组合典型例题解析
【例1】判断下列各事件是排列问题，还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数.
（1）10个人相互各写一封信，共写了多少封信？
（2）10个人规定相互通一次电话，共通了多少次电话？
（3）10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），这次比赛需要进行多少场次？
（4）10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠亚军获得者有多少种可能？
（5）从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？
（6）从10个人里选出3个不同学科的科代表，有多少种选法？
解：（1）是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的.排列数为A2
10
=90（种）.
（2）是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序
的区别.组合数为C2
10
=45（种）.
（3）是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别.
组合数为C2
10
=45（种）.
（4）是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样
的，是有顺序区别的.排列数为A2
10
=90（种）.
（5）是组合问题.因为三个代表之间没有顺序的区别.组合数为C3
10
=120（种）.
（6）是排列问题.因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的.排列数为A310=720（种）.
点评：排列、组合是不同的两个事件，区分的办法是首先弄清楚事件是什么？区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果解出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题.
【例2】写出从五个元素a，b，c，d，e中任取三个元素的所有组合，并求出其组合数.
解：考虑画出如下树形图，按给出字母从左到右的顺序来考虑.
a b b
c c c
d d
d
d d
e e e
根据树形图，所有组合为abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde.
组合数为C3
5
=10（个）.
点评：排列的树形图与组合的树形图是有区别的.排列的树形图中其元素不能重复出现但可任意排列，而组合的树形图中其元素也不能重复出现，但元素出现的次序必须按照从左到右的顺序（如元素b后面不能出现a，元素c后面不能出现a、b等）来考虑，否则就会出现重复或遗漏.
【例3】 已知
n 5C 1－n 6C 1＝n 7
10C 7，求C n
8的值. 解：由组合数公式可得
!7)!
7(!107!6)!6(!!5)!5(!n n n n n n -⋅
=---. 化简得n 2－23n ＋42＝0. ∴n ＝21或n =2. ∵n ≤5，∴n ＝2.
∴C n 8＝C 28＝28.
点评：本题先求n 值，再求组合数.化简时常用公式C m n =)!
(!!
m n m n -，计算时常用
C m n =m m
m n A A .
【例4】 计算（1）C 23+C 24+C 25+…+C 2100； （2）A 23+A 24+A 25+…+A 2100. 解：（1）C 23+C 24+C 25+…+C 2100 =（C 33+C 23）+C 24+C 25+…+C 2100－C 33 =（C 34+C 24）+C 25+…+C 2100－C 33 =C 3101－C 33=166649. （2）A 23+A 24+A 25+…+A 2100 =A 22（C 23+C 24+…+C 2100）
=2×166649=333298.
点评：注意题中对公式C m n +C 1
-m n
=C m
n 1
+及A m n =C m n ·A m
m 的应用.若逆用公式
C m n +C 1-m n =C m n 1+也可解决（1）.即将公式变形，C 1-m n =C m n 1+－C m n ，则有C 23+C 24+C 25+…+C 2
100=（C 34－C 33）+（C 35－C 34）+（C 36－C 35）+…+（C 3101－C 3100）=C 3101－C 33=166649.
【例5】 解下列方程： （1）C 2n =66；
（2）C n
10=210；
（3）C n
18=C 6318-n .
解：（1）由原方程，得
2
)
1(-n n =66， 即n 2－n －132=0. 解得n =12或n =－11. ∵n ≥2，∴n =－11舍去. 经检验n =12是原方程的解.
（2）根据性质C m n =C m n n
-知，只需将n =1，2，3，4，5代入C n
10=210中一一验证，解得C 410=210，又C 610=C 6
10，
∴n =4或n =6.
经检验，n =4，n =6都是原方程的解.
（3）由原方程得n =3n －6或18－n =3n －6， ∴得n =3或n =6.
经检验，n =3，n =6都是原方程的解.
点评：（1）解C m n =a 型的方程有两类：一类已知m 求n ；另一类已知n 求m .对于前者，只需利用组合数公式转化为关于n 的m 次方程；对于后者，一般可将未知数的值用1，2，…依次代入验证求解.但在解这类方程时，必须注意检验，不仅要注意0≤m ≤n ，n ＞0，m ，n
∈Z ，而且要注意组合数性质C m n =C m
n n
-的运用，以防止失根. （2）解C x n =C y
n 型的方程，要注意两种情形，即x =y 或x =n －y ，同时要注意n ≥x ≥0，
n ≥y ≥0，n ＞0，x ，y ，n ∈Z .
【例6】解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+=.1C 3111C ,
2C C x n x n
x n x n
解：∵C x n =C x n n -=C x
n 2，
∴n －x =2x .∴n =3x .
又由C 1+x n =
3
11C 1
-x n 得 )!
1()!1(!
--+x n x n
=3
11
·)!1()!1(!+--x n x n .
∴3（x －1）!（n －x +1）!
=11（x +1）!（n －x －1）!. ∴3（n －x +1）（n －x ）=11（x +1）x . 将n =3x 代入得6（2x +1）=11（x +1）. ∴x =5，n =3x =15.
