苏教版2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2阶段质量检测(一) 导数及其应用

学业分层测评(四)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．函数y ＝－2e x sin x 的导数y ′＝________.【解析】 y ′＝(－2e x )′sin x ＋(－2e x )·(sin x )′＝－2e x sin x －2e x cos x ＝－2e x (sin x ＋cos x )．【答案】 －2e x (sin x ＋cos x )2．函数f (x )＝x e －x 的导数f ′(x )＝________.【解析】 f ′(x )＝x ′·e －x ＋x (e －x )′＝e －x －x e －x ＝(1－x )e －x .【答案】 (1－x )e －x3．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，则f ′(3π)＝________. 【解析】 因为f ′(x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4′ ＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4， 所以f ′(3π)＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π4＝－12sin 5π4＝24. 【答案】 244．曲线C ：f (x )＝e x ＋sin x ＋1在x ＝0处的切线方程是________．【解析】 ∵f ′(x )＝e x ＋cos x ，∴k ＝f ′(0)＝2，切点为(0,2)，切线方程为y ＝2x ＋2.【答案】 y ＝2x ＋25．(2016·东营高二检测)设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)，则f ′(0)＝________.【解析】 f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，则f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2，∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4.【答案】 －46．(2016·佛山高二检测)若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________.【解析】 y ′＝k ＋1x ，则曲线在点(1，k )处的切线的斜率为k ＋1，∴k ＋1＝0，∴k ＝－1.【答案】 －17．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________．【解析】 设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1，y 0＝ln(x 0＋a )．又y ′＝(x ＋a )′x ＋a ＝1x ＋a 及导数的几何意义， ∴1x 0＋a＝1， 即x 0＋a ＝1.因此，y 0＝ln(x 0＋a )＝0，∴x 0＝－1，∴a ＝2.【答案】 28．(2016·广州高二检测)若函数为y ＝sin 4x －cos 4x ，则y ′＝________________.【解析】 ∵y ＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )·(sin 2x －cos 2x )＝－cos 2x ，∴y ′＝(－cos 2x )′＝－(－sin 2x )·(2x )′＝2 sin 2x .【答案】 2sin 2x二、解答题9．求下列函数的导数．(1)y ＝1－2x 2；(2)y ＝e sin x ；(3)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)． 【解】 (1)设y ＝u ，u ＝1－2x 2，则y ′＝(u )′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u －12·(－4x ) ＝12(1－2x 2) (－4x )＝－2x 1－2x2. (2)设y ＝e u ，u ＝sin x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·cos x ＝e sin x cos x .(3)设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝y u ′·u x ′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.10．求曲线y ＝2sin 2x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线方程． 【解】 因为y ′＝(2sin 2x )′＝2×2sin x ×(sin x )′＝2×2sin x ×cos x ＝2sin 2x ，所以y ′|x ＝π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＝ 3. 所以过点P 的切线方程为y －12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6， 即3x －y ＋12－3π6＝0.能力提升]1．若f (x )＝sin x sin x ＋cos x，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4等于________． 【解析】∵f ′(x )＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2 ＝1(sin x ＋cos x )2＝11＋sin 2x， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝11＋sin π2＝12. 【答案】 122．(2014·江西高考)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________.【导学号：01580010】【解析】 令f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1，设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2，∴x 0＝e ，此时y 0＝eln e ＝e ，∴点P 的坐标为(e ，e)．【答案】 (e ，e)3．已知函数y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线为y ＝2x －1，则函数g (x )＝x 2＋f (x )在(2，g (2))处的切线方程为________．【解析】 由题意知，f (2)＝3，f ′(2)＝2，则g (2)＝4＋f (2)＝7.∵g ′(x )＝2x ＋f ′(x )，∴g ′(2)＝4＋f ′(2)＝6.∴函数g (x )在(2，g (2))处的切线方程为y －7＝6×(x －2)，即6x －y －5＝0.【答案】 6x －y －5＝04．已知函数f (x )＝x －1＋a e x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的直线方程．【解】(1)f′(x)＝1－ae x，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝1－ae＝0，解得a＝e.(2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋1e x，f′(x)＝1－1e x.设切点为(x0，y0)，∵f(x0)＝x0－1＋1e x0＝kx0－1，①f′(x0)＝1－1e x0＝k，②①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0. 若k＝1，则②式无解，∴x0＝－1，k＝1－e.∴l的直线方程为y＝(1－e)x－1.。

自我小测1．函数y＝(3x－2)2的导数为__________．2．函数y＝x·e x在x＝1处的导数为__________．3．若f(x)＝x ln x，且f′(x0)＝2，则x0＝__________.4．直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点(2,3)，则b＝__________.5．曲线y＝x3－3x2有一条切线与直线3x＋y＝0平行，则此切线的方程为______________．6．已知函数f(x)＝ax3＋3x2＋2，且f′(－1)＝4，则a＝________.7．已知函数f(x)＝π4f'⎛⎫⎪⎝⎭cos x＋sin x，则π4f⎛⎫⎪⎝⎭的值为__________．8．若f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f′(1)＝__________. 9．求下列函数的导数：(1) y＝x4－3x2－5x＋6；(2)y＝sin x－x＋ln x；(3)y＝x4＋6x3－e x＋1π.10．(1)求曲线y＝f(x)＝x3－2x在点(1，－1)处的切线方程；(2)求曲线y＝f(x)＝x3－2x过点(1，－1)的切线方程．参考答案1答案：18x －122答案：2e 解析：∵y ′＝x e x ＋e x ，∴x ＝1时，y ′＝2e.3答案：e 解析：∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，由已知得ln x 0＋1＝2，即ln x 0＝1，解得x 0＝e.4答案：－15 解析：∵y ＝x 3＋ax ＋1，∴y ′＝3x 2＋a .∴x ＝2时，y ′＝12＋a ＝k ①.又∵(2,3)为切点，∴3＝2k ＋b ②，3＝8＋2a ＋1③.联立①②③，得3,15,9.a b k =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩5答案：3x ＋y －1＝0 解析：由于y ′＝3x 2－6x ，设切点为(x 0，y 0)，则由题意可得3x 02－6x 0＝－3，解得x 0＝1，此时切点为(1，－2)，故切线方程为y ＋2＝－3(x －1)，即3x ＋y －1＝0.6答案：103 解析：f ′(x )＝3ax 2＋6x ，则3a －6＝4，故103a =. 7答案：1 解析：∵f ′(x )＝π4f'⎛⎫-⎪⎝⎭sin x ＋cos x ， ∴π4f'⎛⎫ ⎪⎝⎭1-. ∴f (x )＝1)cos x ＋sin x . ∴π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 8答案：24 解析：∵f ′(x )＝(x －1)′(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋(x －1)(x －2)′(x －3)(x －4)(x －5)＋…＋(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)′，∴f ′(1)＝－1×(－2)×(－3)×(－4)＝24.9答案：解：(1) y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝4x 3－6x －5；(2)y ′＝(sin x －x ＋ln x )′＝(sin x )′＋(－x )′＋(ln x )′＝cos x －1＋1x ； (3)4316e πx y'x x ⎛⎫=+-+' ⎪⎝⎭＝(x4)′＋(6x3)′＋(－e x)′＋1π⎛⎫' ⎪⎝⎭＝4x3＋18x2－e x.10答案：解：(1)由题意f′(x)＝3x2－2，f′(1)＝1，∴点(1，－1)处的切线的斜率k＝1，其方程为y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.(2)设切点为(x0，y0)，则y0＝x03－2x0，则切点处的导数值f′(x0)＝3x02－2；若点(1，－1)为切点，由(1)知切线方程为x－y－2＝0；若点(1，－1)不为切点，则3x02－2＝001 1y x +-(x0≠1)，即3x02－2＝300211x xx-+-，∴3x03－2x0－3x02＋1＝x03－2x0，∴2x03－3x02＋1＝0，即(x0－1)(2x02－x0－1)＝0，∴x0＝1或x0＝12-，其中x0＝1舍去，则切点坐标为17,28⎛⎫-⎪⎝⎭，∴斜率为211532224f'⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴切线方程为5x＋4y－1＝0，∴过点(1，－1)的切线方程为x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作刘国钧中学2008-09学年高二数学选修1-1单元检测题《导数及其应用》时间：120分钟 满分：160分一、填空题（每小题5分，共70分） 1、函数2cos y x x =+在区间[0,]2π上的最大值是2、'()f x 是f （x ）的导函数，'()f x 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是_______① ② ③ ④3、曲线1323+-=x x y 在点)1,1(-处的切线方程为________________________4、已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则 (1)(1)f f '+= ．5、点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点, 则点P 到直线2-=x y 的距离的最小值是6、设)(x f 是可导函数，且='=∆-∆-→∆)(,2)()2(lim0000x f xx f x x f x 则___________7、函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 为____________8、已知3)2(3123++++=x b bx x y 是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是________ 9、设R a ∈，若函数ax e y x+=，R x ∈有大于零的极值点，则a 的取值范围是________ 10、曲线xy e =的过原点的切线方程为__________________11、设函数1()1(2),f x x x x=+-≥ 则()f x 的最小值为 ． 12、已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为__________________ 13、函数xxy ln =的单调递增区间是 .14、一气球的半径以s cm /2的速度膨胀，当气球半径为cm 5时，表面积对于时间的变化率是_______________二、解答题（本大题共6小题，满分共90分） 15、 设函数f (x )=x (x -1)(x-a ),(a >1)(Ⅰ)求导数f ' (x );(Ⅱ)已知21,x x 是函数)(x f 的两个极值点)(21x x <⑴求证：a x x <<<<2110 ⑵若不等式f (x 1)+ f (x 2)≤0成立，求a 的取值范围16、用长为90c m ，宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？17、 已知cx bx ax x f ++=23)(在区间[0,1]上是增函数，在区间),1(),0,(+∞-∞上是减函数，又.23)21(='f . (Ⅰ)求)(x f 的解析式；(Ⅱ)若在区间],0[m (m ＞0)上恒有)(x f ≤x 成立,求m 的取值范围。

阶段质量检测(一) 导数及其应用 [考试时间：120分钟 试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为________． 2．曲线y ＝x 3－4x 在点(1，－3)处的切线的倾斜角为________．3．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x ＋18在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是________．4．y ＝2x 3－3x 2＋a 的极大值为6，则a ＝________. 5．函数y ＝sin xx的导数为________．6．若⎠⎛01(x －k )d x ＝32，则实数k 的值为________． 7．函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递减区间是________． 8．函数f (x )＝3x －4x 3在[0,1]上的最大值为________．9．(山东高考改编)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为________．10．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3(x ≥0)，－x (x <0)，则1－⎰1f (x )d x ＝________.11．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99＝________.12．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．13．周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________． 14．已知f (x )定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )＜－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)＞(x －1)·f (x 2－1)的解集是________________________________．二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ax 2－43ax ＋b ，f (1)＝2，f ′(1)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在(1,2)处的切线方程．16．(本小题满分14分)求下列定积分． (1)12－⎰(1－t 3)d t ； (2)1－π⎰(cos x ＋e x )d x ； (3)12⎰x 3－3x 2＋5x 2d x .17．(本小题满分14分)已知x ＝1是函数f (x )＝13ax 3－32x 2＋(a ＋1)x ＋5的一个极值点．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝2x ＋m 有三个交点，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －2(e ≈2.71，a ∈R )． (1)判断曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与曲线y ＝g (x )的公共点个数； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 时，若函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点，求a 的取值范围．