数学人教B版必修4教案：1.3.3已知三角函数值求角

已知三角函数值求角一、教材地位分析本节课的教学内容是人教B版必修四已知三角函数值求角。

本节内容是三角函数图象和性质的延续，本节内容在实际问题中经常用到。

在后续数学学习中也会用到，比如平面向量部分、空间向量与立体几何学习中表示线线角、线面角、二面角等等。

二、内容的整体把握本节是介绍如何根据角的正弦、余弦或正切值求出这个角，并引入了arcsin x、arccos x、arctan x等数学符号，要求学生会用这些符号表示角。

已知角x的一个三角函数值求角x，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定。

具体表示角时还要结合三角函数的正负号法则和诱导公式，利用数形结合的办法更容易理解。

三、学情分析从学生的现有知识水平看，在学习本节前，学生已经学习了三角函数的图象和性质及诱导公式，绝大多数同学对于三角函数的图象和性质掌握的比较好。

因此，本节课教学要借助这些已有知识，通过观察、分析、类比、归纳，帮助学生理解已知三角函数值求角的方法。

四、设计思想采用问题引领式的教学方法。

层层设问，步步紧追，让学生在逐个问题的解决中积极思考，找到问题之间的联系，破解问题的复杂性，做好新旧知识的衔接。

让学生们会思考，会提问，懂类比，从而提高数学学科素养。

五、教学方法与教学手段1、教学方法：教学始终采用问题引领式的教学方法。

通过逐一解决问题，让学生接受新知识，运用新符号。

引导学生掌握由特殊到一般，再由一般到特殊的归纳推理与类比推理的研究方法。

2、教学手段：利用多媒体课件展示，创设问题情境，激发学习兴趣，提高课堂效率。

六、学法指导教会学生类比分析问题，解决问题。

学会归纳提炼一类问题的解题方法，积极接受新符号，解决新问题。

七、教学目标1、知识与技能：了解arcsin x、arccos x、arctan x等数学符号，会用这些符号表示角。

2、过程与方法：通过问题引领使学生积极接受新符号，解决新问题。

经历已知三角函数值求角由特殊到一般的过程，使知识体系更完整。

1.3.3 已知三角函数值求角一、学习目标会由已知三角函数值求角。

二、学习重点、难点重点是已知三角函数值求角，难点是：①根据)2,0[π范围确定有已知三角函数值的角；②对符号arcsinx、arccosx、arctanx的正确认识；③用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示所求的角。

三、学习方法在旧问题的基础上，不断提出新的问题，让学生在探索中获得新知识。

四、学习过程学习环节学习内容师生互动设计意图复习引入复习在初中已知锐角三角函数值求锐角的例子。

提出问题：如果将所给角的范围扩大，问题应该怎么处理？复习旧知识，引入新问题应用举例例1、已知21sin=x，（1）若]2,2[ππ-∈x，求x；（2）若)2,0[π∈x，求x；（3）若Rx∈，求x的取值集合。

1、学生回答，老师板书，老师及时指出学生解法中的不足。

2、进一步将问题深化：①若21sin-=x，怎么办？②若sinx=0.3，怎么办？3、对于问题②，学生可能会有三种答案：数学用表、计算器、反正从学生熟悉的问题出发，逐渐增大难度，让学生在不断的探索中获得新知识。

弦，指出前两者不是精确值，应使用第三种。

概念形成若sinα=t，则α=arcsint，其中]2,2[ππα-∈，t∈[-1 , 1]。

1、让学生思考对α、t范围进行限制的理由。

2、用反函数的知识解释α范围的由来。

3、和学生一起，写出反余弦、反正切的相关结论。

4、完成sinx=0.3的处理。

强化角的表示，淡化反三角函数概念。

应用举例例2、（1）已知cosx=0.5，)2,0[π∈x，求x；（2）已知31cos-=x，求x的取值集合；（3）已知tanx=33-，)2,0[π∈x，求x；（4）已知tanx=1.23，求x的取值集合。

巩固练习：练习A 1、3、5指导学生完成，并让学生思考解此类题的一般步骤。

让学生尝试解决“已知余弦值、正切值求角”的问题，并将解题过程程序化。

归纳小结已知三角函数值t求角α的解题步骤：（1）确定角α所在的象限(有时不止一个象限)。

《已知三角函数值求角》这节所需解决的问题，在本章的前几节已经提供了知识和方法的铺垫，通过本节的研究将有助于学生完善三角体系，形成知识网络。

还将为进一步学习《正、余弦定理》、《解斜三角形》、以及立体几何中求角问题，提供解决问题的方法和手段。

因此，其地位与作用十分重要。

【知识与能力目标】了解反正弦的意义，会用符号arcsinx，arccosx表示角。

【过程与方法目标】使学生能够借助单位圆、解决已知三角函数值求角。

【情感态度价值观目标】使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性、实用性，进一步理解数学的本质，发展学生的数学应用意识。

【教学重点】已知三角函数值求角；【教学难点】诱导公式与利用三角函数值求角的综合运用。

多媒体课件。

一、复习提问1、α，π－α，π＋α，2π－α，－α的诱导公式？2、在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，满足条件()sin 11x a a =-≤≤的x 有几个？ 答：有且只有一个3、在区间[]0,2π上，满足条件()sin 11x a a =-≤≤的x 有几个？答：当1a =或1a =-时，有且只有一个；当11a -<<且0a ≠时有两个；当0a =时有三个。

二、新课讲授例１ 已知sinx 22-=，且x ∈[22ππ，-]，求x 。

由例1思考已知三角函数值求角的方法是什么？练习：已知sinx 21-=，求x 的取值集合。

例2 已知sinx 31=，且x ∈[22ππ，-]，求x 。

（回想反函数的定义）反正弦的概念根据正弦函数的性质，为了使符合条件()sin 11x a a =-≤≤的角x 有且只有一个，我们选择闭区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦作为基本的范围。

在这个闭区间上，符合条件()sin 11x a a =-≤≤的角x 叫做实数a 的反正弦，记作arcsin a ，即arcsin x a =，其中,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且sin a x =。

说明：当11a -≤≤时，arcsin a 表示,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的一个角，其正弦值等于a ，故()sin arcsin a a =。

课题：1.3.3已知三角函数值求角的教学设计授课教师：葫芦岛市实验高中刘梅Ⅰ、设计理念学生是学习和发展的主体，教师是学习活动的组织者和引导者。

已知三角函数值求角的学习主要是使学生更加深刻地认识函数与方程的关系；培养学生运用数学结合的思想直观地解决数学问题的能力，因此在学习和教学过程中应发挥学生在学习中的主动性和创造性。

通过探究性的学习方法，培养学生在探究学习的过程中的积极参与意识和独立思考能力。

多媒体的应用是教学情景设置、表现三角函数图象动态变化中曲线与直线的关系、加深对角理解的一个重要手段，也是教师调动学生的情感体验，关注学生的学习兴趣和诱导学生积极独立思考的重要方法，为实现学生的主体地位起着重要作用。

