数学名师与精彩之解

序言：数学名师与精彩之解任勇四年前的一个台风之夜，风雨交加，我在厦门一中对面的闽侨大厦见到了王淼生老师。

他代表九江一中来福州参加闽浙赣数学竞赛活动，我特地邀请这位金牌教练来厦门一中看看，希望他能加盟厦门一中团队。

瘦小，拘谨，极为朴素，是他给我的第一印象。

交谈中得知他之所以想来厦门看一眼，是希望为他唯一的孩子——一个弱智的儿子，在厦门找到他所期望的教育机会。

虽是金牌教练，且我内心很喜欢这位老师，但要进厦门一中，还是要参加笔试、试教和面试等基本程序的。

爱才心切的我，一时找不到合适的机会说这事，便把我特意带去的自己的著作《中学数学解题百技巧》送给他，我在扉页上写道：“诚邀天下英才，共创一中伟业。

”王老师痴迷地进入书中数学的抽象世界，也不搭理我们，屋里极为宁静，唯闻屋外愈发猛烈的风雨声。

忽然间，王老师激动了，说他就希望能有这样一本书，并主动说：“任校长，我明天就上课，就笔试、面试。

”第二天，王老师借班上课，我早早地等在那儿准备听课。

我听了十几分钟，就认定要引进这位数学金牌教练了！数学教师就应该是这个样子！课上完后，班级掌声四起，学生觉得听这样的数学课，爽！启发大，印象深，是一种美的享受，是一次智慧之旅。

几经周折，半年后王老师融入了厦门一中团队。

刚来厦门，两地的文化差异让王老师一时难以适应，有点“水土不服”。

王老师忧心忡忡，我也深感焦虑。

一日，王老师带儿子到一中篮球馆看我们打球，他也抓起球来拨弄，真没想到王老师篮球基本功不错！我便邀请他加入球队。

每周两次的球队活动，让王老师有一个与大家交流的机会，不然他会憋坏的。

打着打着，王老师打出与老师们的友谊，打出了他的阳光心态，融入了一中的球队文化。

就这样，在大家的帮助下，王老师终于“水土相服”了，他不仅带出了一个特别优秀的班级，还带出了厦门一中久违的两块数学金牌。

王老师的适应、融入，我不敢说一定就是打篮球打出来的，但打篮球一定是其中一项重要因素。

回想我和王老师的交往，有几件事让我印象特别深刻。

1、如图AB//CD，∠B=120°, ∠C=35°求∠EA BEC D、2、如图A1B是∠ABC角平分线，A1C是∠ACD角平分线，A2B是∠A1BC角平分线，A2C 是∠A1CD角平分线，求∠A与∠A1，∠A与∠A2关系？AB C A1A2D3、已知长方形AB//CD，AC、BD交于O，S△AOB=32，S△COB=48，则梯形面积是多少？A BCDO4、如图，已知几根线段把长方形分成几份，中间是阴影部分，求阴影部分面积？5、如图，△ABC的三个角平分线交于O，过O点OE⊥BC于E，求证∠BOD=∠COEBCD6、如图，BE与CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠DEB的平分线，（1）求∠F与∠B、∠D之间关系；（2）∠B：∠D：∠F=2：4：x,求x值？BC 7、如图，AO是∠A的角平分线，AB⊥BD，DF⊥AC，ED=DC，求证：BE=FC。

AEB C8、如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂直分别为点D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是__________?B C9、如图所示，∠B+∠D=180°，CE⊥AB，AC为∠A的角平分线，求证：AE=AD+EB.ABC DE10、如图所示，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠ADC=180°，E 、F 分别是边BC 、CD延长线上的点，∠EAF=BAD 21，求BE 、DF 、EF 的关系. ABCEDFG11、如图，P 是△ABC 的外角∠EAC 的角平分线AF 上的任意一点，求证：△ABC 的周长小于△PBC 的周长.EABCPF12、如图，△ABC ，ED ⊥DF ，D 为中点，求EB+CF 与EF 的大小.AB13、如图，△ABC 中，BD=DC+AC ，E 是DC 中点，求证：AD 平分∠BAE.ABDEC14、如图，△ABC 中，AB=2AC ，AD 平分∠BAC ，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC.B CD15、如图，已知在△ABC 内，∠BAC=60°，∠C=40°，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平线，求证：BQ+AQ=AB+BP.AB16、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,AC=BC,D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，交AB 于F ，连接DF ，求证：∠ADC=∠BDF.CAB17、如图，求以∠O 两边与点A 、B 所围的周长最短.A B O。

苏教版五年级上册第三单元《小数的意义和性质》详解与训练——知识点、常考题、易错题、重点题、拓展题《小数的意义和性质》知识点1.小数的意义：分母是 10、100、1000……的分数都可以用小数表示。

一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……2.小数数位：（1）相邻两个计数单位之间的进率都是 10；（2）整数部分没有最高位，小数部分没有最低位；（3）整数部分最低位是个位，小数部分最高位是十分位。

