保送考试构造证明试题选

第21讲构造论证二内容概述各种需要构造具体实例或给出严格论证的组合问题．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析、染色分析和不等式估计等．典型问题兴趣篇1．如图21-1所示，在6×6的警戒方格内，每个哨所可以监视横、竖、斜方向的全部单位方格．现在已经建了两个哨所．请你挑选一个方格，再建立一个哨所，使得所有的方格都被监视到。

2．(1)把1，2，3，…，8，9按合适的顺序填在图21-2第二行的空格中，使得每一列上、下两数之和都是平方数．(2)能否将1，2，3，…，10，1 1按合适的顺序填在图21-3第二行的空格中，使得每一列上、下两数之和都是平方数？3．今有长度为1，2，3，…，198，199的金属杆各一根．请问：能否用上全部的金属杆，不弯曲其中的任何一根，把它们焊接成：(1)一个正方体框架；(2)一个长方体框架？4．老师对六位同学的三门功课语文、数学、体育进行了一次测验，六位同学的体育得分是1分或者2分，数学得分是1分、2分或者3分，语文得分是1分、2分、3分或者4分．如果一位同学的三门功课成绩都不低于另一个同学的三门功课成绩，就说这个同学比另一个同学优秀．测验完成后老师发现这六位同学谁也不比别人优秀，请问：这六位同学三科得分分别为多少？5．把图21-4中的圆圈任意涂上红色或蓝色．问：能否使得每一条直线上的红圈个数都是奇数? 6．(1)能否在4×4的方格表的各个小方格内分别填人数1，2，…，15，16，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？(2)能否在5×5方格表的各个小方格内分别填人数1，2，…，24，25，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？7．图21-5是把一张6×6的方格纸去掉两个角所得的图形．(1)请把所有的格子涂上红、蓝两色之一，使得每个1×2小长方形（不论横竖）的2个方格中都恰有1个红格和1个蓝格；(2)能否用1×2的小长方形恰好拼满这张表格？8．全班25名同学分五排，每排五人坐在教室里，每个座位的前、后、左、右位子称为它的邻座．在儿童节每一位同学都买了一份礼物送给他的一个邻座，能否可以让大家适当地送出礼物，使得每一位同学都刚好收到一份礼物呢？9．将一个4×4的方格表分为如图21-6的5块区域，在其中填人16个互不相同的正整数，使得每一块区域中所填数的和都相等．这16个数的总和最小是多少？10．能否将1，2，3，…，9，10排成一行，使得任意相邻三个数之和都不大于167能否使得任意相邻三个数之和都不大于15 7拓展篇1．有7个不为0的自然数，它们的和正好等于它们的积．请写出一组满足要求的数．2．如图21-7，平面上有5个点，它们之间可以连10条线段，请问：至少要去掉多少条线段，才能使得其中没有以这5个点为顶点的三角形？3．如图21-8，一个幸运转盘分成内圆和外环两部分，并且被五条半径平均分割开．其中内圆是固定的，外环可以转动，但转动后必须使得分割线重新组成半径．请把0至9这10个数字分别填入图中的10个区域，使得不管外环怎么转动，总有大圆的一个扇形的两部分所填数字的和为9．4．平面上6条直线，它们的交点称为“结点”，每条直线上“结点”的个数称为这条直线的“标志数”，图21-9中的3条直线的“标志数”都等于2，只有一种取值；图21-10中的3条直线的“标志数”却有两种取值．现在请你用直尺画出6条直线，使得它们中间任何3条直线都不共点，且相应的6个“标志数”至少取3个不同的数值．5．(1)能否将1至8这8个数放在一条直线上，使得任意三个相邻数的和都不小于13？(2)能否将l至8这8个数放在一个圆圈上，使得任意三个相邻数的和都不小于13？6．一本故事书有10篇故事，这些故事占的篇幅从1页到10页各不相同，如果从书的第1页开始印第一个故事，每一个故事总是从新的一页开始印，那么故事从奇数页起头的最多有几篇？最少有几篇？7．在4×4的方格表中至少应该去掉多少个格子，才能使得剩下的图形中不存在如图21-11所示的“L型”？8．黑板上写着3个数8、18、28，老师现在请一些同学上黑板对这3个数进行操作．进行一次操作是指：把3个数进行如下变化，或者减1，或者加2．请问：能否经过若干次操作后得到6、7、87能否经过若干次操作后得到8、8、879．有3堆石子，每次可以从这三堆中同时拿走相同数目的石子（各次这个数目可以改变），也可以由一堆中取一半石子放人另外任一堆石子中．请问：(1)如果开始时，3堆石子的数目分别是34、55、82，按上述操作，能否把3堆石子都拿光？(2)如果开始时，3堆石子的数目分别是80、60、50，按上述操作，能否把3堆石子都拿光？如果可以，请设计一种取石子的方案；如果不可以，请说明理由．10．(1)能否将l至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为平方数？(2)能否将1至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为质数？11．(1)能否用16个如图21-12所示的“T型”拼成一个8×8的棋盘？(2)能否用8个如图21-12所示的“T型”和8个如图21-13所示的“L型”拼成一个8×8的棋盘？(3)能否用1个如图21-12所示的“T型”和15个如图21-13所示的“L型”拼成一个8×8的棋盘？12．(1)能否用9个如图21-14所示的1×4的长方形拼成一个6×6的棋盘？(2)能否用9个如图21-15所示的“L型”拼成一个6×6的棋盘？超越篇1．能否可以用77个3×3×1的长方体小木块装满一个7×9×11的长方体匣子（匣内不留任何空隙）?若能，请给出具体装法；若不能，请说明理由．2．黑板上写着两个数1和2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数a和b，则增写a×b + a + b 这个数，比如：可增写5（因为1×2 + 1 + 2 = 5）；可增写11(因为1×5 + l + 5 = 11)．一直写下去，请问：能否得到下面两个数？若能，请你写出得出的过程；若不能，请说明理由．(1) 143；(2) 144.3．将平面上每一点都染成红、黄两种颜色之一．证明：无论怎样染色，都一定存在长为1的线段，它的两个端点是同样颜色的．4．在6×6的方格表中至少需要放多少个棋子，才能保证每行、每列以及每一条与对角线平行的直线上都有棋子？（角上单独一个格子也可以组成一条与对角线平行的直线，图21-16中阴影部分的三个格子组成的直线也是与对角线平行的直线．）5．(1)能否从图21-17中的A格出发，每次走到相邻的小格子，最后走到B格，并且每个格子都刚好到一次？(2)中国象棋的马是走“日”字型路线．如图21-18，如果马在A点，那么它能跳到B、C、D、E 四点之一．如果马开始在A点，它能否跳3步后回到A点；能否跳9步后回到A点？6．如图21-19，用若干个1×6和1×7的小长方形既不重叠，也不留孔隙地拼成一个11×12的大长方形，最少要用小长方形共多少个？7．六位音乐家在一个音乐节上相聚，在安排的每场音乐会上，有某些音乐家演奏，而另外几位音乐家就作为观众欣赏演出．要使每位音乐家都能够作为观众观看其他任何一位音乐家的表演，这样的音乐会至少要安排几场？为什么？8．把11×11的方格纸分成若干张3×3、2×2或1×1的小纸片，最少能分成多少张？第21 讲构造论证二兴趣篇1、如图所示，在 6⨯ 6 的警戒方格内，每个哨所可以监视横、竖、斜方向的全部单位方格。

2017年温州中学保送生招生综合素质测试数学试题（本卷满分150，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置）1．若a b <，代数式()2b a aa ba--的化简结果是（ ）A .aB .a -C .a -D .a -- 解：()()()2222000,b a aa a a bb a b a a a a a baa b a ->⇒>⇒<---⎛⎫∴=-⋅=- ⎪--⎝⎭由2．已知,a b 为整数，且方程20x ax b ++=的一个根是23-，则另一个根为（ ） A .23-+ B .23+ C .23-- D .23-()()()()222230232307243072=04,4=0141023x x ax b a b a b a a b a a b a b x x x =-++=⇒-+-+=⇒+++--=++=-⎧⎧∴⇒⎨⎨--=⎩⎩∴-+=⇒=±Q 代入均为整数，3．如图1，在正方体ABCD -1111A B C D 中，2AB =，M 为棱1CC 的中点，P 为四边形1111A B C D 所在平面上的动点，Q 为四边形11BDD B 所在平面上的动点，设△MPQ 的周长为c ，若c k > 恒成立，则k 的最大值为（ ）A .22B .23C .221+D .231+()111111121211111112122222121212max ,,,2222323,23M A B C D M M BDD B M M M A B C D BDD B P Q MPQ MP PQ MQ M P PQ M Q M M M M MM MM c M M k ++=++==+=+=∴≥=∴=作关于平面的对称点，作关于平面的对称点，连接分别交平面，平面于点此时△的周长最小.4．已知,,x y z 为实数，且5x y z ++=，3xy yz zx ++=，若z 的 最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值为（ ）A.73 B .83C .3D .103()()()()()()()()222222max min 553333553,55305453031013031310131313113;3313131,1133x y z x y zxy yz zx xy m yz zx z x y z z z z x y z m z z z z z z z z z z z x y z x y z z ++=⇒+=-++=⇒=--=+=-+=--=-+-+-+=---+≥⇒--≤⇒-+≤⇒-≤≤=-=======-⇒-=△以为根构造一元二次方程：当时，解得当时，解得综上所述：035．如图2，已知△ABC 与△GHI 为两个全等的正三角形，点G 为△ABC 的重心，GH 交BC 于点D ，GI 交BC 于点E ，设 BGD α∠=，060α︒≤≤︒，△GDE 的面积为S ，则S 作为α的 函数，所对应的图像是（ D ）A B C D6．如图3，在锐角ABC ∆中，60ACB ︒∠=，点D 为线段 AB 上的一点，ACD ∆的外接圆交BC 于点M ，BCD ∆的外接圆交AC 于点N ，则CM CNCA CB+=（ ） A ．1 B ．3 C ．62 D ．32()()()()222222222222222cos 2cos602AN AC AD AB AC CN AC AB BD AB AC CN AC AB BD ABBD AB BM BC BC CM BC BC CM BC AC CN AC AB BC CM BC AC BC AB CN AC CM BCAC BC AB ACB AC BC AB AC BC AC BCCN AC CM BC AC BC ⋅=⋅⇒-⋅=-⋅⇒-⋅=-⋅⋅=⋅=-⋅=-⋅∴-⋅=--⋅⇒+-=⋅+⋅+-∠=⇒+-=⋅⋅︒=⋅∴⋅+⋅=⋅⇒又又1CM CNCA CB +=二、填空题：（本大题共8小题，每小题6分，共48分)7．关于x 的方程1122k x x +=-有且只有一个实根，则k =___________．()()()()()221212114022(1)220242421600,4042304k x x x x x x x x k k k k k k k k +=⇒-+=-===-==++-=⇒==-==-==-△当当，符合题意时，方程不成立时，时，方程的解为增根；时，方程的解为当当，不合题意所以，8．函数12131y x x x =-+-+-的最小值为____________．min 12131=12311111111=2322333111111,,,,,11333223y x x x x x x x x x x x x x x y =-+-+--+-+--+-+-+---++=⇒==当时， 9．某次台球比赛之后，老陈、小苏、小刘三人各获得了一枚奖牌，其中一人获得金牌、一个获得银牌、一人获得铜牌．老胡猜测：“老陈没有获得金牌、小苏获得金牌、小刘得到的不是铜牌”．结果老胡只猜对了一个，由此推断：得到金牌的人是____________． 列表假设法：①老陈没有获得金牌（√），小苏获得金牌（×），小刘得到的不是铜牌（×） 可知：小刘铜牌，老陈银牌，小苏金牌，矛盾！②老陈没有获得金牌（×），小苏获得金牌（√），小刘得到的不是铜牌（×） 可知：老陈金牌，矛盾！③老陈没有获得金牌（×），小苏获得金牌（×），小刘得到的不是铜牌（√） 可知：老陈金牌，小刘银牌，小苏铜牌符合题意。