19．(本题满分16分)某公司将进货单价为a 元(a 为常数，3≤a ≤6)一件的商品按x 元(7≤x ≤10)一件销售，一个月的销售量为(12－x )2万件．(1)求该公司经销此种商品一个月的利润L (x )(万元)与每件商品的售价x (元)的函数关系式；(2)当每件商品的售价为多少元时，L (x )取得最大值？并求L (x )的最大值．20．(本小题满分14分)(山东高考)设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数． (1)若 a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点 (1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性．答 案1．解析：∵f (x )＝ax 2＋c ，∴f ′(x )＝2ax ，∴f ′(1)＝2a ，又∵f ′(1)＝2，∴a ＝1. 答案：12．解析：∵y ′＝3x 2－4，∴当x ＝1时，y ′＝－1，即tan α＝－1.又∵α∈(0，π)，∴α＝34π.答案：34π3．解析：由题意得f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，因此Δ＝4a 2－12≤0⇒－3≤a ≤3，所以实数a 的取值范围是[－3，3]． 答案：[－3，3]4．解析：y ′＝6x 2－6x ＝6x (x －1)，令y ′＝0，则x ＝0或x ＝1.当x ＝0时，y ＝a ，当x ＝1时，y ＝a －1.由题意知a ＝6.答案：65．解析：y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x x ′＝x ·(sin x )′－(x )′·sin x x 2＝x cos x －sin x x 2.答案：x cos x －sin xx 26．解析：⎠⎛01(x －k )d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－kx 10＝12－k ＝32，解得k ＝－1. 答案：－17．解析：∵f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x.令f ′(x )<0，因为x ∈(0，＋∞)，∴2x 2－1<0，即0<x <22，∴函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，22. 答案：⎝⎛⎭⎫0，22 8．解析：f ′(x )＝3－12x 2，令f ′(x )＝0，则x ＝－12(舍去)或x ＝12，f (0)＝0，f (1)＝－1，f ⎝⎛⎭⎫12＝32－12＝1.∴f (x )在[0,1]上的最大值为1. 答案：19．解析：由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 42＝4.答案：410．解析：因为⎠⎛-12f (x )d x ＝⎠⎛-10 (－x )d x ＋⎠⎛01(x 2＋3)d x .因为⎝⎛⎭⎫－12x 2′＝－x ，⎝⎛⎭⎫13x 3＋3x ′＝x 2＋3，所以⎠⎛-11f (x )d x ＝－12x 201-＋⎝⎛⎭⎫13x 3＋3x 10＝236. 答案：23611．解析：由于y ′| x ＝1＝n ＋1，∴曲线在点(1,1)处的切线为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y＝0，得x ＝x n ＝n n ＋1，∴a n ＝lg nn ＋1，∴原式＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg ⎝⎛⎭⎫12×23×…×99100＝lg 1100＝－2. 答案：－212．解析：∵f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ，x >0，∴当0<x <12时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，当x >12时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，依题意得⎩⎨⎧0≤k －1<12，12<k ＋1，k －1<k ＋1.∴1≤k <32.答案：⎣⎡⎭⎫1，32 13．解析：设矩形一边长为x cm ，则邻边长为(10－x )cm ；体积V ＝πx 2(10－x )＝π(10x 2－x 3)，由V ′＝π(20x －3x 2)＝0得x ＝0(舍去)，x ＝203可以判断x ＝203时，V max ＝4 00027π(cm 3)．答案：4 00027π cm 314．解析：令g (x )＝x ·f (x ) 则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＜0.∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数．又∵f (x ＋1)＞(x －1)f (x 2－1)，∴(x ＋1)f (x ＋1)＞(x 2－1)f (x 2－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x 2－1＞0，x ＋1＜x 2－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ＜－1或x ＞1，x ＜－1或x ＞2.∴x ＞2.答案：{x |x ＞2}15．解：(1)f ′(x )＝2ax －43a ，由已知得⎩⎨⎧f ′(1)＝2a －43a ＝1，f (1)＝a －43a ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝52.所以f (x )＝32x 2－2x ＋52.(2)函数f (x )在(1,2)处的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0. 16．解：(1)∵⎝⎛⎭⎫t －14t 4′＝1－t 3，∴⎠⎛-21(1－t 3)d t ＝⎝⎛⎭⎫t －14t 412-＝⎝⎛⎭⎫1－14－(－2－4)＝274.(2)∵(sin x ＋e x )′＝cos x ＋e x ，∴⎠⎛-π0(cos x ＋e x )d x ＝(sin x ＋e x )0-π＝1－e －π＝1－1eπ.(3)⎠⎛24x 3－3x 2＋5x 2d x ＝⎠⎛24⎝⎛⎭⎫x －3＋5x 2d x 取F (x )＝12x 2－3x －5x ，则F ′(x )＝x －3＋5x2， ⎠⎛24x 3－3x 2＋5x 2d x ＝F (4)－F (2)＝⎝⎛⎭⎫12×42－3×4－54－⎝⎛⎭⎫12×22－3×2－52＝54. 17．解：(1)依题意f ′(x )＝ax 2－3x ＋a ＋1，由f ′(1)＝0得a ＝1，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋5.(2)曲线y ＝f (x )与直线y ＝2x ＋m 有三个交点，即13x 3－32x 2＋2x ＋5－2x －m ＝0有三个实数根，令g (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋5－2x －m ＝13x 3－32x 2＋5－m ，则g (x )有三个零点．由g ′(x )＝x 2－3x ＝0得x ＝0或x ＝3.令g ′(x )>0得x <0或x >3；令g ′(x )<0得0<x <3.∴函数g (x )在(－∞，0)上为增函数，在(0,3)上为减函数，在(3，＋∞)上为增函数． ∴函数在x ＝0处取得极大值，在x ＝3处取得极小值．要使g (x )有三个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0，g (3)<0，解得12<m <5. ∴实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，5.18．解：(1)f ′(x )＝ln x ＋1，所以斜率k ＝f ′(1)＝1.又f (1)＝0，曲线在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋ax －2y ＝x －1⇒x 2＋(1－a )x＋1＝0.由Δ＝(1－a )2－4＝a 2－2a －3可知：当Δ＞0时，即a ＜－1或a ＞3时，有两个公共点；当Δ＝0时，即a ＝－1或a ＝3时，有一个公共点；当Δ＜0时，即－1＜a ＜3时，没有公共点．(2)y ＝f (x )－g (x )＝x 2－ax ＋2＋x ln x ，由y ＝0得a ＝x ＋2x ＋ln x ．令h (x )＝x ＋2x ＋ln x ，则h ′(x )＝(x －1)(x ＋2)x 2.当x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，由h ′(x )＝0得x ＝1.所以h (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，1上单调递减，在[1，e]上单调递增，故h min (x )＝h (1)＝3.由h ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e ＋2e －1，h (e)＝e ＋2e＋1，比较可知h ⎝⎛⎭⎫1e ＞h (e)．所以，当3＜a ≤e ＋2e＋1时，函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点．19．解：(1)L (x )＝(x －a )(12－x )2(7≤x ≤10)．(2)L ′(x )＝(12－x )2＋(x －a )(2x －24)＝(12－x )(12＋2a －3x )．令L ′(x )＝0得x ＝2a ＋123或x ＝12.由a ∈[3,6]得2a ＋123∈[6,8]．当2a ＋123∈[6,7]，即3≤a ≤92时，L (x )在[7,10]上是减函数，L (x )的最大值为L (7)＝25(7－a )；当2a ＋123∈(7,8]，即92<a ≤6时，L (x )在⎝⎛⎭⎪⎫7，2a ＋123上是增函数，在[2a ＋123，10]上是减函数．L (x )的最大值为L ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋123＝4(12－a )327综上可知，若3≤a ≤92，则当x ＝7时，L (x )取得最大值，最大值是25(7－a )；若92<a ≤6，则当x ＝2a ＋123时，L (x )取得最大值，最大值是4(12－a )327. 20．解：(1)由题意知a ＝0时，f (x )＝x －1x ＋1，x ∈(0，＋∞)．此时f ′(x )＝2(x ＋1)2.可得f ′(1)＝12，又f (1)＝0， 所以曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x －2y －1＝0.(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a x ＋2(x ＋1)2＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a x (x ＋1)2.当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ，由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)，①当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12(x －1)2x (x ＋1)2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a ＜－12时，Δ＜0，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③当－12＜a ＜0，Δ＞0.设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点，则x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a.由x 1＝a ＋1－2a ＋1－a＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a＞0，所以x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减，x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减，综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－12＜a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－(a ＋1)＋2a ＋1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)＋2a ＋1a ，－(a ＋1)－2a ＋1a 上单调递增．。

阶段质量检测(四) 模块综合检测[考试时间：120分钟 试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把正确答案填在题中的横线上) 1．(安徽高考)命题“存在实数x ，使x >1”的否定是________________________． 2．“相似三角形的对应角相等”的否命题是________________________________． 3．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于________．4．若a ＝(1，－1，－1)，b ＝(0,1,1)，且(a ＋λb )⊥b ，则实数λ的值是________．5．(重庆高考)设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________.6．已知a ＝(t ＋1,1，t )，b ＝(t －1，t,1)，则|a －b |的最小值为________． 7．方程x 23＋m －y 21－m＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围是________．8．(北京高考改编)双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是________．9．(山东高考改编)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的________条件．10．命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是____________________．11．已知A (4,1,3)、B (2,3,1)、C (3,7，－5)，点P (x ，－1,3)在平面ABC 内，则x 的值为________．12．(山东高考改编)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝________.13．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP ―→＝2PA ―→，且OQ ―→·AB ―→＝1，则P 点的轨迹方程是________．14．若方程x 24－t ＋y 2t －1＝1所表示的曲线为C ，给出下列四个命题：①若C 为椭圆，则1＜t ＜4且t ≠52；②若C 为双曲线，则t ＞4或t ＜1； ③曲线C 不可能是圆；④若C 表示椭圆，且长轴在x 轴上，则1＜t ＜32.其中正确的命题是________(把所有正确命题的序号都填在横线上)．二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)过直角坐标平面xOy 中的抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．(1)用p 表示线段AB 的长；(2)若OA ·OB ＝－3，求这个抛物线的方程．16．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈R .设p ：x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，q ：|f (x )－m |＜3，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．17.(本小题满分14分)如图，在正方体AC 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ∥平面 PAO?18．(本小题满分16分)已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，离心率为12.(1)求椭圆E 的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆E 交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．19．(新课标全国卷Ⅱ)(本小题满分16分)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB . (1)证明：BC 1//平面A 1CD ； (2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值．20．(重庆高考)(本小题满分16分)如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．答 案1．对任意实数x ，都有x ≤1 2．解析：否命题是条件结论都否定． 答案：不相似的三角形的对应角不相等3．解析：抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p2＝8，所以p ＝4，焦点F 到抛物线准线的距离等于4.答案：44．解析：λb ＝(0，λ，λ)，a ＋λb ＝(1，λ－1，λ－1)．∵(a ＋λb )⊥b ，∴(a ＋λb )·b ＝0. ∴λ－1＝0，λ＝1. 答案：15．解析：由PF 1⊥x 轴且P 点在双曲线的左支上，可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a .又因为点P 在直线y ＝b 3a x 上，所以－b 2a ＝b 3a×(－c )，整理得c ＝3b ，根据c 2＝a 2＋b 2得a ＝22b ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝3b 22b ＝324.答案：3246．解析：|a －b |2＝22＋(1－t )2＋(t －1)2＝2(t －1)2＋4， 所以当t ＝1时，|a －b |取得最小值2. 答案：27．解析：若x 23＋m －y 21－m＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋m >0，1－m >0⇒－3<m <1，∴m 的取值范围是(－3,1)． 答案：(－3,1)8．解析：依题意，e ＝c a ，e 2＝c 2a2>2，得1＋m >2，所以m >1. 