3．小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。

根据小数的性质，可对小数进行化简或按要求改写小数。

4.小数的改写：（1）用“万”作单位：a、从个位起，往左数四位，画“┆”，在“┆”下方点小数点；b、去掉小数末尾的“0”，添上“万”字。

（2）用“亿”作单位：a、从个位起，往左数八位，画“┆”，在“┆”下方点小数点；b、去掉小数末尾的“0”，添上“亿”字。

5.求整数的近似数：（1）省略万后面的尾数：看“千”位上的数，用“四舍五入”法取近似值。

添上“万”字，用“≈”连接。

（2）省略亿后面的尾数：看“千万”位上的数，用“四舍五入”法取近似值。

添上“亿”字，用“≈”连接。

6.求小数的近似数：（1）保留整数：就是精确到个位，要看十分位上的数来决定四舍五入。

（2）保留一位小数：就是精确到十分位，要看百分位上的数来决定四舍五入。

（3）保留两位小数：就是精确到百分位，要看千分位上的数来决定四舍五入。

第三单元《小数的意义和性质》常考题、易错题、重点题、拓展题 第一课时 小数的意义和读写一、填一填。

1.3毫米= （ ）（ ）米=（ ）米 2厘米= （ ）（ ）米=（ ）米1分米= （ ）（ ）米=（ ）米 5分= （ ）（ ）元=（ ）元2. 6角=) () (元=（ ）元 15毫米=)()(米=（ ）米 3.4角是1元的（ ），用小数表示是( )元，读作( )元。

4.1000896千克写成小数是( )千克，读作( )千克,相当于( )克。

人教版六年级下册数学应用题100道一.解答题(共100题，共591分)1.把一个体积是282.6cm3的铁块熔铸成一个底面半径是6厘米的圆锥形机器零件，求圆锥零件的高？（π取3.14)2.一个圆锥体的体积是15.7立方分米，底面积是3.14平方分米，它的高有多少分米。

3.某服装店卖一种裙子，原来每条售价为120元，是进价的150％。

现在店主计划打折促销，但要保证每条裙子赚的钱不少于10元。

问：折扣不能低于几折?4.一场音乐会的门票，55%是按全价卖出，40%是五折卖出，剩下的20张门票是免费赠送的。

（1）这场音乐会的门票一共有多少张？（2）如果门票一共卖了7200元，那么一张门票的全价是多少元？5.甲、乙两店都经营同样的某种商品，甲店先涨价10%后，又降价10%；乙店先涨价15%后，又降价15%。

此时，哪个店的售价高些？6.化肥厂把生产1600 t化肥的任务按三个车间的人数比分配，一车间53人，二车间52人，三车间55人。

三个车间各应生产化肥多少吨？7.一种圆柱形状的铁皮油桶，量得底面直径8dm，高5dm.做一个这样的铁皮油桶至少需多少平方米铁皮？（铁皮厚度不计，结果保留整数）8.某电视机厂去年电视机生产情况统计图（单位:台； 2011年1月）看图列式计算:（1）全年共生产电视机多少台？（2）平均每月生产电视机多少台？（3）第四季度比第一季度增产百分之几？9.一个圆锥体钢制零件，底面半径是3cm，高是2m，这个零件的体积是多少立方厘米？10.一只股票7月份比6月份上涨了15%，8月份又比7月份下降了15%。

请问这只股票8月份的股份和6月份比是上涨了还是下降了？变化幅度是多少？11.下表记录的是某天我国8个城市的最低气温。

（1）哪个城市的气温最高，哪个城市的气温最低，分别是多少？（2）把各个城市的最低气温按从高到低的顺序排列出来。

12.如果规定进库数量用正数表示，请你根据下表中某一周粮库进出大米数量的记录情况，说出每天记录数量的意义。

苏教版五年级上册第四单元《小数加法和减法》详解与训练——知识点、常考题、易错题、重点题、拓展题《小数加法和减法》知识点1.小数加法和减法的计算方法：要把小数点对齐，也就是相同数位对齐；从最低位算起，各位满十要进一；不够减时要向前一位借 1 当 10 再减。

2．被减数是整数时，要添上小数点，并根据减数的小数部分补上“0”后再减。

3.用竖式计算小数加、减法时，小数点末尾的“0”不能去掉，把结果写在横式中时，小数点末尾的“0”要去掉。

4.小数加减简便运算：加法交换律和结合律：（a＋b）＋c =a＋（b＋c）=（a+c）+b减法的性质：a－（b＋c）=a－b－c其它简便方法：a－（b－c）=a－b＋c= (a＋c)－b，a－b＋c－d=a＋c-（b＋d）易错题精解11.小军、小红和小明参加跳远比赛。

