北师大版八年级上第四章四边形性质复习资料汇总2012。11。14

新版北师大版八年级数学上册知识点全面总结第一章 勾股定理1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；即222a b c +=。

2．勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明（两种方法）。

3．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形。

满足222a b c +=的三个正整数称为勾股数。

常见勾股数：（3、4、5）（6、8、10）（5、12、13）（8、15、17）第二章 实数1．平方根和算术平方根的概念及其性质：（1）概念：如果2x a =，那么x 是a的平方根，记作：叫做a（2）性质：①当a ≥0≥0；当a＝aa =。

2．立方根的概念及其性质：（1）概念：若3a ，那么x是a；（2a =；②3a = 3．实数的概念及其分类：（1）概念：实数是有理数和无理数的统称；（2）分类：按定义分为有理数可分为整数的分数；按性质分为正数、负数和零。

无理数就是无限不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为分数。

4．与实数有关的概念： 在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。

因此，数轴正好可以被实数填满。

5（a ≥0，b ≥0） a ≥0，b ＞0）。

第三章 图形的平移与旋转1．平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

平移不改变图形大小和形状，改变了图形的位置；经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。

2．旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。

这点定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。

旋转不改变图形大小和形状，改变了图形的位置；经过旋转，图形点的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同和角度；任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；对应点到旋转中心的距离相等。

北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结第一章 勾股定理1、勾股定理（1）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c的平方，即222c b a =+（2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法）（3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数。

常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）……规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。

即当a 为奇数且a ＜b 时，如果b+c=a 2那么a,b,c 就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）……（2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组勾股数分别是：2n,n 2-1,n 2+1如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）……4、常见题型应用：（1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积……（2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积……（3）判定三角形形状： a 2 +b 2＞c 2锐角~，a 2 +b 2=c 2直角~，a 2 +b 2＜c 2钝角~判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状（4）构建直角三角形解题例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10。

求直角三角形的两直角边。

解：设两直角边为3x ，4x ，由题意知：()()34100916100251004222222x x x x x x +=+===，，，∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。

北师大版八年级上册数学整理总结第一章 勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。

第二章 实数一、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。

2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。

（|a|≥0）。

零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0。

3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

5、估算三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。

特别地，0的算术平方根是0。

四边形一、平行四边形．1．平行四边形的性质(1)平行四边形的邻角互补，对角相等．(2)平行四边形的对边平行且相等．(3)平行四边形的对角线互相平分．Ps：(1)夹在两条平行线间的平行线段相等．（2）中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

(3)若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分四边形的面积．2．平行四边形的判定(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．(5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．3．两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离．平行线间的距离处处相等．注意：(1)距离是指垂线段的长度，是正值．(2)两条平行线的位置确定后，它们的距离是定值，不随垂线段位置改变．(3)平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置．二、矩形1．矩形的定义：_________________________________2．矩形的性质：(1)矩形的四个角都是直角．(2)矩形的对角线相等．Ps：矩形是轴对称、中心对称图形．3．矩形的判定(1)定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．(2)定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．(3)定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．三、菱形1．定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．注意：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．2．菱形的性质(1)菱形的四条边都相等． (2)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．Ps ：(1)具有平行四边形的一切性质． (2)菱形是轴对称、中心对称图形．(3) 菱形面积＝底×高＝对角线乘积的一半．3．菱形的判定(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(2)定理1：四边都相等的四边形是菱形．(3)定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 四、正方形1．正方形的概念：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．从正方形的定义可知正方形既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，所以既是矩形又是菱形 的四边形是正方形．2．正方形的性质(1)正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．(2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等．(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个小的全等的 等腰直角三角形．(6)正方形一条对角线上一点和另一条对角线的两端距离相等．Ps ：(1)正方形是轴对称图形，有4条对称轴．(2)正方形的面积：若正方形的边长为a ，对角线长为b ，则222b a S ==． 3．正方形的判定(1)判定一个四边形为正方形主要根据定义，途径有两种：①先证它是矩形，再证它有一组邻边相等． ②先证它是菱形，再证它有一个角为直角．(2)判定正方形的一般顺序：①先证明它是平行四边形；②再证明它是菱形(或矩形)；③最后证明它是矩形(或菱形)．。

