江苏省苏州市2015~2016学年高二下学期期末调研测试数学(理)试题(含附加题) 含答案
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2015~2016学年苏州市高二期末调研测试 数 学(理科) 2016.06
参考公式:
圆锥侧面积公式:
S
rl ,
其中r 是圆锥底
面半径,l 是圆锥母线长.
数学Ⅰ试题
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案
填写在答题卡相应位置上.........
1.命题“x ≥1,x 2≥1"的否定是 ▲ . 2.已知复数
2
(34i)5i
z +=
(i 为虚数单位),则|z|= ▲ .
3.四位男生一位女生站成一排,女生站中间的排法共有 ▲ 种.(用数字作答) 4.双曲线
22
21(0)3
x y a a -=>的离心率为2,则a = ▲ .
5.“a =1”是“直线l 1:ax +y +1=0,l 2:(a +2)x -3y -2=0垂直”的 ▲ 条件.
(填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页,包含填空题(第1题 ~ 第14题)、解答题(第15题 ~ 第20题). 本卷满分为160分,考试时间为120分钟.考试结束后请将答题卡交回.
2.答题前请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔,填写在试卷及答题卡的规定位置.
3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整、笔迹清楚. 4.如需作图须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
5.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦 洗的圆珠笔.
也不必要")
6.已知函数()
e 2x
f x x
(e 是自然对数的底)在点(0,1)处的切线方程为
▲ .
7.设某批产品合格率为23,不合格率为1
3
,现对该批产品进行测试,设第X 次首次测到正品,则P (X=3)= ▲ .
8.若圆C 过两点(0,4),(4,6)A B ,且圆心C 在直线x -2y -2=0上,则圆C 的标准方程 为 ▲ .
9.
若6
5
()(1)
(1)f x x x =+--的展开式为260
126()f x a
a x a x a x =+++
+,则
125
a a a +++的
值为 ▲ .(用数字作答)
10.从0,1,2,3组成没有重复数字的三位数中任取一个数,恰好是偶数的概率为 ▲ .
11.已知点A (-3,-2)在抛物线C :x 2=2py 的准线上,过点A 的直线与抛物线C 在第二象限相切于点B ,记抛物线C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为 ▲ .
12.
假定某篮球运动员每次投篮命中率均为p (0<p <1).现有4次投篮机会,并规定连续两次投篮均不中即终止投篮.已知该运动员不
放弃任何一次投篮机会,且恰用完4次投篮机会的概率是58
,则p 的值为 ▲ . 13.若函数2()2e
3
x
f x a x =-+(a 为常数,e 是自然对数的底)恰有两个极
值点,则实数a的取值范围为▲.
满足a=则a的最大值是▲ .
14.若实数a,b
二、解答题:本大题共6小题,共90分,解答时应写出文字说明、证
明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
一个不透明的口袋中装有6个大小和形状都相同的小球,其中2个白球,4个黑球。
(1)从中取1个小球,求取到白球的概率;
(2)从中取2个小球,记取到白球的个数为X,求X的概率分布和数学期望.
16.(本小题满分14分)
正方体ABCD-A1B1C1D1中,点F为A1D的中点.
(1)求证:A1B∥平面AFC;
第16题图
(2)求证:平面A1B1CD⊥平面AFC.
17.(本小题满分14分)
如图,某工厂根据生产需要制作一种下部是圆柱、上部是圆锥的封闭型组合体存储设备,该组合体总高度为8米,圆柱的底面半径为4米,圆柱的高不小于圆柱的底面半径.已知制作圆柱侧面和底面
的造价均为每平米2百元,制作圆锥侧面的造价为每平米4百元,设制作该存储设备的总费用为y 百元.
(1)按下列要求写出函数关系式:
①设OO 1h (米),将y 表示成h 的函数关系式; ②设∠SDO 1(rad),将y 表示成θ的函数关系式;
(2)请你选用其中的一个函数关系式,求制作该存储设备总费用的最小值.
18.(本小题满分16分)
在直三棱柱11
1
ABC A B C -中,90BAC ∠=︒,1
2AB AC AA ===,,E F 分别是11
,BC A C 的中点.
(1)求直线EF 与平面ABC 所成角的正弦值; (2)设D 是边11
B C
,求线段BD 的长.
第18题图
第17题图
19.(本小题满分16分)
如图,已知椭圆M
:22
221(0)x y a b a b +=>>
,且过点(2,1)P .
(1)求椭圆M 的标准方程;
(2)设点1
1
2
2
(,),(,)A x y B x y 是椭圆M 上异于顶点的任意两点,直线
OA ,OB 的斜率分别为1
2
,k k ,且12
1
4
k k
=-
.
