高一数学人教b版必修4精练：3.1.1 两角和与差的余弦 含解析

课堂导学三点剖析一、两角和与差的余弦公式的推导和公式的运用【例1】 已知cosα=53,cosβ=135且α,β∈(0,2π),求cos(α-β). 思路分析:联系公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,已知α,β的余弦值,利用同角三角函数的基本关系式求出其正弦,用α,β单角的三角函数表示α与β两角差的余弦函数.解：由cosα=53,cosβ=135,且α,β∈(0,2π),得 sinα=54)53(1cos 122=-=-α, sinβ=1312)135(1cos 12=-=-β, ∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=53×135+6563131254=⨯. 各个击破类题演练 1求值:cos(225°-30°).解:cos(225°-30°)=cos225°cos30°+sin225°sin30° =42621)22(2322+-=⨯-+⨯-. 变式提升 1 已知α,β都是锐角,sinα=53,sin(α-β)=72,求cosβ的值. 解:因为α是锐角,sinα=53,所以cosα=54)53(1sin 122=-=-α. 因为α,β都是锐角,sin(α-β)=72>0,所以cos(α-β)=753)(sin 12=--βα. 所以cosβ=cos ［α-(α-β)］=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) =75354⨯+72×53=356512+. 二、公式的逆用熟练地逆用公式化简是三角变换中一类重要题型.解这类问题的方法是凑公式的形式,其中要熟练地掌握运用诱导公式.【例2】 求值:sin(4π+3x)cos(3π-3x)+cos(6π+3x)cos(4π+3x).思路分析:观察出题中出现的四个角的关系,从而运用诱导公式转化成只含有两个角的三角函数的关系是解决此题的关键,再逆用两角差的余弦公式.解：原式=sin(3x+4π)sin(6π+3x)+cos(6π+3x)cos(3x+4π) =cos ［(6π+3x)-(4π+3x)］=cos(6π-4π) =cos 6πcos 4π+sin 6π·sin 4π=426+. 类题演练 2化简cos(α+β)sin(2π-α)+sinαcos ［2π-(α+β)］. 解：原式=cosα·cos(α+β)+sinα·sin(α+β)=cos ［α-(a+β)］=cos(-β)=cosβ.变式提升 2已知cosα-cosβ=21,sinα-sinβ=31-,求cos(α-β)的值. 解：将cosα-cosβ=21和sinα-sinβ=31-的两边，分别平方并整理，得 cos 2α+cos 2β-2cosαcosβ=41， sin 2α+sin 2β-2sinαsinβ=91， 上述两式相加，得2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)=3613, 即cos(α-β)=7259. 三、公式的灵活运用 【例3】 设α∈R ,若sinα-3cosα=m m --464成立,试求实数m 的取值范围. 思路分析:要熟练掌握公式的形式和结构,再寻找等式两边有何特点,使等式两边的取值范围保持一致.解：∵sinα-3cos α=2(21sinα-23cosα) =2(sin30°sinα-cos30°cosα)=-2(cos30°cosα-sin30°sinα)=-2cos(α+30°),又∵α∈R ,∴-2≤-2cos(α+30°)≤2,即-2≤m m --464≤2.解得-1≤m≤37. ∴m 的取值范围是-1≤m≤37. 类题演练 3计算:cos15°-sin15°.解法一:原式=cos(45°-30°)-cos(45°+30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°-cos45°cos30°+sin45°sin30° =2sin45°·sin30°=2×22×21=22. 解法二:原式=2(22cos15°-22sin15°) =2(cos45°cos15°-sin45°sin15°) =2cos(45°+15°)=2cos60°=22. 变式提升 3在△ABC 中,sinA=53,cosB=135,求cosC 的值. 解:∵cosB=135>0,∴B<90°. ∴sinB=1312. 又sinA=53,∴cosA=54. (当cosA=-54时,∠A 为钝角,而sinB>sinA=sin(π-A), ∴B>π-A,即A+B>π,矛盾)∴cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=6516.。

两角和与差的余弦练习1．sin 75°cos 45°＋sin 15°sin 45°的值为( )A ．2-B ．12C ．2．－12．若sin(π＋θ)＝35-，θ是第二象限角，πsin 2ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( )A ．C D3．若sin α－sin β＝1cos α－cos β＝12-，则cos(α－β)＝( )A ．12BCD ．1 4．下列四个命题中的假命题是( )A ．存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βB ．不存在无穷多个α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βC ．对任意的α和β，有cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin βD ．不存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)≠cos α cos β－sin αsin β5．向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，a 与b 的夹角为60°，则直线x cos α－y sin α＝12与(x －cos β)2＋(y ＋sin β)2＝12的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交C ．相离D ．随α，β的值而定6．在△ABC 中，若sin A sin B ＜cos A cos B ，则△ABC 为________角三角形．7．已知α，β均为锐角，且sin α＝5，cos β＝10则α－β的值为________． 8．已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝45-，3π2＜α＋β＜2π，π2＜α－β＜π，求cos 2α.9．已知tan α＝cos(α＋β)＝1114-，α，β均为锐角，求cos β 的值．参考答案1．解析：先由诱导公式sin α＝cos(90°－α)，得sin 75°＝cos 15°.再由两角差的余弦公式，得sin 75°cos 45°＋sin 15°sin 45°＝cos 15°cos 45°＋sin 15°sin 45°＝答案：C 2．解析：由sin(π＋θ)＝35-，得3sin 5θ＝.又由θ是第二象限角，得4cos 5θ-＝.由πsin 25ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得cos 5ϕ-＝.又由φ是第三象限角，得sin 5ϕ-＝，则cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ＝4355⎛⎛⎛⎫-⨯+⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 答案：B3．解析：将两式平方后相加，可得2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝2有cos(α－β). 答案：B4．解析：由于选项C 是公式，故选项C ，D 显然正确；对于选项A ，当α＝2k π(k ∈Z )，β＝2k π＋π2(k ∈Z )时，πcos 2π2π02k k ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，cos 2k π·πcos 2π2k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋sin 2k π·πsin 2π2k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝0，因此存在无穷多个α，β的值，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β，但不是对任意的α，β均成立，所以选项A 正确，选项B 错误．答案：B5．解析：由已知易求得|a |＝2，|b |＝3，则cos 〈a ，b 〉＝6c o s c o s 6s i n s i n 23αβαβ⋅+=⨯a b a b ＝cos(α－β)＝12， 所以cos αcos β＋sin αsin β＝12.所以圆心(cos β，－sin β)到直线的距离为0=， 所以圆心在直线上，即圆与直线相交．答案：B6．解析：∵sin A sin B ＜cos A cos B ，∴cos(A ＋B )＞0.又A ＋B ＋C ＝π，∴cos(π－C )＞0，可得cos C ＜0，则角C 为钝角．∴△ABC 为钝角三角形．答案：钝7．解析：∵α，β均为锐角，∴cos αsin β. 又sin α＜sin β，∴α＜β.∴π2-＜α－β＜0.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝5105102+=. ∴α－β＝π4-. 答案：π4- 8．解：cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)， ∵3π2＜α＋β＜2π，∴sin(α＋β)＝35=-. 又∵π2＜α－β＜π，∴sin(α－β)35=. ∴cos 2α＝44337555525⎛⎫⎛⎫⨯---⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.9．解：∵tan α＝α为锐角，∴sin cos αα=sin 2α＝48cos 2α＝48(1－sin 2α)．解得sin α∴1cos 7α＝. 又cos(α＋β)＝1114-，且0＜α＋β＜π，∴sin(α＋β)＝14. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝11111472-⨯+=.。