Ⅱ、教学背景分析1教学内容解析《已知三角函数值求角》是必修4人教版第一章第三节《三角函数的图像与性质》的第3节的内容，在本章的前几节已经学习了诱导公式及三角函数的图象与性质，本节课的内容包括反正弦、反余弦、反正切的定义，解决了已知三角函数值求角问题。

本节课的研究有助于学生完善三角体系，形成知识网络，还将为进一步学习《正、余弦定理》、《解斜三角形》、以及立体几何中求角，提供解决问题的方法和手段。

学好这部分内容，对理顺学生的知识架构体系、提高学生的综合能力起着重要作用。

2学生学情分析（1）学生通过学习任意角的三角函数，正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，这对学生学习已知三角函数值求角的打下了良好的基础，同时，学生已获得了由特殊角求三角函数值, 借助于多媒体认识三角函数与方程的关系研究方程解时，因而会比较轻松地融入对本课的探究．（2）虽然学生对三角函数的学习有了一段时间，已经具备了基本的计算能力,但对于问题中的非特殊角才刚刚接触，没有形成一种熟练运用符号语言的能力，还有一部分学生接受新知识能力较差，因此，在学习的过程应有一定的难度，教学中必须注意这一点。

【学法指导】在探究活动中，学生亲历从“特殊”到“一般”获取新知的过程，培养学生积极参与的主体的意识，体验探索的乐趣，培养学习数学的兴趣。

课堂导学三点剖析一、已知正弦值求角已知正弦值求角,与所给角的范围有关,应根据角的范围划定单调区间后判断角的个数 ,反正弦是选在最基本的单调区间［-2π,2π］上定义的,其他单调区间上对应的角可根据周期性写出或用诱导公式转化到区间［-2π,2π］上,用反正弦表示出来. 【例1】 已知sinx=23, (1)当x ∈［-2π,2π］时,求x 的取值集合; (2)当x ∈［0,2π］时,求x 的取值集合;(3)当x ∈R 时,求x 的取值集合.思路分析:在函数y=sinx 的非单调区间上,对于已知的一个正弦值,有多个角和它对应,在单调区间上只有一个值与之对应.解:(1)∵y=sinx 在［-2π,2π］上是增函数,且知sin 3π=23, ∴满足条件的角只有x=3π. ∴x 的取值集合为{3π}. (2)∵sinx=23>0, ∴x 为第一或第二象限角,且sin 3π=sin(π-3π)=23. ∴在［0,2π］上符合条件的角x=3π或32π. ∴x 的取值集合为{3π,32π}. (3)当x ∈R 时,x 的取值集合为 {x|x=2kπ+3π或x=2kπ+32π,k ∈Z }. 温馨提示(1)对于本题,由于范围不同,所得的角可能不同,一定要注意范围这一条件的约束作用.(2)对第(3)题的结论可写为{x|x=nπ+(-1)n ·3π,n ∈Z }.一般地,对于sinx=a(x ∈R ),|a|≤1,这个方程的解可表示成x=2kπ+arcsina 或x=2kπ+π-arcsina,k ∈Z ,从而方程的解集为{x|x=kπ+(-1)k arcsina,k ∈Z }.各个击破类题演练 1已知sinA=0.501 8，求角A.（利用计算器 ）解：先按功能选择键和，再依次按，得结果30.119 158 67,所以∠A=30.12°(若精确到1°,则结果为30°).温馨提示任意给定一个角，只要该角的函数值存在，总可以求出这个三角函数值.反过来，已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角.变式提升 1已知sin 232-=α,且α是第二象限的角,求角α. 思路分析:先求出2α,进而求出α. 解:首先确定2α所在象限. ∵α是第二象限的角, ∴2α是第一或第三象限的角. 又∵sin2α=23-<0,∴2α是第三象限的角. 然后在［0,2π)内找到满足条件的2α. ∵sin 3π=23, ∴在［0,2π)内满足条件的角2α是π+3π=34π. 再找到所有满足条件的角2α. ∴2α=2kπ+34π(k ∈Z ). 最后求出所有满足条件的角α, ∴α=4kπ+38π,k ∈Z . 温馨提示本例中将2α看作一个整体,求出2α的所有角后,再求出α. 二、已知角的余弦值求角已知余弦值求角,可利用y=cosx 的图象找出在［0,π］内满足条件的角,然后根据y=cosx 的周期性用反余弦(或特殊角)表示所给范围内的角.【例2】 已知cosx=-0.287,(1)当x ∈［0,π］时,求x;(2)当x ∈R 时,求x 的取值集合.思路分析:由于cosx=-0.287,x 不是特殊角,因此应用反余弦表示x,而［0,π］正是反余弦的主值区间,故当x ∈［0,π］时,x=arccos(-0.287)=π-arccos0.287.当x ∈R 时,可利用诱导公式先求出［0,2π］内的所有解,再利用周期性即可求出x ∈R 的所有解.解:(1)因为cosx=-0.287,且x ∈［0,π］,所以x=arccos(-0.287)=π-arccos0.287.(2)当x ∈R 时,先求出x ∈［0,2π］上的解.因为cosx=-0.287.故x 是第二或第三象限角,由(1)知x 1=π-arccos0.287是第二象限角. 因为cos(π+arccos0.287)=-cos(arccos0.287)=-0.287,且π+arccos0.287∈(π,23π), 所以x 2=π+arccos0.287.由余弦函数的周期性,可知当x=2kπ+x 1或x=2kπ+x 2,k ∈Z 时,cosx=-0.287,即所求的x 值的集合是{x|x=2kπ+π-arccos0.287或x=2kπ+π+arccos0.287,k ∈Z }={x|x=2kπ±arccos(-0.287),k ∈Z }. 温馨提示方程cosx=a,|a|≤1的解集可写成{x|x=2kπ±arccosa,k ∈Z }.类题演练 2已知cos(21x+3π)=23-，求角x 的集合. 思路分析:把“21x+3π”视为一个整体,首先在长度为一个周期的闭区间上找出符合条件的角,再利用终边相同的角的集合把它扩展到整个定义域上.解:∵cos(21x+3π)=23-<0, ∴角21x+3π是第二或第三象限角. 令cos(21x+3π)=23,得锐角2x +3π=6π. 在区间［0，2π］上，符合条件的角是π-6π或π+6π,即65π或67π,所以在x ∈R 上,有2x +3π=65π+2kπ,k ∈Z 或2x +3π=67π+2kπ,k ∈Z . 化简得x=π+4kπ或x=35π+4kπ,k ∈Z . 故角x 的集合是{x|x=π+4kπ或x=35π+4kπ,k ∈Z }. 变式提升 2已知cosx=31-,x ∈(-π,-2π),则x 等于…( )A.arccos(31-) B.π-arccos 31 C.-arccos(31-) D.-arccos 31 解析:∵arccos(31-)∈(2π,π), ∴-arccos(31-)∈(-π,-2π).故选C. 答案:C三、已知正切值求角已知正切值求角,可利用y=tanx 的图象找出(-2π,2π)内满足条件的角,然后根据y=tanx 的周期性用反正切(或特殊角)表示所给范围内的角.【例3】 已知tanα=-2,若(1)α∈(-2π,2π); (2)α∈［0,2π］;(3)α∈R ,求角α.思路分析:由正切函数的单调性,可知在开区间(-2π,2π)内,符合条件tanα=-2的角只有一个,而在α∈［0,2π］内,符合条件tanα=-2的角就有两个,而根据正切函数的周期性,可知第(3)题中符合条件的角α就有无穷多个了.解:(1)由正切函数在开区间(-2π,2π)上是增函数可知符合条件tanα=-2的角只有一个,即α=arctan(-2).(2)∵tanα=-2<0,∴α是第二或第四象限角.又∵α∈［0,2π］,由正切函数在区间(2π,π］,(23π,2π］上是增函数知符合tanα=-2的角有两个，即α=π-arctan2,α=2π-arctan2.(3)α∈R 时角α有无穷多个,则α=(2k+1)π-arctan2或α=2(k+1)π-arctan2(k ∈Z ).温馨提示对于反三角函数，我们要特别注意主值区间，即-2π≤arcsinx≤2π,0≤arccosx≤π,- 2π<arctanx<2π. 类题演练 3（1）已知sinx=32-,x ∈（π,23π），求角x; （2）已知tanx=3,x ∈（3π,27π）,求角x. 解法一：（1）令sinx 1=32,得x 1=arcsin 32. ∵x ∈（π，23π）,∴符合条件的角x=π+x 1=π+arcsin32. (2)令tanx 1=3,得锐角x 1=arctan3.∵x ∈(3π,27π), ∴符合条件的角x=3π+x 1=3π+arctan3.解法二：（1）∵π<x<23π,∴-2π<π-x<0. 又由sinx=32-,得sin(π-x)=32-. ∴π-x=arcsin(32-)=-arcsin 32. ∴x=π+arcsin 32. (2)∵3π<x<27π, ∴0<x-3π<2π. 由tanx=3,得tan(x-3π)=3.∴x-3π=arctan3.∴x=3π+a rctan3.变式提升 3已知直线bx+ay=ab(a<0,b<0)，试求它的倾斜角.解：因为该直线的斜率k=a b -<0，所以它的倾斜角是钝角.令tanθ=a b ，得θ=arctan a b .所以它的倾斜角是π-arctana b . 温馨提示直线的倾斜角α的正切值tanα是直线的斜率.这里的arctan(ab -)表示一个负角，而不是我们要求的钝角.。

