灯泡进行实验；②一次实验结束后，应更换灯泡规格再重复实验，获得多组数据总结规律。

（1）串联：结论：串联电路中电源两端电压等于各用电器两端电压之和。

U电= U总=U1+U2+∙∙∙+U n（2）并联：结论：并联电路中电源两端电压与各支路用电器两端的电压相等。

U电=U1=U2=∙∙∙=U n3.探究影响导体电阻大小的因素实验方法：（1）转换法：灯泡的亮度或电流表的示数表示金属丝电阻的大小，后者更准确，但要注意避免出现电源短路的情况。

专题10 设计电路考点一：设计电路1．（2019•香坊区三模）如图，是四开门电冰箱上方保鲜室内照明灯的电路元件符号，保鲜室内的照明灯由上方两个门控开关控制（门打开开关闭合），当保鲜室的任何一个门打开或两个门都打开，照明灯都亮：而只有当两个门都关闭后，照明灯才熄灭，请连出此电路图。

2．（2019•香洲区一模）延时开关常用于控制楼道照明。

为方便找到开关的位置，延时开关面板上配有电阻很大、功率很小的指示灯。

指示灯在开关闭合、照明灯发光时会自动熄灭；在开关断开、照明灯熄灭时又会自动发光。

请按要求在图中设计出楼道的照明电路。

3．（2019•文登区一模）小明用两个单刀双掷开关、一个LED灯和若干导线，设计一个楼梯灯电路，无论是楼上或楼下都可以任意开灯、灭灯；既可以在楼下开灯到楼上灭灯，又可以在楼上开灯到楼下灭灯。

请你根据小明设计的意图，用笔画线代替导线完成如图所示的电路。

4．（2020•白云区一模）如图所示，一个有冷、热两挡的电吹风，其中A是电动机，B 是电热丝，C是接照明电路的插头，请你按照要求完成电路图。

要求：只闭合S1吹冷风；只闭合S2既无风又不发热；同时闭合S1、S2吹热风。

5．（2020•郑州一模）在抗击新型冠状病毒的斗争中，医务人员随时需要看护患者，需要设计一种呼唤电路（注意：多少张床就有多少盏电灯，图中只画出两盏）。

要求：患者只需要按下床头按键，电铃响，对应的电灯发光，医护人员在值班室就可以判断出哪个病床患者有需求，开关S1控制L1，开关S2控制L2，请按要求完成电路。

6．（2020•青岛一模）家用电冰箱的用电部分主要是电动压缩机和照明灯泡。

其中，照明灯泡L受门控开关的S1控制，电动压缩机M（用电动机表示）受温控开关S2的控制，要求它们既能单独工作又能同时工作。

根据上述要求设计电路。

7．（2020•金平区一模）高铁每节车厢都有两间洗手间，只有当两间洗手间的门都关上时（每扇门的插销都相当于一个开关），车厢中指示牌内的指示灯才会发光提示旅客“洗手间有人”。

2021中考物理二轮考点过关：家庭电路作图考点梳理1．家庭电路的连接（1）进户线：一根叫火线，另一根叫零线，火线与零线之间有220V电压，它们构成家庭电路的电源．火线与大地之间也有220V电压，零线与大地之间没有电压．（2）电能表：测量用户在一段时间内消耗的电能，装在干路上，进户线首先要进入电能表．（3）总开关：控制整个家庭电路的通断，要安装在保险丝前．（4）保险丝：由电阻率较大、熔点较低的铅锑合金制成；当电路中电流过大时能自动熔断而切断电路；要串联在电路中，不能用铜丝代替；保险丝的选择原则是保险丝的额定电流等于或稍大于电路中最大正常工作电流．如果只有一根保险丝要安装在火线上．（5）插座与用电器：插座给可移动家用电器供电，插座并联在电路中，两孔插座右火左零，三孔插座右火左零上地．用电器是直接利用电能工作的器件，各用电器之间通常是并联的．（6）开关与灯泡：开关与被控制的灯泡串联．为了安全，开关应接在火线与灯泡的尾部金属体之间．强化练习1．请在图中用笔画线代替导线将控制灯泡的开关、灯泡以及三孔插座接入家庭电路中。

