下载文档原格式
序言：数学名师与精彩之解任勇四年前的一个台风之夜，风雨交加，我在厦门一中对面的闽侨大厦见到了王淼生老师。
他代表九江一中来福州参加闽浙赣数学竞赛活动，我特地邀请这位金牌教练来厦门一中看看，希望他能加盟厦门一中团队。
瘦小，拘谨，极为朴素，是他给我的第一印象。
交谈中得知他之所以想来厦门看一眼，是希望为他唯一的孩子——一个弱智的儿子，在厦门找到他所期望的教育机会。
虽是金牌教练，且我内心很喜欢这位老师，但要进厦门一中，还是要参加笔试、试教和面试等基本程序的。
爱才心切的我，一时找不到合适的机会说这事，便把我特意带去的自己的著作《中学数学解题百技巧》送给他，我在扉页上写道：“诚邀天下英才，共创一中伟业。
”王老师痴迷地进入书中数学的抽象世界，也不搭理我们，屋里极为宁静，唯闻屋外愈发猛烈的风雨声。
忽然间，王老师激动了，说他就希望能有这样一本书，并主动说：“任校长，我明天就上课，就笔试、面试。
”第二天，王老师借班上课，我早早地等在那儿准备听课。
我听了十几分钟，就认定要引进这位数学金牌教练了！数学教师就应该是这个样子！课上完后，班级掌声四起，学生觉得听这样的数学课，爽！启发大，印象深，是一种美的享受，是一次智慧之旅。
几经周折，半年后王老师融入了厦门一中团队。
刚来厦门，两地的文化差异让王老师一时难以适应，有点“水土不服”。
王老师忧心忡忡，我也深感焦虑。
一日，王老师带儿子到一中篮球馆看我们打球，他也抓起球来拨弄，真没想到王老师篮球基本功不错！我便邀请他加入球队。
每周两次的球队活动，让王老师有一个与大家交流的机会，不然他会憋坏的。
打着打着，王老师打出与老师们的友谊，打出了他的阳光心态，融入了一中的球队文化。
就这样，在大家的帮助下，王老师终于“水土相服”了，他不仅带出了一个特别优秀的班级，还带出了厦门一中久违的两块数学金牌。
王老师的适应、融入，我不敢说一定就是打篮球打出来的，但打篮球一定是其中一项重要因素。
回想我和王老师的交往，有几件事让我印象特别深刻。
1、如图AB//CD，∠B=120°, ∠C=35°求∠EA BEC D、2、如图A1B是∠ABC角平分线，A1C是∠ACD角平分线，A2B是∠A1BC角平分线，A2C 是∠A1CD角平分线，求∠A与∠A1，∠A与∠A2关系？AB C A1A2D3、已知长方形AB//CD，AC、BD交于O，S△AOB=32，S△COB=48，则梯形面积是多少？A BCDO4、如图，已知几根线段把长方形分成几份，中间是阴影部分，求阴影部分面积？5、如图，△ABC的三个角平分线交于O，过O点OE⊥BC于E，求证∠BOD=∠COEBCD6、如图，BE与CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠DEB的平分线，（1）求∠F与∠B、∠D之间关系；（2）∠B：∠D：∠F=2：4：x,求x值？BC 7、如图，AO是∠A的角平分线，AB⊥BD，DF⊥AC，ED=DC，求证：BE=FC。
AEB C8、如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂直分别为点D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是__________?B C9、如图所示，∠B+∠D=180°，CE⊥AB，AC为∠A的角平分线，求证：AE=AD+EB.ABC DE10、如图所示，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠ADC=180°，E 、F 分别是边BC 、CD延长线上的点，∠EAF=BAD 21，求BE 、DF 、EF 的关系. ABCEDFG11、如图，P 是△ABC 的外角∠EAC 的角平分线AF 上的任意一点，求证：△ABC 的周长小于△PBC 的周长.EABCPF12、如图，△ABC ，ED ⊥DF ，D 为中点，求EB+CF 与EF 的大小.AB13、如图，△ABC 中，BD=DC+AC ，E 是DC 中点，求证：AD 平分∠BAE.ABDEC14、如图，△ABC 中，AB=2AC ，AD 平分∠BAC ，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC.B