常微分方程-定性理论分析
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由于常微分方程定性与稳定性方法是一个比较大的领域,这里只能提供一些基本的概念和答案,供参考:
什么是常微分方程?
常微分方程是描述物理、化学、生物等自然现象中的变化的方程。
常微分方程一般由一个或多个未知函数及其导数组成,通常用数学公式表示。
什么是定性分析?
定性分析是研究常微分方程解的行为特征而非求解具体解的方法。
它通常包括研究解的图像、相图、相平面等几何图形。
什么是稳定性?
稳定性是指一个系统在受到微小扰动后,是否能够回到原来的稳定状态的特性。
在常微分方程中,稳定性通常与平衡点相关。
什么是平衡点?
平衡点是指一个微分方程解中,导数为零的点。
在平衡点附近的解通常表现为一些稳定性特征,如稳定、不稳定、半稳定等。
什么是极限环?
极限环是指在相平面上,解沿着一个封闭轨迹无限接近平衡点的情况。
极限环通常是非线性微分方程中出现的现象,其表现形式与解在相平面上的轨迹有关。
以上是常微分方程定性与稳定性方法的一些基本概念和答案,仅供参考。
实际上,这个领域非常广阔,需要深入研究和掌握相关的理论和方法才能应用到实际问题中。
第二讲 常微分方程发展简史——适定性理论阶段高阶方程● 1734年12月, Bernoulli Daniel 在给当时在圣彼得堡的Euler 的信中说, 他已经解决了一端固定在墙上而另一端自由的弹性横梁的横向位移问题, 他得到了一个四阶线性常微分方程444,d y k y dx = 其中k 是常数, x 是横梁上距自由端的距离, y 是在x 点的相对于横梁为弯曲位置的垂直位移. Euler 在1735年6月前的回信中说道, 他也已经发现了这个方程, 对这个方程, 除了用级数外无法积分. 他确实得到了四个级数解, 这些级数代表圆函数和指数函数, 但在当时Euler 没有了解到这一点.1739年9月, Euler 在给Bernoulli John 的信中指出, 上述方程的解可以表示成1[(cos cosh )(sin sinh )],x x x x y a k k b k k=+-- 其中b 可由条件()0y l =来确定.● 弹性问题促使Euler 考虑求解常系数一般线性方程的数学问题. 1739年9月, Euler 在给Bernoulli John 的信中首次提到了常系数齐次常微分方程, 并说他已取得了成功. ● 在1743年至1750年间, Euler 考虑了$n$阶常系数齐次线性方程()(1)11(),n n n n y a y a y a y f x --'++⋅⋅⋅++=第一次引入了特解、通解的概念, 指出通解必包含n 个任意常数, 而且是由n 个特解分别乘以任意常数后相加而成的, 创立了求解$n$阶常系数线性齐次微分方程的完整解法--特征方程法. 讨论了特征根是单根、重根、共轭复根和复重根的情形, 这样Euler 完整解决了常系数线性齐次方程求解问题.● 1750年至1751年, Euler 讨论了n 阶常系数线性非齐次方程, 他又提出了一种降低方程阶的解法. Euler 还是微分方程近似解的创始人, 他提出了的``欧拉折线法"不仅解决了常微分方程解的存在性的证明, 而且也是常微分方程数值计算的最主要的方法之一. 1750年, Euler 又给出了求解微分方程的级数解法. 1768年至1769年, Euler 还将积分因子法推广到高阶方程, 以及利用变换可以将变系数的Euler 方程化为常系数线性方程. ● 在Euler 工作的基础上, 1763年D'Alembert 给出了求非齐次线性方程通解的方法, 即非齐次方程的通解等于齐次方程的通解加上一个非齐次方程的特解.● 1762年至1765年间, Lagrange J 对高阶变系数线性齐次方程的研究也迈出了一步, 并引出伴随方程 (这个名字是1873年Fuchs Lazarus 取的, Lagrange 并未给它取名), 同时发现一个定理: 非齐次线性常微分方程的伴随方程的伴随方程, 就是原来方程对应的齐次方程. Lagrange 把Euler L 在1743年至1750年间关于常系数线性齐次微分方程的某些结果推广到了变系数线性齐次方程. Lagrange 发现, 齐次方程的通解是由一些独立的特解分别乘以任意常数后相加而成的, 而且若已知高阶方程的m 个特解就可以将方程降低m 阶.● 1774-1775年, Lagrange 提出了“常数变易法”, 解出了一般$n$阶变系数非齐次线性常微分方程. 这是18世纪微分方程求解的最高成就.● Newton I 在创建微积分时就给出了求解微分方程的“级数展开法”和“待定系数法”;1842年Cauchy A 完善了“待定系数法”.探索常微分方程的一般积分方法大概到1775年就停止了, 此后100年没有出现新的重大的新方法, 直到19世纪末才引进了Laplace 变换法和算子法.从总体上看, 17世纪的微分方程仍然是微积分的一部分, 并未单独形成一个分支学科. 在18世纪, 由解决一些具体物理问题而发展起来的微分方程, 已经成为有自己的目标和方法的新的数学分支. 这段时期, 数学家把注意力主要集中在求常微分方程的解上, 并且取得了一系列重大进展. 对解的理解和寻求, 在本质上逐渐起了变化. 最初, 数学家们用初等函数找解, 接着是用一个没有积出的积分来表示解. 在用初等函数及其积分来寻求解的巨大努力失败之后, 数学家们转向用无穷级数求解了. 但后来人们逐渐发现, 很多常微分方程求解是非常困难的, 甚至是不可能的.2、常微分方程适定性理论:19世纪初期和中期19世纪初期和中期是数学发展史上的一个转变时期。
中文摘要数学分析从一开始就是求解微分方程。
而非线性微分方程没有普遍解法以及一些天体力学问题的未决,促使庞加莱在微分方程求解过程中引入定性思想,创立了常微分方程实域定性理论这一新分支,突破了原有的微分方程求解的思维束缚,是微分方程研究历史上的一次重大飞跃。
本文简要阐明了19世纪庞加莱定性理论产生的思想背景和根源,重点介绍了庞加莱定性理论的创新之处,并进一步比较了与恩里克斯研究思想的异同,探讨了与李雅普诺夫运动稳定性理论的联系。