2．如图所示家庭电路，两只“220V 40W”的吊灯由开关S控制，它们都能够正常发光，墙上有一个固定插座。

请把电路图连接完整。

3．请在图中用笔画线代替导线，将电灯、开关接入家庭电路中。

4．家庭电路中有一带开关的电灯，请在如图所示的虚线框内，填上正确的电路元件符号，使其符合安全用电原则。

5．请用笔画线代替导线，将如图所示的家庭电路连接完整。

6．如图所示，请在虚线框内填入灯泡与开关的符号，并将三孔插座正确连入电路。

7．把图中的拉线开关、白炽灯泡和三孔插座正确地连入家庭电路中（要求开关控制白炽灯泡）。

8．请将如图中的电灯、开关和插座（插座准备接大功率用电器）接入家庭电路中。

9．请在图中用笔画线代替导线，将电灯、开关连入照明电路中。

10．如图所示部分家庭电路，要求开关只控制灯泡发光，请用笔画线代替导线将家庭电路连接完整。

专题10 几何作图题1．（2020秋•海淀区校级期末）如图，已知P，A，B三点，按下列要求完成画图和解答．（1）作直线AB；（2）连接PA，PB，用量角器测量APB∠=90︒．（3）用刻度尺取AB中点C，连接PC；（4）过点P画PD AB⊥于点D；（5）根据图形回答：在线段PA，PB，PC，PD中，最短的是线段的长度．理由：．【解答】解：（1）如图，直线AB即为所求作．（2）测量可知，90∠=︒．APB故答案为：90︒．（3）如图，线段PC即为所求作．（4）如图，线段PD即为所求作．（5）根据垂线段最短可知，线段PD最短，故答案为：PD，垂线段最短．2．（2020秋•昌平区期末）如图，已知一条笔直的公路l的附近有A，B，C三个村庄．（1）画出村庄A，C间距离最短的路线；（2）加油站D在村庄B，C所在直线与公路l的交点处，画出加油站D的位置；（3）画出村庄C到公路l的最短路线CE，作图依据是垂线段最短，测量CE≈cm （精确到0.1)cm；如果示意图与实际距离的比例尺是1:200000，通过你的测量和计算，在实际中村庄C到公路l的最短路线为km．【解答】解：（1）如图，线段AC即为所求作．（2）如图，点D即为所求作．（3）如图，线段CE即为所求作．作图依据是垂线段最短，测量 1.6≈．CE cm设实际中村庄C到公路l的最短路线为xcm．则有1:200000 1.6:x=，解得320000() 3.2()==，x cm km答：实际中村庄C到公路l的最短路线为3.2km．故答案为：垂线段最短，1.6cm，3.2．3．（2020秋•东城区期末）作图题：（截取用圆规，并保留痕迹）如图，平面内有四个点A，B，C，D．根据下列语句画图：①画直线BC；②画射线AD交直线BC于点E；③连接BD，用圆规在线段BD的延长线上截取DF BD=；④在图中确定点O，使点O到点A，B，C，D的距离之和最小．【解答】解：①如图，直线BC即为所求；②如图，射线AD，点E即为所求；③如图，线段BD，线段DF即为所求；④如图，点O即为所求．4．（2020秋•海淀区校级期末）作图题：如图，A为射线OB外一点．（1）连接OA；（2）过点A画出射线OB的垂线AC，垂足为点C；（可以使用各种数学工具）（3）在线段AC的延长线上取点D，使得CD AC=；（4）画出射线OD；（5）请直接写出上述所得图形中直角有4个．【解答】解：（1）如图，OA即为所求；（2）如图，射线OB，垂线AC即为所求；（3）如图，点D即为所求；（4）如图，射线OD即为所求；（5）观察图形可知：直角有4个．故答案为：4．5．（2020秋•门头沟区期末）如图，已知平面上三点A，B，C，请按要求画图，并回答问题：（1）画直线AC，射线BA；（2）延长AB到D，使得BD AB=，连接CD；（3）过点C画CE AB⊥，垂足为E；（4）通过测量可得，点C到AB所在直线的距离约为 2.5cm（精确到0.1)cm．【解答】解：（1）如图所示，线AC，射线BA即为所求；（2）如图所示，BD，CD即为所求；（3）如图所示，CE即为所求；（4）点C到AB所在直线的距离约为2.5cm．故答案为：2.5．6．（2020秋•怀柔区期末）如图，测绘平面上有两个点A，B．应用量角器和圆规完成下列画图或测量：（1）连接AB，点C在点B北偏东30︒方向上，且2BC AB=，作出点C（保留作图痕迹）；（2）在（1）所作图中，D为BC的中点，连接AD，AC，画出ADC∠的角平分线DE交AC于点E；（3）在（1）（2）所作图中，用量角器测量BDE∠的大小（精确到度）．【解答】解：（1）如图，线段AC即为所求作．（2）如图，射线DE即为所求作．（3）利用量角器测量可得，115∠=︒．BDE7．（2020秋•石景山区期末）如图，点A，B，C是同一平面内三个点，借助直尺、刻度尺、量角器、圆规按要求画图，并回答问题：（1）画直线AB；（2）连接AC并延长到点D，使得CD CA=；（3）画CAB∠的平分线AE；（4）在射线AE上作点M，使得MB MC+最小，并写出此作图的依据是两点之间线段最短；（5）通过画图、测量，点C到直线AB的距离约为cm（精确到0.1)cm．【解答】解：（1）如图，直线AB即为所求；（2）如图，线段CD即为所求；（3）如图，AE即为所求；（4）如图，点M即为所求；作图的依据是两点之间，线段最短，故答案为：两点之间，线段最短；（5）通过画图、测量，点C到直线AB的距离约为1.2cm，故答案为：1.2．8．（2020秋•延庆区期末）（1）如图1，平面上有3个点A，B，C．①画直线AB；画射线BC；画线段AC；②过点C作AB的垂线，垂足为点D；③量出点C到直线AB的距离约为 1.1cm．（2）尺规作图：已知：线段a，b，如图2．求作：一条线段MN，使它等于2a b-．（不写作法，保留作图痕迹）【解答】解：（1）如图1所示：①直线AB；射线BC；线段AC，即为所求；②CD即为所求；③点C到直线AB的距离约为：1.1cm；故答案为：1.1；（2）如图2所示：MN即为所求．9．（2020秋•顺义区期末）如图，已知平面内三点A，B，C，按要求完成下列问题：（1）画直线AB，射线CA，线段BC；（2）延长线段BC到点D，使CD BC=；（3）若线段6BD=，则线段BC的长为3．