北师大版八上数学第四章知识点整理 一、平行四边形（一）定义和性质：1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、性质：平行四边形两对边平行平行四边形对边相等平行四边形的对角相等平行四边形是中心对称图形平行四边形对角线相互平分（二）判定：两组对角线互相平分的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形二、菱形（一）定义和性质： 1、定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2、性质：菱形的四条边都相等，两条对角线相互垂直平分，每一条对角线平分一组对角，面积等于对角线乘积的一半（二）判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形三、矩形：（一）定义和性质： 1、定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形 2、性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角（二）判定：对角线相等的平行四边形是矩形一个角是直角的平行四边形是矩形四、正方形：（一）定义和性质： 1、定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形 2、性质：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质边：四条边都相等且对边平行角：四个角都是直角对角线：对角线互相平分且垂直、相等（二）判定：一组邻边相等的矩形是正方形对角线互相垂直的矩形是正方形有一个角是90度的菱形是正方形对角线相等的菱形是正方形五、梯形和等腰梯形 （一）定义和性质：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。

等腰梯形同一底上的两个内角相等，对第 四 章 四 边 形 性 质 探角线相等。

（第四章 相似图形（课本）§1 线段的比（1）如果把大树和小颖的高分别看成如图4 -1所示的两条虚线段AB ，CD ，那么这两条线段的长度比是多少？（2）已知小颖的身高是1.6m ，大树的实际高度是多少？两条线段长度的比与所采用的长度单有没有关系？通过思考、交流，引导学得出：线段的长度比与所采用的长度单位无关如果选用一个长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比AB ：CD=m ：n ，或写成CD AB =nm .其中，线段AB ：CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把n m 表示成比值k ，那么CD AB =k ，或AB=k ·CD 此处对线段比的前项、后项概念作进一步解析。

