考研数学二考试真题答案解析

2021考研数学二考试历年真题及答案详解

一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上）

1.当x→0时，是x7的（）。

A．低阶无穷小

B．等价无穷小

C．高阶无穷小

D．同阶但非等价无穷小

【答案】

C

【考点】

常用等价无穷小；

【解析】

因为当x→0时，，所以

是x7的高阶无穷小，故选C项。

2.函数，在x＝0处（）。

A．连续且取极大值

B．连续且取极小值

C．可导且导数为0

D．可导且导数不为0

【答案】

D

【考点】

连续和可导的定义；

【解析】

因为

故f（x）在x＝0处连续。因为

故f′（0）＝1/2，

故选D项。

3.有一圆柱体，底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s，－3cm/s，当底面半径为10cm，高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为（）。

A．125πcm3/s，40πcm3/s

B．125πcm3/s，－40πcm3/s

C．－100πcm3/s，40πcm3/s

D．－100πcm3/s，－40πcm3/s

【答案】

C

【考点】

复合函数求导；

【解析】

由题意知，dr/dt＝2，dh/dt＝－3，有V＝πr2h，S＝2πrh＋2πr2，则

当r＝10，h ＝5时，dV/dt＝－100π，dS/dt＝40π，故选C项。

4.设函数f（x）＝ax－blnx（a＞0）有2个零点，则b/a的取值范围为（）。A．（e，＋∞）

B．（0，e）

C．（0，1/e）

D．（1/e，＋∞）

【答案】

A

【考点】

函数单调性及极值；

【解析】

20XX 年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题及答案解析

一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的。） (1)下列反常积分中收敛的是 (A) 1

x

+∞2dx (B) lnx

x

+∞2

dx

(C) 1xlnx

+∞2

dx (D) x

e x

+∞2

dx

【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。 1

x +∞2

dx =2 x 2+∞

=+∞；

lnx

x +∞2dx =

lnx +∞

2d (lnx )

=12

(lnx )2

2

+∞=+∞；

1xlnx

+∞2

dx = 1

lnx

+∞2

d (lnx )=ln ⁡(lnx ) 2+∞

=+∞；

x e x +∞

2

dx =− x +∞2de −x =−xe −x

2+∞+ e −x +∞2

dx =2e −2−e −x 2

+∞

=3e −2， 因此(D)是收敛的。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f x =lim t→0(1+

sin t x

)x 2

t

在(-∞,+∞)内

(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B

【解析】这是“1∞”型极限，直接有f x =lim t→0 1+

sin t x

x 2t

=e lim t→0x 2

t 1+sin t

x

−1=e x lim t→0sint t=e x(x≠0),

f x在x=0处无定义，

且lim x→0f x=lim x→0e x=1,所以x=0是f x的可去间断点，选B。

2021年全国硕士研究生招生考试

数学（二）

（科目代码：302）

考试时间：180分钟，试卷总分：150分

考生注意事项

1．答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。2．选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。

3．填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。

4．考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。

(以下信息考生必须认真填写)

考生编号

考生姓名

一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选

项是符合题目要求的．1.当0x →，

2

3

(e 1)d x t t -⎰

是7x 的

A.低阶无穷小.

B.等价无穷小.

C.高阶无穷小.

D.同阶但非等价无穷小.

【答案】 C.【解析】

()()2

3

6

6

7

5

5

e 1d 2e

1

2lim

lim lim 077x t x x x x t x

x

x

x

→→→--===⎰,故选C.

2.函数e 1

,0,()1,

0x x f x x x ⎧-≠⎪

=⎨⎪=⎩在0x =处

A.连续且取极大值

B.连续且取极小值

C.可导且导数等于零

D.可导且导数不为零

【答案】D

【解析】因为)0(11e lim 0f x x

x ==-→，故连续；又因为211e 1

1e lim 2

20=--=--→x x x x x x x ，故可导，所以选D.

2015年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题及答案解析

一、选择题：1~8小题,每小题4分,共32分;下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的;

1下列反常积分中收敛的是

A ∫√x 2

B ∫lnx x +∞2dx

C ∫1xlnx +∞2dx

D ∫x e x +∞2dx

答案D;

解析题干中给出4个反常积分,分别判断敛散性即可得到正确答案;

∫√x

2=2√x|2+∞=+∞； ∫lnx x +∞2

dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞； ∫1xlnx +∞2

dx =∫1lnx +∞2d(lnx)=ln?(lnx)|2+∞=+∞； ∫x

e x +∞2dx =−∫x +∞2de −x =−xe −x |2+∞+∫e −x +∞2dx

=2e −2−e −x |2

+∞=3e −2, 因此D 是收敛的;

综上所述,本题正确答案是D;

