全等与相似模型-一线三等角(K字)模型(学生版)

全等与相似模型-一线三等角(K字)模型
全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综
合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题
模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.一线三等角(K型图)模型
【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。

【常见模型及证法】
同侧型一线三等角：
锐角一线三等角直角一线三等角(“K型图”)钝角一线三等角
条件：∠A=∠CED=∠B+CE=DE
证明思路：∠A=∠B,∠C=∠BED+任一边相等⇒△BED≅△ACE
异侧型一线三等角：
锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角
条件：∠FAC=∠ABD=∠CED+任意一边相等
证明思路：∠A=∠B,∠C=∠BED+任一边相等⇒△BED≅△ACE
1(2021·山东日照·中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，点P从点B出发，以2cm/s 的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为时，△ABP与△PCQ全等．
2(2022·黑龙江·九年级期末)(1)如图(1)，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE．
(2)如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA =∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．(3)拓展与应用：如图(3)，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合)，点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．
3(2022·广东·汕头市潮阳区一模)(1)模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB= CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；(2)模型应用：①已知直线AB与y轴交于A点，与x轴交于B点，sin∠ABO=3
5，OB=4，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；
②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为(8，6)，A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x-5上的一点，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标．
4(2023·湖南岳阳·统考一模)如图，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动(点D不与点B、C重合)，连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．
(1)当∠BDA=115°时，∠EDC=°，∠AED=°；
(2)线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
5(2022·浙江杭州·一模)老师在上课时，在黑板上写了一道题：
“如图，ABCD 是正方形，点E 在BC 上，DF ⊥AE 于F ，请问图中是否存在一组全等三角形？”
小杰同学经过思考发现：△ADF ≌△EAB ．
理由如下：因为ABCD 是正方形(已知)所以∠B =90°且AD =AB 和AD ∥BC
又因为DF ⊥AE (已知)即∠DFA =90°(垂直的意义)
所以∠DFA =∠B (等量代换)
又AD ∥BC 所以∠1=∠2(两直线平行，内错角相等)
在△ADF 和△EAB 中∠DFA =∠B
∠1=∠2AD =AB
所以△ADF ≌△EAB (AAS )
小胖却说这题是错误的，这两个三角形根本不全等．
你知道小杰的错误原因是什么吗？我们再添加一条线段，就能找到与△ADF 全等的三角形，请能说出此
线段的做法吗？并说明理由．6(2022·山东·九年级课时练习)(1)课本习题回放：
“如图①，∠ACB =90°，AC =BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别为D ，E ，AD =2.5cm ，DE =1.7cm ．求BE 的长”，请直接写出此题答案：BE 的长为
．
(2)探索证明：如图②，点B ，C 在∠MAN 的边AM 、AN 上，AB =AC ，点E ，F 在∠MAN 内部的射线AD 上，且∠BED =∠CFD =∠BAC ．求证：ΔABE ≌ΔCAF ．
(3)拓展应用：如图③，在ΔABC
中，AB =AC ，AB >BC ．点D 在边BC 上，CD =2BD ，点E 、F 在线段AD 上，∠BED =∠CFD =∠BAC ．若ΔABC 的面积为15，则ΔACF 与ΔBDE 的面积之和为
．
(直接填写结果，不需要写解答过程)7(2023·贵州遵义·八年级统考期末)过正方形ABCD (四边都相等，
四个角都是直角)的顶点A 作一条直线MN ．
(1)当MN 不与正方形任何一边相交时，过点B 作BE ⊥MN 于点E ，过点D 作DF ⊥MN 于点F 如图(1)，请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系，并证明你的结论．
(2)若改变直线MN 的位置，使MN 与CD 边相交如图(2)，其它条件不变，EF ，BE ，DF 的关系会发生变
化，请直接写出EF，BE，DF的数量关系，不必证明；
(3)若继续改变直线MN的位置，使MN与BC边相交如图(3)，其它条件不变，EF，BE，DF的关系又会
发生变化，请直接写出EF，BE，DF的数量关系，不必证明．
模型2.一线三等角模型(相似模型)
【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．
1)一线三等角模型(同侧型)
(锐角型)(直角型)(钝角型)
条件：如图，∠1=∠2=∠3，结论：△ACE∽△BED.