小军跳了2.88米，小明比小军多跳了0.3米，小红只跳了1.9米。

小明跳了多少米?小红比小军少跳了多少米?2.马小虎在计算3.75减去一个小数时,由于粗心把减号看成了加号,得到的结果是5.25。

你能帮他算出正确的结果吗?解1:2.88+0.3=3.18(米) 2.88-1.9=0.98(米)答:小明跳了3.18米，小红比小军少跳了0.98米。

解2:5.25-3.75=1.5 3.75-1.5=2.25答:正确的结果是2.25。

易错题精解21.(易错题)小优家离学校1.8千米，一天早晨她走了0.85千米后发现忘带语文书，又回家去拿,然后再去学校。

这天她上学比平时多走了多少千米?2.(常考题)小冬在计算5.27加一个一位小数时,由于错误地只把数的末尾对齐,结果得到6.33。

正确的得数是多少?1.0.85+0.85=1.7(千米)答:这天她上学比平时多走了1.7千米。

2.6.33-5.27=1.06 5.27+10.6=15.87答:正确的得数是15.87。

易错题精解31.(易错题)在秋季运动会的百米赛跑项目中,王天跑了15.83秒，李亮跑了16.7秒。

苏教版六年级上册第三单元：《分数除法》详解与训练——知识点、常考题、易错题、重点题、拓展题《分数除法》知识点一、分数除法计算：甲数除以乙数(不为0)等于甲数乘乙数的倒数。

☆除数大于1，商小于被除数；除数小于1，商大于被除数;除数等于1,商等于被除数。

二、分数除法的意义:已知一个数的几分之几是多少，求这个数?三、比的意义:比表示两个数相除的关系。

b四、比与分数、除法的关系:a:b=a÷b=a五、比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数(0除外)，比值不变。

六、最简整数比：比的前项和后项是互质数。

也就是比的前项和后项除了1意外没有其它公因数。

七、比值：比的前项除以比的后项，所得的商就叫比值。

☆比值是一个数，可以是整数、分数、小数，不带单位名称。

八、化简：方法:先把比的前、后项变成整数，再除以它们的最大公因数。

☆化简比和求比值是不同的两个概念[意义不同，方法不同，结果不同]九、按比例分配问题解决方法：先求出总份数，再求各部分数占总数的几分之几，转化成分数乘法来计算。

把甲仓库存粮吨数的10运入乙仓库后,两个仓库的存粮吨数正好相等。

原来甲仓库比乙仓库多存粮20吨，原来甲仓库存粮多少吨?小刚给王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的83,第二次运了50块,这时已运的恰好是未运的75。

还有多少块蜂窝煤未运?考点拓展延伸1分析根据题意。

可以画出如下线段图。

从图中可以看出，甲仓库比乙仓库多的20吨粮食相当于甲仓库存粮吨数的（101×2）,或者甲仓库存粮吨数的101相当于(20÷2)吨粮食。

解法一:101×2=51 20÷51=100(吨)解法二:20÷2÷101=100(吨)考点拓展延伸2分析：运完第一次后，还剩下(1-83)未运,再运50块后,已运的恰好是未运的75，也就是说未运的占全部的757+，因此第二次运的50块占全部的(1-83-757+）=241，全部蜂窝煤有50÷241=1200(块),未运的有1200×757+=700(块)。

初中数学一题多解例题篇一:初中数学一题多解题初中数学一题多解题例题一、两个连续奇数的积是323，求出这两个数方法一、设较小的奇数为x,另外一个就是x+2x(x+2)=323解方程得:x1=17,x2=-19所以，这两个奇数分别是:17、19，或者-17，-19方法二、设较大的奇数x,则较小的奇数为323/x则有:x-323/x=2解方程得:x1=19,x2=-17同样可以得出这两个奇数分别是:17、19，或者-17，-19方法三、设x为任意整数，则这两个连续奇数分别为:2x-1,2x+11(2x-1)(2x+1)=323即4x -1=323x =81x1=9,x2=-92x1-1=17,2x1+1=192x2-1=-19,2x2+1=-17所以，这两个奇数分别是:17、19，或者-17，-19方法四、设两个连续奇数为x-1,x+1则有x -1=323x =324=4*81x1=18,x2=-18x1-1=17,x1+1=19x2-1=-19,x2+1=-17所以，这两个奇数分别是:17、19，或者-17，-19例题二、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元;如果买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需多少钱,解:设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x、y、z元，则2根据题意，得??13x?5y?9z?9.25?2x?4y?3z?3.20?1??2?分析:此方程组是三元一次方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x、y、z的值是不可能的，但注意到所求的是x?y?z的代数和，因此，我们可通过变形变换得到多种解法。

1. 凑整法?1???2?，得5x?3y?4z?415.3?2???3?，得7(x?y?z)?7.35?x?y?z?105. 解1:?3?答:只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元(下面解法后的答均省略) 解2:原方程组可变形为??13(x?y?z)?4(2y?z)?9.25 ?2(x?y?z)?(2y?z)?3.20解之得:x?y?z?105.2. 主元法解3:视x、y为主元，视z为常数，解<1、<2得x?05.?05.z .?05.z，y?055?x?y?z?055.?05.?z?z?105.解4:视y、z为主元，视x为常数，解<1、<2得y?0.05?x，z?1?2x?x?y?z?105.?x?2x?x?105.3解5:视z、x为主元，视y为常数，解<1、<2.?2y 得x?y?0.05，z?11?x?y?z?y?0.05?y?11.?2y?105.3. “消元”法解6:令x?0，则原方程组可化为?5y?9z?9.25?y?0.05?? ? 4y?3z?3.2z?1???x?y?z?105.解7:令y?0，则原方程组可化为?13x?9z?9.25?x??0.05?? ? 2x?3z?3.20z?11.???x?y?z?105.解8:令z?0，则原方程组可化为?13x?5y?9.25?x?0.5?? ? 2x?4y?3.20y?0.55???x?y?z?105.4. 参数法解9:设x?y?z?k，则?1??13x?5y?9z?9.25??2? ?2x?4y?3z?3.20?x?y?z?k?3????1???2??3，得x?y??0.05?4??3??3??2?，得x?y?3k?32.?由<4、<5得3k?32.??005.?k?105.即x?y?z?105.45. 待定系数法解10. 设?5? x?y?z?a(13x?5y?9z)?b(2x?4y?3z)?(13a?2b)x?(5a?4b)y?(9a?3b)z?1?则比较两边对应项系数，得?13a?2b?1?a?1???21 ?5a?4b?1?? 4?9a?3b?1?b???21?将其代入<1中，得x?y?z?141?9.25??32.??22.05?105. 212121附练习题1. 有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨;5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。