3.1.1 两角和与差的余弦明目标、知重点 1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法推导出公式的主要步骤.3.熟记两角和、差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.两角和与差的余弦公式：C α＋β：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.C α－β：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.[情境导学]我们在初中时就知道cos 45°＝22，cos 30°＝32，由此我们能否得到cos 15°＝cos(45°－30°)＝？大家可以猜想，是不是等于cos 45°－cos 30°呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式.探究点一 两角差余弦公式的探索思考1 有人认为cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试举两例加以说明.答 不正确.例如：当α＝π2，β＝π4时， cos(α－β)＝cos π4＝22， 而cos α－cos β＝cos π2－cos π4＝－22， cos(α－β)≠cos α－cos β；再如：当α＝π3，β＝π6时，cos(α－β)＝cos π6＝32， 而cos α－cos β＝cos π3－cos π6＝1－32， cos(α－β)≠cos α－cos β.思考2 请你计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想.①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝1＝cos 0°；②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝32＝cos 30°； ③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0＝cos(－90°)；④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝12＝cos(－60°). 猜想：cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)；即：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.探究点二 两角差余弦公式的证明思考 如图，以坐标原点为中心，作单位圆，以Ox 为始边作角α与β，设它们的终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，请回答下列问题：(1)P 点坐标是(cos α，sin α)，向量OP →＝(cos α，sin α)，|OP →|＝1.Q 点坐标是(cos β，sin β)，向量OQ →＝(cos β，sin β)，|OQ →|＝1.(2)当α为钝角，β为锐角时，α－β和向量OP →与OQ →的夹角〈OP →，OQ →〉之间的关系是：α－β＝〈OP →，OQ →〉；当α为锐角，β为钝角时，α－β和向量OP →与OQ →的夹角〈OP →，OQ →〉之间的关系是：α－β＝－〈OP →，OQ →〉；当α，β均为任意角时，α－β和〈OP →，OQ →〉的关系是：α－β＝2k π±〈OP →，OQ →〉，k ∈Z .(3)向量OP →与OQ →的数量积OP →·OQ →＝|OP →||OQ →|·cos 〈OP →，OQ →〉＝cos(α－β)；另一方面，OP →与OQ→的数量积用点坐标形式表示：OP →·OQ →＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β.从而，对任意角α，β均有cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.例1 利用和、差角余弦公式求cos 75°、cos 15°的值.解 cos 75°＝cos(45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝22×32－22×12＝6－24；cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝22×32＋22×12＝6＋24. 反思与感悟 在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题.然后利用公式化简求值.而把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：cos 15°＝cos(60°－45°)，要学会灵活运用.跟踪训练1 求cos 105°＋sin 195°的值.解 cos 105°＋sin 195°＝cos 105°＋sin(90°＋105°)＝cos 105°＋cos 105°＝2cos 105°＝2cos(135°－30°)＝2(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°)＝2⎝⎛⎭⎫－22×32＋22×12＝2－62. 例2 已知sin α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos β＝－513，β是第三象限角，求cos(α－β)的值. 解 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝45. 由此得cos α＝－1－sin 2α＝－ 1－⎝⎛⎭⎫452＝－35， 又因为cos β＝－513，β是第三象限角， 所以sin β＝－1－cos 2β＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－5132＝－1213. 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－513＋45×⎝⎛⎭⎫－1213＝－3365. 反思与感悟 (1)注意角α、β的象限，也就是符号问题.(2)三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换.常见的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等.跟踪训练2 设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α＋β2的值.解 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α－β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π，α2－β∈⎝⎛⎭⎫－π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－181＝459， cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－49＝53. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527. 探究点三 两角和与差的余弦公式的应用思考1 若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？答 cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)·sin β.思考2 利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？答 cos β＝cos[(α－β)－α]＝cos(α－β)cos α＋sin(α－β)·sin α.思考3 若cos α－cos β＝a ，sin α－sin β＝b ，则cos(α－β)等于什么？答 cos(α－β)＝2－a 2－b 22. 例3 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求β的值. 解 ∵α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114， ∴sin α＝1－cos 2α＝437， sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314. 又∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12.又∵β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴β＝π3. 反思与感悟 (1)本题属“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找区间)；③确定角的值.(2)确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.跟踪训练3 已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求角β的值.解 由α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213， 得sin(α－β)＝513， 由α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213， 得sin(α＋β)＝－513. cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝1213×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－513×513＝－1. 又∵α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴2β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2. ∴2β＝π，则β＝π2.1.cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( )A.12B.13C.32D.33答案 A解析 cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝12，故选A. 2.sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°的值是( )A.32B.12C.－32 D.－12 答案 B解析 sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos60°＝12. 3.12sin 60°＋32cos 60°＝ . 答案 32解析 原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60°＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝32. 4.已知锐角α、β满足sin α＝55，cos β＝31010，求α＋β. 解 ∵α、β为锐角且sin α＝55，cos β＝31010， ∴cos α＝1－sin 2α＝1－15＝255， sin β＝1－cos 2β＝1－910＝1010， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255·31010－55·1010＝22. 由0<α<π2，0<β<π2得0<α＋β<π， 又cos(α＋β)>0，∴α＋β为锐角，∴α＋β＝π4. [呈重点、现规律]1.公式C α－β与C α＋β都是三角恒等式，既可正用，也可逆用.要注意公式的结构特征. 如：cos αcos β±sin αsin β＝cos(α∓β).2.要注意充分利用已知角与未知角之间的联系，通过恰当的角的变换，创造出应用公式的条件进行求解.3.注意角的拆分技巧的积累，如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β＝α＋β2＋α－β2等.一、基础过关1.化简：cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)得( )A.12B.－12C.32D.－32答案 A解析 原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝12. 2.计算：cos 70°cos 335°＋sin 110°sin 25°的结果是( )A.1B.22C.32D.12答案 B解析 原式＝cos 70°cos 25°＋sin 70°sin 25°＝cos(70°－25°)＝cos 45°＝22. 3.在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为( )A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形 答案 D解析 ∵sin A sin B <cos A cos B ，∴cos A cos B －sin A sin B >0，∴cos(A ＋B )>0即cos(π－C )>0，∴cos C >0，∴cos C <0，∵0<C <π，∴π>C >π2， ∴△ABC 为钝角三角形.4.已知点A (cos 80°，sin 80°)，B (cos 20°，sin 20°)，则|AB →|等于( )A.12B.22C.32D.1 答案 D解析 |AB →|＝(cos 80°－cos 20°)2＋(sin 80°－sin 20°)2 ＝2－2(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°) ＝2－2cos 60°＝ 2－2×12＝1. 5.若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( ) A.－55 B.55 C.11525D. 5 答案 B解析 ∵sin(π＋θ)＝－35，∴sin θ＝35， ∵θ是第二象限角，∴cos θ＝－45. ∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，∴cos φ＝－255， ∵φ是第三象限角，∴sin φ＝－55. ∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ＝⎝⎛⎭⎫－45×⎝⎛⎭⎫－255＋35×⎝⎛⎭⎫－55＝55.6.若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝ . 答案 83解析 原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝2＋2cos(α－β)＝83. 7.已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求cos(α－β).解 由cos α－cos β＝12两边平方得 (cos α－cos β)2＝cos 2α＋cos 2β－2cos αcos β＝14.① 由sin α－sin β＝－13两边平方得 (sin α－sin β)2＝sin 2α＋sin 2β－2sin αsin β＝19.② ①＋②得2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1336. ∴cos αcos β＋sin αsin β＝5972， ∴cos(α－β)＝5972. 二、能力提升8.将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ， ∵m >0，∴m 的最小值为π6. 9.已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是 .答案 －12解析 由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝－sin γ ①cos α＋cos β＝－cos γ ②①2＋②2⇒2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1⇒cos(α－β)＝－12.10.已知α、β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，则α－β的值为 . 答案 －π4解析 ∵α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＝255，sin β＝31010， ∵sin α<sin β，∴α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22， ∴α－β＝－π4. 11.已知：cos(2α－β)＝－22，sin(α－2β)＝22，且π4<α<π2，0<β<π4，求cos(α＋β). 解 因为π4<α<π2，0<β<π4，所以π4<2α－β<π. 因为cos(2α－β)＝－22，所以π2<2α－β<π. 所以sin(2α－β)＝22. 因为π4<α<π2，0<β<π4，所以－π4<α－2β<π2. 因为sin(α－2β)＝22，所以0<α－2β<π2， 所以cos(α－2β)＝22， 所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝－22×22＋22×22＝0. 12.求2cos 50°－3sin 10cos 10°的值. 解 原式＝2cos (60°－10°)－3sin 10°cos 10°＝2(cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°)－3sin 10°cos 10°＝2cos 60°cos 10°＋2sin 60°sin 10°－3sin 10°cos 10°＝cos 10°＋3sin 10°－3sin 10°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1. 三、探究与拓展13.已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f (5α＋53π)＝－65，f (5β－56π)＝1617，求cos αcos β－sin αsin β的值. (3)求f (x )的单调递增区间.解 (1)T ＝2πω＝10π，所以ω＝15. (2)f (5α＋53π) ＝2cos[15(5α＋53π)＋π6] ＝2cos(α＋π2)＝－2sin α＝－65， 所以sin α＝35， f (5β－56π) ＝2cos[15(5β－56π)＋π6] ＝2cos β＝1617， 所以cos β＝817，因为α，β∈[0，π2] 所以cos α＝1－sin 2α＝45， sin β＝1－cos 2β＝1517， 所以cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385. (3)f (x )＝2cos(x 5＋π6)， 由2k π－π≤x 5＋π6≤2k π，k ∈Z ， 得10k π－35π6≤x ≤10k π－5π6，k ∈Z ， 所以单调递增区间为[10k π－35π6，10k π－5π6](k ∈Z ).。

