高等数学一元函数积分学

第五章一元函数积分学5.1 原函数和不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念定义：如果在区间I内，存在可导函数F（x）使都有F＇（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，那么函数F（x）就称为f（x）在区间I内原函数。

例：，sinx是cosx的原函数。

Lnx是在区间（0，+∞）内的原函数。

原函数存在定理：如果函数f（x）在区间I内连续，那么在区间I内存在可导函数F（x），使，都有F＇（x）=f（x）。

简言之：连续函数一定有原函数。

问题：（1）原函数是否唯一？（2）若不唯一它们之间有什么联系？例：（sinx）＇=cosx （sinx+C）＇=cosx（C为任意常数）关于原函数的说明：（1）若F＇（x）=f（x），则对于任意常数C，F（x）+C都是f（x）的原函数。

（2）若F（x）和G（x）都是f（x）的原函数，则F（x）-G（x）=C（C为任意常数）证∵[F（x）-G（x）] ＇=F＇（x）-G＇（x）=f（x）=f（x）=0∴F（x）-G（x）=C（C为任意常数）不定积分的定义：函数f（x）的全体原函数的集合称f（x）的不定积分，记为∫f（x）dx。

,其中∫为“积分号”，f（x）为被积函数，f（x）dx为被积表达式，C为任意常数。

例：求。

【答疑编号11050101】解：例：求。

【答疑编号11050102】解：积分曲线例设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。

【答疑编号11050103】解：设曲线方程为y=f（x）,根据题意知即f（x）是2x的一个原函数。

由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为y =x2+1。

函数f（x）的原函数的图形称为f（x）的积分曲线。

显然，求不定积分得到一积分曲线族。

不定积分的性质结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。

5.2 基本积分公式实例启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式。

高等数学1：一元函数微积分学
一元函数微积分学是一门具有普遍价值的数学课程，它是描述数学中一元函数的变化趋势以及求解相关问题的一种数学方法。

一元函数微积分学的基础是微积分学，它是由法国数学家库仑发明的一种数学方法，主要是研究函数的微小变化。

微积分学的结果就是一元函数微积分学，它是一种研究函数变化趋势的方法，可以描述函数在各个点的变化状态，也可以用来求解函数的极值和极限，从而获得函数的全局特征。

研究一元函数微积分学需要掌握一些基本概念，如函数极限、微分、导数、极值等，这些概念可以帮助我们更好地理解函数的变化趋势，有助于求解函数的极值、极限等问题。

在研究一元函数微积分学时，除了要掌握一些基本概念外，还要掌握一些解决问题的方法，如泰勒公式、换元法和求积分等。

这些方法可以帮助我们研究函数的变化趋势，从而更好地理解函数的特征。

总之，一元函数微积分学是一门十分重要的数学课程，它能够帮助我们更好地理解函数的变化趋势，有助于求解函数的极值和极限，从而获得函数的全局特征。

研究一元函数微积分学时，除了要掌握一些基本概念外，还要掌握一些解决问题的
方法，如泰勒公式、换元法和求积分等。

只有掌握了这些方法，才能更好地理解函数的特征，并能够解决函数相关的问题。

高等数学all教材高等数学 All 教材高等数学是大学教育中的重要学科之一，主要包含微积分、线性代数和概率论等内容。

以下是对高等数学 All 教材的简要介绍和重要章节的概述。

第一章：极限与连续本章主要介绍极限和连续的概念，包含极限的定义、性质以及计算方法。

还探讨了函数的极限、无穷小量和无穷大量的关系。

此外，连续函数的基本性质和中值定理也是重要内容。

第二章：一元函数微分学这一章重点研究函数的导数及其应用。

涉及导数的基本概念、运算规则以及常见函数的导数。

同时探讨了微分中值定理和函数的凸凹性质。

第三章：一元函数积分学本章主要介绍函数的不定积分、定积分和定积分的计算方法。

还包括牛顿-莱布尼茨公式、微积分基本定理和变量替换法等内容。

此外，重要的积分方法如分部积分、换元积分法也是必学内容。

第四章：多元函数微分学这一章研究多元函数的偏导数、全微分和导数的应用。

重点介绍了二元函数的极值与条件极值、函数的隐函数和映射等。

第五章：重积分与曲线曲面积分本章主要涉及二重积分、三重积分以及曲线曲面积分的概念和计算方法。

包括重积分的性质、计算与应用、曲线曲面积分的定义和计算公式等内容。

第六章：常微分方程这一章重点研究常微分方程的基本概念、解的存在唯一性和解的性质。

涉及一阶常微分方程和二阶线性常微分方程的解法以及常系数线性微分方程组的解法。

第七章：无穷级数本章介绍无穷级数的概念、性质和收敛判定方法。

包括常见数项级数的判敛法则、幂级数的性质以及泰勒级数展开与应用等。

以上是对高等数学All 教材的概述。

这本教材内容丰富、重点明确，适合大学本科学习高等数学课程的学生使用。

它将为学生打下坚实的数学基础，为更深入的学习和应用数学奠定基础。

2015届专升本《高等数学》辅导第三章《一元函数积分学》单元测试（测试时间：2015.01.）姓名 班级 快班□ 慢班1□ 慢班2□ 成绩 说明：1-9题每题得分见题首。

10-16题为附加题，每题10分1、（10分）设 ，求()f x 。

（()xf x x e C =++）2、（5分）如果等式11()x x f x e dx e C --=-+⎰成立，则函数()f x =（ D ）221111.;.;.;..A B C D x x x x-- 3、（21分）求下列不定积分1）;(arcsin )x C + )1008)2(2017)2((20162017C x x ++-+3）.(2)x C4、（10分）若 11()21x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，求().f x dx ⎰22112(())112x x C x f x dx x C x ⎧++≤⎪⎪=⎨⎪++>⎪⎩⎰5、（10分）求333412lim .n n n →∞+++130114dx x⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰ 20152)(2)x x dx +⎰(ln )1f x x '=+6、（10分）7、（14分）求下列定积分1）0; 1(arctan )2 2）1sin(ln ).e x dx ⎰1((sin1cos1))22e -+8、（10分）求广义积分2;()2π+∞⎰9、（10分）如图求由曲线1,2,2y x x y x =+==所围图形的面积。