数学教师心得体会和感悟数学教师心得体会和感悟篇1满怀对教育的赤诚，对名师的敬仰，在20__年的9月26日至29日，我很荣幸地参加了__市中小学数学骨干教师培训学习。

听了陈__、刘__、孙__、李__、郑__五位专家的讲座和报告，为期四天的培训，我感觉每天都是充实的，因为每天都要面对不同风格的讲师，每天都能听到不同类型的讲座，每天都能感受到思想火花的冲击。

在培训中，我进一步认识了新课程的发展方向和目标，反思了自己以往在工作中的不足。

一些对教育教学工作很有见解的专家以鲜活的案例和丰富的知识内涵，给了我具体的操作指导，使我的教育观念进一步得到了更新，真是受益匪浅。

在众多教师中，能参加这样的培训，我想我是幸运的、是幸福的，在这里，我此次培训有如下体会。

一、教师如何进行知识更新"知识也有保质期"。

作为教师，实践经验是财富，同时也可能是羁绊。

因为过多的实践经验有时会阻碍教师对新知识的接受，也能一时地掩盖教师新知识的不足，久而久之，势必造成教师知识的缺乏。

缺乏知识的教师，仅靠那点旧有的教学经验，自然会导致各种能力的下降甚至是缺失，这时旧有的教学经验就成了阻碍教师教学能力的发展和提高的障碍。

在充分尊重教育者的基础上，强调打破教育霸权，用全新的、科学的、与时代相吻合的教育思想、理念、方式、方法来武装教育者的头脑，使之打破其坚冰一样的由陈旧的知识和经验累积起来的教育思想和理念，那么，在此基础上建立起来的新的知识结构和教学理念必然充满生机和活力。

二、在教学活动中，教师要当好组织者教师要充分信任儿童，相信儿童完全有学习的能力。

把机会交给儿童，俯下身子看儿童的生活，平等参与儿童的研究。

教师把探究的机会交给儿童，儿童就能充分展示自己学习的过程，教师也就可以自如开展教学活动。

__师大孙教授的讲座，新课程实施的灵活性大，让教师觉的难以驾驭教学行为，课堂教学中表现为过多的焦虑和不安。

那么，怎样调动儿童的“思维参与”呢？应当创设情景，巧妙地提出问题，引发儿童心理上的认知冲突，使儿童处与一种“心求通而未得，口欲言而弗能”的状态。

听数学名师课心得体会7篇(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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消元法山西省寿阳县第一中学校 李建军一、内容概述消元法是指将许多关系式中的若干个元素，通过有限次地变换消去其中的某些元素，从而使问题获得解决的一种解题方法.消元法属于化归（转化）思想的范畴，是实施化归思想的重要方式和策略，广泛应用在函数与方程、不等式、数列、三角与向量、解析几何等数学问题的解决过程中。

学习和掌握消元法，不但对巩固基础知识、提高解题能力有重要作用，而且有利于培养思维能力、积淀数学素养. 中学阶段常用的消元法有三类：一类是直接消元。

比如运算消元法、公式消元法等；第二类是间接消元。

比如参数（换元）消元法等。

第三类是综合消元。

本专题分三讲，毎讲通过几个例题的解决，体验这类消元法在解题中的具体应用，进一步体会该方法对转化思想的完美诠释,增强解题的方向性和有效性。

二、例题讲解直接消元法在高中数学解题的过程中，和谐统一是化归的大方向。

所以将条件和结论中诸多不同的元，通过加减乘除等运算方式或者已有的公式直接消元，达到化简和计算的结果。

请看下面的题目：例1．（必修四P ）已知,2tan =α求ααααcos sin cos sin +-的值。

解：（方法一）由同角三角函数关系得：2cos sin tan ==ααα，所以ααcos 2sin =.所以31cos 3cos cos cos 2cos cos 2cos sin cos sin ==+-=+-αααααααααα。

（方法二）将式子ααααcos sin cos sin +-的分子、分母同除以αcos 得1tan 1tan 1cos sin 1cos sin cos sin cos sin +-=+-=+-αααααααααα，将2tan =α代入可得：原式=31。

