数字旌旗灯号处理[第四章 快速傅里叶变换(fft)]

数字信号处理中的快速傅里叶变换算法傅里叶变换是一种将时域信号转化为频域信号的数学工具，广泛应用于诸如音频、图像、信号处理和通信系统等领域。

但是传统的傅里叶变换算法由于其计算复杂度巨大，在大规模数据处理中难以实现。

于是，快速傅里叶变换算法（Fast Fourier Transform，FFT）应运而生。

一、傅里叶变换简介傅里叶变换是指将一个函数（连续或离散）表示成一组不同振幅、不同相位的正弦和余弦函数的叠加形式。

傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，帮助我们理解信号的复杂性质并进行相关的处理。

傅里叶变换包含离散傅里叶变换和连续傅里叶变换两种形式。

其中，离散傅里叶变换最为常用，可以对离散信号进行频域分析。

二、快速傅里叶变换的基本思想传统的傅里叶变换算法的时间复杂度为O（N^2），其中N为需要变换点数。

当N较大时，计算复杂度极高，难以进行实时数据处理。

而快速傅里叶变换算法则将时间复杂度降到了O （NlogN）。

这种算法的基本思想是分治法和旋转因子。

首先将N个点的DFT分解成两个N/2个点的DFT，再将这两个子问题依次分解成更小的子问题，直到问题的规模缩小到1。

然后，将这些小问题的DFT按照一定顺序合并成最终的DFT结果。

这种分治思想可以大大缩短计算时间，加速傅里叶变换的计算。

快速傅里叶变换还用到了旋转因子，它们的作用是将N点DFT 转换为N/2个点DFT的频域结果中的旋转。

通过将这些旋转因子存储在一个表中，我们可以减少计算量。

因此，FFT算法在对离散信号进行频域分析时，计算速度比传统的傅里叶变换快得多。

三、快速傅里叶变换的应用FFT算法在各个领域有着广泛的应用，以下仅列出其中的几个领域：1.信号处理：FFT算法可以分析声音、图像等类型的信号。

比如，在语音信号中，FFT可以被用于确定语音频率和强度的变化。

2.医学图像处理：在医学图像处理领域，FFT算法可以用于分析不同器官的频率特征和强度变化。

3.地震学：FFT算法可以用于分析地震波震动信号的频率成分，以此确定地震的起源和强度。

快速傅里叶变换FFT 及其应用摘要: FFT(Fast Fourier transform)技术是快速傅里叶变换,它是离散傅里叶的快速算法,随着大规模集成器件的问世以及计算机技术的迅速发展,FFT 技术已应用于现代科学技术的各个领域。

本文首先简单介绍了FFT 的原理，还介绍了FFT 在数字图像处理、机床噪声分析、数据采集、现代雷达、机车故障检测记录等领域的应用。

关键词:DFT ；FFT ；应用；1. 快速傅里叶变换FFT 简介1.1离散傅里叶变换(DFT)在信号处理中，DFT 的计算具有举足轻重的地位，信号的相关、滤波、谱估计等等都可通过DFT 来实现。

然而，由DFT 的定义式可以看出，求一个N 点的DFF 要N 2次复数乘法和N(N-1)次负数加法。

当N 很大时，其计算量是相当大。

傅立叶变换是信号分析和处理的重要工具。

离散时间信号*(n)的连续傅立叶变换定义为:式中()j X e ω是一个连续函数，不能直接在计算机上做数字运算。

为了在计算机上实现频谱分析，必须对x(n)的频谱作离散近似。

有限长离散信号x(n), n=0, 1, .......,N-1的离散傅立叶变换(DFT)定义为：式中()exp -2/N ,n=0,1,........N-1N W j π=。

其反变换定义为:将DFT 变换的定义式写成矩阵形式，得到X=Ax 。

其中DFT 的变换矩阵A 为1.2快速傅里叶变换(FFT)快速傅里叶变换(FFT)是1965年J. W. Cooley 和J. W Tukey 巧妙地利用造了DFT 的快速算法，即快速离散傅里叶变换(FFT)。