第三章三角恒等变换3.1 和角公式3.1.1 两角和与差的余弦【选题明细表】1.sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°的值是( B )解析:sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°=cos 76°cos 16°+sin 76°sin 16°=cos(76°-16°)=cos 60°故选B.2.若sin αα+β且α,β是锐角,则β等于( A )解析:由题意得cos αα+β所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-×又因为β∈所以β故选A.3.cos(36°+x)cos(54°-x)+sin(x+36°)sin(x-54°)的值为( A )(A)0 (B)1 (C)-1解析:cos(36°+x)cos(54°-x)+sin(x+36°)sin(x-54°)=cos(36°+x)cos(54°-x)-sin(36°+x)sin(54°-x)=cos(36°+x+54°-x)=cos 90°=0.故选A.4.化简··的结果是( A )(A)cosππ(C)sinππ解析:原式··=cos[(π.所以应选A.5.如果cos θ,θ∈(π,),那么cos(θ+)的值等于.解析:因为cos θθ∈(π所以sin θ所以cos(θθθ答案6.(2017·云南玉溪民族中学阶段考)已知向量a=(cos 5°,sin 5°), b=(cos 65°,sin 65°),则|a+2b|= .解析:a·b=cos 5°cos 65°+sin 5°sin 65°=cos(65°-5°)=cos 60°所以|a+2b|2=a2+4b2+4a·b=1+4+4×所以答案7.(2017·江西上饶中学周练)在△ABC中,cos Acos B>sin Asin B,则△ABC为( C )(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)无法判定解析:由题意得cos Acos B-sin Asin B>0,即cos(A+B)>0,又因为A+B∈(0,π),所以A+B为锐角,所以C=π-(A+B)为钝角,故选C.8.在△ABC中,已知则cos C的值为( A )或解析:因为A∈(0,π),所以由sin A=又因为B∈(0,π),因为所以cos B=±若,所以,又因为=cos所以与内角和定理矛盾,所以所以cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B··=-所以cos C=cos[π.所以应选A.9.如图,点P是单位圆上的一个点,它从初始位置P0开始沿单位圆按逆时针方向运动角α(0<α到达点P1,然后继续沿单位圆逆时针方向运达点P2,若点P2的横坐标为则cos α的值等于.解析:依题意知cos(α所以sin(αcos α=cos[(α)-=cos(αα=-×答案10.已知函数∈R,且(1)求A的值;(2)设α,β∈αβ求cos(α+β) 的值.解:(1)f(解得A=2.(2)f(4α)=2cos(α=2cos(α=-2sin α=-即sin αf(4β)=2cos(β=2cos β即cos β因为α,β∈所以cos αsin β所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β××=-11.如图,在平面直角坐标系中,锐角α,β的终边分别与单位圆交于A,B两点.(1)如果sin α点B求cos(α+β)的值;(2)已知点,-2),函数f(α·若f(α求α.解:(1)因为α是锐角,sin α所以cos α根据三角函数的定义,得cos β又因为β是锐角,所以sin β所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-(2)由题意可知α,sin α所以f(α=2α-2sin ααα)=4(cos αα=4cos(α又f(α)=2所以cos(α因为0<α所以α所以α所以α.。

双基达标 (限时20分钟)1．计算cos 80°cos 20°＋sin 80°·sin 20°的值为( )． A.22 B.32C.12D ．－22 答案 C 2．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin α＝35，则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝ ( )． A.75B.15 C ．－75 D ．－15 解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝35，∴cos α＝45. ∴2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αcos π4＋sin αsin π4 ＝cos α＋sin α＝45＋35＝75. 答案 A3．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为( )． A.π6B.π4C.3π4D.5π6 解析 ∵0<α<β<π2， ∴－π2<α－β<0,0<2α<π， ∴由cos(α－β)＝55，得sin (α－β)＝－255，由cos 2α＝1010，得sin 2α＝31010. ∴cos(α＋β)＝cos []2α－(α－β)＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝1010×55＋31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－22. 又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4. 答案 C4．计算12sin 60°＋32cos 60°＝________. 解析 原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60°＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝32. 答案 325．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝18，则cos α＋3sin α的值为________． 解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos π3cos α＋sin π3sin α ＝12cos α＋32sin α ＝12()cos α＋3sin α＝18， 故cos α＋3sin α＝14. 答案 14 6．已知sin α＝－45，sin β＝513，且180°<α<270°，90°<β<180°，求cos(α－β)． 解 因为sin α＝－45，180°<α<270°，所以cos α＝－35. 因为sin β＝513，90°<β<180°，所以cos β＝－1213. 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝3665－2065＝1665. 综合提高 (限时25分钟)7．下列式子中正确的个数是 ( )． ①cos(α－β)＝cos α－cos β；②cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β；③cos(π2－α)＝cos α；④cos(π2＋α)＝cos α. A ．0B ．1C ．2D ．3 解析 ①②③④都错．答案 A8．不满足sin αsin β＝22－cos αcos β的一组α，β值是 ( )． A ．α＝π2，β＝π4B ．α＝2π3，β＝5π12C ．α＝2π3，β＝π12D ．α＝π4，β＝π2解析 因为sin αsin β＝22－cos αcos β，所以cos(α－β)＝22，经检验C 中的α，β不满足，故选C.答案 C9．若α为锐角，且cos α＝255，则cos (π4－α)＝________. 解析 由α为锐角，且cos α＝255，可得sin α＝55.于是cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos。

3.1和角公式3.1.1两角和与差的余弦课时过关·能力提升1.sin 75°cos 45°+sin 15°sin 45°的值为()A.-B.C. D.-1解析:原式=cos 15°cos 45°+sin 15°sin 45°=cos(15°-45°)=.答案:C2.若sin(π+θ)=-,θ是第二象限的角,sin=-,φ是第三象限的角,则cos(θ-φ)的值是()A.-B.C. D.解析:由已知得sin θ=,cos θ=-,cos φ=-,sin φ=-,于是cos(θ-φ)=cos θcos φ+sin θsin φ=.答案:B3.若sin α-sin β=1-,cos α-cos β=-,则cos(α-β)的值为()A. B. C. D.1解析:由已知得(sin α-sin β)2+(cos α-cos β)2==2-,即2-2cos αcos β-2sin αsin β=2-,于是2cos(α-β)=,从而cos(α-β)=.答案:B4.下列命题中的假命题是()A.存在这样的α和β的值,使得cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin βB.不存在无穷多个α和β的值,使得cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin βC.对任意的α和β,有cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin βD.不存在这样的α和β的值,使得cos(α+β)≠cos αcos β-sin αsin β解析:若cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β,则cos αcos β-sin αsin β=cos αcos β+sin αsin β,因此sin αsin β=0,因此α=kπ或β=kπ(k∈Z),有无穷多个α和β的值使之成立.答案:B5.已知向量a=(cos 18°,sin 18°),b=(2cos 63°,2sin 63°),则a与b的夹角为()A.18°B.63°C.81°D.45°解析:由已知得a·b=2cos 18°cos 63°+2sin 18°sin 63°=2cos(18°-63°)=2cos 45°=,|a|==1,同理|b|=2,所以cos<a,b>=,故a与b的夹角是45°.答案:D6.在△ABC中,若sin A sin B<cos A cos B,则△ABC为三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”).解析:由已知得cos A cos B-sin A sin B>0,即cos(A+B)>0,所以-cos C>0,cos C<0,即C为钝角,故△ABC为钝角三角形.答案:钝角7.已知α,β均为锐角,且sin α=,cos β=,则α-β的值为.解析:由已知得cos α=,sin β=,于是cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,又sin α==sin β,且α,β均为锐角,∴α<β,即-<α-β<0,故α-β=-.答案:-8.函数y=sin x+cos x的值域为.解析:由于y=sin x+cos x=2=2cos,因此该函数的值域是[-2,2].答案:[-2,2]9.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=-<α+β<2π,<α-β<π,求cos 2α的值.解:cos 2α=cos[(α+β)+(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β).∵<α+β<2π,∴sin(α+β)=-.又<α-β<π,∴sin(α-β)=.∴cos 2α==-.★10.已知tan α=4,cos(α+β)=-,α,β均为锐角,求cos β的值.解:∵tan α=4,α为锐角,∴sin2α=48cos2α=48(1-sin2α).∴sin α=.∴cos α=.又cos(α+β)=-,且0<α+β<π,∴sin(α+β)=.∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-.11.已知sin α-sin β=-,cos α-cos β=,且α,β均为锐角,求tan(α-β)的值.解:∵sin α-sin β=-,①cos α-cos β=,②∴由①2+②2,得cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β)=.∵α,β均为锐角,∴-<α-β<.由①知α<β,∴-<α-β<0,∴sin(α-β)=-,∴tan(α-β)==-.★12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0,|φ|<.(1)若cos cos φ-sin sin φ=0,求φ的值;(2)在(1)的条件下,若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,求函数f(x)的解析式.解:(1)由cos cos φ-sin sin φ=0,得cos cos φ-sin sin φ=0,即cos=0.又|φ|<,所以φ=.(2)由(1),得f(x)=sin.依题意,得.所以T=.由T=,得ω=3.所以函数f(x)的解析式为f(x)=sin.。