这些不仅对于全面了解和掌握庞加莱定性理论具有一定的参考价值,而且还可以使我们对科学历程中新思想、新理论的产生和发展规律有所启悟。
关键词:庞加莱定性理论定性分析李雅普诺夫运动稳定性ABSTRACTMathematicalanalysisbeganwithsearchingforthesolutionstodifferentialequations.Atthattime,however,nonlineardifferentialequationshadnouniversalsolutionsandsomeproblemsofcelestialmechanicswere.stillrequiredtoberesolved.ItinspiredPoincartointroducetheideaofqualitativeinsolvingdifferentialequationsandinitiateanewbranchofthequalitativetheoryofordinarydifferentialequationsinrealfieldThistheorybrokethroughtheobstaclesinthetraditionalthoughtsofdifferentialequations’solution.Itwasanimportantadvancementinthehistoryofdifferentialequations’researchThispaperbrieflyrecountsthebackgroundandoriginofPoincar’Squalitativetheoryinthe19也century,andemphasizestheinnovationsinhisthoughts.ItalsoanalysesthedifferencebetweenhisthoughtsandEnriques’,anddiscussestherelationsbetweenhistheoryandLiapunov’Sstabilitytheoryofmotion.Itnotonlyhassomevalueofreferencetounderstandandgraspqualitativetheoryofdifferentialequationscomprehensively,butalsoinspiresUStoponderoverthe订ackoftheemergencyanddevelopmentofnewthoughtsandtheoriesinthecourseofscience.Keywords:Poincar4,qualitativetheory,quslitativeanalysisILiaptmov,stabilityofmotion.3微分方程是伴随微积分一起发展起来的数学分支,是微积分在数学物理研究领域最重要的应用之一。
常微分方程定性与稳定性方法.第2版
常微分方程定性与稳定性方法是研究动力系统及其变化规律的重要手段,此第二版收录了最新的理论发展与实际应用相结合的一系列定性与稳定性方法完整的介绍,旨在启发读者的全新思考,为他们在动力系统解决方案的设计和实现提供有价值的支持。
常微分方程定性与稳定性方法是一类在多个科学领域中有效的数学解决方案。
这些方法可以在混沌系统中被用来描述不同形式的动态系统行为。
第2版的常微分方程定性与稳定性方法包括:
1. 计算函数法:采用各种数值方法求解二阶微分方程,可以快速解决定性和稳定性方法问题。
2. 拉格朗日差分方程法:使用有限差分步长比较,来解决定性和稳定性方法,从而帮助用户快速了解系统行为。
3. 高阶差分法:利用一组高阶差分方程以精确的高次近似形式描述稳定性模型,有效的解决定性和稳定性问题。
4. 代数方程法:可以把一系列定性和稳定性问题转化为一组代数方程,从而迅速获得解决方案。
这是第2版常微分方程定性与稳定性方法的概况,它们为计算动态系
统提供准确、可靠的数学解决方案,以模拟实际的动态系统行为。
马知恩周义仓编常微分⽅程定性与稳定性⽅法部分习题参考解答第⼀章 基本定理1设有 $$\bex \frac{\rd \bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx),\quad \bbx(t_0)=\bbx^0,\quad (t_0,\bbx^0)\in \bbR\times \bbR^n. \eex$$试证: 若 $\bbf\in C^1(G)$, 则在 $(t_0,\bbx^0)$ 的领域内, 此 Cauchy 问题的解存在惟⼀.证明: 由 $f\in C^1(G)$ 蕴含 $f\in C(G)$ 且在 $G$ 内适合 Lipschitz 条件知有结论.2试讨论下列⽅程解的存在区间:(1) $\dps{\frac{\rd y}{\rd x}=\frac{1}{x^2+y^2}}$;(2) $\dps{\frac{\rd y}{\rd x}=y(y-1)}$.解答:(1) 由 $\dps{\frac{\rd x}{\rd y}=x^2+y^2}$ 的解的存在区间有限知 $y$ 有界, ⽽由解的延拓定理, 原⽅程解的存在区间为 $\bbR$.(2) 直接求解有 $\dps{y=\frac{1}{1-\frac{y_0-1}{y_0}e^x}}$, ⽽a.当 $0\leq y_0\leq 1$ 时, 原⽅程解的存在区间为 $\bbR$;b.当 $y_0<0$ 时, 原⽅程解的存在区间为 $\dps{\sex{\ln\frac{y_0}{y_0-1},\infty}}$;c.当 $y_0>1$ 时, 原⽅程解的存在区间为 $\dps{\sex{-\infty,\ln\frac{y_0}{y_0-1}}}$.3 设有⼀阶微分⽅程式 $$\bex \frac{\rd x}{\rd t}=(t-x)e^{tx^2}. \eex$$ 试证: 过任⼀点 $(t_0,x_0)\in\bbR^2$ 的右⾏解的存在区间均为 $[t_0,+\infty)$.