在以后的几十年中，FFT 算法有了进一步的发展，目前较常用的是基2算法和分裂基算法。

在讨论图像的数学变换时，我们把图像看成具有两个变量x, y 的函数。

首先引入二维连续函数的傅里叶变换，设f(x,y)是两个独立变量x ，y 的函数，且满足()++--,<0f x y dxdy ∞∞∞∞⎰⎰, 则定义:()++-2(ux+vy)--(u,v) = ,j F f x y e dxdy π∞∞∞∞⎰⎰为f(x,Y)的傅立叶变换。

快速傅里叶变换介绍-回复什么是快速傅里叶变换（FFT）？快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，简称FFT）是一种重要的数学算法，用于将信号从时间域转换到频率域。

傅里叶变换是一种分析信号频谱的方法，它将信号分解为一系列复指数函数的和。

而FFT则是一种高效的傅里叶变换算法，能够显著提升计算速度，尤其在处理大数据量时表现出明显的优势。

FFT的作用是什么？FFT的主要作用是将时域数据转换为频域数据，通过分析信号的频谱特性，我们可以获得信号的频率分布、频率成分以及信号的谱线强度等信息。

这对于很多领域非常重要，比如音频处理、图像处理、通信系统等。

在这些领域中，FFT常用于信号去噪、滤波、信号识别、频谱分析等应用。

通过FFT变换，我们能够更好地理解和处理信号，从而使我们能够更有效地进行相关工作。

如何进行FFT变换？FFT变换一般可以通过以下几个步骤来进行：1. 数据准备：首先，我们需要准备要进行FFT变换的时域数据。

这可以是一个实数数组或复数数组，其长度通常为2的幂次方，如256、512、1024等。

如果数据长度不是2的幂次方，则可以通过零填充或截断来调整数据长度。

2. 数据预处理：在进行FFT变换之前，通常需要对数据进行预处理，以优化计算结果。

常见的预处理操作包括去除直流分量、加窗和归一化等。

3. 数据重新排列：在FFT变换中，会使用蝶形算法（Butterfly Algorithm）来实现。

为了使算法正确执行，需要对输入数据进行重新排列。

重新排列的目的是将数据按照位逆序排列，以便于在蝶形算法中进行迭代计算。

4. 基2快速傅里叶变换：通过进行一系列复数运算，如加法、乘法和开平方等，可以实现快速傅里叶变换。

FFT算法的基本思想是将长度为N的复数序列分解成长度为N/2的两个复数序列，然后通过递归地执行同样的操作，最终得到FFT变换结果。

5. 频域结果获取：根据FFT变换的定义，得到的结果为复数序列，包含了信号的幅度和相位信息。

详解快速傅里叶变换FFT算法快速傅里叶变换（FFT）算法是一种高效的计算离散傅里叶变换的方法。

它通过将傅里叶变换问题分解为更小的子问题，从而减少计算量。

FFT算法广泛应用于信号处理、图像处理和其他科学与工程领域。

FFT算法的核心思想是将一个长度为N的复数序列分解为两个长度为N/2的复数序列，并重用其计算结果。

这种分解是通过将序列的奇数项与偶数项分为两组来实现的。

分解后可以继续将长度为N/2的序列分解为长度为N/4的序列，直到序列长度为1时停止。

然后，通过合并这些子问题的解，我们可以得到原始问题的解。

FFT算法的关键步骤可以概括为以下几点：1.首先，将输入序列通过位逆序操作重新排列。

这是为了便于分解和合并子问题的解。

2.然后，将序列分解为两个长度为N/2的子序列。

一组是奇数项，另一组是偶数项。

3.对两个子序列进行递归调用FFT算法，分别计算它们的傅里叶变换。

4.将子问题的解合并为原始问题的解。

这是通过使用每个子问题的解的一部分和一些旋转因子来完成的。

5.重复以上步骤，直到得到最终的傅里叶变换结果。

FFT算法的时间复杂度是O(NlogN)，相对于朴素的傅里叶变换（时间复杂度为O(N^2)），有着显著的性能优势。

这个优势主要来自于FFT算法中子问题的重用和分治思想的应用。