评析：本题涉及三个元：αααtan cos sin 、、,方法一利用同角三角函数关系将切化为弦，消去一个元，再用代入消元的方法消去另一个元，最后用约分(除法)消去第三个元，从而使问题得到解决。

作差法1 内容概述作差法常指作差比较法，它是一种常用的比较两个数（式）大小的方法，其理论基础是a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，a =b ⇔a －b =0，其步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）定号，得出结论. 其中变形是关键，变形的目的是为了判断差值的符号。

这里面蕴含着化归与转化思想，但是其实作差法还是一种常见的消元方法，比如初中学过的解二元一次方程组就常用作差法进行消元。

而在数列问题中我们也常常用到作差法，当我们遇到与前n 项和有关问题时，可以将和式少写或者多写1项，再将二者整体相减，只剩下第n 项或n +1项，这样就得到相应的递推关系式，从而问题转化为已知递推关系求数列通项问题,这就是我们熟悉的和通公式。

2 例题示范例1 （人教A 版必修3 P75B 组第一题（3））比较大小(x ²+y ²+1)与2(x +y -1)的大小 解：(x ²+y ²+1)-2(x +y -1)=(x ²-2x +1)+(y ²-2y +1)+1=( x -1)²+( y -1)²+1≥1＞0所以(x ²+ y ²+1)-2(x + y -1)＞0即 x ²+ y ²+1＞2(x + y -1)评析：在利用作差法比较两个数（式）的大小时，关键是将作差后的式子转化成能应用已知条件判断符号的因式. 转化的方法一般为因式分解法和配方法. 转化的结果常常为：①常数；②常数和几个平方和的形式；③几个因式的积.例2 （人教A 版选修1-1P99B 组题改编）证明：1+x e x ≥解：设f (x )=e x -(1+x ),则f (0)=0,且f '(x )=e x -1当x ＞0时，f '(x )＞0，f (x )在区间[0,＋∞)上单调递增.当x ＜0时，f '(x )＜0,从而f (x )在区间（－∞,0]上单调递减，所以f (x )＞f (0)=0,即f (x )=e x -(1+x )≥0，即 1+x e x ≥评析：证明函数不等式通常要把不等式恒成立问题，通过构造差函数，转化为利用导数求函数最值或值域问题．例3：已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.证明：2n n a a λ+-=；解：由题设，11211,1n n n n n n a a S a a S λλ++++=-=-两式相减得121()n n n n a a a a λ+++-=，而10n a +≠，2n n a a λ+∴-=评析：当题目的已知条件是n S 与i a 之间的递推关系时，宜采用作差法．该方法实质上是公式11n n n a S S n -=->（）的变形应用，但就是这种小小的变形，却使我们解题时更加简捷、方便、实用．当遇到含有前ｎ项和Ｓｎ或若干项和的数列题目时，我们经常通过例4：已知数列的通项公式为65n a n =+，的通项公式为13+=n b n .令.求数列的前n 项和. 解： +1+16631233n n n n (n )c (n )(n )+==+⋅+， 又n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321，即]2)1(242322[31432+++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n T ，34522322324212n n T (n )+= [⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++]，以上两式两边相减得2341232222212n n n T (n )++-=[⨯+++⋅⋅⋅+-+]。

2020年，代表着全球数学教育界最高水平的第14届国际数学教育大会（ICME）将在中国上海举行，它每四年召开一次， 其宗旨 是展示 全球 数学教育的最新进展，交流全球数学教育问题的相关信息、学习并从作为学科的数学的最新进展中获得启示， 这是中国数学教育界第一次主办如此大规模高规格 的国际性会议 ， 中国是数学教育大国，因此这也让许多人不禁想到，将数学与教育学交叉、高等数学与初等数学交叉，以'问题解决'为基本形式，思想邻接前沿数学的数学竞赛，代表着国际上最有影响力，同时也是公认水平最高的中学数学竞赛——国际数学奥林匹克（简称IMO）能否在不久的将来再一次在中国举办，因为距离中国举办这一赛事已经过去将近30年，1990年， 我们在各界人士的支持和帮助下举行了 中国首届，同时也是亚洲首届IMO，当时任中国数学理事长的王元先生指出对数学界来说，最重要的两件事情是选好题与抓好我国代表队， 并委托了南京师范大学数学系担任24名经过年初的数学冬令营选派出来的国家集训队成员的训练工作，其集训队由 单墫担任主教练，葛军担任班主任， 在集训期间，他们邀请了国内众多著名专家学者及饶有经验的教师给集训队上课，舒五昌、施咸亮、刘鸿坤、严镇军、杜锡录、康士凯、马明、黄宣国、曹鸿德、胡大同、李克正、熊斌、陈计、余红兵、冯惠愚、吴伟朝、高珍光、刘亚强等人都热情支持了这项工作，为集训队成员指导并作了精彩的讲演， 不仅如此，在这个期间还进行了多次测试，布置了大量的习题，每周测试1-2次，4道试题，要求3个小时完成，难度接近IMO，例题、习题约有一千道，同学们互相启发，提供了不少好的解法，后来单墫与葛军两位教授将这些名师的精彩讲座、报告材料以及集训队的训练资料和同学之间碰撞出的优秀解法，以自身丰富的教学经验加以融合贯通，组织整理，汇编成书，其书由数论、多项式、函数、Jensen不等式、数列、几何六大讲座与综合训练七个部分组成，这'七剑'让我们在家门口登顶了团队总分第一这座'天山'，而如今，这份传奇之作再现江湖：'我有这七剑，当可开天门'！。

