初三升高一暑期衔接教材数学(共36页)

初三升高一课程
知识结构
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧、复合函数、含字母系数的函数、含绝对值函数、函数图像平移、分段函数函数、含字母系数不等式、含绝对值不等式、高次不等式、分式不等式、一元二次不等式不等式、含字母系数方程、含绝对值方程、根式方程
、分式方程、高次方程方程151413121110987654321 第一节:五类方程的解法 知识要点
序 名称 例子
转化方程
关键
词 1
分式方程
例1
312
)1(12=-+-x x 换元 去分母 去分母 2 高次方程
例2 03224=-+x x
① 换元
② 因式分解
降次 3 根式方程 例3 0312=--+x x
① 换元
② 乘方
去根号 4 绝对值方程 例4 0322=--x x
① 换元
② 分类
去
5
含字母系数的方程
例5 0=+b ax
定义：二次以上的方程叫高次方程。

解题思路：通过降次把方程转化为一元一次或一元二次方程。

解法：①直接开方降次法 ②因式分解降次法 ③换元降次法
例：解方程03224=--x x ()()
()
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=+-=--⇒=41013032222222x x x t t t x 解法三：方程化为：解法二：方程化为：
解法一：设
选择适当的方法解下列方程：
（1）02783=+x （2）05424=--x x
（3） 063)3(222=---+x x x x （4）032234=--x x x
（5）0442
3=+--x x x （6）
)4)(3)(2)(1(++++x x x x =35
定义：分母含有未知数的方程叫分式方程
（注意解分式方程必须验根）
解题思路：通过换元或去分母把它转化为一元一次或一元二次方程。

解法：①换元法②去分母法（注意有些题。

去分母前要做化简准备）
例题：
13
31
)1(22
=---x x 。

解下列方程：
（1）
312
)1(12=-+-x x （2）22
x x 1
0x
11x
++=--
（3）25311322=-+-x x x x ()4222221)(1)222
y
y y y ++-=---（
()
51111
;5867x x x x -=-++++ （6）x 2x 5x 4x 3
x
1x 4x 3x 2
+++++=+++++
定义：根号内含有字母的方程叫根式方程。

解题思路：去根号化为一元一次或一元二次方程。

解法：①乘方升次法（两边平方）
②换元升次法。

不管哪种方法，根式方程必须验根合根。

例题：1132=+-x x 解法一：设t x =+132
解法二：1321+=-x x 两边平方。

解下列方程：
（1）x x 31212+=-; （2）2312+=-x x ;
（3）02=--x x ; （4）0312=--+x x ；
（5）31=-+x x ； ( 6 ) 13212=+--x x
4、含绝对值方程的解法
定义：绝对值内含有有字母的方程。

解题思路：去掉绝对值，化为一元一次或一元二次方程。

解法：①换元法 ②零点分类法 ③数形结合法 ④两边平方（要验根）
例题：例1，解方程:0432
=-+x x
解法一：换元，设y x =，则0432=-+y y 。

解法二：零点分类 ①
⎩⎨⎧=-+≥04302x x x ②⎩⎨⎧=--<0
430
2
x x x 例2，解方程5|1||1|=++-x x 解法一，零点分类
解法二：数行结合。

x
-202
1-1x
解下列方程
（1）121+=-x x ; （2）213+=-x x
（3）31=++x x ; （4）6512=++++-x x x
（5）2122=--x x （6）0322=--x x
5、含字母系数方程的解法
定义：除未知数外，含有字母的方程
解题思路：了解根与系数的关系，解法与数字相同，根据情况分类。