证明: 由 $$\bex \frac{\rd x}{\rd t}=(t-x)e^{tx^2}=\left\{\ba{ll} <0,&x>t,\\ >0,&x<t \ea\right. \eex$$ 知解在 $\sed{x>t}$ 内递减,在 $\sed{x<t}$ 内递增. 当 $x_0>t_0$ 时, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR, t_0<x<x_0} \eex$$ 内应⽤解的延伸定理知解定与$\sed{x=t}$ 相交, 之后解递增, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR,x<t} \eex$$ 内应⽤延伸定理及⽐较定理即知结论.4设有⼀阶⽅程 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=f(x)}$, 若 $f\in C(-\infty,+\infty)$, 且当 $x\neq 0$ 时有 $xf(x)<0$. 求证过 $\forall\(t_0,x_0)\in\bbR^2$, Cauchy 问题的右⾏解均在 $[t_0,+\infty)$ 上存在, 且 $\dps{\lim_{t\to+\infty}x(t)=0}$.证明: 由题意, $$\bex f(x)\left\{\ba{ll} >0,&x<0,\\ <0,&x>0. \ea\right. \eex$$ ⽽由 $f$ 的连续性, $f(0)=0$. 于是当 $x_0=0$ 时,由解的唯⼀性知 $x=0$. 当 $x_0>0$ 时, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR,0<x<x_0} \eex$$ 内应⽤延伸定理及惟⼀性定理知 $x(t)$ 递减趋于 $0$. 当 $x_0<0$ 时, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR,x_0<x<0} \eex$$ 内应⽤延伸定理及惟⼀性定理知 $x(t)$ 递增趋于 $0$.5若 $\bbf(t,\bbx)$ 在全空间 $\bbR\times\bbR^n$ 上连续且对 $\bbx$ 满⾜局部 Lipschitz 条件且 $$\bex \sen{\bbf(t,\bbx)}\leq L(r),\quad r=\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2},\quad \bbx=(x_1,\cdots,x_n)^T, \eex$$ 其中 $L(r)>0, r>0$, 且 $$\bee\label{1.5:1}\int_a^{+\infty}\frac{\rd r}{L(r)}=+\infty,\quad a>0. \eee$$ 试证: 对 $\forall\ (t_0,\bbx^0)\in\bbR\times\bbR^n$, Cauchy 问题的解均可对 $t$ ⽆限延拓.证明: 由解的延伸定理, 仅须证明在任何有限区间 $-\infty<\alpha<t<\beta<+\infty$ 上, $\bbx(t)$ 有界. 为此, 令 $y(t)=\sen{\bbx(t)}$,则 $$\beex \bea \frac{\rd y(t)}{\rd t}&=2\bbx(t)\cdot\frac{\rd \bbx(t)}{\rd t} =2\bbx(t)\cdot \bbf(t,\bbx(t)),\\\sev{\frac{\rd y(t)}{\rd t}} &\leq 2\sqrt{y(t)}\cdot L\sex{\sqrt{y(t)}},\\ \frac{\rd \sqrt{y(t)}}{L\sex{\sqrt{y(t)}}}&\leq \rd t,\\ \int_\alpha^\beta \frac{\rd \sqrt{y(t)}}{L\sex{\sqrt{y(t)}}} &\leq \int_\alpha^\beta \rd t=\beta-\alpha. \eea \eeex$$ 这与\eqref{1.5:1} ⽭盾 (事实上, 当 $\alpha,\beta\gg 1$, $|\alpha-\beta|\ll 1$ 时, 不等式右端可任意⼩, ⽽不等式左端有积分发散知可⼤于某⼀正常数).6设有微分⽅程 $$\bex \frac{\rd \bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx), \eex$$ $\bbf\in C(G\subset \bbR\times\bbR^n)$, 试证: 若对$\forall\ (t_0,\bbx^0)\in G$, Cauchy 问题的解都存在唯⼀, 则解必对初值连续依赖.证明: 参考[家⾥蹲⼤学数学杂志第134期, 常微分⽅程习题集, 第1600页].7 试在定理 1.1 的假设下, 利⽤ Gronwall 引理直接证明解对初始时刻 $t_0$ 的连续依赖性.证明: 参考定理 1.7 的证明.8 设有⼀阶 Cauchy 问题 $$\bex \frac{\rd y}{\rd x}=x^2+(y+1)^2,\quad y(0)=0. \eex$$ 试利⽤⽐较定理证明, 若设解的右⾏饱和区间为 $[0,\beta)$, 则 $\dps{\frac{\pi}{4}\leq \beta\leq 1}$.证明: 仅须注意到当 $0\leq x\leq 1$ 时, $$\bex (y+1)^2\leq x^2+(y+1)^2\leq 1+(y+1)^2. \eex$$ 再利⽤⽐较定理即知结论.第⼆章 动⼒系统的基本知识1试证明: $\Omega_P=\vno$ 的充要条件是 $L_P^+$ 趋于⽆穷.证明: $\ra$ ⽤反证法. 