FFT算法的应用非常广泛。

在信号处理中，FFT算法可以用来分析信号的频域特征，还可以用于滤波、频谱分析和频率估计等。

在图像处理中，FFT算法被用来进行图像变换，包括傅里叶变换、离散余弦变换等。

此外，FFT算法还被广泛应用于通信、雷达和声音等领域中的数据处理和分析。

总的来说，FFT算法通过分解和重用子问题的解，实现了高效的计算离散傅里叶变换的目的。

它的应用范围广泛，并且在在很多领域中被广泛使用。

数字信号处理中的快速傅里叶变换数字信号处理（DSP）是一个重要的领域，对于音频、图像和视频处理等方面有着广泛的应用。

其中，傅里叶变换是DSP中的一个核心理论，也是数字信号分析、控制等方面的重要基础工具。

傅里叶变换通常被分为离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）和快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）两种形式。

在这两种变换中，FFT被广泛应用于数字信号处理中，具有快速计算、高效运算等特点。

一、DFT与FFT的概念及区别DFT是将连续的信号在时间和频率上进行离散化处理，其输出结果为离散信号的频域表示。

DFT算法的原理是将N个采样点的信号进行N-1次复数乘法运算和N-1次复数加法运算，时间复杂度为O(N^2)。

这种算法的计算量很大，难以满足实时性和高效性的需求。

FFT是一种特殊的DFT算法，其时间复杂度为O(NlogN)，比传统的DFT算法快得多。

FFT算法通过将DFT的计算分解成多个小的DFT计算来实现，同时利用了对称性和周期性等性质进行优化。

通过这种优化，FFT能够在较短的时间内对信号进行频域分析，同时保证了准确性和精度。

二、FFT的应用FFT算法具有广泛的应用领域，在音频、图像、通信等方面都有着广泛的应用。

例如，在音频处理领域，FFT算法可以用于频谱分析、滤波和均衡等方面，能够使音频处理更加准确和高效。

在通信领域，FFT算法可以用于OFDM（正交频分复用）等数字通信技术，从而提供更稳定、高速的数据传输服务。

三、FFT的实现原理与技术FFT算法的实现需要考虑很多方面，包括算法的分解与优化、处理器的架构、内存分配和管理等。

FFT算法需要将DFT计算分解成多个小的DFT计算，以实现更快的计算速度和更好的效果。

对于FFT算法的实现，一些关键技术是不可忽略的。

例如，使用SIMD（单指令多数据流）指令对数据进行并行处理可以加快计算速度。

快速傅里叶变换（FFT）算法原理及代码解析•FFT与DFT关系：快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform)是离散傅里叶（DFT）变换的一种快速算法，简称FFT，通过FFT可以将一个信号从时域变换到频域；FFT（快速傅里叶变换）其本质就是DFT，只不过可以快速的计算出DFT结果，它只是傅立叶变换算法实现过程的一种改进。

要弄懂FFT，必须先弄懂DFT，DFT(DiscreteFourier Transform) 离散傅里叶变换的缩写，咱们先来简单讨论一下DFT。

DFT(FFT)的作用:可以将信号从时域变换到频域，而且时域和频域都是离散的，通俗的说，可以求出一个信号由哪些正弦波叠加而成，求出的结果就是这些正弦波的幅度和相位。

•DFT的公式：其中X(k)表示DFT变换后的数据，x(n)为采样的模拟信号,公式中的x(n)可以为复信号，实际当中x(n)都是实信号，即虚部为0,此时公式可以展开为：那么，对于一个的序列进行不断分解，就可以得出如下所谓的蝶形图：•FFT处理蝶形运算蝶形运算的规律：同一级中所有蝶形的输入点在同一竖直线上，意味着我们可以按级来运算，对于M级的蝶形，编个M次循环就好了；所有数据点在运算后不会窜位，即计算后可以将结果存入原来的地址空间。