答案：m >19．解析：由q ⇒綈p 且綈p ⇒/ q 可得p ⇒綈q 且綈q ⇒/ p ，所以p 是綈q 的充分不必要条件．答案：充分不必要10．解析：∵“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题， ∴∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0为真命题， ∴Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即a 2≤8， ∴－22≤a ≤2 2. 答案：[－22，2 2 ]11．解析：因为A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，P (x ，－1,3)，所以AP ＝(x －4，－2,0)，AB ＝(－2,2，－2)，AC ＝(－1，6，－8)．由于点P 在平面ABC 内，所以P 、A 、B 、C 四点共面．所以AP 、AB 、AC 三个向量共面．故由共面向量定理，知存在有序实数对(m ，n )，使AP ＝m AB ＋n AC ，即(x －4，－2,0)＝m (－2,2，－2)＋n (－1,6，－8)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝－2m －n ，－2＝2m ＋6n ，0＝－2m －8n .解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝1，x ＝11.答案：1112．解析：由已知得抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线的右焦点坐标为(2,0)，所以上述两点连线的方程为x 2＋2y p ＝1.双曲线的渐近线方程为y ＝±33x .对函数y ＝12p x 2求导得，y ′＝1p x .设M (x 0，y 0)，则1p x 0＝33，即x 0＝33p ，代入抛物线方程得，y 0＝16p .由于点M 在直线x 2＋2y p ＝1上，所以36p ＋2p ×p 6＝1，解得p ＝43＝433. 答案：43313．解析：可得A (32x,0)，B (0,3y )，Q (－x ，y )，则AB ＝(－32x,3y )，OQ ＝(－x ，y )，故OQ ·AB ＝32x 2＋3y 2＝1，所以P 点的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．答案：32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)14．解析：若为椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t ＞0，t －1＞0，4－t ≠t －1，即1＜t ＜4，且t ≠52；若为双曲线，则(4－t )(t －1)＜0，即4＜t 或t ＜1； 当t ＝52时，表示圆，若C 表示长轴在x 轴上的椭圆，则1＜t ＜52，故①②正确．答案：①②15．解：(1)抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程是y ＝x －p 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝x －p2得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24，∴AB ＝x 1＋x 2＋p ＝4p .(2)由(1)知x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1－p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24－3p 22＋p 24＝－p 2，∴OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p24＝－3，解得p 2＝4，∴p ＝2.∴这个抛物线的方程为y 2＝4x .16．解：∵f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x －1＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴若p 成立，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3， 由|f (x )－m |＜3⇒m －3＜f (x )＜m ＋3.∵p 是q 的充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －3＜1，m ＋3＞2，解得－1＜m ＜4，即m 的取值范围是(－1,4)．17．解：如图，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，P ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12， A (1,0,0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，设Q (0,1，z )，则OP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，12，1BD ＝(－1，－1,1)，∴OP ∥1BD ，∴OP ∥BD 1，AP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，BQ ＝(－1,0，z )， 当z ＝12时，AP ＝BQ ，即AP ∥BQ ，有平面AOP ∥平面D 1BQ ，∴当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面PAO .18．解：(1)由题意知，c a ＝12，所以a 2－b 2a 2＝14，a 2＝43b 2.又1a 2＋94b2＝1，解得a 2＝4，b 2＝3. 因此椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0， 故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1消去y 得，(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0. 由题意知Δ＝64k 2m 2－16(3＋4k 2)(m 2－3) ＝16(12k 2－3m 2＋9)>0， 即4k 2－m 2＋3>0.又x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－33＋4k 2所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－12k23＋4k2.因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，所以y 1x 1·y 2x 2＝3m 2－12k 24m 2－3＝k 2， 即(4k 2－3)m 2＝0，∵m ≠0，∴k 2＝34.由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ>0， 得0<m 2<6，且m 2≠3. 设d 为点O 到直线l 的距离，则S △OPQ ＝12d |PQ |＝12×|m |1＋k 21＋k 2|x 1－x 2| ＝12|m |x 1＋x 22－4x 1x 2又因为m 2≠3， 所以S △OPQ ＝33m26－m2<33×m 2＋6－m 22＝ 3. 所以△OPQ 面积的取值范围为(0，3)．19.解：(1)证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点． 又D 是AB 的中点，连结DF ，则BC 1∥DF . 因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD . (2)由AC ＝CB ＝22AB 得， AC ⊥BC .以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，CD ＝(1,1,0)，CE ＝(0,2,1)，1CA ＝(2,0,2)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD ＝0，n ·1CA ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0.可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面A 1CE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CE ＝0，m ·1CA ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y 2＋z 2＝02x 2＋2z 2＝0可取m ＝(2,1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63.即二面角D －A 1C －E 的正弦值为63. 20．解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|， 故∠B 1AB 2为直角， 因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2， 故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2.由题设条件S △AB 1B 2＝4，得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20. 因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1. (2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则y 1，y 2是上面方程的两根， 因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1y 2＝－16m 2＋5， 又2B P ＝(x 1－2，y 1)，2B Q ＝(x 2－2，y 2)， 所以2B P ·2B Q ＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16m 2＋1m 2＋5－16m2m 2＋5＋16 ＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，得2B P ·2B Q ＝0， 即16m 2－64＝0， 解得m ＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.11。

板块一：导数的概念与几何意义【题1】若000(2)()lim13x f x x f x x ∆→+∆-=∆，则0()f x '等于（ ）A ．23B ．32C ．3D ．2【答案】B【题2】将直线2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-=（*n ∈N ，2n ≥）x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积记为n S ，则lim n n S →∞= ．【答案】1【题3】 已知某物体的运动方程是3199s t t =+，则当3t =s 时的瞬时速度是_______．【答案】12【题4】若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x 等于（ ）AB． C ．23 D ．23或0【答案】A【题5】 若0y =是曲线3y x bx c =++的一条切线，则32()()32b c+=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【题6】⑴曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是____．⑵曲线32242y x x x =--+过点(13)-，的切线方程是_________．【答案】⑴520x y +-=；⑵520x y +-=或21490x y +-=．【题7】已知函数()f x 在R 上满足()()22288f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程是（ ） A ．21y x =-B ．y x =C ．32y x =-D ．23y x =-+【答案】A【题8】设函数1()()f x ax a b x b=+∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为3y =．导数及其应用⑴求()y f x =的解析式；⑵证明：曲线()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；⑶证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的面积为定值，并求出此定值．【答案】⑴1()1f x x x =+-；⑵(11)，；⑶2板块二：导数的运算【题9】设函数()()()()f x x a x b x c =---，（a 、b 、c 是两两不等的常数），则='+'+')()()(c f cb f b a f a ． 【答案】0【题10】 函数2(1)(1)y x x =+-在1x =处的导数等于（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【题11】 已知函数2()(1)f x x x =-，若00()f x x '=，则0x =_______．【答案】0或1板块三：导数的应用【题1】 设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如下图所示，则()y f x =的图象可能是（ ）A.【答案】B【题2】 已知函数321()53f x x x ax =++-，若()f x 在[1)+∞，上是单调增函数，则a 的取值范围是 ．【答案】[3)-+∞，【题3】 已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++()a b ∈R ，．若函数()f x 在区间(11)-，上不单调．．．，求a 的取值范围． 【答案】115122⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，【题4】 设a ∈R ，函数()()()()2121ln 1f x x a x =--+-+．⑴若函数()f x 在点()()00f ，处的切线方程为41y x =-，求a 的值； ⑵当1a <时，讨论函数()f x 的单调性．【答案】⑴2a =；⑵当0a ≤时，()f x 在()1-+∞，上是减函数；当01a <<时，()f x 在(1-，上为减函数、在)+∞上为减函数；()f x 在(上为增函数．【题5】 函数3()4f x ax bx =++在12x =-有极大值283，在22x =有极小值是43-，则a = ；b = ．【答案】13a =，4b =-．【题6】 设()323()1312f x x a x ax =-+++． ⑴若函数()f x 在区间()1,4内单调递减，求a 的取值范围；⑵若函数()f x 在x a =处取得极小值是1，求a 的值，并说明在区间()1,4内函数()f x 的单调性．【答案】⑴[)4,a ∈+∞；⑵3a =，()f x 在()1,3内单调递减，在[)3,4内单调递增．【题7】 设a ∈R ，函数32()3f x ax x =-．⑴若2x =是函数()y f x =的极值点，求a 的值； ⑵若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，在0x =处取得最大值，求a 的取值范围． ⑶若函数()()()g x f x f x '=+在[02]x ∈，时的最大值为1，求a 的值． 【答案】⑴1a =；⑵a 的取值范围为65⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，．⑶54a =．【题8】 已知函数()()1ln 1af x x ax a x-=-+-∈R ． ⑴ 当12a ≤时，讨论()f x 的单调性；⑵ 设()224g x x bx =-+．当14a =时，若对任意()102x ∈，，存在[]212x ∈，，使()()12f x g x ≥，求实数b 取值范围．【答案】⑴当0a ≤时，函数()f x 在()01，和()1+∞，上单调递减； 当12a =时，函数()f x 在()0+∞，上单调递减；当102a <<时，函数()f x 在()01，和11a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减，在111a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增； ⑵b 的取值范围是178⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．板块四：导数与其它知识综合【题1】 设函数()32()f x x bx cx x =++∈R ，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数．⑴求b 、c 的值．⑵求()g x 的单调区间与极值．⑶若()g x m =有三个不同的实根，求m 的取值范围．【答案】⑴3,0b c ==；⑵(-∞-，和)+∞是函数()g x 的单调递增区间；(是函数()g x 的单调递减区间；()g x 在x =()g x 在x =-⑶(m ∈-．【题2】 已知函数()()32f x x ax b a b =-++∈R ，． ⑴若1a =，函数()f x 的图象能否总在直线y b =的下方？说明理由？ ⑵若函数()f x 在()02，上是增函数，求a 的取值范围．⑶设123x x x ，，为方程()0f x =的三个根，且()110x ∈-，，()201x ∈，，()()311x ∈-∞-+∞，，，求证：1a>．【答案】⑴略；⑵[)3a ∈+∞，；⑶略．【题3】 已知函数32()f x x x ax b =+++．⑴ 当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；⑵ 若函数()f x 的图象与直线y ax =只有一个公共点，求实数b 的取值范围．【答案】⑴()f x 的单调递增区间为1(1)()3-∞-+∞，，，，单调递减区间为1(1)3-，．⑵0b >或427b <-．【题4】 32()3(1)3(2)1f x mx m x m x =-++++，其中m ∈R ．⑴若0m <，求()f x 的单调区间；⑵在⑴的条件下，当[]11x ∈-，时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围；⑶设32()(32)34ln 1g x mx m x mx x m =-+++++，问是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．【答案】⑴()f x 在21m ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭，单调递减，在211m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，单调递增，在(1)+∞，上单调递减． ⑵403⎛⎫- ⎪⎝⎭，；⑶存在，5m =或84ln2m =-．