【解答】解：（1）如图，直线AB ，射线CA ，线段BC 即为所求；（2）如图，线段CD 即为所求；（3）CD BC =，132BC BD ∴==， 答：线段BC 的长为3．故答案为：3．10．（2020秋•海淀区校级期末）如图，已知点A 、B 、O 、M ，请按下列要求作图并解答．（1）连接AB ；（2）画射线OM ；（3）在射线OM 上取点C ，使得2OC AB =（尺规作图，保留作图痕迹）；（4）在图中确定一点P ，使点P 到A 、B 、O 、C 四个点的距离和最短，请写出作图依据．【解答】解：（1）如图，AB 为所作；（2）如图，射线OM 为所作；（3）如图，点C 为所作；（4）如图，点P 为所作，作图依据为：两点之间线段最短．11．（2020秋•海淀区校级期末）如图，已知点A，B，C，D，请按要求画出图形．（1）画直线AB和射线CB；（2）连接AC，并在直线AB上用尺规作线段AE，使2=．（要求保留作图痕迹）AE AC若4AB=，则BE=17或1．AC=，9（3）在直线AB上确定一点P，使PC PD+的和最短，并写出画图的依据．【解答】解：（1）如图，直线AB和射线CB即为所求；（2）如图，线段AE或AE'即为所求，4AC=，∴==，9AB=，AE AC28BE AE AB∴=+=+=；8917或981'=-'=-=．BE AB AE故答案为：17或1；（3）如图，点P即为所求；画图的依据是：两点之间，线段最短．12．（2020秋•海淀区期末）已知：如图，//⊥．求证：∠，CN CMAB DE，CM平分BCE∠=∠．2B DCN【解答】证明：//AB DE，∠=∠，∴∠+∠=︒，B BCD180B BCE∠，CM平分BCE∴∠=∠，12⊥，CN CM∠+∠=︒，∴∠+∠=︒，14902390∴∠=∠，3434BCD∠+∠=∠，∴∠=∠．B DCN213．（2019秋•海淀区期末）如图，已知平面上三点A，B，C，请按要求完成下列问题：（1）画射线AC，线段BC；（2）连接AB，并用圆规在线段AB的延长线上截取BD BC=，连接CD（保留画图痕迹）；（3）利用刻度尺取线段CD的中点E，连接BE．【解答】解：如图所示：（1）射线AC，线段BC即为所求作的图形；（2）线段AB及延长线，点D以及线段CD即为所求作的图形；（3）点E以及线段BE即为所求作的图形．14．（2019秋•昌平区期末）如图：A，B，C是平面上三个点，按下列要求画出图形．（1）作直线BC，射线AB，线段AC．（2）取AC中点D，连接BD，量出ACB∠的度数（精确到个位）．（3）通过度量猜想BD和AC的数量关系．【解答】解：（1）如图所示：直线BC，射线AB，线段AC即为所求；（2）如图，45ACB∠=︒；（3）BD和AC的数量关系为：12BD AC=．15．（2019秋•朝阳区期末）如图，A，B表示笔直的海岸边的两个观测点，从A地发现它的北偏东75︒方向有一艘船，同时，从B地发现这艘船在它的北偏东60︒方向．（1）在图中画出这艘船的位置，并用点C表示；（2）若此图的比例尺为1:100000，你通过画图、测量，计算出这艘船到海岸线AB的实际距离（精确到1千米）．【解答】解：（1）如图所示；（2）通过测量3AB cm=，此图的比例尺为1:100000，AB∴的实际距离3=千米，过C 作CD AB ⊥于D ，907515CAB ∠=︒-︒=︒，906030CBD ∠=︒-︒=︒，15ACB CBD CAB ∴∠=∠-∠=︒，3BC AB ∴==，1 1.52CD BC ∴==千米， 答：这艘船到海岸线AB 的实际距离为1.5千米．16．（2019秋•东城区期末）按照下列要求完成作图及问题解答：如图，已知点A 和线段BC ．（1）连接AB ；（2）作射线CA ；（3）延长BC 至点D ，使得2BD BC =；（4）通过测量可得ACD ∠的度数是 152︒ ；（5）画ACD ∠的平分线CE ．【解答】解：如图，就是按照要求完成的作图：（4）通过测量可得ACD ∠的度数是152︒．故答案为：152︒．17．（2019秋•弥勒市期末）一个角的余角比它的补角的23少40︒，求这个角的度数． 【解答】解：设这个角为x ，则 29040(180)3x x ︒-+︒=︒-， 解得30x =︒．答：这个角的度数为30︒．18．（2020秋•海勃湾区期末）下面是小明某次作图的过程．已知：如图，线段a，b．作法：①画射线AP；②用圆规在射线AP上截取一点B，使线段AB a=；③用圆规在射线AP上截取一点C，使线段BC b=．根据小明的作图过程．（1）补全所有符合小明作图过程的图形：（保留作图痕迹）（2）线段AC=a b+或a b-．（用含a，b的式子表示）【解答】解：（1）如图所示：线段AB和BC即为所求作的图形．（2）线段AC a b-．=+或a b故答案为：a b-．+或a b19．（2019秋•延庆区期末）已知：四点A，B，C，D的位置如图所示，（1）根据下列语句，画出图形．①画直线AB、直线CD，交点为O；②画射线AC；（2）用适当的语句表述点A与直线CD的位置关系．【解答】解：（1）如图所示：①直线AB、直线CD即为所求作的图形；②射线AC即为所求作的图形；（2）点A与直线CD的位置关系为：点A在直线CD外．20．（2019秋•延庆区期末）如图，某勘测队在一条近似笔直的河流l两边勘测（河宽忽略不计），共设置了A，B，C三个勘测点．（1）若勘测队在A点建一水池，现将河水引入到水池A中，则在河岸的什么位置开沟，才能使水沟的长度最短？请在图1中画出图形；你画图的依据是垂线段最短．（2）若勘测队在河岸某处开沟，使得该处到勘测点B，C所挖水沟的长度之和最短，请在图2中画出图形；你画图的依据是．【解答】解：（1）如图1中，作AH 直线l于H，线段AH即为所求．依据：垂线段最短．（2）如图2中，连接BC交直线l于点P，点P即为所求．依据：两点之间，线段最短．21．（2019秋•顺义区期末）按照下列要求完成画图及相应的问题解答（1）画直线AB；（2）画BAC ∠；（3）画线段BC ；（4）过C 点画直线AB 的垂线，交直线AB 于点D ；（5）请测量点C 到直线AB 的距离为 1.5 cm （精确到0.1)cm ．