解题方法：类型一，把字母看成数字一样的常数进行求解，根据字母的取 值范围对根的影响进行分类讨论。

类型二，把字母看成数字一样的常数进行求解，根据根与系数的关系，求 系数取值或范围。

例：解方程02=++c bx ax
解：当a=0时，bx+c=0 ⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
⎩⎨⎧∈=≠==-=-=≠⇒R x c c c x b b c x c bx b ,000,0,,0时②时，无解
①时②时①
当a ≠0时，02=++c bx ax ⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧<∆-==∆-±-=
>∆⇒无解③②①x a b
x a ac b b x ,02,024,02
类型一
解下列关于x 的方程：
(1)15ax x -= （2）2(32)1(21)m x n x +-=+ （3）2(0)x b x a
a b a b
--=-+≠ （4）2222()()()m x n n x m m n -=-≠
(5)02=+-n mx x
类型二
例已知方程02=++n mx x 的两根分别为4和5
则m+n=?
方法一 方法二 方法三 方法四 方法五 1、若()1233+=-x a x 无解，则a =_____
2、若方程()()211-+=-x b x a 有无数解，则=a =b
3、若
1044m x
x x
--=--无解，则m 的值是………………………………………（ ） A 、2- B 、2 C 、3 D 、3-
4、若关于x 的方程
121(1)(2)
x x a
x x x x +-=+--+的解是正数，求a 的取值范围。

5、方程0622=-++a ax ax 无解，则=a
6、已知：1x 、2x 是关于x 的方程22)12(a x a x +-+=0的两个实数根， 且11)2)(2(21=++x x ，求a 的值。

第二节:五类不等式的解法
知识要点
序 名称 例子 转化方程
1
分式不等式
例1
2
2-x x
﹤1 ① 转化为不等式组
① 分类去分母
2 一元二次不等式
例2 322--x x ﹤0
①转化为不等式组
②转化为二次函数
3 高次不等式
例3 x x x 3223--﹥0
①转化为不等式组
② 穿针引线法 4 绝对值不等式
例4 12-x ﹤3 例5 1-+x x ﹤2
①转化为不等式组
② 零点分类法
5
含字母分数不等式
1、一元二次不等式的解法
解法○
1通过因式分解转化为不等式组。

○
2通过二次函数的图象求解。

例：012>--x x
解法一：令251,2150
1212-=+==--x x x x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧>-->+-⇒0
251021
5x x 或 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧<--<+-0251021
5x x 解法二：令12--=x x y
由012=--x x 得 2
5
1,25121+=-=x x
画图
解下列不等式
(1)22--x x ﹤0 (2)3522-+x x ﹥0
（3）0542≥++-x x （4）0131232≤-+-x x
（5）01322>--x x （6）()753-≤+x x x
2、分式不等式的解法
解法①：利用分子分母同号或异号转化为不等式组 即
⎩⎨⎧<≤⎩⎨⎧>≥⇒≥00000b a b a b a 或 ⎩
⎨⎧><⎩⎨⎧<>⇒<00000b a b a b a 或
解法②：分类去分母，通过零点分类转化为不等式组
例：
321>-x
x
解法一：
0321>--x x
0216321>----x x
x x
0213
7>--x
x
解法二：⎩⎨⎧->>-)21(30
21x x x
()
⎩⎨
⎧-<<x x x 2130
2-1
解下列不等式
(1)31-x ﹤0 (2) 01≤+x x
(3) 2-x x ﹤1 （4）21
1
-≥-+x x
(5)
1
1
2-<
+x x x （6）131121-≥+x x
3、高次不等式的解法
解法①因式分解法：通过符号的讨论转化为不等式组。

②穿针引线法：求出所有零点通过数形结合求解。

例：04523<+-x x x
解法一：()
0452<+-x x x ①()⎪⎩⎪⎨⎧>->-<04010x x x ②⎪⎩
⎪
⎨⎧>-<->04010x x x
()()041<--x x x ③⎪⎩⎪⎨⎧<->->04010x x x ④⎪⎩⎪
⎨⎧<-<-<04010x x x
解法二：04523<+-x x
()045<+-x x x ()()041<--x x x
如图知，不等式的解为0<x 或41<<x
解下列不等式
(1))2)(1(++x x x ﹤0 (2))2)(12(2-+-x x x ﹥0
(3)06
712
≤+-+x x x (4)x x x 322
3--﹥0
(5)01
22
23≥+--x x (6)()()()()04321≤--++x x x x
4、含绝对值不等式的解法
解法①零点分类法，找零点进行分类转化为不等式组。

②数形结合法，画数轴通过数形结合求未知数的范围。

例：521<-++x x
解法一：零点分类法 解法二：数形结合法
-2-113
20
①()()⎩⎨⎧<--+--<5211x x x ②()⎩⎨⎧<--+≤≤-52121x x x 由图知：32<<-x
③⎩⎨⎧<-++>5
212x x x
解下列不等式
（1）x ﹥2 （2）332≤+x
（3）x -3﹤12+x （4）1-+x x ﹤2
（5）312+<-x x （6）10321<-+-++x x x
5、含字母系数不等式的解法
解法： ①把字母看成与数字一样，解题思考过程相同。

