江苏省苏州市2015～2016学年高二下学期期末调研测试数学(理)试题(含附加题) 含答案

2015～2016学年苏州市高二期末调研测试 数 学（理科） 2016．06
参考公式:
圆锥侧面积公式：
S
rl ，
其中r 是圆锥底
面半径，l 是圆锥母线长．
数学Ⅰ试题
一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共计70分．请把答案
填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．
1．命题“x ≥1，x 2≥1"的否定是 ▲ ． 2．已知复数
2
(34i)5i
z +=
(i 为虚数单位）,则｜z|＝ ▲ ．
3．四位男生一位女生站成一排，女生站中间的排法共有 ▲ 种．(用数字作答） 4．双曲线
22
21(0)3
x y a a -=>的离心率为2，则a ＝ ▲ ．
5．“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：(a ＋2）x －3y －2＝0垂直”的 ▲ 条件．
(填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页,包含填空题(第1题 ~ 第14题）、解答题（第15题 ~ 第20题)． 本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后请将答题卡交回．
2．答题前请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔，填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整、笔迹清楚． 4．如需作图须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗．
5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦 洗的圆珠笔．
也不必要"）
6．已知函数()
e 2x
f x x
（e 是自然对数的底）在点(0,1)处的切线方程为
▲ ．
7．设某批产品合格率为23，不合格率为1
3
，现对该批产品进行测试，设第X 次首次测到正品，则P (X=3）= ▲ ．
8．若圆C 过两点(0,4),(4,6)A B ,且圆心C 在直线x －2y －2＝0上，则圆C 的标准方程 为 ▲ ．
9．
若6
5
()(1)
(1)f x x x =+--的展开式为260
126()f x a
a x a x a x =+++
+，则
125
a a a +++的
值为 ▲ ．(用数字作答）
10．从0，1，2，3组成没有重复数字的三位数中任取一个数，恰好是偶数的概率为 ▲ ．
11．已知点A （－3，－2)在抛物线C ：x 2＝2py 的准线上，过点A 的直线与抛物线C 在第二象限相切于点B ，记抛物线C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为 ▲ ．
12．
假定某篮球运动员每次投篮命中率均为p (0<p <1)．现有4次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即终止投篮．已知该运动员不
放弃任何一次投篮机会，且恰用完4次投篮机会的概率是58
,则p 的值为 ▲ ． 13．若函数2()2e
3
x
f x a x =-+（a 为常数，e 是自然对数的底）恰有两个极
值点,则实数a的取值范围为▲．
满足a=则a的最大值是▲ ．
14．若实数a,b
二、解答题：本大题共6小题,共90分，解答时应写出文字说明、证
明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分)
一个不透明的口袋中装有6个大小和形状都相同的小球，其中2个白球，4个黑球。

(1）从中取1个小球,求取到白球的概率；
（2）从中取2个小球，记取到白球的个数为X，求X的概率分布和数学期望.
16．（本小题满分14分）
正方体ABCD－A1B1C1D1中，点F为A1D的中点．
（1）求证：A1B∥平面AFC；
第16题图
(2）求证:平面A1B1CD⊥平面AFC．
17．（本小题满分14分)
如图，某工厂根据生产需要制作一种下部是圆柱、上部是圆锥的封闭型组合体存储设备,该组合体总高度为8米,圆柱的底面半径为4米,圆柱的高不小于圆柱的底面半径．已知制作圆柱侧面和底面
的造价均为每平米2百元，制作圆锥侧面的造价为每平米4百元，设制作该存储设备的总费用为y 百元．
(1）按下列要求写出函数关系式：
①设OO 1h (米)，将y 表示成h 的函数关系式； ②设∠SDO 1(rad)，将y 表示成θ的函数关系式;
（2)请你选用其中的一个函数关系式，求制作该存储设备总费用的最小值．
18．（本小题满分16分）
在直三棱柱11
1
ABC A B C -中,90BAC ∠=︒，1
2AB AC AA ===，,E F 分别是11
,BC A C 的中点．
（1）求直线EF 与平面ABC 所成角的正弦值; （2）设D 是边11
B C
,求线段BD 的长．
第18题图
第17题图
19．（本小题满分16分）
如图，已知椭圆M
：22
221(0)x y a b a b +=>>
,且过点(2,1)P ．
（1）求椭圆M 的标准方程；
（2）设点1
1
2
2
(,),(,)A x y B x y 是椭圆M 上异于顶点的任意两点,直线
OA ,OB 的斜率分别为1
2
,k k ，且12
1
4
k k
=-
．
①求2212
x
x +的值；
②设点B 关于x 轴的对称点为C ,试求直线 AC 的斜率．
20．(本小题满分16分）
已知函数()e x
f x cx c =--（c 为常数，e 是自然对数的底），()f x '是函数
()
y f x =的导函数．
（1）求()f x 的单调区间； (2）当1c 时，试证明：
①对任意的0x ，(ln )(ln )f c x f c x +>-恒成立;
第19题图
②函数()
有两个相异的零点．
y f x
2015～2016学年苏州市高二期末调研测试 数 学（理科） 2016．06
数学Ⅱ试题
注意事项：
1．答题前务必要将选做题的前面标记框涂黑，以表示选做该题，不涂作无效答题．
2．请在答题卷上答题，在本试卷上答题无效．
请从以下4组题中选做2组题，如果多做，则按所做的前两组题记分．每小题10分，共40分．
A 组（选修4－1:几何证明选讲） A 1．如图，在△ABC 中，AB
AC
，△
ABC 的外接
圆为⊙O ，D 是劣弧AC 上的一
点，弦AD ，
BC 的延长线交于点E
,连结BD
并延长到
点F ，连结CD .
（1）求证：DE 平分CDF ;
（2）求证：2
AB
AD AE
．
A 2．设AD ,CF 是△ABC 的两条高，AD ，CF
交于点
H
,
AD 的延长线交△ABC 的外接圆⊙
O 于点G ，AE 是
⊙O 的直径，求证： （1）AB AC
AD AE ；
（2）DG
DH .
B 组(选修4－2：矩阵与变换）
B 1．已知矩阵A ＝2
14
3⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
，B ＝110
1⎡⎤
⎢⎥-⎣
⎦。