考点高等数学—一元函数积分学—反常积分

2函数f (x )=lim t→0(1+sin t x )x 2

t

在-∞,+∞内 A 连续 B 有可去间断点

C 有跳跃间断点

D 有无穷间断点

答案B

解析这是“1∞”型极限,直接有f (x )=lim t→0

(1+sin t x )x 2t =e lim t→0x 2t (1+sin t x −1)=e x lim t→0sint t =e x (x ≠0),

f (x )在x =0处无定义,

且lim x→0f (x )=lim x→0

e x =1,所以 x =0是

f (x )的可去间断点,选B; 综上所述,本题正确答案是B;

且喜平常度，切忌神慌乱。畅游题海后，金榜题君名。考试在即，祝你成功。

2023年考研数学二真题及答案

一、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

1. 1

ln(e )1

y x x =+- 的斜渐近线为( ) A.e y x =+ B.1e y x =+ C.y x = D.1e

y x =- 【答案】B.

【解析】由已知1ln e 1y x x ⎛⎫

=+

⎪-⎝⎭

，则 1lim

lim ln e ln e 11x x y x x →∞

→∞⎛⎫=+== ⎪-⎝⎭

， 11lim lim ln e lim ln e 111x x x y x x x x x x →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛

⎫⎛⎫-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝

⎭⎣⎦⎣⎦ 1lim ln e ln e 1x x x →∞

⎡⎤

⎛⎫=+- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦ 1lim ln 1e(1)x x x →∞⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦

1

lim

e(1)e

x x x →∞==-，

所以斜渐近线为1

e

y x =+

.故选B. 2.

函数0()(1)cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩

的一个原函数为（ ）.

A

．)ln ,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪

=⎨⎪+->⎩

B

．)

ln 1,0()(1)cos sin ,0

x x F x x x x x ⎧+≤⎪

=⎨⎪+->⎩

C

．)

ln ,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪

2020考研数学二真题及解析完整版

来源：文都教育

一、选择题：1~8小题，第小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.

1.0x +→，下列无穷小量中最高阶是（）

A.

()20e 1d x t t -⎰B.

(30ln d x t t ⎰C.

sin 20sin d x t t ⎰D.1cos 30

sin d t t -⎰答案：D

解析:A.()232001~3x x t x e dt t dt -=

⎰⎰B.(35322

002ln 1~5x x t dt t x =⎰⎰C.sin 223

001sin ~3x x t dt t dt x =⎰⎰D.2

311cos 32200sin ~x tdt t dt -⎰⎰251220

25x t =5

225

2152102x ⎛⎫== ⎪⎝⎭2.11ln |1|()(1)(2)x x e x f x e x -+=

--第二类间断点个数（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：C 解析：0,2,1,1x x x x ====-为间断点

11110000ln |1|ln |1|ln |1|lim ()lim lim lim (1)(2)222

x x x x x e x e x e x e f x e x x x ----→→→→+++===-=----0x =为可去间断点

1122ln |1|lim ()lim (1)(2)

x x x x e x f x e x -→→+==∞--2x =为第二类间断点1

2023年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题及答案

考试时间：180分钟，满分：150分

一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．

（1）曲线1

ln()1

y

x e x =+

−的斜渐近线方程为（ ） （A）y x e =+ （B）1

y x e

=+

（C）y x = （D）1

y x e

=−

【答案】B 【解析】1lim

limln()11

x x y k

e x x →∞→∞==+=−，

11

lim()lim()lim[ln(]lim [ln(ln ]

11

x x x x b y kx y x x e x x e e x x →∞→∞→∞→∞=−==−=+

−=+−−−111

lim ln(1lim (1)(1)x x x x e x e x e

→∞→∞=+==−−，所以渐进线方程为1y x e =+，答案为B

（2）设

0()(1)cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩

的一个原函数为（ ）

（A）),0

()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧⎪−≤=⎨

+−>⎪⎩

（B）)1,

0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧⎪−+≤=⎨

+−>⎪⎩

（C）),0

()(1)sin cos ,0

x x F x x x x x ⎧⎪+≤=⎨

++>⎪⎩

（D）)1,

0()(1)sin cos ,

x x F x x x x x ⎧⎪++≤=⎨

++>⎪⎩【答案】D

t3

t 2 2

x

10 2

x ®0

x (1- x )

x d x e -1 ln |1+ x |

-2x

= -e -1 2

ln | x +1| x = -e -1 2

¥

¥

ò

arcsin u · 1 arcsin x

x (1- x ) u 2

(1- u 2

)

x ®0

1- u 2

¶f

¶x arcsin u d 0 p

①

(0,0)

¶2 f

¶x ¶y ¶f

¶x

②

(0,0)

①

(0,0) = lim

-1 不存在.