②根据运算步骤或根的特点进行分类。

例：解不等式02>++c bx ax 解：当a=0时0>+⇒c bx
c bx ->⇒ ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧
⎩⎨
⎧≥-∈<-=->≠⇒无解则若则若时时x c R x c b b c x b 00,0)2(,0)1( 当002>++⇒≠c bx ax a 时为一元一次不等式。

若 0>a
......
03......02......0)1(时，解为）（时，解为）（时，解为<∆=∆>∆ 若0<a 则......
03......02......01时，解为）（时，解为）（时，解为）（<∆=∆>∆
类型一：解下列不等式
（1）x a ax ->-1 （2）())2(322>+<-n x x n
（3）012≤+-mx x （4）ax x ax -≥-222
（5）)1(012
-<≥+++-k k x kx （6）x ax ax >-1
2
类型二：解下列各题
例：不等式3202<<>++x c bx ax 则解集为 则的解集为02 c bx ax +-
（1）已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧->-≥-1
230
x a x 的整数解共有5个，
则a 的取值范围是 。

（2）若不等式组21
23
x a x b -<⎧⎨->⎩的解集是1-＜x ＜1，
那么（a +1）（b 1-）的值为____ 。

（3）若不等式组⎩
⎨⎧>+<+a x a x 2532无解，则a 的取值范围是 。

（4）若关于x 的不等式mx x x >+-
22
12
的解集为20<<x ，
则实数m= 。

（5）不论x 取何值，不等式03)12(22>-++-m x m x 恒成立，则m 的取值范围 是 。

（6）不等式0)1(2>+++b x ab ax 的解为21<<x ，则a+b= 。

（7）若关于x 的不等式022<-+ax ax 的解集为全体实数，
则a 的取值范围是 。

第一节五种函数变式的解法
知识要点
1、三种基本函数的性质
一次函数
)0(≠+=k b kx y
反比例函数
)0(≠=k x
k
y
二次函数
)0(2≠++=a c bx ax y
2、三种基本函数的变式,
例
解题方法
1，平移 11
11-+=⇒=
x y x y ① 同的思想 ② 分的思想 2，绝对值 1212+=⇒+=x y x y ① 同的思想 ② 分的思想 3，分段
⎩⎨⎧<+≥-=0
,0
,12
x x x x x y ① 同的思想 ② 分的思想 4，字母 ()为常数
b a b ax y ,+= ① 同的思想 ② 分的思想 5，复合
1
1
y 2
-+=
x x ① 同的思想 ②
分的思想
1、分段函数
①定义：用分段的形式表示的函数叫分段函数。

②分段函数整体还是一个函数。

③分段函
类型一
1、函数y = -2x+3当1-≤x 时，y 的取值范围是
2、函数x y 1
=，当1-≤x 时，y 的取值范围是
3、已知函数f （x ）=322--x x ，根据条件求f （x ）的取值范围
（1）[]0,2-∈x （2）[]4,2∈x
（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈25,21x （4）⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈23,21x
（5）(]m x ,∞-∈
类型二
画出下列函数的图象
（1）1(0),()1(0),x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ （2）f （x ）=⎩⎨⎧<-≥-),2(2
),
2(2x x x
（3）1,112,1x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩ （4）22
(0)
()(0)
x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨->⎪⎩
2、函数平移
○
1函数向左移一个单位，变量1+⇒x x ○
2函数向右移一个单位，变量1-⇒x x ○
3函数向上移一个单位，变量1+⇒y y ○
4函数向下移一个单位，变量1-⇒y y 1、先将一次函数12+-=x y 向左平移2个单位，然后再向上平移1个单位后， 所得到的函数是_________。

2、将反比例函数31
-=x y 向下平移1个单位后，所得到的函数是_________。

3、将二次函数2()23f x x x =--向左平移1个单位后，所得到的函数_________。

4、将二次函数2()(2)3f x x =-+向下平移1个单位后，所得到的函数是 _________。

5、画出下列函数的图象
（1）21-=x y （2）x
y 1
1-=
（3)211-+=x y （4）3
2+-=x x y
3、含绝对值的函数
画图方法：○1同的方法：对比自变量0>x 与0<x 时函数y 值的关系。