【题5】 已知函数()(0)bf x ax c a x=++>的图象在点(1(1))f ，处的切线方程为1y x =-． ⑴用a 表示出b ，c ；⑵若()ln f x x >在[]1∞，上恒成立，求a 的取值范围；⑶证明：11111ln(1)()232(1)n n n n n ++++>+++≥． 【答案】⑴112b a c a=-⎧⎨=-⎩；⑵a 的取值范围为12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．⑶略．【题6】 已知函数()2ln pf x px x x=--． ⑴若2p =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；⑵若函数()f x 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围；⑶设函数2()eg x x=，若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得00()()f x g x >成立，求实数p 的取值范围．【答案】⑴22y x =-；⑵p 的取值范围是[1,)+∞；⑶p 的取值范围是24,1e e ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭．【题7】 设函数()sin ()f x x x x =∈R ．⑴证明(2π)()2πsin f x k f x k x +-=，其中为k 为整数；⑵设0x 为()f x 的一个极值点，证明420020[()]1x f x x =+；⑶设()f x 在(0)+∞，内的全部极值点按从小到大的顺序排列12n a a a ，，，，， 证明：1ππ (12)2n n a a n +<-<=，，【题8】 已知a 是给定的实常数，设函数2()()()x f x x a x b e =-+，b ∈R ，x a =是()f x 的一个极大值点．⑴求b 的取值范围；⑵设1x ，2x ，3x 是()f x 的3个极值点，问是否存在实数b ，可找到4x ∈R ，使得1x ，2x ，3x ，4x 的某种排列1i x ，2i x ，3i x ，4i x （其中1234{}{1234}i i i i =，，，，，，）依次成等差数列？若存在，求所有的b 及相应的4x ；若不存在，说明理由．【答案】⑴b 的取值范围是()a -∞-，；⑵存在b ，当3b a =--时，4x a =±；当b a =-时，4x a =b a =-时，4x a =．【题9】 已知函数322()(1)52f x x k k x x =--++-，22()1g x k x kx =++，其中k ∈R ．⑴设函数()()()p x f x g x =+．若()p x 在区间(03)，上不单调．．．，求k 的取值范围； ⑵设函数(),0()(),0g x x q x f x x ⎧=⎨<⎩≥，是否存在k ，对任意给定的非零实数1x ，存在惟一的非零实数221()x x x ≠，使得21()()q x q x ''=成立？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】⑴()52k ∈--，；⑵存在，5k =．板块五：微积分与定积分的应用【题1】 求定积分10)x dx ⎰．【答案】π24-【题2】 121(||)x x dx -+=⎰ ．【答案】1【题3】 已知函数0()sin d a f a x x =⎰，则π2f f⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A ．1 B ．1cos1-C ．0D ．cos11-【答案】B【题4】 如图，求曲线1xy =及直线y x =，2y =所围成的图形的面积S ．【答案】ln 22-。

1．2.3 简单复合函数的导数[对应学生用书P11]已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，g (x )＝(3x ＋2)2. 问题1：这两个函数是复合函数吗？ 提示：是复合函数．问题2：试说明g (x )＝(3x ＋2)2是如何复合的？提示：函数g (x )＝(3x ＋2)2是由 g (u )＝u 2，u ＝3x ＋2复合而成的． 问题3：试求g (x )＝(3x ＋2)2，g (u )＝u 2，u ＝3x ＋2的导数．提示：g ′(x )＝[(3x ＋2)2]′＝[9x 2＋12x ＋4]′＝18x ＋12.g ′(u )＝2u ，u ′＝3. 问题4：观察问题3中导数有何关系？ 提示：g ′(x )＝g ′(u )·u ′.若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a .1．求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量． 2．利用复合关系求导前，若函数关系可以化简，则先化简再求导会更简单．3．判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x 的基本函数或关于自变量x 的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数．[对应学生用书P11]复合函数的求导[例1] (1)y ＝1(2x ＋3)3；(2)y ＝e－0.05x ＋1；(3)y ＝cos(ωx ＋φ)(其中ω、φ为常数)； (4)y ＝log 2(5－3x )．[思路点拨] 先分清函数自身结构，再合理地选取中间变量，利用复合函数的求导法则求解． [精解详析] (1)y ＝1(2x ＋3)3＝(2x ＋3)－32是函数y ＝u －32，u ＝2x ＋3的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u －32)′·(2x ＋3)′＝－32u －52·2＝－3u －52＝－3(2x ＋3)－52.(2)y ＝e －0.05x ＋1是函数y ＝e u ，u ＝－0.05x ＋1的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(e u )′·(－0.05x＋1)′＝－0.05e u ＝－0.05e－0.05x ＋1.(3)y ＝cos(ωx ＋φ)是y ＝cos u ，u ＝ωx ＋φ的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(cos u )′·(ωx ＋φ)′ ＝－sin u ·ω＝－ωsin(ωx ＋φ)．(4)y ＝log 2(5－3x )是y ＝log 2u ，u ＝5－3x 的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(log 2u )′·(5－3x )′＝－3·1u ln 2＝－3(5－3x )ln 2＝3(3x －5)ln 2. [一点通] 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．1．若函数f (x )＝ln 1x ，则f ′(x )＝________.解析：f (x )＝ln 1x 是f (u )＝ln u 与u ＝1x的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·⎝⎛⎭⎫1x ′ ＝1u ·⎝⎛⎭⎫－1x 2＝－1x . 答案：－1x2．函数y ＝sin 3x ＋sin x 3的导数为________． 解析：y ′＝(sin 3x ＋sin x 3)′＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′ ＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2 ＝3sin 2x cos x ＋3x 2·cos x 3. 答案：3sin 2x cos x ＋3x 2·cos x 3 3．求下列函数的导数： (1)y ＝e2x 2＋3x ；(2)y ＝1(1－3x )4.解：(1)y ＝e u ，u ＝2x 2＋3x ， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝e u ·(2x 2＋3x )′＝e u ·(4x ＋3)＝(4x ＋3)e2x 2＋3x . (2)∵y ＝1(1－3x )4＝(1－3x )－4， ∴可设y ＝u －4，u ＝1－3x ，∵y ′u ＝－4u －5，u ′x ＝－3，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－4u －5×(－3)＝12(1－3x )－5.求导法则的综合应用[例2] (1)y ＝31－x sin(2x －1)；(2)y ＝ln (2x －1)2x －1.[思路点拨] 根据导数的运算法则及复合函数的求导公式求解． [精解详析] (1)y ′＝(31－x )′sin(2x －1)＋31－x ·[sin(2x －1)]′＝－31－x ln 3·sin(2x －1)＋31－x ·2cos(2x －1)＝31－x [2cos(2x －1)－sin(2x －1)·ln 3]．(2)y ′＝[ln (2x －1)]′·2x －1－ln (2x －1)·(2x －1)′(2x －1)2＝22x －12x －1－ln (2x －1)·12(2x －1)－12·22x －1＝22x －1－ln (2x －1)2x －12x －1＝2－ln (2x －1)(2x －1)·2x －1. [一点通] (1)利用加减乘除四则运算与复合生成函数的方法，都能由基本初等函数生成一些新的函数，认清这一点可帮助我们分析函数结构．(2)认清函数结构之后，不要急于求导，应注意恰当利用代数、三角变换方法，化简函数解析式，以达到准确套用法则，明确求导过程的目的．4．若函数f (x )＝x cos 2x ，则f ′(x )＝________. 解析：f ′(x )＝x ′cos 2x ＋x (cos 2x )′ ＝cos 2x －2x sin 2x . 答案：cos 2x －2x sin 2x 5．求下列函数的导数： (1)y ＝2x －1x ；(2)y ＝12sin 2(1－x )．解：(1)y ′＝(2x －1)′x －2x －1·x ′x 2＝x2x －1－2x －1x 2＝1－x x 22x －1. (2)∵y ＝12sin 2(1－x )＝14[1－cos(2－2x )]＝14－14cos(2－2x )＝14－14cos(2x －2)． ∴y ′＝12sin(2x －2)．复合函数导数的应用[例3] f (1))处的切线为l ，若l与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，求a 的值．[思路点拨] 求函数f (x )的导数→求f ′(1)得切线l 的斜率→写出直线l 的点斜式方程→由l 与圆C 相切列方程→解方程求a .[精解详析] ∵f ′(x )＝a (x 2)′＋2·12－x ·(2－x )′＝2ax －22－x，∴f ′(1)＝2a －2，又f (1)＝a ＋2ln 1＝a ， ∴切线l 的方程为y －a ＝2(a －1)(x －1)， 即2(a －1)x －y －a ＋2＝0.∵直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14 相切，∴圆心(0,0)到直线l 的距离为12，所以有|2－a |4(a －1)2＋1＝12，解得a ＝118.∴a 的值为118.[一点通] 有了复合函数的求导法则，可以求导的函数类型更加丰富了．在实际应用中，先要准确求出函数的导数，然后注意切线的定义，导数的几何意义以及直线方程的求法的综合应用．6．函数y ＝cos 2x 在点⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线方程是________．解析：∵y ′＝－2sin 2x ，∴k ＝－2sin π2＝－2.∴切线方程为y －0＝－2⎝⎛⎭⎫x －π4， 即2x ＋y －π2＝0.答案：2x ＋y －π2＝07．求y ＝ln(2x ＋3)的导数，并求在点⎝⎛⎭⎫－12，ln 2处切线的倾斜角． 解：令y ＝ln u ，u ＝2x ＋3，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ·2＝22x ＋3.当x ＝－12时，y ′＝23－1＝1，即在⎝⎛⎭⎫－12，ln 2处切线的倾斜角的正切值为1， 所以倾斜角为π4.8．设曲线y ＝e －x (x ≥0)在点M (t ，e －t )处的切线l 与x 轴，y 轴围成的三角形面积为S (t )．(1)求切线l 的方程； (2)求S (t )的解析式． 解：∵y ＝e －x ，∴y ′＝(e －x )′＝－e －x ，∴y ′|x ＝t ＝－e －t .故切线方程为y －e －t ＝－e －t (x －t )，即x ＋e t y －(t ＋1)＝0. (2)令y ＝0得x ＝t ＋1. 令x ＝0得y ＝e －t (t ＋1)．∴S (t )＝12(t ＋1)·e －t (t ＋1)＝12(t ＋1)2e －t (t ≥0)．求复合函数导数的技巧及注意点(1)对于分式、根式、三角函数式、指数式、对数式的复合函数的导数，关键仍然在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量，熟用复合函数求导法则，迅速正确地求出导数．(2)在复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由表及里逐层求异．(3)灵活运用复合函数的求导法则，正确地进行求导运算，树立多角度、换方位思考问题的意识，达到优化解题思维、简化解题过程的目的．[对应课时跟踪训练(五)]一、填空题1．设函数f (x )＝sin(4x －2)，则f ′(x )＝________. 解析：∵f (x )＝sin(4x －2)，∴f ′(x )＝[sin(4x －2)]′＝4cos(4x －2)． 答案：4cos(4x －2)2．(全国大纲卷改编)曲线y ＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于________．解析：y ′＝e x －1＋x e x －1，故曲线在点(1,1)处切线的斜率为y ′|x ＝1＝2. 答案：23．设曲线y ＝f (x )＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 解析：∵切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直， ∴切线的斜率k ＝2. 又∵f ′(x )＝(e ax )′＝a e ax ， ∴k ＝f ′(0)＝a ＝2. 答案：24．函数y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的导数为________． 解析：∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝x 2sin(4x ＋π)＝－x2sin 4x ， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫－x 2′sin 4x ＋⎝⎛⎭⎫－x2·(sin 4x )′ ＝－12sin 4x －2x cos 4x .答案：－12sin 4x －2x cos 4x5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________． 解析：设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1， 且y 0＝ln(x 0＋a )，所以x 0＋1＝ln(x 0＋a )① 对y ＝ln(x ＋a )求导得y ′＝1x ＋a， 则1x 0＋a＝1，x 0＋a ＝1，② 由①②可得x 0＝－1，所以a ＝2. 答案：2 二、解答题6．求下列函数的导数．(1)y ＝5log 2(2x ＋1)； (2)y ＝cos(53π－7x )；(3)y ＝(2x －1)5.解：(1)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1.则y ′＝y ′u ·u ′x ＝5u ln 2×2＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.(2)设y ＝cos u ，u ＝53π－7x .则y ′＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ×(－7)＝7sin ⎝⎛⎭⎫53π－7x . (3)设y ＝u 5，u ＝2x －1，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝5u 4×2＝10u 4＝10(2x －1)4.7．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2.求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． 解：f ′(x )＝11＋x －1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.8．已知A (1，f ′(x ))是函数y ＝f (x )的导函数图象上的一点，点B 的坐标为(x ，ln(2－x ))，向量a ＝(1,1)，设f (x )＝AB ―→·a ，试求函数y ＝f (x )的表达式．解：∵AB ―→＝(x ，ln(2－x ))－(1，f ′(1)) ＝(x －1，ln(2－x )－f ′(1))， a ＝(1,1)，∴f (x )＝AB ―→·a ＝x －1＋ln(2－x )－f ′(1) ＝ln(2－x )＋x －f ′(1)－1∴f ′(x )＝12－x ·(2－x )′＋1＝1x －2＋1，∴f ′(1)＝0，∴f (x )＝ln(2－x )＋x －1.。