①求2212
x
x +的值;
②设点B 关于x 轴的对称点为C ,试求直线 AC 的斜率.
20.(本小题满分16分)
已知函数()e x
f x cx c =--(c 为常数,e 是自然对数的底),()f x '是函数
()
y f x =的导函数.
(1)求()f x 的单调区间; (2)当1c 时,试证明:
①对任意的0x ,(ln )(ln )f c x f c x +>-恒成立;
第19题图
②函数()
有两个相异的零点.
y f x
2015~2016学年苏州市高二期末调研测试 数 学(理科) 2016.06
数学Ⅱ试题
注意事项:
1.答题前务必要将选做题的前面标记框涂黑,以表示选做该题,不涂作无效答题.
2.请在答题卷上答题,在本试卷上答题无效.
请从以下4组题中选做2组题,如果多做,则按所做的前两组题记分.每小题10分,共40分.
A 组(选修4-1:几何证明选讲) A 1.如图,在△ABC 中,AB
AC
,△
ABC 的外接
圆为⊙O ,D 是劣弧AC 上的一
点,弦AD ,
BC 的延长线交于点E
,连结BD
并延长到
点F ,连结CD .
(1)求证:DE 平分CDF ;
(2)求证:2
AB
AD AE
.
A 2.设AD ,CF 是△ABC 的两条高,AD ,CF
交于点
H
,
AD 的延长线交△ABC 的外接圆⊙
O 于点G ,AE 是
⊙O 的直径,求证: (1)AB AC
AD AE ;
(2)DG
DH .
B 组(选修4-2:矩阵与变换)
B 1.已知矩阵A =2
14
3⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
,B =110
1⎡⎤
⎢⎥-⎣
⎦。
(1)求A 的逆矩阵A -1; (2)求矩阵C ,使得AC =B .
B 2.已知矩阵A =1
11a
-⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
,其中a ∈R ,若点P (1,1)在矩阵A 的变换下得
到点P ′(0,-3). (1)求实数a 的值;
(2)求矩阵A 的特征值及特征向量. C 组(选修4-4:坐标系与参数方程)
C 1.在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立
极坐标系.已知曲线1
C 的极坐标方程为
3
82cos(
)4
,曲线2
C 的
参数方程为
8cos ,3sin
x y
(θ为参数).
(1)将曲线1
C 的极坐标方程化为直角坐标方程,将曲线2
C 的参数方程化为普通方程;
(2)若P 为曲线2
C 上的动点,求点P 到直线:
l 3
2,(2x
t t y
t
为参数)的距
离的最 大值.
C 2.在平面直角坐标系xOy 中,曲线1
C 的参数方程为1cos ,
sin x y αα
=+⎧⎨
=⎩
(α为参数);在以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线2
C 的极坐标方程为2
cos sin ρθθ=.
(1)求曲线
C的极坐标方程和曲线2C的直角坐标方程;
1
(2)若射线l:y kx=(0)
x≥与曲线1C,2C的交点分别为,A B(,A B异于原点),当斜率
k∈时,求OA OB⋅的取值范围.
(1
D组(选修4-5:不等式选讲)
D1.已知关于x的不等式111
-+-(0
ax a x≥
a>).
(1)当1
a=时,求此不等式的解集;
(2)若此不等式的解集为R,求实数a的取值范围.
D2.已知a,b,c均为正数,求证:
(1)114
≥;
a b a b
(2)111111
≥.
a b c a b b c c a
222
2015~2016学年苏州市高二期末调研测试理科
数学参考答案
一、填空题
1.∃x ≥1,x 2<1 2.5 3.24 4.1 5.充分不必要
6.310x y -+= 7.2
27
8.2
2(4)
(1)25
x y -+-= 9.61 10.59 11.34- 12.1
2
13.1(0,)e 14.20
二、解答题
15.解:(1)记从中取一个小球,取到白球为事件A , ………………………………2分
12
16C 1()3
C P A ==
.
………………………………………………………………4分 所以中取一个小球,取到白球的概率13. ……………………………………5分 (2)X 的取值为0,1,2 .
…………………………………………………6分
242
6
C 2
(0)5C P X ===,
11
2426C C 8(1)15C P X ===,
22
2
6
C 1(2)15C P X === 所以
………………………………………………………………12分
数学期望
2812
(
)012515153
E X =⨯+⨯+⨯=. ……………………………………14分
16.证明:(1)连接BD 交AC 于点O ,连接FO ,则点O 是BD 的中点.