○2分的方法：通过分类去掉绝对值，变为分段函数再画图。

1、作出下列各函数的图象，并写出函数y 的取值范围： （1）||x y =; （2）1||2-=x y ;
（3）x
y 1
=; （4）11+=x y ;
（5）1||22+-=x x y ; （6）|32|2--=x x y
（7）|1||1|-++=x x y （8） 1-=x y
4、 带字母系数的函数
①根据系数与图象的关系对系数进行分类
例：画出函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象
作出下列各函数的大致图像：（a , b ，c, k 为常数）
（1）y kx b =+ )0(≠k （2）()0≠=k x k
y
（3）a
x y +=1
（4）m x x y +-=22
（5）12--=kx x y (6)b x a y +=
5、复合函数
求下列函数 y 的取值范围
（1）2
1
()()1f x x R x =∈+ （2）3212+-=x x y
()3112y x
=- （4）2
1()223
f x x x =+
-+
（5）12y x x =+- （6）21y x x =++
6、二次函数解题一通百通
类型一：用二次函数的顶点式解题（关于二次函数的单调性与最值问题）
1、已知5)2(22+-+=x a x y 在区间()+∞,4上是增函数，则a 的范围是（ ） A 、2-≤a B 、2-≥a C 、6-≥a D 、6-≤a
2、若函数84)(2--=kx x x f 在[]8,5上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A 、(]40,∞- B 、[]64,40 C 、(][)+∞⋃∞-,6440, D 、[)+∞,64
3、已知函数a x x y ≤≤-=2,2，其中2-≥a ，求该函数的最大值与最小值，
并求出函数取最大值和最小值所对应的自变量x 的值
4、当[]1,0∈x 时，求函数223)62()(a x a x x f +-+=的最小值
5、已知函数)0(32)(2 a b ax ax x f -+-=在区间[]3,1上有最大值5和最小值2， 求a,b 的值
6、已知函数[]5,5,22)(2-∈++=x ax x x f （1）当a=1时，求函数的最大值和最小值
（2）求实数a 的取值范围，使)(x f y =在区间[]5,5-上是单调函数 类型二：用二次函数的交点式解题（关于二次方程根的问题）
1、对于任意实数x ，函数56)5()(2++--=a x x a x f 恒为正值，求a 的取值范围
2、函数4)2(2)2()(2--+-=x a x a x f 的定义域为R ，值域为(]0,∞-，则满足条件的实数a 组成的集合是
3、已知a>0，函数2)(bx ax x f -=
当b>0时，若对任意R x ∈都有1)(≤x f ，证明b a 2≤
4、已知二次函数的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为{}31|<<x x 。

（1）若方程06)(=+a x f 有两个相等的实根，求)(x f 的解析式； （2）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围。

类型三：用二次函数的一般式解题（关于二次函数的形状问题）
1、抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的图像如右图，那么（ ）
A.0,0,0>><c b a
B.0,0,0><<c b a
C.0,0,0<><c b a
D.0,0,0<<<c b a
2、二次函数的图象如图所示，给出下列结论：
①0<++c b a ②0<+-c b a ③02<+a b ④0>abc ， 其中所有正确结论的序号为
3、已知函数c bx ax y ++=2，如果c b a >>，且0=++c b a ，则它的图像（ ）
4、若函数3)1()2()(2+-+-=x k x k x f 是偶函数，则)(x f 的递减区间是
5、已知二次函数),,()(2R c b a c bx ax x f ∈++=，满足条件0)1(=-f 对于任意实
数x 都有0)(≥-x x f ，并且)2,0(∈x 时有2
21)(⎪⎭
⎫
⎝⎛+≤x x f ，求)(x f 的解析式。

高一函数
函数的定义
函数的三要素：x,y,f
函数的定义与性质函数的性质：奇偶性，单调性
一次函数，二次函数，反比例函数
知识结构基本函数基本函数的变式
(平移，绝对值，分段，字母，复合)
抽象函数的性质
抽象函数
抽象函数的运用
第十三节: 函数的定义及三要素
一、函数定义：满足以下对应关系的数叫函数。

