关于函数连续性的分析方法

第24卷 第5期 邢 台 职 业 技 术 学 院 学 报 V ol.24 No.5 2007年10月 Journal of Xingtai Polytechnic College Oct . 2007
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收稿日期：2007—02—03
作者简介：周玉兰（1963—），女，河北邢台人，邢台职业技术学院基础课部，副教授。

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关于函数连续性的分析方法
周玉兰1，冯 娟2
（1．邢台职业技术学院 基础课部，河北 邢台 054035；2.邢台学院 数学系，河北 邢台 054001） 摘 要：本文利用函数的连续性定义，详细讨论了初等函数的连续性，以及几个特殊非初等函
数的连续性和间断点的类型判断，展示了一些复杂的非初等函数连续性的讨论方法，这不仅说
明了分段函数的多样性，而且对于研究函数的丰富性具有重要的指导意义。

关键词：连续函数；间断点；初等函数；非初等函数
中图分类号：O174 文献标识码： A 文章编号: 1008—6129（2007）05—0016—03
在使用的教材中，连续函数一般定义为：“设函数)(x f 在0x 的一个邻域内有定义，如果)(lim 0
x f x x →存在，且)()(lim 00x f x f x x =→，则称函数)(x f 在0x 处是连续的。

”]1[
按函数点连续的定义，函数)(x f y =在x =0x 连续，那么必须存在一个0x 的邻域，使)(x f y =在这个领域有定义。

我们又说若函数在所定义的区间上每一点连续，那么称这个函数在所定义的区间是连续的。

那么什么区间才能使区间内每一点，都有一个小邻域，使这小邻域在函数定义域之内呢？只有开区间具有这种性质，因为闭区间的两个端点不存在一个包含端点的小邻域，使它落在闭区间上。

这样如果按连续函数的一般定义就无法判断函数在区间两个端点的连续性，此时就要用左、右连续的概念。

比如)(x f y =定义在[a , b]上，对于左端点只有右边才有定义，需要考虑右边的连续性；对于右端点只有左边才有定义，需要考虑左边的连续性。

所以)(x f 在[a ，b]上连续，是指f ()x 在[a ，b]的每一内点连续，而且左端点右连续，右端点左连续。

判断一个函数是否连续，并不是对每一个具体的函数都根据定义去进行判断，而行之有效的办法是，在建立了一些最简单而强有力的运算法则以后，在这些法则下只要借助几个最基本的、根据连续的定义证明了其连续性的初等函数，就可得出结论：“初等函数在其定义域上是连续的。

”
]1[ 首先很易证明，函数x x f c x f ==)()(和在整个数轴是连续的。

所以x x x x f ⋅==2)(作为两个连续函数之积也是连续的，并且同样地，x 的任一整数幂n x 也是连续的。

于是每一个多项式作为连续函数
之和，都是连续的。

每一个有理函数作为连续函数之商，在它的定义域内的每一点都连续。

而对于无理函数，因为连最简单的无理函数n
x x =)(φ也是幂函数n x x f =)(的反函数（单值支），所以我们显然需
要一个关于反函数连续性的定理。

因为函数n x x f =)(是连续的，并且当0≥x 时是单调的，因此，n n x x f x x ==)()(作为φ的反函数是连续的。

因此若要进一步得出“无理函数在其定义域内的每一点都连续”的结论，还需要一个关于复合函数连续的定理。

于是可知代数函数在其定义域内的每一点都连续。

对于三角函数，正弦函数x x f sin )(=是最基本的。

根据定义证明了其连续性之后，由复合函数的连续性，)2sin(cos )(x x x f +==π
是连续的，而作为连续函数的商，x x x x csc ,sec ,cot ,tan 在其定义域
内的每一点都连续。

于是，根据反函数连续性的定理，反三角函数在其定义域内的每一点都连续。

在根据定义证明了指数函数x a x f =)(的连续性之后，作为其反函数，x a x log )(=φ也是连续的，
而幂函数x a x e
a x f ln )(==，作为复合函数，在其定义域内的每一点上都连续。

综上所述，由于建立了连续函数的运算法则，我们只需根据定义证明四个函数：x a x f x x f x x f c x f ====)(,sin )(,)(,)(的连续性，就得出了：一切基本初等函数在其定义域中都是连续的。

而我们又知道，初等函数是基本初等函数四则运算、反函数运算和复合运算的结果。

因此一切初等函数在其定义域中都是连续的。

对于非初等函数，比如常见的分段函数，带绝对值符号的函数（实际上也是分段函数）的连续性，
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在每一“分点”上，还需根据极限或左、右极限去具体判断。

为了更清楚地说明问题，我们讨论几个非初等函数的连续性问题，通过所举例题证明方法的典型性，达到举一反三的目的。

下面就研究几个具体函数的连续性：
1．函数⎪⎩
⎪⎨⎧=≠=时，当时，当0x 1 0x sinx )(x x f
分析：当x ，以及使0sin =x
x 的点相当于分段函数的“分点”在这些点的左、右两侧，函数的解析表达式是“不同”的，因此，需要根据极限去判断函数在这些点上的连续性。