∵点F 为A 1D 的中点,∴A 1B ∥FO . ………………………3分 又1
A B ⊄平面AFC ,FO ⊂平面AFC ,
A 1B ∥平面AFC . (7)
分
(2)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,
∵CD ⊥平面A 1ADD 1,AF ⊂平面A 1ADD 1,∴CD ⊥AF .
…………………………10分
又∵AF ⊥A 1D ,∴AF ⊥平面A 1B 1CD . ………………………12分
又AF ⊂面AFC ,
∴平面A 1B 1CD ⊥平面AFC . ………………………14分
17.解:(1)① S
圆柱侧
2rh 8h ,S
圆锥侧
C
O
A
D
B 1
C 1
D 1
A 1
F
rl
2
416+(8)h -, ……………………2分
y 2S 底面+ 2S 圆柱侧+4 S 圆锥侧=32+16h +21616+(8)h -
= 32+216(16+(8))
h h +
-,(48h ≤<);
………………………4分
(注:定义域不写扣1分) ②
4
=
cos SD θ
,=84tan h θ-。
y 2S 底面+ 2S 圆柱侧4 S 圆锥侧=32+2
4(84tan )2θ⨯⨯-⨯+4
44cos θ
⨯⨯
⨯ 32+64
(2tan )
θ-+64
cos θ
=160+64
1sin cos θ
θ-(
04
≤
θ<)。
……………
…………6分
(注:定义域不写扣1分) (2)选方案① 由(1)知y =32+216(16+(8))
h h +
-,(48h ≤<).
设8h t
-=,
则
y
32+216(816+)t t -+=32
+2
1616
(8)
16+t t
+
+, …………9分
y
32+2
1616
(816+t t
+
+在(04],上单调递减,
………………………11分 所以,当4t =时,y 取到最小值(9664
2)
+.
………………………13分 选方案②
由(1)知y=160+64
1sin cos θ
θ-(
04
≤
θ<),
设1sin ()cos θϕθθ
-=,2sin 1'()cos θϕθθ
-=, ………………………8分
因为,04
≤θ<,所以,'()0ϕθ<,
所以,()ϕθ在(0,]4
上单调递减,
………………………11分
所以,当4
θ=时,y 取到最小值(9664
2)
+.
………………………13分
答:制作该存储设备总费用的最小值为(96642)
+百
元. ……………………14分
18.解:如图所示,以{1
,,AB AC AA }为正交基底建立空间直角坐标系A xyz -.
则1
(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,0),(0,1,2)B C A E F ,
(1)所以(1,0,2)EF =-, ………………………2分
平面ABC 的一个法向量为1
(0,0,2)AA =,
………………………4分
设直线EF 与平面ABC 所成角为α,则1
sin cos ,|α=|EF AA <>=11
||25
5||||
EF AA EF AA ⋅=⋅.
………………………7分
(2)法一 因为D 在11
B C 上,设(,2,2)D x x -,(2,2,2)BD x x =--
所
以
|||cos ,|||||10(BD EF BD EF BD EF ⋅<>=
=
,
9分
设6t x =-因为[0,2],x ∈所以[4,6]t ∈, |cos ,|BD EF <>=
=
=
.
当129t =即9
[4,6]2
t =∈时取等号.
…………………………12分
此时|cos ,|BD EF <>最大,所以BD 与EF 所成角最小. 此时32x =. …………………………14分 所
以
11
(,,2)
22
BD =-,所以
BD =. ………………………16分
法二 设1
11
(2,2,0)B D λB C λλ==-,1
1
(2,2,2)BD BB B D λλ=+=-,其中01λ≤≤,
|||cos ,|||||10BD EF BD EF BD EF ⋅<>=
=
…………………………………9分 设2[2,3]λt +=∈
|cos ,|BD EF <>.
(第18题图)
…………………………12分
当9[2,3]4t =∈时取等号,此时|cos ,|BD EF <>最大,所以BD 与EF 所成角最小.
所以124λ=t -=,所以11(2,2,2)(,,2)22
BD λλ=-=-
,BD =
.
……………………………………………16分 19.解(1
)由题意
c a =,所以
22222223
14
c a b b a a a -==-=,即2
2
4a
b =,
所以椭圆M 的方程为2
22
44x
y b +=,
………………………2分
又因为椭圆M 过点(2,1)P ,所以2
444b +=,即2
22,8
b
a ==.
所以所求椭圆M 的标准方程为
22
182
x y +=.