初二四边形的性质归纳总结初中数学中，四边形是一个重要的图形概念。

它具有丰富的性质和特点，我们需要将这些性质进行归纳总结。

本文将以归纳总结的方式，系统地讲解初二四边形的性质，并呈现一些典型的例题，以帮助读者更好地理解四边形。

一、四边形的定义四边形是由四条线段依次连接形成的图形，其中相邻两条线段叫做边，相邻的边交于一个点，这个点称为顶点。

二、四边形的分类根据四边形的性质，我们可以将其分为以下几种类型：1. 矩形矩形是一种具有特殊性质的四边形，它的对角线长度相等，且各个角度都是直角。

矩形的性质包括：（1）对角线互相垂直；（2）对角线长度相等；（3）各个角度都是直角。

例题：已知矩形ABCD，其中AB = 5cm，BC = 3cm，求对角线AC的长度。

正方形是特殊的矩形，它的四条边长度相等，且各个角度都是直角。

正方形的性质包括：（1）对角线互相垂直；（2）对角线长度相等；（3）各个角度都是直角；（4）四条边长度相等。

例题：已知正方形ABCD，其中AB = 6cm，求对角线AC的长度。

3. 平行四边形平行四边形是一种具有特殊性质的四边形，它的对边平行且长度相等。

平行四边形的性质包括：（1）对边平行；（2）对边长度相等；（3）同一边上的内角互补。

例题：已知平行四边形ABCD，其中AB = 5cm，BC = 3cm，求对角线AC 的长度。

菱形是一种具有特殊性质的四边形，它的所有边长度相等，且对角线互相垂直。

菱形的性质包括：（1）对角线互相垂直；（2）对角线相等；（3）四条边长度相等。

例题：已知菱形ABCD，其中AB = 6cm，AC = 8cm，求BD的长度。

5. 梯形梯形是一种具有特殊性质的四边形，它的两边平行，而另外两边不平行。

梯形的性质包括：（1）两边平行；（2）同底内角互补。

例题：已知梯形ABCD，其中AB平行于CD，∠BAD = 60°，∠DCB = 120°，求∠ADC的度数。

6. 一般四边形一般四边形是指除上述类型外的所有四边形。

一、平行四边形：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“”表示。

平行四边形ABCD 记作“ABCD”。

1. 平行四边形性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线相互平分2. 平行四边形的判定（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形例：如图：ABCD 是平行四边形，∠ABC=70︒，BE 平分∠ABC 交AD 于E ，DF//BE ，交BC 于F ，求∠1的大小。

（2）对角线相互平分的四边形是平行四边形例：如图：四边形ABCD 中，AD=12，DO=BO=5，AC=26， ∠ADB=90︒。

求BC 的长和四边形ABCD 的面积。

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形例：在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD >BC ，BC ＝6cm ，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，P 以1 cm/S 的速度由A 向D 运动，Q 以2cm/S 的速度由C 向B 运动，问几秒时，四边形ABQP 是平行四边形？练习：如图，点D 、E 分别是∆ABC 的边AB 、AC 的中点，求证DE//BC ，且DE=12BC 。

★三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

二、特殊的平行四边形1. 菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形★菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线相互垂直平分，并且每条对角线平分一组对角 ★菱形的判定：（1）一组邻边相等的平行四边形叫做菱形例：已知如图，四边形ABCD 、四边形DEBF 都是矩形，AB=BF ，BE 、AD 交于点M ，BC 、DF 交于点N ，试说明四边形BMDN 是菱形。

（2）对角线相互垂直的平行四边形是菱形例：如图，已知AD 平分∠BAC ，DE//AC ，DF//AB,AE=5.BCDEAFMN（1）判断四边形AEDF 的形状？ （2）它的周长为多少？（3）四边相等的四边形是菱形例：如图，已知在ABCD 中，AD=2AB ，E 、F 在直线AB 上，且AE=AB=BF ，证明:CE ⊥DF.例：已知菱形的两条对有线长分别为6和8，求菱形的面积。