数学人教B版必修4示范教案：1.3.3 已知三角函数值求角含解析精品----b2c135f8-6eb3-11ec-8d1d-7cb59b590d7d数学人教b版必修4示范教案：1.3.3已知三角函数值求角含解析精品示范教案整体设计教学分析在课程标准中，没有已知三角函数值求角的内容，但相当多的内容涉及到这个问题(如立体几何中求两条异面直线的夹角、直线与平面所成的角、解析几何中直线的倾斜角)，所以教材专门列出一小节讲解，因此应该让学生了解它们的意义，并学会正确使用反三角函数符号arcsinx、arccosx、arctanx.但一定要控制本小节的难度，只能根据单角的正弦、余弦、正切值求单角或单角的集合，不要补充一些较复杂的题目，只要使学生会由已知三角函数值求角就可以了．当已知角X的三角函数值来计算角X时，它实际上是最简单的三角方程。

因为三角函数不是定义域R的一对一映射→ 值域[-1,1]，当已知角X的三角函数值来计算角X时，不一定只有一个角，角的数量应根据角的值范围确定，该范围应在标题中给出。

如果在该范围内有多个角对应于已知的三角函数值，可分为以下步骤：第一步是确定哪个象限角X可能是；在第二步中，如果函数值为正，首先找到相应的锐角X1；如果函数值为负，首先找到与其绝对值对应的锐角X1；步骤3：如果函数值为负，则根据角X可能为的象限角，得到[0,2π]中对应的角；第4步：如果需要[0,2π]以外的角度，可以使用具有相同端边的角度具有相同三角函数值的定律来写入结果如果求得的角是特殊角，最好用弧度表示，就不存在反三角符号了．本节的难点有三个，简单地说就是确定角的个数，认识符号，写出所求角的集合．克服难点的关键是拾级而上，分层次理解，弄清各层次的意义．但要注意表示形式上的不唯一．三维目标1．理解反正弦、反余弦、反正切的意义，并会用符号表示．2.能从已知角度的正弦值、余弦值和正切值计算出[0,2π]范围内的角度，并能用反正弦、反余弦和反正切符号表示角度或角度集3．能运用已知三角函数值求角，解决与其相关的一些简单问题．重点难点教学重点：寻找具有已知正弦、余弦和切线值的角度教学难点：对反正弦、反余弦、反正切的概念及其符号的正确认识．课时安排1课时在教学过程中引入新课程思路1.(直接引入)我们知道，任意给定一个角，只要这个角的三角函数值存在，就可以求出这个三角函数值；反过来，已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角．由此导入新课．思路2（通过类比引入）当我们研究函数时，我们知道给定一个函数值，必须有一个或多个自变量中的一个值与之对应．那么三角函数作为一类特殊的函数，是不是也这样呢？比如sinx＝，你怎样2找到适合这个公式的X值吗？在学生的探究中引入新课程推进新课新知探究给定正弦值，求出角度。