若 $L_P^+$ 不趋于⽆穷, 则 $$\bex \exists\ M>0, t_n\nearrow +\infty,\st \sen{\mbox{ $\varphi$}(P,t_n)}\leq M. \eex$$ 由 Weierstrass 定理, $$\bex \exists\ \sed{t_n'}\subset \sed{t_n},\st \mbox{ $\varphi$}(P,t_n)\to Q,\eex$$ ⽽ $Q\in \Omega_P$, 这是⼀个⽭盾. $\la$ 亦⽤反证法. 若 $\Omega_P\neq \vno$, ⽽设 $Q\in \Omega_P$, 则 $$\bex\exists\ t_n\nearrow+\infty,\st \mbox{ $\varphi$}(P,t_n)\to Q. \eex$$ 这与 $L_P^+$ 趋于⽆穷⽭盾.2试证明: 若 $\Omega_P$ 仅含惟⼀奇点 $P^*$, 则当 $t\to+\infty$ 时必有 $L_P^+$ 趋向于 $P^*$.证明: ⽤反证法. 设 $$\bee\label{2.2:1} \exists\ \ve_0>0,\ t_n\nearrow+\infty, \st \sen{\mbox{ $\varphi$}(P,t_n)-P^*}\geq\ve_0. \eee$$ 则(1)若 $\sed{t_n}$ 有有界的⼦列, 则适当抽取⼦列 $\sed{t_n'}$ 后有 $$\bex \mbox{ $\varphi$}(P,t_n')\to Q. \eex$$ 于是 $Q\in\Omega_P=\sed{P^*}$. 这与 \eqref{2.2:1} ⽭盾.(2)若 $\sed{t_n}$ ⽆有界的⼦列, 则 $\dps{\lim_{n\to\infty}\mbox{ $\varphi$}(P,t_n)=\infty}$, ⽽ $\infty\in\Omega_P=\sed{P^*}$, ⼜是⼀个⽭盾.3试证明: 若 $\Omega_P$ 有界且 $\Omega_P$ ⾮闭轨, 则 $\forall\ R\in \Omega_P$, $\Omega_R$ 与 $A_R$ 必均为奇点.证明: ⽤反证法证明 $\Omega_R$ 为奇点集, $A_R$ 为奇点集类似可证. 设 $\Omega_R$ 含有常点. 由 $R\in \Omega_P$ 及$\Omega_P$ 为不变集知 $L_R\subset \Omega_Q$. 于是按引理 2.3, $L_R$ 为闭轨线, $L_R=\Omega_R\subset \Omega_P$. 这与 $\Omega_P$ ⾮闭轨⽭盾.4试证明: ⼀系统的圈闭奇点的集合是⼀闭集.证明: 全体奇点的集合为 $$\bex \sed{\bbx^*\in G; \bbf(\bbx^*)=\mbox{ $0$}}. \eex$$ 由 $\bbf$ 的连续性即知结论.5 若 $L_P^+$ 有界且 $\Omega_P$ 仅由奇点构成, 能否断定 $\Omega_P$ 仅含⼀个奇点?解答: 不能断定. 仅能说 $\Omega_P$ 为由奇点构成的连通闭集或闭轨线.6 设 $O(0,0)$ 是⼀平⾯⾃治系统的惟⼀奇点, 且是稳定的, 全平⾯没有闭轨线. 试证: (1) 此系统的任⼀轨线必负向⽆界; (2) 任⼀有界的正半轨闭进⼊奇点 $O$.证明:(1) ⽤反证法. 若有⼀轨线负向有界, 则在定理 2.8 中, 由全平⾯没有闭轨线知 (3),(4) 不成⽴; 由 $O$ 为惟⼀奇点知 (1),(2),(5) 不成⽴. 这是⼀个⽭盾.(2) 对有界正半轨⽽⾔, 定理 2.8 中仅有 (1),(2),(5) 可能成⽴. 若 (1),(2) 成⽴, 则结论已证; ⽽由全平⾯没有闭轨线知 (5) 不成⽴.第三章 稳定性理论1 讨论⽅程 $$\bee\label{3.1:1} \sedd{\ba{ll}\frac{\rd x_1}{\rd t}=x_2,\\ \frac{\rd x_2}{\rd t}=-a^2\sin x_1\ea} \eee$$ 零解的稳定性.解答: 选取 $$\bex V(\bbx)=\frac{x_2^2}{2}+a^2(1-\cos x_1), \eex$$ 则 $V$ 在原点的⼀邻域内是正定的, 且沿 \eqref{3.1:1} 的轨线有 $$\bex \dot V(\bbx)=V_{x_1}x_1'+V_{x_2}x_2'=0. \eex$$ 由此, 零解是稳定的, 但不是渐近稳定的.2 证明⽅程 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=-x+x^2}$ 的零解是指数渐近稳定的, 但不是全局渐近稳定的.证明: 解该微分⽅程有: $$\bex \ba{ccc} -\frac{1}{x^2}\frac{\rd x}{\rd t}=\frac{1}{x}-1,&\frac{\rd y}{\rd t}=y-1\\sex{y=\frac{1}{x}},&\frac{\rd z}{\rd t}=-e^{-t}\ \sex{z=e^{-t}y},\\ z=e^{-t}+C,&y=Ce^t+1,&x=\frac{1}{1+Ce^t}. \ea \eex$$由此, 原微分⽅程的解为 $$\bex x=0,\mbox{ 或 }x(t)=\frac{1}{1+Ce^t}. \eex$$ 取初值 $(t_0,x_0),\ x_0\neq 0$, 有 $$\bexx(t,t_0,x_0)=\frac{x_0}{1+e^{t-t_0}(1-x_0)}. \eex$$ 故当 $|x_0|<1$ 时, $$\bex |x(t,t_0,x_0)|\leq \sev{\frac{1}{x_0}-1}e^{-(t-t_0)}. \eex$$ 这说明零解是指数渐近稳定的. 但由于从 $(t_0,1)$ 出发的解 $x(t,t_0,1)=1$ 不趋于零解, ⽽零解不是全局渐近稳定的.3 在相空间 $\bbR^n$ 中给出 $\dps{\frac{\rd \bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx),\ \bbf(t,0)=0}$ 的零解稳定、渐近稳定、不稳定的⼏何解释.