[对应学生用书]一、导数的概念．导数函数＝()在区间(，)上有定义，∈(，)，当Δ无限趋近于时，比值＝无限趋近于一个常数，则称()在点＝处可导，称常数为函数()在点＝处的导数，记作′()．．导函数若()对于区间(，)内任一点都可导，则′()在各点的导数中随着自变量的变化而变化，因而也是自变量的函数，该函数称为()的导函数．记作′()．二、导数的几何意义．′()是函数＝()在处切线的斜率，这是导数的几何意义．．求切线方程：常见的类型有两种：一是函数＝()“在点＝处的切线方程”，这种类型中(，())是曲线上的点，其切线方程为－()＝′()(－)．二是函数＝()“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为(，)，则切线方程为－＝′()(－)，再由切线过点(，)得－＝′()(－)，又＝()，由上面两个方程可解得，的值，即求出了过点(，)的切线方程．三、导数的运算．基本初等函数的导数()()＝，则′()＝(为常数)；()()＝α，则′()＝α·α－(α为常数)；()()＝(>且≠)，则′()＝；()()＝(＞，且≠)，则′()＝)；()()＝，则′()＝；()()＝，则′()＝－ .．导数四则运算法则()[()±()]′＝′()±′()；()[()()]′＝′()()＋()′()；()′＝(()≠)．四、导数与函数的单调性利用导数求函数单调区间的步骤：()求导数′()；()解不等式′()>或′()<；()写出单调增区间或减区间．特别注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．五、导数与函数的极值利用导数求函数极值的步骤：()确定函数()的定义域；()求方程′()＝的根；()检验′()＝的根的两侧的′()的符号，若左正右负，则()在此根处取得极大值．若左负右正，则()在此根处取得极小值，否则此根不是()的极值点．六、求函数()在闭区间[，]上的最大值、最小值的方法与步骤()求()在(，)内的极值；()将()求得的极值与()、()相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．特别地，①当()在[，]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当()在(，)内只有一个极值点时，若在这一点处()有极大(或极小)值，则可以判断()在该点处取得最大(或最小)值，这里(，)也可以是(－∞，＋∞)．七、导数的实际应用利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题：()求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去．()在实际问题中，由′()＝常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．八．定积分()定积分是一个数值．定积分的定义体现的基本思想是：先分后合、化曲为直(以不变代变)．定积分的几何意义是指相应直线、曲线所围曲边梯形的面积．要注意区分()，()及三者的不同．()微积分基本定理是计算定积分的一般方法，关键是求被积函数的原函数．而求被积函数的原函数和求函数的导函数恰好互为逆运算，要注意它们在计算和求解中的不同，避。

2x 3 3x 2sin x f(x) Inf(x)3x 4x 3[0,1]4x11n 1/ y x (n* N ) (1,1)xxa 2a 99122f(x) 2xIn x(k 1 k 1)k1320 cm14f(x) (0)f (x) f(x)f(x)f(x 1)(x 1) f (x 21)(69015 (14)f(x) ax 24 3ax bf(1) 2 f (1)1(1) f(x)⑵ f(x)(1,2)a n lg X n(x)[ 120 160 ]151617181920( 14570)1 f(x) ax 2cf (1) 2a2y x 3 4x (1 3)yk)dx f(x)10、x(x<0)a 1 xf f 2x1f(x)dx3 r/ x 3 2f(x) x ax x 18 ( ) a16. (本小题满分14分)求下列定积分.(1) 12(1 - t3)dt;(2) - _.(cos x+ e x)dx;1 x3—3x2+ 5⑶2 孑dx.1 317. (本小题满分14分)已知x= 1是函数f(x) = §ax3—2x2+ (a+ 1)x+ 5的一个极值点.(1)求函数f(x)的解析式；⑵若曲线y= f(x)与直线y= 2x+ m有三个交点，求实数m的取值范围.18. (本小题满分16 分)已知函数f(x) = xln x, g(x)=—x2+ ax —2(e~2.71, a€ R).(1)判断曲线y= f(x)在点(1, f(1))处的切线与曲线y= g(x)的公共点个数；(2)当x€ e e FJ■，若函数y= f(x) —g(x)有两个零点，求a的取值范围.19. (本题满分16分)某公司将进货单价为a元(a为常数，3< a< 6)一件的商品按x元(7W x< 10)一件销售，一个月的销售量为(12 —x)万件.(1)求该公司经销此种商品一个月的利润L(x)(万元)与每件商品的售价x(元)的函数关系式；⑵当每件商品的售价为多少元时，L(x)取得最大值？并求L(x)的最大值.x 一120. (本小题满分14分)(山东高考)设函数f(x)= aln x+ 石，其中a为常数.(1)若a= 0，求曲线y= f(x)在点(1, f(1))处的切线方程；⑵讨论函数f(x)的单调性.答案1.解析：■/ f(x) = ax2+ c,• f' (x) = 2ax,「. f' (1) = 2a, 又^ f' (1) = 2, • a = 1.答案：12.解析：•/ y' = 3x2—4,3• ••当x= 1 时，y' =—1，即tan a=—1.又••• a€ (0, n ) ••• a=_n43答案：3.解析：由题意得f' (x) = —3x2+ 2ax—1w 0在(—a,+s)上恒成立，因此△=4a2—12w 0? —3w a w .3,所以实数a的取值范围是[—3, 3].答案：[—3, 3]4.解析：y' = 6x2—6x= 6x(x—1)，令y' = 0,贝V x= 0 或x= 1.当x= 0 时，y= a，当x =1时，y= a — 1.由题意知a= 6.—2.xcos x — sin x答案： 2 x答案：—121 2x — 17.解析：■/ f (x) = 2x — - = x —令 f ' (x)<0，因为 x € (0,+a ),••• 2x 2— 1<0，即卩 Ovxv-^,.，.函数 f(x) = x 2— ln x 的单 调递减区间是0冷.答案：0,孑2 11& 解析：f ' (x) = 3— 12x 2，令 f ' (x) = 0,则 x = — 1(舍去)或 x = 2, f(0) = 0, f(1) = — 1,• f(x)在［0,1］上的最大值为1. 答案：19.解析：由4x = x 3,解得x = 0或x = 2或x =— 2(舍去)，根据定积分的几何意义可知， 直线y = 4x 与曲线y = x 3在第一象限内围成的圭寸闭图形的面积为 J 0(4x — x 3 px = gx 2—4x 4丿=4.答案：4 因为._冲曲=.-1 (— x)dx +. 0 (x 2+ 3)dx.因为―fx 2 ' =— x ,护+ 3x=x 2 + 3,所以匚f(x)dx =—我二+ gx 3+辺0 =眷11.解析：由于y '卜勺=n + 1,「.曲线在点(1,1)处的切线为y — 1 = (n + 1)(x — 1)，令yn , n=0，得 x = xn = n + 1’ …an = lg n + 1’答案：—2答案：6 sin x xcos x — sin x= 2 . x6.解析：，0(x — k)dx =—kx0 = 2 — k = I ，解得 k =— 1.10.解析: 答案:236••原式=lg2+喝+ …+磴=T x3 "x 99、、=5.解析：y 'x ・sin x '丁 ’x12 f (x) 4x J x>00<x<1 f (x)<0 f(x)11<11x>2 f (x)>0 f(x) 1<k 113 x cm k 1<k 1.(10 x)cm 2 2V x (10 x) (0xX3) 2(20 3x) x 0(20)x T20x 一3V max4 000 3(cm)14 f(x 1)(x15164 000 327 cmg(x) x •(x)2(x 1)f(x21)g (x) f(x) xf (x) 0. g(x) (01)f(x 1) (x21)f(x2 1)& ：00[x 1 X2 12.x 2. {x|x 2}4(1)f (x) 2 ax 3a4f t1)2a 3af1) af(x) (1,2)(1)43al b I3f(x) ?x2 2x52.1 t3y 2 x 1 x(1 t3)dt1 0.4)(2 4) (sin x e x) cos x'0f(cos x e x)dx (sin x e x)■JI⑶/：x3-3Pdx j：x2)x F(x)2x23x -x F (x) x 3_5~2x4x3 3x2 52 x2dx F(4) F(2)17 (1) 2f (x) ax 3xf (1) 0 f(x)f(x) $3 |x2 2x 5.y f(x) y 2x mfx3 |x2 2x 5 2x m 0数根,令 g(x) = 3X 3- |x 2+ 2x + 5- 2x — m = *x 3-|x 2+ 5- m ,则 g(x)有三个零点.由 g ，(x) = x 2 —3x = 0 得 x = 0 或 x = 3令 g ' (x)>0 得 x<0 或 x>3 ;令 g ' (x)<0 得 0<x<3.•••函数g(x)在(—g , 0)上为增函数，在(0,3)上为减函数，在(3 ,+^)上为增函数. •••函数在x = 0处取得极大值，在 x = 3处取得极小值.要使g(x)有三个零点，只需肿>°，解得1<m<5.g 3 <0,2•实数m 的取值范围为1, 5 .18. 解：(l)f ' (x)= In x + 1，所以斜率 k = f ' (1) = 1.y = — x 2 + ax — 2 2又f(1) = 0,曲线在点(1,0)处的切线方程为 y = x — 1.由f? x 2+ (1 - a)x +l y =x — 11 = 0.由△= (1 — a)2— 4= a 2— 2a — 3可知：当△>0时，即a v — 1或a >3时，有两个公共点； 当△= 0时，即a =— 1或a = 3时，有一个公共点；当 Av 0时，即一1 v a v 3时，没有公共 占 八、、♦2 2 2(2)y = f(x)— g(x)= x — ax + 2+ xln x , 由 y = 0 得 a = x + - + In x .令 h(x)= x +- + In x ,则x x h ' (x)=也一2 .当x € 1，e ,由h ' (x)= 0得x = 1.所以h(x)在£, 1〔上单调递减，在 [1 , e]上单调递增，故 h min (x) = h(1) = 3.由 h£ = £+ 2e — 1, h(e)= e + f +1,比较可知 h^ >2h(e).所以，当3 v a < e + ~+1时，函数y = f(x) — g(x)有两个零点.2a -u 12 2a 斗 12 9或 x = 12.由 a € ［3,6］得 3一 € ［6,8］.当 一3— € ［6,7］，即 3< a < 9时，L(x)在［7,10］上是减3 3 2 函数，L(x)的最大值为 L(7) = 25(7 — a);当2^于2€ (7,8］，即2<a < 6时，L(x)在7, 笃12上是增函数，在［笃呂10］上是减 函数. 2a + 124 12— a jL(x)的最大值为L —3 — =27综上可知，若 K a < 2，则当x = 7时，L(x)取得最大值，最大值是 25(7 — a);2a 亠 12 若2<a < 6,则当x = laU 1l时，L(x)取得最大值，最大值是 2 3219. 解：(1)L(x)= (x — a)(12 — x) (7< x < 10).(2)L ' (x) = (12 — x)2+ (x — a)(2x — 24)= (12 — x)(12 + 2a — 3x).令 L (x)= 0 得 x =2a + 12334 12 — a 327x 一 120.解：⑴由题意知 a = 0 时，f(x) = - , x € (0 ,+s ). .X. I I2 1此时 f ' (x)= 亍.可得 f ' (1)=-，又 f(1)= 0,(x + 1) 2所以曲线y = f(x)在(1, f(1))处的切线方程为 x — 2y — 1 = 0.2 ax 2+ 2a + 2 x + a + 2)x + a ,2 2 1-2(x -12A= (2a + 2)2— 4a 2 = 4(2a + 1),①当 a = — 3时，A= 0, f ' (x)= xx +〔2 仝 0,函数1a v — 2时，△<0，g (x )v 0, f ' (x)v 0,函数 f(x)在(0, + m)上单调递减. ③当—1v a v 0,A>0•设X 1,X 2(X 1< X0是函数g(x)的两个零点，则x 1 = —,a + 1 一 \l 2a + 1 x/a ? + 2a + 1 —、/2a + 1由 X 1=* 1—乎土1 c ' >0，所以 x € (0, X 1)时，g(x)v 0, f ' (X)v 0，函数 f(x)单调递减，x € (x £, X 2)时，g(x)>0, f ' (x)>0，函数 f(x)单调递增，x € (x 2,+ o )时，g(x) v 0, f ' (x)v 0,函数f(x)单调递减，综上可得：当a > 0时，函数f(x)在(0,1 1上单调递增；当 a < —-时，函数f(x)在(0,+ o )上单调递减；当— -v a v 0时,一 a + 1 +、2a + 1 0 a ,二a +1 一、2a + 1 ,+o上单调递减—a + 1 + 2a + 1 、a二a —£-、2a + 1上单调递增.a(2)函数 f(x)的定义域为(0 ,+o ). f ' (x)= -+ 齐亍=一xx + 12一.当a >0时，f ' (x)> 0,函数f(x)在(0, + o )上单调递增.当a v 0时，令g(x)= ax 2 + (2a由于f(x)在(0, + 00)上单调递减.②当 f(x)在。

学业分层测评(十九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________.【解析】(－1＋i)(2－i)＝－2＋3i－i2＝－1＋3i.【答案】－1＋3i2.复数z＝1＋i，z为z的共轭复数，则z·z－z－1＝________.【导学号：01580063】【解析】∵z＝1＋i，∴z＝1－i，∴z·z＝(1＋i)(1－i)＝2，∴z·z－z－1＝2－(1＋i)－1＝－i.【答案】－i3.设复数z1＝x＋2i，z2＝3－y i(x，y∈R)，若z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝________.【解析】∵z1＋z2＝x＋2i＋(3－y i)＝(x＋3)＋(2－y)i，∴(x＋3)＋(2－y)i＝5－6i(x，y∈R)，由复数相等定义，得x＝2且y＝8，∴z1－z2＝2＋2i－(3－8i)＝－1＋10i.【答案】－1＋10i4.复数z＝i(i＋1)(i为虚数单位)的共轭复数是________.【解析】∵z＝i(i＋1)＝i2＋i＝－1＋i，∴z＝－1－i.【答案】－1－i5.复数z＝32－a i，a∈R，且z2＝12－32i，则a的值为_____________.【解析】 ∵z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－a i 2＝⎝⎛⎭⎪⎫34－a 2－3a i ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫34－a 2－3a i ＝12－32i ；(a ∈R )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 34－a 2＝12，3a ＝32，∴a ＝12.【答案】 126.(2016·苏北四市质检)设复数z 1＝2－i ，z 2＝m ＋i(m ∈R ，i 为虚数单位)，若z 1·z 2为实数，则m 的值为________.【解析】 z 1·z 2＝(2－i)(m ＋i)＝(2m ＋1)＋(2－m )i.∵z 1·z 2是实数，∴m ＝2.【答案】 27.(2016·南京盐城一模)若复数z ＝(1＋i)(3－a i)(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a ＝________.【解析】 (1＋i)(3－a i)＝(a ＋3)＋(3－a )i ，∵z 为纯虚数，∴a ＝－3.【答案】 －38.设复数z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )，若z 1z 2∈R ，则x 等于________.【解析】 ∵z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )，∴z 1z 2＝(1＋i)(x ＋2i)＝(x －2)＋(x ＋2)i.∵z 1z 2∈R ，∴x ＋2＝0，即x ＝－2.【答案】 －2二、解答题9.计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i). 【解】 (1)原式＝1－i 2＋(－1)＋i ＝1＋i.(2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋34i 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34－14i (1＋i) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12i (1＋i) ＝－32－32i ＋12i －12 ＝－1＋32＋1－32i.10.已知复数z ＝(1－i)2＋1＋3i ，若z 2＋az ＋b ＝1－i(a ，b ∈R )，求b ＋a i 的共轭复数.【导学号：01580064】【解】 z ＝(1－i)2＋1＋3i ＝－2i ＋1＋3i ＝1＋i ，由z 2＋az ＋b ＝1－i ，得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ，∴a ＋b ＋i(a ＋2)＝1－i(a ，b ∈R )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，a ＋2＝－1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4，则b ＋a i ＝4－3i则b ＋a i 的共轭复数是4＋3i.[能力提升]1.(2014·江苏高考)已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________.【解析】 z ＝(5＋2i)2＝21＋20i ，故z 的实部为21.【答案】 212.已知z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t ＝________.【解析】 z 2＝t －i ，z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i 是实数，∴4t－3＝0，∴t ＝34.【答案】 343.已知－1＋i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则复数z ＝p ＋q i(p ，q ∈R )等于________.【解析】 (－1＋i)2＋p (－1＋i)＋q ＝0，整理得(q －p )＋(p －2)i ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ q －p ＝0，p －2＝0，∴p ＝q ＝2.故z ＝p ＋q i ＝2＋2i.【答案】 2＋2i4.已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i(x ，y ∈R )，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R ).设z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，则z 1＝__________，z 2＝__________.【解析】 z ＝z 1－z 2＝[](3x ＋y )＋(y －4x )i －[](4y －2x )－(5x ＋3y )i＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴z 1＝5－9i ，z 2＝－8－7i.【答案】 5－9i －8－7i5.z 是z 的共轭复数.若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，求z .【解】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z－z)i＝2b i2＝－2b＝2. ∴b＝－1.故z＝1－i.。