两个变量x,y在变化过程中，对任意一个变量x的取值，在对应关系f的作用下，变量y都有唯一的一个值和它对应。

变量y就叫变量x的函数。

x叫自变量，有确定的取值范围。

y叫因变量，即函数。

x确定后,能求出唯一的y值。

定义理解:函数由三部分组成，即三要素x,y,f
（1）x叫自变量，有确定的取值范围。

（2）y叫因变量，即函数。

x确定后,能求出唯一的y值,
（3）f是指两个变量的对应关系,即x与y的等量关系，由
函数的解析式或图像确定。

函数理解图标 函数：
非函数：
学以致用
1、判断下列对应是否为数集A 到数集B 的一个函数：
（1）A={}1,2,3,4,5，B={}2,4,6,8，:,2f x y y x →=； （ ） （2）A 为非负实数，B 为非负实数，:,f x y y →是x 的算术平方根； （ ） （3）A 为非负实数，B 为实数，:,f x y y →是x 的平方根； （ ） （4）A={}1,2,3,，B={}7,8，(1)(2)7,(3)8f f f ===。

（ ）
O y x O y x O y x
O
y
x
2、设集合{2,4,6,8,10},{1,9,25,49,81,100},M N ==下面的对应关系f 能表示
函数的是（ ）
A,2:(21)f x x →- B.2:(23)f x x →- C.2:21f x x x →-- D.2:(1)f x x →- 3、下列图形中的曲线不能表示y 是x 的函数的是（ ）
A B C D
4、下面可以作为函数的图像的是（ ）
第十四节：函数的定义域与值域
1、自变量x ：能使函数有意义的自变量x 的取值范围，叫函数的定义域。

学以致用
1、求下列函数的定义域：
（1）432x y x +=+ （2）y=3x ++3x - （3）y=1
12
x x +--
（4）1
11y x
=+； （5）23
4
(34)12x x y x --=+-
2、函数()y f x =的图像如图所示，①函数的定义域为
x
y -1
-1
01
1
B
x
y
O
.
A C
x
y
O
D
x
y
O
若y ≤
1
2
，则x 的取值范围 。

3、函数y=1
3x x -x
2-+的定义域为
4、已知函数f （x ）=
3
ax ax x
2
-+的定义域是R ，则实数a 的取值范围是.____ 5、函数 322--=x x y 的定义域为
6、已知函数862++-=m mx mx y 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）
A 10≤≤m
B 20≤≤m
C 10≤≤m
D 20≤≤m
2、因变量(函数)y 定义域确定后，函数y 的取值范围函数的值域。

例：求函数 y =322++x x 的值域
解法一 解法二 解法三
学以致用
1、函数y =32+-x (x ≤－1)的值域是( )
A 、(－∞,5)
B 、（5,+∞)
C 、［5,+∞)
D 、(－∞,5］
2、函数y =
21
+x
(x ≤－1)的值域是( ) A 、(－∞,1) B 、（1,+∞) C 、［1,+∞)
D 、(－∞,1］
3、函数y =322
++x x (x ≤－1)的值域是( )
A 、(－∞,2)
B 、（2,+∞)
C 、［2,+∞)
D 、(－∞,2］
4、已知函数2()23f x x x =--。

根据条件求()f x 的最大值和最小值
（1）[2,0]x ∈-； （2）[2,4]x ∈；
（3）15
[,]22
x ∈；
5、求下列函数的值域 （1）31-+=x y
（2）2
1
()()1f x x R x
=
∈+
（3）2
1
()223f x x x =+-+
（4）12y x x =+-
（5）21y x x =++ (6)3224+-=x x y
()x
x y 172+= ()182+=x x
y
第十五节: 函数的对应关系
3、对应关系f ： 函数的对应关系由函数的表达式或图像确定。

1、自变量和因变量之间的等量关系叫函数的对应关系。

2、自变量的值确定后，可以通过等量关系（解析式或图）求出因变量的值，反之亦然。

3、自变量和因变量由于是变量，是一个变化的数相对的数，含有字母的代数式也可看成是自变量。

类型一
1、已知f(x)=2x-3,则f(-5)= f(sinx)= f(2x+3)=
2、设函数f(x)=2x+1,则f(x)=-3,则x= f(x)=a,则x=
3，设函数_____,18)(._____)2(2
,22
,2)(002===-⎩⎨
⎧≤+=x x f f x x x x x f 则若，则＞
4、若函数234(0),()(0),0(0).x x f x x x π⎧->⎪
==⎨⎪<⎩
则[(0)]f f =___________。

