江苏省如皋中学高三数学10月阶段练习试题 理

江苏省如皋中学2014-2015学年度第一学期阶段练习
高三数学 (理科)
（Ⅰ卷）
一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置．．．．．．．．上．
． 1．复数z 1=3+i ，z 2=1-i ,则复数
2
1
z z 的虚部为___▲____． 2．“x >1”是“1
x
<1”的__▲__条件．(如：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不
必要)
3．已知集合A ＝{1,2a
}，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫12，则A ∪B ＝ ___▲____．
4．函数()f x =___▲___．
5．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－4
5，则m 的值为___▲____．
6．已知2)tan(-=-απ,则
221
sin 2cos αα
=- ___▲__．
7．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于___▲____．
8．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )．当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2
.若直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f (x )的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是 ▲ ．
9．已知P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →
)＝ ▲ ．
10. 设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为___▲____．
11．下列命题：
①在ABC ∆中，“o A 30>”是“2
1
sin >
A ”的充分不必要条件； ②已知)1,2(),4,3(--==CD A
B ，则AB 在CD 上的投影为2-；
③已知1cos ,:=∈∃x R x p ，01,:2
>+-∈∀x x R x q ，则“q p ⌝∧”为假命题； ④“若2,062
>≥-+x x x 则”的否命题； ⑤已知函数2)6
sin()(-π
+
ω=x x f )0(>ω的导函数的最大值为3，则函数)(x f 的图象
关于3
π
=
x 对称． 其中真命题的序号为__▲__．
12．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2
的图象在点 (－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )
在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是____▲____．
13．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP u u u r ＝λAB u u u r ，AQ u u u
r ＝(1－λ)AC u u u r ，λ
∈R ，若BQ u u u r ·CP u u u r ＝－3
2
，则λ＝ ___▲____．
14．设m 为实数，函数m x m x x x f --+=)(2)(2
，⎪⎩
⎪
⎨⎧=0
)
()(x x f x h 00=≠x x .
若)(x h 对于一切[]3,1∈x ，不等式)(x h ≥1恒成立，则实数m 的取值范围是___▲____.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程活盐酸步骤．
15．已知命题p ：函数6)3
4()(23++++=x a ax x x f 在(－,+)上有极值；命题q ：关于
x 的方程x 2-3ax +2a 2+1=0的两个相异实根均大于3．若q p ∨是真命题，q p ∧是假命题，
求实数a 的取值范围．
16．已知函数(
)
()2cos 3sin 2
22
x
x x f x =-．
（1）设ππ22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣
⎦，，且()31f θ=，求θ的值； （2）若⎪⎭
⎫
⎝
⎛
∈22ππθ，－，求函数)(x f 值域；
（3）在△ABC 中，AB =1，()31f C =，且△ABC 3
，求sin A +sin B 的值．
17．如图，点B 在以PA 为直径的圆周上，点C 在线段AB 上，
已知152
5,3,7
PA PB PC ===
，设,APB APC αβ∠=∠=， ,αβ均为锐角．
（1）求β；
（2）求AC PC ⋅u u u r u u u r
的值．
18．已知关于x 不等式0)1)(1(>+-x ax ．
(1)若此不等式的解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-<<-211x x ，求实数a 的值；
(2)若R a ∈，解这个关于x 的不等式．
19．某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB 至少长2.8米，C 为AB 的中点，B 到D 的距
离比CD 的长小0.5米，3
BCD π
∠=
，若建筑支架各部分的材料每米的价格已确定，且AB
部分的价格是CD 部分价格的两倍.设BC x =米,CD y =米. (1)求y 关于x 的函数；
(2)问怎样设计AB 的长，可使建造这个支架的成本最低？
B
A
C
20． 已知函数2
()ln (0,1)x
f x a x x a a a =+->≠.
（1）求证：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）若函数|()|1y f x t =--有三个零点，求t 的值；
（3）若存在12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，试求a 的取值范围.