第四章四边形性质探索复习（3课时）教案一、学习目标1、进一步通过运用图形的变换，探索图形特征与性质的过程，体验数学发现的过程，并得出正确的结论．2、对平行四边形的原有认识基础上，探索并掌握平行四边形的特征与性质，学会一些简单的识别方法．3、探索并掌握几种特殊平行四边形的概念和各自所具有的特殊性质，并学会识别这些特殊的图形．4、进一步了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关系．5、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，进一步培养自己的说理习惯与能力．二、学习重点、难点与考点透视1、重点：平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形的概念、性质与判定；掌握其概念、特征与判定，并能应用这些知识是学好本章的关键．2、难点：平行四边形与各种特殊的平行四边形之间的联系与区别．中考热点：本章内容是中考重点之一，如特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形）的性质和判定，以及运用这些知识解决实际问题．中考中常以选择题、填空题、解答题和证明题等形式呈现，近年的中考中又出现了开放题、应用题、阅读理解题、学科间综合题、动点问题、折叠问题等，这都成了热点题型，应引起同学们高度关注．三、知识总结与梳理（一）四边形的“全家福”（二）知识要点1、平行四边形（1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）平行四边形的性质：①平行四边形的邻角互补，对角相等；②平行四边形的对边平行且相等；③平行四边形的对角线互相平分；④平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；⑤若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积；（⑥两平行线间的距离处处相等）（3）平行四边形的判定方法：①定义：两组边分别平行的四边形是平行四边形；②判定方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③判定方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④判定方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤判定方法4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．2、矩形（1）矩形的定义——有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质：具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形；又是中心对称图形，还是旋转对称图形；（3）、矩形的判定方法：①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②判定方法1：有三个角是直角的四边形是矩形；③判定方法2：对角线相等的平行四边形是矩形．3、菱形（1）菱形的定义——有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质：具有平行四边形的一切特征；菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形．（3）菱形的判定方法：①定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；②判定方法1：四条边都相等的四边形是菱形；③判定方法2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．4、正方形（1）正方形定义——有一组邻边相等并且有一个角的平行四边形叫做正方形；正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形；既是矩形又是菱形的四边形是正方形．（2）正方形的性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切特征．边——四边相等、邻边垂直、对边平行；角——四角都是直角；对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；是轴对称图形，有4条对称轴．（3）正方形的判定方法：①根据定义；②一组邻边相等的矩形是正方形；③一个角是直角的菱形是正方形．5、梯形（1）梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形（2）梯形的性质及其判定：梯形是特殊的四边形所以具有四边形所具有的一切性质，此外它的上下两底平行．一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形，但要判断另一组对边不平行比较困难，一般用一组对边平行且不相等的四边形是梯形来判断．（3）等腰梯形的性质和判定：①性质：等腰梯形在同一底边上的两个内角相等，两腰相等，两底平行，两对角线相等，是轴对称图形，只有一条对称轴（底的中垂线就是它的对称轴）．②判定方法：两腰相等的梯形是等腰梯形；同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯形．（4）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．（5）解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：①“作高”：使两腰在两个直角三角形中．②“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中．③“廷腰”：构造具有公共角的两个三角形．④“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形．综上，解决梯形问题的基本思路： 梯形问题分割、拼接转化三角形或平行四边形问题，这种思路常通过平移或旋转来实现．6、多边形的内外角和与外角和： n 边形内角和等于（n －2）·180°；任意多边形的外角和都等于360°．7、平面图形的密铺：对于正多边形来说，只有正三角形、正方形和正六边形可以密铺．一般三角形、一般四边形有的也可以密铺．8、中心对称图形：如果一个图形绕着它的中心点旋转180°能与原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个中心点叫做对称中心，图形上对称点的连线被对称中心平分；中心对称图形是旋转角度为180°的旋转对称图形． 四、主要思想方法小结1 、转化思想（又叫化归思想）：转化思想就是将复杂的问题转化为简单的问题，或将陌生的问题转化为熟悉的问题来处理的一种思想，本章应用化归思想的内容主要有两个方面：（1）四边形问题转化为三角形问题来处理．（2）梯形问题转化为三角形和平行四边形来处理．2 、代数法（计算法）： 代数法是用代数知识来解决几何问题的方法，也就是说运用几何定理、法则，通过列方程、方程组或不等式及解方程、方程组、恒等变形等代数方法，把几何问题转化成代数问题来解决的方法．3 、变换思想：即运用平移变换、旋转变换、对称变换等方法来构造图形解决几何问题． 五、应注意的几个问题1、不能把判定方法与性质混淆，应加深对判定方法中条件的理解，重视判定方法中的基本图形，不要用性质代替了判别．解题时不能想当然，更不要忽视重要步骤．2、在判别一个四边形是正方形时，容易忽视某个条件，致使判断失误，要避免这种错误的产生就必须认真熟记正方形的定义、特征和识别方法，认真区别各个特征、识别方法的条件，不要忽略隐含条件，避免错误的产生．3、判别一个四边形是等腰梯形时，不要忽略了先判别四边形是梯形，对梯形的概念、性质、判定认识要清．4、纵横对比，分清各种四边形的从属关系，抓住其概念的内涵．5、复习时，依然从边、角、对角线、对称性等角度来理解和应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，注意对问题的观察、分析与总结． 六、典型例题解析例1 如图，已知平行四边形ABCD ，AE 平分∠DAB 交DC 于E ，BF 平分∠ABC 交DC 于F ，DC=6cm ，AD=2cm ，求DE 、EF 、FC 的长．例2 如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝5，AB ＝7，BC ＝12，求∠B 的度数．例3 如右图，在矩形ABCD 中，AB=20cm ，BC=4cm ，点P 从A 开始沿折线A —B —C —D 以4cm/s 的速度运动，点Q 从C 开始沿CD 边1cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达点D 时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，t 为何值时，四边形APQD 也为矩形？例4已知梯形ABCD ，如图所示，其中AB ∥CD ，现要求添加一个条件．例如AD ＝BC ，使梯形ABCD 是等腰梯形，那么除了AD ＝BC 外，还可添加一个什么条件，能使梯形ABCD 是等腰梯形？甲、乙、丙、丁四名同学分别添加了一个条件． 甲：∠A ＝∠B ；乙：∠B ＋∠D ＝180°；丙∠A ＝∠D ；丁：梯形是轴对称图形．你认为哪些同学的条件符合要求？理由是 ．你能另外添加一个其他的条件，使梯形ABCD 是等腰梯形吗？例5 如图（1），正方形ABCD 和正方形CEFG 有一公共顶点C ，且B 、C 、E 在一直线上，连接BG 、DE ． （1）请你猜测BG 、DE 的位置关系和数量关系？并说明理由．（2）若正方形CEFG 绕C 点向顺时针方向旋转一个角度后，如图（2），BG 和DE 是否还存在上述关系？若存在，试说明理由；若不存在，也请你给出理由．例6 如图，在菱形ABCD 中，BC AE ⊥于E ，CD AF ⊥于F ，BD 与AE 、AF 分别相交于G 、H ．求证：△ABE ≌△ADF ；例7 如图，已知在□ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上的两点，BE ＝DF ，点G 、H 分别在BA 和DC 的延长线上，且AG ＝CH ，连接GE 、EH 、HF 、FG ．求证：四边形GEHF 是平行四边形．ADC B GEHF。