5.已知函数f （x ），g （x ）分别由下列表格给出
则)]1([g f 的值为_____；满足)]([)]([x f g x g f ＞的x 的值是______
x 1 2 3 )(x f
1 3 1 )(x g 3
2
1
类型二
例：若函数 ()f x 满足f(x+1)=2x-1, 则f(x-2)= 。

1，函数2(21)2f x x x +=-， 则()f x =_______ (3)f =_______
2、已知221()12,[()](0),x g x x f g x x x -=-=≠那么1
()2
f 等于（ ）
A. 15
B. 1
C. 3
D. 30
3、已知2
2
11()11x x f x x --=++，则()f x 的解析式为（ ） A.
21x x + B. 221x x -+ C. 221x x + D. 2
1x x
-+ 例、已知 a 、b 为常数，若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++
求 5a b -的值。

1、求一次函数()f x ，使[]()87f f x x =+。

2、已知二次函数()f x 满足2(1)(1)24;f x f x x x ++-=-试求()f x 的解析式.
3、若函数等于则在定义域内恒有m x x f f x x mx x f ,)]([)43
(34)(=≠-=
（ ） A3 B.23 C.-2
3
D 3-
O
y
x
O y
x O
y
x
O y
x
O y
x
类型三
1、某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程，在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的4个图形中较符合该学生走法的是（ ）
2、如图小亮在操场上玩，一段时间内沿M →A →B →M 的路径匀速散步，能近似刻画小亮到出发点M 的距离y 与时间x 之间关系的函数图像是…（ ）
A B C D
3、如图是韩老师早晨出门散步时，离家的距离（y ）与时间(x) 之间的函数图
象，则韩老师散步行走的路线可能是（ ）
A B C D 类型四
例、下列与函数y x 是同一函数的是（ ）
A
t 0
d 0
d t
B
t 0
d 0
d t
C
t
t 0
d 0
d 0
D
t
t 0
d 0
d B
A
M
A. 2
y x = B. 2
x y x
= C. 33y x = D. 44y x =
判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？
（1）12(3)(5)
,53x x y y x x +-==-+； （ ）
（2）21()(25)f x x =-，2()25f x x =-； （ ）
（3）2(5)y x =-与5y x =-； （ ）
（4）1211,(1)(1)
y x x y x x =+-=+- （ ） （5）2
1
2()(25),()25f x x f x x =-=-； （ ） （6）2y x =与4y x = （ ）
第十七节: 函数的单调性：
单调性定义：
① 任意1x D ∈, 2x D ∈, 21x x < ⇔12()()f x f x <则函数()f x 为增函数； ②任意⇔<∈∈ 2121,,x x D x D x 12()()f x f x >则函数()f x 为减函数。

类型一（单调性的判断）
例：判断函数x
y 2
=的单调性。

解法一，解法二，解法三，解法四，解法五 考察一（单调性的判定）
1、判断下列函数的单调性，并证明。

（1） 13+-=x y （2） 542+-=x x y
2、分别判断一次函数y kx b =+，反比例k
y x
=
函数，二次函数2y ax bx c =++ 的单调性
3、若函数2()(32)f x k k x b =-++在R 上是减函数，则k 的取值范围为 。

4、下列函数中，在区间(,0)-∞上是增函数的是（ ） A.2()48f x x x =-+； B.()3(0)g x ax a =+≥ C.2
()1
h x x =-
+； D.()25S x x =- 5、函数2()f x x x =-的单调递减区间是 。

6、已知函数
的取值范围是上是减函数，则实数，在区间（a ]4-2)1(2)(2
∞+-+=x a x x f （ ） A 3-≤a B 3-≤a C 5≤a D 3≥a
考察二（单调性的性质）
7、函数x x f =)(和)2()(x x x g -=的递增区间依次是（ ）
A.(](]1,,0,∞-∞-
B. (](]-∞∞-,1,0,
C. [)(]1,,,0∞-+∞
D.[)[)+∞+∞,1,,0 8、若函数2()(32)f x k k x b =-++在R 上是减函数，则k 的取值范围为 。