学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件．【解析】因为y′＝－x2＋81，令y′＝0，得x＝9.当0<x<9时，y′>0；当x>9时，y′<0.故当x＝9时，函数有极大值，也是最大值．【答案】92．做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．【解析】设半径为r，则高h＝27 r2，∴S＝2πr·h＋πr2＝2πr·27r2＋πr 2＝54πr＋πr2.令S′＝2πr－54πr2＝0，得r＝3，∴当r＝3时，用料最省．【答案】 33．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为________．【解析】设直棱柱的底面边长为a，高为h，依题意，34a 2·h＝V，∴ah＝4V3a.因此表面积S＝3ah＋2·34a 2＝43Va＋32a2.∴S′＝3a－43Va2，由S′＝0，得a＝34V.易知当a＝34V时，表面积S取得最小值．【答案】34V4．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.则最大毛利润为______元．(毛利润＝销售收入－进货支出)【解析】设毛利润为L(p)由题意知：L(p)＝pQ－20Q＝(8 300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，所以，L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．此时，L(30)＝23 000.因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元．【答案】23 0005．为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a米，高为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a＝________，b＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)．图1-4-4【解析】设y为流出的水中杂质的质量分数，则y＝kab，其中k(k>0)为比例系数．依题意，即所求的a，b值使y值最小，根据题设，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)得b＝30－a 2＋a.于是y＝kab ＝k30a－a22＋a＝k(2＋a)30a－a2.(0<a<30)令y′＝a2k＋4ak－60k (30a－a2)2＝0得a＝6或a＝－10(舍去)．∵只有一个极值点，∴此极值点即为最值点．当a＝6时，b＝3，即当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．6．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新墙壁，当砌新墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为______.【导学号：01580022】【解析】设矩形堆料场中与原有的墙壁平行的一边的边长为x米，其他两边的边长均为y米，则xy＝512.则所用材料l＝x＋2y＝2y＋512y(y>0)，求导数，得l′＝2－512y2.令l ′＝0，解得y ＝16或y ＝－16(舍去)．当0<y <16时，l ′<0；当y >16时，l ′>0.所以y ＝16是函数l ＝2y ＋512y (y >0)的极小值点，也是最小值点．此时，x ＝51216＝32.所以当堆料场的长为32米，宽为16米时，砌新墙壁所用的材料最省． 【答案】 32米 16米7．如图1-4-5，将边长为1 m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则s 的最小值是________．图1-4-5【解析】 设DE ＝x ，则梯形的周长为3－x ， 梯形的面积为12(x ＋1)·32(1－x )＝34(1－x 2)， ∴s ＝(3－x )234(1－x 2)＝43·x 2－6x ＋91－x 2，x ∈(0,1)，设h (x )＝x 2－6x ＋91－x2，h ′(x )＝－6x 2＋20x －6(1－x 2)2.令h ′(x )＝0，得x ＝13或x ＝3(舍)， ∴h (x )最小值＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝8，∴s 最小值＝433×8＝3233. 【答案】 32338．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10km/h 时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为__________km/h.【解析】 设轮船的速度为x km/h 时，燃料费用为Q 元，则Q ＝kx 3(k ≠0)． 因为6＝k ×103，所以k ＝3500，所以Q ＝3500x 3. 所以行驶每千米的费用总和为 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3500x 3＋96·1x ＝3500x 2＋96x (x >0)． 所以y ′＝3250x －96x 2.令y ′＝0，解得x ＝20. 因为当x ∈(0,20)时，y ′<0，此时函数单调递减； 当x ∈(20，＋∞)时，y ′>0，此时函数单调递增， 所以当x ＝20时，y 取得最小值，即此轮船以20 km/h 的速度行驶时，每千米的费用总和最小． 【答案】 20 二、解答题9．如图1-4-6，一矩形铁皮的长为8 cm ，宽为5 cm ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？图1-4-6【解】 设小正方形的边长为x cm ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <52，则盒子底面长为(8－2x ) cm ，宽为(5－2x ) cm ，V ＝(8－2x )(5－2x )x ＝4x 3－26x 2＋40x ， V ′＝12x 2－52x ＋40，令V ′＝0，得x ＝1或x ＝103(舍去)，V 极大值＝V (1)＝18，在定义域内仅有一个极大值，所以V 最大值＝18，即当小正方形的边长为1 cm 时，盒子容积最大． 10．(2016·银川高二检测)一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？【解】 设每次进书x 千册(0<x <150)，手续费与库存费之和为y 元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即x 2，故有y ＝150x ×30＋x2×40，y ′＝－4 500x 2＋20＝20(x ＋15)(x －15)x 2，令y ′＝0，得x ＝15，列表如下：单调递减单调递增所以当x 时，y 取得最小值，此时进货次数为15015＝10(次)．即该书店分10次进货，每次进15千册书，所付手续费与库存费之和最少．[能力提升]1．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米． 【解析】 设广场的长为x 米，则宽为40 000x 米，于是其周长为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋40 000x (x >0)，所以y ′＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－40 000x 2，令y ′＝0，解得x ＝200(x ＝－200舍去)，这时y ＝800.当0<x <200时，y ′<0；当x >200时，y ′>0.所以当x ＝200时，y 取得最小值，故其周长至少为800米．【答案】 8002．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为________cm.【解析】 设该漏斗的高为x cm ，体积为V cm 3，则底面半径为202－x 2 cm ，V ＝13πx (202－x 2)＝13π(400x －x 3)(0<x <20)，则V ′＝13π(400－3x 2)．令V ′＝0，解得x 1＝2033，x 2＝－2033(舍去)．当0<x <2033时，V ′>0；当2033<x <20时，V ′<0.所以当x ＝2033时，V 取得最大值．【答案】 20333．现有一批货物由海上从A 地运往B 地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A 地至B 地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．为了使全程运输成本最小，轮船行驶速度应为________海里/时．【解析】 设轮船行驶速度为x 海里/时，运输成本为y 元．依题意得y ＝500x(960＋0.6x 2)＝480 000x ＋300x ，x ∈(0，35]．则y ′＝300－480 000x 2，x ∈(0,35]．又当0＜x ≤35时，y ′<0， 所以y ＝480 000x ＋300x 在(0,35]上单调递减，故当x ＝35时，函数y ＝480 000x ＋300x 取得最小值．故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶． 【答案】 354．如图1-4-7，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A ，B 在抛物线上运动，C ，D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是__________．图1-4-7【解析】 设CD ＝x ，则点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，0，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1－⎝⎛⎭⎪⎫x 22， ∴矩形ABCD 的面积 S ＝f (x )＝x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22 ＝－x 34＋x ，x ∈(0,2)． 由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0， 得x 1＝－233(舍)，x 2＝233，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫233，2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故当x ＝233时，f (x )取最大值439. 【答案】4395．(2016·广州高二检测)如图1-4-8所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km 的B 处，乙厂到海岸的垂足D 与A 相距50 km.两厂要在此岸边A ，D 之间合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，则供水站C 建在何处才能使水管费用最省？图1-4-8【解】设C点距D点x km，则AC＝50－x(km)，所以BC＝BD2＋CD2＝x2＋402(km)．又设总的水管费用为y元，依题意，得y＝3a(50－x)＋5a x2＋402(0<x<50)．y′＝－3a＋5axx2＋402.令y′＝0，解得x＝30.在(0,50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30 km 处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．故供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.。

学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．设函数f (x )在x ＝x 0处可导，当h 无限趋近于0时，对于f (x 0＋h )－f (x 0)h的值，以下说法中正确的是_____________________________________．①与x 0，h 都有关；②仅与x 0有关而与h 无关； ③仅与h 有关而与x 0无关；④与x 0，h 均无关．【解析】 导数是一个局部概念，它只与函数y ＝f (x )在x ＝x 0处及其附近的函数值有关，与h 无关．【答案】 ②2．函数f (x )＝x 2在x ＝3处的导数等于________．【解析】 Δy Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx＝6＋Δx ，令Δx →0，得f ′(3)＝6. 【答案】 63．已知物体的运动方程为s ＝－12t 2＋8t (t 是时间，s 是位移)，则物体在t ＝2时的速度为________．【解析】 Δs ＝－12(2＋Δt )2＋8(2＋Δt )－⎝ ⎛⎭⎪⎫8×2－12×22＝6Δt －12(Δt )2，则Δs Δt ＝6－12Δt ， 当Δt →0时，ΔsΔt →6. 【答案】 64．如图1-1-6，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别是(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝________，当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1)Δx→_______.图1-1-6【解析】 f (f (0))＝f (4)＝2.由函数在某点处的导数的几何意义知，当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1)Δx→－2，即直线AB 的斜率．【答案】 2 －25．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为________． 【解析】 Δy Δx ＝14(2＋Δx )2－14×22Δx ＝1＋14Δx . 当Δx →0时，ΔyΔx →1，即f ′(2)＝1，由导数的几何意义知，点Q 处切线斜率k ＝f ′(2)＝1. ∴切线方程为y －1＝x －2.即x －y －1＝0. 【答案】 x －y －1＝06．已知函数y ＝f (x )的图象如图1-1-7所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是________．(用“<”连接)图1-1-7【解析】 由图象易知，点A ，B 处的切线斜率k A ，k B 满足k A <k B <0，由导数的几何意义得f ′(A )<f ′(B )．【答案】 f ′(A )<f ′(B )7．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处切线斜率为16，则点P 坐标为________．【解析】设点P的坐标为(x0，y0)，则f(x0＋Δx)－f(x0)Δx ＝2(x0＋Δx)2＋4(x0＋Δx)－2x20－4x0Δx＝4(x0＋1)＋2Δx，当Δx→0时，f(x0＋Δx)－f(x0)Δx→4(x0＋1)，即f′(x0)＝4(x0＋1)，由导数的几何意义知f′(x0)＝16，所以x0＝3，y0＝30，所以点P的坐标为(3,30)．【答案】(3,30)8．已知函数y＝f(x)的图象如图1-1-8所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是__________(填序号)．图1-1-8【解析】由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时f′(x)＝0，当x>0时f′(x)<0，故②符合．【答案】②二、解答题9．函数f(x)＝ax3－bx在点(1，－1)处的切线方程为y＝k(x＋2)，求a，b的值.【导学号：01580005】【解】 因为点(1，－1)在切线y ＝k (x ＋2)上，所以k ＝－13. f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝a (1＋Δx )3－b (1＋Δx )－a ＋bΔx＝a (Δx )2＋3a Δx ＋3a －b ，当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1)Δx →3a －b ，即f ′(1)＝3a －b ，所以3a －b ＝－13 ① 又由f (1)＝－1.得a －b ＝－1 ② 由①②得，a ＝13，b ＝43.10．若一物体运动方程如下(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s)：s ＝{ 3t 2＋2， t ≥3，＋3(t －3)2， 0≤t ＜3.求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．【解】 (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为 Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为Δs Δt ＝29＋3×(0＋Δt －3)2－29－3×(0－3)2Δt＝3Δt －18，当Δt →0时，ΔsΔt →－18，∴物体在t ＝0时的瞬时速度(初速度)为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2Δt＝3Δt －12，当Δt →0时，ΔsΔt →－12，∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为－12m/s.[能力提升]1．一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么Δt 趋于0时，下列命题正确的是________(填序号)．①ΔsΔt 为从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度； ②ΔsΔt 为在t 时刻物体的瞬时速度； ③ΔsΔt 为当时间为Δt 时物体的速度； ④ΔsΔt 为在时间t ＋Δt 时物体的瞬时速度．【解析】 由瞬时速度的定义知，当Δt →0时，ΔsΔt 为在t 时刻物体的瞬时速度．【答案】 ②2．若点(0,1)在曲线f (x )＝x 2＋ax ＋b 上，且f ′(0)＝1，则a ＋b ＝________. 【解析】 ∵f (0)＝1，∴b ＝1.又Δy Δx ＝f (0＋Δx )－f (0)Δx＝Δx ＋a .∴当Δx →0时，ΔyΔx →a ，则f ′(0)＝a ＝1. 所以a ＋b ＝1＋1＝2. 【答案】 23．设P 为曲线y ＝f (x )＝x 2＋2x ＋3上的一点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 的横坐标的取值范围是________． 【解析】设P (x 0，y 0)，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝(x 0＋Δx )2＋2(x 0＋Δx )＋3－(x 20＋2x 0＋3)Δx＝2x 0＋2＋Δx .当Δx →0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx →2x 0＋2，即在点P 处切线的斜率k ＝2x 0＋2.因为切线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，所以0≤k ≤1.即0≤2x 0＋2≤1.所以－1≤x 0≤－12.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－124．已知直线x －y －1＝0与曲线y ＝ax 2相切，则a ＝________.【解析】 Δy Δx ＝a (x ＋Δx )2－ax2Δx＝2ax ＋a Δx ，当Δx →0时，2ax ＋a Δx →2ax ， 设切点为(x 0，y 0)，则2ax 0＝1， 且y 0＝x 0－1＝ax 20，解得x 0＝2，a ＝14. 【答案】 14 5．已知曲线y ＝1t －x上两点P (2，－1)，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12.求：(1)曲线在点P 、Q 处的切线的斜率； (2)曲线在点P 、Q 处的切线方程． 【解】 将P (2，－1)代入y ＝1t －x， 得t ＝1，∴y ＝11－x ，设f (x )＝11－x， ∵f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝11－(x ＋Δx )－11－x Δx＝Δx[1－(x ＋Δx )](1－x )Δx＝1(1－x －Δx )(1－x )，∴当Δx →0时，1(1－x －Δx )(1－x )→1(1－x )2. ∴f ′(x )＝1(1－x )2.(1)由导数的几何意义，知曲线在点P 处的切线斜率f ′(2)＝1. 曲线在点Q 处的切线斜率f ′(－1)＝14.(2)曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0， 曲线在点Q 处的切线方程为y －12＝14[x －(－1)]，即x －4y ＋3＝0.。