【内容概述】组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．【例题】1．某学校的学生中，没有一个学生读过学校图书馆的所有图书，又知道图书馆内任何两本书都至少被一个同学都读过．问：能否找到两个学生甲、乙和三本书A，B，C，使得甲读过A，B，没读过C，乙读过B，C，没读过A?说明判断过程．[分析与解]首先从读书数最多的学生中找一人甲．由题设，甲至少有一本书C未读过．设B是甲读过的书中一本，由题意知，可找到学生乙，乙读过B、C．由于甲是读书数最多的学生之一，乙读书数不能超过甲的读书数，而乙读过C书．甲未读过C书，所以甲一定读过一本书A，乙没读过A书，否则乙就比甲至少多读过一本书，这样一来，甲读过A、B，未读过C；乙读过B、C 未读过A．因此可以找到满足要求的两个学生．2．甲、乙、丙三个班人数相同，在班级之间举行象棋比赛．各班同学都按l，2，3，4，…依次编号．当两个班比赛时，具有相同编号的同学在同一台对垒．在甲、乙两班比赛时，有15台是男、女生对垒；在乙、丙班比赛时，有9台是男、女生对垒．试说明在甲、丙班比赛时，男、女生对垒的台数不会超过24．并指出在什么情况下，正好是24？[分析与解]不妨设甲、乙比赛时，1～15号是男女对垒，乙、丙对赛时，在1～15号中有a台男女对垒，15号之后有(9－a)台男女对垒(0≤a≤9)甲、丙比赛时，前15号，男女对垒的台数时15－a(如果1号乙与1号丙是男女对垒，那么1号甲与1号丙就不是男女对垒)，15号之后，有(9－a)台男女对垒．所以甲、丙比赛是，男女对垒的台数为(15－a)+(9－a)＝24－2a≤24．仅在a＝0，即必须乙、丙比赛时男、女对垒的号码，与甲、乙比赛时男、女对垒的号码完全不同，甲、丙比赛时，男、女对垒的台数才等于24．3．将5×9的长方形分成10个边长为整数的长方形．证明：无论怎样分法，分得的长方形中必有两个是完全相同的．[分析与解]10个边长为整数的长方形，其面积显然也均是正整数．划分出的长方形按面积从小到大为：1×1，1×2，1×3，1×4，2×2，1×5，1×6，2×3，1×7，1×8，2×4，1×9，3×3，2×5，2×6，3×4，2×7，3×5，2×8，4×4，2×9，3×6，……从这些长方形中选出10个不同的长方形，其面积和最小为：1×1+1×2+1×3+1×4+2×2+1×5+1×6+2×3+1×7+1×8＝46，而原长方形的面积为5×9＝45＜46，所以分出的长方形必定有某两个是完全一样的．在8×8的棋盘上至少要取出多少个边长为整数的正方形，才能保证使取出的正方形中有两类图形的个数不小于2？4．将15×15的正方形方格表的每个格涂上红色、蓝色或绿色．证明：至少可以找到两行，这两行中某一种颜色的格数相同．[分析与解]如果找不到两行的某种颜色数一样，那么就是说所有颜色的列与列之间的数目不同．那么红色最少也会占：0+1+2+…+14＝105个格子．同样蓝色和绿色也是，这样就必须有至少：3×(0+1+2+…+14)＝315个格子．但是，现在只有15×15＝225个格子，所以和条件违背，假设不成立，结论得证．能否在8×8的棋盘上每个空格内分别填入一个数字，1，2或3，使每行每列及两条对角线上的各个数字之和互不相同？请说明理由；5．有9位数学家，每人至多能讲3种语言，每3个人中至少有2个人有共通的语言．求证：在这些数学家中至少有3人能用同一种语言交谈．[分析与解]假设任意三位科学家都没有共同会的语言，这表明每种语言至多有两人会说．记这九位科学家为A、B、C、D、E、F、G、H、I．由于一位科学家最多会三种语言，而每种语言至多有两人会说，所以一位科学家至多能和另外三人通话，即至少与五人语言不通．不妨设A不能与B，C，D，E，F 通话．同理，B也至多能和三人通话，因此在C，D，E，F中至少有一人与B语言不通，设为C．则A、B、C三人中任意两人都没有共同语言，与题意矛盾．这表明假设不成立．6．4个人聚会，每人各带了2件礼品，分赠给其余3个人中的2人．试证明：至少有2对人，每对人是互赠过礼品的．[分析与解]将这四个人用4个点表示，如果两个人之间送过礼，就在两点之间连一条线．由于每人送出2件礼物，图中共有(4×2＝)8条线，由于每人礼品都分增给2个人，所以每两点之间至多有(1+1＝)2条线．四点间，每两点连一条线，一共6条线，现在有8条线，说明必有两点之间连了2条线，还有另外两点(有一点可以与前面的点相同)之间也连了2条线．即为所证结论．有5个人站成一周，每人手里有一只玩具手枪和3发子弹，每个人都可以向圆周上的其他三人各开一枪，试证明：至少有5对人是相互开过枪的。

构造全等三角形证题一、延长中线构造全等三角形例1. 如图1，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。

证明：延长AD至E，使AD＝DE，连接CE。

如图2。

∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD。

又∵∠1＝∠2，AD＝DE，∴△ABD≌△ECD（SAS）。

AB＝CE。

∵在△ACE中，CE＋AC＞AE，∴AB＋AC＞2AD。

二、沿角平分线翻折构造全等三角形例2. 如图3，在△ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C。

求证：AB＋BD＝AC。

证明：将△ABD沿AD翻折，点B落在AC上的E点处，即：在AC上截取AE＝AB，连接ED。

如图4。

∵∠1＝∠2，AD＝AD，AB＝AE，∴△ABD≌△AED（SAS）。

∴BD＝ED，∠ABC＝∠AED＝2∠C。

而∠AED＝∠C＋∠EDC，∴∠C＝∠EDC。

所以EC＝ED＝BD。

∵AC＝AE＋EC，∴AB＋BD＝AC。

三、作平行线构造全等三角形例3. 如图5，△ABC中，AB＝AC。

E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F。

求证：EF＝FD。

证明：过E作EM∥AC交BC于M，如图6。

则∠EMB＝∠ACB，∠MEF＝∠CDF。

∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB。

∴∠B＝∠EMB。

故EM＝BE。

∵BE＝CD，∴EM＝CD。

又∵∠EFM＝∠DFC，∠MEF＝∠CDF，∴△EFM≌△DFC（AAS）。

EF＝FD。

四、作垂线构造全等三角形例4. 如图7，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC。

M是AC边的中点。

AD⊥BM交BC于D，交BM于E。

求证：∠AMB＝∠DMC。

证明：作CF⊥AC交AD的延长线于F。

如图8。

∵∠BAC＝90°，AD⊥BM，∴∠FAC＝∠ABM＝90°－∠BAE。

∵AB＝AC，∠BAM＝∠ACF＝90°，∴△ABM≌△CAF（ASA）。

∴∠F＝∠AMB，AM＝CF。

∵AM＝CM，∴CF＝CM。

知识框架各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则需要着眼于极端情况，或从整体把握。

若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题。

若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．例题精讲板块一、最佳安排和选择方案【例1】在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009．然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？【巩固】一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚．下面我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是颜色(填“黑”或者“白”)．构造与论证【例2】在1997×1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮．按钮每按一次，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮．如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【巩固】有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：(1)某2堆石子全部取光?(2)3堆中的所有石子都被取走?欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【例3】在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高?欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【巩固】n支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：（1）n=4是否可能？（2）n=5是否可能？【例4】如图，在时钟的表盘上任意作9个120°的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖4个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到3个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数．并举一个反例说明，作8个扇形将不能保证上述结论成立．【巩固】将1、2、3、4、5、6写在一个圆周上，然后把圆周上连续三个数之和写下来，则可以得到六个数1a 、2a 、3a 、4a 、5a 、6a ，将这六个数中最大的记为A ．请问在所有填写方式中，A 的最小值是什么？632541【例5】1998名运动员的号码依次为1至1998的自然数．现在要从中选出若干名运动员参加仪仗队，使得剩下的运动员中没有一个人的号码等于另外两人的号码的乘积．那么，选为仪仗队的运动员最少有多少人?【巩固】一组互不相同的自然数，其中最小的数是1，最大的数是25，除1之外，这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中某两个数之和.问：这组数之和的最小值是多少?当取到最小值时，这组数是怎样构成的?欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【例6】2004枚棋子，每次可以取1、3、4、7枚，最后取的获胜。

2012年北京大学保送生面试题考试时间：12月17日和12月18日考试形式：笔试和面试笔试科目：有5科，理科考语文、数学、英语、物理、化学；文科考语文、数学、英语、历史、政治；面试目的：考查考生的综合素质北大政策：学校自主选拔与保送生考试分别举行。

在本次保送生测试中获得笔试资格的考生，同时报名参加自主选拔的，可自动获得北大2012年自主选拔的笔试资格。

最终被认定为保送生的，不必参加北大2012年的自主选拔测试；未被认定的，可参加北大自主选拔测试。

学校将择优给予保送或者自主选拔认定。

考试题目：要求根据所给的一段关于火车晚点不予退款和在退票、改签问题上对普通列车与动车的旅客差别对待的材料，写一封“一个普通乘客致铁道部长的公开信”。

2012北京大学保送生面试形式面试时间：10到12分钟30分钟左右；面试类型：一人一组，文理分开五人一组，文理混合；面试方式理科生中文面试，文科生英文加中文面试。

理科生由3位老师做考官，老师拿着学生事先交上的个人陈述分别提问，主要是个人问题，一般3到4道题。

文科生面试有10多道题，每道题限制回答时间，大多针对学生本身。

中文面试。

每个考场有3个老师，5个考生。

考生有5个题目可以选择。

考生先抽取题目，有一次更换题的机会。

依次进行自我介绍、回答自己所抽到的问题，最后，由整组的同学对共同的5道题目进行讨论，时间为20分钟。

因为一贯具有“兼容并蓄”的包容精神，北大的面试考题同样包罗万象，在面试题目中，考查学生对社会热点问题看法的题目占了一半。

2012年北京大学保送生部分面试题：社会热点1.对天宫一号的发射与对接有什么看法？2.中国经济发展的同时物价也在上涨，你怎么理解？3.怎么看梵蒂冈教皇在建设天文台时请科学家来进行研究？4.谈谈你对中国土地政策、土地资源配置的认识。

5.你觉得什么样的食品是“绿色食品”？6.很多学“临床医学”的人毕业以后宁可在大城市里卖药，也不愿去乡村行医，对此怎么看待？7.怎么看待经济增长与国民幸福指数的关系？8.有人认为，高考选拔制度必须统一标准，这样有利于人才选拔和社会公平，但也有人认为，应该在高考选拔的基础上进行多元选拔，请谈谈你的看法。

2020年士兵提干考试综合能力分析推理—数学运算每日练习二十道题(31)关键词：士兵提干张为臻大学生士兵提干提干考试辅导分析推理数学运算【大学毕业生士兵提干】2020年大学毕业生士兵提干考试：考试时间为150分钟。

单项选择145题，其中政治理论知识15题、军事知识50题、基本常识30题、分析推理50题;综合能力2题。

满分为400分。

其中政治理论基本知识、军事知识、基本常识每题2分，共190分;分析推理每题3分，共150分;综合能力每题30分，共60分。

【优秀士兵保送入学】2020年优秀士兵保送入学考试：考试时间为180分钟。

单项选择195题，其中政治理论知识15题、军事知识50题、基本常识30题、科学知识综合50题(语文、数学、英语、物理、化学各10题)、分析推理50题;综合能力2题。