3、若1
()2
ax f x x +=+在区间（﹣2，+∞）上是增函数，则a 的取值范围是 。

第十八节: 函数的奇偶性
奇偶性定义：①任意x D ∈，有f(x)= -()f x ,则f(x)为奇函数。

任意x D ∈，有f(x)=f(-x) , 则f(x)为偶函数。

函数的奇偶性即对称性由它的表达式或图像确定。

类型一
1、判断下列函数的奇偶性
① 3)(2-=x x f x x f 5)(-= ②3()f x x =
③12)(+=x x f ④()0f x =
2、判断下列函数的奇偶性。

①2)(24-+-=x x x f ②x
x x f 1
)(-= ③4)(2-+=x x x f
④2
211)(x x x f -⋅-= ⑤1)(23--=x x x x f ⑥22(0)
()(0)
x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨->⎪⎩
3、设()f x 是定义在R 上的一个函数，则函数()()()F x f x f x =--在R 上一定 是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶函数
D.非奇非偶函数 类型二
1、若函数2()1
x a
f x x bx +=++在[-1，1]上是奇函数，则()f x 的解析式为__ ___。

2、设函数()f x 与()g x 的定义域是x R ∈且1x ≠，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，
且()f x +()g x =
1
1
x -，求()f x 和()g x 的解析式。

3、已知函数2()(231)f x ax bx c a x =++--≤≤是偶函数，则a =__ _，b =__ _。

4、已知函数3()(0)f x ax bx a =+≠，若(3)2f =-，则(3)f -=_____________。

5、设奇函数()f x 的定义域为[5,5]-，
过当[0,5]x ∈时，()f x 的图像(如右图)， 则不等式()f x ＜0的解是_______。

第十九节：反函数及两个函数的对称问题
O y=f x ()
x
y
25
一、反函数定义：
反函数性质：y 为反函数的图像关于直线y=x 对称。

反函数的存在条件 1、求下列函数的反函数
①32)(-=x x f ②1
4)(+-=x x
x f ③)0(1)(2<+=x x x f
2、求下列函数的值域 ①
11
2+-=
x x y ②
x y +=1
二、关于x 轴，Y 轴原点等直线对称的两个函数的性质
1、如果函数()y f x =的图像与函数32y x =-的图像关于坐标原点对称，则 ()y f x =的表达式为（ ）
A.23y x =-
B. 23y x =+
C. 23y x =-+
D. 23y x =--
2、函数 的图像与函数y=f(x)的图像关于y 轴对称，则f(x)的解析式为
3、函数32-=x y 关于直线x y =对称的函数的解析式为_______________。

4、曲线13223+--=x x x y 关于2=x 对称的曲线方程为_______________。

5、函数与y=f(x)的图像关于x 轴对称，则f(x)的解析式为
第二十节 抽象函数
一、抽象函数的对应关系
类型一（抽象函数的定义域）
1、已知函数(1)y f x =+的定义域[-2，3]，则(21)y f x =-的定义域是（ ）
A. [0，
5
2
] B. [-1，4] C. [-5，5] D.[-3，7] 3、已知函数f （2x+1）的定义域为（0,1），求f （x ）的定义域；
4、已知函数f （x+1）定义域为[]3,2-，求f （2x 2-2）的定义域
5、若函数()y f x =的定义域[]1,1-，求函数⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-∙⎪⎭⎫ ⎝⎛+4141x f x f 的定义域。

6、设函数()f x 的定义域为[0，1]，则函数(2)f x -的定义域为____________。

1、设函数()f x ＞0，且对任意121
,[0,]2
x x ∈,都有1212()()()f x x f x f x +=⋅,
若(1)2f =，求1()2f ,1
()4f 的值.,
2、函数()f x 对于任意实数x 满足条件1
(2)()
f x f x +=
，若(1)5f =-， 则[(5)]f f =_______
3、已知2f(x)-3f(-x)=x-1,求f(x)
4、已知12()1f f x x x ⎛⎫
+=+ ⎪⎝⎭
，求()f x 。