数学名师听课心得体会10篇数学名师听课心得体会15月8日--9日，我参加小学数学名师教学观摩研讨会。

在2天的时间里，观摩了8节示范课，聆听了2个学术报告，听了这些名师和专家的课，使我更深刻地感受到了名师课堂教学的生活化，艺术化。

下面我就说一说我听课后的感受。

以前觉得教小学生还应付自如，每天都能认真备课，有时观看名师的录像课，并把精华的部分用到自己的教学中来，但上过课后也有很多的困惑，为什么同样一篇教案，名师们在课堂上是那么的挥洒自如，孩子们学起来也是兴高采烈，而到了我的课堂上却是不尽人意？蔡宏圣和朱玉如两位老师的学术报告后中提到：“没有课前的精心预设，就没有课堂上的精彩生成。

”听了名师的示范课以后，觉得自己要学习的东西还有很多，尤其是名师们的敬业精神令人感动，太原市张琪老师《确定位置》一课中，充分地让我感受到了“数学应该是现实的，是生活化的，是儿童乐于做的。

”张老师首先让学生找出自己好朋友的位置，由于标准的不同而产生问题，再让学生自己去解决问题，使整节课都在学生的自主学习生完成教学，真正的展现了学生的自主能力。

听了李小春老师的课和讲解后，更让我感到的是教师不仅要让学生自已动起来，同时在动的过程中更应该发现问题，正如李小春老师说的：“教学不是让学生学会知识，而是让学生带着小问题进入课堂，带着更多的问题走出课堂。

”这句话更深刻地点到了我们目前的教学中的不足，每节课的教学不是问学生学会了没有这么简单，而是要让学生在本节课学习的认知能力上产生出更多的问题，这样才能促使学生不断地去追求学习新知，正如“学无止境”一样，知识是没有终点的，就象走路一样，当走到一个十字路口时，我们回头看时好象是到了一个终点，但在我们的面前却又产生了几条没有尽头的新路。

教学和学习也应该是这样的，是一条永远没有尽头的路，因此我们在教学中应更多地关注学生的是否能在学习完后产生更多的有代学习的问题。

后来，听了蔡宏圣老师和朱玉如老师的课和学术报告后，更让我感到的是一种精神上的享受，两位老师深厚的教学功底，及精湛的教学艺术，他们所设计的学习情景，不仅绚丽多彩，贴近学生的生活，而且蕴含着数学问题，让学生从中发现问题。