CD15、如图，已知在△ABC 内，∠BAC=60°，∠C=40°，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平线，求证：BQ+AQ=AB+BP.AB16、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,AC=BC,D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，交AB 于F ，连接DF ，求证：∠ADC=∠BDF.CAB17、如图，求以∠O 两边与点A 、B 所围的周长最短.A B O。
苏教版五年级上册第三单元《小数的意义和性质》详解与训练——知识点、常考题、易错题、重点题、拓展题《小数的意义和性质》知识点1.小数的意义：分母是 10、100、1000……的分数都可以用小数表示。
一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……2.小数数位：（1）相邻两个计数单位之间的进率都是 10；（2）整数部分没有最高位，小数部分没有最低位；（3）整数部分最低位是个位，小数部分最高位是十分位。
3．小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。
根据小数的性质，可对小数进行化简或按要求改写小数。
4.小数的改写：（1）用“万”作单位：a、从个位起，往左数四位，画“┆”，在“┆”下方点小数点；b、去掉小数末尾的“0”，添上“万”字。
（2）用“亿”作单位：a、从个位起，往左数八位，画“┆”，在“┆”下方点小数点；b、去掉小数末尾的“0”，添上“亿”字。
5.求整数的近似数：（1）省略万后面的尾数：看“千”位上的数，用“四舍五入”法取近似值。
添上“万”字，用“≈”连接。
（2）省略亿后面的尾数：看“千万”位上的数，用“四舍五入”法取近似值。
添上“亿”字，用“≈”连接。
6.求小数的近似数：（1）保留整数：就是精确到个位，要看十分位上的数来决定四舍五入。
（2）保留一位小数：就是精确到十分位，要看百分位上的数来决定四舍五入。
（3）保留两位小数：就是精确到百分位，要看千分位上的数来决定四舍五入。
第三单元《小数的意义和性质》常考题、易错题、重点题、拓展题 第一课时 小数的意义和读写一、填一填。
1.3毫米= （ ）（ ）米=（ ）米 2厘米= （ ）（ ）米=（ ）米1分米= （ ）（ ）米=（ ）米 5分= （ ）（ ）元=（ ）元2. 6角=) () (元=（ ）元 15毫米=)()(米=（ ）米 3.4角是1元的（ ），用小数表示是( )元，读作( )元。
4.1000896千克写成小数是( )千克，读作( )千克,相当于( )克。
人教版六年级下册数学应用题100道一.解答题(共100题，共591分)1.把一个体积是282.6cm3的铁块熔铸成一个底面半径是6厘米的圆锥形机器零件，求圆锥零件的高？（π取3.14)2.一个圆锥体的体积是15.7立方分米，底面积是3.14平方分米，它的高有多少分米。
3.某服装店卖一种裙子，原来每条售价为120元，是进价的150％。
现在店主计划打折促销，但要保证每条裙子赚的钱不少于10元。
问：折扣不能低于几折?4.一场音乐会的门票，55%是按全价卖出，40%是五折卖出，剩下的20张门票是免费赠送的。
（1）这场音乐会的门票一共有多少张？（2）如果门票一共卖了7200元，那么一张门票的全价是多少元？5.甲、乙两店都经营同样的某种商品，甲店先涨价10%后，又降价10%；乙店先涨价15%后，又降价15%。
此时，哪个店的售价高些？6.化肥厂把生产1600 t化肥的任务按三个车间的人数比分配，一车间53人，二车间52人，三车间55人。
三个车间各应生产化肥多少吨？7.一种圆柱形状的铁皮油桶，量得底面直径8dm，高5dm.做一个这样的铁皮油桶至少需多少平方米铁皮？（铁皮厚度不计，结果保留整数）8.某电视机厂去年电视机生产情况统计图（单位:台； 2011年1月）看图列式计算:（1）全年共生产电视机多少台？（2）平均每月生产电视机多少台？（3）第四季度比第一季度增产百分之几？9.一个圆锥体钢制零件，底面半径是3cm，高是2m，这个零件的体积是多少立方厘米？10.一只股票7月份比6月份上涨了15%，8月份又比7月份下降了15%。