满分500分。

其中政治理论知识、军事知识、基本常识、科学知识综合每题2分，共290分;分析推理每题3分，共150分;综合能力每题30分，共60分。

1、几个朋友相约游泳，男士统一戴白色泳帽，女士统一戴红色泳帽。

每位男士看到的白色泳帽数量与红色泳帽数量一样多，每位女士看到的白色泳帽数量都是红色泳帽数量的倍数。

女士最少有( )人。

A.1B.2C.3D.42、某工厂接了一批订单，要生产2400件产品。

在开始生产10天后，由于工艺改进每天多生产30件产品，结果提前2天交货。

问该厂没有改进工艺前，每天能生产多少件产品?A.100B.120C.150D.1803、甲、乙两人生产零件，甲的任务量是乙的2倍，甲每天生产200个零件，乙每天生产150个零件，甲完成任务的时间比乙多2天，则甲、乙任务量总共为多少个零件?A.1200B.1800C.2400D.36004、甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前进。

如果每个人按一定的速度前进，4小时相遇;如果各自每小时比原计划少走1千米，5小时相遇。

则AB两地的距离是：A.40千米B.20千米C.30千米D.10千米5、小李驾车从甲地去乙地，如果比原车速提高25%，则比原定时间提前30分钟到达。

一、选择题1．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（ ）打碎了玻璃． A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁2．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n k =时成立推导1n k =+时成立时，()f n =1+1112321n ++⋅⋅⋅+-增加的项数是( ) A ．1B ．21k +C ．2kD ．21k -3．已知n 为正整数用数学归纳法证明2()135(21)f n n n =++++-=时，假设*(n k k N =∈）时命题为真，即2()f k k =成立，则当1n k =+时，需要用到的(1)f k +与()f k 之间的关系式是( )A ．(1)()23f k f k k +=+-B ．(1)()21f k f k k +=+-C ．(1)()21f k f k k +=++D ．(1)()23f k f k k +=++ 4．已知一列数按如下规律排列，1，3，-2，5，-7，12，-19，31，…，则第9个数是( ) A ．50B ．42C ．-50D ．-425．给出下面四个推理：①由“若a b 、是实数，则+≤+a b a b ”推广到复数中，则有“若12z z 、是复数，则1212z z z z +≤+”；②由“在半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”类比推出“在半径为R 的球内接长方体中，正方体的体积最大”；③以半径R 为自变量，由“圆面积函数的导函数是圆的周长函数”类比推出“球体积函数的导函数是球的表面积函数”；④由“直角坐标系中两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的中点坐标为1212(,)22x x y y ++”类比推出“极坐标系中两点11(,)C ρθ、22(,)D ρθ的中点坐标为1212(,)22ρρθθ++”．其中，推理得到的结论是正确的个数有（ ）个 A ．1B ．2C ．3D ．46．用数学归纳法证明 11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111313233k k k +++++ B ．112313233k k k +-+++ C ．11331k k -++ D ．133k +7．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）A．丙被录用了B．乙被录用了C．甲被录用了D．无法确定谁被录用了8．圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖充之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图所示，当圆的内接正多边形的边数为720时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（）A．0720sin0.125720sin0.25D．0 720sin1B．0720sin0.5C．0是无限不循环小数，所以e是无理数”，以上推理的大前提是9．“因为e 2.71828（）A．实数分为有理数和无理数B．e不是有理数C．无限不循环小数都是无理数D．无理数都是无限不循环小数10．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是()A．甲B．乙C．丙D．丁11．请观察这些数的排列规律，数字1位置在第一行第一列表示为（1,1），数字14位置在第四行第三列表示为（4,3），根据特点推算出数字2019的位置A．（45,44）B．（45,43）C．（45,42）D．该数不会出现12．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i(i＝1，2，…，10)个人的水桶需T i分钟，假设T i各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少() A．从T i中最大的开始，按由大到小的顺序排队B ．从T i 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近T i 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变二、填空题13．在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆周长为1C ，外接圆周长为2C ，则1212C C =.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球表面积为1S ，外接球表面积为2S ，则12S S =__________． 14．已知数列{}n a 为等差数列，则有12320a a a -+= 1234330a a a a -+-= 123454640a a a a a -+-+=类似上三行,第四行的结论为________________.15．(2016·开封联考)如图所示，由曲线y ＝x 2，直线x ＝a ，x ＝a ＋1(a >0)及x 轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即1222(1)a aa x dx a +<<+⎰.运用类比推理，若对∀n ∈N *，111111122121A n n n n n n +++<<++++++-恒成立，则实数A ＝________.16．在ABC ∆中，D 为BC 的中点，则()12AD AB AC =+，将命题类比到三棱锥中去得到一个类比的命题为__________．17．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖 块.18．下列式子：13=(1×1)2，13+23 +33 =(2×3)2，l 3+23 +33 +43 +53 =(3×5)2， l 3 +23 +33+ 43 +53 +63 +73=(4×7)2，… 由归纳思想，第n 个式子3333123(21)n ++++-=________19．已知()0,x ∈+∞，观察下列各式：12x x +≥，2244322x x x x x+=++≥，3327274333x x x x x x+=+++≥，…，类比得()*1na x n n N x +≥+∈，则a =________． 20．给出下列等式：； ；，由以上等式推出一个一般结论： 对于=________________________．三、解答题21．选修4-5：不等式选讲 已知，，函数的最小值为．（1）求的值；（2）证明：与不可能同时成立．22．观察下列等式：11=；2349++=； 3456725++++=；4567891049++++++=；……（1）照此规律，归纳猜想第()*n n N ∈个等式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想. 23．观察下列不等式：413<； 218125+<； 2211121237++<； 2221111612349+++<； ……（1）由上述不等式，归纳出与正整数n 有关的一个一般性结论； （2）用数学归纳法证明你得到的结论.24．已知,a b ∈R ，且1a b +=求证：()()2225222a b +++≥. 25．依次计算数列114⎛⎫-⎪⎝⎭，111149⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1111114916⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11111111491625⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，的前4项的值，由此猜想21111111111491625(1)n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪⎪⎪⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（n *∈N ）的结果，并用数学归纳法加以证明.26．是否存在常数c,使得不等式2222x y x y c x y x y x y x y+≤≤+++++对任意正数x, y 恒成立？试证明你的结论.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】假设其中一个人说了谎，针对其他的回答逐个判断对错即可，正确答案为丁． 【详解】假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾， 假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意， 所以是丁打碎了玻璃； 故选：D 【点睛】本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题．2．C解析：C 【解析】分析：分别计算当n k =时，()1?f k = + 1112321k ++⋅⋅⋅+-，当1n k =+成立时， ()1?f k = + 1111123212221k k k k ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+-+-，观察计算即可得到答案详解：假设n k =时成立，即()1?f k = + 1112321k ++⋅⋅⋅+- 当1n k =+成立时，()1?f k = + 1111123212221k k k k ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+-+- ∴增加的项数是()()221212k k k k +---=故选C点睛：本题主要考查的是数学归纳法。

一、选择题1．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学考试的成绩老师说：你们四人中有两位优秀、两位良好，我现在给乙看甲、丙的成绩，给甲看丙的成绩，给丁看乙的成绩，看后乙对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（ ） A ．甲可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．甲、丁可以知道对方的成绩D ．甲、丁可以知道自己的成绩2．正四面体ABCD 的棱AD 与平面α所成角为θ，其中02πθ<<，点D 在平面α内，则当四面体ABCD 转动时（ ）A ．存在某个位置使得BC α，也存在某个位置使得BC α⊥B ．存在某个位置使得BC α，但不存在某个位置使得BC α⊥ C ．不存在某个位置使得BC α，但存在某个位置使得BC α⊥D ．既不存在某个位置使得BC α，也不存在某个位置使得BC α⊥3．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是 ( )A ．B ．C ．D ．4．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为（ ）A ．nB ．2nC ．1n +D ．1n -5．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f ，…，可推出(10)f =（ ） A ．271B ．272C ．273D ．2746．用反证法证明命题①：“已知332p q +=，求证：2p q +≤”时，可假设“2p q +>”；命题②：“若24x =，则2x =-或2x =”时，可假设“2x ≠-或2x ≠”.以下结论正确的是（ ） A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确 C ．①的假设正确，②的假设错误D ．①的假设错误，②的假设正确7．周末，某高校一学生宿舍甲乙丙丁四位同学正在做四件事情，看书、写信、听音乐、玩游戏，下面是关于他们各自所做事情的一些判断： ①甲不在看书，也不在写信； ②乙不在写信，也不在听音乐；③如果甲不在听音乐，那么丁也不在看书； ④丙不在看书，也不写信.已知这些判断都是正确的，依据以上判断，请问乙同学正在做的事情是（ ） A ．玩游戏 B ．写信 C ．听音乐 D ．看书 8．用数学归纳法证明“11112321n++++- ”时，由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数是（ ）A ．12k -B ．21k -C ．2kD ．21k +9．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁10．利用反证法证明“若220x y +=，则0x =且0y =”时，下列假设正确的是（ ） A ．0x ≠且0y ≠ B ．0x =且0y ≠ C ．0x ≠或0y ≠D ．0x =或0y =11．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需T i 分钟，假设T i 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( ) A ．从T i 中最大的开始，按由大到小的顺序排队 B ．从T i 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近T i 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变12．已知,,(0,2)a b c ∈，则(2),(2),(2)a b b c c a ---中（ ） A ．至少有一个不小于1 B ．至少有一个不大于1 C ．都不大于1D ．都不小于1二、填空题13．记I 为虚数集，设,,,a b R x y I ∈∈，则下列类比所得的结论正确的是__________．①由·a b R ∈，类比得·x y I ∈ ②由20a ≥，类比得20x ≥③由()2222a b a ab b +=++，类比得()2222x y x xy y +=++ ④由0,a b a b +>>-，类比得0,x y x y +>>-14．将正整数对作如下分组，第1组为()(){}1,2,2,1，第2组为()(){}1,3,3,1，第3组为()()()(){}1,4,2,3,3,2,4,1，第4组为()()()(){}1,5,2,44,25,1⋅⋅⋅⋅⋅⋅则第30组第16个数对为__________．15．已知函数()xf x xe =，()1'f x 是函数()f x 的导数，若()1n f x +表示()'n f x 的导数，则()2017f x =__________．16．某成品的组装工序流程图如图所示，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间（小时），不同车间可同时工作，同一车间不能同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是__________小时．17．研究cos n α的公式，可以得到以下结论：2cos )22cos )32cos )42cos )22cos )52cos )32cos )62cos )42cos )22cos )72cos )52cos )32cos 2(2,2cos3(3(2cos ),2cos 4(4(2,2cos5(5(5(2cos ),2cos 6(6(9(2,2cos 7(7(14(7(2cos ααααααααααααααααααααα=-=-=-+=-+=-+-=-+-),以此类推：422cos8(2cos )(2cos )(2cos )16(2cos )m p n q r ααααα=++-+，则m n p q r ++++=__________．18．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖 块.19．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可测，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式222+++中，“…”即代表无数次重复，但该表达式却是个定值，它可以通过方程2x x +=，求得2x =，类比上述过程，则3333=__________．20．观察下列各式：0014C =011334C C +=01225554;C C C ++=0123377774C C C C +++=……照此规律，当n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++=______________.三、解答题21．在数列中，．（1）求的值；（2）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．22．已知函数()2231x f x x -=+．（1）计算()()13,4,3f f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭及14f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）由（1）的结果猜想一个普遍的结论，并加以证明； （3）求值：()()()111122015232015f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．23．已知数列()1111,,,,,1223341n n ⨯⨯⨯+，（1）先计算前几项和123,,,S S S 并猜想前n 项和n S 的表达式； （2）用数学归纳法证明n S 的表达式。