5，对任意R y x ∈,，有()()()y f x f xy f +=
①、()0f ，()1f ②、证明()()
x f y f x y f -=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
6,对任意x,有f(x+y)=f(x)-f(y)
①求证：f(0)=0,f(-5)=f(5)
②求证:f(x-y)=f(x)-f(y).
第二十一节、抽象函数的单调性与奇偶性
类型一（奇偶性）
1、函数()f x 的定义域为R ，()f x 不恒等于零，且()()()f x y f x f y +=+， 则()f x 是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶函数
D.非奇非偶函数 2、函数()f x 的定义域为R ，()f x 不恒等于零，且f(xy)=f(x)+f(y)
则()f x 是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶函数
D.非奇非偶函数 3、已知函数()f x 是定义在（-∞，+∞）上的偶函数，当x ∈（-∞，0）时， 4()f x x x =-，则x ∈（0，+∞）当时，()f x =______________。

类型三:单调性
1、已知函数f(x)是定义在[-1,1]上的增函数，且f （m-1）＞f （2-3m ）， 则m 的取值范围是____
2、设函数f(x)是R 上的减函数，又若,R a ∈则 （ ）
A )2()(a f a f ＜
B )()(2a f a f ＞
C )()(2a f a a f ＜+
D )()1(2a f a f ＜+
3、函数f(x)在（a , b ）和（c , d ）都是增函数，若那么＜且2121),,(),,(x x d c x b a x ∈∈
A )()(21x f x f
B )()(21x f x f ＞
C )()(21x f x f =
D 无法确定
4、已知函数()f x 的定义域是（0，+∞），且满足1()()(),()1,2
f xy f x f y f =+=，
如果对于0,x y <<，都有()()f x f y >。

（1）求(1)f ；
（2）解不等式 ()(3)2f x f x -+-≥-
5、定义在R 上的函数()f x ，对任意,a b R ∈时，有()()()f a b f a f b +=+，
且当x o >时，()f x o >.
（1）求证：()f x 在（,-∞+∞）上是增函数；
（2）若(4)4f =，解不等式2(22)1f m m --<
6、 设函数()y f x =定义在R 上，对于任意实数n m ,，恒有
()()()n f m f n m f ⋅=+，且当0>x 时，1)(0<<x f ，
（1）求证： 1)0(=f 且当0<x 时，1)(>x f ， （2）求证： ()f x 在R 上是减函数，
（3）设集合}1)()16(|),{(2=⋅-+-=y f x x f y x A ，}|),{(a y y x B ==，
且A B =∅， 求实数a 的取值范围。

7、已知()f x 定义在[-1, 1]上且()f x -=-()f x ，且(1)f =1，若a,b ∈[-1, 1],
0≠+b a 时，有
()()
f a f b a b +>+
（1）试判断()f x 定义在[-1, 1]上试增函数还是减函数，并证明你的结论；
（2）设
1
3
<x 1≤求证()f x <3x ； （3）若2
(1)(2)0f x f x -+-<，求x 的取值范围；
第二十二节函数的定义与性质总结
一、规律总结
二、测试题
1、若偶函数()f x ∞在（- ，- 1]是增函数，则下列关系中，成立的是（ ）
A 3()(1)(2)2f f f -<-<
B 3
(1)()(2)2
f f f -<-<
C 3(2)(1)()2f f f <-<-
D 3
(2)()(1)2
f f f <-<-
2、下列4个命题：
①函数()f x 在0x >时是增函数，0x <也是增函数，所以()f x 是增函数； ②若函数2()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则28b a -＜0且a ＞0； ③223y x x =--的递增区间为[1,+∞); ④1y x =+和2(1)y x =+表示相等函数。

其中正确命题的个数是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
3、若函数()2f x a x b =-+在[0,)x ∈+∞上为增函数，则实数,a b 的取值范围 是 。

4、已知函数y=f(x)与y=g(x)是定义域上的减函数，若函数F(x)=f[g(x)+1]的定义 域为区间（a , b ）判断函数F(x)= f[g(x)+1]在 区间（a , b ）上的单调性，并证明.
5、定义在非零实数集上的函数()f x 满足()()(),f xy f x f y =+且()f x 是区间()0,+∞ 上的增函数
()1求(1),(1)f f -的值，()2求证：()()f x f x -=
；()3解不等式1
(2)()02
f f x +-≤.
第二十三节函数的测试与反思。