3(l n 2)2+ 22sin 40sin lim .x x x t tdt x →⎰求154（）附加题 10、若()f x 的导函数是sin x ，则()f x 的原函数是 。

()12sin x C x C -++11、已知1(2),(2)02f f '==及20()1f x dx =⎰，求220()x f x dx ''⎰。

（0） 12、求不定积分22arctan 1x xdx x +⎰。

高等数学一元微积分学课后练习题含答案概述高等数学一元微积分是大学数学中的重要课程，掌握好微积分理论和应用，对于理解和学习后续相关数学课程都有非常重要的作用。

在学习一元微积分的过程中，做好练习题也是非常重要的一环。

因此，本文档提供了一些高等数学一元微积分学课后练习题和答案，供大家练习和参考，希望能够帮助大家更好地掌握这门课程。

练习题与答案题目 1已知点A(0,1)和点B(2,5)，则过点 A 且斜率为 3 的直线方程为？答案利用两点式，设所求直线方程为y=kx+1，则有：$$ k = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \\frac{5 - 1}{2 - 0} = 2 $$因为所求直线的斜率为 3，所以有k=3，代入上式得：y=3x+1所以答案为y=3x+1。

题目 2已知函数f(x)=x3−6x2+11x−6，求其零点。

答案为了求出函数f(x)的零点，我们需要通过解方程f(x)=0来得到。

对于一个三次函数，我们可以通过因式分解或利用根的判别式来求解。

首先，我们尝试对f(x)进行因式分解：f(x)=x3−6x2+11x−6=(x−1)(x−2)(x−3)因此，函数f(x)的零点为x=1,2,3。

题目 3求函数f(x)=x3−3x+2在[−1,2]上的最大值和最小值。

答案为了求出函数f(x)在[−1,2]上的最大值和最小值，我们需要使用微积分中的极值定理。

首先，求出函数f(x)的导数：f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)f′(x)在[−1,1]上是负数，在(1,2]上是正数，因此，f(x)在x=1处取得极大值，f(x)在x=−1和x=2处取得极小值。