一、选择题1．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（ ）打碎了玻璃． A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁2．2018年暑假期间哈六中在第5届全国模拟联合国大会中获得最佳组织奖，其中甲、乙、丙、丁中有一人获个人杰出代表奖，记者采访时，甲说：我不是杰出个人；乙说：丁是杰出个人；丙说：乙获得了杰出个人；丁说：我不是杰出个人，若他们中只有一人说了假话，则获得杰出个人称号的是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁3．用反证法证明“若x y <，则33x y <”时，假设内容应是（ ） A ．33x y =B ．33x y >C ．33x y =或33x y >D ．33x y =或33x y <4．命题“若,x y >则()()()()332222x y x y x yx xy y -+=--+”的证明过程：“要证明()()()()332222x y x y x y x xy y -+=--+， 即证()()()()()3322.x y x y x y x y x xy y -+=-+-+因为,x y >即证()()3322x y x y x xy y +=+-+，即证33322223,x y x x y xy x y xy y +=-++-+ 即证3333,x y x y +=+因为上式成立，故原等式成立应用了（ ） A ．分析法B ．综合法C ．综合法与分析法结合使用D ．演绎法5．周末，某高校一学生宿舍甲乙丙丁四位同学正在做四件事情，看书、写信、听音乐、玩游戏，下面是关于他们各自所做事情的一些判断： ①甲不在看书，也不在写信； ②乙不在写信，也不在听音乐；③如果甲不在听音乐，那么丁也不在看书； ④丙不在看书，也不写信.已知这些判断都是正确的，依据以上判断，请问乙同学正在做的事情是（ ） A ．玩游戏 B ．写信 C ．听音乐 D ．看书6．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅，…，癸酉，甲戌，乙亥，丙子，…，癸未，甲申、乙酉、丙戌，…，癸巳，…，共得到60个组成，周而复始，循环记录，2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的（ ） A ．乙亥年B ．戊戌年C ．庚子年D ．辛丑年7．袋子里有编号为2,3,4,5,6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号. 甲说：“我无法确定.” 乙说：“我也无法确定.”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了.” 根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中 A ．一定有3号球 B ．一定没有3号球C ．可能有5号球D ．可能有6号球8．用反证法证明“自然数,,a b c 中至多有一个偶数”时，假设原命题不成立，等价于( )A ．,,a b c 没有偶数B ．,,a b c 恰好有一个偶数C ．,,a b c 中至少有一个偶数D ．,,a b c 中至少有两个偶数9．“因为e 2.71828 是无限不循环小数，所以e 是无理数”，以上推理的大前提是（ ）A ．实数分为有理数和无理数B ．e 不是有理数C ．无限不循环小数都是无理数D ．无理数都是无限不循环小数10．一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a ，b ，c ，d 四件奖品（每扇门里仅放一件）.甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ；乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d ；丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a ，3号门里是c .如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（ ） A ．aB ．bC ．cD ．d11．下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（ ）A ．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条直线，若，则 B ．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条向量，若，则C ．在平面内，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为.类比推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为，则它们的体积比为D ．若，则复数.类比推理：“若，则”12．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是 （ ）2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 1 4033 4031 4029…………11 9 7 5 38064 8060………………20 16 12 8 16124……………………36 28 20 ……………………… A ．201620172⨯ B ．201501822⨯ C ．201520172⨯D ．201601822⨯二、填空题13．已知f (x )＝21xx +（x ＞0），若f 1(x )＝f (x )，f n +1＝f （f n (x )），n ∈N *，则猜想f 2020(x )＝_____.14．下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成.通过观察可以发现第10个图形中火柴棒的根数是 ________．15．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是__________．16．某成品的组装工序流程图如图所示，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间（小时），不同车间可同时工作，同一车间不能同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是__________小时．17．36的所有约数之和可以按以下方法得到：因为223623=⨯，所以36的所有正约数之和为()()()()()22222222133223232232312213391++++⋅+⋅++⋅+⋅=++++=，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为__________． 18．下列式子：13=(1×1)2，13+23 +33 =(2×3)2，l 3+23 +33 +43 +53 =(3×5)2， l 3 +23 +33+ 43 +53 +63 +73=(4×7)2，… 由归纳思想，第n 个式子3333123(21)n ++++-=________19．研究问题：“已知关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为(1,2)，解关于x 的不等式20cx bx a -+>”，有如下解法：由22110()()0ax bx c a b c x x-+>⇒-+>，令1y x =，则1(,1)2y ∈，所以不等式20cx bx a -+>的解集为1(,1)2，类比上述解法，已知关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为(2,1)(2,3)--⋃，则关于x 的不等式1011kx bx ax cx -+<--的解集为__________.20．观察下列式子：，，，，…，根据以上规律，第个不等式是_________.三、解答题21．已知函数2()1f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2425()n n S n n f a +=+． （1）求1234,,,a a a a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 22．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13a =，()211324222n n S S n n n -=+-+≥. （1）求2a ，3a ，4a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.23．如图，已知点O 是ABC 内任意一点，连接AO 、BO 、CO ，并延长交对边于1A 、1B 、1C ，则1111111OA OB OC AA BB CC ++=，这是平面几何中的一个命题，其证明常采用“面积法”.运用类比猜想点O 是空间四面体A BCD -内的任意一点，连接AO 、BO 、CO 、DO ，并延长分别交面BCD 、ACD 、ABD 、ABC 于点1A 、1B 、1C 、1D ，试写出结论，并加以证明.24．（本小题满分14分）若n 为正整数，试比较132n -⋅与23n +的大小，分别取1,2,3,4,5n =加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论，并用数学归纳法证明．25．（1）求证：当2a >时，222a a a ++-<； （2）证明：不可能是同一个等差数列中的三项.26．设数列{}n a 满足关系式：12a p ，212nn p a p a （p 是常数）．(1)求234,,a a a ；(2)猜想{}n a 的通项公式，并证明．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】假设其中一个人说了谎，针对其他的回答逐个判断对错即可，正确答案为丁． 【详解】假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾， 假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意， 所以是丁打碎了玻璃； 故选：D 【点睛】本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题．2．B解析：B 【分析】分别假设甲、乙、丙、丁获得冠军，看是否满足“只有一人说了假话，”，即可得出结果. 【详解】若甲获个人杰出代表奖，则甲、乙、丙三人同时回答错误，丁回答正确，不满足题意； 若乙获个人杰出代表奖，则甲、丙，丁回答正确，只有乙回答错误，满足题意； 若丙获个人杰出代表奖，则乙、丙回答错误，甲、丁回答正确，不满足题意； 若丁获个人杰出代表奖，则甲、乙回答正确，丙、丁回答错误，不满足题意， 综上，获得杰出代表奖的是乙，故选B. 【点睛】本题主要考查推理案例，属于难题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.3．C解析：C 【解析】试题分析：∵用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立， 而“33x y <”的否定为：“33x y ≥”，故选C ． 考点：反证法与放缩法．4．A解析：A 【解析】分析：由题意结合分析法的定义可知题中的证明方法应用了分析法. 详解：题中的证明方法为执果索因，这是典型的分析法， 即原等式成立应用了分析法. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查分析法的特征及其应用，意在考查学生的转化能力和知识应用能力.5．D解析：D【解析】由①知甲在听音乐或玩游戏，由②知乙在看书或玩游戏，由④知丙在听音乐或玩游戏，由③知，丁在看书，则甲在听音乐，丙在玩游戏，乙在看书，故选D.6．C解析：C 【解析】2015年是“干支纪年法”中的乙未年，2016年是“干支纪年法”中的丙申年，那么2017年是“干支纪年法”中的丁酉年，2018是戊戌年，2019年是己亥年，以此类推记得到2020年是庚子年． 故答案为C ．7．D解析：D 【解析】甲说：“我无法确定.”说明两球编号的和可能为7包含（2，5），（3，4），可能为8包含（2，6），（3，5），可能为9包含（3，6），（2，7）乙说：“我无法确定.”说明两球编号的乘积为12包含（3，4）或（2 ，6） 根据以上信息,可以推断出抽取的两球中可能有6号球 故选D点睛：本题是一道通俗易懂的合情推理题目，主要考查同学们的逻辑思维能力和推理能力，问题难度不大，认真审题是关键.8．D解析：D 【解析】“至多一个”的反面是“至少2个”所以原命题等价命题是“a,b,c中至少有两个偶数”选D.9．C解析：C【解析】由题意得: 大前提是无限不循环小数都是无理数,选C.10．A解析：A【解析】由题意得，甲同学说：1号门里是b，3号门里是c，乙同学说：2号门里是b，3号门里是d；丙同学说：4号门里是b，2号门里是c；丁同学说：4号门里是a，3号门里是c c，若他们每人猜对了一半，则可判断甲同学中1号门中是b是正确的；乙同学说的2号门中有d是正确的；并同学说的3号门中有c是正确的；丁同学说的4号门中有a是正确b dc a，所以4号门里是a，故选A.的，则可判断在1,2,3,4四扇门中，分别存有,,,点睛：本题主要考查了归纳推理问题，通过具体事例，根据各位同学的说法给出判断，其中正确理解题意，合理作出推理是解答此类问题的关键，同时注意仔细审题，认真梳理．11．D解析：D【分析】对四个答案中类比所得的结论逐一进行判断，即可得到答案【详解】对于，空间中，三条直线，若，则与不一定平行，故错误对于，若，则若，则不正确，故错误对于，在平面上，正三角形的面积比是边长比的平方，类比推出在空间中，正四面体的体积是棱长比的立方，棱长比为，则它们的体积比为，故错误对于，在有理数中，由可得，，解得，故正确综上所述，故选【点睛】本题考查的知识点是类比推理，解题的关键是逐一判断命题的真假，属于基础题．12．B解析：B【分析】数表的每一行都是等差数列，从右到左，第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，第2016行只有M，由此可得结论．【详解】由题意，数表的每一行都是等差数列，从右到左，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014， 故从右到左第1行的第一个数为：2×2﹣1，从右到左第2行的第一个数为：3×20， 从右到左第3行的第一个数为：4×21， …从右到左第n 行的第一个数为：（n+1）×2n ﹣2， 第2017行只有M ，则M=（1+2017）•22015=2018×22015 故答案为：B ． 【点睛】本题主要考查归纳与推理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.二、填空题13．【分析】先依次将前几个函数求出来观察其结构即可猜想出【详解】由题可知……可以猜想所以故答案为：【点睛】本题考查数学归纳法的简单应用考查数学猜想能力属于基础题解析：()202020202211xx -+. 【分析】先依次将前几个函数求出来，观察其结构，即可猜想出. 【详解】 由题可知，11122()()1211x xf x f x x x ，22212222221()()213121111x x x xx f x f f x fxx x x x ，22233222322221122()()22112111211x x x xf x f f x fxx x x ，33344333432221122()()22112111211x x x xf x f f x fxx x x ，44455444542221122()()22112111211x x x xf x f f x fxx x x……可以猜想2()211n n n xf x x ，所以2020202020202()211xf x x .故答案为：()202020202211xx -+. 【点睛】本题考查数学归纳法的简单应用，考查数学猜想能力，属于基础题.14．31【解析】分析：由图形的特点只需看第10个图形中火柴的根数是在的基础上增加几个即可详解：第1个图形中有根火柴棒；第2个图形中有根火柴棒；第3个图形中有根火柴棒；第10个图形中有根火柴棒点睛：本题主解析：31 【解析】分析：由图形的特点，只需看第10个图形中火柴的根数是在4的基础上增加几个3即可． 详解：第1个图形中有4根火柴棒； 第2个图形中有437+= 根火柴棒； 第3个图形中有43210+⨯= 根火柴棒；第10个图形中有43931+⨯= 根火柴棒．点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，齐总解答中根据图形的变化规律，得到火柴棒的根数是在4的基础上增加几个3的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．15．丙【解析】若甲获奖则甲乙丙丁说的都是错的同理可推知乙丙丁获奖的情况可知获奖的歌手是丙考点：反证法在推理中的应用解析：丙 【解析】若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙．考点：反证法在推理中的应用.16．11【解析】A 到E 的时间为2+4=6小时或5小时A 经C 到D 的时间为3+4=7小时故A 到F 的最短时间就为9小时则A 经F 到G 的时间为9+2=11小时即组装该产品所需要的最短时间是11小时解析：11 【解析】A 到E 的时间，为2+4=6小时，或5小时， A 经C 到D 的时间为3+4=7小时， 故A 到F 的最短时间就为9小时， 则A 经F 到G 的时间为9+2=11小时， 即组装该产品所需要的最短时间是11小时17．【解析】试题分析：类比的所有正约数之和的方法有：的所有正约数之和可按如下方法得到：因为所以的所有正约数之和为所以的所有正约数之和为故应填考点：1合情推理解析：465． 【解析】试题分析：类比36的所有正约数之和的方法有：200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为3220025=⨯，所以200的所有正约数之和为232(1222)(155)465+++++=，所以200的所有正约数之和为465，故应填465．考点：1、合情推理．18．【解析】观察所给等式的特点归纳推理可得：点睛：归纳推理是由部分到整体由特殊到一般的推理由归纳推理所得的结论不一定正确通常归纳的个体数目越多越具有代表性那么推广的一般性命题也会越可靠它是一种发现一般性 解析：2[(21)]n n -【解析】观察所给等式的特点，归纳推理可得：()()233331232121n n n ⎡⎤++++-=-⎣⎦.点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．19．【解析】解析：111,,1232⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】关于x 的不等式1011kx bx ax cx -+<--可化为1011b k x a c x x-+<--， 则由题设中提供的解法可得：1111(2,1)(2,3)(,)(,1)232x x -∈--⋃⇒∈--⋃，则关于x 的不等式1011kx bx ax cx -+<--的解集为111(,)(,1)232--，应填答案111(,)(,1)232--．20．1×2+2×3+⋅⋅⋅+n×(n+1)<(n+1)22【解析】不等式左边共有n 项相加第n 项是n(n+1)不等式右边的数依次是4292162252⋯(n+1)22 解析：【解析】不等式左边共有项相加，第项是，不等式右边的数依次是三、解答题21．（1）1234,,2345,a a a a ====（2）猜想1n a n =+．见解析 【分析】（1）先求得1a 的值，然后根据已知条件求得122(2)n n a a n n -=++，由此求得234,,a a a 的值.（2）由（1）猜想数列{}n a 的通项公式为1n a n =+，然后利用数学归纳法进行证明. 【详解】 （1）由2425()n n S n n f a +=+，即22252n n S a n n +=++，① 所以12a =，由①得21122(1)5(1)2(2)n n S a n n n --+=-+-+，② -①②，得122(2)n n a a n n -=++．当2n =时，212212,3a a a =++=； 当3n =时，323232,4a a a =++=； 当4n =时，434242,5a a a =++=． （2）由（1）猜想1n a n =+． 下面用数学归纳法证明：①当1n =时，由（1）可知猜想成立； ②假设n k =时猜想成立，即1k a k =+，此时222132252,(52)222k k k k k S a k k S k k a k +=++=++-=+，当1n k =+时，221113(1)3(1)2222k k k k k k S S a k a k ++++=+=++=++，整理得1(1)1k a k +=++， 所以当1n k =+时猜想成立．综上所述，对任意*,1n n N a n ∈=+成立． 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列某些项的值，考查数学归纳法求数列的通项公式，属于中档题.22．（1）2346,13,28a a a ===；（2）12n n a n +=-，证明见解析【分析】（1）由已知条件分别取2,3,4n =，能依次求出2a ，3a ，4a 的值； （2）猜想12n n a n +=-.证明当1n =是否成立，假设()n k k N +=∈时，猜想成立，即：12k k a k +=-，证明当1n k =+也成立，可得证明【详解】解：（1）由题意：13a =，()211324222n n S S n n n -=+-+≥， 当2n =时，可得121213222422a a a =+⨯-⨯++，可得26a = 同理当3n =时：123122132(33422)a a a a a =+⨯-+⨯+++，可得313a = 当4n =时：12341232132(2)4442a a a a a a a +=+⨯-++⨯+++，可得428a = （2）猜想12n n a n +=-.证明如下：①1n =时，111321a +==-符合猜想，所以1n =时，猜想成立.②假设()n k k N +=∈时，猜想成立，即：12k k a k +=-.21132422k k S S k k -=+-+（2k ≥），2k+1132(1)(1)422k S S k k ∴=++-++，两式作差有：121,(2)k k a a k k +=+-≥，又21211a a =+-，所以121k k a a k +=+-对k N +∈恒成立. 则1n k =+时，12(1)11212(2)12(1)2(1)k k k k k a a k k k k k +++++=+-=-+-=-+=-+，所以1n k =+时，猜想成立. 综合①②可知，12n n a n +=-对n ∈+N 恒成立.【点睛】本题主要考查数列的递推式及通项公式的应用，数学归纳法的证明方法的应用，考查学生的计算能力与逻辑推理能力，属于中档题. 23．结论：111111111OA OB OC OD AA BB CC DD +++=，证明见解析. 【分析】设点A 、O 到平面BCD 的距离分别为h 、1h ，证明出11O BCDA BCDV OA AA V --=，同理得出11O ACD A BCD V OB BB V --=，11O ABD A BCD V OC CC V --=，11O ABCA BCDV OD DD V --=，将四个等式全加可得结论. 【详解】设点A 、O 到平面BCD 的距离分别为h 、1h ，则111h OA h AA =， A BCD O BCD O ACD O ABD O ABC V V V V V -----=+++，11111313BCD O BCD A BCD BCD S hV h OA V h AA S h --⋅===⋅△△， 同理可得11O ACD A BCD V OB BB V --=，11O ABD A BCD V OC CC V --=，11O ABCA BCDV OD DD V --=， 上述四个等式相加得111111111O BCD O ACD O ABD O ABCA BCDV V V V OA OB OC OD AA BB CC DD V -----++++++==. 【点睛】本题考查类比推理，同时也考查了锥体体积公式的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.24．当4n ≥时，132n -⋅>23n +．【解析】试题分析：先依次代入，计算并比较大小，观察趋势，猜想结论：当4n ≥时，132n -⋅>23n +．再利用数学归纳法给予证明试题解：当1n =时，132n -⋅<23n +；当2n =时，132n -⋅<23n +； 当3n =时，132n -⋅=23n +； 当4n =时，132n -⋅>23n +； 当5n =时，132n -⋅>23n +；猜想：当4n ≥时，132n -⋅>23n +． 证明：当4n =时，132n -⋅>23n +成立； 假设当(4n k k =≥）时，132k -⋅>23k +成立，则1n k =+时，左式=32k ⋅=1232k ⋅⋅－>223k +（），右式=213k ++（）， 因为223k +（）－213k ++[()]=222k k -+=211k +（－）>0， 所以，左式>右式，即当1n k =+时，不等式也成立． 综上所述：当4n ≥时，132n -⋅>23n +．考点：数学归纳法25．（1）证明过程详见试题解析； （2）证明过程详见试题解析. 【分析】（1）利用综合法证明即可；（2）利用反证法证明，假设2是同一个等差数列中的三项，分别设为a m ，a n ，a p ，推出m n a a d m n -==-253m p a a d m p m p m p ---===---为有理数，矛盾，即可证明不可能是等差数列中的三项． 【详解】解：（1）∵2＝2a0且a +2≠a ﹣2，∴()()22224a a a a a +++-=，∴（2）假设2是同一个等差数列中的三项，分别设为a m ，a n ，a p ，则m n a a d m n -==-为无理数，又253m p a a d m p m p m p ---===---为有理数，矛盾．所以，假设不成立，即2不可能是同一个等差数列中的三项． 【点睛】反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得．应用反证法证明的具体步骤是：①反设：作出与求证结论相反的假设； ②归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；③结论：说明反设成立，从而肯定原命题成立． 26．(1)232a p ，343a p ，454a p (2)详见解析 【分析】 (1)本题可根据12a p 以及212nn p a p a 依次计算出234a a a 、、的值；(2)首先可根据(1)猜想出1nn a p n，然后先证明1n =时成立，再假设当n k =时成立并证明出当1n k =+时成立，即可得出结果． 【详解】 (1)因为12a p ，所以221322p a pp a ， 所以232423p a pp a ，243524p a pp a ． (2)猜想：1nn a p n，下面用数学归纳法证明，①当1n =时，1121na p p ，与题意相符；②假设n k =时，命题成立，即1k k a P k， 则22121211221111kkk P Pkk P k P P k a PPP a k pk k k故当1n k =+时，命题仍然成立， 综上所述，对任何N n *∈，均有1n n a P n，故猜想成立． 【点睛】本题考查如何利用数列项与项之间的关系求值以及数学归纳法，在使用数学归纳法的过程中，一定要注意在证明当1n k =+时成立的过程中一定要用到当n k =时成立的假设，考查化归与转化思想，是中档题．。