专题02 函数问题的解题规律一、函数问题的解题规律解题技巧及注意事项1.定义域陷阱2.抽象函数的隐含条件陷阱3.定义域和值域为全体实数陷阱4.还原后新参数范围陷阱5.参数范围漏解陷阱6.函数求和中的倒序求和问题7.分段函数问题8.函数的解析式求法9.恒成立问题求参数范围问题10.任意存在问题二．知识点【学习目标】1．了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域、值域及函数解析式；2．在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数；3．了解简单的分段函数，并能简单应用；4．掌握求函数定义域及解析式的基本方法．【知识要点】1．函数的概念设A，B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然{f(x)|x∈A}⊆B.2．映射的概念设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A 到集合B的映射．3．函数的特点①函数是一种特殊的映射，它是由一个集合到另一个集合的映射；②函数包括定义域A、值域B和对应法则f，简称函数的三要素；③关键是对应法则．4．函数的表示法函数的表示法：图示法、解析法．5．判断两个函数为同一个函数的方法两个函数的定义域和对应法则完全相同(当值域未指明时)，则这两个函数相等．6．分段函数若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子表示函数，这种形式的函数叫分段函数．注意：不要把分段函数误认为是多个函数，它是一个整体，分段处理后，最后写成一个函数表达式．三．典例分析及变式训练（一）定义域陷阱例1. 【曲靖一中2019模拟】已知，若函数在（﹣3，﹣2）上为减函数，且函数=在上有最大值，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由在上为减函数，可得；由在上有最大值，可得，综上可得结果,.【解析】在上为减函数，，且在上恒成立，，，又在上有最大值，且在上单调递增，在上单调递减，且，，解得，综上所述，，故选A.【点评】本题主要考查对数函数的单调性、复合函数的单调性、分段函数的单调性，以及利用单调性求函数最值，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题. 判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.故答案为：D.练习2．已知函数则__________．【答案】1008【解析】分析：由关系，可类比等差数列一次类推求值即可.详解：函数，则，故答案为：1008.点睛：可类比“等差数列”或函数周期性来处理.（七）分段函数问题例7．【河北省廊坊市2019届高三上学期第三次联考】若函数在上是单调函数，且存在负的零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】通过函数的单调性及存在负的零点，列出不等式，化简即可．【详解】当时，,所以函数在上只能是单调递增函数，又存在负的零点，而当时，f(0)=1+a，当时，f（0）=3a-2，0<3a-21+a，解得.故选B.【点评】本题考查分段函数的应用，考查分类讨论思想，转化思想以及计算能力．练习1.已知函数，则f（1）- f（9）=（）A．﹣1 B．﹣2 C． 6 D． 7【答案】A【解析】利用分段函数，分别求出和的值，然后作差得到结果.【详解】依题意得，，所以，故选.【点评】本小题主要考查利用分段函数求函数值，只需要将自变量代入对应的函数段，来求得相应的函数值.属于基础题.练习2．已知,那么等于( )A． 2 B． 3 C． 4 D． 5【答案】A【解析】将逐步化为,再利用分段函数第一段求解.【详解】由分段函数第二段解析式可知，，继而,由分段函数第一段解析式，，故选A.【点睛】本题考查分段函数求函数值，要确定好自变量的取值范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念.（八）函数的解析式求法例8. （1）已f ()=，求f(x)的解析式.（2）．已知y =f(x)是一次函数，且有f [f(x)]=9x＋8，求此一次函数的解析式【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用换元法即可求解；（2）已知函数是一次函数，可设函数解析式为f(x)=ax＋b，再利用待定系数法列出关于a、b的方程组即可求解出a、b的值.【详解】（1）设(x≠0且x≠1)（2）设f(x)=ax＋b，则f[f(x)]=af(x)＋b=a(ax＋b)＋b=a2x＋ab＋b=9x＋8或所以函数的解析式为.【点睛】本题考查函数解析式的求解，解题中应用了换元法和待定系数法，待定系数法的主要思想是构造方程（组），对运算能力要求相对较高，属于中档题.练习1.(1) 已知是一次函数,且满足求 ;(2) 判断函数的奇偶性.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）用待定系数法求一次函数解析式.（2）结合分段函数的性质，分别判断各定义域区间内， f（-x）与f（x）的关系，即可判断函数奇偶性.【点评】本题考查了待定系数法求一次函数，考查了函数的奇偶性的判断，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.再结合分段函数的分段区间，以及对应的解析式，判断关系式f（-x）=f(x)或f（-x）=-f（x）是否成立.练习2．已知函数对一切实数x，y都有f（x+y)﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（0）的值；（2）求f（x）的解析式；（3）已知a，b∈R，当时，求不等式f（x）+3＜2x+a恒成立的a的集合A．【答案】（1）f（0）=﹣2（2）f（x）=x2+x﹣2（3）【解析】（1）令，可得，再根据可得；（2）在条件中的等式中，令，可得，再根据可得所求的解析式；（3）由条件可得当时不等式x2﹣x+1＜a恒成立，根据二次函数的知识求出函数上的值域即可得到的范围．【详解】（1）根据题意，在f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）中，令x=﹣1，y=1，可得，又，∴．（2）在f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）中，令y=0，则f（x）﹣f（0）=x（x+1）又，∴．（3）不等式f（x）+3＜2x+a等价于x2+x﹣2+3＜2x+a，即x2﹣x+1＜a．由当时不等式f（x）+3＜2x+a恒成立，可得当时不等式x2﹣x+1＜a恒成立．设，则在上单调递减，∴，∴．∴．【点评】（1）解决抽象函数（解析式未知的函数）问题的原则有两个：一是合理运用赋值的方法；二是解题时要运用条件中所给的函数的性质．（2）解答恒成立问题时，一般采用分离参数的方法，将问题转化为求具体函数最值的方法求解，若函数的最值不存在，则可用函数值域的端点值来代替．练习3.如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（）A. （A）B. （B）C. （C）D. （D）【答案】B【解析】当0＜x≤1时，y=x2，当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，CD=x，则AD=2-x，∵Rt△ABC中，AC=BC=2，∴△ADM为等腰直角三角形，∴DM=2-x，∴EM=x-（2-x）=2x-2，∴S△ENM=（2x-2）2=2（x-1）2，∴y=x2-2（x-1）2=-x2+4x-2=-（x-2）2+2，∴y=．故选B．练习4.如图，李老师早晨出门锻炼，一段时间内沿⊙M的半圆形M→A→C→B→M路径匀速慢跑，那么李老师离出发点M的距离与时间x之间的函数关系的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，得从M到A距离在增加，由A经B到C与M的距离都是半径，由B到M距离逐渐减少，故选D.（九）恒成立问题求参数范围问题例9. 【湖北省武汉市第六中学2018-2019学年调研数学试题】若函数的定义域为，值域为，则的取值范围A． B． C． D．【答案】C【解析】由函数的定义域、值域结合函数单调性求出的取值范围【详解】由函数的对称轴为且函数图像开口向上则函数在上单调递减，在上单调递增，当且仅当处取得最小值由值域可知，故在上函数单调递增，在处取得最大值故，解得综上所述，故选【点睛】本题在知道函数的定义域与值域后求参量的取值范围，在解答题目时结合函数的单调性判定取值域的情况。