请问这只股票8月份的股份和6月份比是上涨了还是下降了？变化幅度是多少？11.下表记录的是某天我国8个城市的最低气温。
（1）哪个城市的气温最高，哪个城市的气温最低，分别是多少？（2）把各个城市的最低气温按从高到低的顺序排列出来。
12.如果规定进库数量用正数表示，请你根据下表中某一周粮库进出大米数量的记录情况，说出每天记录数量的意义。
苏教版五年级上册第四单元《小数加法和减法》详解与训练——知识点、常考题、易错题、重点题、拓展题《小数加法和减法》知识点1.小数加法和减法的计算方法：要把小数点对齐，也就是相同数位对齐；从最低位算起，各位满十要进一；不够减时要向前一位借 1 当 10 再减。
2．被减数是整数时，要添上小数点，并根据减数的小数部分补上“0”后再减。
3.用竖式计算小数加、减法时，小数点末尾的“0”不能去掉，把结果写在横式中时，小数点末尾的“0”要去掉。
4.小数加减简便运算：加法交换律和结合律：（a＋b）＋c =a＋（b＋c）=（a+c）+b减法的性质：a－（b＋c）=a－b－c其它简便方法：a－（b－c）=a－b＋c= (a＋c)－b，a－b＋c－d=a＋c-（b＋d）易错题精解11.小军、小红和小明参加跳远比赛。
小军跳了2.88米，小明比小军多跳了0.3米，小红只跳了1.9米。
小明跳了多少米?小红比小军少跳了多少米?2.马小虎在计算3.75减去一个小数时,由于粗心把减号看成了加号,得到的结果是5.25。
你能帮他算出正确的结果吗?解1:2.88+0.3=3.18(米) 2.88-1.9=0.98(米)答:小明跳了3.18米，小红比小军少跳了0.98米。
解2:5.25-3.75=1.5 3.75-1.5=2.25答:正确的结果是2.25。
易错题精解21.(易错题)小优家离学校1.8千米，一天早晨她走了0.85千米后发现忘带语文书，又回家去拿,然后再去学校。
这天她上学比平时多走了多少千米?2.(常考题)小冬在计算5.27加一个一位小数时,由于错误地只把数的末尾对齐,结果得到6.33。
正确的得数是多少?1.0.85+0.85=1.7(千米)答:这天她上学比平时多走了1.7千米。
2.6.33-5.27=1.06 5.27+10.6=15.87答:正确的得数是15.87。
易错题精解31.(易错题)在秋季运动会的百米赛跑项目中,王天跑了15.83秒，李亮跑了16.7秒。
苏教版六年级上册第三单元：《分数除法》详解与训练——知识点、常考题、易错题、重点题、拓展题《分数除法》知识点一、分数除法计算：甲数除以乙数(不为0)等于甲数乘乙数的倒数。
☆除数大于1，商小于被除数；除数小于1，商大于被除数;除数等于1,商等于被除数。
二、分数除法的意义:已知一个数的几分之几是多少，求这个数?三、比的意义:比表示两个数相除的关系。
b四、比与分数、除法的关系:a:b=a÷b=a五、比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数(0除外)，比值不变。
六、最简整数比：比的前项和后项是互质数。
也就是比的前项和后项除了1意外没有其它公因数。
七、比值：比的前项除以比的后项，所得的商就叫比值。
☆比值是一个数，可以是整数、分数、小数，不带单位名称。
八、化简：方法:先把比的前、后项变成整数，再除以它们的最大公因数。
☆化简比和求比值是不同的两个概念[意义不同，方法不同，结果不同]九、按比例分配问题解决方法：先求出总份数，再求各部分数占总数的几分之几，转化成分数乘法来计算。
把甲仓库存粮吨数的10运入乙仓库后,两个仓库的存粮吨数正好相等。
原来甲仓库比乙仓库多存粮20吨，原来甲仓库存粮多少吨?小刚给王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的83,第二次运了50块,这时已运的恰好是未运的75。
还有多少块蜂窝煤未运?考点拓展延伸1分析根据题意。
可以画出如下线段图。
从图中可以看出，甲仓库比乙仓库多的20吨粮食相当于甲仓库存粮吨数的（101×2）,或者甲仓库存粮吨数的101相当于(20÷2)吨粮食。