2021年重庆市渝中区巴蜀中学保送生数学试卷1．（8分）有五张正面分别标有数字﹣2，﹣1，1，2，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余都相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张．将该卡片正面上的数字记为a，不放回，再从剩下的卡片中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为b．则a、b使得关于x的不等式组的解集中有且只有2个非负整数且关于x、y的二元一次方程组有整数解的概率为．2．（8分）如图，矩形ABCO的边OA、OC分别在x轴、y轴上，反比例函数y＝交AB、BC于点D、E，BD＝2AD，将△BDC沿CD翻折得△FDC，连接EF，若EF∥AB，且EF＝4，则k＝．3．（12分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在BC上，连接AD交BE于点H，且∠DAB＝∠C，BH＝BD，过点H作HF∥BC交AC于点F，BG⊥AD交AC于点G，若AE＝6，EF＝2，则GF＝．4．（12分）万盛是重庆茶叶生产基地和名优茶产地之一．以“重庆第一泡•万盛茶飘香”为主题的采茶制茶、品茶赏茶、茶艺表演活动在万盛板辽湖游客接待中心开幕，活动持续两周，活动举办方为游客准备了三款2021年的新茶．清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗．第一批采茶的茶叶中清明香的数量（盒）是滴翠剑茗的数量（盒）的2倍，云雾毛尖的数量（盒）是另外两种茶叶的数量之和．由于品质优良宣传力度大，网上的预定量暴增，举办方加紧采制了第二批同种类型的茶叶．其中清明香增加的数量占总增加数量的，此时清明香总数量达到三种茶叶总量的，而云雾毛尖和滴翠剑茗的总数量恰好相等．若清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗三种茶叶每盒的成本分别为500元、420元、380元．清明香的售价为每盒640元，活动中将清明香的供游客免费品尝．活动结束时两批茶叶全部卖完，总利润率为16%，且云雾毛尖的销售单价不高于另外两种茶叶销售单价之和的，则滴翠剑茗的单价最低为元．5．（15分）在平面直角坐标系中的点P和图形Q，给出如下定义：图形Q关于直线x＝m 的对称图形为Q'，若点P恰好在图形Q'上，则称点P是图形Q的“m﹣对称点”．如图，在△ABC中，A（1，2），B（6，1），C（4，﹣1）．（1）将点C沿y轴向上平移4个单位得C'，将线段BC′沿x轴向左平移d（d＞0）个单位长度得到线段EF（E，F分别是点B，C′的对应点），若线段EF上存在两个△ABC 的“2﹣对称点”，则d的取值范围是；（2）已知点M（m+1，1）和点N（m+3，1），若线段MN上存在△ABC的“m﹣对称点”，求m的取值范围．6．（12分）在落实国家“精准扶贫”战略中，我市某县大力推进“互联网+农工贸”新销售模式，做大做强“农村电商”，县领导直播带货，为本地土特产找销路．某果农响应号召，尝试在线上和线下同时销售自己种的春见（粑粑柑）．（1）今年1月该果农线上、线下共售出“春见”800千克，其中线下销售的“春见”重量不超过线上销售重量的3倍，求线下销售“春见”的重量最多为多少千克？（2）今年1月份结束时该果农线下销售的“春见”重量恰好是（1）问中销售重量的最大值，且线上、线下“春见”的售价之比为3：4，2月份正值“春见”产销旺季，“春见”的售价有所上涨，因此2月份收入在1月份的基础上增加了a%，且2月份线上、线下“春见”售价在1月份基础上分别增加a%，2a%，销售重量在1月份基础上分别增加3a%，4a%，求a的值．7．（16分）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）如图1，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠C＝30°，AB＝AD，求证：四边形ABCD 是勾股四边形；（2）如图2，在四边形ABCD中，∠DAB＝60°，∠DCB＝60°，AB＝AD，且BC+DC＝8，连接AC，求AC的最小值．8．（20分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣8交y轴于点A，交x轴于点B，点P 在第四象限内，连接OP，过点P作PC⊥PO交直线AB于点C，且PO＝PC，过点C作CD垂直x轴于点D，连接PD．（1）如图1所示，若△PCD面积为6，求点C的坐标；（2）如图2所示，过点A作AE垂直y轴，连接EC、EP．若∠PEA+∠POD＝45°，CE＝5BD，求点C的坐标．9．（22分）如图，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点E与点C关于抛物线对称轴对称，抛物线的对称轴与x轴交于点G．（1）如图1，连接AE，交y轴于点D，点P为直线AE上方抛物线上一点，连接PD、PE，直线l过点B且平行于AE，点F为直线l上一点，连接FD、FE，当四边形PDFE 面积最大时，在y轴上有一点N，连接PN，过点N作NM垂直于抛物线对称轴于点M，求PN+NM+MG的最小值；（2）如图2，连接AC，将△AOC向右平移得△A′O′C′，当A'C'的中点恰好落在∠CAB的平分线上时，将△A'O'C'绕点O'旋转，记旋转后的三角形为△A″O'C″，在旋转过程中，直线A″C″与y轴交于点K，与直线AC交于点H，在平面内是否存在一点Q，使得以点C、K、H、Q为顶点的四边形是以KH为边的菱形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．10．（25分）如图，在△ABC与△DEF中，∠ACB＝∠EDF＝90°，BC＝AC，ED＝FD，点D在AB上．（1）如图1，若点F在AC的延长线上，连接AE，探究线段AF、AE、AD之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，若点D与点A重合，且AC＝3，DE＝4，将△DEF绕点D旋转，连接BF，点G为BF的中点，连接CG，在旋转的过程中，求CG+BG的最小值；（3）如图3，若点D为AB的中点，连接BF、CE交于点M，CE交AB于点N，且BC：DE：ME＝7：9：10，请直接写出的值．2021年重庆市渝中区巴蜀中学保送生数学试卷参考答案与试题解析1．【分析】首先根据题意可求得所有可能结果，然后解不等式组求得不等式组的解集得出符合要求的a、b的值，再解二元一次方程组得出符合要求的a、b的值，利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图为：共有20种等可能的情况数，，解①得：x＜5，当a＞0，解②得：x＞，∵不等式组的解集中有且只有2个非负整数解，则2＜x＜5时符合要求，故＝2，即a＝1，b＝2或a＝2，b＝4符合要求，当a＜0，解②得：x＜，根据不等式组的解集中有且只有2个非负整数解，则x＜2时符合要求，故＝2，即a＝﹣1，b＝﹣2符合要求，∵关于x、y的二元一次方程组有整数解，a＝1，b＝2时，二元一次方程组为，解得：，∴a＝1，b＝2符合要求，a＝2，b＝4时，二元一次方程组为，解得：，∴a＝2，b＝4不符合要求，a＝﹣1，b＝﹣2时，二元一次方程组为，解得：，∴a＝﹣1，b＝﹣2符合要求，故所有组合中只有2种情况符合要求，故则a、b使得关于x的不等式组的解集中有且只有2个非负整数且关于x、y的二元一次方程组有整数解的概率为：＝，故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用与不等式组的解法，二元一次方程组的解法．注意概率＝所求情况数与总情况数之比，求出符合要求的a、b的值是解题关键．2．【分析】设B（m，n），则OA＝BC＝﹣m，AB＝n，E（m，n），在Rt△CEF中，CE2+EF2＝CF2，可得m＝﹣6，在Rt△DHF中，DH2+HF2＝DF2，可解得n＝，即可得到k ＝mn＝﹣9．【解答】解：设B（m，n），则OA＝BC＝﹣m，AB＝n，∵BD＝2AD，∴AD＝n，∴D（m，n），∵D在反比例函数y＝图象上，∴k＝mn，而E也在反比例函数y＝图象上，y E＝n，∴E（m，n），∴CE＝﹣m，∵将△BDC沿CD翻折得△FDC，∴BC＝FC＝﹣m，∵EF∥AB，∴∠CEF＝∠B＝90°，在Rt△CEF中，CE2+EF2＝CF2，∴（﹣m）2+（4）2＝（﹣m）2，解得m＝6（舍去）或m＝﹣6，∴CE＝2，BE＝4，过D作DH⊥EF于H，如图：∵EF∥AB，DH⊥EF，∠B＝90°，∴四边形BDHE是矩形，∴DH＝BE＝4，EH＝BD＝n，在Rt△DHF中，DH2+HF2＝DF2，∴42+（4﹣n）2＝（n）2，解得n＝，∴k＝mn＝×（﹣6）×＝﹣9．故答案为：﹣9．【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的特征以及矩形的性质，是一道综合题，难度中等．3．【分析】延长HF、BG交于点P，利用角平分线及相似三角形的判定与性质可得∠ADB ＝∠CAB，再三次运用相似三角形的判定与性质可得BD＝BH＝8，设BP与DH交于点M，过点H作HQ∥PG交EF于Q，根据角平分线定义及相似三角形的性质可得在，最后根据ASA得△PFG≌△HFQ，由全等三角形的性质可得答案．【解答】解：如图：延长HF、BG交于点P，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠DAB＝∠C，∠DBA＝∠ABC，∴△ABD∽△CAB，∴∠ADB＝∠CAB，∵BD＝BH，∴∠CAB＝∠ADB＝∠BHD＝∠EHA，∴△EHA∽△EAB，∴∠EAH＝∠EBA＝∠CBE，∴△EAH～DBH，∵HF∥BC，∴∠EHF＝∠EBC＝∠EAH，∴△FEH∽△FHA，∴＝，＝，∴FH＝＝4，EH＝•HA＝×6＝3，∵∠EBA＝∠EAH，∴△EAH∽△EBA，∴＝，∴EB＝＝12，∴BH＝EB﹣EH＝9，∴BD＝BH＝9，设BP与DH交于点M，∵HP∥BD，∴∠HPM＝∠DBM，∠PHM＝∠BDM，∴△HPM∽△DBM，∴＝，∵BD＝BH，BM⊥DH，∴BM平分HD，∴＝＝1，HP＝BD＝9，∴PF＝HP﹣HF＝5，过点H作HQ∥PG交EF于Q，∴∠QHF＝∠EPG＝∠PBD＝∠HBD＝∠EHF，∴HQ是△EHF内角∠EHF的角平分线，∴存在，∴FQ＝，∵∠FPQ＝∠FHQ，∠PFG＝∠HFQ，∴△PFG∽HFQ，∴GF：FQ＝PF：HF＝5：4．故答案为：．【点评】此题考查的是全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识，合理作辅助线构造相似三角形是解决此题关键．4．【分析】设滴翠剑茗最低价为x元，则云雾毛尖最高价为（640+x）元，根据售价﹣成本＝利润列出方程，解方程即可．【解答】解：∵第一批采茶的茶叶中清明香的数量（盒）是滴翠剑茗的数量（盒）的2倍，云雾毛尖的数量（盒）是另外两种茶叶的数量之和，∴第一批采制的茶叶中清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗的数量（盒）之比为2：3：1，∵第二批采制后清明香增加的数量占总增加数量的，此时清明香总数量达到三种茶叶总量的，而云雾毛尖和滴翠剑茗的总数量恰好相等，即云雾毛尖、滴翠剑茗的数量各占，∴增加后清明香、云雾毛尖、滴翠剑茗的数量（盒）之比为：：＝8：5：5，设总共有a盒茶叶，∴成本为×500a+×420a+×380a＝a（元），销售额应为×（1+16%）a＝a（元），清明香的销售额为640××（1﹣）a＝a（元），另外两种茶的销售总额为a﹣a＝a（元），设滴翠剑茗最低价为x元，则云雾毛尖最高价为（640+x）元，因此可建立方程xa+×（640+x）•a＝a，解得x＝460，因此滴翠剑茗单价最低为460元，故答案为：460．【点评】本题主要考查一元一次方程的知识，根据售价﹣成本＝利润列出方程是解题的关键．5．【分析】（1）作出△ABC关于直线x＝2对称的△A′B′C′，由题意平移后的线段EF 与△A′B′C″的边有两个交点时满足条件，利用图象法解决问题即可．（2）作出△ABC关于直线x＝m的对称的△A′B′C′，如果线段MN与△A′B′C′有交点，那么线段MN上存在△ABC关于点（m，0）的“关联点”，由此利用图象法解决问题即可．【解答】解：（1）如图1中，当d＝2时，线段BC′平移到EF位置，此时线段EF上存在1个△ABC的“2﹣对称点”，当d＝4时，线段BC′平移到E′F′位置，此时线段EF上存在2个△ABC的“2﹣对称点”，观察图象可知，满足条件的d的范围为：2＜d≤4．故答案为：2＜d≤4．（2）如图2﹣1中，当m＝3时，线段MN上存在△ABC的“m﹣对称点”，如图2﹣2中，当m＝5时，线段MN上存在△ABC的“m﹣对称点”，如图2﹣2中，当m＝7时，线段MN上存在△ABC的“m﹣对称点”，如图2﹣2中，当m＝9时，线段MN上存在△ABC的“m﹣对称点”，观察图象可知满足条件的m的为：3≤m≤5或7≤m≤9．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称，中心对称，“关联点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会性质特殊点解决问题，属于中考压轴题．