每级N/2个蝶都需要用到系数WN，这里称它为旋转因子。

我们来观察旋转因子WN的规律。

以8点的蝶形图为例：可见，第L级的旋转因子为：可以看到，每个蝶的两个输入点下标跨度是不一样的。

比如第一级中是相邻两个数据作蝶运算，第二级中是两个输入点隔开一个点，而第三级隔开三个点。

不难找到规律：第L级中，第二个输入点的坐标是第一个点的坐标+space，space=Math.Pow(2, L)=num。

FFT的算法是写一个三重循环：•第一重循环对每一级运算（每级含num=Math.Pow(2, L)个蝶形）；•第二重对每一个旋转因子对应的蝶运算，那么有几个蝶呢？很简单，每级都应该有N/2个蝶，而每个因子对应N/2 / num个蝶；•第三重循环对每个蝶进行计算，需要注意的一是循环下标起始点的位置，二是每次计算需要申明临时变量来保存输入数据点。

数字信号处理快速傅里叶变换知识总结数字信号处理中的快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的算法，用于计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换。

以下是关于快速傅里叶变换的一些重要知识点总结：1.基本概念：o傅里叶变换：将时域信号转换为频域信号，或反之。

o离散傅里叶变换（DFT）：对有限长度的离散时间信号进行傅里叶变换。

2.快速傅里叶变换（FFT）：o是一种算法，用于高效计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换。

o基于“分治”策略，将大问题分解为小问题，从而显著降低了计算复杂性。

3.FFT的种类：o按长度分类：长度为2的幂的FFT（如N=2^n，n为整数）和任意长度的FFT。

o按算法结构分类：基于蝶形运算的基本FFT算法，以及各种改进和优化版本（如Cooley-Tukey、Radix-2、Radix-4等）。

4.FFT的数学表达式：对于长度为N的输入信号x[n]，其DFT可以表示为X[k] =∑_{n=0}^{N-1} x[n] * W_N^kn，其中W_N = e^(-j2π/N)。

快速傅里叶变换则是基于这个公式的高效计算方法。

5.FFT的应用：o频谱分析：通过FFT，可以快速得到信号的频域表示，从而分析信号的频率成分。

o通信系统：用于信号调制、解调和多路复用等。

o图像处理：在图像处理中，FFT常用于频域滤波和图像压缩。

6.FFT的优点和局限性：o优点：计算速度快，适合于实时处理和大数据量处理。

o局限性：对于非2的幂的长度信号，FFT的效率会降低。

此外，FFT无法处理无限或无限长的信号。

7.FFT的Python实现：Python中常用的库如numpy和scipy都提供了FFT的实现。

例如，numpy的fft模块提供了fft函数用于计算一维离散傅里叶变换，scipy.fftpack模块也提供了类似的功能。

8.其他扩展：针对特定应用和需求，还有许多FFT的变种和改进算法，例如线性调频Z变换（CZT）、混合基数FFT、对称性FFT等。

knN W N N第四章 快速傅里叶变换有限长序列可以通过离散傅里叶变换(DFT)将其频域也离散化成有限长 序列.但其计算量太大,很难实时地处理问题,因此引出了快速傅里叶变换 (FFT). 1965 年，Cooley 和 Tukey 提出了计算离散傅里叶变换（DFT ）的快 速算法，将 DFT 的运算量减少了几个数量级。

从此，对快速傅里叶变换（FFT ） 算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科也随 FFT 的出现和发 展而迅速发展。

根据对序列分解与选取方法的不同而产生了 FFT 的多种算 法，基本算法是基２DIT 和基２DIF 。

FFT 在离散傅里叶反变换、线性卷积 和线性相关等方面也有重要应用。

快速傅里叶变换（FFT ）是计算离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法。

DFT 的定义式为N −1X (k ) = ∑ x (n )W NR N (k )n =0在所有复指数值 W kn 的值全部已算好的情况下，要计算一个 X (k ) 需要 N 次复数乘法和 N －1 次复数加法。

算出全部 N 点 X (k ) 共需 N 2次复数乘法和 N ( N − 1) 次复数加法。

即计算量是与 N 2成正比的。

FFT 的基本思想：将大点数的 DFT 分解为若干个小点数 DFT 的组合， 从而减少运算量。

W N 因子具有以下两个特性，可使 DFT 运算量尽量分解为小点数的 DFT运算：（1） 周期性：( k + N ) nN= W kn= W ( n + N ) k（2） 对称性：W( k + N / 2 )= −W kNN利用这两个性质，可以使 DFT 运算中有些项合并，以减少乘法次数。