(0,0)

y ®0 y xy = 0

(0,0)

x = 0

y = 0

¶x ¶y

6.设函数 f (x) 在区间[-2, 2] 上可导，且 f ¢(x) >f (x) > 0 ，则（ ）

f (-2)

> 1

f (-1)

f (0) f (-1)

f (1) f (-1)

f (2) f (-1) >e <e2 <e3

答案：B

解析：由 f ¢(x) >f (x) > 0知

f ¢(x)

- 1 > 0

f (x)

即(ln f (x) -x)¢> 0

令F (x) = ln f (x) -x ，则 F (x)在[-2, 2]

上单增因-2 <-1 ，所以 F (-2) <F (-1)

即ln f (-2) + 2 < ln f (-1) + 1

f (-1)

>e

f (-2)

同理， -1 < 0, F (-1) <F (0)

即ln f (-1) + 1 < ln f (0)

f (0)

e

7.设四阶矩阵A=(a ij )不可逆，a12 的代数余子式A12 ¹0,a1,a2 ,a3 ,a4 为矩阵A的列向量 组. A* 为 A 的伴随矩阵.则方程组 A* x =0 的通解为（ ）.

2024年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题解析

一、选择题:1~10小题，每小题5分,共50分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

（1）函数)

2)(1(1

)(--=x x x

x f 的第一类间断点的个数是（

）

(A)3(B)2(C)1(D)0

【答案】(C)

【解析】无定义的点为1,2，0

e x

x x x =--→)

2)(1(1

1

lim ，+∞=--→-)

2)(1(1

2

lim x x x x

，+∞=--→+)

2)(1(1

lim x x x x

，所以第一类间断点的个数是1个，

故选C.

（2）设函数)(x f y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=23

1t e

y t

x 确定，则

=-++∞→)]2()22([lim f x f x x （）(A)e 2(B)34e (C)32e (D)

3

e

【答案】（B ）

【解析】容易看出函数)(x f 可导，且232)(2t t e dt

dx dt dy

x f t =='，当1

,2==t x 时，e t t

e f t t 3

232)2(1

22=='=，所以e f x

f x f f x f x x x 34)2(22)2(22lim 2)2(22lim ='=⎪

⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫

⎝⎛+=⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→+∞→，

故选B

（3）设函数⎰⎰

==

x

x

dt t f x g dt t x f 0

3

sin 0

)()(,sin )(，则（）

(A))(x f 是奇函数，)(x g 是奇函数(B))(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数(C))(x f 是偶函数，)(x g 是偶函数(D))(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上. （1）

）若函数1,0(),0x f x ax

b x ⎧->⎪

=⎨⎪≤⎩

在0x =处连续，则（） (A)12

ab =

(B)1

2

ab =-

(C)0ab = (D)2ab =

【答案】A

【解析】001112lim lim ,()2x x x

f x ax ax a

++

→→-==在0x =处连续11

.22

b ab a ∴

=⇒=选A. （2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''()0f x >，则（） 【答案】B

【解析】

()f x 为偶函数时满足题设条件，此时0

1

1

()()f x dx f x dx -=⎰⎰，排除C,D.