【解答】解：如图所示：（1）直线AB 即为所求作的图形；（2）BAC ∠即为所求作的图形；（3）线段BC 即为所求作的图形； （4）过C 点画直线AB 的垂线，交直线AB 于点D ，CD 即为所求作的图形；（5）点C 到直线AB 的距离为1.5cm ．故答案为1.5cm ．22．（2019秋•顺义区期末）已知线段AB ，延长AB 到C ，使14BC AB =，D 为AC 的中点， 若3BD cm =，求AB 的长 ．【解答】解： 设BC xcm =，则4AB x =，45AC x x x =+=， 由图可得5532x x x --=， 解得：2x =，则4248x =⨯=．即AB 的长为8cm ．23．（2019秋•密云区期末）如图，点O 在直线AB 上，OC 是AOD ∠的平分线．（1）若50BOD ∠=︒，则AOC ∠的度数为 65︒ ．（2）设BOD ∠的大小为α，求AOC ∠（用含α的代数式表示）．（3）作OE OC ⊥，直接写出EOD ∠与EOB ∠之间的数量关系．【解答】解：（1）点O 在直线AB 上，180AOD BOD ∴∠+∠=︒，50BOD ∠=︒，180********AOD BOD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， OC 是AOD ∠的平分线，111306522AOC AOD ∴∠=∠=⨯︒=︒， 故答案为：65︒；（2）点O 在直线AB 上，180AOD BOD ∴∠+∠=︒，BOD α∠=，180180AOD BOD α∴∠=︒-∠=︒-， OC 是AOD ∠的平分线，111(180)90222AOC AOD αα∴∠=∠=⨯︒-=︒-； （3）①OE 在AB 的上面，如图，EOD EOB ∠=∠；OE 在AB 的下面，如图，EOD EOB ∠=∠．24．（2019秋•密云区期末）如图，已知线段OA 、OB ．（1）根据下列语句顺次画图①延长OA 至C ，使得AC OA =；②画出线段OB 的中点D ，连接CD ；③在CD 上确定点P ，使得PA PB +的和最小．（2）写出③中确定点P的依据两点之间线段最短．【解答】解：如图，（1）①延长OA至C，使得AC OA=；②线段OB的中点D，连接CD；③在CD上确定点P，使得PA PB+的和最小；（2）确定点P的依据是：两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短．25．（2019秋•房山区期末）已知A，B，C三点的位置如图所示，用三角尺或直尺等按要求画图：（1）画直线AC，线段BC和射线BA；（2）画出点A到线段BC的垂线段AD；（3）用量角器测量ABC∠的度数是70︒．（精确到度）【解答】解：如图，（1）直线AC，线段BC和射线BA即为所求作的图形；（2）点A到线段BC的垂线段AD；（3）测量ABC ∠的度数为70︒．故答案为70︒．26．（2019秋•怀柔区期末）如图，86CAB ABC ∠+∠=︒，AD 平分CAB ∠，与BC 边交于点D ，BE 平分ABC ∠，与AC 边交于点E ．（1）依题意补全图形，并猜想DAB EBA ∠+∠的度数等于 43︒ ；（2）填空，补全下面的证明过程． AD 平分CAB ∠，BE 平分ABC ∠，12DAB CAB ∴∠=∠，EBA ∠= ． （理由： )86CAB ABC ∠+∠=︒，DAB EBA ∴∠+∠= (⨯∠ +∠ )= ︒．【解答】解：（1）如图，线段BE 即为所求．猜想43DAB EBA ∠+∠=︒． 故答案为43︒．（2）AD 平分CAB ∠，BE 平分ABC ∠，12DAB CAB ∴∠=∠，12EBA CBA ∠=∠． （理由：角平分线的定义）86CAB ABC ∠+∠=︒，1()432DAB EBA CAB CBA ∴∠+∠=⨯∠+∠=︒． 故答案为12CBA ∠，角平分线定义，12，CAB ，CBA ，43︒．27．（2019秋•怀柔区期末）如图，已知A ，B ，C ，D 四点，按要求画图：（1）画线段AB ，射线AD ，直线AC ；（2）连接点B，D与直线AC交于点E；（3）连接点B，C，并延长线段BC与射线AD交于点O；（4）用量角器测量AOB∠的大小（精确到度）．【解答】解：如图所示：（1）线段AB，射线AD，直线AC即为所求作的图形；（2）连接点B，D与直线AC交于点E；（3）连接点B，C，并延长线段BC与射线AD交于点O；（4）用量角器测量AOB∠的大小为42︒．28．（2019秋•石景山区期末）如图，平面上有三个点A，B，C．（1）根据下列语句按要求画图．①画射线AB，用圆规在线段AB的延长线上截取BD AB=（保留作图痕迹）；②连接CA，CD；③过点C画CE AD⊥，垂足为E．（2）在线段CA，CE，CD中，线段CE最短，依据是．【解答】解：（1）画出图形，如图所示．（2）在线段CA，CE，CD中，线段CE最短，依据是垂线段最短，故答案为：CE、垂线段最短．29．（2019秋•大兴区期末）选择合适的画图工具按要求作图并回答问题：已知：如图点A，点B，点C，（1）作直线AB；（2）作线段AC；（3）在点C的东北方向有一点D，且点D在直线AB上，画出点D；（4）作射线CE交AB于点E，使得ACE A∠=∠；（5）线段EA与线段EC的大小关系是相等．【解答】解：（1）如图所示，直线AB即为所求；（2）如图所示，线段AC嘉文四世；（3）如图所示，点D即为所求；（4）如图所示，ACE∠即为所求；（5）AE CE=，故答案为：相等．30．（2019秋•门头沟区期末）如图，在同一平面内有三点A、B、C．（1）作射线CA，连接BC；（2）延长线段BC，得到射线CD，画ACD∠平分线CE；（3）在射线CD上取一点F，使得CF AC=；（4）在射线CE上作一点P，使PF PA最小；（5）第（4）步作图的依据是两点之间，线段最短．【解答】解：（1）如图所示，射线CA，线段BC即为所求；（2）如图所示，射线CD，射线CE即为所求；（3）如图所示，点F即为所求；（4）如图所示，点P即为所求；（5）第（4）步作图的依据是：两点之间，线段最短．故答案为：两点之间，线段最短．。