解法一:101×2=51 20÷51=100(吨)解法二:20÷2÷101=100(吨)考点拓展延伸2分析：运完第一次后，还剩下(1-83)未运,再运50块后,已运的恰好是未运的75，也就是说未运的占全部的757+，因此第二次运的50块占全部的(1-83-757+）=241，全部蜂窝煤有50÷241=1200(块),未运的有1200×757+=700(块)。
初中数学一题多解例题篇一:初中数学一题多解题初中数学一题多解题例题一、两个连续奇数的积是323，求出这两个数方法一、设较小的奇数为x,另外一个就是x+2x(x+2)=323解方程得:x1=17,x2=-19所以，这两个奇数分别是:17、19，或者-17，-19方法二、设较大的奇数x,则较小的奇数为323/x则有:x-323/x=2解方程得:x1=19,x2=-17同样可以得出这两个奇数分别是:17、19，或者-17，-19方法三、设x为任意整数，则这两个连续奇数分别为:2x-1,2x+11(2x-1)(2x+1)=323即4x -1=323x =81x1=9,x2=-92x1-1=17,2x1+1=192x2-1=-19,2x2+1=-17所以，这两个奇数分别是:17、19，或者-17，-19方法四、设两个连续奇数为x-1,x+1则有x -1=323x =324=4*81x1=18,x2=-18x1-1=17,x1+1=19x2-1=-19,x2+1=-17所以，这两个奇数分别是:17、19，或者-17，-19例题二、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元;如果买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需多少钱,解:设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x、y、z元，则2根据题意，得??13x?5y?9z?9.25?2x?4y?3z?3.20?1??2?分析:此方程组是三元一次方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x、y、z的值是不可能的，但注意到所求的是x?y?z的代数和，因此，我们可通过变形变换得到多种解法。
1. 凑整法?1???2?，得5x?3y?4z?415.3?2???3?，得7(x?y?z)?7.35?x?y?z?105. 解1:?3?答:只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元(下面解法后的答均省略) 解2:原方程组可变形为??13(x?y?z)?4(2y?z)?9.25 ?2(x?y?z)?(2y?z)?3.20解之得:x?y?z?105.2. 主元法解3:视x、y为主元，视z为常数，解<1、<2得x?05.?05.z .?05.z，y?055?x?y?z?055.?05.?z?z?105.解4:视y、z为主元，视x为常数，解<1、<2得y?0.05?x，z?1?2x?x?y?z?105.?x?2x?x?105.3解5:视z、x为主元，视y为常数，解<1、<2.?2y 得x?y?0.05，z?11?x?y?z?y?0.05?y?11.?2y?105.3. “消元”法解6:令x?0，则原方程组可化为?5y?9z?9.25?y?0.05?? ? 4y?3z?3.2z?1???x?y?z?105.解7:令y?0，则原方程组可化为?13x?9z?9.25?x??0.05?? ? 2x?3z?3.20z?11.???x?y?z?105.解8:令z?0，则原方程组可化为?13x?5y?9.25?x?0.5?? ? 2x?4y?3.20y?0.55???x?y?z?105.4. 参数法解9:设x?y?z?k，则?1??13x?5y?9z?9.25??2? ?2x?4y?3z?3.20?x?y?z?k?3????1???2??3，得x?y??0.05?4??3??3??2?，得x?y?3k?32.?由<4、<5得3k?32.??005.?k?105.即x?y?z?105.45. 待定系数法解10. 设?5? x?y?z?a(13x?5y?9z)?b(2x?4y?3z)?(13a?2b)x?(5a?4b)y?(9a?3b)z?1?则比较两边对应项系数，得?13a?2b?1?a?1???21 ?5a?4b?1?? 4?9a?3b?1?b???21?将其代入<1中，得x?y?z?141?9.25??32.??22.05?105. 212121附练习题1. 有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨;5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。