取2

()21f x x =-满足条件，则()1

1

21

1

2

()2103

f x dx x dx --=-=-

<⎰⎰

，选B. （3）设数列{}n x 收敛，则（）

()A 当limsin 0n n x →∞

=时，lim 0n n x →∞

=()B

当lim(0n n x →∞

=时，lim 0n n x →∞

=

()C 当2lim()0n n n x x →∞

+=时，lim 0n n x →∞

=()D 当lim(sin )0n n n x x →∞

+=时，lim 0n n x →∞

=

【答案】D

【解析】特值法：（A ）取n x π=，有limsin 0,lim n n n n x x π→∞

考研数学二真题2020答案解析

2020年的考研数学二真题备受关注，考生们对于每年的真题都有着浓厚的兴趣和渴望。针对2020年数学二真题，下面将进行答案解析，并对其中的一些难点进行详细讲解。

首先，我们来看看2020年数学二真题的整体难度。相较于往年，2020年的数学二真题整体难度较大。不同于以往的数学常规题目，

2020年的真题涉及到了一些较为复杂的推导和综合运用。这也意味着

考生们在备考过程中需要更多的实践和思考。

在具体解析答案前，我们先来看看2020年数学二真题的考点和

命题思路。这些考点包括了线性代数、概率论与数理统计、数学分析等。因此，考生们在备考过程中应该注重对这些知识点的系统掌握和

综合运用。

接下来，我们来逐个分析2020年数学二真题中的各个题目。

第一题是线性代数的题目，要求考生求解一个线性方程组。这是

一个基础题目，考生们只需要运用基础的线性代数知识即可解答。在

复习过程中，我们需要牢记线性方程组的求解方法以及相应的性质和

要点。

第二题是概率论与数理统计的题目，考生需要求解一个极限概率。这是一个较为复杂的题目，需要考生们运用到极限概率的相关知识和

技巧。在备考过程中，我们需要理解概率的定义和性质，并学会如何

运用到特定的问题中。

第三题是数学分析的题目，要求考生计算一个定积分。这是一个

难度较大的题目，涉及到了函数的性质和多种计算方法。备考过程中，我们需要学会掌握定积分的计算方法，了解收敛性和连续性的相互关系，并熟练运用到具体的题目中。

总结起来，2020年考研数学二真题整体难度较大，涉及到了线性代数、概率论与数理统计、数学分析等多个知识点。考生们需要在备

2021考研数学真题及答案解析(数二)

数学（二）

一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）

(1)当0x →时，2

3

0(1)x t e dt -⎰时7x 的

(A)低阶无穷小.(B)等价无穷小.(C)高阶无穷小.(D)同阶但非等价无穷小.

【答案】C.

【解析】因为当0x →时，2

3

670(1)2(1)2x t x e dt x e x '⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦

⎰ ，所以2

3

(1)x t e dt -⎰是7x 高阶无穷小，正

确答案为C.

(2)函数1

,0()=1,0x e x f x x x ⎧-≠⎪

⎨⎪=⎩

,在0x =处

(A)连续且取极大值.(B)连续且取极小值.(C)可导且导数为0.(D)可导且导数不为0.

【答案】D.

【解析】因为001

lim ()=lim 1(0)x x x e f x f x

→→-==，故()f x 在0x =处连续；

因为20001

1

()(0)11lim =lim lim 002

x x x x x e f x f e x x x x x →→→-----==

--，故1(0)2f '=，正确答案为D.(3)有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s ，3-cm/s ，当底面半径为10cm ，高为5cm 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为

(A)1253

/cm s π，402

/cm s π.

(B)1253

/cm s π，-402

/cm s π.

(C)-1003

2021考研数学真题及答案解析

数学(二)

一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.)

⑴当0时，£_

(/-i)必时％7的

(A)

低阶无穷小. (B)等价无穷小. (C)高阶无穷小. (D)同阶

但非等价无穷小. 【答案】C.

【解析】因为当时，=2x(/-1)〜2%7,所以边是％7高阶无穷小，正 确答案为C.

>-1

(2)函数 /(%>

#u

，在 ％=o 处 1,% = 0

【答案】D.

【解析】因为lim/⑶=lim —=1=/(0)，故/(%)在％ = 0处连续；

n_i x

因为 1in/(x )"(0

)=ii m

——=lim eX -1~X =-,故/'(0) =丄，正确答案为 D. x-0

x-0 %2 2 2

(3)有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s, -3 cm/s,当底面半径为10 cm ， 高为5 cm 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为

(A) 125 兀cm 3 / ^ , 40 兀cm 2 / 5 . (B) 125 7vcm 3 / s ，-40 7rcm 2 / s . (C) - 1007rcm 3 / 5 , 40 ncm / 5 . (D) -100 7rcm 3 / s ，-40 Ticm 1 / s . 【答案】C.

【解析】由题意知，— = 2, —= -3,又V = 7ir 2h.S = l7irh + l7ir 2

⑷设函数/(%) = ax-blnx(a>0)有两个零点，则$的取值范围是 (A) (e ，+oo).

2023考研数学二真题及解析

一、选择题：1~10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

1．曲线

1ln e 1y x x

=+ −

的斜渐近线方程为（ ）. （A ）e y x =

+

（B ）1e

y x =+

（C ）y

x = （D ）1e

y x =−

【答案】（B ）

【解析】方法1. 1ln e 11lim

lim x x y k x x →∞→∞

=+=

=− ()()11lim lim ln e 1lim ln e ln 111e 1x x x b y x x x x x →∞→∞→∞

=−=+−=++− −−

()11

lim e 1e

x x x →∞=− 故曲线的斜渐近线方程为1

e

y x =+

．故选（B ） 方法2. ()()11ln e 11ln 1e 1e 1y x x x x

=+=++

−−

()11ln 1e 1e x x x x α =++=++ −

，其中lim 0x α→∞=，故1

e y x =+为曲线的斜渐近线. 【评注】由()11lim ln 1e 1e x x x →∞

+

= − ，知()11ln 1e 1e

x x α +=+ − 【评注】1.由()11lim ln 1e 1e x x x →∞ += − ，知()11

ln 1e 1e x x α +=+ −

2.本题属于常规题：《基础班》《强化班》的例子不再对应列举，《答题模版班》思维定势19【例13】

2.

函数() 0,()1cos ,0.x f x x x x ≤=+>