当x=−1时，有f(−1)=(−1)3−3(−1)+2=6，即最小值为 6。

当x=1时，有f(1)=13−3(1)+2=0，即最大值为 0。

当x=2时，有f(2)=23−3(2)+2=4，即最小值为 4。

因此，函数f(x)在[−1,2]上的最大值为 0，最小值为 4。

第三章一元函数积分学一、常见的考试知识点1．不定积分(1)原函数与不定积分的概念及关系，不定积分的性质．(2)不定积分的基本公式．(3)不定积分的第一换元法，第二换元法(限于三角代换与简单的根式代换)．(4)不定积分的分部积分法．(5)简单有理函数的不定积分．2．定积分(1)定积分的概念及其几何意义，函数可积的充分条件．(2)定积分的基本性质．(3)变上限积分的函数，变上限积分求导数的方法．(4)牛顿一莱布尼茨公式．(5)定积分的换元积分法与分部积分法．(6)无穷区间反常积分的概念及其计算方法．(7)直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积．3．试卷内容比例本章内容约占试卷总分的32％，共计48分左右．二、常用的解题方法与技巧1．不定积分(1)原函数．已知ƒ(x)是定义在某区间上的一个函数，如果存在一个函数F(x)，使得在该区间上的每一点，都有F ˊ(x)=ƒ(x)，或dF(x)=ƒ(x)dx，则称F(x)是ƒ(x)在该区间上的一个原函数．如果ƒ(x)在某区问上连续，则在这个区间上ƒ(x)的原函数F(x)一定存在．(2)不定积分的定义．(3)不定积分的性质．①②③④(4)第一类换元积分法．(5)分部积分法．(6)一些简单有理函数的积分．这里所说的简单有理函数，是指如下的分式有理函数：它可以直接写成两个分式之和，或通过分子加、减一项之后，很容易将其写成一个整式与一个分式之和或两个分式之和，然后再求出其不定积分．2．定积分(1)定积分的性质．①②③④⑤⑥设M和m分别是ƒ(x)在区间[α，b]上的最大值和最小值，则有(2)变上限积分．(3)牛顿一莱布尼茨公式．如果ƒ(x)是连续函数ƒ(x)在区间[a，b]上的任意一个原函数，则有(4)定积分的换元积分法．(5)定积分的分部积分法．(6)反常积分．(7)计算平面图形的面积．如果某平面图形是由两条连续曲线y2=ƒ(x)，y1=g(x)及两条直线x1=a和x2=b所围成的(其中y1是下面的曲线，y2是上面的曲线，即f(x)≥g(x))，则其面积A可由下式求出：(8)计算旋转体的体积．上面(7)中的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为三、常见的考试题型与评析(一)不定积分的概念和性质本部分内容1994--2013年共考了19次，考到的概率为95％,基本为必考题.1．典型试题(1)(0403)A．B．C．D．(2)(0505)A．cos xB．-cosxC．cosx+CD．-cos x+C(3)(0607)A．B．x2C．2xD．2(4)(0706)设ƒ(x)的一个原函数为x3，则ƒˊ(x)=( )．A．3x2B．C．4x4D．6x(5)(0806)A．sin x+x+CB．-sinx+x+CC．cos x+x+CD．-cosx+x+C(6)(0905)A．B．C．D．(7)(0917)(8)(1017)(9)(1116)(10)(1206)A．B．C．x+CD．(11)(1305)A．B．C．D．2．解题方法与评析【解析】不定积分的概念和基本性质是高等数学(二)考试中的一个重要题型，是每年试卷中必考的内容之一，希望考生能认真理解并掌握之．(1)选D．利用不定积分性质．(2)选D．利用不定积分公式．(3)选C．利用原函数的定义ƒ(x)=(x2)ˊ=2x．(4)选D．利用原函数的定义：ƒ(x)=(x3)ˊ，则ƒˊ(x)=(x3)″=6x．(5)选A．利用不定积分的性质和不定积分公式．(6)选A．同题(5)．(7)(8)(9)(10)选D．(11)选C．【评析】不定积分的概念和性质以及基本的积分公式是专升本试卷中每年必考的内容之一，考生一定要牢记!(二)定积分的概念和性质本部分内容1994--2013年共考了19次，考到的概率为95％，基本为必考题．1．典型试题(1)(0618)(2)(0707)A．-2B．0C．2D．4(3)(0717)(4)(0818)(5)(0906)A．B．C．D．0(6)(1118)(7)(1218)(8)(1318)2．解题方法与评析【解析】这些试题主要考查定积分的概念以及奇、偶函数在对称区间上积分的性质：若(1)(2)(3)(4)填2．(5)选D．同题(3)．(6)(7)填sin 1．(8)填0．因为x3+3x是奇函数．【评析】奇、偶函数在对称区间上的定积分是考试重点题型之一，请考生务必熟练掌握．(三)变上限定积分的概念及导数本部分内容1994—2013年共考了9次，考到的概率为45％．1．典型试题(1)A．ƒˊ(x)的一个原函数B．ƒˊ(x)的全体原函数C．ƒ(x)的一个原函数D．ƒ(x)的全体原函数(2)(9509)A．一1B．0C．1D．2(3)(0413)(4)(0507)A．0B．C．D．(5)(0817)(6)(1007)A．B．C．D．(7)(1117)(8)(1306)A．B．0C．D．2(x+1)2．解题方法与评析【解析】利用变上限定积分的定义及求导公式进行计算．(1)选C．根据变上限定积分的定义及原函数存在定理可知选项C正确．(2)选C．利用洛必达法则及变上限定积分的导数，则有本题也可先求出定积分，然后再用洛必达法则求极限，显然不如直接用洛必达法则快捷．(3)填1．(4)选C．(5)(6)选C．(7)填x+arctan x．(8)选A．(四)凑微分后用积分公式本部分内容1994--2013年共考了14次，考到的概率为70％．1．典型试题(1)(0011)(2)(0111)(3)(0213)(4)(0605)A．B．C．D．(5)(0823)(6)(0918)(7)(1017)(8)(1217)(9)(1317)2．解题方法与评析(1)(2)(3)(4)选C．(5)(6)(7)(8)(9)【评析】利用凑微分法化为不定积分公式的试题是每年必考的内容之一，希望考生牢记常用的凑微分法．常用的凑微分公式主要有：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(五)第一换元积分法(凑微分法)本部分内容1994—2013年共考了13次，考到的概率为65％．1．典型试题(1)(0219)(2)(0523)(3)(0623)(4)(0723)(5)(0921)(6)(1023)(7)(1123)(8)(1223)2．