（1）求A 的逆矩阵A －1； (2）求矩阵C ，使得AC ＝B .
B 2．已知矩阵A ＝1
11a
-⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
，其中a ∈R ,若点P (1,1)在矩阵A 的变换下得
到点P ′(0，－3)． （1)求实数a 的值；
（2）求矩阵A 的特征值及特征向量． C 组(选修4－4:坐标系与参数方程）
C 1．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立
极坐标系．已知曲线1
C 的极坐标方程为
3
82cos(
)4
，曲线2
C 的
参数方程为
8cos ,3sin
x y
(θ为参数)．
（1）将曲线1
C 的极坐标方程化为直角坐标方程,将曲线2
C 的参数方程化为普通方程；
（2）若P 为曲线2
C 上的动点,求点P 到直线:
l 3
2,(2x
t t y
t
为参数）的距
离的最 大值．
C 2．在平面直角坐标系xOy 中,曲线1
C 的参数方程为1cos ,
sin x y αα
=+⎧⎨
=⎩
(α为参数);在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2
C 的极坐标方程为2
cos sin ρθθ=．
（1）求曲线
C的极坐标方程和曲线2C的直角坐标方程；
1
(2）若射线l:y kx=(0)
x≥与曲线1C，2C的交点分别为,A B（,A B异于原点)，当斜率
k∈时，求OA OB⋅的取值范围．
(1
D组（选修4－5：不等式选讲）
D1．已知关于x的不等式111
-+-(0
ax a x≥
a>).
（1)当1
a=时，求此不等式的解集；
（2）若此不等式的解集为R,求实数a的取值范围．
D2．已知a，b，c均为正数，求证:
(1）114
≥；
a b a b
（2）111111
≥．
a b c a b b c c a
222
2015～2016学年苏州市高二期末调研测试理科
数学参考答案
一、填空题
1．∃x ≥1，x 2<1 2．5 3．24 4．1 5．充分不必要
6．310x y -+= 7．2
27
8．2
2(4)
(1)25
x y -+-= 9．61 10．59 11．34- 12．1
2
13．1(0,)e 14．20
二、解答题
15．解：(1）记从中取一个小球，取到白球为事件A ， ………………………………2分
12
16C 1()3
C P A ==
．
………………………………………………………………4分 所以中取一个小球,取到白球的概率13． ……………………………………5分 （2)X 的取值为0，1，2 ．
…………………………………………………6分
242
6
C 2
(0)5C P X ===，
11
2426C C 8(1)15C P X ===,
22
2
6
C 1(2)15C P X === 所以
………………………………………………………………12分
数学期望
2812
(
)012515153
E X =⨯+⨯+⨯=． ……………………………………14分
16．证明:（1）连接BD 交AC 于点O ，连接FO ，则点O 是BD 的中点．
∵点F 为A 1D 的中点,∴A 1B ∥FO ． ………………………3分 又1
A B ⊄平面AFC ，FO ⊂平面AFC ,
A 1B ∥平面AFC ． (7)
分
（2)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,
∵CD ⊥平面A 1ADD 1,AF ⊂平面A 1ADD 1，∴CD ⊥AF ．
…………………………10分
又∵AF ⊥A 1D ，∴AF ⊥平面A 1B 1CD ． ………………………12分
又AF ⊂面AFC ，
∴平面A 1B 1CD ⊥平面AFC ． ………………………14分
17．解：（1）① S
圆柱侧
2rh 8h ，S
圆锥侧
C
O
A
D
B 1
C 1
D 1
A 1
F
rl
2
416+(8)h -, ……………………2分
y 2S 底面+ 2S 圆柱侧+4 S 圆锥侧=32+16h +21616+(8)h -
= 32+216(16+(8))
h h +
-,(48h ≤<);
………………………4分
(注：定义域不写扣1分） ②
4
=
cos SD θ
,=84tan h θ-。