一、选择题1．cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°的值为( ) A ．－32 B.32 C.22D ．－22【解析】 cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝32. 【答案】 B2．若α∈(0，π)，且cos(α＋π3)＝45，则cos α等于( ) A.4－3310B.－4－3310 C.4＋3310D.－4＋3310【解析】 ∵α∈(0，π)且cos(α＋π3)＝45， ∴sin(α＋π3)＝35. cos α＝cos[(α＋π3)－π3] ＝45×12＋35×32＝4＋3310. 【答案】 C3．已知：cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45，且180°＜α＜270°，则tan α等于( )A.34 B ．－34 C.45D ．－45【解析】 由已知得cos[(α＋β)－β]＝－45，即cos α＝－45.又180°＜α＜270°，所以sin α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝34.【答案】 A4．设α∈(0，π2)，sin α＝35，则2cos(α＋π4)＝( ) A.15 B ．－15 C.25D ．－25【解析】 ∵α∈(0，π2)，sin α＝35，∴cos α＝45，∴2cos(α＋π4)＝2(cos αcos π4－sin αsin π4)＝cos α－sin α＝45－35＝15. 【答案】 A5．若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为( ) A ．－12 B.12 C ．－32D.32【解析】 ∵(sin α－sin β)2＋(cos α－cos β)2＝2－2cos(α－β)＝(1－32 )2＋(12)2，∴cos(α－β)＝32.【答案】 D 二、填空题6．化简：2cos 10°－sin 20°cos 20°＝________.【解析】 2cos 10°－sin 20°cos 20°＝2cos (30°－20°)－sin 20°cos 20°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°cos 20°＝ 3.【答案】37．(2019·成都高一检测)若cos θ＝－1213，θ∈(π，3π2)，则cos(θ＋π4)＝________.【解析】 ∵cos θ＝－1213，θ∈(π，3π2)， ∴sin θ＝－513，∴cos(θ＋π4)＝cos θcos π4－sin θsin π4＝－1213×22－(－513)×22＝－7226. 【答案】 －72268．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，α，β∈(0，π)且a ⊥b ，则α－β的值为________．【解析】 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即cos αcos β＋sin αsin β＝0，从而cos(α－β)＝0. ∵α，β∈(0，π)，∴－π＜α－β＜π， ∴α－β＝π2或－π2. 【答案】 ±π2 三、解答题9．已知α、β为锐角，且cos α＝110，cos β＝15，求α＋β的值． 【解】 ∵α，β为锐角，∴sin α＝310，sin β＝25， ∴cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝110·15－310·25＝－550＝－22.又0＜α＋β＜π，∴α＋β＝3π4.10．(2019·广东高考)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈R .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值；(2)若cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6.【解】 (1)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝2cos π4＝2×22＝1.(2)因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，cos θ＝35，所以sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ＝cos θ＋sin θ＝35－45＝－15.11．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255. (1)求cos(α－β)；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－513，求sin α. 【解】 (1)∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， ∴a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)． ∵|a －b |＝255，∴(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝255， 即2－2cos(α－β)＝45，∴cos(α－β)＝35. (2)∵0<α<π2，－π2<β<0，∴0<α－β<π. ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵sin β＝－513，∴cos β＝1213. ∴cos α＝cos[(α－β)＋β] ＝cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β ＝35×1213－45×(－513)＝5665.π2，∴sin α＝1－cos2α＝3365.又0<α<。

第3章 三角恒等变换3.1 两角和与差的三角函数 3.1.1 两角和与差的余弦5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.若sin （2π+α）=-54，α∈（2π，π），则cos （3π-α）=_______________.思路解析：由诱导公式得sin （2π+α）=cos α=-54，又α∈（2π，π），所以sin α=53.所以cos （3π-α）=cos 3πcos α+sin 3πsin α=21×（-54）+23×53=10433-.答案:10433- 2.计算cos （α-35°）cos （25°+α）+sin （α-35°）sin （25°+α）=____________. 思路解析：逆用两角差的余弦公式可得到结果. 原式=cos(α-35°-25°-α)=cos(-60°)=21. 答案:21 10分钟训练（强化类训练,可用于课中）1.已知sin α=53，cos β=1312，求cos （α-β）的值. 解：∵sin α=53＞0，cos β=1312＞0，∴α可能在一、二象限，β在一、四象限.若α、β均在第一象限，则cos α=54，sin β=135，cos （α-β）=54·1312+53·135=6563. 若α在第一象限，β在第四象限，则cos α=54，sin β=-135，cos （α-β）=54·1312+53·(-135)=6533. 若α在第二象限，β在第一象限，则cos α=-54，sin β=135，cos （α-β）=（-54）·1312+53·135=-6533.若α在第二象限，β在第四象限，则cos α=-54，sin β=-135，cos （α-β）=（-54）·1312+53·（-135）=-6563.2.计算sin33°cos27°+sin57°cos63°的值.思路解析：从整体出发，对局部进行三角变换，出现特殊值是求值常用的方法.题目中都是非特殊角，不能直接计算，可将sin33°化为cos57°,cos63°化为sin27°，再逆用两角和的余弦公式，则迎刃而解. 解：原式=cos57°cos27°+sin57°sin27°=cos(57°-27°)=cos30°=23. 3.已知cos α=71，cos （α+β）=-1411，且α、β∈（0，2π），求cos β的值.思路解析：本题的解法要求观察并分析出角和角之间的关系β=（α+β）-α，再利用两角差的余弦公式展开，求出结果.这种“变角”的技巧在三角函数求值以及证明中常用，因为变角后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明.要注意，避免出现将cos （α+β）展开，通过解方程54cos β-53sin β=53求cos β这种复杂方法. 解:由于α，β∈（0，2π），cos α=71，cos （α+β）=-1411，则sin α=α2cos 1-=2)71(1-=734, sin （α+β）=22)1411(1)(cos 1--=+-βα=1435. 所以cos β=cos ［（α+β）-α］=cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=-1411×71+1435×734=21. 4.已知sin α+sin β=53，cos α+cos β=54，求cos （α-β）的值. 思路解析：本题是一道综合题，由于cos （α-β）=cos αcos β+sin αsin β，欲求cos （α-β）的值，只需求出cos αcos β+sin αsin β的值，而要得到两组同名三角函数乘积，需将条件两式平方，再相加即得cos αcos β+sin αsin β的结果. 解：①sin α+sin β=53， ②cos α+cos β=54. ①式平方得sin 2α+2sin αsin β+sin 2β=259， ②式平方得cos 2α+2cos αcos β+cos 2β=2516.以上两式相加，得2+2（cos αcos β+sin αsin β）=1, 即2+2cos （α-β）=1， 得到cos （α-β）=-21. 5.求cos80°cos35°+cos10°cos55°的值.解： cos80°cos35°+cos10°cos55°=cos80°cos35°+cos （90°-80°）cos （90°-35°）=cos80°cos35°+sin80°sin35°=cos （80°-35°）=cos45°=22. 6.已知cos （α-β）=-54，cos （α+β）=54，且（α-β）∈（2π，π），（α+β）∈（23π，2π），求cos2β的值.思路解析：此题主要考查灵活“变角”的技巧.由分析可知2β=（α+β）-（α-β）. 解：由于cos （α-β）=-54，cos （α+β）=54，且（α-β）∈（2π，π），（α+β）∈（23π，2π），可得sin （α-β）=53，sin （α+β）=-53， 所以cos2β=cos ［（α+β）-（α-β）］=cos （α+β）·cos （α-β）+sin （α+β）·sin （α-β）=54·（-54）+（-53）·53=-1. 志鸿教育乐园过路费甲同学要回坐位，但被乙同学挡着路，乙同学向甲同学说：“此路是我开，此树是我栽，我想从此过，留下买路财！”这时老师站在门外说：“刷卡可以吗？” 30分钟训练（巩固类训练,可用于课后） 1.(2005 上海)若cos α=71,α∈(0,2π),则cos(α+3π)=_________________. 思路解析：∵α∈(0,2π), ∴sin α=4911-=734,cos(α+3π)=cos αcos 3π-sin αsin 3π=71×21-734×23=-1411.答案:-14112.设α∈(0,2π),若sin α=53,则2cos(α+4π)等于( )A.57 B.51 C.-57 D.-51思路解析：∵α∈(0,2π),若sin α=53，∴cos α=54.∴2cos(α+4π)=2(cos αcos 4π-sin αsin 4π)=51.答案:B3.sin163°sin223°+sin253°sin313°等于( )A.-21 B.21 C.-23 D. 23思路解析：sin163°sin223°+sin253°sin313°＝sin163°sin223°+cos(90°-253°)cos(90°-313°) ＝cos163°cos223°+ sin163°sin223° ＝cos(223°-163°) ＝cos60°=21. 答案:B4.（2005 广东）化简f(x)=cos(316+k π+2x)+cos(316-k π-2x)+23sin(3π+2x)(x ∈R ,k ∈Z ),并求函数f(x)的值域和最小正周期.解:f(x)=cos(2k π+3π+2x)+cos(2k π-3π-2x)+23sin(3π+2x) =cos(3π+2x)+cos(3π+2x)+23sin(3π+2x)=2cos(3π+2x)+23sin(3π+2x)=4［cos(3π+2x)cos 3π+sin(3π+2x)sin 3π］=4cos2x.∴f(x)∈［-4,4］,T=22π=π. ∴f(x)的值域是［-4,4］，最小正周期是π. 5.化简315sinx+35cosx. 解：原式=65（23sinx+21cosx ）=65（sin60°sinx+cos60°cosx ） =65cos （60°-x ）.6.已知sin α+sin β+sin γ=0，且cos α+cos β+cos γ=0. 求证：cos （α-β）=-21. 证明：由已知可得sin α+sin β=-sin γ， cos α+cos β=-cos γ.两式平方相加得到2+2cos （α-β）=1. 所以cos （α-β）=-21.得证. 7.如图3-1-1，平面直角坐标系中，已知OA =（cos80°，sin80°），OB =（cos20°，sin20°），求|AB |.若AB 中点是C ，那么|OC |呢？图3-1-1 思路解析：这道题属于向量和三角函数的综合问题. 解:AB =（cos20°-cos80°，sin20°-sin80°）,|AB |=2)80sin 20(sin )80cos 20(cos ︒-︒+︒-︒=2222280sin 80sin 20sin 80cos 20cos 220cos ︒+︒︒+︒+︒-︒ =)80sin 20sin 80cos 20(cos 211︒︒+︒︒-+ =)2080cos(22︒-︒- =︒-60cos 22 =1.可知△AOB 是等边三角形，可求得|OC |=23. 8.已知sin α+sin β=22，求cos α+cos β的取值范围. 思路解析：本题用到了平方关系：sin 2α+cos 2α=1，这一关系在三角函数运算中经常用到. 解：由于sin α+sin β=22， 等式两边平方可知，sin 2α+2sin αsin β+sin 2β=21. ① 设cos α+cos β=m,平方可知，cos 2α+2cos αcos β+cos 2β=m 2. ② ①+②得sin 2α+2sin αsin β+sin 2β+cos 2α+2cos αcos β+cos 2β=m 2+21, 整理，有m 2=23+2cos （α-β）. 又由于cos （α-β）∈［-1，1］，所以m 2∈［-21，27］，即得0≤m 2≤27. 解得-214≤m ≤214. 所以-214≤cos α+cos β≤214. 9.已知0<β<4π,4π<α<43π,cos(4π-α)=53,sin(43π+β)=135,求sin(α+β)的值.思路解析：注意到(43π+β)-(4π-α)=2π+(α+β)，可先求cos ［2π+(α+β)］.对给值求值问题，要认真观察分析题目中的条件和结论中各个角度之间的关系，实现由已知到未知的代换.解：∵4π<α<43π,∴-2π<4π-α<0.∴sin(4π-α)=-54.又∵0<β<4π,∴43π<43π+β<π.∴cos(43π+β)=-1312.∴sin(α+β)=cos ［2π-(α+β)］=-cos ［2π+(α+β)］=-cos ［(43π+β)-(4π-α)］=-［(-1312)×53+135(-54)］=6556.。