解题方法与评析【解析】由于第一类换元积分法实质上是复合函数求导的逆运算，因此，注意到被积表达式的ƒ(x)dx中除了复合函数外的哪些函数与dx的乘积可写成某一函数的微分的事实，就得到了凑微分的过程．利用所给的凑微分公式就可以得到所给的结果．换元的一个基本原则是：将被积函数中的复合函数部分用变量代换的方法换成简单函数再(1) 或(2) 或(3) 或(4) 或(5) 或或(6) 或(7)或(8)【评析】第一换元积分法(凑微分法)是高等数学(二)必考的内容之一,由于凑微分法省略了变量代换的过程，所以更为简捷．如果对被积函数中复合函数部分的中间变量(如题(2)的(六)第二换元积分法由于2000--2013年的专升本高等数学(二)试卷中没有出现过第二换元积分法的试题，所以建议考生知道有此解题方法即可．(七)分部积分法本部分内容1994--2013年共考了7次，考到的概率为35％．1．典型试题(1)(0021)(2)(0224)(3)(0728)(4)(0924)(5)(1224)2．解题方法与评析【解析】分部积分的关键是如何将被积表达式写成udυ或vdu的形式，因此正确地选取u 和υ是难点．如果选取不当，分部积分后的积分会比原积分更不容易求解．专升本试卷中常见的分部积分试题的类型主要有：①②③上述三类积分中，u和υ的选法如下：(1)(2)(3)(4)(5)(八)定积分的计算本部分内容1994—2013年共考了17次，考到的概率为85％．1．典型试题(1)(0124)(2)(0220)(3)(0324)(4)(0423)(5)(0518)(6)(0524)(7)(0624)(8)(0718)(9)(0919)(10)(1024)(11)(1218)(12)(1324)2．解题方法与评析【解析】不定积分的第一换元积分法(凑微分法)和分部积分法都适用于定积分，只需在所求的积分中加上积分的上、下限即可．在定积分计算中一定要注意：用换元积分法时，积分的上、下限一定要一起换；用凑微分法计算时，积分的上、下限不用换．(1)(2)分段函数需分段积分：(3)(4)(5)填1/2．(6)(7)(8)(9)填1/2．(10)(11)(12)【评析】分部积分的题目在专升本高等数学(二)试卷中属于较难的试题，考生可根据自己对知识的掌握程度作出安排．如果被积函数中含有根式，一般情况下应考虑用换元法去根号，再进行积分，如题(1)与题(10)．(九)反常积分本部分内容1994--2013年共考了10次，考到的概率为50％．1．典型试题(1)(0013)(2)(0112)(3)(0424)(4)(1019)(5)(1219)(6)(1319)2．解题方法与评析【解析】反常积分实质上是先计算定积分再取极限，即(1)填π/2．(2)填1/2．(3)(4)填π/2．(5)填1．(6)填1．(十)平面图形的面积与旋转体的体积本部分内容1994——2013年共考了14次，考到的概率70％. 1．典型试题(1)(0326)已知曲线C为y=2x2及直线L为y=4x．①求由曲线C与直线L所围成的平面图形的面积S；②求曲线C的平行于直线L的切线方程．(2)(0527)①求曲线y=x2(x≥0)，y=1与x=0所围成的平面图形的面积S；②求①中的平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V y．(3)(0627)①求由曲线y=x，y=1/x，x=2与y=0所围成的平面图形的面积S；②求①中的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V x．(4)(0827)①求曲线y=e x及直线x=1，x=0，y=0所围成的图形D的面积S；②求平面图形D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V x．(5)(0927)①求在区间(0，π)上的曲线)，=sinx与x轴所围成图形的面积S；②求①中的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V x．(6)(1006)曲线y=1-x2与x轴所围成的平面图形的面积S=()．A．2B．4/3C．1D．2/3(7)(1128)设D为曲线y=1-x2，直线y=x+1及x轴所围成的平面区域(如图1—3—1所示)．①求平面图形的面积；②求平面图形D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积Vx．(8)(1227)已知函数ƒ(x)=-x2+2x．①求曲线y=ƒ(x)与x轴所围成的平面图形面积S；②求①的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积K．(9)(1326)求曲线y=x2与直线y=0，x=1所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．2．解题方法与评析【解析】求平面图形面积的关键是根据已知条件中的曲线方程画出封闭的平面区域，根据积分的难易程度选择积分变量和确定积分的上、下限．平面区域的确定原则是：已知条件中给出的曲线方程有几个，则该区域的边界曲线就是所给的几条曲线．否则所得的平面区域一定不合题意．专升本试卷中围成平面区域的常用曲线是：y=kx+b，Y=αx2+6，y=ex，y=e-x，y=Inx，y=sinx 或y=cosx，考生一定要能熟练地画出它们的图像．求旋转体的体积时一定要注意是绕x轴还是绕y轴旋转．而且要注意的是，旋转体的体积往往是两个旋转体的体积之差．如图1—3—2所示的平面图形绕x轴旋转所成旋转体的体积为(1)画出平面图形如图1—3—3阴影所示．①②方程为y-2=4(x-1)，即4x-y-2=0．(2)①由已知条件画出平面图形如图1-3-4阴影所示．②旋转体的体积(3)①如图1一3-5所示，由已知条件可得②旋转体体积(4)画出平面图形如图1-3-6阴影所示．①②(5)①②(6)选B．(7)①②(8)①②(9)(十一)证明题本部分内容1994—2013年共考了7次，考到的概率为35％．1．典型试题(1)(0127)(2)(0428)设函数ƒ(x)在区间[0，1]上连续，证明(3)(0727)设ƒ(x)为连续函数，证明2．解题方法与评析【解析】证明题的关键是要充分利用已知条件写出需要证明的内容．题(1)的关键是要正确写出ƒ(3)+ƒ(5)，再进行计算．题(2)与题(3)的关键是要注意到等式两边的差异，这里的核心差异是被积函数的不同，因此需用变量代换进行换元，由此可得到证明．(1)(2)(3)设3-x=t，则dx=一dt．【评析】定积分的证明题与平面图形的面积及旋转体的体积均属于试卷中的较难题．文章来源：/p/ck.html 更多成考资源资料下载完全免费。