解答: 零解是稳定的 $\lra\ \forall\ \ve>0,\ \exists\ \delta>0,\ \forall\ P\in B_\delta,\ L_P^+\subset B_\ve$; 零解是渐进稳定的$\lra\ \exists\ U\ni O,\ \forall\ P\in U,\ L_P^+\to 0$; 零解是不稳定的 $\lra\ \exists\ \ve_0>0,\ \exists\ P_n\to0, \stL_{P_n}^+\bs B_\ve\neq \vno$.4判断下列系统零解的稳定性:(1) $\dps{\sedd{\ba{ll} \frac{\rd x_1}{\rd t}=mx_2+\alpha x_1(x_1^2+x_2^2),\\ \frac{\rd x_2}{\rd t}=-mx_1+\alphax_2(x_1^2+x_2^2); \ea}}$;(2) $\dps{\frac{\rd^2x}{\rd t^2}+\sex{\frac{\rd x}{\rd t}}^3+f(x)=0,}$ 其中 $xf(x)>0\ (x\neq 0), f(0)=0$;(3) $\dps{\frac{\rd^2x}{\rd t^2}-\sex{\frac{\rd x}{\rd t}}^2sgn\sex{\frac{\rd x}{\rd t}}+x=0}$.解答:(1) 取 $$\bex V=x_1^2+x_2^2, \eex$$ 则 $V$ 正定, 且沿微分⽅程的轨线有 $$\bex \dot V=2\alpha(x_1^2+x_2^2)\sedd{\ba{lll} \mbox{正定},&\alpha>0,\\ 0,&\alpha=0,\\ \mbox{负定},&\alpha<0. \ea} \eex$$ 于是当 $\alpha>0$ 时, 由定理 3.3, 零解是不稳定的; 当 $\alpha=0$ 时, 由定理 3.1, 定理是稳定的; 当 $\alpha<0$ 时, 由定理 3.1, 零解是渐近稳定的.(2) 令 $\dps{x_1=x,x_2=\frac{\rd x}{\rd t}}$, 则 $$\bex \frac{\rd x_1}{\rd t}=x_2,\quad \frac{\rd x_2}{\rd t}=-x_2^3-f(x_1). \eex$$ 取 $$\bex V=\frac{x_2^2}{2}+\int_0^{x_1}f(t)\rd t, \eex$$ 则 $V$ 正定, 且沿微分⽅程的轨线有 $\dot V=-x_2^4\leq 0.$再 $$\bex \sed{\bbx;\dot V(\bbx)=0}=\sed{0}, \eex$$ 我们据定理 3.2 知零解是渐近稳定的.(3) 令 $\dps{x_1=x,x_2=\frac{\rd x}{\rd t}}$, 则 $$\bex \frac{\rd x_1}{\rd t}=x_2,\quad \frac{\rd x_2}{\rd t}=x_2^2sgn(x_2)-x_1. \eex$$ 取 $$\bex V=\frac{x_1^2+x_2^2}{2}, \eex$$ 则 $V$ 正定, 且沿微分⽅程的轨线有 $\dot V=x_2^2|x_2|$是正定的. 我们据定理 3.3 知零解是不稳定的.5 若存在有⽆穷⼩上界的正定函数 $V(t,\bbx)$, 它沿着 $$\bex (3.3.1)\quad \frac{\rd\bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx),\quad \bbf(t,0)=0 \eex$$ 解曲线的全导数 $\dot V(t,\bbx)$ 负定, 证明 (3.3.1) 的零解是渐近稳定的.证明: 仅须注意到存在正定函数 $W(x)$, $W_1(x)$ 使得 $$\bex W(\bbx)\leq V(t,\bbx)\leq W_1(\bbx). \eex$$ ⽽可仿照定理 3.1 的证明.6 讨论 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=\frac{g'(t)}{g(t)}x}$ 零解的稳定性, 其中 $\dps{g(t)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+n^4(t-n)^2}}$. 能否得到零解渐近稳定的结果? 为什么?解答: 直接求解有 $$\bex x(t)=\frac{x_0}{g(t_0)}{g(t)}, \eex$$ ⽽由 $$\bex |x(t)|\leq\frac{|x_0|}{g(t_0)}\sez{2+\sum_{n\neq [t],[t]+1}\frac{1}{1+n^4(t-n)^2}} \leq \frac{|x_0|}{g(t_0)}\sez{2+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^4}} \eex$$ 知零解是稳定的; 由$$\bex |x(k)|=\frac{|x_0|}{g(t_0)}\sez{1+\sum_{n\neq k}\frac{1}{n^4(k-n)^2}}\geq \frac{|x_0|}{g(t_0)} \eex$$ 知零解不是渐近稳定的.7证明 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=-\frac{x}{t+1}}$ 的零解是渐近稳定的, 但不存在有⽆穷⼩上界的正定函数 $V(t,x)$, 使得 $\dotV(t,x)$ 负定 (该习题表明习题 5 中渐近稳定性定理中的条件不是必要的).证明: 直接求解有 $$\bex x(t)=\frac{x_0}{1+t}. \eex$$ ⽽零解是渐近稳定的.。