（Ⅱ卷）
1．已知矩阵2143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
A ，4131-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
B ，求满足=AX B 的二阶矩阵X ．
2．若两条曲线的极坐标方程分别为 = 1与 = 2cos( + 3
),它们相交于A ，B 两点，
求线段AB 的长．
3．已知等式252910012910(22)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x ++=+++++++++L ，其中
a i （i =0，1，2，…，10）为实常数．求：（1）101
n n a =∑的值；（2）10
1
n n na =∑的值．
4．某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻
辑思维能力的测试，其测试结果如下表：
知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的
学生的概率为2
5
．
（1）求a，b的值；
（2）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率；
（3）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．
高三数学(理科)质量检测试题（Ⅰ卷）
命题人:葛剑锋
一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置．．．．．．．．上．
．
1． 2; 2． 充分不必要; 3． ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，－1，12; 4． ; 5． 12; 6． 52
;
7． π4; 8． 0或－14; 9． 6; 10. 172
50; 11．③④; 12． [－2，－1];
13． 1
2
; 14．2m ≤
15．解：（1） [8,7A B =--I ） 4分 （2）{}
()(3)0B x x a x a =-++> ①当32a =-
时，3,2B x x R x ⎧⎫
=∈≠-⎨⎬⎩
⎭A B ∴⊆恒成立； 7分 ②当3
2
a <-
时，{}
3--><=a x a x x B 或 ,A B ⊆Q
∴4->a 或83-<--a 解得4a >-或5>a （舍去） 所以-
<<-a 423
10分
③当3
2
a >-
时，{}
a x a x x B >--<=或3 ,34A B a ⊆∴-->-Q 或8-<a （舍去）解得3
12
a -<< 13分
综上，当A B ⊆，实数a 的取值范围是(4,1)-． 14分
16． （1）2
()2sin cos 222
x x x
f x =-cos )sin x x +-=()
π2cos 6x +． 3分
由()π2cos 16x +，得()
π1cos 62
x +=，
于是ππ2π()63x k k +
=±∈Z ，因为ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以ππ26
x =-或． 5分 （2）3
26
3
π
π
π
≤
+
≤-
x ，所以值域为(]
32,31++- 9分 （3）因为(0π)C ∈，，由（1）知π
6
C =．
因为△ABC 1πsin 26
ab =，于是ab =① 10分
在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a ，b . 由余弦定理得2222π
12cos
66
a b ab a b =+-=+-，所以227a b +=．② 11分
由①②可得2a b =⎧⎪⎨⎪⎩，
2.
a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩
于是2a b +=+
由正弦定理得sin sin sin 112A B C a b ===， 所以(
)1sin sin 12A B a b +=+=+．
-------------------14分 17． 解（1）：因为点B 在以PA 为直径的圆周上，所以90ABP ∠=o ，
所以34cos ,sin 55PB PA αα===．
所以4
tan 3
α=， cos cos()10
PB CPB PC αβ∠=-=
=， sin()αβ-=，所以1
tan()7
αβ-=， tan tan()
tan tan[()]11tan tan()ααββααβααβ--=--==+-……6分，
又(0,)2πβ∈，所以4
π
β= -----------------------8分
（2）：2()AC PC PC PA PC PC PA PC ⋅=-⋅=-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
275
549
=-=- ．-----------------14分
18．解（1）2a =- 注：需验证0a <符合 ………………………………………4分
（2）①当0a =时，由()10x -+>，得1x <-；……………………………6分
②当0a >时，不等式化为()110x x a ⎛
⎫-
+> ⎪⎝⎭，解得1x <-或1
x a
>；………8分
③当0a <时，不等式化为()110x x a ⎛⎫
-+< ⎪⎝⎭
； 若
11a <-，即10a -<<，则1
1x a <<-；………………………………… 10分 若1
1a =-，即1a =-，则不等式解集为∅；……………………………… 12分 若11a >-，即1a <-，则1
1x a
-<<．………………………………………14分 P C
B
综上所述：
1a <-时，解集为11x x a ⎧⎫
-<<⎨⎬⎩
⎭；
1a =-时，原不等式解集为∅；
10a -<<时，解集为11x x a ⎧⎫
<<-⎨⎬⎩⎭；
0a =时，解集为{}1x x <-；
0a >时，解集为11x x x a ⎧⎫
<->⎨⎬⎩
⎭或． (16)
分
19．解：(1)由题 BC x =,CD y =.连结BD ，则在CDB ∆中，2221
()2cos
2
3
y y x xy π
-=+-，
整理得：21
4.1
x y x -
=
-( 1.4)x ≥ ----------6分 （注：不注明定义域扣2分）
(2)设金属支架CD 每米价格为a 元，金属支架AB 每米价格为2a 元， 则总成本为()()224y a x a a y x ⋅+⋅=+
21
4441
x y x x x -
+=
+- ----------8分 设 2.8