大三高数知识点高等数学是一门具有重要理论和应用价值的学科，对于大学理工类专业的学生来说，尤为重要。

在大三学年，高等数学进入到了一个更深入和复杂的阶段，涉及到了更多的知识点和概念。

本文将为你详细介绍大三高数的几个重要知识点。

1. 极限与连续极限与连续是高等数学的基础概念，也是大三高数课程的重点内容。

在极限的学习中，我们主要学习了函数极限、数列极限以及无穷小和无穷大的概念。

在连续的学习中，我们需要了解函数的连续性、间断点以及导数的连续性等重要内容。

2. 一元函数微分学一元函数微分学是大三高数中的一个重要分支，主要涉及到函数的导数和微分问题。

在这一部分的学习中，我们需要深入了解导数的定义、求导法则和高阶导数等内容，还需要学习一元函数的凹凸性、最大最小值以及函数的导数在图像上的应用。

3. 一元函数积分学一元函数积分学是高等数学中的另一个重要分支，与微分学相对应。

在这一部分的学习中，我们主要学习了不定积分和定积分的概念与性质，以及积分的基本公式和求法等内容。

同时，我们还需要了解定积分的几何意义和一元函数的平均值定理等重要知识点。

4. 二元函数微分学二元函数微分学是大三高数中的一个扩展部分，该部分主要学习了二元函数的偏导数和全微分，以及二元函数的极值和条件极值等内容。

在这一部分的学习中，我们需要掌握偏导数的定义和求导法则，还需要学习二元函数的一阶和二阶偏导数以及函数的最大最小值判定方法等重要知识。

5. 二重积分与曲线积分二重积分与曲线积分是高等数学中的另外两个重要内容，与一元函数积分学相对应。

在二重积分的学习中，我们需要掌握二重积分的概念与性质，以及直角坐标系和极坐标系下的二重积分计算方法。

在曲线积分的学习中，我们需要学习曲线积分的定义与性质，以及曲线积分的计算方法和应用等内容。

以上所述只是大三高数课程中的一部分重要知识点，希望能对你的学习有所帮助。

在学习中，我们应该注重理论与实践相结合，加强练习与应用能力的培养，从而更好地掌握和应用这些高数知识点。

三、一元函数积分学练习题（A）一．选择题1. =+òdx x )1(cos （）Cx x A ++sin .Cx x B ++-s i n .Cx x C ++c o s .Cx xx D ++-cos .2. =òdx x 41（）CxA +-331.CxB +331.CxC +31.CxD +-31.3. 已知函数2(1)x +为()f x 的一个原函数，则下列函数中()f x 的原函数是（）A 21x -B 21x +C 22x x -D 22x x+4. 已知函数()f x 在(,)-¥+¥内可导，且恒有()f x ¢=0，又有(1)1f -=，则函数()f x = （）A 1 B -1 C 0 D x5. 若函数()f x 的一个原函数为ln x ，则一阶导数()f x ¢=（）A 1xB 21x-C ln xD ln x x6.定积分ò1221ln xdx x 值的符号为（）.A 大于零.B 小于零.C 等于零.D 不能确定7.曲线)2)(1(--=x x x y ,x 轴所围成的图形的面积可表示为（）.A ò--10)2)(1(dx x x x ；.B ò--20)2)(1(dx x x x ；.C òò-----2110)2)(1()2)(1(dx x x x dx x x x ；.D òò--+--2110)2)(1()2)(1(dxx x x dx x x x 8. 已知dt t x F xò+=21)(，则=)('x F （）212.x x A + 11.2++x B 21.x C + 11.2-+x D 9. =ò-dx x 115（ ） 2.-A 1.-B 0.C D .1 10.若()211xx F -=¢，()231p=F ，则()=x F （ ） A.x arcsin B. c x +arcsin C.p +x arccos D. p +x arcsin二．填空题二．填空题1. 1. 写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数 (1) 52x 的原函数为的原函数为 (2) cos x -的原函数为的原函数为(3) 12t 的原函数为的原函数为 (4) 221x--的原函数为的原函数为2. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立 （1）dx = (51)d x -；（2）xdx = 2(2)d x -；（3）3x dx = 4(32)d x +； （4）2xe dx -= 2()xd e-；（5）219dx x=+ (a r c t a n 3d x ；（6）212dx x=+ (a r c t a n 2)d x ； （7）2(32)x dx -= 3(2)d x x -； （8）dx x= (3l n )d x ；（9）21dx x=- (2a r c si n d x -； （10）21xdx x=- 21d x -. 3. 若()1xf e x ¢=+,则()f x = 4. 根据定积分的性质，比较积分值的大小根据定积分的性质，比较积分值的大小（1）120x dx ò13x d x ò（2）10xe dx ò1(1)x dx +ò5. _________3=òdx e x 6. __________1=òdx ex 7. ò+dx x xln 1=_____________ 8. 已知一阶导数已知一阶导数2(())1f x dx x ¢=+ò，则(1)f ¢= 9. 当x = 时，函数()ò-=xt dt te xI 02有极值. 10. 设()ïîïíì>£+=1,211,12x x x x xf ，()ò20dx x f = 11. 已知ò=xdt t xf y0)(，则=dx dy 12. dt t t x x x )1sin (1lim 030-ò®=三．计算题三．计算题 1.不定积分的计算不定积分的计算（1）1x x e dx e +ò （2）12x e dx x ò（3）ln dx x x ò（4）211x dx x --ò （5）3431xdx x -ò（6）12dx x -ò（7）223xdx x-ò（8）3xa dx ò（9）sin tdt tò （10）2cos ()x dx w j +ò（11）2cos ()sin()x x dx w j w j ++ò（12）22(arcsin )1dx x x-ò（13）3tan secx xdxò（14）sec(sec tan)x x x dx-ò（15）11cos2dxx+ò（16）2(4)x x dx-ò（17）32(32)x dx-ò（18）221dxx x-ò（19）1231dxx-+ò（20）sinx xdxò（21）xxe dx-ò（22）arcsin xdxò（23）2tte dt -ò（24）2arcsin 1xdx x-ò（25）sin cos xxe dx ò（26）1cos sin x dx x x++ò（27）dxx 43-ò （28）dx x 122-ò（29）dx xxe e --ò （30）e32x dx +ò（31）()232xx dx+ò （32）1252+òx dx（33）sin5xdxò（34）cos25xdxò（35）()()244522x dxx x+++ò（36）x dxx23412-ò（37）sin cossin cosx xx xdx+-ò3（38）dxx x(arcsin)221-ò（39）dxx x222-+ò（40）sin cossinx xxdx14+ò（41）2x xe dxò（42）23523x xx dx ×-×ò2.定积分的计算定积分的计算（1）1e xx dx-ò（2）e1lnx xdxò（3）41ln xdxxò（4）324sinxdxxppò（5）220e cosxxdxpò（6）221logx xdxò（7）π2(sin)x x dxò（8）e1sin(ln)x dxò（9）121ln(1)x x dx-++ò（10）41xdxò（11）dx xx x )1(241+ò（12）dx xxò+1241 （13）dx x ò+2241 （14）dx x x ò40tansec p（15）xdxò242cotpp（16）ò--112d x x x（17）dx ò2121)-(3x 1 （18）dx ò+3ln 0x xe 1 e（19）dxx xò-123 （20）ò1arctan xdx x3.反常积分的计算反常积分的计算（1）2048dx x x +¥++ò（2）21arctan xdx x +¥ò（3）101(1)dx x x -ò（4）1ln edx x x ò4. 4. 比较下列各对积分的大小：比较下列各对积分的大小：比较下列各对积分的大小：（1）ò4arctan pxdx 与ò402)(arctan pdx x（2）ò43ln xdx 与ò432)(ln dx x（3）dx x ò-+1141与dxx ò-+112)1(（4）ò-2)cos 1(pdx x 与ò2221pdx x四．