余数和周期问题

小学奥数知识点：余数问题
余数、同余与周期
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。

二、同余的性质：
①自身性：a≡a(mod m);
②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m);
③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m);
④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mo d m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m);
⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m);
⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m);
⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c);
三、关于乘方的预备知识：
①若A=a×b，则MA=Ma×b=(Ma)b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或(mod
3);
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);
五、费尔马小定理：如果p是质数(素数)，a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。

第四讲周期问题知识导航解决周期问题时，关键在于找到周期的长度．只要能找到周期的长度，再用总数除以周期长度，得到的商就是完整的周期的个数，余数就是除去完整周期的部分后剩下的个数．例1：2001年10月1日是星期一，问10月25日是星期几？解析：我们知道，每个星期有7天，也就是说以7天为一个周期不断地重复。

那么从10月1日到10月25日经过了25—1=24（天）。

因此用除法算式解答。

解：（1）从10月1日到10月25日有：25—1=24（天）（2）24天里有多少个星期余多少天？24÷7=3（个星期）……3（天）（说明24天中包含3个星期还多3天，最后一天起，再过3天就应是星期四）答：10月25日是星期四。

(注：在计算日期的过程中，日期一般“算头不算尾”数星期的时候也要从当天的后面数起。

本题中的当天是星期一，应该从星期二数起。

)【巩固1】2001年5月3日是星期四，问5月20日是星期几？解析：天数比较少，容易计算，而且出现在同一个月内。

解：20-3=17天17÷7=2 (3)从星期五数起，第三天是星期日。

【巩固2】公历2000年1月1日是星期六，公历2008年1月1日是星期几？解析：先求出从公历2000年1月1日到公历2008年1月1日一共经过的天数，其中平年有6年，闰年有2年，最后还有2008年1月1日这一天。

（天）从星期六开始数4天得星期二，所以公历2008年1月1日是星期二。

例2：100个3相乘，积的个位数字是几？解析：我们只需考虑积的个位数的排列规律就可以了。

解：（1）1×3=3……1个3相乘积的个位数字是：3（2）3×3=9……2个3相乘积的个位数字是：9（3）3×3×3=27……3个3相乘积的个位数字是：7（4）3×3×3×3=81……4个3相乘积的个位数字是：1（5）3×3×3×3×3=243……5个3相乘积的个位数字是：3（已经重复出现）规律：可以发现积的个位数分别以3、9、7、1不断出重复出现的。

带余除法。

一般地，如果.α是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，使得α÷b＝q……r或α＝b×q＋r当r=0时，我们称α能被b整除。

当r≠0时，我们称α不能被b整除，r为α除以b的余数，q为α除以b的不完全商(也简称为商)。

带余除法最关键就是理清被除数、除数、商、余数的关系，特别需要注意的是，余数肯定小于除数。

出题者常常会在这里设置陷阱。

㈡余数周期。

这其中又分为递推数列（给一串数，要求第χ个数除以某个数的余数）和n次幂（求一个数的n次方除以某个数的余数）相关的余数问题，处理这两类问题一个最直接的做法就是找规律，因为它们除以某数的余数都是有周期的。

例如，求3130÷13的余数。

例如尖子班作业1。

㈢同余问题。

1、什么是“同余”？整数α和b除以整数c，得到的余数相同，我们就说整数α、b对于模c同余。

记作：α ≡b （mod c）例如：15÷4＝3 (3)23÷4＝5 (3)15和23对于除数4同余。

记作：15 ≡23 （mod4）可以理解为15和23除以4的余数相同。

2、“同余”的四个常用性质是什么？同余性质1：如果α ≡ b (mod m)，则m︱（α－b）若两数同余，他们的差必是除数的倍数。

例如，73 ≡23 (mod 10)则10︱（73－23）73与23的差是10的倍数。

同余性质2：如果α ≡ b (mod m)，c ≡d (mod m),则α ± c ≡ b ± d (mod m)两数和的余数等于余数的和。

两数差的余数等于余数的差。

例如，73 ≡3 (mod 10)84 ≡4 (mod 10)73+84 ≡3+4≡ 7 (mod 10)84－73≡4－3≡1 (mod 10)同余性质3：如果α ≡ b (模m)，c ≡d (模m),则α × c ≡ b×d (模m)两数积的余数等于余数的积。

