高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理1.2.2圆周角定理学案新人教B版选修4-1(2021学年)

２017-2018学年高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理 1.２.2 圆周角定理学案新人教B版选修4-１
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1．２.2 圆周角定理
[对应学生用书P1９］
［读教材·填要点]
1．圆周角的定义
从⊙O上任一点P引两条分别与该圆相交于A和B的射线ＰA，ＰB,AB叫做∠AＰB所对的弧，∠APＢ叫做AB所对的圆周角．
2．圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.
３.圆周角定理的推论
(1)推论1:直径(或半圆）所对的圆周角都是直角．
(２)推论2：同弧或等弧所对的圆周角相等．
(3）推论3：等于直角的圆周角的所对弦是圆的直径．
[小问题·大思维］
1.圆心角的大小与圆的半径有关系吗?
提示:圆心角的度数等于它所对弧的度数，与圆的半径没有关系．
2.相等的圆周角所对的弧也相等吗?
提示：不一定.只有在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等.
[对应学生用书P19]
圆周角与圆心角问
题
[例1] 锐角三角形ABC内接于⊙Ｏ，∠ABC=６0°，∠BAC＝40°，作OE⊥AB交劣弧AB于点E,连接EC，求∠OＥC。

[思路点拨］本题考查圆周角定理与圆心角定理的应用.解决本题需要先求∠ＯＥC所对
的弧的度数,然后根据圆心角定理得∠ＯＥC的度数．
[精解详析］
连接OＣ.
∵∠ABC＝6０°，∠BAC＝40°，
∴∠ACB=80°。

∵OE⊥AＢ,∴Ｅ为AB的中点.
∴BE和BC的度数均为80°。

∴∠ＥＯＣ＝８0°＋80°=16０°.
∴∠OＥC=1０°。

圆周角定理可以理解成一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍;圆周角的度数等于它所对圆心角的一半．
1．在半径为5 cｍ的圆内有长为5 错误! cm的弦,求此弦所对的圆周角.
解：如图所示，AB=5 错误!ｃm，
过点O作OＤ⊥ＡＢ于点D.
∵OD⊥AB，OD经过圆心O,
∴AD=ＢD=错误!cm.
在Rｔ△AOD中,
OD＝错误!=错误! cm，
∴∠OAD=３0°，∴∠AOD=６0°。

∴∠AOB=2∠ＡOD＝1２0°.
∴∠ACB＝错误!∠AOB=60°.
∵∠ＡOB＝120°,∴劣弧AEB的度数为1２0°，优弧AOB的度数为２40°．
∴∠AＥB＝＼ｆ(1,２）×240°=1２０°,
∴此弦所对的圆周角为６0°或120°.
利用圆周角定理证明线段
相等
[例2] 如图所示,已知⊙O中AB,AC的中点分别是E,Ｆ,直线EF交AC 于P，交AB于Q.
求证：△APQ是等腰三角形．
[思路点拨］要证等腰三角形,可分别用弧的度数表示∠APQ与∠AＱP，然后根据等腰三角形的定义作出判断．
［精解详析］连接CＥ，ＢF,
∵E，F分别是⊙O中AB与AC的中点,
∴AE＝BE，AF＝CF。

又∵∠ＦPC＝∠ＡCE+∠PEC＝错误!（AE＋CF)的度数,∠FPC＝∠APQ,∴∠APＱ的度数＝错误!（AE＋CF）的度数,
同理∠ＡQP的度数＝错误!（AF＋BE）的度数,
∴∠ＡPQ=∠AQP.∴△ＡPＱ是等腰三角形．
(1）在圆中，只要有弧，就存在着所对的圆周角.同弧所对的圆周角相等，而相等的角为几何命题的推理提供了条件，要注意此种意识的应用.
(2)证明一条线段等于两条线段之和，可将其分为两段，其中一段等于已知线段,再去证明另一段也等于已知线段.
2。

如图，AB是⊙Ｏ的一条弦，∠ACＢ的平分线交ＡB于点E，交⊙O于点D.
求证:ＡC·CB＝DＣ·CE。

证明:连接ＢＤ.在△ＡＣE与△DCＢ中,
∵∠ＥAC与∠BDC是同弧所对的圆周角,
∴∠ＥAC＝∠ＢDＣ。

又∵CE为∠ACＢ的平分线,
∴∠ACE＝∠DCB,
∴△ACE∽△DＣB。

∴错误!＝错误!.∴ＡC·CＢ=DC·ＣE.
利用圆周（心）角定理及其推论求线
段长
［例３] 如图,AＢ是⊙O的直径,ＡＢ＝2 cm,点Ｃ在圆周上,且∠BＡC=30°，∠ＡBＤ=1２0°,CD⊥BD于D.求BD的长.
［思路点拨］本题考查“直径所对的圆周角为直角"的应用.解答本题可连接BC，然后利用直角三角形的有关知识解决.
［精解详析] 连接BＣ,∵ＡB为⊙Ｏ的直径,
∴∠ＡCB＝９0°.
∵∠BAＣ=３0°,AB＝2 ｃm,
∴BC＝错误!=1 (cm).
∵∠ＡＢD＝120°,
∴∠DＢC=120°－60°=60°。

∵CD⊥BD，
∴∠BCD=90°－60°=30°.
∴BD＝BＣ
2
=0。

5 (ｃm)．
在圆中，直径是一条特殊的弦,其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆,利用此性质既可以计算角、线段又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式相等．
3．如图,△ABC中，∠C＝9０°，AB＝10,AC=6,以AC为直径的圆与斜边交于点P,求BP长.
解：连接CP,∵AＣ为圆的直径,
∴∠CPA=90°,即CＰ⊥AB.
又∵∠ACB=９0°，
∴由射影定理可知ＡC2=AP·AB。