苏教版五年级上册第二单元《多边形的面积》详解与训练——知识点、常考题、易错题、重点题、拓展题一、公式：长方形：周长=(长+宽)×2 字母公式：C=(a+b)×2面积=长×宽；字母公式：S=ab正方形：周长=边长×4 ；字母公式：C=4a面积=边长×边长；字母公式：S=a平行四边形：面积=底×高；字母公式：S=ah三角形：面积=底×高÷2；字母公式：S=ah÷2底=面积×2÷高；高=面积×2÷底梯形：面积=（上底+下底）×高÷2 ；S=（a+b）h÷2上底=面积×2÷高－下底；下底=面积×2÷高－上底；高=面积×2÷（上底+下底）二．单位换算的方法：大化小乘进率；小化大除以进率。

三．单位换算的方法：常用单位间的进率1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1厘米=10毫米1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米四．图形之间的关系1.平行四边形可以转化成一个长方形;两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形。

两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形。

2.等底等高的平行四边形面积相等；等底等高的三角形面积相等。

等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。

3.如果一个三角形和一个平行四边形等面积，等底，则三角形的高是平行四边形的2倍。

如果一个三角形和一个平行四边形等面积，等高，则三角形的底是平行四边形的2倍。

4.把长方形框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小；把平行四边形木框拉成长方形，周长不变，面积变大。

考点拓展延伸1（1）一个直角三角形的三条边分别是3cm、4cm和5cm，这个三角形的面积是（）,斜边上的高是（）。

(2)一个长方形的周长是45厘米，长是宽的2倍。

苏教版六班级上册第一单元：长方体和正方体详解与训练二一、正方体表面涂色的规律及对应考题（一）正方体表面涂色的规律⑴当正方体的棱长是a 厘米时，这个正方体可以切成棱长是1厘米的小正方体的个数是n ×n ×n 。

假如用N 表示这样的个数，那么：N=n ×n ×n(个） ⑵我们把切开的、棱长是1厘米的小正方体分为四种：⑶上面四种状况的小正方体都是从原来的正方体中切出来的，所以各部分加起来应当等于切成的总个数。

也就是：N=n ×n ×n=N 3＋N 2＋N 1＋N 0（二）正方体表面涂色规律的对应考题（答案见参考答案）1.（考点）一个表面涂色的正方体,把这个正方体的每条棱平均分成3份、4份、5……再切成同样大的小正方体。

那么每种状况中，分割产生的小正方体的总个数各是多少个？请填写下表。

2.（考点）三面涂色的小正方体的个数。

观看发觉,3面涂色的小正方体都在大正方体（ ）的位置上，正方体有（ ）个顶点,即3面涂色的小正方体有（ ）个。

3.（考点）二面涂色的小正方体的个数。

观看发觉,2面涂色的小正方体都在大正方体（ ）的中间。

把这个正方体的每条棱平均分成3份、4份、5……再切成同样大的小正方体。

那么每种棱长平均分的份数 3份 4份 5份 …… n 份 小正方体的总个数……三面涂色的记作N 3：N 3=8（个），由于有8个顶点。

两面涂色的记作N2：N 2=12（n －2）（个） 一面涂色的记作N1：N 1=6（n －2）²（个） 没有一个面涂色的记作N0：N 0=（n －2）³（个）。

状况中，分割产生的小正方体2面涂色的总个数各是多少个？请填写下表。

棱长平均分的份数3份4份5份……n份每条棱涂色的小正方体的个数2面涂色的小正方体的总个数4.（考点）1面涂色的小正方体的个数。

观看发觉,1面涂色的小正方体都在大正方体（）的中间。

把这个正方体的每条面平均分成3份、4份、5……再切成同样大的小正方体。

高等数学练习题答案解析精品文档高等数学练习题答案解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1(设f=lnx，且函数?的反函数??1=A.lnx-2x+2t2x-1，则f????x+22-xB.ln?tx+2x-2C.ln2-xx+2D.ln?e?2(limxx?0?e?2?dt1 / 20精品文档1?cosx?A(0B(1 C(-1D(?3(设?y?f?f且函数f在x?x0处可导，则必有A.lim?y?0B.?y?0C.dy?0D.?y?dy?x?0?2x2,x?14(设函数f=?，则f在点x=1处?3x?1,x?1A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D. 可导5(设?xfdx=e-x?C，则f=A.xe-x22B.-xe-x2C.2e-x2 / 20精品文档2D.-2e-x2二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

.设函数f在区间[0，1]上有定义，则函数f+f的定义域是__________.7(lim?a?aq?aq2???aqn??qn???1??_________8(limarctanxxx???_________g29.已知某产品产量为g时，总成本是C=9+成本MCg?100?__800，则生产100件产品时的边际10.函数f?x3?2x在区间[0，1]上满足拉格朗日中值3 / 20精品文档定理的点ξ是_________.11.函数y?2x3?9x2?12x?9的单调减少区间是___________.12.微分方程xy’?y?1?x3的通解是___________. 13. 设?2ln2a??6,则a?___________.14.设z?cosxy2则?2y15.设D??0?x?1,0?y?1?，则??xeDdxdy?_____________.三、计算题 ?1?16.设y???，求dy.?x?x4 / 20精品文档17.求极限limlncotxx?0?lnx18.求不定积分?1a.19.计算定积分I=?.20.设方程x2y?2xz?ez?1确定隐函数z=z，求z’x,z’y。