1.3.3 已知三角函数值求角[学习目标] 1.掌握已知三角函数值求角的步骤和方法.2.了解符号arcsin x ，arccos x ，arctan x 的含义，并能用这些符号表示非特殊角．[知识链接]已知角x 的一个三角函数值，所求得的角一定只有一个吗？为什么？答 不一定，这是因为角的个数要根据角的取值范围来确定，如果在给定的范围内有已知三角函数值的角不止一个，则所求的角也就不止一个． [预习导引] 1．arcsin y 的含义一般地，对于正弦函数y ＝sin x ，如果已知函数值y (y ∈[－1,1])，那么在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上有唯一的x 值和它对应，记为x ＝arcsin_y ⎝⎛⎭⎫其中－1≤y ≤1，－π2≤x ≤π2，即arcsin y (|y |≤1)表示⎣⎡⎦⎤－π2，π2上正弦值等于y 的一个角．2．arccos y 的含义一般的对于余弦函数y ＝cos x ，如果已知函数值y (y ∈[－1,1]，那么在[0，π]上有唯一的x 值和它对应，记作x ＝arccos_y (－1≤y ≤1,0≤x ≤π)． 3．arctan y 的含义一般地，如果正切函数y ＝tan x (y ∈R )且x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，那么对每一个正切值，在开区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内有且只有一个角x ，使tan x ＝y ，记作x ＝arctan_y .要点一 已知正弦值，求角 例1 已知sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝－14，求x . 解 设x －π3＝t ，则有sin t ＝－14.t ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，t ＝arcsin ⎝⎛⎭⎫－14，又sin t ＝－14，所以t 是第三、四象限角，且t 1＝arcsin ⎝⎛⎭⎫－14是第四象限角． 又sin ⎣⎡⎦⎤π－arcsin ⎝⎛⎭⎫－14＝sin ⎣⎡⎦⎤arcsin ⎝⎛⎭⎫－14＝－14， 且π－arcsin ⎝⎛⎭⎫－14是第三象限角， 所以t 2＝π－arcsin ⎝⎛⎭⎫－14. 由正弦函数周期性可知t ＝2k π＋t 1或t ＝2k π＋t 2(k ∈Z )时，sin x ＝－14.所以t ＝2k π＋arcsin ⎝⎛⎭⎫－14(k ∈Z )， 或t ＝2k π＋π－arcsin ⎝⎛⎭⎫－14(k ∈Z )． 因此x 的集合为⎩⎨⎧x |x ＝2k π＋π3＋arcsin ⎝⎛⎭⎫－14，⎭⎬⎫或x ＝2k π＋4π3－arcsin ⎝⎛⎭⎫－14，k ∈Z . 规律方法 方程y ＝sin x ＝a ，|a |≤1的解集可写为{x |x ＝2k π＋arcsin a ，或(2k ＋1)π－arcsin a ，k ∈Z }．也可化简为{x |x ＝k π＋(－1)k arcsin a ，k ∈Z }． 跟踪演练1 已知sin x ＝32. (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，求x 的取值集合； (2)当x ∈[0,2π]时，求x 的取值集合； (3)当x ∈R 时，求x 的取值集合．解 (1)∵y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，且知sin π3＝32.∴满足条件的角只有x ＝π3. ∴x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3.(2)∵sin x ＝32>0， ∴x 为第一或第二象限角且sin π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π3＝32. ∴在[0,2π]上符合条件的角x ＝π3或x ＝2π3.∴x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3，2π3.(3)当x ∈R 时，x 的取值集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π＋π3或x ＝2k π＋2π3，k ∈Z .要点二 已知余弦值，求角 例2 已知cos x ＝－13.(1)当x ∈[0，π]时，求x ； (2)当x ∈[0,2π]时，求x ； (3)当x ∈R 时，求x 的取值集合． 解 (1)∵cos x ＝－13，且x ∈[0，π]，∴x ＝arccos ⎝⎛⎭⎫－13＝π－arccos 13. (2)∵x ∈[0,2π]且cos x ＝－13<0.∴x 为第二象限角或第三象限角． ∴x ＝π－arccos 13或x ＝π＋arccos 13.(3)当x ∈R 时，x 与π－arccos 13终边相同或者与π＋arccos 13终边相同．∴x ＝2k π＋π－arccos 13(k ∈Z )或x ＝2k π＋π＋arccos 13(k ∈Z )．∴x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝(2k ＋1)π±arccos 13，k ∈Z .规律方法 方程cos x ＝a ，|a |≤1的解集可写成{x |x ＝2k π±arccos a ，k ∈Z }． 跟踪演练2 若cos 2x ＝12，其中π2<x <π，则x 的值为( )A.π6B.5π6C.2π3D.5π3 答案 B解析 ∵π2<x <π，∴⎭⎬⎫π<2x2x ＝12>0⇒⎩⎨⎧3π2<2x <2π，x ＝5π3.∴x ＝5π6.要点三 已知正切值，求角例3 (1)已知tan α＝－2，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，求α； (2)已知tan α＝－2，且α∈[0,2π]，求α； (3)已知tan α＝－2，α∈R ，求α.解 (1)由正切函数在开区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数可知，符合条件tan α＝－2的角只有一个，故α＝arctan(－2)．(2)∵tan α＝－2<0，∴α是第二或第四象限角．又∵α∈[0,2π]由正切函数在区间⎝⎛⎦⎤π2，π，⎝⎛⎦⎤3π2，2π上是增函数，知符合tan α＝－2的角有两个，∵tan(π＋α)＝tan(2π＋α)＝tan α＝－2且arctan(－2)∈⎝⎛⎭⎫－π2，0.∴α＝π＋arctan(－2)或α＝2π＋arctan(－2)．(3)α∈R ，则α＝k π＋arctan(－2)(k ∈Z )．规律方法 方程tan x ＝a ，a ∈R 的解集为{x |x ＝k π＋arctan a ，k ∈Z }． 跟踪演练3 已知tan x ＝－1，求x ，并写出在区间[－2π，0]内满足条件的x . 解 因为tan x ＝－1，所以满足条件的x 的解集为 {x |x ＝k π＋arctan(－1)，k ∈Z }＝x |x ＝k π－π4，k ∈Z ，在x ＝k π－π4中，令k ＝0或－1，得x ＝－π4或x ＝－5π4，即在[－2π，0]内正切值为－1的角x 有2个：－π4与－5π4.1．已知α是三角形的内角，sin α＝32，则角α等于( ) A.π6 B.π3 C.5π6或π6 D.2π3或π3 答案 D2．若sin x ＝14，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则x 等于( )A ．arcsin 14B ．π－arcsin 14C.π2＋arcsin 14 D ．－arcsin 14 答案 B3．若cos x ＝13，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则x ＝________. 答案 －arccos 134．arcsin(－1)＋arctan 33＝________. 答案 －π31.理解符号arcsin x 、arccos x 、arctan x 的含义．每个符号都要从以下三个方面去理解，以arcsin x 为例来说明． (1)arcsin x 表示一个角； (2)这个角的范围是⎣⎡⎦⎤－π2，π2； (3)这个角的正弦值是x ，所以|x |≤1. 例如：arcsin 2，arcsin 3都是无意义的． 2．已知三角函数值求角的大致步骤 (1)由三角函数值的符号确定角的象限． (2)求出[0,2π)上的角． (3)根据终边相同的角写出所有的角.一、基础达标1．下列叙述错误的是( ) A ．arctan y 表示一个⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的角 B ．若x ＝arcsin y ，|y |≤1，则sin x ＝y C ．若tan x2＝y ，则x ＝2arctan yD ．arcsin y 、arccos y 中的y ∈[－1,1] 答案 C2．若α是三角形内角，且sin α＝12，则α等于( )A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．120°或60° 答案 B解析 ∵sin 30°＝12，sin(180°－30°)＝sin 30°＝12，∴α＝30°或150°. 3．已知cos x ＝－32，π<x <2π，则x 等于( ) A.7π6 B.4π3 C.11π6 D.5π6 答案 A解析 符合条件cos x 0＝32的锐角x 0＝π6， 而cos ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝－cos π6＝－32，∴x ＝π＋π6＝7π6. 4．若tan x ＝－3，0<x <2π，则角x 等于( ) A.π3或2π3 B.2π3或4π3 C.4π3或5π3 D.2π3或5π3 答案 D解析 ∵tan x ＝－3<0，∴x 为第二或第四象限角． 符合条件tan x 0＝3的锐角x 0＝π3.而tan ⎝⎛⎭⎫π－π3＝－tan π3＝－3， tan ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝－tan π3＝－3， ∴x ＝π－π3＝2π3或x ＝2π－π3＝5π3.5．arcsin ⎝⎛⎭⎫sin 23π＝________. 答案 π3解析 arcsin ⎝⎛⎭⎫sin 23π＝arcsin 32＝π3. 6．直线2x ＋y －1＝0的倾斜角是________(用反正切表示)． 答案 π＋arctan(－2)解析 ∵2x ＋y －1＝0，∴y ＝－2x ＋1.设直线y ＝－2x ＋1的倾斜角为θ，则tan θ＝－2， ∴θ为钝角，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π.∵arctan(－2)∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴θ＝π＋arctan(－2)． 7．求值arcsin 32－arccos ⎝⎛⎭⎫－12arctan (－3).解 arcsin32＝π3，arccos ⎝⎛⎭⎫－12＝2π3， arctan(－3)＝－π3，∴原式＝π3－2π3－π3＝1.二、能力提升8．使得等式2cos x2＝1成立的x 的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝4k π＋π3，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝4k π＋π6，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝4k π±23π，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π＋π6，k ∈Z答案 C解析 cos x 2＝12>0，x 2为第一象限角或第四象限角．∴x 2与π3或－π3终边相同．∴x 2＝2k π±π3，k ∈Z ，∴x ＝4k π±23π，k ∈Z . 9．直线x ＋2y ＋1＝0的倾斜角为( ) A ．arctan ⎝⎛⎭⎫－12 B ．－arctan 12 C ．arcsin ⎝⎛⎭⎫－55 D ．arccos ⎝⎛⎭⎫－255 答案 D解析 A ，B ，C 均表示负锐角，只有D 选项中arccos ⎝⎛⎭⎫－25 5表示钝角．故选D.10．已知sin α＝13，若π2<α<π，用反正弦符号表示α为________．答案 π－arcsin 13解析 满足sin α＝13的锐角为α0＝arcsin 13.∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π且sin(π－α0)＝sin α0＝13， ∴α＝π－α0＝π－arcsin 13.11．用反三角函数的形式把下列各式中的x 表示出来． (1)cos x ＝－45 ⎝⎛⎭⎫π2<x <π， (2)sin x ＝－14 ⎝⎛⎭⎫－π2<x <π2， (3)3tan x ＋1＝0 (0<x <π)， (4)sin x ＝－14 ⎝⎛⎭⎫π<x <3π2. 答案 (1)arccos ⎝⎛⎭⎫－45 (2)arcsin ⎝⎛⎭⎫－14 (3)π－arctan 13 (4)π＋arcsin 1412．利用反正切表示直线ax ＋by ＋c ＝0 (ab >0)的倾斜角．(结果含a 、b ) 解 ∵ab >0，ax ＋by ＋c ＝0.∴y ＝－a b x －c b ，k ＝－a b .由k ＝－ab<0，∴直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为钝角π－arctan ab .三、探究与创新13．已知sin α2＝－32，且α是第二象限的角，求角α.解 ∵α是第二象限的角，∴α2是第一或第三象限的角．∵sin α2＝－32<0，∴α2是第三象限的角． 在[0,2π]内找到满足条件的α2，∵sin π3＝32，∴在[0,2π]内满足条件的角α2＝π＋π3＝4π3.∴所有满足条件的α2＝2k π＋4π3 (k ∈Z )，即α＝4k π＋8π3 (k ∈Z )．。

