精编广东省佛山市南海区2015高三下学期七校联合交流高中数学文科试题和答案

“七校联合体”2015届高三冲刺交流试卷
数学试卷（文科）
命题人：南海桂城中学 2014年5月17日
本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：
1．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．
2．非选择题必须用0.5毫米黑色．．字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
3．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．
参考公式：锥体的体积公式1
3
V sh =，其中s 为锥体的底面积，h 为锥体的高。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合),1(+∞-=M ，集合{}0)2(|≤+=x x x N ，则N M ⋂= A ．]2,0[ B ． ),0(+∞ C ． ]0,1(- D ． )0,1(-
2. 设复数z 满足(2)(2)5z i i --=,则z =（ ）
A ．23i +
B ．23i -
C ．32i +
D ．32i -
输出S
3. 已知向量a ＝，b ＝(3,)m ，若向量a ，b 的夹角为
6
π
，则实数m ＝( ) A ．
B. 0 C ．
D ．
4．已知函数()f x 是奇函数，且当0x >时，()e x f x =，则(1)f -=（ ） A ．1e B ．1
e
- C ．e
D ．e -
5. 某防疫站对学生进行身体健康调查，采用分层抽样的办
法抽取
样本．某中学共有学生2000名，抽取了一个容量为200的
样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生（ ）
A ．1030人
B ．97人 C
．
950
人
D ．970人
6. 如图所示的程序框图表示的算法功能是（ ）
A ．计算123456S =⨯⨯⨯⨯⨯的值
B ．计算12345S =⨯⨯⨯⨯的值
C ．计算1234S =⨯⨯⨯的值
D ．计算1357S =⨯⨯⨯的值
7. 已知命题p ：直线a ，b 不相交，命题q ：直线a ，b 为异面直线，则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
8. 已知0a >,,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
,若2z x y =+的最小值为1,则a =（ ）
A ．
12
B ．
14
C ．1
D ．2
9. 已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连
接,AF BF ,若4
10,6,cos ABF 5AB AF ==∠=
,则C 的离心率为（ ） A ．3
5
B ．
57
C ．45
D ．67
10. 对于集合M ，定义函数1,,
()1,.M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合M ，N ，定义集合
{|M N x ⊕=()()1}M N f x f x ⋅=-. 已知{2,4,6,8,10}G =，{1,2,4,8,16}H =，则集合G H ⊕=（ ）
A. {2,4,8}
B. {6,10}
C. {1,16}
D. {1,6,10,16} 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11~13题）
11. 函数ax x x f +=ln )(存在与直线02=-y x 平行的切线，则实数a 的取值范围为 ． 12. 在区间（0，4）内任取两个实数，如果每个实数被取到的概率相等，那么取出的两个实数的和大于2的概率等于 .
13. 某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵
树是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n ∈*N )等于__________. （二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程为2cos 2sin x t
y t
=⎧⎨=⎩(t 为参数)，C 在点
()0,2-处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的
极坐标方程为
15．（几何证明选讲选做题） 如图，已知ABC △内接于圆O ，点D 在OC 的延长线上，AD 切圆O 于A ，若30ABC ∠=︒,2AC =,则AD 的长为_______．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12 分） 已知向量m ＝(4sin
3x ，1)，n ＝(4cos x ，4
cos 2x
)，f (x )＝m n ⋅． (1)若1)(=x f ，求)3
2cos(
x -π
的值； (2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且满足b c C a =+2
1
cos ，求函数
)(B f 的取值范围
17. （本小题满分12 分）某次考试结束后，为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况，
随机抽取甲、乙两校各10名学生的考试成绩，得茎叶
图如图所示（部分数据不清晰）：
（Ⅰ）请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水 平较高（直接写出结果）；
（Ⅱ）若在抽到的这20名学生中，分别从甲、乙两校
随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，求抽到的学生中， 甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率．
18.（本小题满分14分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，各个侧面均是边长为2的正方形，D 为线段AC 的中点． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面11ACC A ； （Ⅱ）求证：直线1AB ∥平面1BC D ；
（Ⅲ）设M 为线段1BC 上任意一点，在1BC D ∆内的平面区域（包括边界）是否存在点E ，使CE DM ⊥，并说明理由．
19．（本小题满分14分）
数列{}n a 的首项11a =，前n 项和n S 与n a 之间满足2
2(2)21
n
n n S a n S =≥-.