………………………4分
(2)①设直线OA 的方程为1
y k x =,
22
1
1,82,x y y k x ⎧+
=⎪⎨
⎪=⎩ 化简得2
2
1
(14)8
k x
+=,解得21
2
1814x
k =
+,
………………………6分
因为12
14
k k =-
,故2
1
14k
k =-
,
同
理可得
222112
222
2112
18163288
114164141416k k x k k k k ⨯====++++⨯,
………………………8分
所以222
2111
2
222
111328(14)8
8
141414k k x x k k k ++=+==+++. ………………………
10分
②由题意,点B 关于x 轴的对称点为C 的坐标为2
2
(,)x y -,
又点1
1
2
2
(,),(,)A x y B x y 是椭圆M 上异于顶点的任意两点,
所以2222
1122
48,48y
x y x =-=-,故2
22212124()16()1688
y
y x x +=-+=-=,即2
2122
y
y +=.
………………………12分
设直线AC 的斜率为k ,则1
2
1
2
y y
k x x
+=-,
因为12
14k k =-
,即1212
14
y
y
x x
=-
,故12
12
4x x
y y =-,
所以22
2
1212121222
12121212222221282884
y y y y y y y y k x x x x x x y y ++++====+--+, (15)
分
所以直线
AC 的斜率为k 为常数,即
12
k =
或
1
2
k =-
. ………………………16分
20.解:(1)()e
x
f x c
'=-,
若0c ≤,则()e
x
f x c '=->恒成立,此时函数()f x 的增区间为(
,
)
;
…………………………2分 若0c ,令()0f x '=,得ln x c =,
…………………………3分
()y f x =(,ln )c -∞(ln ,)c +∞.
…………………………5分 (
2
)
①
令
()(ln )(ln )(e e )2x x g x f c x f c x c cx -=+--=--. ………………………6分
则()(e
e )2220x
x g x c c c c ≥-'=+--=,且()0g x '=仅在0x =时成立,所以()g x 在R 上
单调递增.
……………8分
所
以
当
x >时,
()(0)0
g x g >=,即
(ln )(ln )
f c x f c x +>-. …………………9分 ②
因
为
1
c >,所以
(ln )f c =ln 0
c c -<. ………………………………………11分
而1
(1)e
f --=>,所以(ln )(1)0f c f ⋅-<,所以()f x 在(1,ln )c -内存在一个零点,
……………………………
13分
取2
(2ln 1)e 2ln 2(e 2ln 2)f c c
c c c c c c +=--=--(1c >),
设()e 2ln 2c c c ϕ=--(1c >),2()e 0c c
ϕ'=->,
所以()c ϕ在(1,)+∞上单调递增,所以()(1)e 20c ϕϕ>=->. 从而(2ln 1)()0f c c c ϕ+=⋅>,
所以
(ln )(2ln 1)0
f c f c ⋅+<,所以
()
f x 在
(ln ,2ln 1)
c c +内存在一个零
点. ……………16分
(注:也可以取(2)f c 等.)
19题第2问另解: (2)1
11y k
x =
, 222
y k x =,由12
1
4
k k
=-
得12124x x y y =-①, 1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆22
182x y +
=上, 所以有22
11
2(1)8x y =-、22
222(1)8
x y =-,
222222
2
12121212()4(1)(1)4(1)88864
x x x x x x y y +⋅∴=--=-+②,
①代入②得2
21
28x
x +=。
2015~2016学年苏州市高二期末调研测试理科
数学(附加题)参考答案
A组(选修4-1:几何证明选讲)
A1 证明:(1)因为四边形ABCD内接于圆O,
所以∠CDE=∠ABC. (2)
分
由AB=AC得∠ACB=∠ABC.
所以∠CDE=∠ACB.
又∠ACB与∠ADB是同弧所以的圆周角;
所以∠ACB=∠ADB.所以∠CDE=∠ADB.
…………………………4分
又∠ADB=∠FDE,
所以∠CDE=∠FDE,即DE平分CDF.
…………………………5分
(2)由(1)∠ADB=∠ACB=∠ABC,
在△ABD和△AEB中,因为∠ADB=∠ABC,∠BAD=∠EAB,所以△ABD∽△AEB,…………………………8分
所以AB AE
AD AB
,即2AB AD AE.
…………………………10分
A2 证明:(1)连结BE,因为∠E,∠ACB是同弧所对的圆周角,所以∠E=∠ACB, …………………………2分又AE是圆O的直径,所以∠ABE=错误!,
…………………………3分
在Rt△ABE和Rt△ADC中,
∠E=∠ACB,∠ABE=∠ADC=π2,
所以Rt△ABE∽Rt△ADC,
…………………………4分所以AB AE
AD AC
,即AB AC AD AE.