1.3.3已知三角函数值求角（二）
一．学习要点：已知三角函数值求角
二．学习过程：
一、复习：
1．反正弦，反余弦函数的意义：
2．已知三角函数求角：
二、讲解新课：
反正切函数
三、讲解范例：
例1 （1）已知⎪⎭⎫
⎝⎛-∈=2,231
tan ππ
x x 且，求x
（2）已知31
tan =x 且[]π2,0∈x ，求x 的取值集合
（3）已知R x x ∈=且31
tan ，求x 的取值集合
例2已知23
sin =α，根据所给范围求α： 1α为锐角 2α为某三角形内角 3α为第二象限角 4
R ∈α
例3 求适合下列关系的x 的集合 1()R x x ∈=2cos 2 201tan 32=-x 35
3
sin -=x
例4 直角ABC ∆锐角A ，B 满足：2sin tan ,A A A =求
例5 1用反三角函数表示)23,(,65
sin π
π∈-=x x 中的角x
2用反三角函数表示)27,3(,5tan ππ∈=x x 中的角x
例6已知21)32cos(
-=π+x ，求角x 的集合
例7求y = arccos(sin x ), (3
23π≤≤π-x )的值域
四、课堂练习：
教材P61练习及习题
五、小结：反正切函数的有关概念，并能运用知识已知三角函数值求角
六、课后作业：见作业（12）。

1.3.3已知三角函数值求角
(一)教学目标
1.知识与技能
(1)理解根据三角函数线和三角函数图象,解决有关已知正、余弦及正切函数值，求角问题。

(2)初步了解反三角函数符号的in，arcco，arctan表示角。

2．过程与方法
1通过已知正弦三角函数值求角，培养学生会用类比的方法得出由余弦值或正切值求角。

2 掌握由已知三角函数值求角的一般步骤。

3．情感、态与价值观度
通过角与三角函数值之间的互求，培养学生灵活的解题能力，树立对立统一的观点。

（二）教学重点、难点
重点是已知三角函数值求角，难点有：根据[0，2]范围确定有已知三角函数值求角；对符号arcin，arcco，arctan的正确认识；并用符号表示所求的角。

（三）学法
本节课采用观察、启发探究、类比的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动，通过设置问题引导学生观察分析，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索、和交流的过程中掌握已知三角函数值求角的过程，会表示给定范围内的角。

