九年级数学三角形和多边形综合(一)(教师版)
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1、如图,将等边△ABC的边AB、BC、CA分别绕点A、点B、点C顺时针旋转角度α(0°<α<180°)得到AB′、BC′、CA′,连接A′B′、B′C′、A′C′。当AB=2时,△A′B′C′的周长的最大值为_________。
2、如图,等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,点P为△ABC内一点,若AP=3,BP=5,CP=7,则△ABC的面积为_________。 29
【例题精讲一】三角形中的计算与证明
例1.1、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,CD⊥AC于点D。
(1)把Rt△DBC绕点D顺时针旋转45°,点C的对称点为E,点B的对称点为F,请画出△EDF,连接AE、BE,并写出∠AEB的度数;
(2)如图2,把Rt△DBC绕点D顺时针旋转α度(0<α<90°),点C的对应点为E,点B的对应点为F,连接CE、CD,求出∠AEC的度数,并写出线段AE、BE与CE之间的数量关系,并证明;
+,α=60°,求AG的值。
(3)在(2)的条件下,连接CD交AE于点G,若BC=226
2、已知△ABC,以AC为边在△ABC外作等腰△ACD,其中AC=AD。
(1)如图1,若AB为边在△ABC外作△ABE,AB=AE,∠DAC=∠EAB=60°,则∠BFC的度数为;(2)如图2,∠ABC=α,∠ACD=β,BC=6,BD=8
①若α=30°,β=60°,则AB的长为;
②若改变α、β的大小,但α+β=90°,求△ABC的面积。
【课堂练习】
1、如图,已知在Rt△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,BO⊥AC于点O。点P、D分别在AO和BC上,PB=PD,DE⊥AC于点E。
(1)求证:△BPO≌△PDE;
(2)若BP平分∠ABO,其余条件不变,求证:AP=CD;
(3)若点P是一个动点,当点P运动到OC的中点P′时,满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′,已知CD′=2D′E,请写出CD′与AP′的数量关系并说明理由。
(武珞路期中)2、(1)如图1,在△ABC 和△ECD 是等边三角形,则BE 、AD 之间的数量关系为________;∠
DFE 度数为________;;
(2)如图2,在△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形,∠BAC =∠CED =90°,M 是CD 的中点,连AM 、BE 交于F 点,则BE 、AM 之间的数量关系为________;∠MFE 度数是________;
(3)如图3,在△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形,∠BAC =∠CED =90°,N 是BD 的中点,连AN 、NB ,则AN 、NE 有何关系并证明你的结论。
【例题精讲二】四边形中的计算与证明
例2. 1、已知矩形ABCD 中点P 为边BC 上一动点,连接AP ,将线段AP 绕点P 顺时针旋转90°,点A 恰好落
在直线CD 上的点E 处。
(1)如图1,点E 在线段CD 上,求证:AD +DE =2AB ;
(1)证明:
PCE Rt ABP Rt ∆≅∆⇒PC AB =,CE BP = .............2分
DE CP BP DE AD ++=+ =DE CE CP ++ =CD CP +
=AB 2 ...................................4分
(2)如图2,点E 在线段CD 的延长线上,且点D 为线段CE 的中点,在线段BD 上取点F ,连接AF 、PF ,若AF =AB 。求证:∠APF =∠ADB ;
(1)方法一
证明:BDC AFB ABF ∠=∠=∠⇒EDF AFD ∠=∠ 证明EDF AFD ∆≅∆ ...................................6分 证明︒=∠=∠=∠90ADE APE AFE ⇒点AFPDE 在AE 为直径的圆上 ⇒ADB APF ∠=∠ ...................................8分
方法二(图2)
证明:BDC AFB ABF ∠=∠=∠⇒EDF AFD ∠=∠ ⇒DEA FAE ∠=∠⇒DEP FAP ∠=∠(等角减去45度角) 证明EPD APF ∆≅∆
⇒α=∠=∠NDP MFP ...................................7分
证明︒=∠=∠4521⇒ADB APF ∠=∠=α-︒45.................8分 方法三(图2)
证明:设AP 、EP 交BD 分别于点M 、N 证明︒=∠=∠4521
证明BDC AFB ABF ∠=∠=∠⇒EDF AFD ∠=∠ 证明EDN AFM ∆≅∆
证明EPD APF ∆≅∆(或DNP FMP ∆≅∆) 证明α=∠=∠NDP MFP ⇒ADB APF ∠=∠=α-︒45 方法四(图三)
证明:BDC AFB ABF ∠=∠=∠⇒EDF AFD ∠=∠ ⇒DEA FAE ∠=∠⇒DEP FAP ∠=∠(等角减去45度角)
利用对称性 证明α=∠=∠NDP MFP ⇒ADB APF ∠=∠=α-︒45
(3)如图3,点E 在线段CD 上,连接BD ,若AB =2,BD ∥PE ,求DE 的长度。
【课堂练习】
(武昌12月)如图1,E 为正方形ABCD 的边AD 上一点,EF ⊥BE ,且EF =BE ,连DF ,作FH =DH ,交AD 的延长线于H 。
(1)求证:AE =FH ;
(2)若ED =6,∠ABE =15°,求△EDF 的外接圆半径; (3)如图2,将△ABE 沿BE 折叠得△GBE .若∠DGC =90°,求
AE
AD
的值。
证明:(1) △ABE ≌△HEF (AAS ) ∴AE =FH (2) 由(1)可知,AB =EH =AD ∴AE =DH =HF ∴△DHF 为等腰直角三角形 ∴∠EDF =135° ∵∠ABE =15° ∴∠HEF =15° ∴∠DFE =30° 如图,作△DEF 的外接圆⊙O ,连接OE 、OD 、OF ∴∠EOD =∠DFE =60° ∴△ODE 为等边三角形 ∴r =6 (3) 延长EG 交CD 于F ,连接BF ∴Rt △BGF ≌Rt △BCF (HL ) ∴GF =FC
又FG =FD (等角对等边) ∴FD =FC 设AB =2,AE =x 在Rt △DEF 中,(x +1)2=(2-x )2+1,x =32
∴3 AE
AD
【例题精讲三】多边形中的计算与证明
例3. 如图1,正六边形ABCDEF 的边长为a ,P 是BC 边上一动点,过P 作PM ∥AB 交AF 于M ,作PN ∥CD 交
DE 于N 。
(1)①∠MPN =________, ②求证:PM +PN =3a ;
(2)如图2,点O 是AD 的中点,连接OM 、ON ,求证:OM =ON ;
(3)如图3,点O 是AD 的中点,OG 平分∠MON ,判断四边形OMGN 是否为特殊四边形?并说明理由。