综合题四．综合题 1.求导数求导数（1）201xdt dt dx +ò （2）5ln 2xtdt e dt dx -ò（3）cos 2cos()xd t dt dx p ò （4）sin xd tdt dx tpò (0x >). 2. 验证下列等式验证下列等式(1)2311d 2-=-+òx x C x ； (2)(sin cos )cos sin x x dx x x C+=-++ò. 3. 求被积函数()f x . (1) 2()ln(1)f x dx x x C =+++ò；(2)21()1f x dx C x=++ò. 4 求由下列曲线所围成的平面图形的面积：求由下列曲线所围成的平面图形的面积：(1) 2y x =与22y x =- (2) xy e =与0x =及y e =(3) 24y x =-与0y =(4) 2y x =与y x =及2y x =5.5. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定坐标轴旋转而成的旋转体的体积：求由下列曲线围成的平面图形绕指定坐标轴旋转而成的旋转体的体积： (1) ,1,4,0y x x x y ====，绕x 轴；轴；(2) 3,2,y x x x ==轴，分别绕x 轴与y 轴；轴； (3) 22,y x x y ==，绕y 轴；轴；(4) 22(5)1x y -+=，绕y 轴．轴．(5). 32y x =，x=4 ,绕y 轴．轴．6. 当k 为何值时，反常积分+2(ln )k dxx x ¥ò收敛?当k 为何值时，这反常积分发散? 7. 设1321()()1f x x f x dx x=++ò，求1()f x dx ò．8. 求函数2()(1)xtf x t e dt -=-ò的极值．的极值．9. 设()f x 在[],a b 上连续，且()1b af x dx =ò，求()baf a b x dx +-ò．10. 设曲线通过点(0,1)，且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为xe -，求此曲线方程．11. 设3()1xxf e e ¢=+,且(0)1f =,求()f x . 12. 设()ïîïí죣=其它,00,sin 21p x x xf ，求()()ò=x dt t f x 0j . 13. 设()ïïîïïíì<+³+=时当时当0,110,11x ex x x f x ，求()ò-21dxx f . 14. 已知222(sin )cos tan 01f x x x x ¢=+<< ，求()f x . 三、一元函数积分学 练习题（ A ） 参考答案 一．选择题一．选择题1. A2. A3. D4. A5. B6. B7. C8. C9. C 9. C 因为因为5x 为奇函数为奇函数 10. D 10. D二．填空题二．填空题1. 1. 写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数(1) 613x (2) sin x - (3) t (4) 2arcsin x -2. 2. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立 （1）51；（2）21-；（3）121；（4）21-；（5）31；（6）21；（7）1- （8）31；（9）1-；（1010））1- 3. ()(1ln )ln f x x dx x x C=+=+ò4. 4. 根据定积分的性质，比较积分值的大小根据定积分的性质，比较积分值的大小根据定积分的性质，比较积分值的大小 （1）112300x dx x dx>òò；∵ 当[0,1]x Î时,232(1)0x x x x -=-³,即23x x ³,又2x3x ,所以112300x dx x dx >òò（2）110(1)xe dx x dx >+òò；令()1,()1xxf x e x f x e ¢=--=-,因01x ££,所以()0f x ¢>,从而()(0)0f x f ³=,说明1xe x ³+，所以1100(1)xe dx x dx >+òò5. C e x+33 6. C ex+-- 7. c x x ++2ln 21ln 8.229. 0. 10.38 11. )()(0x xf dt t f x +ò 12. 181- 三．计算题三．计算题1.1.不定积分的计算不定积分的计算不定积分的计算（1）1(1)ln(1)11xx xx x e dx d e e C e e =+=++++òò （2）11121xx xedx e d e C x x=-=-+òò （3）ln ln ln ln ln dx d x x C x x x ==+òò （4）211(1)ln 11(1)(1)1x x d x dx dx x C x x x x --+===++-+-+òòò（5）3444444333(1)3ln 1141414x dx d x dx x C x x x -==-=--+---òòò（6）1(12)1ln 12122122dx d x x C x x -=-=--+--òò （7）22222211(23)123263232323x dx d x dx x C xx x -==-=--+---òòò （8）33311(3)33ln x x xa dx a d x a C a ==+òò（9）sin 2sin 2cos t dt td t t C t ==-+òò（1010））21cos(22)cos ()2x x dxdx w j w j +++=òò 11 cos(22)(22)24x x d x w j w j w =+++ò11sin(22)24x x C w j w=+++ （1111））221cos ()sin()cos ()cos()x x dx x d x w j w j w j w j w ++=-++òò 31cos ()3x C w j w=-++（1212））222arcsin 1(arcsin )arcsin (arcsin )1dxd xC x xx x==-+-òò（1313））32231tan sectan sec (sec 1)sec sec sec 3x xdx xd x x d x x x C ==-=-+òòò （1414））2sec (sec tan )(sec sec tan )tan sec x x x dx x x x dx x x C-=-=-+òò（1515））221111sec tan 1cos 22cos 22dx dx xdx x C x x ===++òòò （1616））515173222222228(4)(4)473x x dx x x dx x dx x dx x x C -=-=-=-+òòòò（1717））33522211(32)(32)(32)(32)25x dx x d x x C -=---=--+òò （1818）令）令sin ()22x t t p p=-<<，则cos dx tdt =，所以，所以22222cos 1csc cot sincos 1dxtdtx tdt t C C t txxx-===-+=-+×-òòò（1919）令）令23x t -=,则23,2t x dx tdt +==,所以所以11(1)ln(1)11231tdt dxdt t t C t t x ==-=-++++-+òòò23ln(231)x x C =---++（2020））sin cos cos cos cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C=-=-+=-++òòò（2121））xxxxxxxe dxxdexee dxxeeC ------=-=-+=--+òòò（2222））222111arcsin arcsin arcsin (1)211xdx x x x dx x x d x xx=-×=+---òòò2arcsin 1x x x C =+-+ （2323））2222221111122224ttttttte dt tdetee dt tee C ------=-=-+=--+òòò（2424））22arcsin 1arcsin arcsin arcsin21x dx xd x x C x ==+-òò（2525））sin sin sin cossinx x x xe dx e dx e C==+òò（2626））1cos (sin )ln sin sin sin x d x x dx x x C x x x x++==++++òò（2727））dx x 43-ò=1(43)1ln 434434d x x C x -=-+-ò。