数学苏教版2-2第1章 导数及其应用单元检测一、填空题1．函数y ＝sin 3x 的导数是________．2．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点__________个．3．已知f (x )＝(x ＋a )2，且132f ⎛⎫'=-⎪⎝⎭，则a 的值为__________． 4．若函数y ＝log a (x 2－2x －3)的增区间是(－∞，－1)，则a 的取值范围是________． 5．aa-⎰|x |d x ＝________.6．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是__________． 7．函数y ＝6x 2－12x 的极值点为________．8．函数()πsin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在点π6⎛ ⎝⎭处的切线方程为________． 9．设曲线y ＝f (x )＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则a ＝________，b ＝________.11．(2012上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B 1,52⎛⎫ ⎪⎝⎭，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为__________．12．若函数24()1xf x x =+在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是________．二、解答题13．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋4ln x 的极值点为1和2. (1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在区间(0,3]上的最大值．14．求C 的值，使1⎰(x 2＋Cx ＋C )2d x 最小．15．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋k (k ＞0)在x ＝0处取得极值，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线x ＋2y ＋1＝0.(1)求a ，b 的值；(2)若函数()e ()xg x f x =，讨论g (x)的单调性．参考答案1. 答案：3cos 3x2. 答案：13. 答案：－2 解析：∵f (x )＝(x ＋a )2，∴f ′(x )＝2x ＋2a .依题意有2×12＋2a ＝－3，解得a ＝－2.4. 答案：0＜a ＜1 解析：定义域为{x |x ＞3或x ＜－1}，函数y ＝x 2－2x －3在(－∞，－1)上为减函数，∴0＜a ＜1.5. 答案：a 2 解析：aa-⎰|x |d x ＝a-⎰(－x )d x ＋a⎰x d x ＝202201122a ax x a --+=.6. 答案：0≤a ≤21 解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ，当Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数不存在极值点.7. 答案：x ＝18.答案：3π224x y =+- 解析：∵()π3cos 36f x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭， ∴ππ33cos 632f'⎛⎫== ⎪⎝⎭.∴32k =.由点斜式，得3π26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即3π224x y =+-. 9. 答案：2 解析：设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线斜率为k 1，则k 1＝f ′(0)＝a . 又直线x ＋2y ＋1＝0的斜率212k =-， 依题意得a ·12⎛⎫-⎪⎝⎭＝－1，∴a ＝2. 10. 答案：1 1 解析：令f (x )＝x 2＋ax ＋b ，则f ′(x )＝2x ＋a ，∴曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在(0，b )处的切线斜率为a . ∴切线方程为y －b ＝ax ， 即ax －y ＋b ＝0.与切线方程x －y ＋1＝0对比，得a ＝1，b ＝1.11. 答案：54 解析：由题意()110,0,211010,1,2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩则()22110,0,211010, 1.2x x xf x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩∴xf (x )与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(－10x 2＋10x )d x ＝1323120121010101105101555333834384x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=⨯+---⨯= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 12. 答案：(－1,0] 解析：由已知得()22244(1)x f x x -'=+在(m ,2m ＋1)上有f ′(x )≥0，即1－x 2≥0，－1≤x ≤1，∴1,211,2 1.m m m m ≥-⎧⎪+≤⎨⎪<+⎩∴－1＜m ≤0. 13. 答案：解：(1)f ′(x )＝2ax ＋b ＋4x＝224ax bx x ++，x ∈(0，＋∞)，又y ＝f (x )的极值点为1和2，∴2ax 2＋bx ＋4＝0的两根为1和2，∴240,8240.a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得1,6.a b =⎧⎨=-⎩(2)由(1)得f (x )＝x 2－6x ＋4ln x ，∴f ′(x )＝2x －6＋4x＝2264x x x -+＝2(1)(2)x x x--，x ∈(0,3].当∵f (3)＝4ln 3－9＞－5＝f (1)，且f (3)＝4ln 3－9＞4ln 2－8＝f (2)， ∴f (x )max ＝f (3)＝4ln 3－9. 14. 答案：解：令y ＝1⎰(x 2＋Cx ＋C )2d x＝1⎰(x 4＋2Cx 3＋C 2x 2＋2Cx 2＋2C 2x ＋C 2)d x＝542332221011125233x Cx C x Cx C x C x ⎛⎫+++++⎪⎝⎭＝2177563C C ++ ＝2711334240C ⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 所以当14C =时，y 最小，即当14C =时，10⎰(x 2＋Cx ＋C )2d x 最小.15. 答案：解：(1)∵f (x )＝ax 2＋bx ＋k (k ＞0)，∴f ′(x )＝2ax ＋b .又f (x )在x ＝0处取得极值，故f ′(0)＝0，从而b ＝0.由曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0相互垂直可知，该切线斜率为2，即f ′(1)＝2a ＝2，从而a ＝1.(2)由(1)知，g (x )＝()2e xg x x k=+(k ＞0)，222e (2)()()x x x k g'x x k -+=+(k ＞0)， 令g ′(x )＝0，得x 2－2x ＋k ＝0.①当Δ＝4－4k ≤0，即当k ≥1时，g ′(x )≥0在R 上恒成立，故函数g (x )在R 上为增函数.②当Δ＝4－4k ＞0，即当0＜k ＜1时，方程x 2－2x ＋k ＝0有两个不相等实根x 1＝1－x 2＝1当x ∈(－∞，1时，g ′(x )＞0，故g (x )在(－∞，1上为增函数；当x ∈(11时，g ′(x )＜0，故g (x )在(11上为减函数；当x ∈(1∞)时，g ′(x )＞0，故g (x )在(1∞)上为增函数.。

章末综合测评(一)(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中的横线上)1．函数f (x )＝ln x －2x x 在点(1，－2)处的切线方程为________．【解析】 f ′(x )＝1－ln x x 2，则f ′(1)＝1，故函数f (x )在点(1，－2)处的切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.【答案】 x －y －3＝02．若函数f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2－x ，则f ′(1)的值为________．【解析】 f ′(x )＝x 2－2f ′(1)·x －1，则f ′(1)＝12－2f ′(1)·1－1，解得f ′(1)＝0.【答案】 03．函数f (x )＝cos x x 的导数为________．【解析】 f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝(cos x )′x －x ′cos x x 2 ＝－x sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos x x 2. 【答案】 －x sin x ＋cos x x 24．f (x )＝2x 3－3x 2＋a 的极大值为6，则a ＝________.【解析】 f ′(x )＝6x 2－6x ＝6x (x －1)，令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝1.∴f (x )在(－∞，0)上递增，在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增，∴f (x )极大值＝f (0)＝a ，∴a ＝6.【答案】 65．若a >2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在区间(0,2)恰好有________个零点．【解析】 f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )，令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝2a >4，∴x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数．∵f (0)＝1>0，f (2)＝113－4a <0，∴f (0)f (2)<0，∴f (x )在(0,2)内有且只有一个零点．【答案】 16．(2016·长沙雅礼中学质检)函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间是_______．【解析】 令f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ≤0，得x ∈(0,1]，∴函数f (x )的单调递减区间是(0,1]．【答案】 (0,1]7．(2016·汕头检测)曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为________．【解析】 ∵y ′＝x 2＋1，∴曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线斜率为k ＝12＋1＝2， 故曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线方程为y －43＝2(x －1)， ∴该切线与两坐标轴的交点分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－23. 故所求三角形的面积是12×13×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23＝19. 【答案】 198．(2016·唐山检测)已知a >0，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在区间[－2,2]上单调递减，则4a ＋b 的最大值为______.【导学号：01580029】【解析】 ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，∵函数f (x )在区间[－2,2]上单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－2)≤0，f ′(2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a －b ≥12，4a ＋b ≤－12，即4a ＋b ≤－12，∴4a ＋b 的最大值为－12.【答案】 －129．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，则a ＝________，切线方程为________．【解析】 f ′(x )＝12x ，g ′(x )＝a x (x >0)， 由已知得⎩⎨⎧ x ＝a ln x ，12x ＝a x ，解得a ＝e 2，x ＝e 2，∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e)，切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e ，∴切线方程为y －e ＝12e (x －e 2)，即x －2e y ＋e 2＝0.【答案】 e 2 x －2e y ＋e 2＝010．(2016·郑州联考)已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 015)＋2 015ln x ，则f ′(2 015)＝________.【解析】 由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 015)＋2 015x ，所以f ′(2 015)＝2 015＋2f ′(2 015)＋2 0152 015，即f ′(2 015)＝－(2 015＋1)＝－2 016.【答案】 －2 01611．(2015·河北石家庄模拟)若对于曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)的任意切线l 1，总存在曲线g (x )＝ax ＋2cos x 的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为________．【解析】 易知函数f (x )＝－e x －x 的导数为f ′(x )＝－e x －1，设l 1与曲线f (x )＝－e x －x 的切点为(x 1，f (x 1))，则l 1的斜率k 1＝－e x 1－1.易知函数g (x )＝ax ＋2cos x 的导数为g ′(x )＝a －2sin x ，设l 2与曲线g (x )＝ax ＋2cos x 的切点为(x 2，g (x 2))，则l 2的斜率k 2＝a －2sin x 2.由题设可知k 1·k 2＝－1，从而有(－e x 1－1)(a －2sin x 2)＝－1，∴a －2sin x 2＝1e x ＋1，故由题意知对任意实数x 1，总存在x 2使得上述等式成立，则函数y ＝1e x ＋1的值域是y ＝a －2sin x 值域的子集，则(0,1)⊆[a －2，a ＋2]，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －2≤0，a ＋2≥1，∴－1≤a ≤2. 【答案】 [－1,2]12．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是________．【解析】 f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，且f (x )在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行．∴⎩⎪⎨⎪⎧ n －m ＝2，3m －2n ＝－3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.因此f ′(x )＝3x 2＋6x .令f ′(x )≤0，得－2≤x ≤0.∴f (x )的单调减区间为[－2,0]．依题意t ≥－2且t ＋1≤0，∴－2≤t ≤－1.【答案】 [－2，－1]13．(2016·浙江六校联考)函数y ＝ln x ＋x 2的图象与函数y ＝3x －b 的图象有3个不同的交点，则实数b 的取值范围是________．