y 2S 底面+ 2S 圆柱侧4 S 圆锥侧=32+2
4(84tan )2θ⨯⨯-⨯+4
44cos θ
⨯⨯
⨯ 32+64
(2tan )
θ-+64
cos θ
=160+64
1sin cos θ
θ-(
04
≤
θ<）。

……………
…………6分
（注:定义域不写扣1分) （2)选方案① 由（1)知y =32+216(16+(8))
h h +
-,（48h ≤<）.
设8h t
-=，
则
y
32+216(816+)t t -+=32
+2
1616
(8)
16+t t
+
+, …………9分
y
32+2
1616
(816+t t
+
+在(04],上单调递减，
………………………11分 所以，当4t =时，y 取到最小值(9664
2)
+．
………………………13分 选方案②
由（1）知y=160+64
1sin cos θ
θ-(
04
≤
θ<），
设1sin ()cos θϕθθ
-=,2sin 1'()cos θϕθθ
-=， ………………………8分
因为，04
≤θ<，所以，'()0ϕθ<，
所以，()ϕθ在(0,]4
上单调递减，
………………………11分
所以，当4
θ=时，y 取到最小值(9664
2)
+．
………………………13分
答：制作该存储设备总费用的最小值为(96642)
+百
元． ……………………14分
18．解:如图所示，以｛1
,,AB AC AA }为正交基底建立空间直角坐标系A xyz -．
则1
(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,0),(0,1,2)B C A E F ，
（1)所以(1,0,2)EF =-， ………………………2分
平面ABC 的一个法向量为1
(0,0,2)AA =，
………………………4分
设直线EF 与平面ABC 所成角为α，则1
sin cos ,|α=|EF AA <>=11
||25
5||||
EF AA EF AA ⋅=⋅．
………………………7分
（2）法一 因为D 在11
B C 上,设(,2,2)D x x -，(2,2,2)BD x x =--
所
以
|||cos ,|||||10(BD EF BD EF BD EF ⋅<>=
=
，
9分
设6t x =-因为[0,2],x ∈所以[4,6]t ∈, |cos ,|BD EF <>=
=
=
．
当129t =即9
[4,6]2
t =∈时取等号．
…………………………12分
此时|cos ,|BD EF <>最大，所以BD 与EF 所成角最小． 此时32x =． …………………………14分 所
以
11
(,,2)
22
BD =-，所以
BD =． ………………………16分
法二 设1
11
(2,2,0)B D λB C λλ==-,1
1
(2,2,2)BD BB B D λλ=+=-，其中01λ≤≤,
|||cos ,|||||10BD EF BD EF BD EF ⋅<>=
=
…………………………………9分 设2[2,3]λt +=∈
|cos ,|BD EF <>．
（第18题图）
…………………………12分
当9[2,3]4t =∈时取等号，此时|cos ,|BD EF <>最大，所以BD 与EF 所成角最小．
所以124λ=t -=，所以11(2,2,2)(,,2)22
BD λλ=-=-
，BD =
．
……………………………………………16分 19．解(1
）由题意
c a =，所以
22222223
14
c a b b a a a -==-=,即2
2
4a
b =，
所以椭圆M 的方程为2
22
44x
y b +=，
………………………2分
又因为椭圆M 过点(2,1)P ,所以2
444b +=,即2
22,8
b
a ==．
所以所求椭圆M 的标准方程为
22
182
x y +=．
………………………4分
(2）①设直线OA 的方程为1
y k x =，
22
1
1,82,x y y k x ⎧+
=⎪⎨
⎪=⎩ 化简得2
2
1
(14)8
k x
+=,解得21
2
1814x
k =
+，
………………………6分
因为12
14
k k =-
，故2
1
14k
k =-
，
同
理可得
222112
222
2112
18163288
114164141416k k x k k k k ⨯====++++⨯，
………………………8分
所以222
2111
2
222
111328(14)8
8
141414k k x x k k k ++=+==+++． ………………………
10分
②由题意,点B 关于x 轴的对称点为C 的坐标为2
2
(,)x y -,
又点1
1
2
2
(,),(,)A x y B x y 是椭圆M 上异于顶点的任意两点，
所以2222
1122
48,48y
x y x =-=-，故2
22212124()16()1688
y
y x x +=-+=-=，即2
2122
y
y +=．
………………………12分
设直线AC 的斜率为k ,则1
2
1
2
y y
k x x
+=-，
因为12
14k k =-
，即1212
14
y
y
x x
=-
，故12
12
4x x
y y =-，
所以22
2
1212121222
12121212222221282884
y y y y y y y y k x x x x x x y y ++++====+--+, (15)
分
所以直线
AC 的斜率为k 为常数，即
12
k =
或
1
2
k =-
． ………………………16分
20．解:（1）()e
x
f x c
'=-，
若0c ≤，则()e
x
f x c '=->恒成立，此时函数()f x 的增区间为(
,
)
；
…………………………2分 若0c ，令()0f x '=，得ln x c =，
…………………………3分
()y f x =(,ln )c -∞(ln ,)c +∞．
…………………………5分 （
2
）
①
令
()(ln )(ln )(e e )2x x g x f c x f c x c cx -=+--=--． ………………………6分
则()(e
e )2220x
x g x c c c c ≥-'=+--=，且()0g x '=仅在0x =时成立，所以()g x 在R 上
单调递增．
……………8分
所
以
当
x >时,
()(0)0
g x g >=，即
(ln )(ln )
f c x f c x +>-． …………………9分 ②
因
为
1
c >，所以
(ln )f c =ln 0
c c -<． ………………………………………11分
而1
(1)e
f --=>,所以(ln )(1)0f c f ⋅-<，所以()f x 在(1,ln )c -内存在一个零点，
……………………………
13分
取2
(2ln 1)e 2ln 2(e 2ln 2)f c c
c c c c c c +=--=--（1c >)，
设()e 2ln 2c c c ϕ=--(1c >）,2()e 0c c
ϕ'=->,
所以()c ϕ在(1,)+∞上单调递增,所以()(1)e 20c ϕϕ>=->． 从而(2ln 1)()0f c c c ϕ+=⋅>,
所以
(ln )(2ln 1)0
f c f c ⋅+<，所以
()
f x 在
(ln ,2ln 1)
c c +内存在一个零
点． ……………16分
（注:也可以取(2)f c 等．）
19题第2问另解: （2）1
11y k
x =
, 222
y k x =，由12
1
4
k k
=-
得12124x x y y =-①， 1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆22
182x y +
=上, 所以有22
11
2(1)8x y =-、22
222(1)8
x y =-，
222222
2
12121212()4(1)(1)4(1)88864
x x x x x x y y +⋅∴=--=-+②，
①代入②得2
21
28x
x +=。