第三章 一元函数积分学第一节 不定积分1．两个概念: 1）原函数： )()(x f x F =' 2）不定积分：⎰+=C x F x x f )(d )( 2．基本积分公式： 1) .arcsin d 22C a x x a x +=-⎰2)⎰+±+=±C a x x ax x ||ln d 22223).arctan 1d 22C ax a x a x +=+⎰ 4) ⎰+-+=-.||ln 21d 22C x a xa a x a x 5) .|tan sec |ln d sec ⎰++=C x x x x 6) ⎰++-=.|cot csc |ln d csc C x x x x 3．三种主要积分法1）第一类换元法（凑微分法）若C x F x x x f C u F u u f +='+=⎰⎰))((d )())((则,)(d )(ϕϕϕ 2）第二类换元法：C x F C t F dt t t f t x x x f +=+='=-⎰⎰))(()()())(()(d )(1ϕϕϕϕt a x a x t a x x a t a t a x x a sec ,iii)tan ,ii))cos (sin ,i)222222=-=+=-3）分部积分法 ⎰⎰-=vdu uv udv “适用两类不同函数相乘”⎰⎰⎰⎰x x e x x x x x x e x xn n xn d sin ,cos )(p ,d sin )(p ,d )(p βαααα， ⎰⎰⎰⎰x x x x x x x x x x xe nnnxd arcsin )(p ,d tan arc )(p ,d ln )(p ,d cos βα4．三类常见可积函数积分 1）有理函数积分 ⎰x x R d )(（1）部分分式法（一般方法）； （2）简单方法（凑微分绛幂）； 2) 三角有理式积分 ⎰x x x R d )cos ,(sin （1）万能代换（一般方法） 令t x =2tan（2）简单方法 （三角变形，换元，分部） 3) 简单无理函数积分 x dcx bax x R nd ),(⎰++令 t dcx bax n=++ 例一 基本题 例3.1 ⎰-=)4(x x dxI解法1 ⎰⎰+-=--=-=c x x dx x x dx I 22arcsin)2(4422解法2 ⎰+=-=c xx x d I 2arcsin 24)(2 例3.2 .sin cos ⎰=x x dxI解 ⎰⎰⎰⎰-=-===x xd x x x d x x xdx x x dx I 222sin 1sin 2sin )sin 1(sin sin cos cos sin cosdt t t t t dt t dt t x )1111()1)(1(212 sin 22224++-=+-=-=⎰⎰⎰令 例3.3 ⎰+=dx xx I 251解法1 令 tan t x =，则tdt dx 2sec =⎰⎰⎰=⋅⋅=⋅=)(sec tan )sec (tan tan sec sec tan 4425t td dt t t t ttdtt I)sec ( )1()(sec )1(sec 2222t u du u t d t =-=-=⎰⎰=c u u u ++-253251=c x x x +++-2421)348(151解法2 ⎰⎰+=+=)1(12124224x d x x dx x I=dx x x x x ⎰+-+2324141=)1(1]1)1[(2122224x d x x x x ++-+-+⎰=c x x x x ++++-+23225224)1(34)1(541 例3.4 dx e xe I xx⎰-=1解 I 121212⎰⎰---=-=dx e e x e xd x x xdt tt dx e x⎰⎰+=-22121 （令t e x=-1） =C t t +-arctan 22则 I c e e e x x x x +-+---=1arctan 41412 例3.5⎰+x xxd 1ln 解法1 原式=⎰+x xd 1ln 2 =dx xxx x ⎰+-+12ln 12dt t t t x dx x x ⎰⎰-=++121122=⎰⎰-+1222t dtdt=C t t t ++-+11ln2 原式=C x x x x x +++-+-+-+1111ln 214ln 12解法2 令t x =+1，则原式=dt t tdt t t ⎰⎰-=-)1ln(22)1ln(22 =dt t t t t ⎰---122)1ln(2222=C x x x x x +++-+-+-+1111ln214ln 12例3.6 ⎰x ee xxd arctan 2 解法1 原式=⎰--x x de e 2arctan 21=dx e e e e xx xx ⎰++---22121arctan 21 =⎰++--)1(21arctan 21222x x x xx e e de e e=C e e e e x x x x +++---]arctan arctan [212 解法2 令t e x =，则 原式=⎰⎰-=231arctan 21arctan t td dt t t =⎰++-dt t t tt )1(1212arctan 222 =c t t tt +---arctan 21212arctan 2=C e e e e x x x x +++---]arctan arctan [212例3.7 ⎰+=dx x x I 91解法1 ⎰⎰⎰+=+=+= )1(81)1()1(8878u u du x x dx x x x dx I （令u x =8） 解法2 ⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=++=dx x x x x x dx x x I 8788811)1()1( 解法3 c x x dx xx dxI ++-=+-=+=⎰⎰---|1|ln 81181)11(88889 例3.8 ⎰⎰⎰⎰+++=++-+=++=63262246413111111xdx x dx dx x x x x dx x x I 例3.9 ⎰+=xdxI sin 1解法1⎰⎰⎰+=-=x xd dx x dx xx I 222cos cos cos 1cos sin 1 解法2C x x dx x dx I +⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰⎰42tan 24cos 22cos 12πππ 解法3令2212sin 12 2tant t x t dt dx t x +=+== C x C t t dt t t t dt I ++-=++-=+=++⋅+=⎰⎰2tan 1212)1(2121112222 例3.10 ⎰++x x xcos sin 1d解 令t x=2t a n ，则原式=⎰+-++++2222112112t t t t dt t =⎰++=+C t t dt)1ln(1=C x++)2tan 1ln(例3.11 ⎰⋅=xx dxI 4cos sin 解法1I ⎰⎰⎰--=-=⋅=)1(cos )cos 1(cos cos sin sin 424242u u dux x x d x x xdx （令u x =cos ）⎰-+--=4244)1()1(uu u u 解法2⎰⎰⎰⎰⋅++=+=⋅+= cos sin cos sin 3cos 1 cos sin cos sin cos sin cos sin 222324422dx x x x x x x x dx dx x x x x x x I⎰⎰++=xdxx xdx x sin cos sin cos 3123 例3.12 ⎰+=dx xb x a I cos sin 1解 1）若⎰+-===≠c x a x a dx I b a ctg 1sin 0 ,02222) 若⎰+==≠=c x bdx x b I b a tg 1cos 1 0 ,02223）若 )tg (cos 0 ,02222222⎰⎰+=+=≠≠u a b dux a b x dx I b a （令u x =tan ）例3.13⎰-+x x x x d 111。