6．【分析】（1）设线下销售“春见”的重量为x千克，则线上销售“春见”的重量为（800﹣x）千克，根据线下销售的“春见”重量不超过线上销售重量的3倍，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，取其中的最大值即可得出结论；（2）由（1）可知：1月份线上销售“春见”200千克．设1月份线上“春见”的售价为3m元/千克，则1月份线下“春见”的售价为4m元/千克，根据总收入＝单价×销售数量结合2月份收入在1月份的基础上增加6.3a%，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1）设线下销售“春见”的重量为x千克，则线上销售“春见”的重量为（800﹣x）千克，依题意，得：x≤3（800﹣x），解得：x≤600．答：线下销售“春见”的重量最多为600千克；（2）由（1）可知：1月份线上销售“春见”200千克．设1月份线上“春见”的售价为3m元/千克，则1月份线下“春见”的售价为4m元/千克，依题意，得：200（1+3a%）×3m（1+a%）+600×（1+4a%）×4m（1+2a%）＝（200×3m+600×4m）（1+6.3a%），整理，得：a2﹣10a＝0，解得：a1＝0（舍去），a2＝10．答：a的值为10．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．7．【分析】（1）将△ABC绕顶点B按顺时针转60°得到△BDE，连接AC，BD，得△ABC ≌△DBE，推边相等，判断等边三角形，得∠BCE＝60°，再由已知∠C＝30°，推90°的角，利用勾股定理得边的关系，再由等量代换推四边形ABCD是勾股四边形；（2）以DC为边作等边三角形DCE，作EF⊥BC于点F，连接BD，BE，用（SAS）证明△ADC≌△BDE推AC＝BE，∠BCE＝120°，根据勾股定理得二次函数，通过函数的性质求它的最小值，等量代换求出AC的最小值．【解答】证明：（1）如图①将△ABC绕顶点B按顺时针转60°得到△BDE，连接AC，BD．由旋转可知△ABC≌△DBE，∴AC＝DE，BC＝DE，∵∠CBE＝60°，∴△BCE为等边三角形．∴EC＝BC，∠BCE＝60°．∴∠DCE＝90°．在Rt△DCE中，根据勾股定理得，DC2+CE2＝DE2．∴DC2+BC2＝AC2，∴四边形ABCD是勾股四边形（2）以DC为边作等边三角形DCE，作EF⊥BC于点F，连接BD，BE，∵AB＝AD，∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AD＝BD，∠ADB＝60°，∵△DEC为等边三角形，∴∠EDC＝∠ECD＝60°，DE＝DC，∴∠ADC＝∠BDE，∴△ADC≌△BDE（SAS），∴AC＝BE，∵∠DCB＝60°，∴∠BCE＝120°，∴∠ECF＝60°，设CD＝CE＝a，BC＝8﹣a，在Rt△CEF中，cos∠ECF＝，∴CF＝，EF＝a，∴BF＝8﹣a，∵∠EFB＝90°，∴BE2＝EF2+BF2＝+＝+288，∵1＞0，∴a＝4时，BE2取最小值是288，∵AC＝AE，∴AC的最小值12．【点评】本题考查了全等三角形，等边三角形判定、勾股定理，二次函数的性质，掌握这几个性质定理的熟练应用，正确作出辅助线，等量代换的巧妙应用是解题关键．8．【分析】（1）过点P作PH⊥y轴于H，延长HP与CD的延长线交于点G，根据余角的性质证明出△HOP≌△GPC，根据边的相等和△PCD面积为6列方程进行求解；（2）延长EA和CD交于点Q，延长EA和OP交于点K，连接CK，作PT⊥CK，根据AAS证明△KCQ≌△COD，得到线段之间的关系，根据CE＝5BD列方程求解．【解答】（1）如图，过点P作PH⊥y轴于H，延长HP与CD的延长线交于点G，则HG∥x轴，∵CD⊥x轴，∴CD⊥HP，∴四边形ODGH为矩形，OH＝DG，∵PC⊥PO，∴∠HPO+∠CPG＝90°，∠HPO+∠HOP＝90°，∴∠CPG＝∠HOP，又∵OP＝PC，∠OHP＝∠PGC，∴△HOP≌△GPC（AAS），∴HP＝CG，OH＝PG＝DG，设点C的横坐标为t，所以C的坐标为（t，t﹣8），设DG＝PG＝m，则CG＝HP﹣PG＝t﹣m，＝6＝CD•PG＝（t﹣8）•m，∴S△PCD且m+t﹣8＝t﹣m，∴m＝4，∴t＝11，∴C（11，3）；（2）如图，延长EA和CD交于点Q，延长EA和OP交于点K，连接CK，作PT⊥CK，由（1）知OH＝AH＝4，∴OP＝PK，又OP⊥PC，OP＝PC，∴∠POC＝∠POD＝∠OKC＝45°，∴PC＝PK，OC＝CK，延长EP交CK于点T，∵∠PEA+∠POD＝45°，∴∠DOC＝PEA，∵∠OCK＝∠ODC＝90°，∠DOC＝∠DCK，∠CQK＝∠ODC＝90°，OC＝CK，∴△KCQ≌△COD（AAS），∴QK＝CD＝BD，∠DCK＝∠PEA，∴∠PTK＝90°，∴CT＝TK，EC＝EK，∴∠CBD＝45°，∴BD＝DC＝t﹣8，∵CE＝5BD＝5（t﹣8），EQ＝EK﹣QK＝4（t﹣8），由勾股定理得CQ＝3（t﹣8），CQ＝QD+CD＝t，∴3（t﹣8）＝t，解得t＝12，∴C（12，4）．【点评】本题主要考查一次函数的综合题，三角形全等的判定与性质，根据题中条件构造三角形全等是解题的关键．9．【分析】（1）由抛物线解析式可求得点A，B，C，E的坐标，根据AE∥BF可得S△DEF为定值，由铅锤法可求得S△PDE 的最大值，此时S四边形PDFE最大，确定点P坐标，PN+NM+MG的最小值转化为PN+NM+NO的最小值，其中NM是定值，问题本质是“胡不归”问题，再构造60°角转化NO，利用垂线段最短即可求得其最小值；（2）根据A′C′中点落在∠CAB的角平分线上可确定点O′坐标，再求出当△CKH为等腰三角形时，K，H的坐标，最后利用翻折或菱形的性质求得点Q坐标．【解答】解：（1）作O与y轴夹角是60°角的直线l2，作PS∥y轴交AE于点S，交l2于点J，作NT⊥l2于点T，设直线FB与y轴交于点I，连接IE，IE，如图：∵y＝﹣x2+x+＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣（x﹣1）2+，令y＝0得x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），令x＝0得y＝，∴C（0，），∵抛物线对称轴为直线x＝1，C、E关于对称轴对称，∴E（2，），设直线AE解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AE的解析式为：y＝x+，∴D（0，），∵AE∥BF，B（3，0）∴直线BF的解析式为：y＝x﹣，∴I（0，﹣），＝S△DEI＝DI•x E＝×（+）×2＝，∴S△DEF设P（m，﹣m2+m+），（﹣1＜m＜2），则S（m，m+），∴PS＝（m﹣m2+m+）﹣（m+）＝﹣m2+m+）＝﹣（m ﹣）2+，＝PS•（x E﹣x D）＝×[﹣（m﹣）2+]×2＝﹣（m﹣）2+，∴S△PDE有最大值，S四边形PDFE取得最大值，此时P（，），当m＝时，S△PDE∵NM⊥MG，MG⊥OG，OG⊥ON，∴∠NMG＝∠MGO＝∠GON＝90°，∴四边形NMGO为矩形，∴NO＝MG，∴PN+NM+MG＝PN+1+NO＝PN+1+NO•sin∠NOT＝PN+1+NT≥1+PT，∴当P，N，T三点共线且PT⊥l2时，PN+NM+MG取得最小值，∵直线l2过原点且∠NOT＝60°，∴直线l2的解析式为：y＝﹣x，∴J（，﹣），∴PJ＝+＝，∴PN+NM+MG的最小值为1+•sin∠PJT＝1+＝；（2）存在，理由如下：设A′C′的中点为L，AL平分∠OAC，作LX⊥OB于点X，如图2：∵OC＝，OA＝1，∴tan∠OAC＝＝，∴∠OAC＝∠O′A′C′＝60°，∵AL平分∠OAC，∴∠A′AL＝∠A′LA＝30°，∴A′A＝A′L，∵L为A′C′的中点，∴LX＝C′O′＝，∴A′L＝＝1，∴A′A＝A′L＝1，即O，A′重合，O′（1，0）①当HC＝HK时，设直线A′′C′′与x轴交于点Y，如图3：将△HCK沿y轴翻折可得菱形CHKQ，∴∠HKC＝∠HCK＝∠ACO＝30°，∴∠O′YA′′＝∠O′A′′Y＝60°，∴O′Y＝O′A′′＝1，∴Y（2，0），′′＝﹣，∵k A′′C∴由待定系数法直线A′′C′′的解析式为：y＝﹣x+2，∵A（﹣1，0），C（0，），∴直线AC的解析式为：y＝x+，由得，∴H（，），∴Q（﹣，），如图4：同理可得：∠HKC＝∠HCK＝30°，∴∠YHA＝∠YAH＝60°，∴∠O′YA′′＝∠O′A′′Y＝60°，k A′′C′′＝﹣，∴O′Y＝O′A′′＝O′O＝1，∴O，K，Y重合，∴直线A′′C′′的解析式为：y＝﹣x，由得，∴H（﹣，），∴Q（，），②当KH＝KC时，作QZ⊥OC于点Z，如图5：∵∠KHC＝∠KCH＝30°，∠CAY＝60°，∴∠CKY＝60°，∠O′YC′′＝∠O′C′′Y＝30°，∴k A′′C′′＝，O′Y＝O′C′′＝，∴Y（1+，0），∴由待定系数法得直线A′′C′′的解析式为：y＝x﹣﹣1，∴K（0，﹣﹣1），在菱形CKHQ中，CQ＝CK＝++1＝，∵∠QCZ＝2∠KCH＝60°，∴CZ＝CQ•cos∠QCZ＝，QZ＝CQ•sin∠QCZ＝，∴OZ＝OOC﹣CZ＝﹣＝，∴Q（﹣，），如图6：∵∠KHC＝∠KCH＝30°，∠CAO＝60°∴∠C′′YO′＝∠AYH＝∠O′C′′A′′＝30°∴O′Y＝O′C′′＝，k A k A′′C′′＝，∴Y（1﹣，0），∴由待定系数法得直线A′′C′′的解析式为：y＝x﹣+1，∴K（0，﹣+1），在菱形CKHQ中，CQ＝CK＝+﹣1＝，∴CZ＝CQ•cos∠QCZ＝，QZ＝CQ•sin∠QCZ＝，∴OZ＝OC﹣CZ＝﹣＝，∴Q（，），综上所述，点Q的坐标为：（﹣，）或（，）或（﹣，）或（，）．【点评】这是一道二次函数综合题，考察了二次函数面积最大值问题，最短路径问题，三角函数，待定系数法求一次函数解析式，菱形的存在性问题，计算量稍繁复，有一定的难度．10．【分析】（1）过F作FH⊥AB于H，过E作EG⊥AB于G，结合K字型全等，等腰直角三角形，四点共圆即可得到答案；（2）第二问考察隐圆问题与阿氏圆，取AB的中点O，连接OG，在OB上取OH＝，连接GH，构建相似，转化线段即可得到答案；（3）过点C作BF平行线，点F作BC平行线交于点G；过点G作GH⊥BF于点H，过点K作KI⊥FG，证明△BDF≌△CDE，设BC＝7t，则DE＝9t，ME＝10t，结合勾股定理、相似三角形及解直角三角形的知识进行计算．【解答】解：（1）线段AF、AE、AD之间的数量关系：，证明如下：过F作FH⊥AB于H，过E作EG⊥AB于G，如图：∵FH⊥AB，EG⊥AB，∠EDF＝90°，∴∠FHD＝∠DGE＝90°，∠FDH＝90°﹣∠EDG＝∠DEG，且DF＝DE，∴△FHD≌△DGE（AAS），∴FH＝DG＝AD+AG，∵∠ACB＝∠EDF＝90°，BC＝AC，ED＝FD，∴∠FAB＝∠FED＝45°，∴点F、D、A、E四点共圆，∴∠FAE＝∠FDE＝90°，∠EAG＝∠DFE＝45°，∵FH⊥AB，EG⊥AB，∠BAC＝45°，∴△FAH和△EAG为等腰直角三角形，∴AF＝FH，AE＝AG，∴AF＝（AD+AG）＝AD+AG＝AD+AE；（2）取AB的中点O，连接OG，在OB上取OH＝，连接GH，如图：∵G为BF的中点，O为AB中点，∴OG是△ABF的中位线，∴OG＝AF＝DF＝DE＝2，∵AC＝3，∴AB＝AC＝6，OB＝AB＝3，∴＝，而＝＝，∴＝，又∠HOG＝∠GOB，∴△HOG∽△GOB，∴＝＝，∴HG＝BG，∴，要使CG+BG的最小，需CG+HG最小，∴当H、G、C三点共线时，CG+BG的最小，CG+BG的最小值是CH，如图：∵OC＝AB＝3，OH＝，∴CH＝＝，∴CG+BG的最小值是CH＝×＝．（3）过点C作BF平行线，点F作BC平行线交于点G；过点G作GH⊥BF于点H，过点K作KI⊥FG；如图：∵∠BDC＝∠FDE＝90°，∴∠BDC+∠CDF＝∠FDE+∠CDF，即∠BDF＝∠CDE，且CD＝BD，DE＝DF，∴△BDF≌△CDE（SAS），∴BF＝CE，∠DEC＝∠DFB，∵∠DEC+∠DPE＝90°，∠DPE＝∠MPF，∴∠DFB+∠MPF＝90°，∴∠FME＝90°由BC：DE：ME＝7：9：10，设BC＝7t，则DE＝9t，ME＝10t；∴EF＝DE＝9t，∵CG∥BF，FG∥BC，∴四边形BFGC为平行四边形，∴CE＝BF＝CG，∠ECG＝∠FME＝90°，∴△ECG为等腰直角三角形，∴∠CGE＝45°＝∠GKH，∴△GKH为等腰直角三角形，∴＝，＝＝，＝，∴，∴△CDE∽△GFE，∴∠DCE＝∠FGE，∴；Rt△MFE中，MF＝＝t，∴FK＝MK﹣MF＝ME﹣MF＝10t﹣t，FG＝BC＝7t，设∠GFH＝α，∠KGI＝∠NCD＝β，∴＝，Rt△FKI中，sinα＝，∴，∵GH＝，∴KI＝FK•＝，∴sinβ＝＝＝＝＝，∴．【点评】本题考查等腰直角三角形中的旋转变换，涉及全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识，中间穿插了不同的模型，对模型的运用与转化能力要求很高，难度较大，属于压轴题，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形或相似三角形．。