同时设置适当的练习，加以巩固，深化对知识的理解。

（四）易错易混问题
1、在已知函数值求角的思路和方法上易出错，多数原因是学生对诱导公式不熟练，不能灵活地运用。

2、反三角函数的符号表示易出错，特别是当余弦值为负时，易把角错认为是负角。

五教学过程
2。

1.3.3 已知三角函数值求角1.掌握已知三角函数值求角的方法，会由已知的三角函数值求角，并会用符号arcsin x ，arccos x ，arctan x 表示角.(重点、难点)2.熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间[－2π，2π]上对应的角.[基础·初探]教材整理 已知三角函数值求角的相关概念 阅读教材P 57～P 60内容，完成下列问题. 1.已知正弦值，求角：对于正弦函数y ＝sin x ，如果已知函数值y (y ∈[－1,1])，那么在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上有唯一的x 值和它对应，记为x ＝arcsin_y ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中－1≤y ≤1，－π2≤x ≤π2.2.已知余弦值，求角：对于余弦函数y ＝cos x ，如果已知函数值y (y ∈[－1,1])，那么在[0，π]上有唯一的x 值和它对应，记为x ＝arccos_y (其中－1≤y ≤1,0≤x ≤π).3.已知正切值，求角：一般地，如果y ＝tan x (y ∈R )且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，那么对每一个正切值y ，在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，有且只有一个角x ，使tan x ＝y ，记为x ＝arctan_y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜x ＜π2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上，满足条件sin x ＝a (－1≤a ≤1)的x 有1个.( )(2)在区间[0,2π]上，满足条件sin x ＝a (－1≤a ≤1)的x 有2个.( )(3)在区间[0,2π]上，满足条件cos x ＝a (－1≤a ≤1)的x 有2个.( ) (4)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上，满足条件tan x ＝a (a ∈R )的x 只有1个.( )【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问4：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问5：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________[小组合作型]已知正弦值求角已知sin x ＝32.(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，求x 的取值集合；(2)当x ∈[0,2π]时，求x 的取值集合； (3)当x ∈R 时，求x 的取值集合.【精彩点拨】 尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解.【自主解答】 (1)∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，且sin π3＝32，∴x ＝π3，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3是所求集合. (2)∵sin x ＝32＞0，∴x 为第一或第二象限的角.且sin π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝32，∴在[0,2π]上符合条件的角有x ＝π3或x ＝23π，∴x 的取值集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3，2π3.(3)当x ∈R 时，x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π＋π3，或x ＝2k π＋2π3，k ∈Z .1.给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用.2.对于已知正弦值求角有如下规律：[再练一题]1.已知sin α＝35，根据所给范围求角α. (1)α为锐角；(2)α∈R .【导学号：72010033】【解】 (1)由于sin α＝35，且α为锐角，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＝arcsin 35.(2)由于sin α＝35，且α∈R ，所以符合条件的所有角为α1＝2k π＋arcsin 35(k ∈Z )，α2＝2k π＋π－arcsin 35(k ∈Z )， 即α＝n π＋(－1)n arcsin 35(n ∈Z ).已知余弦值求角已知cos x ＝－13，(1)当x ∈[0，π]时，求值x . (2)当x ∈R 时，求x 的取值集合.【精彩点拨】 解答本题可先求出定义arccos a 的范围的角x ，然后再根据题目要求，利用诱导公式求出相应的角x 的集合.【自主解答】 (1)∵cos x ＝－13且x ∈[0，π]， ∴x ＝arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13.(2)当x ∈R 时，先求出x 在[0,2π]上的解. ∵cos x ＝－13，故x 是第二或第三象限角. 由(1)知x ＝arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13是第二象限角，又cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－13，且2π－arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，32π，所以，由余弦函数的周期性知， 当x ＝arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋2k π或x ＝2π－arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋2k π(k ∈Z )时，cos x ＝－13，即所求x 值的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π±arcco s ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，k ∈Z .cos x ＝a (－1≤a ≤1)，当x ∈[0，π]时，则x ＝arccos a ，当x ∈R 时，可先求得[0,2π]内的所有解，再利用周期性可求得：{x |x ＝2k π±arccos a ，k ∈Z }.[再练一题]2.已知cos x ＝－22且x ∈[0,2π)，求x 的取值集合.【解】 由于余弦函数值是负值且不为－1，所以x 是第二或第三象限的角，由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＝－cos π4＝－22，所以在区间[0,2π)内符合条件的第二象限的角是x＝π－π4＝3π4.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π＝－cos π4＝－22，所以在区间[0,2π)内符合条件的第三象限的角是x ＝π4＋π＝5π4.故所求角的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫3π4，5π4.已知正切值求角已知tan α＝－3.(1)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，求角α；(2)若α∈R ，求角α.【精彩点拨】 尝试由arctan α的范围及给值求角的步骤求解. 【自主解答】 (1)由正切函数在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数可知，符合条件tan α＝－3的角只有一个，即α＝arctan(－3).(2)α＝k π＋arctan(－3)(k ∈Z ).1.已知角的正切值求角，可先求出⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的角，再由y ＝tan x 的周期性表示所给范围内的角.2.tan α＝a ，a ∈R 的解集为{α|α＝k π＋arctan a ，k ∈Z }.[再练一题]3.已知tan x ＝－1，写出在区间[－2π，0]内满足条件的x . 【解】 ∵tan x ＝－1＜0， ∴x 是第二或第四象限的角. 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－tan π4＝－1可知，所求符合条件的第四象限角为x ＝－π4.又由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54π＝－tan π4＝－1得所求符合条件的第二象限角为x ＝－54π，∴在[－2π，0]内满足条件的角是－π4与－5π4.[探究共研型]三角方程的求解探究1 么？【提示】 不一定，这是因为角的个数要根据角的取值范围来确定，如果在给定的范围内有已知三角函数值的角不止一个，则所求的角也就不止一个.探究2 怎样求解三角方程？【提示】 明确所求角的范围和个数，结合诱导公式先用arcsin a 或arccos a 或arctan a 表示一个或两个特殊角，然后再根据函数的周期性表示出所有的角.若cos x ＝cos π7，求x 的值.【精彩点拨】 先求出一个周期内的角，然后利用周期性找出所有的角. 【自主解答】 在同一个周期[－π，π]内， 满足cos x ＝cos π7的角有两个：π7和－π7.又y ＝cos x 的周期为2π，所以满足cos x ＝cos π7的x 为2k π±π7(k ∈Z ).已知三角函数值求角的大致步骤 (1)由三角函数值的符号确定角的象限； (2)求出[0,2π)上的角；(3)根据终边相同的角写出所有的角. [再练一题]4.已知sin x ＝22，且x ∈[0,2π]，则x 的取值集合为________.【解析】 ∵x ∈[0,2π]，且sin x ＝22＞0，∴x ∈(0，π)当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝sinx 递增且sin π4＝22，∴x ＝π4，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＝sin 3π4＝22，∴x ＝3π4也适合题意.∴x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫π4，3π4.【答案】⎩⎨⎧⎭⎬⎫π4，3π41.(2016·石景山高一检测)下列说法中错误的是( ) A.arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－π4B.arcsin 0＝0C.arcsin(－1)＝32πD.arcsin 1＝π2【解析】 根据已知正弦值求角的定义知arcsin(－1)＝－π2，故C 错误. 【答案】 C2.若α是三角形内角，且sin α＝12，则α等于( ) A.30° B.30°或150° C.60°D.120°或60°【解析】 ∵α是三角形内角，∴0°<α<180°. ∵sin α＝12，∴α＝30°或150°. 【答案】 B3.已知cos x ＝－22，π＜x ＜2π，则x ＝( ) A.3π2 B.5π4 C.4π3D.7π4【解析】 因为x ∈(π，2π)且cos x ＝－22，∴x ＝5π4. 【答案】 B4.等腰三角形的一个底角为α，且sin α＝35，用含符号arcsin x 的关系式表示顶角β＝________.【导学号：72010034】【解析】 由题意，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，又sin α＝35，所以π6<α<π4，π3<2α<π2，π2<π－2α<2π3， 所以β＝π－arcsin 2425. 【答案】 π－arcsin 2425 5.求值：arcsin 32－arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12arctan (－3).【解】 arcsin 32＝π3， arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2π3，arctan(－3)＝－π3， ∴原式＝π3－2π3－π3＝1.我还有这些不足：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.下列叙述错误的是( ) A.arctan y 表示一个⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的角B.若x ＝arcsin y ，|y |≤1，则sin x ＝yC.若tan x2＝y ，则x ＝2arctan y D.arcsin y ，arccos y 中的y ∈[－1,1]【解析】 ∵tan π2＝y ，∴x2＝k π＋arctan y ，∴x ＝2k π＋2arctan y ，故C 错. 【答案】 C2.已知sin α＝－13，－π2＜α＜0，则α等于( ) A.π－arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13B.π＋arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13C.arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13D.－arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13【解析】 －π2＜α＜0，sin α＝－13，所以α＝ arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13.【答案】 C3.若π2＜x ＜π且cos x ＝－56，则x 等于( ) A.arccos 56 B.－arccos 56 C.π－arccos 56D.π＋arccos 56【解析】 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴x ＝arccos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＝π－arccos 56.【答案】 C4.(2016·大连高一检测)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝33，则在区间[0,2π]上解的个数为( )A.5B.4C.3D.2【解析】 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝33，∴2x ＋π3＝k π＋π6(k ∈Z ).即x ＝k π2－π12(k ∈Z ).∵x ∈[0,2π]，∴k ＝1,2,3,4时，x 分别为5π12，1112π，17π12，2312π.故选B. 【答案】 B5.直线x ＋2y ＋1＝0的倾斜角为( )【导学号：72010035】A.arctan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12B.－arctan 12 C.arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－55D.arccos ⎝⎛⎭⎪⎫－255 【解析】 直线x ＋2y ＋1＝0可化为y ＝－12x －12，∴直线斜率k ＝－12，设直线倾斜角为α，则tan α＝－12，故α为钝角，∴cos α＝－255，∴α＝arccos ⎝⎛⎭⎪⎫－255. 【答案】 D 二、填空题6.(2016·威海高一检测)函数y ＝arccos(sin x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤x ≤2π3的值域为________.【解析】 ∵－π3≤x ≤2π3，∴－32≤sin x ≤1， ∴0≤arccos(sin x )≤5π6.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π67.(2016·东营高一检测)若x ＝π3是方程2cos(x ＋α)＝1的解，其中α∈(0,2π)，则角α＝________.【解析】 由条件可知2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12，∴α＋π3＝2k π±π3(k ∈Z ). ∵α∈(0,2π)，∴α＝4π3. 【答案】 4π38.(2016·日照高一检测)已知cos α＝13，α∈[0,2π)，则角α＝________. 【解析】 因为cos α＝13，所以α是第一或第四象限角.又因为α∈[0,2π)， 所以α＝arccos 13或α＝2π－arccos 13. 【答案】 arccos 13或2π－arccos 13 三、解答题9.已知sin α2＝－32，且α是第二象限的角，求角α. 【解】 ∵α是第二象限角，∴α2是第一或第三象限的角. 又∵sin α2＝－32＜0，∴α2是第三象限角. 又sin 4π3＝－32，∴α2＝2k π＋43π(k ∈Z )， ∴α＝4k π＋83π(k ∈Z ).10.(2016·四川高一检测)已知tan α＝－2，根据下列条件求角α. (1)α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2；(2)α∈[0,2π]；(3)α∈R .【解】 (1)由正切函数在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数可知，符合条件tan α＝－2的角只有一个，即α＝arctan(－2).(2)∵tan α＝－2＜0，∴α是第二或第四象限角.又∵α∈[0,2π]，由正切函数在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π、⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，2π上是增函数知，符合tanα＝－2的角有两个.∵tan(π＋α)＝tan(2π＋α)＝tan α＝－2， 且arctan(－2)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α＝π＋arctan(－2)或α＝2π＋arctan(－2). (3)α＝k π＋arctan(－2)(k ∈Z ).[能力提升]1.给出下列等式：①arcsin π2＝1；②arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝π6；③arcsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＝π3；④sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫arcsin 12＝12.其中正确等式的个数是( ) A.1 B.2 C.3D.4【解析】 ①arcsin π2无意义；②③④正确. 【答案】 C2.若直线x ＝k π2(－1≤k ≤1)与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交，则k ＝( )A.14 B.－34 C.14或－34D.－14或34【解析】 要使函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4有意义则2x ＋π4≠m π＋π2，m ∈Z∵直线x ＝k π2(－1≤k ≤1)与y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交，∴x ＝k π2时正切函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4无意义， 即2×k π2＋π4＝π2＋m π， ∴4k ＝4m ＋1.当m ＝0时，k ＝14，满足要求； 当m ＝－1时，k ＝－34满足要求； 当m ＝1时，k ＝54不满足要求， 故满足条件的k ＝14或－34. 【答案】 C3.函数y ＝3－2x ＋π－arccos(2x －3)的定义域是________. 【解析】 要使函数有意义，需有：⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ≥0，－1≤2x －3≤1，解得：1≤x ≤32. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，324.若f (arcsin x )＝x 2＋4x ，求f (x )的最小值，并求f (x )取得最小值时的x 的值. 【解】 令t ＝arcsin x ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，即sin t ＝x ，sin t ∈[－1,1]，于是f (t )＝sin 2t ＋4sin t ，即f (x )＝(sin x ＋2)2－4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2.∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1，即x ＝－π2时，f (x )取得最小值(－1＋2)2－4＝－3.。