中考物理一轮复习专题10 物质——质量与密度一、单选题1．（2022·徐州）太空授课时，王亚平用冬奥会吉祥物“冰墩墩”做演示，冰墩墩从地面被带到太空，它的质量（）A．比在地面时大B．和在地面时相同C．比在地面时小D．变为零2．（2021八上·巴彦期末）在测量酱油的密度实验中有下列操作步骤，没有必要的是（）①测烧杯和酱油的总质量②将一部分酱油倒入量筒中并读出示数③测此时量筒和酱油的总质量④测倒出酱油后烧杯和剩余酱油的质量A．①B．②C．③D．④3．（2021八上·朝阳期末）中国剪纸艺术是我国第一批国家级非物质文化遗产，在剪纸过程中，纸不变的是（）A．形状B．质量C．体积D．密度4．（2021八上·海淀期末）甲、乙两球的质量相等，两球中有一个是空心的，另一个是实心的。

甲球是由铝制成的，乙球是由某种铜合金制成的。

甲球的体积为40cm3，乙球的体积为10cm3，已知=2.7g/cm3，ρ铜合金=8.1g/cm3。

下列说法正确的是（）ρ铝A．甲球的质量为108g B．乙球的质量为81gC．甲球实心部分的体积为10cm3D．乙球空心部分的体积为4cm35．（2022八下·东台月考）在“测量石块的密度”的实验时，测出几组数据，根据这些数据绘出图象，能正确表示“密度与质量的关系”的图象是（）A．B．C．D．6．（2022八下·盐都月考）规格相同的瓶子装了不同的液体，分别放在如图甲所示的天平左右盘后，其情形如图乙所示。

下列说法正确的是（）A．甲瓶液体质量较小B．乙瓶液体质量较小C．两瓶液体密度相等D．只把甲、乙两瓶对调位置，天平横梁仍然平衡二、多选题7．（2021八上·路北期末）关于质量和密度，下列说法不正确的是（）A．从地球带到月球的铁块质量会变小B．同一物体状态发生变化，质量和密度均不变C．氧气罐中的氧气用去一半，质量减小一半，密度也减小一半D．水从0℃升高到4℃的过程中，密度逐渐变小8．（2021八上·金牛期末）三个质量和体积均不相等的铁球，铜球和铅球，经过测量发现，体积铁球最大，质量铅球最大，质量与体积之比铜球最大。

学习资料专题10杠杆作图及计算力臂是初中物理中一个重要的知识点,是学习杠杆平衡的的一个重要概念,而杠杆平衡条件计算又是另一个重要考点。

在各省市中考中画力臂、利用杠杆平衡条件计算都是常常出现的考题。

一、力臂：1、力臂的定义：力臂是从支点到力的作用线的距离，不是从支点到力的作用点的距离。

2、力臂的物理意义是：表示作用在杠杆上的力的方向对杠杆转动效果的影响.3、作用在杠杆上的一个力的作用点不变，力的方向改变时，它的力臂一般要改变。

4、力臂可能与杠杆重合.二、画力臂的步骤：（1）找支点:具体的方法是“转一转"——不管杠杆是在静止时，还是在匀速转动时，设想杠杆在动力的作用下转动一个较小的角度，杠杆上瞬时不动的那个点就是支点。