三、同余特性的具体应用1、计算周期问题例1：今天是星期一，再过天是星期几?再过天是星期几?再过天是由同余的第四条性质决定的，余数的幂即幂的余数，即12010，最后还是，所以再过天依然是星期二。

再过天，根据余数的幂决定幂的余数，因为2012除以7余3，所以除以7的余数决定于幂的余数，即，因为3的平方为9，9除以7余数为2，2的三次方为8，8除以7余1，换句话说就是3的六次方除以7余1，所以我们只需要去寻找2011除以6的余数就可以了，2011除以6余1，所以除以7的余数决定于除以7的余数，即3。

例2：:310被一个数两位数除，余数是37，这个两位数是多少？解析．310－23=273=3×7×13大于37的两位约数有3×13=39，7×13=91，这样的两位数有两个：39和91。

例3：:有一个自然数，用它分别去除63、90、130都有余数，三个余数的和为25，这三个余数中最小的一个是几？解：（1）这个自然数一定小于63，不然的话它除63的余数就是63了；（2）这个自然数一定比9大，因为三个余数的平均数大于8；（3）根据同余的规律，这个自然数能被63＋90＋130－25的差258整除。

所以只要找出258比9大，比63小的约数就可以了。

258=2×3×43。

258比9大，比63小的约数只有43。

答：这个自然数是43。

例4：:有一个整数，除300，262，205，得到相同的余数（且余数都不为0）。

这个整数是多少？解析：根据同余，300－262=38，262－205=57，这个数是（57，38）=19。

例5：:某数除1186余1，除2609余2，除4263少3，这个数最大是多少？解析．（1186－1），（2609－2），（4263＋3）一定能被某数整除。

于是2607-1185=1422=2×3×3×79，4266-2607=1659=3×7×79这个数最大是3×79=237。

求余数找规律陈开金我们知道，任给一个整数A ，将自然数1，2，3，4，…依次除以A ，所得的余数总是循环重复出现，呈周期性变化。

例如，连续自然数1，2，3，4，5，6，…，依次除以3，所得的余数分别为1，2，0，1，2，0，…每隔3个循环一次。

连续自然数1，2，3，4，5，6，…依次除以4，所得的余数分别为1，2，3，0，1，2，3，0，…每隔4个就重复出现一次。

连续自然数1，2，3，4，5，6，…依次除以5，所得的余数分别为1，2，3，4，0，1，2，3，4，0，…每隔5个就重复出现一次。

巧妙借用这个模型，常常能快速解决问题。

现以2005年中考试题为例说明。

例1. 把编号为1，2，3，4，…的若干盆花按图1所示摆放，花盆中的花按红、黄、蓝、紫四种颜色依次循环排列，则第8行从左边数第6盆花的颜色为__________色。

图1解析：由于编号为1，2，3，4，…的花按红、黄、蓝、紫四种颜色依次循环排列，每隔4盆就重复出现一次，因此，将花盆的序号除以4，余数为1的就与第1盆花同色，为红色；余数为2的就与第2盆花同色，为黄色；余数为3的就与第3盆花同色，为蓝色；余数为0的则与第4盆花同色，为紫色。

从第1盆到第8行自左边数第6盆，序号为()1234567634+++++++=。

由于34除以4的余数为2，因此应该为黄色。

例2. 如果将点P 绕定点M 旋转180°后与点Q 重合，那么称点P 与点Q 关于点M 对称，定点M 叫做对称中心。

此时M 是线段PQ 的中点。

如图2所示，在直角坐标系中，△ABO 的顶点分别为A （1，0），B （0，1）O （0，0）。

点列P1，P2，P3，…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称：点P1与点P2关于点A 对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，…对称中心分别是A，B，O，A，B，O，…这些对称中心依次循环。