§1.3.3 已知三角函数值求角◆ 课前导学 （一）学习目标1．会按照三角函数值求角的大小； 2．能用反三角表示角的大小. （二）重点难点重点：按照三角函数值求角的大小； 难点：反三角表示角的大小 （三）温故知新1．特殊角的三角函数值：sin 6π=__________，cos 6π=__________，tan 6π=__________， sin 4π=__________，cos 4π=__________，tan 4π=__________， sin3π=__________，cos3π=__________，tan3π=__________.2．若角α是锐角，则在[0,2]π内（1）终边与其关于y 轴对称的角（第二象限）是__________； （2）终边与其在同一条直线上的角（第三象限）是__________； （3）终边与其关于x 轴对称的角（第四象限）是__________. ◆ 课中导学 （一） 例题引入◎学习目标一：会按照三角函数值求角的大小. 例1 已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=2,2,22sin ππx x ，求x .★变式1 已知[]sin 0,22x x π=∈，求x 的取值集合.★变式2 已知sin x x R =∈，求x 的取值集合.[小试身手] 已知1sin 2x =-，求 （1）x [0,2]π∈时，x 的取值集合； （2）x [,]ππ∈-时，x 的取值集合. ◎学习目标二：能用反三角表示角的大小. [问题] 若将例1中的条件改成“1sin 3x =”呢？ 结论：1．一般地，对于正弦函数x y sin =，若是已知函数值[]()1,1-∈y y ，那么在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上有唯一的x 值和它对应.记为x =__________，（其中,11≤≤-y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx ）； 2．arcsin (1)y y ≤表示________上正弦等于y 的那个角.[小试身手] =________，1arcsin()2-=________. 例2 已知1sin 3x =，求别离知足下列条件的x 的取值集合. （1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx ；（2）[]0,2x π∈；（3）x [,]ππ∈-；（4）x R ∈.★变式 将例2中的条件改成“1sin 3x =-”，结论别离是什么？例3 （1）已知[]π2,0,22cos ∈-=x x ，求x 的取值集合；（2）已知[]cos 0,2x x π=∈，求x 的取值集合.[问题] 若将例3（2）中的条件改成“1cos 3x =”呢？ 结论：1．一般地，对于余弦函数cos y x =，若是已知函数值[]()1,1-∈y y ，那么在[]0,π上有唯一的x 值和它对应.记为x =__________，（其中,11≤≤-y []0,x π∈）； 2．arccos (1)y y ≤表示________上余弦等于y 的那个角.[小试身手] =________，arccos(2-=________. ★变式 （1）已知[]1cos ,0,23x x π=∈，求x 的取值集合； （2）已知[]1cos ,0,23x x π=-∈，求x 的取值集合.例4 已知⎪⎭⎫⎝⎛-∈-=2,2,33tan ππx x ，求x 的值. [问题] 若将例4中的条件改成“1tan 3x =”呢？ 结论：1．一般地，对于正切函数tan y x =，若是已知函数值()y y R ∈，那么在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上有唯一的x 值和它对应.记为x =__________，（其中y R ∈，,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭）； 2．arctan ()y y R ∈表示________上正切等于y 的那个角.[小试身手] =________，arctan(1)-=________. ★变式 （1）已知1tan ,,322x x ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，求x 的取值集合； （2）已知1tan ,,322x x ππ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，求x 的取值集合.◆ 课后导学 一、选择题1. 下列命题中正确的个数是 ( ) ①6)21arcsin(π-=- ② 00arcsin = ③ 01arcsin = ④ 23)1arcsin(π=- A. 1 B. 2 C. 3 D. 42. 若等于则且是三角形的一个内角，ααα,21sin = ( ) A. ︒30 B. ︒︒15030或 C. ︒60 D.︒︒12060或3. 已知可表示为则且θππθθ),2,(,31sin --∈-=( )A. 31arcsinB.)31arcsin(2---πC. )31arcsin(-+-πD. )31arcsin(---π二、填空题 4. )23arccos(-=________ =-)1arctan(________ =-)22arcsin(_______ 3arctan =__________ =-)33arctan(_______ =-)1arcsin(_______ 5. 用符号表示下列各式中的x (1) )20(53sin π<<=x x ,x =_______ (2)=<<--=x x x ),22(41sin ππ______ (3)=<<=x x x ),20(31cos π________ (4)=<<-=x x x ),02(73cos π________(5) )2(53sin ππ<<=x x ,x =_______ (6) =<<-=x x x ),23(41sin ππ______ 6. 按照下列条件，求A 的内角ABC ∆(1)==A A ,22sin ______________；(2)=-=A A ,21cos ______________； (3)=-=A A ,33tan ___________. 三、解答题7. 的集合求且已知x x x x ,01cos cos 2],,[2=-+-∈ππ.。