2015~2016学年苏州市高二期末调研测试理科
数学(附加题)参考答案
A组(选修4－1：几何证明选讲）
A1 证明：（1）因为四边形ABCD内接于圆O，
所以∠CDE＝∠ABC． (2)
分
由AB＝AC得∠ACB＝∠ABC．
所以∠CDE＝∠ACB．
又∠ACB与∠ADB是同弧所以的圆周角；
所以∠ACB＝∠ADB．所以∠CDE＝∠ADB．
…………………………4分
又∠ADB＝∠FDE，
所以∠CDE＝∠FDE，即DE平分CDF．
…………………………5分
（2）由（1）∠ADB＝∠ACB＝∠ABC，
在△ABD和△AEB中，因为∠ADB＝∠ABC，∠BAD＝∠EAB，所以△ABD∽△AEB，…………………………8分
所以AB AE
AD AB
，即2AB AD AE．
…………………………10分
A2 证明:（1)连结BE，因为∠E，∠ACB是同弧所对的圆周角,所以∠E＝∠ACB, …………………………2分又AE是圆O的直径，所以∠ABE＝错误!,
…………………………3分
在Rt△ABE和Rt△ADC中,
∠E＝∠ACB，∠ABE＝∠ADC＝π2，
所以Rt△ABE∽Rt△ADC，
…………………………4分所以AB AE
AD AC
，即AB AC AD AE．
…………………………5分
(2)连结CG,则∠CGD=∠ABC，
…………………………6分在四边形BDHF中,因为∠BDH＝∠BFH＝错误!,∠AHF是四边形BDHF的一个外角，
所以∠ABC＝∠AHF，又∠AHF＝∠CHD，
所以∠CHD＝∠CGD． (7)
分
所以Rt△CDH ≌Rt△CDG ，
…………………………9分
又CD ＝CD ， 所以DH ＝DG ． (10)
分
B 组(选修4－2：矩阵与变换)
B1解（1）因为|A |＝2×3－1×4＝2,
…………………………2分
所以A －1
＝
31224222⎡⎤
-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣
⎦
＝
3
12221⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
.
…………………………5分
(2）由AC ＝B 得（A －1A ）C ＝A －1B ,
…………………………7分
故C ＝A －1
B ＝
312221⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
1101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝
32223⎡⎤
⎢⎥⎢⎥--⎣⎦。