1,10.4,2
t x t =-≥
-= ---------10分
则3
4564y x t t
+=+
+ ----------12分 令()3
564g t t t
=+
+，在[)+∞,4.0上单调增, 所以当4.0=t 时,即 1.4x =时,取得最小值.------14分
答：当m AB 8.2=时，建造这个支架的成本最低.-------16分
20． 解：（Ⅰ）()ln 2ln 2(1)ln x
x
f x a a x a x a a '=+-=+-…………………3分
由于10<<a 或1a >，故当(0,)x ∈+∞时，ln 0,10x
a a >->，所以
()0f x '>，
故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增 ………………………………………5分 （Ⅱ）当0,1a a >≠时，因为(0)0f '=，且()f x '在R 上单调递增，
B
A
C
D 地面
故()0f x '=有唯一解0x =…………………………………………7分 所以,(),()x f x f x '的变化情况如下表所示：
而11t t +>-，所以min 1(())(0)1t f x f -===，解得2t = ……………11分
（Ⅲ）因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，
所
以
当
[1,1]
x ∈-时，
max min max min |(())(())|(())(())1f x f x f x f x e -=-≥-…12分
由（Ⅱ）知，()f x 在[1,0]-上递减，在[0,1]上递增，
所以当[1,1]x ∈-时，{}min max (())(0)1,(())max (1),(1)f x f f x f f ===-，
而11
(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a a
a
--=+--++=--， 记1()2ln (0)g t t t t t =-->，因为2
2121()1(1)0g t t t t
'=+-=-≥（当1t =时
取等号），
所以1()2ln g t t t t
=--在(0,)t ∈+∞上单调递增，而(1)0g =，
所以当1t >时，()0g t >；当01t <<时，()0g t <，
也就是当1a >时，(1)(1)f f >-；当01a <<时，(1)(1)f f <-………14分
①当1a >时，由(1)(0)1ln 1f f e a a e a e -≥-⇒-≥-⇒≥， ②当01a <<时，由11(1)(0)1ln 10f f e a e a a e
--≥-⇒
+≥-⇒<≤， 综上知，所求a 的取值范围为[)10,,a e e
⎛⎤∈+∞ ⎥⎝
⎦
U ……………………………16分
（Ⅱ卷）
1．解：由题意得1
312221-⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎣⎦
A
，…………………………………………………5分 =AX B Q ，1
3
194112
22312151-⎡⎤⎡⎤
--⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴===⎢
⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦-⎣⎦⎣⎦
X A B …………………………10分
2． 解：首先将两曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,得
x 2 + y 2 = 1与x 2 + y 2
– x + 3y = 0……………………………………………………
6分
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2 + y 2
= 1x 2 + y 2 – x + 3y = 0 得两交点坐标(1,0),(–12, – 32) 所以,线段AB 的长为
(1 + 12)2 + (0 + 32
)2= 3 -----------------------10分
3． 解：（1）在252910012910(22)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x ++=+++++++++L 中，
令1x =-，得01a =； (2)
分
令0x =，得5012910232a a a a a +++++==L ．
所以10
1210131n n a a a a ==+++=∑L ． (5)
分
（2）等式252910012910(22)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x ++=+++++++++L 两边对x 求导，
得2489129105(22)(22)2(1)9(1)10(1)x x x a a x a x a x ++⋅+=+++++++L ．……… 7分
在2489129105(22)(22)2(1)9(1)10(1)x x x a a x a x a x ++⋅+=+++++++L 中，
令x =0，整理，得10
5129101291052160n n na a a a a ==++++=⋅=∑L ． (10)
分
4． 解：（1）设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优
秀的学生．
由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(6)a +人．
则62()205
a P A +==． 解得 2a =．
所以4b =． …………… 3分
（2）设事件B ：从20人中任意抽取2人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．
由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人．
则21222062()1()195
C P B P B C =-=-=． …………… 6分 （3）ξ的可能取值为0，1，2．
20位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为8人． 所以2
1222033
(0)95
C P C ξ===，
11
12822048
(1)95
C C P C ξ===，
2
822014
(2)95
C P C ξ===．
所以ξ的分布列为
所以，0E ξ=⨯339548195+⨯2+⨯1495764
955==．
…………… 10分。