二维数字图像恢复算法的研究

* 2010-06-04收到,2010-08-28改回
**　张炳坤,男,1983年生,硕士研究生,研究方向:信号与信息处理。

文章编号:1003-5850(2010)10-0042-04
二维数字图像恢复算法的研究
Study of Digital Image Restoration Algorithm in 2D
张炳坤　罗进文
(兰州交通大学电子信息工程学院　兰州　730070)
【摘　要】现代数字技术使对多维数字信号的处理成为可能,从简单的数字环路到更高级的平行计算机系统。

数字图像的处理可以分为以下三个步骤:图像预处理,图像分析,图像认知。

讨论二维图像处理,其所用到的大多概念和技术均可扩充到三维或更多维的图像处理。

通过将各种滤波算法作用于一幅模糊成信噪比为30dB 的图像。

得出这样的结论:基于线性滤波和最小均方误差(或均方根值误差)准则的维纳滤波是一种解决图像恢复问题的较好方法。

【关键词】数字图像,维纳滤波,图像恢复,最小均方误差,均方根值误差
中图分类号:T P 751
文献标识码:A
ABSTRACT M odern digital t echnolog y has made it possible t o manipulate mult i-dimensio na l sig nals w it h sy st em s that r ange fro m simple digital circuits to advanced parallel computers.T he m anipulatio n o f dig it al ima ge can be divided int o thr ee steps:imag e pro cessing ,image analy sis ,image understanding .T his paper only discusses 2-D imag e pro cess because most of the concepts and techniques that ar e to be described can be ex tended easily t o thr ee o r mo re dimension .I n the ex ample g iven in the paper ,a var iety of im age resto rat ion alg or ithms applied to a imag e o f w hich t he SN R is 30dB.T he r esult sho ws that,the W iener filter ing is a better solutio n t o the r esto ration pro blem based upo n the hypothesized use of a linear filter ing and the minimum mean-square err or criterion.
KEYWORDS dig ita l im age,W iener filter ing ,imag e resto rat ion,minim um m ea n-square er r or ,ro ot-mean-squar e err or
随着信息化技术的高速发展,数字化时代已经来临并且呈快速蔓延的趋势,人们在日常生活中能够越来越多的感觉到数字化时代带给人们的便利和享受。

其中,图像是人类获取信息、表达信息和传递信息的重要手段,是人类感知和认识世界的基础。

有关研究表明,日常生活中人们所接受到的各种信息中图像信息占总信息量的80%左右,从这一角度看,“百闻不如一见”正是图像处理重要性的形象表达和经验总结[1]。

在图像的获取、传输过程中,由于成像系统外部的复杂性以及成像系统内部各种因素的影响,获取的图像都不可避免地存在某些失真和不同程度的退化。

一般来说,造成图像退化的原因有以下几种:成像系统的相差、畸变、有限的带宽等造成的图像失真;太阳辐射、大气湍流、气候条件、聚集不良和系统噪声等造成的图像失真、模糊;携带传感器的平台(如飞机或卫星等)运动的不稳定,以及地球自转等造成的几何失真;摄像时相机与景物之间的相对运动造成的运动模糊;图像在采样、量化以及A /D 和D /A 数字化时造成的失真;底片感光、图像显示时造成记录过程中的非线性失真。