∴AP＝错误!=错误!=3．6．
∴BP＝AB－AP＝1０－３。

６=6。

4。

[对应学生用书P21]
一、选择题
1.在⊙Ｏ中,∠AOB＝84°,则弦AＢ所对的圆周角是( ）
Ａ．42° Ｂ.13８°
C．84° D．4２°或１38°
解析：借助圆形和圆周角定理可知,弦ＡＢ所对的圆周角有两种情况,即为４2°或１3８°．
答案：D
2.如图，ＡC是⊙O的直径,AB、CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD,如果∠
BAＣ＝３2°,那么∠AOＤ=( ）
A．1６°ﻩ B.32°
C．4８° ﻩ D.64°
解析:∵AB∥CＤ，∴AD＝BC。

又∵∠BＡC=32°，∴BC的度数为64°。

∴∠ＡOD＝64°。

答案:D
３.如图，△AＢC内接于⊙O，∠C=30°,AB=2,则⊙O的半径为（）
A. 3 ﻩ
B.2
C.2 错误!ﻩＤ.４
解析:连接AO并延长交⊙O于Ｄ,连接ＢD.
∠D=∠C＝３0°,在Rｔ△ABD中,AD=2AＢ＝4，∴半径为2。

答案：Ｂ
4．如图，已知AB是半圆O的直径,弦AD、BＣ相交于点P，那么错误!等（ )
A.sｉn∠BPD
B．cｏｓ∠ＢＰD
C．taｎ∠ＢPD
D．以上答案都不对
解析:连接BD，由BA是直径,
知△ＡDB是直角三角形.
由∠DCＢ=∠ＤAB,
∠CＤA＝∠CBA，
∠CPD＝∠BPＡ，得△CＰD∽△APB．
错误!=错误!=ｃos∠BＰD.
答案:Ｂ
二、填空题
5．如图,Ａ，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=４，ＡD⊥BC，垂足为Ｄ，BＥ与AD相交于点F，则ＡF的长为__＿＿＿＿．
解析：如图，连接AB，AC,CE,由A，E为半圆周上的三等分点,
得∠FBD＝30°，∠AＢD＝６0°,∠ACＢ＝３0°。

又∵ＢC＝4，∴AＢ＝2,AD＝错误!,BD＝ 1.
则DF=错误!,故ＡF=错误!。

答案：错误!
6.如图所示，已知ＡＢ是⊙O的直径,ＣD与ＡB相交于E,∠ＡCD＝60°,∠ＡＤC＝45°,则∠AEC＝__＿＿___＿。

解析:如图，连接ＢC。

根据圆周角定理的推论１,可知∠ACB=9０°．
∵∠AＣD＝６0°，
∴∠DCB=30°，BD的度数=6０°。

∵∠ADＣ＝45°，∴AC的度数=9０°。

∴∠AＥC=∠ＤCB＋∠CBE=＼f(１，2）（BD＋AC)的度数＝7５°。

答案:75°
7．如图,在⊙O中,已知∠ACB=∠CDB＝60°，AC＝3,则△ABC的周长是＿__＿___＿．
解析：由圆周角定理,
得∠Ａ＝∠D=∠ACB=60°．
∴ＡＢ＝BC．
∴△ABＣ为等边三角形．
∴周长等于9．
答案:９
8．如图,在圆的内接四边形ABCD中，∠ABC=９0°,∠ＡBD＝3０°,∠BDC=45°,AD＝１,则BC＝__＿_____。

解析：连接AC.因为∠ABＣ＝9０°，
所以AC为圆的直径．
又∠ACＤ＝∠AＢD＝30°,
所以ＡC＝２AD＝2．
又∠BAC=∠BDC＝４5°,
故BC＝错误!。

答案：错误!
三、解答题
9。

如图，已知在⊙O中,直径AＢ为１０ cm，弦AＣ为 6 cｍ,∠ACB的平分线交⊙O于D，求BＣ、AD和BＤ的长.
解:因为AB为直径.
所以∠AＣB=∠ADB=９0°。

在Ｒt△ABC中，
BC=错误!＝错误!＝8（cm）．
因为ＣＤ平分∠ACＢ，
所以AD＝DB,所以△ADB为等腰直角三角形.
所以ＡＤ＝ＢD＝错误!AB=错误!×10＝５错误!(cm）.
1０.（江苏高考）如图,ＡB是圆O的直径,C,D是圆O上位于AＢ异侧的两点．
证明:∠OCB=∠D。

证明:因为B,C是圆Ｏ上的两点,
所以OB=OC．
故∠OCB=∠B．
又因为Ｃ,Ｄ是圆O上位于AB异侧的两点,
故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角，
所以∠B＝∠D。

因此∠OCB=∠D。

11．如图①所示,在圆内接△ＡBC中,ＡB=AC,D是ＢＣ边上的一点,Ｅ是直线AＤ和△ABC 外接圆的交点.
(1)求证：AB2＝AD·AE;
(2)如图②所示，当D为BC延长线上的一点时,第（1）题的结论成立吗？若成立请证明;若不成立,请说明理由.
证明：（１)如图①,连接BE.
∵AＢ＝AC，∴∠ＡBC＝∠ACB．
∵∠ACB=∠AEB,
∴∠ABC=∠ＡEB。

∵∠BＡＥ＝∠ＤAB，
∴△ABD∽△AEＢ．
∴AB
AE
＝＼f(ＡD，AB）,
即AB２＝ＡＤ·ＡE.
（2)如图②,连接BE，
结论仍然成立，证法同（１）．
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