高中数学专题复习《推理与直接间接证明数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题1．有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误2．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第汇编次互换座位后，小兔的座位对应的是（）(A)编号1(B) 编号2 (C) 编号3 (D) 编号4第II 卷（非选择题）请点击修改第I I 卷的文字说明 评卷人得分 二、填空题3． 平面内的1条直线把平面分成两部分，2条相交直线把平面分成4部分，3条相交但不共点的直线把平面分成7部分，则15条彼此相交而无3条直线共点的直线把平面分成 ▲ 部分．4．设函数()(0)2x f x x x =>+,观察: 1()(),2x f x f x x ==+21()(()),34x f x f f x x ==+32()(()),78x f x f f x x ==+43()(()),1516x f x f f x x ==+根据以上事实，由归纳推理可得：当n N +∈且2n ≥时，1()(())nn f x f f x -== . 5．观察下列等式：第三次第二次第一次开始鼠猴猫兔鼠猴猫兔鼠猴猫兔兔猫猴鼠424242421331313112×3＝(12－13)×11， 12×4＝(12－14)×12， 12×5＝(12－15)×13，12×6＝(12－16)×14， ………………可推测当n ≥3，n ∈N *时，12×n＝ ▲ ． 6．用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n ”（+∈N n ）时，从 “1+==k n k n 到”时，左边应增添的式子是 ▲7．已知结论：“在三边长都相等的ABC ∆中，若D 是BC 的中点，G 是ABC ∆外接圆的圆心，则2AG GD=”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD 中，若M 是BCD ∆的三边中线的交点，O 为四面体ABCD 外接球的球心，则AO OM = ▲8．已知 0(1,2,,)i a i n >=，考察下列式子：111()1i a a ⋅≥； 121211()()()4ii a a a a ++≥； 123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥. 我们可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立的类似不等式为 ▲ ． 9．已知P 为抛物线x y 42=的焦点,过P 的直线l 与抛物线交与A ,B 两点，若Q在直线l 上,且满足||||||||AP QB AQ PB =，则点Q 总在定直线1x =-上．试猜测如果P 为椭圆221259x y +=的左焦点，过P 的直线l 与椭圆交与A ,B 两点，若Q 在直线l 上,且满足||||||||AP QB AQ PB =，则点Q 总在定直线 上．10．在ABC ∆中，若,,AB AC AC b BC a ⊥==，则ABC ∆的外接圆半径222a b r +=，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S ABC -中，若SA SB SC、、两两垂直，,,SA a SB b SC c ===，则四面体S ABC -的外接球半径R =____________． 评卷人得分 三、解答题11． (本小题满分16分) 已知数列1111,,,,1447710(32)(31)n n ⨯⨯⨯-+的前n 项和为n S ． （1）计算1234,,,S S S S ,根据计算结果,猜想n S 的表达式,并用数学归纳法进行证明；（2）试用其它方法求n S ．12．空间内有n 个平面，设这n 个平面最多将空间分成n a 个部分.(1)求1234,,,a a a a ；(2)写出n a 关于n 的表达式并用数学归纳法证明.13．记)()(),(n n n n y x y x y x f +-+=，其中x ，y 为正实数，+∈N n .给定正实数a ，b 满足1-=b b a .用数学归纳法证明：对于任意正整数n ，).2,2(),(n n f b a f ≥14．用数学归纳法证明不等式：211111(1)12n N n n n n n*++++>∈>++且．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、选择题1．C2．A解析：(A)第II 卷（非选择题）请点击修改第I I 卷的文字说明 评卷人得分 二、填空题3．1214．(21)2n nx x -+ 5．(－)×．6．2（2k +1）7．38．9．254x =-10．； 评卷人得分 三、解答题11． （1）因为 111144S ==⨯；21124477S =+=⨯；3213771010S =+=⨯； 431410101313S =+=⨯.可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数n 一致,分母可用项数n 表示为31n +.于是猜想31n n S n =+. ………………………………6分下面用数学归纳法证明这个猜想.ⅰ 当1n =时，左边=114S =,右边=11313114n n ==+⨯+,猜想成立． ⅱ 假设n k =(*k N ∈)时，猜想成立，即11111447710(32)(31)31k k k k ++++=⨯⨯⨯-++, 那么111111447710(32)(31)[3(1)2)][3(1)1]k k k k +++++⨯⨯⨯-++-++ 131[3(1)2)][3(1)1]k k k k =+++-++2341(31)(1)(31)(34)(31)(34)k k k k k k k k ++++==++++ 13(1)1k k +=++．所以当1n k =+时，猜想也成立． 根据ⅰ和ⅱ，可知猜想对任何*n N ∈时都成立．……………………………12分（2）11111447710(32)(31)n n ++++⨯⨯⨯-+ 111111134473231n n ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭11133131n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭………………………………………………………16分 12． 解：(1)12342,4,8,15a a a a ====；(2)31(56)6n a n n =++.证明如下： 当1n =时显然成立，设(1,)n k k k N *=≥∈时结论成立，即31(56)6k a k k =++， 则当1n k =+时，再添上第1k +个平面，因为它和前k 个平面都相交，所以可得k 条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这k 条交线可以把第1k +个平面划最多分成21[(1)(1)2)]2k k +-++个部分，每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域.因此，空间区域的总数增加了21[(1)(1)2)]2k k +-++个，2321111[(1)(1)2)](56)[(1)262k k a a k k k k k k +∴=++-++=++++-++ 31[(1)5(1)6)]6k k =++++， 即当1n k =+时，结论也成立.综上，对n N *∀∈，31(56)6n a n n =++. 13．14．（选做题）（本小题满分8分）证明：（1）当2n =时，左边＝11113123412++=>，∴2n =时成立 ………… 2分（2）假设当(2)n k k =≥时成立，即21111112k k k k ++++>++ 那么当1n k =+时，左边2221111()11(1)k k k k =++++++++ 222111111()11(1)k k k k k k=++++++-+++2221111(21)111(1)k k k k k k k -->++⋅-=+>++ ∴1n k =+时也成立 ……………… 7分根据（1）（2）可得不等式对所有的1n >都成立 ……………… 8分。