课后导练基础达标 1.cos(-15°)的值为（ ） A.462- B.426- C.462+ D.462+- 解析：cos(-15°)=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°·cos30°+sin45°·sin30°=462+. 答案：C 2.cos78°·cos18°+sin78°·sin18°的值为（ ） A.21 B.31 C.23 D.33解析：原式=cos(78°-18°)=cos60°=21. 答案：A3.化简cos (α+β)·cosα+sin(α+β)·sinα得（ ） A.cosα B.cosβ C.cos(2α+β) D.sin(2α+β) 解析：原式=cos(α+β-α)=cosβ. 答案：B4.若sinα-sinβ=1-23,cosα-cosβ=-21,则cos(α-β)的值为（ ）A.21 B.23 C.43D.1 解析：将两式平方后相加，可得2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)=2-3,即有cos(α-β)=23. 答案：B 5.若sin(π+θ)=53-,θ是第二象限角，sin(2π+φ)=552-,φ是第三象限角，则cos(θ-φ)的值是（ ） A.55-B.55C.25511 D.5 解析：由sin(π+θ)=53-,得sinθ=53,又θ是第二象限角，得cosθ=54-.由sin(2π+φ)=552-,得cosφ=552-,又φ是第三象限角,得sinφ=55-, 则cos(θ-φ)=cosθcosφ+sinθsinφ=55. 答案：B6.若cos （α-β）=31,则(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=___________. 解析：(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=2+2cos(α-β)=38.答案：387.在△ABC 中，若sinAsinB<cosAcosB,则△ABC 的形状为________. 解析：∵sinAsinB<cosAcosB, ∴cos(A+B)>0.又A+B+C=π, ∴cos(π-C)>0.∴cosC<0. ∴△ABC 为钝角三角形. 答案：钝角三角形8.已知α、β均为锐角，则sinα=55，cosβ=1010，则α-β的值为_________. 解析：∵α、β均为锐角， ∴cosα=552.sinβ=10103. 又sinα<sinβ,∴α<β.∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=22. ∴α-β=4π-. 答案：4π-综合运用9.已知tanα=34,cos(α+β)=1411-,α、β均为锐角，求cosβ的值. 解：∵tanα=34,α为锐角， ∴sin 2α=48cos 2α=48(1-sin 2α). ∴sinα=734.∴cosα=71.又cos(α+β)=1411-，及0°<α+β<180°, ∴sin(α+β)=1435. ∴cosβ=cos ［(α+β)-α］=cos(α+β)·cosα+sin(α+β)sinα=1411-×71+1435×734=21. 10.已知锐角α、β满足sinα=734,sin(α+β)=1435,求β. 解：由已知锐角α、β满足sinα=734,sin(α+β)=1435，得 cosα=71)734(12=-, 又sinα>sin(α+β),故α+β必为钝角， ∴cos(α+β)=-1411)1435(12-=-. ∴cosβ=co s ［(α+β)-α］=cos(α+β)cosα+sin(α+β)·sinα=1411-×71+734×1435=21. ∴β=60°.11.使cosx-3sinx=123--m m 有解，其中x ∈［-2π,2π］,求m 的范围. 解：由cosx-3sinx=123--m m ,得2cos(3π+x)=123--m m.由x ∈［-2π,2π］,则3π+x ∈［6π-,65π］,∴2cos(3π+x)∈［-3,2］. ∴-3≤123--m m≤2.解得45≤m≤3+3.拓展探究12.重量为G 的小车在地面上，卷扬机通过定滑轮牵引着它（如图），若设小车和地面间的动摩擦因数为μ，问牵引角φ多大时，用力最小？解：可由物理学中的受力分析作图,由平衡条件得⎪⎩⎪⎨⎧==-+=-.,0sin ,0cos N f G F N f F μϕϕ即得F=)sin sin cos (cos 1sin cos 2ϕαϕαμμϕμϕμ++=+GG )cos(12ϕαμμ-+=G(μ=tanα),要使F 最小,分母应最大,即cos(α-φ)=1,即α=φ.又tanα=μ,所以当φ=arctanμ时,F 最小, 最小值为F min =21μμ+G=Gsinα=Gsinφ.。