图像复原是图像处理的一个重要领域。

所谓图像复原是对退化或劣化的图像进行校正处理、滤去退化痕迹、恢复图像的本来面目,其原则是尽可能地重现或
逼近无退化的真实图像。

其本意是对所观测的数据执行运算以使模糊的图像逼近于源信息,或称为复原、整新、重构、估值。

图像复原的算法也是相当丰富。

本文
将各种算法应用于加噪图像,如中值滤波、高斯滤波、维纳滤波等。

通过具体参数比较,得出其中最好的图像滤波算法。

1　数字图像定义
一个二维离散空间的数字图像a [m ,n ]描述为:通过对二维连续空间的图像a (x ,y )抽样获得,也称其是一个数字化过程。

如图1所示。

二维连续图像a (x ,y )被分成N 行,M 列。

行与列的交叉部分成为一个像素。

分配给每一个坐标[m ,n ](其中m =0,1,2…,M -1;n =0,1,2…,N -1)的值为a [m ,n ]。

接下来讨论一个二维、单色、静态图像:
图1被分成一个M ×N 为16×16的图像。

每个像素的亮度值是环绕其周围像素亮度值的平均值。

对于灰度级为L 的像素,信号幅度的表示涉及到了幅度的量化或称数字化。

图1中所示坐标[m =10,n =3]的亮度值为110。

图1　模拟图像的数字化
2　傅里叶变换
傅里叶变换是信号的另一种表示形式,通过一种复杂指数的加权和的形式表示。

根据欧拉公式[2]
:
e jq =co s(q )+j sin(q )(1)
可以认为傅里叶变换得到的是正余弦的加权和形式。

傅里叶变换的正向和反向计算过程如下:给定一幅图像a 和其傅里叶变换A 。

正向傅里叶变换为从空间域(连续或离散)到频域(通常为连续)
[3,4]。

A =F {a }
(2)反向傅里叶变换从频域到空间域:a =F -1{A }
(3)
傅里叶变换是唯一的和可逆的,即:
a =F -1
{F {a }},=F -1
{F {A }}(4)
在空间域和频域相互转换的完整的傅里叶变换的正向和反向公式如下:
正向:A (u ,v )=∫+∞-∞∫+∞
-∞a (x ,y )e -∫
ux +vy
d x d y (5)
反向:
a (x ,y )=1
4 2
∫+∞-∞
∫+∞-∞
A (u ,v )e +∫
ux +vy
d u d v
(6)
3　视觉特性
有很多方法可以来描述人类视觉系统的敏感性。

图2显示了一些典型的光谱特性。

人类感知只限于电磁波谱的视觉波段(390nm ～770nm ),而硅对红外线有高的敏感度,基于这个原因可以应用于CCD 照相机,通过给定的红外模块滤波器来对图像进行处理和分析,可以作为一种图像的来源[6]。

数码相机和摄像机中的传感器不会对所有波长的光都那么敏感,不过相对于人的视觉系统来说要宽得多。

4　方法和模型
对于退化图像的复原,一般可采用两种方法。

一种
方法适用于对图像缺乏已知信息的情况,此时可对退化过程(模糊和噪声)建立模型,进行描述,并进而寻找
图2　太阳光、硅、人类视觉系统的谱特性。

U V 代表紫
外线,I R 代表红外线
一种去处或削弱其影响的过程。

由于这种方法试图估计图像被一些相对好的(已知)退化过程影响以前的情况,故是一种估计方法。

另一方面,若对于原始图像有足够的信息,则对原始图像建立一个数学模型并根据它对退化图像进行拟合会更有效。

在对图像进行复原时,还有许多其他选择。

首先,问题既可以用连续数学,也可以用离散数学进行处理。

其次,处理既可在空间域,也可以在频域进行。

在许多情况下,使用不同的方法最后却得到同样的复原技术。

效果最好的复原技术是由问题本身决定的。

不管通过什么途径,最后都有可能得到这个性能最佳的技术。

5　平滑算法
很多非线性的平滑滤波器已经得到了不同程度的发展。

通常,不会被用于傅里叶分析,不过,它们的特性和应用领域也已经得到了广泛的研究。

5.1　中值滤波[5]
中值滤波法是一种非线性平滑技术,将每一像素点的灰度值设置为该点某邻域窗口内的所有象素点灰度值的中值。

经常用于去除图像或者其他信号中的噪声。

这个设计思想就是检查输入信号的采样并判断是否代表了信号,使用奇数个采样组成的观察窗实现这
项功能。

观察窗口中的数值进行排序,位于观察窗中间的中值作为输出。

然后,丢弃最早的值,取得新的采样,重复上面的计算过程。

中值滤波是图像处理中的一个常用步骤,对斑点噪声和椒盐噪声来说尤其有用。

保存边缘的特性使它在不希望出现边缘模糊的场合也很有用。

5.2　Kuwahara 滤波器
边缘检测在图像感知和图像分析中发挥着重要作用。

虽然这种滤波器可以通过各种形状的窗口作用于图像,但这里选择其为一个方形窗口,大小为J =K =4L +1,L 为一整数。

窗口被分割成4个区域,如图3所示。

该例中L =1,J =K =5。

每个区域大小为[(J +1)/2]×[(K +1)/2]。

5.3　高斯滤波器
高斯滤波器是根据高斯函数的形状来选择权值的线性平滑滤波器。

高斯平滑滤波器对去除服从正态分
图3　K uwahar a 滤波器定义的四个方形区域
布的噪声是很有效果的。

一维零均值高斯函数为:
g (x )=e
(
-x
2
2
)(7)其中,高斯分布参数决定了高斯滤波器的宽度。

对图像来说,常用二维零均值离散高斯函数作平滑滤波器,函数表达式如下:
g [i ,j ]=e
-(
i 2
-j
2
2 2
)(8)
表1　平滑滤波器的特性
滤波器
域类型载体可分/增量复杂度/像素平衡空间域线性正方形Y/Y O(常量)平衡空间域线性圆形N/Y O(K )三角空间域线性正方形Y/N O(常量)
三角空间域线性圆形N/NO(K)高斯空间域线性
∞
Y /N O (常量)中值
空间域
非线性正方形N /Y O (K )Kuw ahara 空间域非线性正方形N/N O(J ×K )其他
频率域
线性
-
-/-O(logN)
图4　几种线性非线性平滑滤波器的处理效果
表1显示了平滑滤波算法的各种特性。