（1）求2a 的值；
（2）求数列{}n S 的通项公式； （3
）设()f n =
k ，使()f n k ≥对一切n N *
∈都成立，求k 的最大值.
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
20. （本小题满分14分）已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|FA |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形． （1）求C 的方程．
（2）若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E .
①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标．
②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
21.（本小题满分14分）
设*
n ∈N ，函数ln ()n x f x x =，函数e ()x
n g x x
=，(0,)x ∈+∞.
（Ⅰ）判断函数()f x 在区间(0,)+∞上是否为单调函数，并说明理由；
（Ⅱ）若当1n =时，对任意的12,(0,)x x ∈+∞， 都有12()()g x f x t ≤≤成立，求实数t 的取值范围；
（Ⅲ）当2n >时，若存在直线l y t =：（t ∈R ），使得曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线l 的两侧，写出n 的所有可能取值. (只需写出结论)
“七校联合体”2015届高三冲刺交流试卷
参考答案 一、选择题： C A C D D B B A B D 二、填空题：
11. (,2)-∞ 12.7
8
13. 6 14. sin 20ρθ+= 15. 三、解答题：
17．解：（Ⅰ）从茎叶图可以看出，乙校10名学生的考试成绩的平均分高于甲校10名学
生的考试成绩平均分，故乙校的数学成绩整体水平较高． ……… 4分
（Ⅱ）设事件M ：分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学，抽到
的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩．
由茎叶图可知，甲校成绩不低于90分的同学有2人，从小到大依次记为12,A A ；乙校成绩不低于90分的同学有5人，从小到大依次记为12345,,,,B B B B B ． 其中121234592,93,90,91,95,96,98.A A B B B B B ======= ……… 6分
A
B
C D
A 1
B 1
C 1
O 分别从甲、乙两校各随机抽取1名成绩不低于90分的同学共有
11121314152122232425,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 这10种可能．…… 8分 其中满足“抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩”共有
11122122,,,A B A B A B A B 这4种可能． ……… 10分 所以42
()105
P M =
=． 即分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学，抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率为2
5
. ……… 12分
18. 解：（Ⅰ）证明：因为三棱柱的侧面是正方形， 所以AC CC BC CC ⊥⊥11,,C AC BC = . 所以⊥1CC 底面ABC ．
因为⊂BD 底面ABC ，所以BD CC ⊥1．
由已知可得，底面ABC 为正三角形． 因为D 是AC 中点，所以AC BD ⊥．
因为C CC AC =1 ，所以⊥BD 平面11ACC A ． ……… 5分
（Ⅱ）证明：如图，连接1B C 交1BC 于点O ，连接OD ．显然点O 为1B C 的中点． 因为D 是AC 中点， 所以1//AB OD ． 又因为⊂OD 平面1BC D ，⊄1AB 平面1BC D ，
直线1AB ∥平面1BC D ……… 10分
（Ⅲ）在1BCD ∆内的平面区域（包括边界）存在一点E ，使CE DM ⊥． 此时点E 是在线段1C D 上. 证明如下： 过C 作1CE C D ⊥交线段1C D 于E ，
由（Ⅰ）可知BD ⊥平面11ACC A ，而CE ⊂平面11ACC A ， 所以BD CE ⊥．
又1CE C D ⊥，1BD C D D =，所以CE ⊥平面1BC D ． 又DM ⊂平面1BC D ，所以CE DM ⊥． ……… 14分
19. 解：（1）∵11a =，22(2)21n n n S a n S =≥-， ∴2
122122()2()1
a a a a a +=
+- 解得22
3
a =- ………………2分
（2）证明：∵12--=≥n n n S S a n 时，，∴1
2221
-=
--n n
n n S S S S ， ∴2
12)12)((n n n n S S S S =---，∴112--=-n n n n S S S S ， ………………6分
∴
)2(2111≥=--n S S n n ， 数列11
}1{1=S S n 是以为首项，以2为公差的等差数列. ∴
122)1(11
-=⨯-+=n n S n
，∴121n S n =
-. ………………8分 （3）由（2）知1121n S n +=
+，
又1(1)()f n f n +=
11⎛
+ =
=
1==>， ………………10分 ∴()f n 在n N *∈上递增，要使()f n k ≥恒成立，只需min ()f n k ≥ ………………12分
∵min ()(1)f n f ==
∴0k <≤
∴max k =.………………14分 C 1
A
B C
D
A 1
B 1
M
E
20．解：（1）由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0. 设D (t ，0)(t >0)，则FD 的中点为⎝
⎛⎭
⎪⎫
p ＋2t 4，0. 因为|FA |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p 2＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
t －p 2，
解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)． ………………2分 由
p ＋2t 4
＝3，解得p ＝2，
所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . ………………4分 （2）①证明：由(1)知F (1，0)．设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D ，0)(x D >0)．
因为|FA |＝|FD |，则|x D －1|＝x 0＋1，
由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2，0)． 故直线AB 的斜率k AB ＝－y 0
2
.