北师大版数学八上-四边形基础复习一、填好各四边形的特征二、用几何语言去表达下列图形特征 1、 如图，在◇ABCD 中（1）边： ； ； （2）角： ； ； （3）对角线： ； 2、如图，在矩形ABCD 中（1）边： ； （2）角： ； （3）对角线： ； 3、如图，在菱形ABCD 中（1）边： ； （2）角： ；（3）对角线： ； ； 4、如图，在正方形ABCD 中（1）边： ； （2）角： ；（3）对角线： ；； ； 5、如图，在等腰梯形ABCD中（1）边： ；（2）角： ；（3）对角线： ； *6、如图，在△ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，则 ； 7、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°则 ；8、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是AB 的中点 则 ；三、特殊四边形的判别：从边上看： 1. 的四边形是2. 的四边形是3. 的四边形是从角上看： 4. 的四边形是从对角线上看：5. 的四边形是 ABA BA BOCDA B CEF 第6题 C B第7题CBD第5题2A BDOE第7题 ABCD 第6题 【基础练习】 一、选择题1、能够判断一个四边形是平行四边形的条件是（ ）A 、一对角相等B 、两条对角线互相平分阶段C 、两条对角线互相垂直D 、一组邻角互补2、平行四边形的周长为40，两邻边比为4：1，则这四边形较长的边为（ ）A 、12B 、14C 、16D 、20 3、判断一个四边形是平行四边形的条件是（ ）A 、AB ∥CD ，AD ＝BC B 、∠A ＝∠B ，∠C ＝∠DC 、AB ＝CD ，AD ＝BC D 、AB ＝AD ，CB ＝CD 4、平行四边形具有，而一般四边形不具有的特征是（ ）A 、内角和为360°B 、外角和为360°C 、对角线互相平分D 、不稳定性 5、矩形不一定具有的特征是（ ）A 、对角线相等B 、四个角是直角C 、对角线互相垂直D 、对边分别相等 二、填空题1、平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，AC ＝8cm ，BD ＝10cm ，则AO ＝ ，BD ＝ 。

北师大版八年级全册数学定理知识点汇总八年级上册第一章 勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222cb a =+2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系，那么这个三角形是直角三角形。