…………………………5分
(2)连结CG,则∠CGD=∠ABC,
…………………………6分在四边形BDHF中,因为∠BDH=∠BFH=错误!,∠AHF是四边形BDHF的一个外角,
所以∠ABC=∠AHF,又∠AHF=∠CHD,
所以∠CHD=∠CGD. (7)
分
所以Rt△CDH ≌Rt△CDG ,
…………………………9分
又CD =CD , 所以DH =DG . (10)
分
B 组(选修4-2:矩阵与变换)
B1解(1)因为|A |=2×3-1×4=2,
…………………………2分
所以A -1
=
31224222⎡⎤
-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣
⎦
=
3
12221⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
.
…………………………5分
(2)由AC =B 得(A -1A )C =A -1B ,
…………………………7分
故C =A -1
B =
312221⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
1101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=
32223⎡⎤
⎢⎥⎢⎥--⎣⎦。
…………………………10分
B2解:(1)由题意得1
11a
-⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
11⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
=03⎡⎤⎢⎥-⎣⎦
, …………………………2分
所以a +1=-3,所以a =-4。
…………………………5分
(2)由(1)知A =1
14
1-⎡⎤
⎢⎥-⎣
⎦
,
令f (λ)=错误!=(λ-1)2-4=0.
…………………………3分
解得A 的特征值为λ=-1或3。
…………………………6分
当λ=-1时,由20,
420x y x y -+=⎧⎨
-=⎩
得矩阵A 的属于特征值-1的一个特征向量为12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
,
…………………………8分
当λ=3时,由20,420x y x y +=⎧⎨
+=⎩
得矩阵A 的属于特征值3的一个特征向量为12⎡⎤⎢⎥-⎣
⎦。
(10)
分
C 组(选修4-4:坐标系与参数方程) C1
解:(1)由
3
82cos(
)4
,得
8cos
8sin
, ………………2分
所以
2
8cos
8sin
,
…………………………3分 故曲线1
C 的直角坐标方程为2
288x
y x y ,即22(4)(4)32
x
y ,
由
8cos ,
3sin
x y
消去参数得
2
C 的普通方程为
221
64
9
x y . …………………………5分
(2)设
(8cos ,3sin )
P ,直线
l
的普通方程为
27
x
y
, ………………………6分
故点P 到直线l 的距离为
5
10cos()7
5
d
(其中
43cos
,sin 55
), …………………………8分
因此
max
1755
d ,故点
P
到直线l 的距离的最大值为.
………………………10分
C2 (1)由1cos ,
sin ,
x y αα=+⎧⎨
=⎩
得2
2(1)1
x y -+=,即2
220
x
y x +-=, …………………
1分
所以1
C 的极坐标方程为
2cos ρθ
=. …………………………3分
由2
cos sin ρθθ=得2
2cos sin ρ
θρθ
=,所以曲线2
C 的直角坐标方程为2
x
y =.
…………………………5分
(2)设射线l :y kx =(0)x ≥的倾斜角为α,则射线的极坐标方程为θα=, 且
tan (1k α=∈,
联立2cos ,
ρθθα
=⎧⎨
=⎩
得1
2cos OA ρα
==, …………………………
7分
联立
2cos sin ,ρθθθα
⎧=⎨
=⎩得2
2sin cos OB αρ
α
==
,
…………………………9分
所以1
2
2
sin 2cos 2tan 2cos OA OB k α
ρρ
ααα
⋅=⋅=⋅
=
=∈, (10)
分
D 组(选修4-5:不等式选讲)
D1 解:(1)当1a =时,原不等式为211x ≥-,
……………………………2分
所以112
x
≥或112
x
≤
,
故不等式解集为13{|}2
2
x x x ≤或≥.
……………………………5分
(2)因为0a >,所以原不等式可转化为111x x a
a
≥-+-,
因为1111
x
x a
a
≥, (8)
分
所以只需111a a
≥,
解得2a ≥. (10)
分
D2
证
明
:(1)因为
11()2
224
b a b a a b a b
a
b a b
≥,………………………3分
所以1
14a
b a b
≥. ……………………………
4分
当且仅当b
a a
b
时,取“=”,即a b 时取“=”.
……………………………5分
(2)由(1)11144a
b a b ≥,11144b
c b c
≥,1
1144c a c a
≥
, (8)
分
三式相加得:
111111
222a b c a b b c c a ≥
,
……………………………9分
当且仅当a
b c 时取“=”
.
……………………………10分。