数学教师心得体会和感悟数学教师心得体会和感悟篇1满怀对教育的赤诚，对名师的敬仰，在20__年的9月26日至29日，我很荣幸地参加了__市中小学数学骨干教师培训学习。
听了陈__、刘__、孙__、李__、郑__五位专家的讲座和报告，为期四天的培训，我感觉每天都是充实的，因为每天都要面对不同风格的讲师，每天都能听到不同类型的讲座，每天都能感受到思想火花的冲击。
在培训中，我进一步认识了新课程的发展方向和目标，反思了自己以往在工作中的不足。
一些对教育教学工作很有见解的专家以鲜活的案例和丰富的知识内涵，给了我具体的操作指导，使我的教育观念进一步得到了更新，真是受益匪浅。
在众多教师中，能参加这样的培训，我想我是幸运的、是幸福的，在这里，我此次培训有如下体会。
一、教师如何进行知识更新"知识也有保质期"。
作为教师，实践经验是财富，同时也可能是羁绊。
因为过多的实践经验有时会阻碍教师对新知识的接受，也能一时地掩盖教师新知识的不足，久而久之，势必造成教师知识的缺乏。
缺乏知识的教师，仅靠那点旧有的教学经验，自然会导致各种能力的下降甚至是缺失，这时旧有的教学经验就成了阻碍教师教学能力的发展和提高的障碍。
在充分尊重教育者的基础上，强调打破教育霸权，用全新的、科学的、与时代相吻合的教育思想、理念、方式、方法来武装教育者的头脑，使之打破其坚冰一样的由陈旧的知识和经验累积起来的教育思想和理念，那么，在此基础上建立起来的新的知识结构和教学理念必然充满生机和活力。
二、在教学活动中，教师要当好组织者教师要充分信任儿童，相信儿童完全有学习的能力。
把机会交给儿童，俯下身子看儿童的生活，平等参与儿童的研究。
教师把探究的机会交给儿童，儿童就能充分展示自己学习的过程，教师也就可以自如开展教学活动。
__师大孙教授的讲座，新课程实施的灵活性大，让教师觉的难以驾驭教学行为，课堂教学中表现为过多的焦虑和不安。
那么，怎样调动儿童的“思维参与”呢？应当创设情景，巧妙地提出问题，引发儿童心理上的认知冲突，使儿童处与一种“心求通而未得，口欲言而弗能”的状态。
序言：数学名师与精彩之解任勇四年前的一个台风之夜，风雨交加，我在厦门一中对面的闽侨大厦见到了王淼生老师。
他代表九江一中来福州参加闽浙赣数学竞赛活动，我特地邀请这位金牌教练来厦门一中看看，希望他能加盟厦门一中团队。
瘦小，拘谨，极为朴素，是他给我的第一印象。
交谈中得知他之所以想来厦门看一眼，是希望为他唯一的孩子——一个弱智的儿子，在厦门找到他所期望的教育机会。
虽是金牌教练，且我内心很喜欢这位老师，但要进厦门一中，还是要参加笔试、试教和面试等基本程序的。
爱才心切的我，一时找不到合适的机会说这事，便把我特意带去的自己的著作《中学数学解题百技巧》送给他，我在扉页上写道：“诚邀天下英才，共创一中伟业。
”王老师痴迷地进入书中数学的抽象世界，也不搭理我们，屋里极为宁静，唯闻屋外愈发猛烈的风雨声。
忽然间，王老师激动了，说他就希望能有这样一本书，并主动说：“任校长，我明天就上课，就笔试、面试。
”第二天，王老师借班上课，我早早地等在那儿准备听课。
我听了十几分钟，就认定要引进这位数学金牌教练了！数学教师就应该是这个样子！课上完后，班级掌声四起，学生觉得听这样的数学课，爽！启发大，印象深，是一种美的享受，是一次智慧之旅。
几经周折，半年后王老师融入了厦门一中团队。
刚来厦门，两地的文化差异让王老师一时难以适应，有点“水土不服”。
王老师忧心忡忡，我也深感焦虑。
一日，王老师带儿子到一中篮球馆看我们打球，他也抓起球来拨弄，真没想到王老师篮球基本功不错！我便邀请他加入球队。
每周两次的球队活动，让王老师有一个与大家交流的机会，不然他会憋坏的。
打着打着，王老师打出与老师们的友谊，打出了他的阳光心态，融入了一中的球队文化。
就这样，在大家的帮助下，王老师终于“水土相服”了，他不仅带出了一个特别优秀的班级，还带出了厦门一中久违的两块数学金牌。
王老师的适应、融入，我不敢说一定就是打篮球打出来的，但打篮球一定是其中一项重要因素。