因为直线l 1和直线AB 平行， 设直线l 1的方程为y ＝－y 0
2
x ＋b ，
代入抛物线方程得y 2
＋8y 0y －8b
y 0＝0， 由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2
y 0
.………6分
设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4
y 20
.
当y 2
0≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4
y 0＋y 04y 20－y 20
4＝4y 0y 20－4， ………………7分
可得直线AE 的方程为y －y 0＝
4y 0
y 20－4
(x －x 0)， 由y 20＝4x 0， 整理可得y ＝4y 0
y 20－4(x －1)，直线AE 恒过点F (1，0)． ………………8分
当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1，0)．
所以直线AE 过定点F (1，0)． ………………9分 ②由①知，直线AE 过焦点F (1，0)，
所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝(x 0＋1)＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x 0＋1＝x 0＋1x 0＋2. ………………
10分
设直线AE 的方程为x ＝my ＋1，因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1
y 0.
设B (x 1，y 1)．直线AB 的方程为y －y 0＝－y 0
2(x －x 0)，
由y 0≠0，得x ＝－2
y 0
y ＋2＋x 0.
代入抛物线方程得y 2
＋8y 0y －8－4x 0＝0， 所以y 0＋y 1＝－8
y 0
，
可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4
x 0
＋x 0＋4. 所以点B 到直线AE 的距离为：
d ＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎪4x 0
＋x 0＋4＋m ⎝ ⎛
⎭⎪⎫y 0＋8y 0－11＋m 2
＝4（x 0＋1）x 0＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0， ………………12分 则△ABE 的面积S ＝12×4⎝ ⎛⎭⎪
⎫x 0＋1x 0x 0＋1
x 0＋2≥16， 当且仅当1
x 0
＝x 0，即x 0＝1时，等号成立．
所以△ABE 的面积的最小值为16. ………………14分 21.（Ⅰ）解：结论：函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. …………………1分
由ln ()n x f x x =
求导，得 1
1ln ()n n x
f x x
+-'=， …………………2分 令 ()0f x '=，解得1
e n
x =. 当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：
所以函数()f x 在区间1(0,e )n
上为单调递增，区间1(e ,)n
+∞上为单调递减.
所以函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. …………………5分
（Ⅱ）解：当1n =时，函数ln ()x
f x x =，e ()x
g x x
=，0x >.
由题意，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞， 都有12()()g x f x t ≤≤恒成立， 只需当(0,)x ∈+∞时，max min ()()g f x t x ≤≤. …………………6分 因为 2
1ln ()x
f x x -'=
. 令()0f x '=，解得e x =. 当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：
所以max ()(e)e
f x f ==
. …………………8分 又因为2
e (1)
()x x g x x
-'=. 令 ()0g x '=，解得1x =. 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化如下表所示：
所以min ()(1)e g x g ==. …………………10分
综上所述，得1
e e
t ≤≤. …………………11分
（Ⅲ）解：满足条件的n 的取值集合为{3,4}. …………………14分。