二年级数学下册教案-6 有余数的除法-周期问题73-人教版教学内容本节课的内容为《有余数的除法》中的“周期问题”，选自人教版二年级数学下册。

课程旨在引导学生理解有余数除法中的周期性现象，并能够运用所学知识解决实际问题。

教学目标1. 知识与技能：使学生掌握有余数除法中周期问题的概念，并能运用其解决实际问题。

2. 过程与方法：通过观察、分析、讨论等活动，培养学生发现问题和解决问题的能力。

3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生合作学习的意识。

教学难点理解有余数除法中周期问题的概念，并能将其应用于实际问题。

教具学具准备1. 教具：PPT、黑板、粉笔2. 学具：练习本、铅笔教学过程一、导入通过PPT展示生活中的周期现象，如日历、四季更替等，引导学生发现周期性。

二、探究1. 教师引导学生观察有余数除法的算式，让学生发现其中的周期性。

2. 学生分组讨论，每组尝试找出一个有余数除法的周期问题，并分享给全班同学。

3. 教师总结并讲解周期问题的概念。

三、实践1. 教师给出几个实际问题，让学生尝试运用周期问题的知识来解决。

2. 学生独立完成练习，教师巡回指导。

四、总结教师引导学生总结本节课所学内容，强调周期问题的应用。

板书设计1. 有余数的除法2. 周期问题3. 实际问题应用作业设计1. 完成练习册上的相关习题2. 观察生活中的周期现象，并尝试用除法表示出来课后反思本节课通过观察、探究、实践等环节，使学生掌握了有余数除法中周期问题的概念，并能够将其应用于实际问题。

在教学过程中，教师应注重引导学生发现问题和解决问题，培养学生的数学思维和应用能力。

重点关注的细节是“教学过程”的“探究”环节。

这个环节是学生理解和掌握周期问题概念的关键步骤，也是培养学生观察、分析、讨论等能力的重要环节。

探究环节的详细补充和说明1. 观察有余数除法的算式在这个环节，教师可以通过PPT展示一些具体的除法算式，例如：- 7 ÷ 3 = 2 余 1- 8 ÷ 3 = 2 余 2- 9 ÷ 3 = 3 余 0- 10 ÷ 3 = 3 余 1- 11 ÷ 3 = 3 余 2- 12 ÷ 3 = 4 余 0然后引导学生观察这些算式，并提问：“你们发现了什么规律？”学生可能会发现，每隔两个算式，余数就会重复一次，即“1, 2, 0”这个序列不断重复。

人教版数学三年级下册-打印版
用有余数的除法解决“周期问题”
事物在运动变化的过程中，某些特征循环往复出现，我们把这种特殊的规律性问趱称为周期问题，这类问题一般要利用余数的知识来解答。

在解答本类型题时，要判断不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，循环的固定数的个数为一个周期。

看所求的数中合有几个周期，余数是多少，余数1、2、3…分别和周期的第一个数、第二个数、第三个数……相对应，从而可找出问题的答案。

例题：商场楼前安装了一串彩灯，按照2黄、4红、2绿的顺序排列，第96盏彩灯是什么颜色？
分析从题意可知，彩灯以8盏为一个周期不断重复，要知道第96盏彩灯是什么颜色，就要计算96盏彩灯里包含几个这样的周期。