2)一线三等角模型(异侧型)
条件：如图，∠1=∠2=∠3，结论：△ADE∽△BEC.
3)一线三等角模型(变异型)
图1图2图3
①特殊中点型：条件：如图1，若C 为AB 的中点，结论：△ACE ∽△BED ∽△ECD .
②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD =∠AFE =∠BDE =90°.结论：△ABC ∽△BDE ∽△BFC ∽△AFB .
③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD =∠ACE =∠BDE =90°.结论：△ABM ∽△NDE ∽△NCM .
1(2023·山东东营·统考中考真题)如图，
△ABC 为等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，∠ADE =60°，若BD =4DC ，DE =2.4，则AD 的长为()
A.1.8
B.2.4
C.3
D.3.2
2(2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题)在以
“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABEF ，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C 恰好落在点F 处，得到折痕MN ，如图②．
根据以上的操作，若AB =8，AD =12，则线段BM 的长是()
A.3
B.5
C.2
D.1
3(2022·河南新乡·九年级期中)某学习小组在探究三角形相似时，
发现了下面这种典型的基本图形．(1)如图1，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB AC =k ，直线l 经过点A ，BD ⊥直线I ，CE 上直线l ，垂足分别为D 、E ．求证：BD AE
=k ．(2)组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将(1)中的条件做以下修改：
在△ABC 中，AB AC
=k ，D 、A 、E 三点都在直线l 上，并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC =α，其中α为任意锐角或钝角．请问(1)中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在△ABC 中，沿
△ABC 的边AB 、AC 向外作矩形ABDE 和矩形ACFG ，AB AE =AC AG
=12，AH 是BC 边上的高，延长HA 交EG 于点I ．①求证：I 是EG 的中点．②直接写出线段BC 与AI 之间的数量关系：．
4(2023·湖北武汉·统考中考真题)问题提出：
如图(1)，E 是菱形ABCD 边BC 上一点，△AEF 是等腰三角形，AE =EF ，∠AEF =∠ABC =αa ≥90° ,AF 交CD 于点G ，探究∠GCF 与α的数量关系．
问题探究：(1)先将问题特殊化，如图(2)，当α=90°时，直接写出∠GCF 的大小；
(2)再探究一般情形，如图(1)，求∠GCF 与α的数量关系．
问题拓展：(3)将图(1)特殊化，如图(3)，当α=120°时，若DG CG =12，求BE CE 的值．5(2023·湖北荆州·统考中考真题)如图1，
点P 是线段AB 上与点A ，点B 不重合的任意一点，在AB 的同侧分别以A ，P ，B 为顶点作∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB 和射线BA ，∠2的两边不在直线AB 上，我们规定这三个角互为等联角，点P 为等联点，线段AB 为等联线．
(1)如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB 为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB 为等联线、某格点P 为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在Rt △APC 中，∠A =90°，AC >AP ，延长AP 至点B ，使AB =AC ，作∠A 的等联角∠CPD 和∠PBD ．将△APC 沿PC 折叠，使点A 落在点M 处，得到△MPC ，再延长PM 交BD 的延长线于E ，连接CE 并延长交PD 的延长线于F ，连接BF ．①确定△PCF 的形状，并说明理由；②若AP :PB =1:2，BF =2k ，求等联线AB 和线段PE 的长(用含k 的式子表示)．
6(2022·山西晋中·一模)阅读材料：
我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：△ADC ≌△CEB ．
(1)探究问题：如果AC ≠BC ，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC ∽△CEB ．请你说明理由．
(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y=1
2x与直线CD交于点M2,1
，且两直线夹角为α，
且tanα=3
2，请你求出直线CD的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，
点E为BC边上-个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．
7(2023·江苏南京·校考三模)某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】(1)如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，若DE⊥CF，则DE