滤波器的尺寸由一个J ×K 的矩形窗界定,J ≥K ,并不丧失一般性。

图像大小N ×N 。

图4为各种平滑算法的作用于原图的效果实例。

其中(a)为原始图像;(b)为5×5平衡滤波;(c)为高斯滤波( =25);(d )为5×5中值滤波;(e )为5×5Kuw ahara 滤波。

6　噪声抑制
6.1　图像噪声
所谓的图像噪声,是图像在摄取时或是传输时所受到的随机干扰信号。

常见的有椒盐噪声和高斯噪声。

其各自的特点如下:
椒盐噪声:出现位置是随机的,但噪声的幅值是基
本相同的。

高斯噪声:出现位置是一定的(每一点上),但噪声的幅值是随机的。

噪声对图像处理十分重要,影响图像处理的输入、采集、处理的各个环节以及输出结果的全过程。

特别是图像的输入、采集的噪声是个十分关键的问题,若输入伴有较大噪声,必然影响处理全过程及输出结果。

因此一个良好的图像处理系统,不论是模拟处理还是计算机处理无不把减少最前一级的噪声作为主攻目标。

去噪已成为图像处理中极其重要的步骤。

6.2　像抑噪图
噪声抑制技术可以分为两大类,一类是基于时域的噪声抑制,一类是基于频域的噪声抑制。

根据时序信息,且图像序列{a p [m ,n ] p =1,2,…,P }均准确包含相同的目标物,只是加载的独立噪声不同,这种情况下,序列的时序平均为:
a [m ,n ]=1p ∑p
p -1
a p [m ,n ](9)
7　结　果
由上述分析可知,在已知噪声的情况下,线性滤波
器中,维纳滤波器是最佳的选择。

所谓“最佳”,是指在最小均方误差的情况下。

由于平方根是单调递增的,所以最佳滤波器也使根均方根值(r ms )最小。

维纳滤波器的特性是在频域内消除信号的噪声,该信号由下式给出[7]:
H W (u ,v )=S a a (u ,v )
S aa (u ,v )+S nn (u ,v )
(10)
其中,S aa (u ,v )是随机图像的功率谱密度函数,
S nn (u ,v )是随机噪声的功率波谱密度函数。

如果一个二维的信号a (x ,y ),其傅里叶变换为A (u ,v ),那么
A (u =0,v =0)=
∫+∞-∞
∫+∞
-∞a (x ,y )d x d y (11)a (x =0,y =0)=1
4
2
∫+∞-∞
∫+∞-∞
A (u ,v )d u d v
(12)
维纳滤波器可以通过等式(8)直接获得,因为图像谱和噪声谱是已知的。

其他滤波器的参数值是由产生的最小均方根值来决定的[8]。

图5　不同滤波器对噪声的抑制
8　结　论
如图5所示,图中为不同滤波器对噪声的抑制情况,其中(a )为原始噪声图像(SN R =30dB),r ms =25.7;(b )为维纳滤波,rms =20.2;(c )为高斯滤波( =1.0),rmw =21.1;(d)为Kuw ahara (5×5),rms =22.4;(e)为中值滤波(3×3),r mw =22.6;(f)为M orph 平滑(3×3)r ms =26.2。

不同的滤波器会产生不同的均方根值误差,通过对均方根值误差的对比,可以发现维纳滤波是这些滤波器中产生误差最小的。

另外,维纳滤波和高斯滤波这两种线性滤波的表现稍稍优于其他三种非线性滤波。

参考文献
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(上接第39页)
Step2:将X 2当作参考集,对X 1进行1或k 近邻分类;
将X 3当作参考集,对X 2进行1或k 近邻分类
X S 将当作参考集,对X S -1进行1或k 近邻分类Step3:去掉Step2中被错误划分的样本,余下x N E ={S E 1,S E 2,…,S E S }
Step 4:将x N E
当作新的训练样本,返回Step 1直至最后无错误划分为止。

3　重复剪辑近邻法的应用
根据以上重复剪辑算法的描述,可以用M atlab 编写程序实现对数据的分类。

取得的数据为二维平面的一系列点,这里把数据分为两类,十字形为I 类,
圆形
图1　原始数据分布图2　重复剪辑近邻算法分类后
的数据分布
为II 类。

原始样本数据分布如图1所示。

在M atlab 中用重复剪辑算法对数据分类,得到的数据分布如图2所示。

从图1和图2中可以看出,剪辑近邻法去掉了交界处的样本。

4　结束语
重复剪辑近邻算法充分利用了样本集中样本,对样本集进行随机划分,并在以后的每次迭代划分中都将前一步的剪辑后的样本形成新的样本集,然后再对其重新划分,这有效地保证了剪辑的独立性。

临界区数据往往对数据分类和一些决策产生负面应用,该算法去除了交界处书记,较好地实现了数据分类。

此外,消除了临界处噪声,在信号处理中也有着重要意义。

参考文献
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