初中数学中的解方程.pdf

x2
− 3x
+
x2
3 − 3x
=
4
时，设
y
=
x2
−
3x
，则原方程可化为（
）
（A）y + 3 − 4 = 0 （B）y − 3 + 4 = 0 （C）y + 1 − 4 = 0 （D）y + 1 + 4 = 0
y
y
3y
3y
例、解下列方程：
（2）
1
2 −x
2
=
1 −1；（2） x2 + 2 +
x +1
x
3
④【05 绵阳】已知等式 (2A-7B) x+(3A-8B)=8x+10 对一切实数 x 都成立，求 A、B 的值
解
⑤【05 南通】某校初三（2）班 40 名同学为“希望工程”捐款,共捐款 100 元.捐款情况如下
表：
捐款（元）
1234
人数
6
7
表格中捐款 2 元和 3 元的人数不小心被墨水污染已看不清楚. 若设捐款 2 元的有 x 名同学,捐款 3 元的有 y 名同学,根据题意,可得方程组
6x x2 + 2
=5
6、应用：
（1）分式方程（行程、工作问题、顺逆流问题）（2）一元二次方程（增长率、 面积问题）（3）方程组实际中的运用 例题：①轮船在顺水中航行 80 千米所需的时间和逆水航行 60 千米所需的时间相 同.已知水流的速度是 3 千米/时，求轮船在静水中的速度.（提示：顺水速度=静 水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度） 解：
例题．一、一元二次方程的解法
例 1、解下列方程：
（1） 1 (x + 3)2 = 2 ；（2） 2x2 + 3x = 1；（3） 2
例 2、解下列方程：
4(x + 3)2 = 25(x − 2)2
（1） x2 − a(3x − 2a + b) = 0(x为未知数) ；（2） x2 + 2ax − 8a2 = 0
② 、【 北 京 市 海 淀 区 】 当 使 用 换 元 法 解 方 程 ( x )2 − 2( x ) − 3 = 0 时 ， 若 设
x +1
x +1
y
=
x
x +1
，则原方程可变形为（
）A．y2＋2y＋3＝0 B．y2－2y＋3＝0 C．y2
＋2y－3＝0 D．y2－2y－3＝0
（3）、用换元法解方程
3．（无锡市）若关于 x 的方程 x2＋2x＋k＝0 有两个相等的实数根，则 k 满足 ( )
A.k＞1
B.k≥1
C.k＝1
D.k＜1
4.（常州市）关于 x 的一元二次方程 x2 + (2k +1)x + k −1 = 0 根的情况是（ ）
（A）有两个不相等实数根（B）有两个相等实数根（C）没有实数根（D）根的情 况无法判定
②乙两辆汽车同时分别从 A、B 两城沿同一条高速公路驶向 C 城.已知 A、C 两城 的距离为 450 千米，B、C 两城的距离为 400 千米，甲车比乙车的速度快 10 千米/时，结果两辆车同时到达 C 城.求两车的速度 解
③某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求 每次降价的百分率.（精确到 0.1%） 解
代数部分
第三章：方程和方程组
基础知识点：
一、方程有关概念
1、方程：含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的
方程的解也叫做方程的根。
3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。
4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。
5．（浙江）已知方程 x2 + 2 px + q = 0 有两个不相等的实数根，则 p 、q 满
足的关系式（ ）
A、p2 − 4q 0
B、p2 − q 0
C、p2 − 4q 0
D、p2 − q 0
6.根与系数的关系：x1＋x2=
−
b a
，x1x2=
c a
例题：（浙江富阳市）已知方程 3x2
+ 2x
② 填空： （1）x2＋6x＋（ ）＝（x＋ ）2； （2）x2－8x＋（ ）＝（x－ ）2； （3）x2＋ 3 x＋（ ）＝（x＋ ）2 2
1
（3）判别式△＝b²－4ac 的三种情况与根的关系
当 0时
有两个不相等的实数根 ，
当 = 0时
有两个相等的实数根
当 0时
没有实数根。
当△≥0 时
有两个实数根
例题：.解方程： （1） x − 1+ x = 1
33
解：
（2） x + 2 − x −1 = 2 − x 32
解：
（3）【05 湘潭】 关于 x 的方程 mx+4=3x+5 的解是 x=1，则 m=
。
2、一元二次方程
（1） 一般形式： ax2 + bx + c = 0(a 0)
（2） 解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法
二、一元方程
1、一元一次方程
（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中 x 是未知数，a、b 是已知数，a≠0）
（2）一元一次方程的最简形式：ax=b（其中 x 是未知数，a、b 是已知数，a≠0）
（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为 1。
（4）一元一次方程有唯一的一个解。
−11 =
0 的两根分别为
x1 、x2
，则
1 x1
+
1 x2
百度文库
的值是（ ）
A、 2
11
B、 11
2
C、 − 2
11
D、 − 11
2
例 3、求作一个一元二次方程，使它的两个根分别比方程 x2 − x − 5 = 0 的两个根小 3
根的判别式及根与系数的关系
例 4、已知关于 x 的方程： ( p −1)x2 + 2 px + p + 3 = 0 有两个相等的实数根，求 p 的值。
例 5、已知 a、b 是方程 x2 − 2x −1 = 0 的两个根，求下列各式的值：
2
（1） a2 + b2 ；（2） 1 + 1 ab
分式方程的解法步骤：
（1） 一般方法：选择最简公分母、去分母、解整式方程，检验
（2） 换元法
例题：①、解方程： 4 + 1 = 1 的解为
x2 − 4
x−2
x2 − 4 = 0 根为 x2 + 5x + 6
求根公式 ax2 + bx + c = 0(a 0)
①、解下列方程： （1）x2－2x＝0； （3）(1－3x)2＝1； （5）（t－2）（t+1）=0； (7 )2x2－6x－3＝0；
解：
( ) x = − b b2 − 4ac b2 − 4ac 0 2a
（2）45－x2＝0； （4）(2x＋3)2－25＝0. （6）x2＋8x－2＝0 （8）3（x－5）2＝2（5－x）