…………………………10分
B2解：（1)由题意得1
11a
-⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
11⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
＝03⎡⎤⎢⎥-⎣⎦
， …………………………2分
所以a ＋1＝－3,所以a ＝－4。

…………………………5分
（2）由（1）知A ＝1
14
1-⎡⎤
⎢⎥-⎣
⎦
，
令f (λ）＝错误!＝(λ－1)2－4＝0.
…………………………3分
解得A 的特征值为λ＝－1或3。

…………………………6分
当λ＝－1时,由20,
420x y x y -+=⎧⎨
-=⎩
得矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
…………………………8分
当λ＝3时，由20,420x y x y +=⎧⎨
+=⎩
得矩阵A 的属于特征值3的一个特征向量为12⎡⎤⎢⎥-⎣
⎦。

(10)
分
C 组（选修4－4：坐标系与参数方程） C1
解：（1）由
3
82cos(
)4
，得
8cos
8sin
， ………………2分
所以
2
8cos
8sin
,
…………………………3分 故曲线1
C 的直角坐标方程为2
288x
y x y ,即22(4)(4)32
x
y ，
由
8cos ,
3sin
x y
消去参数得
2
C 的普通方程为
221
64
9
x y . …………………………5分
（2）设
(8cos ,3sin )
P ,直线
l
的普通方程为
27
x
y
， ………………………6分
故点P 到直线l 的距离为
5
10cos()7
5
d
（其中
43cos
,sin 55
)， …………………………8分
因此
max
1755
d ，故点
P
到直线l 的距离的最大值为．
………………………10分
C2 （1）由1cos ,
sin ,
x y αα=+⎧⎨
=⎩
得2
2(1)1
x y -+=,即2
220
x
y x +-=, …………………
1分
所以1
C 的极坐标方程为
2cos ρθ
=． …………………………3分
由2
cos sin ρθθ=得2
2cos sin ρ
θρθ
=，所以曲线2
C 的直角坐标方程为2
x
y =．
…………………………5分
（2)设射线l :y kx =(0)x ≥的倾斜角为α，则射线的极坐标方程为θα=， 且
tan (1k α=∈，
联立2cos ,
ρθθα
=⎧⎨
=⎩
得1
2cos OA ρα
==, …………………………
7分
联立
2cos sin ,ρθθθα
⎧=⎨
=⎩得2
2sin cos OB αρ
α
==
，
…………………………9分
所以1
2
2
sin 2cos 2tan 2cos OA OB k α
ρρ
ααα
⋅=⋅=⋅
=
=∈， (10)
分
D 组(选修4－5：不等式选讲）
D1 解:（1）当1a =时，原不等式为211x ≥-，
……………………………2分
所以112
x
≥或112
x
≤
,
故不等式解集为13{|}2
2
x x x ≤或≥．
……………………………5分
（2)因为0a >，所以原不等式可转化为111x x a
a
≥-+-，
因为1111
x
x a
a
≥, (8)
分
所以只需111a a
≥，
解得2a ≥． (10)
分
D2
证
明
：（1）因为
11()2
224
b a b a a b a b
a
b a b
≥，………………………3分
所以1
14a
b a b
≥． ……………………………
4分
当且仅当b
a a
b
时，取“＝”,即a b 时取“＝”．
……………………………5分
（2）由（1)11144a
b a b ≥,11144b
c b c
≥，1
1144c a c a
≥
， (8)
分
三式相加得：
111111
222a b c a b b c c a ≥
，
……………………………9分
当且仅当a
b c 时取“＝”
．
……………………………10分。