CF的值为；(2)如图2，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，E是AD上的一点，连接
CE，BD，若CE⊥BD，则CE
BD的值为；
【类比探究】(3)如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E为AB上一点，连接DE，过C作DE的垂线交ED的延长线于G，交AD的延长线于F，求证：DE⋅AB=CF⋅AD；
【拓展延伸】(4)如图4，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AD=15，将△ABD沿BD翻折，A落在C处，得到
△CBD ，F 为线段AD 上一动点，连接CF ，作DE ⊥CF ，交AB 于E ，垂足为G ，连接AG ．若
DE CF
=53，则AG 的最小值为
．课后专项训练1(2022·湖南·长沙市二模)如图，
等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 与坐标原点重合，分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足为D 、E ，点A 的坐标为(-2，5)，则线段DE 的长为()
A.4
B.6
C.6.5
D.7
2(2022·贵州·凯里一模)如图，
在平面直角坐标系中A 0,4 、C 6,0 ，BC ⊥x 轴，存在第一象限的一点P a ,2a -5 使得△PAB 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则点P 的坐标( )．
A.3,1 或3,3
B.5,5
C.3,1 或5,5
D.3,3
3(2023·河南郑州·统考二模)如图，
已知矩形ABCD 的顶点B 、A 分别落在x 轴y 轴上，OB =43,OA =4，AB =2BC 则点C 的坐标是()
A.9,3
B.9,23
C.4+23,23
D.43+2,23
4(2023·湖南长沙·九年级专题练习)如图，
在矩形ABCD 中，BC =6，AB =2，Rt △BEF 的顶点E 在边CD 或延长线上运动，且∠BEF =90°，EF =13
BE ，DF =10，则BE =．
5(2021·浙江台州·中考真题)如图，
点E ，F ，G 分别在正方形ABCD 的边AB ，BC ，AD 上，AF ⊥EG ．若AB =5，AE =DG =1，则BF =．
6(2023·浙江九年级专题练习)如图，
△ABC 为等边三角形，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，BD =3，将△ADE 沿直线DE 翻折得到△FDE ，当点F 落在边BC 上，且BF =4CF 时，DE ⋅AF 的值为．
7(2022·安徽·九年级专题练习)如图，矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，E 为边AD 上一个动点，连接BE ，取BE 的中点G ，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F ，连接CF ，在点E 从A 到D 的运动过程中，点G 的运动路径=，△CEF 面积的最小值是．
8(2023·浙江·九年级专题练习)如图，
在△ABC 中，AB =AC =10，点D 是边BC 上一动点(不与B 、C 重合)，∠ADE =∠B =α，DE 交AC 于点E ，且cos ∠α=45，下列结论：①△ADE ∽△ACD ；②当BD =6时，△ABD 与△DCE 全等；③△DCE 为直角三角形时，BD 为8或258
；④0<CE ≤6.4．其中正确的结论是．(把你认为正确结论的序号都填上)
9(2022·河北保定·模拟预测)如图，桌面上竖直放置着一个等腰直角三角板ABC，若测得斜边AB的两端点到桌面的距离分别为AD，BE．(1)求证：△ADC≌△CEB；(2)若DE=10，AD=7，求BE的长．
10(2023·浙江·九年级期末)如图，已知△ABC和△CDE均是直角三角形，∠ACB=∠CED=Rt∠，AC=CE，AB⊥CD于点F．(1)求证：△ABC≌△CDE；(2)若点B是EC的中点，DE=10cm，求AE的长．
11(2022·江苏·九年级专题练习)【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：
①如图1，△ABC 是等腰直角三角形，∠C =90°，AE =BD ，则△AED ≌
；②如图2，△ABC 为正三角形，BD =CF ,∠EDF =60°，则△BDE ≌
；③如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE ⊥l 于E ，CF ⊥l 于F ．若AE =1，CF =2，则EF 的长为
．【模型应用】(2)如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为1,3 ，则点
C 的坐标为．【模型变式】(3)如图5所示，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，BE ⊥CE 于E ，A
D ⊥C
E 于D ，DE =4cm ，AD =6cm ，求BE 的长．
12(2022·江苏镇江·二模)模型构建：
如图1，AM ⊥MN 于点M ，BN ⊥MN 于点N ，AB 的垂直平分线交MN 于点P ，连接AP 、BP ．若∠APB =90°，求证：AM +BN =MN ．
数学应用：如图2，在△ABC 中，D 是BC 上一点，AC =AD =BD ，∠CAD =90°，AB =8，求△ABC 的面积．
实际运用：建设“交通强国”是满足人民日益增长的美好生活需要的必然要求．建设“美丽公路”是落实美丽中国建设、回应人民日益增长的美好生活对优美生态环境的需要．如图3是某地一省道与国道相交处的示意图，点Q 处是一座古亭，鹅卵石路QA 、QB 以及AB