3．1.1两角和与差的余弦(1)如何用α的三角函数与β的三角函数表示cos(α－β)，cos(α＋β)?(2)两角和与差的余弦公式是如何推导的？[新知初探]两角和与差的余弦公式[点睛] 公式的左边是和(差)角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的差(和)式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.( )(2)对于任意实数α，β，cos(α＋β)＝cos α＋cos β都不成立．( ) (3)对任意α，β∈R ，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√2．cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( ) A.12 B.13C.32D.33 答案：A3．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若sin α＝35，则2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.75 B.15 C ．－75D ．－15答案：B4．化简cos ⎝⎛⎭⎫α－π4sin α＋cos α＝________.答案：22给角求值问题[典例] 求下列各式的值． (1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°； (2)sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°； (3)12cos 15°＋32sin 15°. [解] (1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195° ＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin(180°＋15°) ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15° ＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.(2)原式＝sin(180°－17°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋73°)·sin(360°－47°)＝－sin 17°sin 43°＋sin 73°sin 47°＝－sin 17°sin 43°＋cos 17°cos 43°＝cos 60°＝12.(3)∵12＝cos 60°，32＝sin 60°，∴12cos 15°＋32sin 15° ＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15° ＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22.利用公式C (α＋β)，C (α－β)求值的方法技巧在利用两角和与差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差)，正用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值．[活学活用]计算下列各式的值：(1)cos 55°cos 20°－sin 55°sin 20°； (2)cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θcos θ＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θsin θ.解：(1)cos 55°cos 20°－sin 55°sin 20°＝cos 75° ＝cos(45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30° ＝22×32－22×12＝6－24. (2)cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θcos θ＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θsin θ ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋θ－θ＝cos π4＝22.[典例] (1)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β是第三象限角，sin α＝45，cos β＝－513.求cos(α＋β)的值． (2)已知cos α＝45，cos(α＋β)＝35，且α，β均为锐角，求cos β的值．[解] (1)∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝45， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－ ⎝⎛⎭⎫452＝－35. ∵β是第三象限角，cos β＝－513，∴sin β＝－1－cos 2β＝－1－⎝⎛⎭⎫－5132＝－1213， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－513－45×⎝⎛⎭⎫－1213＝6365. (2)∵α，β均为锐角， ∴0<α＋β<π，∴sin(α＋β)>0. 由cos α＝45，cos(α＋β)＝35，得sin α＝35，sin(α＋β)＝45.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝35×45＋45×35＝2425.给值求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α＝(α－β)＋β； ②α＝α＋β2＋α－β2；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)． [活学活用] 1．已知cos θ＝－1213，θ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ的值为________． 解析：∵cos θ＝－1213，θ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， ∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－⎝⎛⎭⎫－12132 ＝－513，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝cos π4cos θ－sin π4sin θ ＝22×⎝⎛⎭⎫－1213－22×⎝⎛⎭⎫－513＝－7226.答案：－72262．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－45，且5π4<α<7π4，求cos α的值． 解：∵5π4<α<7π4，∴3π2<α＋π4<2π，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4>0，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ 1－1625＝35， ∴cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin π4＝35×22－45×22＝－210.[典例(2)已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则β＝________. [解析] (1)∵α，β均为锐角， ∴cos α＝55，cos β＝31010. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝55×31010＋255×1010＝22. 又∵sin α>sin β，∴0<β<α<π2，∴0<α－β<π2.故α－β＝π4.(2)∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)． ∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝437，sin(α＋β)＝5314， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝12.∵0<β<π2，∴β＝π3.[答案] (1)π4 (2)π3[一题多变]1．[变条件]若本例中(1)中“sin α”变为“cos α”，“sin β ”变为“cos β ”，则α－β＝________.解析：∵α，β均为锐角，∴sin α＝55，sin β＝31010，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝255×1010＋55×31010＝22.又∵sin α<sin β，∴0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0，故α－β＝－π4.答案：－π42．[变条件]若本例(2)变为：已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β的值．解：由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437.由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又因为cos(α－β)＝1314， 所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝⎛⎭⎫13142＝3314.由β＝α－(α－β)得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12， 所以β＝π3.已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角．层级一 学业水平达标1．cos5π24cos π24＋sin 5π24sin π24的值为( ) A.12 B ．22C.32D ．1解析：选C 原式＝cos ⎝⎛⎭⎫5π24－π24＝cos π6＝32.故选C.2.12sin 15°－32cos 15°的值是( ) A.22 B ．－22 C.62D ．－62解析：选B 原式＝sin 30°sin 15°－cos 30°cos 15° ＝－(cos 30°cos 15°－sin 30°sin 15°) ＝－cos(30°＋15°)＝－cos 45°＝－22. 3．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－35，则cos(α－β)的值为( )A ．－6365B ．－3365C.6365D.3365解析：选A ∵α为锐角，且cos α＝1213，∴sin α＝1－cos 2α＝513.∵β为第三象限角，且sin β＝－35，∴cos β＝－1－sin 2β＝－45，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1213×⎝⎛⎭⎫－45＋513×⎝⎛⎭⎫－35＝－6365.故选A. 4．已知向量a ＝(cos 75°，sin 75°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，那么|a －b |等于( ) A.12 B.22C.32D ．1解析：选D |a －b | ＝(cos 75°－cos 15°)2＋(sin 75°－sin 15°)2 ＝2－2(cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°) ＝2－2cos 60°＝1.5．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫7π4＋α等于( ) A.425B.7210C ．－425D ．－7210解析：选B 由题意可知cos α＝45，cos ⎝⎛⎭⎫7π4＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π4＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos α cos π4＋sin α·sin π4＝45×22＋35×22＝7210. 6．化简：cos(α－55°)cos(α＋5°)＋sin(α－55°)sin(α＋5°)＝________. 解析：原式＝cos[(α－55°)－(α＋5°)]＝cos(－60°)＝12.答案：127．若cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，则tan αtan β＝________.解析：∵cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝13， ①cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝15， ②由①②得cos αcos β＝415，sin αsin β＝－115， ∴tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－115415＝－14.答案：－148．已知sin α＝1517，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为________． 解析：∵sin α＝1517，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫15172＝－817， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22×⎝⎛⎭⎫－817＋22×1517＝7234. 答案：72349．已知α，β为锐角，且cos α＝45，cos(α＋β)＝－1665，求cos β的值．解：因为0<α<π2，0<β<π2，所以0<α＋β<π.由cos(α＋β)＝－1665，得sin(α＋β)＝6365.又因为cos α＝45，所以sin α＝35.所以cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝⎛⎭⎫－1665×45＋6365×35＝513. 10．若x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，且sin x ＝45，求2cos ⎝⎛⎭⎫x －2π3＋2cos x 的值． 解：∵x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，sin x ＝45，∴cos x ＝－35. ∴2cos ⎝⎛⎭⎫x －2π3＋2cos x ＝2⎝⎛⎭⎫cos x cos 2π3＋sin x sin 2π3＋2cos x ＝2⎝⎛⎭⎫－12cos x ＋32sin x ＋2cos x＝3sin x ＋cos x ＝435－35＝43－35. 层级二 应试能力达标1．若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为( ) A.32 B ．12C.34D ．1解析：选A 由已知得(sin α－sin β)2＝⎝⎛⎭⎫1－322，① (cos α－cos β)2＝⎝⎛⎭⎫122，②①＋②得2－2cos(α－β)＝1－3＋34＋14，∴cos(α－β)＝32.故选A. 2．已知α为钝角，且sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π12的值为( ) A.2 2＋36 B.2 2－36C ．－2 2＋36 D.－2 2＋36 解析：选C ∵α为钝角，且sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－223， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π12＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12cos π3－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12sin π3＝⎝⎛⎭⎫－223×12－13×32＝－22＋36. 3．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos(2π－β)的值为( ) A.3365B ．－3365 C.5465 D ．－5465 解析：选A ∵α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，∴sin α＝45，sin(α＋β)＝1213，∴cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－513×35＋1213×45＝3365. 4．设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4B.5π4C.7π4D.5π4或7π4解析：选C 因为α，β为钝角，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α ＝－ 1－⎝⎛⎭⎫552＝－255. 由cos β＝－31010，得 sin β＝1－cos 2β＝ 1－⎝⎛⎭⎫－310102＝1010，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010 ＝22. 又因为π<α＋β<2π，所以α＋β＝7π4. 5．已知cos α＝45，cos(α－β)＝－45，3π2<α<2π，π2<α－β<π ，则cos β＝________. 解析：由条件知sin α＝－35，sin(α－β)＝35， ∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－1625－925＝－1. 答案：－16．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0和cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________． 解析：由已知得，－sin γ＝sin α＋sin β，①－cos γ＝cos α＋cos β，②①2＋②2得，1＝1＋1＋2sin αsin β＋2cos αcos β，化简得cos αcos β＋sin αsin β＝－12， 即cos(α－β)＝－12. 答案：－127．已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求角β的值．解：由α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213， 得sin(α－β)＝513. 由α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213， 得sin(α＋β)＝－513，cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝1213×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－513×513＝－1. 又∵α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∴2β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，∴2β＝π，则β＝π2.8．已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 求：(1)cos(2α－β)的值；(2)β的值．解：(1)因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， 又sin(α－β)＝1010>0， ∴0<α－β<π2. 所以sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α－β)＝ 1－sin 2(α－β)＝31010， cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)＝55×31010－2 55×1010＝210. (2)cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝55×31010＋255×1010＝22， 又因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4.∴tan α＋β2＝sin α＋β2cos α＋β2＝－533. ∴tan(α＋β)＝2tan α＋β21－tan 2α＋β2＝5311. 22．(本小题满分12分)已知向量OA ＝(cos α，sin α)，α∈[－π，0]，向量m ＝(2,1)，n ＝(0，－5)，且m ⊥(OA －n )．(1)求向量OA ；(2)若cos(β－π)＝210，0<β<π，求cos(2α－β)的值． 解：(1)∵OA ＝(cos α，sin α)，∴OA －n ＝(cos α，sin α＋5)．∵m ⊥(OA －n )，∴m ·(OA －n )＝0，∴2cos α＋sin α＋5＝0.①又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得sin α＝－55，cos α＝－255， ∴OA ＝⎝⎛⎭⎫－255，－55. (2)∵cos(β－π)＝210， ∴cos β＝－210. 又0<β<π，∴sin β＝1－cos 2β＝7210. 又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－55×⎝⎛⎭⎫－255＝45，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×45－1＝35， ∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝35×⎝⎛⎭⎫－210＋45×7210＝25250＝22.。