回想我和王老师的交往，有几件事让我印象特别深刻。
第一件事，源于厦门中招等级划分。
近年中考，厦门市物理、化学和政治采用划分等级制，每个学科划分A、B、C、D四个等级，不计较学科排序，可划分出AAA，AAB，…，DDD各类等级。
究竟有多少种不同的等级？这显然可以转化为一个数学问题。
怎样用数学方法加以解决呢？就此问题，我问厦门市招生考试中心的同志，“你们是怎么得出20种的？”他们说：“硬排呗，从AAA，AAB，……排到DDD。
”我点点头，不能要求他们也都用数学眼光看问题。
我就问数学老师，大多数人想了想，说：“应该用分类法算。
”解答如下：按位置排序计算。
第一位选A，第二位有4种不同的排法。
第二位选A，第三位有4种不同的排法；第二位选B，第三位有3种不同的排法；第二位选C，第三位有2种不同的排法；第二位选D，第三位有1种不同的排法。
故，第一位选A，共有4+3+2+1=10种不同的排法。
同理，第一位选B，共有3+2+1=6种不同的排法；第一位选C，共有2+1=3种不同的排法；第一位选D，共有1种不同的排法。
故，总共有10+6+3+1=20种不同的排法。
但绝大多数老师没有给出这个问题的更多的解法，更没有把这个问题一般化。
有一次球队打球，打完球后，大家在球馆外的台阶上休息。
我就这个问题试着问王老师，他想了想，说了上面的那种解答，我说“还有不同的解答吗？”旁边一位数学老师说“没有纸和笔，不好算。
”王老师好象没听到，继续想，说“可按字母分类解答”。
口述如下：按字母分类计算。
选一个字母，共有14C种不同的排法；选二个字母，其中一个字母必用两次，共有242C⋅种不同的排法；选三个字母，共有34C种不同的排法。
故，共有202342414=+⋅+CCC种不同的排法。
我称赞“好！”之后就坐车回家。
车开不久，手机来了短信，是王老师发的，一看，几行小字映入眼帘。
用排除法：共有2045424343=⋅-⋅-C C 种不同的排法。
（读者想一想，为什么？）我高兴地回复：“好！好！”车开到家楼下时，短信又来了，又是王老师发的：“校长，我有新解法。
”我上电梯到家时，短信显示的几乎是数学文字：设选A 的有1X 种，选B 的有2X 种，选C 的有3X 种，选D 的有4X 种，有34321=+++X X X X ，7)1()1()1()1(4321=+++++++X X X X ，设,4,3,2,1,1==+i Y X i i 有.4,3,2,1,,74321=∈=+++*i N Y Y Y Y Y i问题转化为求方程74321=+++Y Y Y Y 的正整数解。
用“隔板法”解决：设有7个小球，用三块板来隔，如图∙∙∙∙∙∙∙至少要“隔”出一个球，有6个缝，故共有2036=C 种不同的排法。
为了让大家看得明白，上面的中文和七个小球是我加上的。
我激动不已，打电话过去，连说：“好！好！好！”浑身湿透的我，赶紧去洗澡。
刚脱下衣服，短信又来了，当然还是王老师的，我顾不得患感冒之险，良知告诉我必须看短信。
“校长，这个问题我彻底解决了！发你邮箱。
”我立即披上浴巾，打开电脑，打开邮箱，王老师的邮件也恰好发来。
推广：设有m 个学科，每个学科有n 个等级，不计较学科排序，共有多少种不同的排法？ 解决：设选每个等级为,,,,21n X X X 则有,21m X X X n =+++有,)1()1()1(21n m X X X n +=++++++ 设,,,2,1,1n i Y X i i ==+则.,,2,1,,21n i N Y n m Y Y Y i n =∈+=+++* 类似地，用“隔板法”，计算得共有11--+n n m C 种不同的排法。
我一手抓住浴巾，一手给王老师回复。
“把一个实际问题数学化，是数学教师的基本素质；把一个数学问题一般化，是数学教师的基本功底。
数学教师的研究性备课，当从这个方面开始。
你是最优秀的数学老师，你让我看到了什么是真正的专业功底，数学老师都要向你学习！”我一边洗澡，一边计算着“数学遭遇”的时段：大约6分钟后，给出按字母分类解法；又过了6分钟，给出排除法解法；又过7分钟，给出隔板法；又过9分钟，给出一般性解答。
前后一共28分钟，给出四种解答，还包括从球馆到王老师家的500米路程、发短信、发邮件。