如果正好是整周期，说明第96盏彩灯正好是一个周期中的最后一盏，即绿色，如果有余数，多出的再按2黄、4红、2绿的顺序往下数。

解答2+4+2=8（盏）96÷8=12所以第96盏彩灯是绿色。

三、余数周期问题一、考点、热点回顾1、在除法中，当被除数除以除数（除数不等于0）出现了余数（余数要比除数小），就称为有余数的除法。

在有余数的除法中，我们要记得：（1）被除数=商×除数＋余数（2）除数=（被除数－余数）÷商2、有余数除法的侧重点往往不是商，而是余数。

要通过余数寻找对应的顺序位置求解，这点与以往的解题思路有所不同。

解题过程中要注意余数比除数小。

同时，要知道余数的最大值（除数-1）和最小值（1）3、余数应用：在一些题目中，我们可以根据余数来寻找事物的排列规律，从而培养概括推理能力。

4、应用周期性规律时，首先要确定变化的周期是几，其中有些是属于常识性知识，如每周有7天，生肖由12种动物组成等，而有些变化周期要进行观察、判断。

二、经典例题例1．写出所有除以5所得的商和余数相同的数？解析：余数要比除数小，所以余数只能比5小，只能为1，2，3，4，再根据被除数=商×除数＋余数来求出被除数。

例2．找出下列图形排列的规律，根据规律推算出第16个图形是什么？（1）□△△□△△□△△□△△。

（2）☆○○△☆○○△☆○○△。

解析：（1）每□△△为一组，显然16÷3=5……1，根据余数的规律，可以判断出第16个图形是□；（2）每☆○○△为为一组，显然16÷4=4，说明第16个图形恰好是△。

例3．国庆节挂彩灯，按“红、黄、蓝、白、绿、紫”的顺序，一共挂了50只彩灯。

问：第50只彩灯是什么颜色？红色彩灯共有多少只？解析：我们可以把6只彩灯看做一组，那么50÷6=8……2，余数的2只是第9组的前两只，所以第50只彩灯是黄色。

红色彩灯有8+1=9只。

例4．有一列数：2，3，5；2，3，5；2，3，5；…？（1）第26个数是几？（2）这26个数的和是多少？解析：从这列数可以看出来2，3，5是一组，因此26个数可以组成26÷3=8……2；要求出这26个数的和，可以先求出一组数的和10。

小学二年级数学--周期问题一、周期问题1.按照一定规律，不断重复出现的规律叫做周期问题2.周期重复出现的一组数就是一周期，但周期是一个数比如：1，2，3，1，2，3，1，2，3……其中1，2，3就是一个周期，它的周期=33.计算总数÷周期＝组数……余数4.有余数：余几就是周期里的第几个5.无余数：周期里的最后一个二、类型1.求第几个看余数2.求出现几次一组里有几个×组数＋余数里的个数3.求和一组和×组数＋余和马路边按“绿、黄、蓝、橙、红、白”的顺序整齐地排列着一排自行车，请你算一算第54辆自行车是什么颜色？【答案】白色【解析】这些车的摆放是按“绿、黄、蓝、橙、红、白”的顺序重复排列的，那么我们可以把6辆自行车看成一组．54÷6=9（组），第54辆是第9组最后一辆自行车，所以是白色．有一行数如下图，在前28个数中数字“2”一共出现了几次？2，3，1，2，3，1……【答案】10【解析】这行数是按“2，3，1”三个数为一组依次重复出现的，28÷3=9（组） (1)（个），余下的这个数是2，前面9组中，2在每组只出现一次，所以一共出现9×1+1=10（次）．有一行数如下图，那么前35个数的和是______．1，3，5，7，1，3，5，7……【答案】137．【解析】这行数是按“1，3，5，7”四个数为一组重复出现的．35÷4=8（组） (3)（个），每组数的和是1+3+5+7=16，那么前35个数的和是16×8+（1+3+5）=137．本讲挑战拓展1.小朋友们玩游戏，如图，有16把椅子摆成一个圆圈，依次编上从1到16的号码．现在小林从第1号椅子顺时针走28个，再逆时针走45个，又顺时针走32个，再逆时针走69个，又顺时针走36个，这时他到了第几号椅子？拓展2.时钟的钟面上共有1到12这12个位置，红红从其中一个位置开始数，按顺时针方向数数：1，2，3，4……数到40停下，正好停在8时的位置，那么她是从哪一个位置开始数的？拓展3.时钟的钟面上共有1到1这12个位置，红红从其中一个位置开始数，按顺时针方向数数，数到50停下，正好停在4时的位置，那么她是从哪一个位置开始数的？拓展4.时钟的钟面上共有1到1这12个位置，红红从其中一个位置开始数，按逆时针方向数数，数到40停下，正好停在4时的位置，那么她是从哪一个位置开始数的？参考答案1.【答案】15号【解析】小林从第1号椅子顺时针走28个，再逆时针走45个，又顺时针走32个，再逆时针走69个，又顺时针走36个，小林顺时针走了28+32+36=96（个）椅子，逆时针走45+69=114（个）椅子，顺时针走96个椅子，再逆时针走114个椅子，实际只逆时针走了114-96=18（个）椅子，18÷16=1（圈）……2（个），小林现在的位置应该是逆时针走2个椅子，就到了15号椅子的位置．2.【答案】从5时开始数．【解析】钟面上每数12次就会回到原处，顺时针数到40时，40÷12=3（圈）……4(个），说明经过3个整圈之后还多数了4个．而到了8，倒推回去所以红红从5时开始数的．3.【答案】从3时开始数．【解析】钟面上每数12次就会回到原处，顺时针数到50时，50÷12=4（圈）……2(个），说明经过4个整圈之后还多数了2个．而到了4，倒推回去所以从3时开始数的．4.【答案】从7时开始数．【分析】钟面上每数12次就会回到原处，逆时针数到40时，40÷12=3（圈）……4(个），说明经过3个整圈之后还多数了4个．而到了4，倒推回去所以从7时开始数的．。