3．1 和角公式3．1.1 两角和与差的余弦[学习目标] 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法推导出公式的主要步骤.3.熟记两角和、差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．[知识链接]1．当α＝π2，β＝π4时，cos(α－β)＝cos α＋cos β成立．那么当α、β∈R 时，cos(α－β)＝cos α＋cos β恒成立吗(举例说明)?答 不恒成立，如α＝π3，β＝π6时． 2．请你计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想．①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝1＝cos_0°；②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝32＝cos 30°； ③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0＝cos(－90°)；④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝12＝cos(－60°)． 猜想：cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)；即：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.[预习导引]1．两角差的余弦公式C α－β：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β，其中α、β为任意角．2．两角和的余弦公式在两角差的余弦公式中，以－β替代β就得到两角和的余弦公式．即C α＋β：cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cos_αcos(－β)＋sin_α·sin(－β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.要点一运用公式求值例1计算：(1)cos(－15°)；(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°. 解(1)方法一原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝32×22＋12×22＝6＋2 4.方法二原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋2 4.(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0.规律方法利用两角差的余弦公式求值的一般思路：(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式右边形式，然后逆用公式求值．跟踪演练1计算：(1)sin 75°；(2)sin x sin(x＋y)＋cos x cos(x＋y)．解(1)sin 75°＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝22×32＋22×12＝6＋24. (2)原式＝cos[x －(x ＋y )]＝cos(－y )＝cos y .要点二 给值求值例2 设cos (α－β2)＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α＋β2. 解 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α－β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π，α2－β∈⎝⎛⎭⎫－π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－181＝459. cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－49＝53. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527. 规律方法 三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最基本的变换．常见的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[](α＋β)＋(α－β)，α＝12[](β＋α)－(β－α)等． 跟踪演练2 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos β的值． 解 ∵α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)． 又∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114， ∴sin α＝1－cos 2α＝437， sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314. 又∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12. 要点三 已知三角函数值求角例3 已知α、β均为锐角，且cos α＝255，cos β＝1010，求α－β的值． 解 ∵α、β均为锐角，∴sin α＝55，sin β＝31010. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22. 又sin α<sin β，∴0<α<β<π2， ∴－π2<α－β<0.故α－β＝－π4. 规律方法 解答已知三角函数值求角这类题目，关键在于合理运用公式并结合角的范围，对所求的解进行取舍，其关键环节有两个：一是求出所求角的某种三角函数值，二是确定角的范围，然后结合三角函数图象就易求出角的值．跟踪演练3 已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求角β的值．解 由α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213， 得sin(α－β)＝513. 由α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513， cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝1213×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－513×513＝－1. 又∵α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∴2β∈⎝⎛⎭⎫π2，32π，∴2β＝π，则β＝π2.1．cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( )A.12B.13C.32D.33答案 A解析 cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝12，故选A. 2．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°的值是( ) A.32 B.12 C ．－32 D ．－12答案 B解析 sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝12. 3．计算：12sin 60°＋32cos 60°＝________. 答案 32解析 原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60°＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝32. 4．已知锐角α、β满足sin α＝55，cos β＝31010，求α＋β. 解 ∵α、β为锐角且sin α＝55，cos β＝31010， ∴cos α＝1－sin 2α＝ 1－15＝255， sin β＝1－cos 2β＝1－910＝1010， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255·31010－55·1010＝22. 由0<α<π2，0<β<π2得0<α＋β<π， 又cos(α＋β)>0，∴α＋β为锐角，∴α＋β＝π4.1.公式C α－β与C α＋β都是三角恒等式，既可正用，也可逆用．要注意公式的结构特征． 如：cos αcos β±sin αsin β＝cos(α∓β)．2．要注意充分利用已知角与未知角之间的联系，通过恰当的角的变换，创造出应用公式的条件进行求解．3．注意角的拆分技巧的积累，如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β＝α＋β2＋α－β2等．一、基础达标1．化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)得( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32答案 A解析 原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝12.2．计算cos 70°cos 335°＋sin 110°sin 25°的结果是( )A ．1 B.22 C.32 D.12答案 B解析 原式＝cos 70°cos 25°＋sin 70°sin 25°＝cos(70°－25°)＝cos 45°＝22.3．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为() A.π6 B.π4 C.3π4 D.5π6答案 C解析 sin(α－β)＝－255⎝⎛⎭⎫－π2<α－β<0.sin 2α＝31010，∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝1010×55＋31010×⎝⎛⎭⎫－255＝－22，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4.4．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形答案 D解析 ∵sin A sin B <cos A cos B ，∴cos A cos B －sin A sin B >0，∴cos(A ＋B )>0即cos(π－C )>0，∴－cos C >0，∴cos C <0，∵0<C <π，∴π>C >π2，∴△ABC 为钝角三角形．5．若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( ) A ．－55 B.55 C.11525D. 5 答案 B解析 ∵sin(π＋θ)＝－35，∴sin θ＝35， ∵θ是第二象限角，∴cos θ＝－45. ∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，∴cos φ＝－255， ∵φ是第三象限角，∴sin φ＝－55. ∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ＝⎝⎛⎭⎫－45×⎝⎛⎭⎫－255＋35×⎝⎛⎭⎫－55＝55.6．若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________. 答案 83解析 原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝2＋2cos(α－β)＝83. 7．已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求cos(α－β)． 解 由cos α－cos β＝12两边平方得 (cos α－cos β)2＝cos 2α＋cos 2β－2cos αcos β＝14.① 由sin α－sin β＝－13两边平方得 (sin α－sin β)2＝sin 2α＋sin 2β－2sin αsin β＝19.② ①＋②得2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1336. ∴cos αcos β＋sin αsin β＝5972，∴cos(α－β)＝5972. 二、能力提升8．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，将函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋m －π6，此时关于y 轴对称，则m －π6＝k π，k ∈Z ，所以m ＝π6＋k π，k ∈Z ，所以当k ＝0时，m 的最小值是π6，选B. 9．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．答案 －12解析 sin α＋sin β＝－sin γ，①cos α＋cos β＝－cos γ， ②①2＋②2⇒2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1⇒cos(α－β)＝－12. 10．若sin α＋sin β＝75，cos α＋cos β＝－75，则cos(α－β)＝________. 答案 242511．已知：cos(2α－β)＝－22，sin(α－2β)＝22，且π4<α<π2，0<β<π4，求cos(α＋β)． 解 因为π4<α<π2，0<β<π4，所以π4<2α－β<π. 因为cos(2α－β)＝－22，所以π2<2α－β<π. 所以sin(2α－β)＝22. 因为π4<α<π2，0<β<π4，所以－π4<α－2β<π2. 因为sin(α－2β)＝22，所以0<α－2β<π2，所以cos(α－2β)＝22， 所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝⎝⎛⎭⎫－22×22＋22×22＝0. 12．求2cos 50°－3sin 10°cos 10°的值． 解 原式＝2cos (60°－10°)－3sin 10°cos 10°＝2(cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°)－3sin 10°cos 10°＝2cos 60°cos 10°＋2sin 60°sin 10°－3sin 10°cos 10°＝cos 10°＋3sin 10°－3sin 10°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1. 三、探究与创新13．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f (5α＋53π)＝－65，f (5β－56π)＝1617，求cos αcos β－sin αsin β的值； (3)求f (x )的单调递增区间．解 (1)因为T ＝2πω＝10π，所以ω＝15. (2)f (5α＋53π) ＝2cos[15(5α＋53π)＋π6] ＝2cos(α＋π2)＝－2sin α＝－65， 所以sin α＝35. f (5β－56π)＝2cos[15(5β－56π)＋π6]＝2cos β＝1617， 所以cos β＝817，因为α，β∈[0，π2]，高一数学必修课程 11 所以cos α＝1－sin 2α＝45， sin β＝1－cos 2β＝1517， 所以cos αcos β－sin αsin β ＝45×817－35×1517＝－1385. (3)f (x )＝2cos(x 5＋π6)， 由2k π－π≤x 5＋π6≤2k π，k ∈Z ， 得10k π－35π6≤x ≤10k π－5π6，k ∈Z ， 所以单调递增区间为[10k π－35π6，10k π－5π6](k ∈Z ).。

3.1.1 两角和与差的余弦课后篇巩固探究1。

cos 70°cos 335°+sin 110°sin 25°的值为( ） A 。

1 B .√22C .√32D 。

12=cos70°cos25°+sin70°sin25°=cos(70°-25°)=cos45°=√22。

sin (π4-3x)×cos (π3-3x)-sin (π4+3x)×sin (π3-3x)的结果为( ）A.cos 5π12 B 。

—cos 5π12 C.sin 5π12 D.—sin 5π12ABC 中，cos A=35，cos B=513，则cos C 等于（ ) A.—3365 B.3365C.—6365D.63654已知cos α=√55，则cos (α-π4)的值为（ ）A 。

3√1010B 。

-√1010 C.2√55D.3√1010或—√1010cos(α+β）=15,cos （α-β)=35，则tan α·tan β的值为( ） A .2B 。

12C .—2D .-12cos(α+β）=15,cos(α—β）=35可得{cosαcosβ-sinαsinβ=15,cosαcosβ+sinαsinβ=35,αsin β=15,cos αcos β=25。

∴tan αtan β=sinαsinβcosαcosβ=1525=12。

a =(2cos α,2sin α），b =（3cos β,3sin β），a 与b 的夹角为60°，则直线x cos α-y sin α=12与圆（x —cos β)2+(y+sin β)2=12的位置关系是( ）A.相切B.相交 D 。

随α,β的值而定7已知，β均为锐角，且sin α=√55，cos β=√1010，则α-β的值为 。

-π48已知sin(α—45°)=-√210,0°<α<90°,则cos α= .0°〈α〈90°,所以-45°<α—45°〈45°,cos(α-45°)=√1-sin 2(α-45°)=7√210, 所以cos α=cos ［(α—45°）+45°］=cos （α-45°）cos45°—sin （α—45°)sin45°=45。