(2）画力的作用线：在表示动力或阻力的线段上,根据实际需要,把线段正向或反向延长.（3)作垂线段：过支点作动力作用线或阻力作用线的垂线,支点和垂足的线段就是动力臂或阻力臂，并把它们用虚线表示,标出垂直符号。

（4）标长和短：用大括号把动力臂或阻力臂括上,在大括号的旁边标上动力臂的符号L 1或阻力臂的符号L 2.画力臂的口诀：一找点，二画线，三作垂线段，四标长和短。

三、画杠杆的“最小力"的技巧:（1）①画连线，连接支点与动力作用点(或离支点最远的点）；②作垂线，作连线的垂线；③标方向，确定力的方向．（2）作用在杠杆上力的大小,可以根据杠杆平衡条件进行判断：由F 1L 1＝F 2L 2得，动力2211F L F L ，动力臂L 1越长,动力F 1越小. 四、利用杠杆平衡条件计算:1、题型分析(1）已知F1、F2、L1、L2四个量中的三个计算第四个量,通过将F1l1＝F2l2变形，再直接带入求解即可。

(2）已知F2L2一定，分析F1与L1之间的关系，常常用来计算或画最小力，关键是找到最大动力臂:①当动力作用点确定后，支点到动力作用点的线段即为最大动力臂；②动力作用点没有规定时，应看杠杆上哪一点离支点最远,则这点到支点的距离即为最大动力臂.（3)杠杆原来平衡，改变其中的一个要素，判断杠杆能否平衡或如何平衡操作才能使杠杆平衡：关键看ΔF1L1（动力与动力臂乘积变化量)与ΔF2L2的（阻力与阻力臂乘积变化量)大小问题。

专题10简单机械一、单选题1．（2021·新疆中考真题）如图所示，用剪刀将一张纸片缓慢地一刀剪断的过程中，阻力臂l阻和动力F动的变化情况是（）A．l阻不变，F动变大B．l阻不变，F动不变C．l阻变大，F动变大D．l阻变大，F动不变【答案】C【详解】由题意可知，在用剪刀将一张纸片缓慢地一刀剪断的过程中，剪刀与没有剪断的纸，接触位置在不断向前移动，支点是剪刀中间那个位置，那么纸对剪刀的作用力是阻力，这个力的力臂是阻力臂，从图中可以看到，阻力臂在不断变大，即l阻变大，这个阻力可以看作是大小不变，人手在剪刀上出的力是动力，对应的是动力臂，从图中可以看到，动力臂大小不变，这个缓慢剪断的过程中，可把剪刀看作处于平衡状态，根据杠杆的平衡条件，可得F l F l阻阻动动F大小不变，l阻在变大，l动大小不变，则F动在变大。

阻故选C。

2．（2021·江苏扬州市·中考真题）有关蜡烛跷跷板的小制作，下列说法正确的是（）A．选用越粗的蜡烛效果越好B．转轴位置离蜡烛重心越远越好C．为防止蜡烛摆动过大而翻转，可使转轴位置处于蜡烛重心上方D．为防止蜡烛摆动过大而翻转，可将蜡烛两端的下侧面削去一些【答案】C【详解】A．蜡烛越粗，燃烧越慢，蜡烛摆动效果越不明显。

故A错误；B．转轴位置离蜡烛重心不是越远越好，太远蜡烛可能不摆动。

故B错误；CD．为防止蜡烛摆动过大而翻转，可使转轴位置处于蜡烛重心上方或者可将蜡烛两端的上侧面削去一些。

故C正确，D错误。

故选C。

3．（2021·浙江温州市·中考真题）停放自行车时，若要从如图四点中选择一点施加竖直向上的力，将后轮略微提起。

其中最省力的点是（）A．A点B．B点C．C点D．D点【答案】D【详解】后轮被提起时，前轮是支点，若要从如图四点中选择一点施加竖直向上的力，将后轮略微提起，要使提力最小，其力臂应最大，故此点应距离支点的水平距离最大，A、B、C、D四点中，D点作为动力作用点时动力臂最长，最省力。

中考光学作图题专题训练 (10)1．如图：S为蜡烛，S＇为蜡烛通过凸透镜所成的像。

请根据凸透镜的特性，画图确定并标出凸透镜的光心O点及右侧焦点F的位置。

（__________）2．如图所示，一束激光a斜射向半圆形玻璃砖圆心O，完成光进入和射出玻璃的折射光路图。

（____）3．请在如图中画出折射光线的大致位置；（____）4．如图，一束光从水里射向空气，请在图中画出它的反射光线及折射光线的大致位置。

（_______）5．如图，一束入射光线AO经平面镜反射后沿OB的方向射出，请在图中画出平面镜的位置。

（______）6．画出反射光线。

（____）7．请画出图中入射光线A的反射光线B，并标明反射角的大小。

（________）8．太阳光线跟水平方向成30°角，为了使反射光线水平行进，请在如图中画出平面镜的位置并标出反射角的度数．_________9．图是两条光线在空气中的传播情况，请在图中画出两条光线沿直线传播后交于一点的光路图。

（____）10．如图所示，一束光从水中斜射到水面，请画出反射光线和折射光线的大致方向．11．( ·南充)如图，在舞蹈室的墙面上装有一块平面镜，王老师用一激光笔从S点照向镜面，在地面上P点看到一光斑，请用平面镜成像特点完成光路图。