常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3常微分常微分方程(Ordinary Differential Equations,简称ODEs)作为数学中重要的研究领域之一,早在古代数学家就开始研究。
然而,对于常微分方程的深入研究直到16世纪才真正开始。
定性理论阶段在常微分方程的发展历史中,定性理论阶段是一个重要的里程碑。
在17世纪,欧洲的许多数学家开始对常微分方程进行研究,并取得了一些重要的成果。
其中最著名的数学家是伯努利家族,他们的研究成果对定性理论的发展产生了巨大的影响。
定性理论的主要目标是研究常微分方程的解的性质,而不是具体的解的形式。
欧拉则提出了一种提供常微分方程解单值化的方法,通过引入无穷远点的概念,将复杂的解变为简单的解。
之后,拉普拉斯又发展了一种完全不同的方法,基于群论的观点,用幂级数来表示解,并通过对幂级数的收敛性进行分析。
解析理论阶段19世纪初,解析理论阶段开始。
拉格朗日和伽罗瓦两位法国数学家在解析理论的发展中发挥了关键的作用。
伽罗瓦则通过研究方程的对称性和置换群的理论,将求解常微分方程的问题转化为求解多项式方程的问题。
他的工作对解析理论的发展产生了深远的影响。
除了法国数学家的贡献外,俄罗斯数学家切布雪夫和德国数学家雅可比也做出了重要的贡献。
切布雪夫发展了关于常微分方程解的唯一性和存在性的理论,而雅可比则通过引入雅可比行列式,研究了常微分方程解的特征。
总结总的来说,常微分方程的发展经历了三个阶段:古代数学家的初步研究、定性理论阶段和解析理论阶段。
定性理论阶段主要是研究解的特性,而解析理论阶段则关注具体的解的形式。
这些理论的发展为后来的数学家提供了基础,也为应用数学领域的发展打下了坚实的基础。
微分方程的定性理论研究微分方程是数学中的重要分支,广泛应用于科学和工程领域中。
但是,对于复杂的微分方程,精确地求解往往是不可能的,因此研究微分方程的定性理论,即研究解的某些性质,成为微分方程理论的一个重要方向。
本文将探讨微分方程的定性理论研究的一些方面。
一、相空间法相空间法是微分方程定性理论中一种重要的工具。
它将微分方程的解描绘成相空间中的一组轨迹,从中可推断出解的行为。
例如,假设某个二阶微分方程的解是一个平面内的曲线,该曲线移动时的方向和曲率都可以根据微分方程来确定。
相空间法能够通过对曲线特征的分析,得出微分方程解的稳定性、周期性等定性性质。
二、Lyapunov函数法Lyapunov函数法是另一种常用的微分方程定性理论方法。
它基于Lyapunov函数的定义,对微分方程的解进行分析。
Lyapunov函数是一种具有正定性和单调性的函数,它可以用来判断微分方程解的稳定性。
如果一个微分方程解在某个点处的Lyapunov函数为零,并且对于任意不在该点处的点,Lyapunov函数都大于零,那么该点为稳定平衡点。
而如果在一个点处的Lyapunov函数小于零,那么该点则是不稳定平衡点。
通过Lyapunov函数法,可以判断微分方程解的稳定性,并推断出定性性质。
三、周期解与分岔点周期解和分岔点是微分方程定性理论中两个重要的概念。
周期解指的是函数的解以周期形式出现,而分岔点则指微分方程解在某些参数值下从一个稳定状态转变为两个或多个不稳定状态的点。
周期解和分岔点的研究与微分方程在生物学、化学等领域中的应用有关。
例如,在生物学中,周期解可以用来描述生物钟的运行规律,而分岔点则可以用来解释激素水平的调节过程。
四、Chetaev定理和Poincare-Bendix定理除了以上方法,还有一些定理也可以用来研究微分方程的定性理论。
例如,Chetaev定理可以用于分析微分方程解在给定条件下的相轨道的极限行为。
而Poincare-Bendix定理则可以用来说明微分方程解在一定条件下是否存在周期轨道。
常微分方程习题答案第五章定性与稳定性理论简介教材习题同步解答习题5.21. 对于方程组41114221,,xx x x x x ⎧=-⎨=⎩ 试说明 441212(,)V x x x x =+是正定的,而dVdt是常负的。
证:易知(0,0)0V =,当22120x x +≠时,12(,)0V x x > 正定。
34344444121122211212124()4()440dV V V x x x x x x x x x x x x dt x x ∂∂=+=-+-=-+=∂∂ ,故dV dt是常负。
(0,0)0V =。
2. 讨论方程组312132124,3,xx x x x x ⎧=--⎨=-⎩ 零解的稳定性。
证:取 221212(,)V x x x x =+, 易知(0,0)0V =,当22120x x +≠时, 12(,)0V x x >即正定。
334411221212121212222(4)2(3)22()0dV x x x x x x x x x x x x x x dt=+=--+-=---< ,故方程的零解是渐进稳定的。
3. 讨论自治系统2111222212,,x Ax x x x Ax x x ⎧=-⎨=-⎩ 零解的稳定性。
证:证:取 221212(,)V x x x x =+, 易知(0,0)0V =,当22120x x +≠时,12(,)0V x x >即正定。
222211221112221212222()2()2()dV x x x x x Ax x x x Ax x x A x x dt=+=-+-=+ ,故方程的0A >,则零解是不稳定的;若0A <,则零解是渐进稳定的。
习题5.3通过求解,确定下列各方程的奇点类型,画出相图,并确定奇点的稳定性:(1)2,3;dx x dt dy y dt ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(2)3,3;dx x dt dy x y dt⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(3),;dx y dt dy x dt ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(4)23,3;dxx y dtdy x y dt ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解:(1)方程的奇点为(0,0)O ,方程所对应的系数矩阵为2003A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,系数矩阵所对应的特征方程为20003λλ--=-- 或2560λλ++= ,特征根为 1220,30,λλ=-<=-<奇点(0,0)O 为稳定结点。