222c b a =+3、勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数。

222c b a =+第二章 实数1、实数的概念及分类1)实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2)无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： 开方开不尽的数，如等；32,7 有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；3π有特定结构的数，如0。

1010010001…等；某些三角函数值，如sin60o 等2、实数的倒数、相反数和绝对值1)相反数：实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。

2)绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。

（|a|≥0）。

零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0。

3)倒数：如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

4)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

5)估算：3、平方根、算数平方根和立方根1)算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。

特别地，0的算术平方根是0。

第四章 四边形性质探索§4.1 平行四边形的性质 【知识梳理】一、平行四边形的定义:有两组对边分别 的四边形叫做平行四边形。

二、平行四边形的有关概念：对边、对角、邻角、对角线。

三、平行四边形的性质：1、边：平行四边形的对边平行且相等；2、角：平行四边形的对角相等；邻角互补；3、对角线：两条对角线互相平分.注意：有关四边形的问题常常可转化为三角形问题来处理。

四、平行四边形的面积=底×高。

【典型例题】例1．在平行四边形ABCD 中，已知AB 、BC 、CD 三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是 ． 针对练习：1. 如图1所示，□ABCD 中，E ，G 是AD 上的两点，F ，H 是BC 上的两点，且AB•∥EF•∥GH ∥DC ．则图中的平行四边形共有_____个．2.如图2所示，□ABCD 中，∠C=108°，BE 平分∠ABC ，则∠ABE 等于（ ） A ．18° B ．36° C ．72° D ．108°图1 图23. 如图3所示，在△ABC 中，AB=AC=5，D 是BC 上的点，DE ∥AB 交AC 于点E ，DF•∥AC 交AB 于点F ，那么四边形AFDE 的周长是（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20 例2 已知：如图，ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 与AB 、CD 分别相交于点E 、F ． 求证：OE ＝OF ，AE=CF ，BE=DF ．图3例3. 已知□ABCD 的周长是30，AC 、BD 相交于点O ，△OAB 的周长比△OBC 的周长大3，求AB 的长.例4. 一个平行四边形的两条对角线的长度分别为5和7，则它的一条边长a 的取值范围是 针对练习：1. 若□ABCD 的周长为28，△ABC 的周长为17cm ，则AC 的长为（ ）A 、11cmB 、5.5cmC 、4cmD 、3cm2. □ABCD 的周长为60cm ，其对角线交于O 点，若△AOB 的周长比△BOC 的周长多10cm ，则AB ＝__________，BC ＝__________．例5．如图所示，E 是□ABCD 内任一点，若S 四边形ABCD =6，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 针对练习：1．（11—12期末）如图，在Y ABCD 中，点E 在CD 边上运动（不和C 、D 两点重合），连接AE 并延长与BC 的延长线交于点F ，连接BE 、DF ，若△BCE 的面积是a ，则△DEF 的面积为2. 如图，若E 是□ABCD 的AD 边上一点，F 是BE 的中点，则有( )．(A)S □ABCD ＝5S △BCF (B)S □ABCD ＝4S △BCF (C)S □ABCD ＝3S △BCF(D)S □ABCD ＝2S △BCF例6. ABCD 一内角的平分线与边相交并把这条边分成cm 5，cm 7的两条线段，则ABCD 的周长是__ ___cm ．例7． 如图所示，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，在AD 边上取一点G ，使GD=AB ，过点G 作GF ⊥CD 于点F ，求证：AE=GF ．【课后作业】1．在□ABCD 中，CE ⊥AB ，垂足为E ，如果∠A =115°，则∠BCE = . 2．如图，□ABCD 的周长是28 cm ，△ABC 的周长是22 cm ，则AC 的长为（ ）A ．6 cmB ．12 cmC ．4 cmD ．8 cm3. 在ABCD 中，如果EF ∥AD ，GH ∥CD ，EF 与GH 相交与点O ，那么图中的平行四边形一共有（ ）．（A ）4个 （B ）5个 （C ）8个 （D ）9个4. 在□ABCD 中，AC ＝6、BD ＝4，则AB 的范围是______．