正当我惊叹时，我忽然想到：“王老师换湿衣了吗？”后来，我的另一数学朋友、数学前辈张远南老师高兴地说，王老师的“彻底解法”暗合了可重复组合问题，即n 个不同元素的m 元可重复组合数为111--+-+==n n m m n m m n C C H 。
第二件事，源于我的一节公开课。
我有一节被数学教育界颇为称道的数学复习课《借题发挥》，即利用数学课本上一道简单的不等式证明题，给出一题多解，引导一题多变，巧妙一题多用。
许多数学老师听过我的这节数学课，好评如潮；应编辑部约稿，课例整理后拿去发表，赞语颇多。
是怎样的一节数学课？“不等式a m b m ++＞ab 证明”的教学。
我充分利用一题多解的教学价值，绞尽脑汁，苦思冥想，终于给出这道题的十三种解法，即分析法、综合法、求差比较法、求商比较法、反证法、放缩法、构造函数法、增量法、定比分点法、斜率法1、斜率法2、三角法1，三角法2，我自以为是“登峰造极”了。
王老师在我的一本书里读到我写的关于这个不等式的“一题多解”，忽然他发现这道题还有新的解法，完全出自于学术探讨和完善这道题的解法，王老师发来了他的新解——证法14。
证法14：利用正弦定理，得到1sin 2sin 2sin 1sin ∠∠=⇒∠=∠b a a b ， 同理可得 4sin 3sin ∠∠=++m b m a ， 由图易知 32∠<∠， 得到 3sin 2sin ∠<∠，由图易知 41∠>∠， 得到4sin 11sin 1∠<∠， 于是得到 4sin 3sin 1sin 2sin ∠∠<∠∠，即 mb m a b a ++<， 故 m b m a ++＞b a 。
过了不久，王老师一发不可收拾，又陆续给出11种解法。
证法15：利用三角形相似，在ABC ∆的边AC 、上分别取E 、F ，使a AE =，b AF =，m FB EC ==，延长EF 、CB 并相交于D ，过B 作BG ∥EF ，且交线段EC 于G ，显然AEF ∆∽AGB ∆， 则AB AG b a ===++m b EG AE m b EG a ++mb m a m b EC a ++=++<， 故 m b m a ++＞b a 。
证法16：换元法，由已知 0>>a b ，令 a b λ=，（1>λ），则 =++m b m a ma m a ++λ m a m a λλ++>=()m a m a ++λ =λ1=ba ， 故 mb m a ++＞ba 。
证法17：双换元法，令mb m a ++=1λ，b a =2λ，显然1λ、2λ)1,0(∈， 则b a ⋅=2λ，代入得到m b m b ++⋅=21λλ，推出m b ⋅-=⋅-)1()(121λλλ0>， 即21λλ>，故 m b m a ++＞ba 。
证法18：综合法及放缩法，b a -1=b a b -=b m a m b )()(+-+>m b m a m b ++-+)()(=mb m a ++-1， 于是得到m b m a ++＞ba 。
证法19：利用函数的定义域与值域之间的关系。
令mb m a t ++=，得到 1--=t bt a m ， 由题意 0>m ，即 01>--t bt a ，得到1<<t b a ，即 mb m a b a ++<， 故 m b m a ++＞b a 。
证法20：利用椭圆的离心率。
我们知道：对于椭圆E:122=+a y b x (b>a>0)离心率e 1与ba 成反比，又椭圆F:122=+++ma y mb x (b>a>0,m>0)的离心率为e 2，显然离心率e 2<e 1， 故 m b m a ++＞ba 。
证法21：：利用双曲线的离心率。
我们知道：对于双曲线12222=-by a x 来说，其“张口”大小与离心率e 成正比，而离心率e 与ba 成反比，于是构造： 双曲线E ：122=--a y ab x ；双曲线F ：122=+--ma y ab x ， 显然双曲线F 比双曲线E 的“张口”大，于是得到a ab m a a b -<+-， 化简易得m b m a ++＞ba 。
证法22：利用函数的图像，简洁、明了。
显然当x>0时，函数 ()x f =ab ax + =a ()b x +⋅的图像恒在 ()()x a b ab bx x g +⋅=+=的图像下方， 又 b> a ，m>0,故 ()()m g m f <，于是 ()()a m b b m a +⋅<+⋅，故 m b m a ++＞ba 。