解：因为 )0(1sin lim )(lim )2,1,(k )(0sin lim )(lim 00f x
x x f kx f x
x x f x x k x k x ===±±====→→→→ ππ 故y=)(x f 在x =k π（k=0,±1，±2，…）上连续，又由初等函数的连续性，y=)(x f 在整个数轴上连续。

2．研究函数⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥−++≤−=. )0( 11sin )1ln(0( sin )(23x x x x x x x x f ）π 的连续性，并说明不连续点的类型。

分析：函数的间断点主要发生在函数无定义的点，以及分段函数的分段点，对于分段点是否为间断点，必须从定义出发考察函数的左、右极限及函数值。

解：当x ＜ 0时，x
x x x f sin )(3π−=，由0 sin =x π解得 ,3,2,1−−−=x 当101,1sin )1ln()(022==−++=≥x x x
x x f x 解得由时， 所以 ,3,2,1,1)(−−−=x x f 在处间断，在分段点x =0处可能间断，在除去以上点的其他区间上)(x f 是初等函数，故连续。

因为在处 ,3,20−−=x
,sin lim )(lim 300∞=−=→→x x x x f x x x x π 所以)(,3,20x f x 均是 −−=的无穷间断点，属第二类间断点。

在10−=x 处
2sin )2)(1(lim sin )1)(1(lim sin lim )(lim 011311ππππ−=−−−=+−=−=→−=−→−→−→y y y y x x x x x x x x f y y x x x x 令 ，
故)(10x f x 是−=的可去间断点，属第一类间断点。

如果令1)(,2)1(0−=−=−x x f f 在则π
就连续了。

在00=x 处
, 1sin ]1
1sin )1[ln(lim )(lim , 1 sin lim )(lim 200300−=−++=−=−=++−−→→→→x x x f x x x x f x x x x ππ 所以)(00x f x 是=的跳跃间断点，属第一类间断点。

在10=x 处，)(lim 1
x f x →不存在，故10=x 是)(x f 的第二类间断点。

故)(x f 在除去 ,3,2,1,1,0−−−=x 这些点的其他区间上连续。

183．研究函数⎩
⎨⎧=为无理数时当为有理数时当x x x x f , 0, sin )(π 的连续性，并说明不连续点的类型。

解：对), 2, 1, ,0(0 ±±==k k x 当x 取有理数k →时，
;0sin sin lim )(lim ===→→ππk x x f k x k
x 当x 取无理数k →时，),(0)(lim k f x f ==故)(x f y =在)2, 1, ,0( ±±==k k x 连续。

因为当)2, 1, ,0(0 ±±=≠k k x 且0x 为有理数时，x 取有理数,0x →
; 0 sin sin lim )(lim 000≠==→→x x x f x x x x ππ
x 取无理数,0x →0)(lim 0=→x f x x 当)2, 1, ,0(0 ±±=≠k k x 且0x 为无理数时，x 取有理数,0x →
;
0 sin sin lim )(lim 000≠==→→x x x f x x x x ππ x 取无理数,0x →0)(lim 0=→x f x x 故)() 2, 1, ,0( x f y k k x =±±=≠为 的第二类不连续点。

4．证明：黎曼函数 00, , 1⎪⎩⎪⎨⎧=为无理数。

，若；为互质的整数和其中若x n n m n m x n 对一切有理数x , f (x )是不连续的；而对一切无理数x , f (x )是连续的。

证明：设0x 是数轴上的任一点，对任意给定0ε则满足不等式n ＜ε1
的自然数n 至多只有有限个，所以在区间)1,1(00+−x x 中，只能找出有限个有理点n m ，使εn
n m f 1)(=，因而可以取δ＞0，使得0x 的领域),(00δδ+−x x 内不含有这样的有理数（若0x 为有理数，则可能除去0x ），那么,只要，δx x 00− 不论x 取何值，总有εx f )(成立，此即，对于任意0x ，有.0)(lim 0
=→x f x x 若0x 是无理数，因为,0)(0=x f 故)(x f 在0x 连续；若0x 是有理数，因0)(0≠x f .故)(x f 在这点上不连续。

]
2[
上面进行了几个分段函数连续性的证明，这些例子除了说明如何证明分段函数连续性以外，函数本身也很有趣，它们说明了分段函数的多样性，对于我们全面研究函数的丰富性具有重要的实践指导意义。

参考文献：
[1]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社，2000.76-85.
[2]费定晖,周学圣.数学分析习题集题解[M].济南：山东科学技术出版社，2007.381-382.
On Analysis Methods of Continuous Function
ZHOU Yu-lan 1, FENG Juan 2
（1.Xingtai Polytechnic College, Xingtai, Hebei 054035 China;
2. Xingtai Institute,Xingtai,Hebei 054001,China)）
Abstract: This paper discusses the continuity of elementary function and some special non-elementary function and how to decide the interval point by the conception of function’ continuity. Ways of how to discuss complicated non-elementary function continuity are shown. It not only introduces the variations of interval function but also has great sense to research in the richness of function.
Key words: continuous function; interval point; elementary function; non-elementary function
（责任编辑 冯和平）
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