3.1 和角公式3.1.1 两角和与差的余弦要注重公式的逆向应用．两角和与差的余弦公式两角和的余弦公式：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β，(C α＋β) 两角差的余弦公式：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.(C α－β) 【自主测试1】co s 75°等于( )A ．6＋22B ．6－22C ．6－24D ．6＋24答案：C【自主测试2】(2012·福建三明联考)计算：cos 13°·cos 47°＋sin 13°·cos 137°＝__________.答案：12【自主测试3】已知sin α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 答案：2101．对C α±β的理解和记忆剖析：(1)公式的结构特征和符号规律：对于两角和与差的余弦公式C α±β可以简记为“余余正正，和差相反”．(2)注意事项：不要误记为cos(α－β)＝cos α－cos β或cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.(3)该公式是整章三角函数公式的基础，要理解该公式的推导方法．公式的应用要讲究一个“活”字，即正用，逆用，变形用，还要创造条件应用公式，如构造角：β＝(α＋β)－α，β＝α＋β2－α－β2等．2．注意cos(α－β)＝cos α－cos β成立的条件剖析：许多人初学三角函数时，容易做一个错误的知识迁移，由a (b ＋c )＝ab ＋ac 来思考cos(α－β)，把它看成是cos 与(α－β)的乘积，于是便有了cos(α－β)＝cos α－cos β，实际上，cos 是一个函数符号，cos(α－β)是一个整体，所以不能由彼及此．可以取一些特殊的值来验证，如α＝π3，β＝π6，则cos(α－β)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π6＝cos π6＝32，cos α－cos β＝cos π3－cos π6＝12－32，显然，此时cos(α－β)≠cos α－cos β，但当α＝π4，β＝π2时，cos(α－β)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝22，cos α－cos β＝cos π4－cos π2＝22－0＝22.此时cos(α－β)＝cos α－cos β，但这仅仅只是一个巧合而已．在做选择题时尤其要注意这一点．名师点拨(1)运用任何公式都要注意其成立的条件，比如上述的等式不是恒成立的； (2)对于两角和与差的余弦公式，在使用时不仅要会正用，还要能够逆用公式，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题．如由cos 50°cos 20°＋sin 50°sin 20°能迅速地想到cos 50°cos 20°＋sin 50°sin 20°＝cos(50°－20°)＝cos 30°＝32.题型一 直接利用两角和与差的余弦公式求值【例题1】求值：(1)cos 15°cos 15°－sin 15°sin 15°；(2)sin(110°＋x )cos(x －40°)＋cos(x －70°)·sin(220°－x )． 分析：(1)逆用两角和的余弦公式即可．(2)统一函数名称，统一角，使其符合两角和与差的余弦公式的结构．解：(1)原式＝cos(15°＋15°)＝cos 30°＝32.(2)原式＝cos(x ＋20°)cos(x －40°)＋sin[90°＋(x －70°)]sin(x －40°) ＝cos(x ＋20°)cos(x －40°)＋sin(x ＋20°)sin(x －40°)＝cos[(x ＋20°)－(x －40°)]＝cos 60°＝12.反思公式C α±β是三角恒等式，既可正用，也可逆用，一定要注意公式的结构名称、特征，灵活变换角或名称，同时在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题，然后利用公式化简求值．题型二 给值求值问题【例题2】已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.解析：利用α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4来求值． ∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，∴α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π. ∴cos(α＋β)＝1－sin 2α＋β＝45.又β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－513. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1213＝－5665. 答案：－5665反思本题属于“给值求值”的题目，“变角”的技巧在三角函数求值以及证明中经常用到，因为变角后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明．常见的角的变换方式：α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)＝12[(α＋β)＋(α－β)]＝12[(α＋β)－(β－α)]，2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(α＋β)－(β－α)，4α＝2·2α，α＝2·α2，α＋2β＝(α＋β)＋β等．变换的方式很多，需要自己慢慢地体会和探索．〖互动探究〗将本例中“sin(α＋β)＝－35”改为“cos(α＋β)＝45”，其他条件不变，结果又如何？解：结果为－5665.题型三 给值求角问题【例题3】已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，求α＋β.分析：利用两角和的余弦公式求α＋β的余弦值，并结合角α＋β的范围进行求解．解：∵α，β为锐角，且sin α＝55，cos β＝31010，∴cos α＝1－sin 2α＝1－15＝255， sin β＝1－cos 2β＝1－910＝1010. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝ 255×31010－55×1010＝22. 由0＜α＜π2，0＜β＜π2，得0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＞0，∴α＋β为锐角，∴α＋β＝π4.反思此类题是给值求角题，解题步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值；②确定所求角的范围．此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值． 〖互动探究〗将本例中α，β的范围均改为第一象限角，其他条件不变，结果又如何？解：结果变为α＋β＝π4＋2k π，k ∈Z .题型四 易错辨析【例题4】已知0≤α＜β＜γ＜2π，且sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，求β－α.错解：由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝－sin γ， ①cos α＋cos β＝－cos γ. ②①2＋②2，得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1.故cos(β－α)＝－12.由0≤α＜β＜γ＜2π，知0＜β－α＜2π，所以β－α＝2π3或β－α＝4π3.错因分析：没有对结果进行检验，其实题目中隐含着条件β－α＜γ－α.正解：由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝－sin γ，①cos α＋cos β＝－cos γ.②①2＋②2，得2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1，故cos(β－α)＝－12.由0≤α＜β＜γ＜2π，知0＜β－α＜2π，所以β－α＝2π3或β－α＝4π3.同理可求出cos(γ－α)＝－12，且0＜γ－α＜2π，所以γ－α＝2π3或γ－α＝4π3.又由β－α＜γ－α，因此β－α取两者中较小的，γ－α取较大的．所以β－α＝2π3.1．sin 22°sin 23°－cos 23°cos 22°的值为( ) A ．12 B ．22 C ．－12 D ．－22解析：利用两角和的余弦公式，原式＝－(cos 23°cos 22°－sin 23°sin 22°)＝－cos(23°＋22°)＝－cos 45°＝－22.答案：D2．满足cos αcos β＝32＋sin αsin β的一组α，β的值是( )A ．α＝13π12，β＝3π4B ．α＝π2，β＝π3C ．α＝π2，β＝π6D ．α＝π3，β＝π6解析：由cos αcos β＝32＋sin αsin β，得cos αcos β－sin α sin β＝32，利用两角和的余弦公式得cos(α＋β)＝32， 所以α＋β＝2k π±π6(k ∈Z )，经验证，选项A 符合条件，故选A ．答案：A3．已知α，β为锐角，且cos α＝110，cos β＝15，则α＋β的值是( )A ．2π3B ．3π4C ．π4D ．π3答案：B4．12cos 15°＋32sin 15°＝________. 解析：12cos 15°＋32sin 15°＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22. 答案：225．在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝513，则cos C 的值是________．解析：在△ABC 中，由cos A ＝35，可知A 为锐角，∴sin A ＝1－cos 2A ＝45.由cos B ＝513，可知B 也为锐角，∴sin B ＝1－cos 2B ＝1213.∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝45×1213－35×513＝3365. 答案：33656．已知sin α＝45，α∈(0，π)，cos β＝－513，β是第三象限角，求cos(α－β)的值．解：①当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π时，由sin α＝45， 得cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35.由cos β＝－513，β是第三象限角，得sin β＝－1－cos 2β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝－1213.所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝－3365.②当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，由sin α＝45，得cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35. 由cos β＝－513，β是第三象限角，得sin β＝－1－cos 2β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝－1213.所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝－6365.。

两角和与差的余弦公式教学设计【教学三维目标】1.知识与技能目标：理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式，运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题；培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；2过程与方法目标：通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力；体会公式探求中从特殊到一般的数学思想，同时渗透如上所说的多种数学思想。

3.情感、态度、价值观目标：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。

【高考等级要求】C级【教学重点】两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用。

【教学难点】两角和与差的余弦公式的推导过程，特别是一般性的推广。

【突破措施】先由特殊情形引入再向一般性过渡，充分挖掘学生的思考和探究能力，以达到对公式的深入理解和灵活运用。

【教材分析】这节内容是教材必修4的第三章《三角恒等变换》第一节，是高考的重点考点，历年高考必考内容，一般在填空或解答题第15题出现。

教材在学生掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示的两角和与差的三角函数．“两角差的余弦公式”在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时成立．对于α，β为任意角的情况，教材运用向量的知识进行了探究．同时，补充了用向量的方法推导过程中的不严谨之处，这样，两角差的余弦公式便具有了一般性。

【学情分析】本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。

他们经过半个多学期的高中生活，储备了一定的数学知识，掌握了一些高中数学的学习方法，这为本节课的学习建立了良好的知识基础。

【学具准备】小黑板圆规【学法设计】独立思考，生生交流探究，小组合作【知识链接】诱导公式平面向量的数量积一、产生对公式的需求引入新课（1分钟）首先让学生通过具体实例消除对“cos(α-β)=cosα-cosβ”的误解，说明两角和（差）的三角函数不能按分配律展开。

和角公式
两角和与差的余弦
.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用.(难点)
.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式.
.能利用两角和与差的余弦公式化简、求值.(重点)
[基础·初探]
教材整理两角和与差的余弦公式
阅读教材内容，完成下列问题.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
()α，β∈时，(α－β)＝αβ－αβ.( )
()α，β∈时，(α－β)＝αβ＋αβ.( )
()存在实数α，β，使(α＋β)＝α－β成立.( )
()－＝α.( )
【答案】()×()√()√()×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
[小组合作型]
.－
()化简下列各式：
①(θ＋°)(θ－°)＋(θ＋°)(θ－°)；
②－ °· °＋ °· °.
【精彩点拨】()求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的和或差，然后利用两角和与差的余弦公式求解.
()两特殊角之和或差的余弦值，利用两角和与差的余弦公式直接展开求解.
()对较复杂的式子化简时应注意两角和与差余弦公式的逆用.
【自主解答】() °＝(°－°)
＝°＝(°－°)
＝° °＋° °。