12．（1）如图所示，一束水平光线从空气进入玻璃，请作出反射光线和折射光线；（_________________）（2）补全下图的光路；（_________________）（3）如图所示，A′B′是AB在平面镜中所成的像，请画出平面镜的位置（保留作图痕迹）。

（_______________________）13．如图所示，请画出由烛焰上S点发出的两条光线经过凸透镜后的折射光线，并画出发光点S的像点S′（F是凸透镜的焦点，O是凸透镜的光心，光线SP平行于主光轴）。

14．完成光路图（______）15．完成图中的光路图。

（____）16．( ·抚顺)如图所示，有一点光源S发出的一条光线经平面镜反射后，反射光线经过凸透镜上方的焦点。

专题10 磁现象的作图题抓住考点学1.安培定则：用右手握住通电螺线管,使四指弯曲与电流方向一致,那么大拇指所指的那一端是通电螺线管的N极。

2.安培定则考法:（1）已知螺线管的导线绕法和电流方向,标出螺线管两端的N、S极；（2）已知螺线管的导线绕法和螺线管两端的N、S极,标出电流方向；（3）已知电流方向、螺线管两端的N、S极,画出螺线管的导线绕法。

3.抓住"右手螺旋定则"三个要点：①伸出右手；②四指与电流方向一致；③大拇指所指为N极方向。

根据考点考【例题1】（2020山东泰安）如图所示,根据小磁针静止时的指向,在通电螺线管的电路中标出螺线管的N极和电源的正极。

【答案】【解析】小磁针的左端是N极,由异名磁极相互吸引可知螺线管的右端是S极,左端是N极,由安培定则可知电源的右端是正极,左端是负极。

【例题2】（2019四川内江）请在通电螺线管两端的括号内标出N,S极,并画出磁感线的方向【答案】如图所示。

【解析】用右手握住螺线管,四指指向电流方向,大拇指所指的方向是通电螺线管的N极,所以右端是N极,左端是S极,磁体周围的磁感线从N极出发回到S极,则磁体外部的磁感线方向向左。

【例题3】（2020四川达州）如图所示是一电磁铁和条形磁铁相互作用时的磁场分布,请根据图中静止的小磁针的N、S极标出条形磁铁左端的磁极、电源的正极（电源的正极用“+”表示）和A点磁感应线的方向。

【答案】如图所示。

【解析】根据图中静止的小磁针的N、S极,由磁极间的相互作用可知,条形磁铁左端为N极；由磁感线的形状可知,通电螺线管的右端和条形磁铁左端为同名磁极,所以通电螺线管的右端为N极,结合安培定则可知,电流从电源的左端流出,所以电源的左端为正极；根据以上分析,结合磁感线分布的特点得出A点的磁感线方向为向下。

结合考点练1．（2019贵州省黔东南州）将图中的电磁铁连入你设计的电路中（在方框内添加电源和滑动变阻器）,使得小磁针静止时如图所示,且向右移动滑动变阻器滑片时,电磁铁的磁性变弱。

2019年化学中考试题专题汇编（一）专题10 图表题与选择性计算题8．（2019·大庆市）下列图象不能正确反映其变化过程的是（）A．镁在装有空气的密闭容器内燃烧B．电解水生成气体的体积C．浓硫酸长期露置在空气中D．向接近饱和的NaCl溶液中加入固体NaC113．（2019·岳阳市）（3分）下列图象中有关量的变化趋势正确的是（）A．向一定浓度的NaOH溶液中加水稀释B．向一定浓度的H2SO4溶液中加水稀释C．向一定质量的锌粒中加入稀盐酸D．向接近饱和的KNO3溶液中加入KNO3晶体15．（2019·盐城市）工业上，高温煅烧石灰石可制取生石灰（）。

现有100g CaCO3样品，高温煅烧一段时间后，剩余固体的质量为67g。

下列推断不符合客观事实的是（）A．生成CO2的质量是33gB．生成物中CaO的质量是42gC．剩余固体中钙元素的质量分数大于40%D．剩余固体中碳元素与氧元素的质量之比大于1：49. （2019·呼和浩特市）下列图像分别对应四个变化过程，不能正确反映对应变化关系的是A.气体物质的溶解度与温度和压强的关系B.向等质量的氧化锌和氢氧化锌中分别加入相同浓度的稀盐酸至过量C.加热一定质量的氯酸钾和二氧化锰的混合物D.向一定量的盐酸和硫酸钾混合溶液中不断滴加氢氧化钡溶液18．（2019·潍坊市）向m克AgNO3、Cu（NO3）2和Fe（NO3）2的混合溶液中加入Zn，充分反应后过滤，所得滤液质量仍为m克。