两旁栽有常青树，其它区域种植不同的花卉；设计要求QA =QB ，QA ⊥QB ，AB 是以Q 为圆心、QA 为半径的圆弧(不计路宽，下同)．
请在图4中画出符合条件的设计图，要求尺规作图，保留作图痕迹，标注必要的字母，写出详细的作法，不要求说明理由；
13(2022·黑龙江·桦南县九年级期中)如图1，
在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．(1)由图1，证明：DE =AD +BE ；
(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，请猜想出DE ，AD ，BE 的等量关系并说明理由；
(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE ，AD ，BE 又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系(不必说明理由)．
14(2022·黑龙江佳木斯·三模)在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D为直线AB上一点，连接CD，过点B作BE⊥CD交CD于点E，交AC于点F，在直线AB上截取AM=BD，连接FM．
(1)当点D，M都在线段AB上时，如图①，求证：BF+MF=CD；
(2)当点D在线段AB的延长线上，点M在线段BA的延长线上时，如图②；当点D在线段BA的延长线上，点M在线段AB的延长线上时，如图③，直接写出线段BF，MF，CD之间的数量关系，不需要证明．
15(2022·安徽·合肥二模)(1)如图1，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，线段ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于E.求证：△BEC≌△CDA．
(2)如图2，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A的坐标为0,4
，点
，点C的坐标为-3,0
B是平面直角坐标系中的一点，若△ABC是以AC为直角边的等腰直角三角形，求点B的坐标；
(3)如图3，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，在等腰直角△OAB中，∠OAB=90°，OA=
AB=4，点M在线段OB上从O向B运动(运动到点B停止)，以点M为直角顶点向右上方做等腰直角
△AMN，求点N移动的距离．
16(2022·河南新乡·二模)如图，△ABC和△ADE是有公共顶点A的两个等腰直角三角形，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC=6，D在线段BC上，从B到C运动，点M和点N分别是边BC，DE
的中点．(1)【问题发现】若点D 是BC 边的中点时，BD MN
=，直线BD 与MN 相交所成的锐角的度数为(请直接写出结果)(2)【解决问题]若点D 是BC 边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由．
(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N 点运动的路径长，及CN 的最小值．
17(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，
在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，AB 上的点，连接CE ，EF ，CF ．
(1)若正方形ABCD 的边长为2，E 是AD 的中点．①如图1，当∠FEC =90°时，求证：△AEF ∽△DCE ；②如图2，当tan ∠FCE =23时，求AF 的长；(2)如图3，延长CF ，DA 交于点G ，当GE =DE ,sin ∠FCE =13
时，求证：AE =AF ．18(2023·广东深圳·九年级校考阶段练习)如图，
在△ABC 中AB =AC =6cm ，BC =8cm ，点E 是线段BC 边上的一动点(不含B 、C 两端点)，连接AE ，作∠AED =∠B ，交线段AB 于点D ．
(1)求证：△BDE ∽△CEA (2)设BE =x ，AD =y ，请求y 与x 之间的函数关系式．
(3)E 点在运动的过程中，△ADE 能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由．
19(2023·浙江·九年级专题练习)在平面直角坐标系中，
O 为坐标原点，直线AB 与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，OA =2，△AOB 的面积为2．
(1)如图1，求直线AB的解析式．(2)如图2，线段OA上有一点C，直线BC为y=kx-2k(k<0)，AD⊥y轴，将BC绕点B顺时针旋转90°，交AD于点D，求点D的坐标．(用含k的式子表示)
(3)如图3，在(2)的条件下，连接OD，交直线BC于点E，若3∠ABC-∠BDO=45°，求点E的坐标．
20(2022·湖南郴州·中考真题)如图1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6．点E是线段AD上的动点(点E不与点A，D重合)，连接CE，过点E作EF⊥CE，交AB于点F．
(1)求证：△AEF∽△DCE；(2)如图2，连接CF，过点B作BG⊥CF，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．①求AG+GM的最小值；②当AG+GM取最小值时，求线段DE的长．。