研究方向概要1.微分方程与系统理论分析(1)主要研究对象●常微分方程(定性、稳定性理论)●泛函(时滞)微分方程(稳定性理论)●随机微分方程●脉冲微分方程●模糊微分方程●广义微分方程●差分方程●偏微分方程(2)主要研究内容●稳定性(Lyapunov稳定、ISS稳定)●吸引性(吸引集与吸引盆、吸引子)●有界性(有界、一致有界与最终有界、不变集) ●周期性(存在性、稳定性)●极限环(存在性、个数估计)●分岔(存在性)●混沌●反馈与镇定●混合控制●最优化控制●数值计算与仿真2.应用领域(1)生命科学领域(常微、时滞、脉冲或偏微方程描述)●生物动力系统:功能反应种群模型、传染病模型、医药数学模型●神经网络系统(与信息领域交叉)(2)信息与控制领域(常微、时滞、脉冲或模糊微分方程描述)●复杂网络与多智能系统●网络化控制与量化系统(3)经济领域(常微、随机、广义系统、时滞微分方程描述)●蛛网模型●期权定价模型电子文献检索与下载方法1. 中文文献:学校CKNI中文电子数据库(含中文期刊或硕博论文全文数据库); Google scholar: (中英文献检索)学校维普、万方数据库(检索)2.英文文献检索工具Arxiv:Citeseer:SearchSci:收费:MATHSCI:美国数学会检索库Web of science: SCI ISTP检索库EI Compendex:EI 检索库3. 一些外文收费全文数据库Elsevier Data:Springer Data:SIAM Data:IEEE Data:*收费文献检索与下载可在重大图书馆C区或A区电子阅览室下载, 也可以和我联系帮助查询。
1.定性与稳定性基础马知恩/周义仓《常微分方程定性与稳定性方法》,科学出版社,20012.泛函微分方程《动力系统的稳定性理论和应用》廖晓昕著国防工业出版社,20003.随机微分方程胡适耕黄乘明,《随机微分方程》出版社:科学出版社,20084.现代控制理论基础郭雷,《现代控制理论导论》,科学出版社,2005其它部分相关论著:微分方程定性理论作者:张芷芬Jake Hale, 《Introduction to Functional Differential Equations》, 1993郑祖庥,泛函微分方程V. Lakshmikantham, D.D. Bainov, and P.S. Simeonov. Theory of ImpulsiveDi?erential Equations. Series in modern applied mathematics. Singapore and Teaneck, NJ : World Scienti?c, 1989.Tao Yang, Impulsive Control TheoryV. Lakshmikantham and Ram N. Mohapatra ,Theory of Fuzzy Differential Equati ons and Inclusions.Chong Lin, Qing-GuoWang, Tong Heng Lee,Yong He, LMI Approach to Analysis and Co-ntrol of Takagi-Sugeno Fuzzy Systems with Time Delay陈恕行,《现代偏微分方程导论》,科学出版社,2007Jianhong Wu, Theory and Applications of Partial Functional Differential Eq uations 1997陈兰荪孟新柱焦建军,生物动力学,科学出版社,2009传染病动力学的数学建模与研究 / 马知恩等著. - 北京: 科学出版社, 2004.08。
第一讲 常微分方程发展简史——经典阶段一、引 言Newton 和Lebinitz 创立的微积分是不严格的, 18世纪的数学家们一方面努力探索微积分严格化的途径, 一方面往往又不顾基础问题的困难而大胆前进, 大大地扩展了微积分的应用范围, 尤其是与力学的有机结合, 当时几乎所有的数学家也是力学家.Newton 和Lebinitz 都处理过与常微分方程有关的问题. 微积分的产生的一个重要的动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求. 一般地, 认识规律 很难完全靠实验观测认识清楚,因为人们不太可能观测到运动的全过程. 运动是服从一定的客观规律的, 物质运动与瞬时变化率之间有着紧密的联系, 而这种联系, 用数学语言表述出来, 即抽象为某种数学结构, 其结果往往形成一个微分方程, 一旦求出其解或研究清楚其动力学行为, 运动规律就一目了然了.在微分方程模型建立过程中, 平衡原理扮演着重要的角色. 微分方程模型通常均是建立在平衡原理基础之上的.``平衡"是我们在现实生活中随处可见的现象. 如:物理学中的能量守恒和动量守恒等定律以及力的平衡等都是在描述物理中的一些平衡现象. 再如考虑一段时间内(或一定范围内)物质的变化,容易发现这段时间内物质的改变量与它的增加量和减少量之差也处于平衡的状态, 这种平衡规律称为物质平衡.所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理无疑应该是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题.作为例子, 我们介绍著名的Malthus 模型, 它是最简单的生态学模型, 也是本书中唯一的线性模型.给定一个种群, 我们的目的是确定种群的数量是如何随着时间而发展变化的. 