AB CD§4.2 平行四边形的判定【知识梳理】一、平行四边形的判定方法：(1) 定义：两组对边分别 的四边形叫做平行四边形(2) 平行四边形的判别1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 (3) 平行四边形的判别2：对角线互相 的四边形是平行四边形 (4) 平行四边形的判别3：一组对边 且 的四边形是平行四边形 (5) 平行四边形的判别4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 二、总结：平行四边形的判定方法 一、从边与边的关系的四边形是平行四边形两组对边一组对边两组对边⎪⎭⎪⎬⎫________________________二、从角与角的关系两组对角_________的四边形是平行四边形 三、从对角线的相互关系:对角线___________的四边形是平行四边形． 【典型例题】例1、如图中，已知AD ∥BC ，要使四边形ABCD 为平行四边形，需要添加的条件是______．（只要填一个你认为正确的条件即可）针对练习： 1、下列条件中，能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．AB ∥CD ，AD=BC B ．∠A=∠B ，∠C=∠D C ．AB=AD ，CB=CD D ．AB ∥CD ，AB=CD 2、已知：四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，给出以下5个条件： ①AB ∥CD ；②OA=OC ；③AB=CD ；④∠BAD=∠DCB ；⑤AD ∥BC ．从以上5个条件中任意选取2个条件，能推出四边形ABCD 是平行四边形的有（用序号表示）： 例如①与⑤_______．（可与你的同学合作交流）例2. 一个四边形的边长依次为a 、b 、c 、d ，且满足a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝2ac ＋2bd ，则这四边形为__________． 例3. 如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，E 是AB 中点，D 在BC 上，延长ED 到F ，•使ED=DF=EB ，连结FC ． 求证：四边形AEFC 是平行四边形．例4. 已知：如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，AE平分∠BAC，EF∥DC，交BC于F．求证：BE＝FC．例5：如图，在□ABCD中，点E, F分别为OA, OC的中点，四边形BEDF为平行四边形吗？变式1：如果例题中的E、F点只是AC上普通的两个点，现在已知AE=CF，结论有改变吗？为什么？变式2：若E, F为直线AC上两点，且AF=CE，结论成立吗？为什么？变式3：若E, F,G,H分别为AO, CO, , BO, DO的中点，四边形EGFH为平行四边形吗？为什么？变式4：若变式3的条件成立，那么EG, FH有什么位置关系？例6.已知：如图，在等边△ABC中，D、F分别为CB、BA上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边△ADE．求证：(1) △ACD≌△CBF；(2) 四边形CDEF为平行四边形．【课后作业】1. 以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作( )．(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2. 如图，□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中与OA相等的其它线段有( )．(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条3. 四边形ABCD中，AC、BD为对角线，BO＝4，CO＝6，当AO＝__________，DO＝__________时，这个四边形是平行四边形．4. 如图，已知在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接GE、EH、HF、FG．求证：四边形GEHF是平行四边形．§4.3 菱形【知识梳理】一、菱形的性质：一般性质：平行四边形具有的性质菱形都具备；特殊性质：⑴ 四条边都 ；⑵ 对角线互相 且每条对角线平分一组对角；⑶ 是轴对称图形. 例1.（边的性质）在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，且E 、F 分别为BC 、CD 的中点，求∠EAF 的度数例2. 如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离OH ＝ ．巩固练习：1．菱形具有而平行四边形形不具有的性质是 ( )A ．对角相等B ．四边相等C ．对角线互相平分D ．邻角互补 2．已知菱形ABCD 的边长为6，∠A ＝60°，如果点P 是菱形内一点，且PB ＝PD ＝2，那么AP 的长为 ． 3.菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角线长为11厘米，菱形的周长为______. 4.菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于O 点，若∠OBC =21∠BAC ，则菱形的四个内角的度数为____________.5.菱形ABCD 中，如图，∠BAD =120°，AB =10 cm,则AC =________cm,BD =________ cm.二、菱形面积的计算： 一般方法：S 菱形＝底×高 特殊方法：S 菱形＝ab 21（a 、b 表示菱形对角线） 例3：⑴菱形的周长为16，两邻角度数的比为1∶2，此菱形的面积为（ ）A.43B.83C.103D.123⑵已知菱形两条对角线的长分别为5cm 和8cm ，则这个菱形的面积是 cm 2．