下列说法正确的是（）A．滤渣中一定有Ag、Cu、Fe B．滤液中一定没有AgNO3C．滤液中一定含有Zn（NO3）2、Fe（NO3）2D．该过程至少发生了三个化学反应19．（2019·潍坊市）下列四个图象分别对应四个变化过程，其中正确的是（）A．一定量的饱和石灰水中加入氧化钙B．常温下，相同质量的锌和铁分别与足量的溶质质量分数相同的稀硫酸反应C．向硫酸和硫酸铜的混合溶液中滴加过量的氢氧化钠溶液D．向氢氧化钾溶液中不断加水，溶液的pH与加入水的质量关系1.（2019·烟台市）下列图象能正确反映其对应的实验操作的是（）A.电解水生成氢气和氧气B.分别向等质量的铁粉和锌粉中加入过量的完全相同的稀硫酸C.分别向等质量的块状和粉末状大理石中加入过量的完全相同的稀盐酸D.向盛有一定质量的和稀硫酸混合溶液的烧杯中逐滴加入NaOH溶液至过量2.（2019·烟台市）取一定质量的CaCO3高温灼烧一定时间，测得反应后剩余固体质量为8.8g，其中钙元素质量分数为50%，则反应放出CO2的质量为（）A. B. C. D. 5g11.（2019·陕西省）向一定质量的CuSO4溶液中滴加NaOH溶液一段时间后,改为滴加稀盐酸,所得溶液质量随加入试剂总体积的变化趋势，如图所示，下列有关说法不正确的是（ D ）A.b点时所加试剂一定是稀盐酸B.加入试剂总体极为V1时，溶液中不存在NaOHC.c点时溶液中的溶质都是盐D.a点时溶液中一定不存在Cu2+46.（2019·上海市）一定量甲烷（CH4）在氧气中不完全燃烧，生成一氧化碳、二氧化碳和水的物质的量之比可能为A.1:1:2B.2:1:4C.2:3:6D.3:1:816．（2019·眉山市）将质量相等的镁粉和铁粉分别投入等质量等浓度的稀硫酸中，所得H2质量与稀硫酸质量关系曲线正确的是（）A．B．C．D．15．（2019·眉山市）某混合溶液中大量存在四种离子，其个数比为Fe3+：Cl﹣：SO42﹣：M＝1：3：2：4，则M为（）A．Ag+B．Cu2+C．Na+D．CO32﹣14．（2019·攀枝花市）已知：常温下CaCl2、NaCl的水溶液均呈中性。

28.28专题10：费马点
一．【知识要点】
二．【经典例题】
1．（1）如图①，△ABD 和△ACE 均为等边三角形，BE 、CE 交于 F ，连 AF ，求证：AF+BF+CF ＝CD ；（2）在△ABC 中，∠ABC ＝30°，AB ＝6，BC ＝8，∠A ，∠C 均小于 120°，求作一点 P ，使 PA+PB+PC 的值最小，试求出最小值并说明理由．
2.如图，在菱形ABCD 中，AB=6，∠ABC=150°，P 是对角线AC 上的一个动点，则PA+PB+PD 的最小值是____.
3.如图,边长为
2的正方形ABCD 内一点E,E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为_______. 【问题 】“费马点”
作法 作图 原理
△ABC 中每一内角都小
于120°，在△ABC 内求
一点P ，使 P A +PB +PC 值
最小． 所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以 AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连 CD 、BE 相交于 P ，点 P 即
为所求．
两点之间线段最短． P A +PB +PC 最小值＝CD ．
三．【题库】
【A】
【B】
1.如图，四边形ABCD是菱形，AB=6，且∠ABC=60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一
++的最小值为_______________.
点，则AM BM CM
【C】
【D】
方形的边长为_________________.。

专题10：读图作图题1、读图作图题（可能包括读图题、作图题等）主要包括草图、三视图、流程图、控制方框图等图的识读和作图。

不过主要还是草图、三视图的内容。

（其他图在其他的专题中讲解）2、草图答题规范：1）画一般人能看懂的图2）在平面图的基础上最好画立体图3）最好有文字注解3、三视图知识要点：主视图反映物体的长和高，左右和上下；俯视图反映物体的长和宽，左右和前后；左视图反映物体的高和宽，上下和前后。

三视图的投影规律主、俯视图长相等；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等。

画图要求：用铅笔、直尺等；先画轮廓线（细实线）再画粗实线。

4、流程图、方框图答题规范：1）画线条用直尺辅助2）画方框时要画长方形图注意：1）答题时要看清题目要求2）答完题时将辅助线擦除，但最好留有作图的痕迹练习：1、物体的正面投影，即物体由前向后投影所得的图形，通常反映物体的主要形状特征，称为（）。

A、左视图B、俯视图C、主视图D、右视图2、主视图反映物体的（），俯视图反映物体的（），左视图反映物体的（）。

A、高和宽B、长和高C、长和宽3、形体的视图只能表达其形状和结构的关系，而形体各结构块的真实大小和相对位置必须由尺寸来确定，因此，尺寸标注有如下基本要求（）。

A、正确B、完整C、清晰D、合理4、图样上的尺寸，以（）为单位时，不注写单位，否则必须注明。

Ａ、毫米（mm） B、厘米(cm) C、米（m） D 千米（km）、5、需要标注直径的形体主要有（）等旋转形体。

A、圆柱Ｂ、正三棱锥Ｃ、圆锥Ｄ、球体6、标注形体的尺寸时，应注意同一个尺寸一般只标注（）A 、一次 Ｂ、两次 Ｃ、三次 Ｄ、四次7、一般地，假想采用剖切平面的方法剖开物体，将处于观察者与剖切面之间的部分移去，将其余部分向投影面投影所得的图形称为（ ）A 、三视图 Ｂ、机械加工图 Ｃ、剖视图 Ｄ、电子线路图8、下面代表金属材料的剖面符号是（ ）9、一个完整的尺寸一般由尺寸线、尺寸界线、尺寸箭头和尺寸文字(即尺寸值)四部分组成。