有趣余数之性质与周期一、基本概念余数：我们在做除法运算的时候，被除数不能被除数整除，有剩余，这个剩余部分的数我们把它叫做余数。

被除数÷除数=商…余数注：当余数大于0时也可称为不完全商被除数=除数⨯商+余数除数=（被除数-余数）÷商商=（被除数-余数）÷除数二、余数的性质余数的几个重要性质：性质1：在带余除式中，余数总是比除数小。

性质2：A、B两数如果被同一除数来除，得到两个余数，那么A、B两数之和被这个除数除，它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数。

性质3：A、B两数如果被同一除数来除，得到两个余数，那么A、B两数的积被这个除数除，它的余数就是两个余数的积被这个除数除所得的余数。

三、余数与周期常考题型：1.图形中的周期问题；2.数列中的周期问题；3.年月日中的周期问题。

做题是需要注意几点：1.观察：数、图形或事物的变化是否重复出现并具有周期性。

2.确定：每几个数循环一次，周期长度是多少。

3.分析：每个循环节是按什么次序排列的。

4.注意：解答时要考虑把所得的余数同一个循环节内某种状态相对应。

例如：余数为3，就找循环节里面的第3个状态。

【例1】在算式( )÷15=12……( )中，被除数最大是几？最小是几？【巩固】哪些数除以6，能使商与余数相等。

【例2】一个数除以7余3，另一个数除以7余4，这两个数的和除以7余几？【巩固】求478⨯296⨯351除以17的余数。

【例3】有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？【巩固】流水线上生产小木球涂色的次序是:先5个红，再4个黄,再3个绿，再2个黑，再1个白，然后再依次是5红，4黄，3绿，2黑，1白，…继续下去第1993个小珠的颜色是色。

【例4】2002年元旦是星期二，那么，2003年1月1日是星期几？【巩固】2002年的6月1日是星期六，问这一年的10月1日是星期几？【例5】有一个数列：1，2，3，5，8，13，……。