专升本高等数学(二)-一元函数积分学(一)(总分：99.92，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：10，分数：10.00)1.在区间(a，b)内，如果f'(x)=g'(x)，则下列各式中一定成立的是______∙ A.f(x)-g(x)∙ B.f(x)=g(x)+1∙ C.(∫f(x)dx)'=(∫g(x)dx)'∙ D.∫f'(x)dx=∫g'(x)dx（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由于f'(x)=g'(x)，则f(x)与g(x)之间相差任意常数．2.如果等式成立，则f(x)等于______ A． B． C． D（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由不定积分的定义，有[*]，即 [*]，则[*]．3.设cotx是f(x)的一个原函数，则f(x)等于______∙ A.csc2x∙ B.-csc2x∙ C.sec2x∙ D.-sec2x（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由原函数的定义，有f(x)=(cotx)'=-csc2x．4.下列等式中，成立的是______ A．d∫f(x)dx=f(x) B．∫f(x)dx=f(x)dxD．d∫f(x)dx=f(x)dx（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由不定积分的基本性质可知，d∫f(x)dx=f(x)dx成立．5.设f'(cos2x)=sin2x，且f(0)=0，则f(x)=______A．cosx+cos2x B．cos2x-cos4xC．x+x2 D．x2（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] f'(cos2x)-sin2x=1-cos2x，f'(x)=1-x，f(x)=∫f'(x)dx=∫(1-x)dx=x-[*]+C由f(0)=0，得C=0，则f(x)=x-[*]．6.设F(x)是f(x)的一个原函数，则∫e-x f(e-x)dx等于______∙ A.F(e-x)+C∙ B.-F(e-x)+C∙ C.F(e x)+C∙ D.-F(e x)+C（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 凑微分法，使用凑微分公式e-x dx=d(e-x)，∫e-x f(e-x)dx=-∫f(e-x)de-x=-F(e-x)+C．7.等于______ A．+sinx+C B．-cotx+sinx+C D．cotx+sinx+C （分数：1.00）A. √B.C.D.解析：[解析] [*]．8.设函数f(x)=2x，则不定积分∫f'(x)dx等于______A．2x In2+C B．2x+C C+C D．2x（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由不定积分的基本性质，∫f'(x)dx=∫(2x)'dx=2x+C．9.若f(x)的一个原函数是e-x，则不定积分∫xf(x)dx等于______∙ A.e-x(x+1)+C∙ B.e-x(1-x)+C∙ C.e-x(x-1)+C∙ D.-e-x(x+1)+C（分数：1.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 因为e-x是f(x)的一个原函数，则有f(x)=(e-x)'=-e-x,由分部积分公式，∫xf(x)dx=-∫xe-x dx=∫xd(e-x)=xe-x-∫e-x dx=xe-x+e-x+C.10.若cosx是f(x)的一个原函数，则∫xf'(x)dx等于______∙ A.xsinzc+cosx+C∙ B.-xsinx+cxosx+C∙ C.xsinx-cosx+C∙ D.-xsinx-cosx+C（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 因为cosx是f(x)的一个原函数，则有f(x)=(cosx)'=-sinx，由分部积分公式，∫xf'(x)dx=∫xdf(x)=xf(x)-∫f(x)dx=-xsinx-cosx+C．二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：10，分数：10.00)11.若∫f(x)dx=arcsin2x+C，则f(x)= 1．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[*]．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：凑微分法，使用凑微分公式dx=[*](1-3x)， [*]．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：凑微分法，使用凑微分公式xdx=[*](x2)，[*]14.∫x2e2x3=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：凑微分法，使用凑微分公式x2dx=[*](2x3)[*]．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：凑微分法，使用凑微分公式[*]， [*]．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：arcsinlnx+C）解析：凑微分法，使用凑微分公式[*]=dlnx， [*]17.设∫f(x)dx-F(x)+C，则∫sinxf(cosx)dx=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：-F(cosx)+C）解析：凑微分法，使用凑微分公式sinxdx=-dcosx ∫sinxf(cosx)dx=-∫f(cosx)dcosx=-F(cosx)+C．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：ln|x+cosx|+C）解析：凑微分法，使用凑微分公式(1-sinx)dx=d(x+cosx)， [*]19.f(x)=e-x．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：凑微分法，使用凑微分公式[*]=dlnx， [*]20.∫xf(x2)f'(x2)dx=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：使用凑微分公式xdx=[*]，f(x2)dx=df(x2)，连续两次凑微分[*]三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：1，分数：80.00)求下列不定积分．（分数：79.92）2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(本题应先对被积函数进行代数式的恒等变形，化为幂函数的代数和，然后用幂函数的积分公式，逐项积分． [*])解析：(2).∫3x e x dx.（分数：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(本题应先用指数的运算法则将被积函数转化为指数函数的形式，然后用指数函数的积分公式，求不定积分． [*])解析：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(本题应先用二倍角的余弦公式，将被积函数进行三角函数式的恒等变形，然后再逐项积分．[*])解析：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(5).∫cos(2x-1)dx.（分数：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(凑微分法，使用凑微分公式dx=[*](2x-1)， [*])解析：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(凑微分法，使用凑微分公式dx=-2d[*]， [*])解析：(7).计算∫xcosx2dx.（分数：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(凑微分法，使用凑微分公式xdx=[*]， [*])解析：(8). 2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(用凑微分法，使用凑微分公式xdx=[*](x2-3)，[*])解析：(9). 2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(凑微分法，使用凑微分公式[*]， [*])解析：(10). 2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(凑微分法，使用凑微分公式[*]， [*])解析：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(12). 2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(凑微分法，使用凑微分公式[*] [*])解析：(13).计算∫tanx(tanx+1)dx.（分数：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(使用积分公式∫tanxdx=-ln｜cosx｜+C,∫tanx(tanx+1)dx=∫(tan2x+tanx)dx=∫(sec2x-1+tanx)dx=tanx-x-ln｜cosx｜+C.)解析：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(作根式代换，令[*]，则x=1-t2，dx=-2tdt，[*])解析：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(作根式代换，令[*]，则[*]，dx=tdt， [*])解析：（分数：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(作正弦代换，令x=2sint，则dx=2costdt， [*])解析：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(作正切代换，令x=tant，则dx=sec2tdt，[*])解析：(18).计算∫xtan2dx．（分数：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(∫xtan2xdx=∫x(sec2x-1)dx=∫xdtanx-∫xdx=xtanx-∫tanxdx-∫xdx=xtanx+ln｜cosx｜-[*]+C.)解析：(19).计算∫x3lnxdx．（分数：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(20). 2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(用凑微分法与分部积分法求不定积分． [*])解析：(21).计算∫e2x cose x dx.（分数：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(∫e2x cose x dx=∫e x cose x de x=∫e x dxine x=e x sine x-∫sine x de x=e x sine x+cose x+C.)解析：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(先进行根式代换，再用分部积分法求不定积分．令[*]，得x=t2=1，dx=2tdt，则有[*])解析：(23).∫e2x sin x xdx.（分数：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]其中[*]经整理得∫e2x cos2xdx=[*](sin2x+cos2x)+C1所以[*])解析：(24). 2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(25). 2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(26). 2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(27).设f(x)的一个原函数是xlnx，求∫xf(x)dx.（分数：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(f(x)=(xlnx)'=lnx+1. [*])解析：。