构造与论证教学目标1.掌握最佳安排和选择方案的组合问题.2.利用基本染色去解决相关图论问题．知识点拨知识点说明各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则需要着眼于极端情况，或从整体把握。

若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题。

若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．知识点拨板块一、最佳安排和选择方案【例 1】5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次? 【考点】构造与论证【难度】2星【题型】解答【解析】因为必须是调换相邻的两卷，将第5卷调至原来第1卷的位置最少需4次，得到的顺序为51234；现在将第4卷调至此时第1卷的位置最少需3次，得到的顺序为54123；现在将第3卷调至此时第1卷的位置最少需2次，得到的顺序为54312；最后将第1卷和第2卷对调即可．所以，共需调换4+3+2+1=10次．【答案】10次【例 2】在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009．然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答【解析】从整体进行考虑．所得的2009个和相加，便等于1～2009的所有数的总和的2倍，是个偶数．2009个数的和是偶数，说明这2009个数中必有偶数，那么这2009个数的乘积是偶数．本题也可以考虑其中的奇数．由于1～2009中有1005个奇数，那么正反两面共有2010个奇数，而只有2009张卡片，根据抽屉原理，其中必有2个奇数在同一张卡片上，那么这张卡片上的数字的和是偶数，从而所有2009个和的乘积也是偶数．【答案】偶数【例 3】一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚．下面我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是颜色(填“黑”或者“白”)．【考点】构造与论证【难度】3星【题型】填空【解析】在每一次操作中，若拿出的两枚棋子同色，则补黑子1枚，所以拿出的白子可能为0枚或2枚；若拿出的两枚棋子异色，则补白子1枚，“两枚棋子异色”说明其中一黑一白，那么此时拿出的白子数为0枚．可见每次操作中拿出的白子都是偶数枚，而由于起初白子有200枚，是偶数枚，所以每次操作后剩下的白子都是偶数枚，因此最后1枚不可能是白子，只能是黑子．【答案】黑子【例 4】在黑板上写上1、2、3、4、……、2008，按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两个数a和b，然后写上它们的差(大数减小数)，直到黑板上剩下一个数为止．问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答【解析】根据等差数列求和公式，可知开始时黑板上所有数的和为++++=⨯L是一个偶数，而每一次“操作”，将a、b两个数123200820091004变成了()-，它们的和减少了2b，即减少了一个偶数．那么从整体上看，总和a b减少了一个偶数，其奇偶性不变，还是一个偶数．所以每次操作后黑板上剩下的数的和都是偶数，那么最后黑板上剩下一个数时，这个数是个偶数．【答案】偶数【例 5】在1997×1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮．按钮每按一次，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮．如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答【解析】最少要1997次，将第一列中的每一格都按一次，则除第一列外，每格的灯都只改变一次状态，由不亮变成亮．而第一列每格的灯都改变1997次状态，由不亮变亮．如果少于1997次，则至少有一列和至少有一行没有被按过，位于这一列和这一行相交处的灯保持原状，即不亮的状态．【答案】1997次【例 6】有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：(1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走?【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答【解析】(1)可以，如(1989，989，89) →(1900，900，0)→(950，900，950)→(50，0，50)→(25，25，50)→(0，0，25)．(2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变．现在共有1989+989+89=3067，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走．【答案】(1)可以 (2)不能【例 7】在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高?【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答【解析】当一位业余选手胜2场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得10+2-3=9(分)．此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜，那么每位专业选手的得分都是10+2-2+3=13(分)．所以，一位业余选手胜2场，不能确保他的得分比某位专业选手高．当一位业余选手胜3场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业选手，得10+2+2-2=12(分)．此时，三位专业选手最多共得30+0+4=34(分)，其中专业选手之间的三场比赛共得0分，专业选手与业余选手的比赛最多共得4分.由三个人得34分，34÷3=1113，推知，必有人得分不超过11分.也就是说，一位业余选手胜3场，能确保他的得分比某位专业选手高.【答案】胜3场【例 8】n支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：（1）n=4是否可能？（2）n=5是否可能？【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答【解析】（1）我们知道4个队共进行了24C场比赛，而每场比赛有2分产生，所以4个队的得分总和为24C×2=12.因为每一队至少胜一场，所以得分最低的队至少得2分，又要求每个队的得分都不相同，所以 4个队得分最少2+3+4+5=14＞12，不满足.即n=4不可能。