高中数学打印版
精心校对版本 1.3.3 已知三角函数值求角
课前导引
情景导入
丽丽和刚刚在一起学习时,突然想出了一个问题问刚刚,已知sinα=1,α的值如何?刚刚不假思索地就回答说是α=2
π,你认为刚刚回答的对吗?
提示:回答的不对,因为满足条件的角应推广到其他周期区间,即α=2kπ+
2π,k ∈Z . 知识网络
1.对于正弦函数y=sinx ，如果已知函数值y(y ∈［-1,1］)，那么在［-
2π,2π］上有唯一x 值和它对应，记为x=arcsiny.若sinx=0.345 8,x ∈［-2π,2
π］，则x 可记为arcsin0.345 8. 2.对于余弦函数y=cosx ，y ∈［-1,1］,则在［0，π］内有唯一x 值和它对应，记为x=arccosy ；对于正切函数y=tanx ，y ∈R ，则在［-
2π,2
π］内有唯一x 值与之对应，记为x=arctany.。

1 . 3 .3已知三角函数值求角一、教学目标1．知识目标：使学生理解符号arcsinx ，arccos x， arctanx 的意义2．能力目标：（ 1）会用符号arcsin x ，arccosx， arctanx 表示角；（ 2）当x为特殊的三角函数值时，会求符号arcsinx ，arccos x， arctanx 的值；（3）使学生更加深刻地认识函数与方程的关系；（4）培养学生运用数学结合的思想直观地解决数学问题。

3．情感目标：通过本节的学习，让学生认识到事物间是相互联系、相互依存的关系，抓住了事物间的内在联系，就能更加清楚地认识事物的有序结构。

二、教学重点、难点本节的重点是已知三角函数的值求角，难点是符号arcsina ，arccosa， arctana 所表示的意义及利用其意义求它们的特殊值。

三、教学方法：利用数形结合思想，从特殊过渡到一般的方法，重点突破用如何 arcsina 来表示角 arcsina 的意义，再运用类比的思想，让学生自主探究符号arcsina ，arccosa， arctana 所表示角的意义四、教学过程：教学教学内容师生互动设计意图环节直师：我们知道，任意给定一个接角，可以唯一地确定其正弦值；引反之，我知道角的正弦值，能否入确定角？巩固符号概arcsina 所表示角的意念生：让学生练习课本 P60 练习义的利用 arcsina 所表示角的意义求值：A组第 3题（ 1）、（ 2）。

深化应13171、引导学生实践，学生通过自己用例 1、比较tan与 tan的大小。

简单利用函数的的实践，真确45举性质解决问题；地体会函数的例13tan 2、通过一个简单性质，强化对解： tan，的问题，探索整个新建构的知识44函数的各种性质，的理解与掌让学生自主的解握。

17tan2决、评价等， 复习tan，巩固刚学的新知55识。

又：042 , y tan x 在 0,内单调递52增，tantan 2,tan tan 2,45451317 。