周期余数练习题在数学中，我们经常会遇到周期余数的概念。

周期余数是指在做除法运算时，除数与被除数之间的差异。

本文将介绍一些周期余数练习题，让我们一起来解决这些有趣的数学问题。

1. 题目一有一个时钟的秒针每过一秒都会指向 0 到 59 中的某个数字。

现在假设时钟开始指向 0 ，并且随着时间的流逝，秒针将会逐渐地指向下一个数字。

请问，时钟指向 3 的次数是多少？解答：我们观察到时钟的指针每过 10 秒就会回到之前的位置，因此它的周期为 10。

而在一个周期内，我们可以计算出 0 到 9 中共有两个数字是 3 ，分别是 3 和 13。

所以时钟指向 3 的次数为 2。

2. 题目二对于一个自然数n（n>1），如果它除以2的余数为1，除以3的余数为2，除以4的余数为3，以此类推，最后除以 n-1 的余数为 n-2，那么这个数是多少？解答：我们可以通过列举的方法来寻找答案。

假设这个数为 x ，则根据题目描述，我们可以列出以下等式：x = 2a + 1x = 3b + 2x = 4c + 3...x = (n-1)d + n-2其中 a,b,c,...,d 为自然数。

观察等式右边的常数项，我们可以发现它们是连续递增的，且和 n-1 同余。

根据这个特性，我们可以列出方程：x ≡ n-2 (mod n-1)根据同余的性质，我们知道 x 的取值为 n-1 和 2n-1。

但由于题目要求 x 大于1，所以只有 x = 2n-1 才符合条件。

因此，这个数就是 2n-1。

3. 题目三给定三个正整数 a、b 和 n ，我们可以计算 a 的 n 次幂，然后对 b取余数。

请问，计算出来的余数是多少？解答：我们可以使用取余运算的性质来简化问题。

根据题意，我们需要计算a 的n 次幂对b 取余数，那么我们可以通过以下步骤来完成：1) 计算 a 对 b 取余数的结果记为 x。

2) 计算 x 的 n 次幂。

3) 对结果再次对 b 取余数。

第二讲周期问题（二）余数的妙用一、知识要点较复杂的周期问题，难点在于从现象或规律中寻找周期，其解题步骤一般如下：1.仔细观察出现的现象，认真分析循环规律，总结出经过几次又开始重新开始，得出一个周期是几。

(一个循环中经过的次数就是一个周期数)2.周期问题的计算方法：总数\一个周期数=几个周期数......还剩下几个。

余数就是不够一个周期，还剩下的个数，如果余数是1，就和周期中的第一个一样，如果余数是2，就和周期中的第二个一样......余数是几，就和周期中的第几个一样。

如果正好整除，没有余数，就和周期中的最后一个一样。

3.有时周期现象并不是从第一个开始的，那就先从总数中减去不成周期的个数，在计算。

二、自我探究【例1】小华数左手的手指，大拇指为1，食指为2，中指为3，无名指为4，小拇指为5.然后换方向再数，小拇指为6，无名指为7，中指为8，食指为9，大拇指为10.再次换方向数，大拇指为11……这样数到55，停在哪个手指上？【例2】在1-2016中能被7整除的数有多少个？能同时被2、3、5整除的数有多少个？【例3】把珠子一个一个地如下图按顺序往返不断投入A、B、C、D、E、F袋中.第1992粒珠子投在_____袋中.【例4】1、2、3、4、5、6、7七盏灯各有一个开关，开始第2、4、6盏灯亮着，一个小朋友从第1到第7，再从第1到第7，拉了2000次，问这时那些灯亮着？三、自我挑战第一关：1.2016年3月21日星期一，2017年的元旦是星期几？2.有一排黑白旗子按下图排列，一共有109面旗子，这排旗子的最后一面是黑色的，那么一共有多少面黑色的旗子？第45面旗子是什么颜色的？前面50面旗子中共有多少个黑色的旗子，多少个白色的旗子？3.小猫咪A、B、C、D、E、F排队依次从猫妈妈手中领鱼干，每只小猫咪每次领一条，领完后再到队尾继续排队领，直到鱼干发完，若猫妈妈有278条鱼干，则最后一个领到鱼干的小猫咪是_________。