例子：求当N＝4 时，X(2)的值4 NNN3∑44444X (2) = n =0x (n )W 2 n = x (0)W 0 + x (1)W 2 + x (2)W 4 + x (3)W 6= [ x (0) + x (2)]W 0 + [ x (1) + x (3)]W 2(周期性)4＝[ x (0) + x (2)]－[ x (1) + x (3)]W 04(对称性)通过合并，使乘法次数由 4 次减少到 1 次，运算量减少。

快速傅⾥叶变换（FFT）详解快速傅⾥叶变换（FFT）详解 （这是我第⼀次写博，不喜勿喷...） 关于FFT已经听闻已久了，这次终于有机会在Function2的介绍下来了解⼀下FFT了。

快速傅⾥叶变换(Fast Fourier Transformation)简称FFT。

在各⼤OI竞赛中也常有⽤到，也是⼀个⼗分优秀的可以装逼的好算法 在这篇blog中，有⼤量数学推导，因为我懒得写公式（好复杂，逃），所以⽤图⽚代替了╮(╯▽╰)╭，如有不适，望见谅（逃~~）。

基础知识：多项式的度数：多项式的线性空间系数表达向量的卷积分治乘法（如果你急着和MM约会或机房要关门了，那跳过也⽆妨）点值表达插值点值计算分析单位复数根单位复数根的性质1. 消去引理 2.折半引理 3.求和引理铺垫都铺完了，让我们⼀起进⼊DFT,FFT,IDFT的美妙世界吧！离散傅⾥叶变换（Discrete Fourier Transform 简称DFT）快速傅⾥叶变换（FFT）（终于等到你~~）逆离散傅⾥叶变换（Inverse Discrete Fourier Transform 简称IDFT）FFT的迭代实现我们类似于需要像这样实现FFT：知识点终于讲完了，接下来我们就要开始写板⼦了板⼦题：代码附上~~1 #include<cstdio>2 #include<iostream>3 #include<cmath>4 #include<cstring>5 #include<algorithm>6 #include<cstdlib>7using namespace std;8const int mod=1e9+7;9const double pi=acos(-1);10struct cn11 {12double x,y;13 cn (double x=0,double y=0):x(x),y(y) {}14 }a[300005],b[300005],c[300005];15 cn operator + (const cn &a,const cn &b) {return cn(a.x+b.x,a.y+b.y);}16 cn operator - (const cn &a,const cn &b) {return cn(a.x-b.x,a.y-b.y);}17 cn operator * (const cn &a,const cn &b) {return cn(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);} 18void fft(cn a[],int n,int l,int f)19 {20int rev[n+5];21 rev[0]=0;22for (int i=1; i<n; i++){23 rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<l-1);24if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);25 }26for (int i=1; i<n; i<<=1){27 cn wi(cos(pi/i),f*sin(pi/i));28for (int j=0; j<n; j+=i*2){29 cn w(1,0);30for (int k=0; k<i; k++){31 cn x=a[j+k],y=w*a[j+k+i];32 a[j+k]=x+y;33 a[j+k+i]=x-y;34 w=w*wi;35 }36 }37 }38if (f==-1)39for (int i=0; i<n; i++){40 a[i].x/=n; a[i].y/=n;41 }42 }43int main()44 {45int n,m;46 scanf("%d%d",&n,&m); n++; m++;47for (int i=0; i<n; i++) scanf("%lf",&a[i].x);48for (int i=0; i<m; i++) scanf("%lf",&b[i].x);49int l=0,N=1;50while (N<n+m-1) N<<=1,l++;51 fft(a,N,l,1);52 fft(b,N,l,1);53for (int i=0; i<N; i++) c[i]=a[i]*b[i];54 fft(c,N,l,-1);55for (int i=0; i<n+m-1; i++) printf("%d ",(int)(c[i].x+0.5)); 56return0;57 }鸣谢：LLX⼤佬（Ps:⼀个巨搞笑的东西：）。