为此,我们作出如下假设:模型假设:121()H 初始种群规模已知00()x t x =,种群数量非常大,世代互相重叠,因此种群的数量可以看作是连续变化的;221()H 种群在空间分布均匀,没有迁入和迁出 (或迁入和迁出平衡);321()H 种群的出生率和死亡率为常数,即不区分种群个体的大小、年龄、性别等. 421()H 环境资源是无限的.确定变量和参数: 为了把问题转化为数学问题, 我们首先确定建模中需要考虑的变量和参数:t: 自变量, x(t): t 时刻的种群密度,b: 瞬时出生率, d: 瞬时死亡率.模型的建立与求解:考查时间段[,]t t t +∆ (不失一般性, 设0t ∆>), 由物质平衡原理,在此时间段内种群的数量满足:t t ∆+时刻种群数量 – t 时刻种群数量 = t ∆内新出生个体数 – t ∆内死亡个体数,即()()()(),x t t x t bx t t dx t t +∆-=∆-∆亦即()()()(),x t t x t b d x t t +∆-=-∆ 令0t ∆→,可得()()():()dx t b d x t rx t dt=-= 满足初始条件0(0)N N =的解为()00().b d t rt x t x ex e -== 于是有0r >,即 b d >,则有 lim (),t x t →∞=+∞ 0r =,即 b d =,则有 0lim (),t x t N →∞= 0r <,即 b d <,则有 lim ()0.t x t →∞= Malthus 模型的积分曲线 ()x t 呈“J ”字型, 因而种群的指数增长又称为“J ”型增长.二、常微分方程发展简史常微分方程是伴随着微积分发展起来的, 微积分是它的母体, 生产生活实践是它生命的源泉. 300年来,常微分方程诞生于数学与自然科学(物理学、力学等)进行崭新结合的16、17世纪,成长于生产实践和数学的发展进程,表现出强大的生命力和活力,蕴含着丰富的数学思想方法。
两类微分方程解的定性分析的开题报告题目:两类微分方程解的定性分析摘要:微分方程是数学的一个重要分支,研究微分方程的解的性态是微分方程理论的核心问题之一。
本文将研究两类微分方程的解的定性分析方法,包括一阶非线性常微分方程和线性常微分方程。
针对一阶非线性常微分方程,本文将介绍平面系统的稳定性分析方法,包括平衡点和线性化方法,并且将给出重要的存在性和唯一性定理。
同时,我们还将对相图进行分析,进一步帮助我们理解方程解的性质。
对于线性常微分方程,我们将介绍矩阵指数法和本征值法来求解方程及其初值问题。
通过极限环定理和拉古朗日稳定性定理,我们将分析解的稳定性和振荡性质。
最后,我们将通过实例来展示这两类微分方程的解的定性分析方法。
关键词:微分方程、定性分析、平面系统、矩阵指数法、本征值法、极限环定理、拉古朗日稳定性定理Abstract:Differential equations are an important branch of mathematics,and the study of the qualitative properties of their solutions is one ofthe core issues in differential equations theory. In this paper, we will investigate the qualitative analysis methods of solutions for two types of differential equations, including first-order nonlinear ordinary differential equations and linear ordinary differential equations.For first-order nonlinear ordinary differential equations, we will introduce the stability analysis methods of planar systems, including equilibrium points and linearization methods, and present important existence and uniqueness theorems. Moreover, we will analyze the phase portraits to further understand the properties of solutions to the equation.For linear ordinary differential equations, we will introduce the matrix exponential method and eigenvalue method to solve the equations and their initial value problems. Through the limit cycletheorem and LaSalle's stability theorem, we will analyze the stabilityand oscillatory properties of solutions.Finally, we will use examples to demonstrate the qualitative analysis methods of solutions for these two types of differential equations.Keywords: differential equations, qualitative analysis, planarsystems, matrix exponential method, eigenvalue method, limit cycletheorem, LaSalle's stability theorem.。