例4、如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ＝8 cm , BD ＝6 cm, DH ⊥AB 于H ，求：DH 的长DB1.已知菱形ABCD中，AE⊥BC于E，若S菱形ABCD=24，且AE=6，则菱形的边长为（）A.12B.8C.4D.22.菱形的对角线的一半的长分别为8 cm和11 cm，则菱形的面积是_______.3.菱形的面积为24 cm2，一对角线长为6 cm，则另一对角线长为______，边长为______4. 如图，菱形ABCD的对角线长分别为2和5，P是对角线AC上任一点(点P不与点A、C重合)，且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是__________．三、菱形的判定：（一）判定方法：⑴四边相等；⑵邻边相等+□＝菱形；⑶对角线互相垂直＋□＝菱形.（二）性质判定的运用策略：①高线、对角线常与勾股定理结合求线段长；②注意菱形与其他特殊四边形性质的综合运用例5．如图，AD是△ABC的角平分线.DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由.例6. 如图，ABC∆中，90ACB∠=︒，AD是BAC∠的平分线，交BC于D，CH是AB边上的高，交AD 于F，DE AB⊥于E，求证：四边形CDEF是菱形．HFDECBA例7. 如图，在菱形ABCD中，4AB E=，在BC上，2120BE BAD P=∠=︒，，点在BD上，则PE PC+的最小值为巩固练习：1、□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F，四边形AFCE是否是菱形？为什么？1.（2011•安顺）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于E ，F 在DE 上，且AF =CE =AE ．（1）说明四边形ACEF 是平行四边形；（2）当∠B 满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形，并说明理由．2.（2012河南，18，9分）如图，在菱形ABCD 中，AB=2，60DAB ∠=,点E 是AD 边的中点，点M 是AB 边上一动点（不与点A 重合），延长ME 交射线CD 于点N ，连接MD ，AN. （1）求证：四边形AMDN 是平行四边形；（2）填空：①当AM 的值为 时，四边形AMDN 是矩形； ②当AM 的值为 时，四边形AMDN 是菱形.3、（2011福建福州，21，12分）已知,矩形ABCD 中,4AB cm =,8BC cm =,AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ,垂足为O .(1)如图10-1,连接AF 、CE .求证四边形AFCE 为菱形,并求AF 的长；(2)如图10-2,动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发,沿AFB ∆和CDE ∆各边匀速运动一周.即点P 自A →F →B →A 停止,点Q 自C →D →E →C 停止.在运动过程中,①已知点P 的速度为每秒5cm ,点Q 的速度为每秒4cm ,运动时间为t 秒,当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t 的值.②若点P 、Q 的运动路程分别为a 、b (单位:cm ,0ab ≠),已知A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形,求a 与b 满足的数量关系式.ABC D E F图10-1O图10-2备用图4.4 ⑴矩形【知识梳理】矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，•还具有自己独特的性质：① 边的性质：对边平行且相等．② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：对角线互相平分且相等．④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．☆直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．☆直角三角形中，30 角所对的直角边等于斜边的一半．矩形的判定判定①：有一个角是直角＋□＝矩形．判定②：对角线相等＋□＝矩形．例2. 已知：如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形。

《数学》（八年级上册）知识点总结（北师大版）第一章 勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三 角形3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。

第二章 实数一、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数值，如sin60o 等二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。

2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。

（|a|≥0）。

零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。

3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

5、估算三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。

特别地，0的算术平方根是0。