2017届高考数学大一轮复习 演练经典习题3 文 北师大版

【高考领航】2017届高考数学大一轮复习 演练经典习题3 文 北师
大版
1．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项．
(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；
(2)设数列{c n }对n ∈N ＋，均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n
＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋…＋c 2 016. 解：(1)由已知有a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ， ∴(1＋4d )2
＝(1＋d )(1＋13d )， 解得d ＝0或d ＝2，又∵d ＞0，∴d ＝2. ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，
∴等比数列{b n }的公比q ＝b 3b 2＝9
3
＝3.
∴b n ＝b 2q
n －2
＝3×3
n －2
＝3
n －1
.
(2)由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n
＝a n ＋1，① 得当n ≥2时，c 1b 1＋c 2b 2＋…＋
c n －1
b n －1
＝a n ，② ①－②，得n ≥2时，c n
b n
＝a n ＋1－a n ＝2， ∴c n ＝2b n ＝2×3n －1
(n ≥2)．而n ＝1时，c 1b 1
＝a 2，
∴c 1＝3.
∴c n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
n ＝，2b n ＝2×3n －1n
∵c 1＋c 2＋…＋c 2 016＝3＋2×31＋2×32
＋…＋2×32 015
＝3＋
6－2×32 015
1－3
＝3－3＋32 015
＝3
2 015
.
2．(2016·济南一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝3n
＋k . (1)求k 的值及数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足
a n ＋1
2
＝(4＋k )a n b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .
解：(1)当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1＝3n
＋k －3n －1
－k ＝2·3
n －1
.
因为{a n }是等比数列，所以a 1＝2，a n ＝2·3
n －1
.
a 1＝S 1＝3＋k ＝2，所以k ＝－1.
(2)由
a n ＋1
2＝(4＋k )a n b n ，可得b n ＝n 2·3n －1，b n ＝32·n
3
n ， T n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋232＋3
33＋…＋n 3n .
13T n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋232＋3
3
4＋…＋n 3n ＋1，
23T n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋1
33＋…＋13n －n 3n ＋1，
T n ＝94⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2－12·3n －n 3n ＋1.
3．(2016·吉林长春模拟)已知函数f (x )满足ax ·f (x )＝b ＋f (x )(ab ≠0)，f (1)＝2且
f (x ＋2)＝－f (2－x )对定义域中任意x 都成立．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)若正项数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝14⎝ ⎛
⎭⎪⎫3－2f a n 2.求证：数列{a n }是等差数
列；
(3)若b n ＝a n
2
n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n .
解：(1)由ax ·f (x )＝b ＋f (x )(ab ≠0)，得f (x )(ax －1)＝b . 若ax －1＝0，则b ＝0，不合题意，故ax －1≠0，∴f (x )＝b ax －1
. 由f (1)＝2＝
b
a －1
，得2a －2＝b .①
由f (x ＋2)＝－f (2－x )对定义域中任意x 都成立， 得
b a x ＋
－1＝－b
a
－x －1
，
由此解得a ＝1
2.②
把②代入①，可得b ＝－1. ∴f (x )＝－112
x －1＝2
2－x (x ≠2)．
(2)证明：∵f (a n )＝22－a n ，S n ＝14⎝ ⎛
⎭⎪⎫3－2f a n 2，
∴S n ＝14
(a n ＋1)2
，
∴a 1＝14(a 1＋1)2
，
∴a 1＝1；
当n ≥2时，S n －1＝14
(a n －1＋1)2
，
∴a n ＝S n －S n －1＝14(a 2n －a 2
n －1＋2a n －2a n －1)，得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.
∵a n ＞0，
∴a n －a n －1－2＝0， 即a n －a n －1＝2， ∴数列{a n }是等差数列．
(3)数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n －1. ∴b n ＝2n －12n .T n ＝12＋322＋523＋…＋2n －1
2n ，③
同边同乘以1
2
，得
12T n ＝122＋323＋524＋…＋2n －1
2
n ＋1，④ ③－④，得12T n ＝12＋222＋223＋…＋22n －2n －12
n ＋1，
∴12T n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋12
3＋…＋12n －2n －12n ＋1－12＝2×12⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－12n 1－12－2n －12n ＋1－12＝32－2n ＋32n ＋1，
∴T n ＝3－2n ＋3
2n .。