【解析】 函数y ＝ln x ＋x 2的图象与函数y ＝3x －b 的图象有3个不同的交点，等价于ln x ＋x 2＝3x －b 有3个不同的解，等价于b ＝3x －ln x －x 2有3个不同的解，对f (x )＝3x －ln x －x 2求导，得f ′(x )＝3－1x －2x ，易知函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，(1，＋∞)上递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上递增，所以只要满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<b <f (1)，所以54＋ln 2<b <2.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋ln 2，2 14．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 当x ＝0时，3≥0恒成立，a ∈R .当0<x ≤1时，a ≥x 2－4x －3x 3. 设h (x )＝x 2－4x －3x 3， 则h ′(x )＝－(x 2－8x －9)x 4＝－(x －9)(x ＋1)x 4， ∵x ∈(0,1]，∴h ′(x )>0，h (x )递增，∴h (x )最大值＝h (1)＝－6，∴a ≥－6.当－2≤x ＜0时，a ≤x 2－4x －3x 3. 易知h (x )＝x 2－4x －3x 3在[－2，－1)上递减， 在(－1,0)上递增．∴h (x )最小值＝h (－1)＝－2，∴a ≤－2.综上，－6≤a ≤－2.【答案】 －6≤a ≤－2二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ax 2－43ax ＋b ，f (1)＝2，f ′(1)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在(1,2)处的切线方程．【解】 (1)f ′(x )＝2ax －43a ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝2a －43a ＝1，f (1)＝a －43a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝32，b ＝52，∴f (x )＝32x 2－2x ＋52.(2)∵f ′(1)＝1，∴f (x )在(1,2)处切线的斜率为1，故所求切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.16．(本小题满分14分)(2016·北京高考)设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)求f (x )的单调区间．【解】 (1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝2e ＋2，f ′(2)＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x ＞0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号．令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)，故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．17．(本小题满分14分)设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax (a >0)．(1)求f (x )的单调区间；(2)求实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．【解】 (1)∵f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0，∴f ′(x )＝a 2x －2x ＋a＝－(x －a )(2x ＋a )x， 由于a >0，∴f (x )的增区间为(0，a )，减区间(a ，＋∞)．(2)由题意得，f (1)＝a －1≥e －1，即a ≥e ，由(1)知f (x )在[1，e]上单调递增，要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a －1≥e －1，f (e )＝a 2－e 2＋a e ≤e 2，解得a ＝e.18．(本小题满分16分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．【解】 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．又据题意200πrh ＋160πr 2＝12 000π，所以h ＝15r (300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因r >0，又由h >0可得0<r <53，故函数V (r )的定义域为(0,53)．(2)因V (r )＝π5(300r －4r 3)，(0<r <53)故V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因r 2＝－5不在定义域内，舍去)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数；当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8.即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16.(1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值．【解】 (1)因为f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b ，由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，故有⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝c －16，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16，化简得⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得a ＝1，b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ；f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)．令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数；当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－2,2)上为减函数；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ，f (x )在x 2＝2处取得极小值f (2)＝c －16.由题设条件知16＋c ＝28，得c ＝12.此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3，f (2)＝－16＋c ＝－4，因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4.20．(本小题满分16分)(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a ＞0)交于M ，N 两点．(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由.【导学号：01580030】【解】 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a )．又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )， 即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )， 即ax ＋y ＋a ＝0. 故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0.(2)存在符合题意的点．证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2.将y ＝kx ＋a 代入C 的方程，得x 2－4kx －4a ＝0.故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b x 2＝2kx 1x 2＋(a －b )(x 1＋x 2)x 1x 2＝k (a ＋b )a .打印版本当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意．高中数学。

阶段质量检测（一）导数及其应用(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列求导结果正确的是( ) A ．(a －x 2)′＝1－2x B ．(2x 3)′＝3xC ．(cos 60°)′＝－sin 60° D．[ln(2x )]′＝12x解析：选B 根据题意，依次分析选项：对于A ，(a －x 2)′＝a ′－(x 2)′＝－2x ，故A 错误； 对于B ，(2x 3)′＝(2x 32)′＝2×32×x 12＝3x ，故B 正确；对于C ，(cos 60°)′＝0，故C 错误；对于D ，[ln(2x )]′＝(2x )′12x ＝1x，故D 错误．故选B.2．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y ＝a e x＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1 D ．a ＝e －1，b ＝－1 解析：选D ∵y ′＝a e x＋ln x ＋1， ∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝a e ＋1， ∴切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)， 即y ＝(a e ＋1)x －1. 又∵切线方程为y ＝2x ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，即a ＝e －1，b ＝－1.3．函数f (x )＝x 2－ln 2x 的单调递减区间是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22，0，⎝⎛⎦⎥⎤0，22 解析：选A 因为f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，所以f ′(x )≤0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0，2x 2－1≤0.解得0<x ≤22.4.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )解析：选D 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A 、B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.5. 已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，给出以下说法：①函数f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数； ②函数f (x )在区间(－1,1)上无单调性； ③函数f (x )在x ＝－12处取得极大值；④函数f (x )在x ＝1处取得极小值． 其中正确的说法的序号是( ) A ．①③B ．②③ C ．①④D ．②④解析：选C 由图象上可以发现，当x ∈(1，＋∞)时，xf ′(x )>0，于是f ′(x )>0，故f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数，故①正确；当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在区间(－1,1)上是减函数，②错误，③也错误；当0<x <1时，f (x )在区间(0,1)上是减函数，而在区间(1，＋∞)上是增函数，所以函数f (x )在x ＝1处取得极小值，④正确．故选C.6．若函数f (x )＝ax 2x －1(x >1)有最大值－4，则实数a 的值是( )A ．1B ．－1C ．4D ．－4解析：选B 由函数f (x )＝ax 2x －1(x >1)，则f ′(x )＝2ax (x －1)－ax 2(x －1)2＝ax (x －2)(x －1)2，要使得函数f (x )有最大值－4，则a <0，则当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0，函数f (x )在(1,2)上单调递增， 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )<0，函数f (x )在(2，＋∞)上单调递减，所以当x ＝2时，函数f (x )取得最大值，即f (x )max ＝f (2)＝4a2－1＝－4，解得a ＝－1，满足题意，故选B.7．若函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，67B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，－316C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，－116D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－310∪⎝ ⎛⎭⎪⎫67，＋∞ 解析：选D ∵f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)，∴要使函数f (x )的图象经过四个象限，则f (－2)f (1)<0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫103a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－76a ＋1<0，解得a <－310或a >67.∴实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－310∪⎝ ⎛⎭⎪⎫67，＋∞.8．若不等式x 4－4x 3＞2－a 对任意实数x 都成立，那么实数a 的取值X 围是( ) A ．a ＞2 B ．a ＞29C ．a 为一切实数D ．a 不存在解析：选B 由题意得a ＞－x 4＋4x 3＋2对任意实数x 都成立． 令f (x )＝－x 4＋4x 3＋2，所以f ′(x )＝－4x 3＋12x 2＝－4x 2(x －3)， 当x ＜3时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 当x ＞3时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 所以f (x )max ＝f (3)＝29， 所以a ＞f (x )max ＝29，故选B.9．已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．给出四个函数：①f (x )＝x 2，②f (x )＝e －x，③f (x )＝ln x ，④f (x )＝tan x ，其中有“巧值点”的函数的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 根据题意，依次分析所给的函数：①若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，由x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，这个方程显然有解，①符合要求；②若f (x )＝e －x，则f ′(x )＝－e －x，即e －x＝－e －x，此方程无解，②不符合要求； ③f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，若ln x ＝1x，利用数形结合可知该方程存在实数解，③符合要求；④f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝1cos 2x ，即sin x cos x ＝1，变形得sin 2x ＝2，无解，④不符合要求，故选B.10．若函数f (x )＝－1be ax (a >0，b >0)的图象在x ＝0处的切线与圆x 2＋y 2＝1相切，则a＋b 的最大值为( )A ．4B ．2 2C ．2 D. 2解析：选D 函数的导数为f ′(x )＝－1be ax·a ，所以f ′(0)＝－1b e 0·a ＝－ab，即在x ＝0处的切线斜率k ＝－a b， 又f (0)＝－1b e 0＝－1b，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b ，所以切线方程为y ＋1b ＝－abx ，即ax ＋by ＋1＝0.圆心到直线ax ＋by ＋1＝0的距离d ＝1a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1，所以a 2＋b 2＝1≥(a ＋b )22，即a ＋b ≤2， 当且仅当a ＝b ＝22时等号成立， 所以a ＋b 的最大值是2，故选D.11.有一个帐篷，它下部的形状是高为1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的体积最大时，帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为( )A ．1 mB.32 mC ．2 mD ．3 m解析：选C 设OO 1为x m ，底面正六边形的面积为S m 2，帐篷的体积为V m 3.则由题设可得，正六棱锥底面边长为32－(x －1)2＝8＋2x －x 2(m)，于是S ＝6×34(8＋2x －x 2)2＝332(8＋2x －x 2)．V ＝13×332(8＋2x －x 2)(x －1)＋332(8＋2x －x 2)＝32(8＋2x －x 2)[(x －1)＋3]＝32(16＋12x －x 3)(1<x <4)，V ′＝32(12－3x 2)，令V ′＝0，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)． 当1<x <2时，V ′>0；当2<x <4时，V ′<0. 所以当x ＝2 m 时，V 最大．故选C.12．若函数f (x )＝sin x x ，且0<x 1<x 2<1，a ＝sin x 1x 1，b ＝sin x 2x 2，则a ，b 的大小关系是( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 的大小不能确定 解析：选A f ′(x )＝x cos x －sin xx 2.令g (x )＝x cos x －sin x ，则g ′(x )＝－x sin x＋cos x －cos x ＝－x sin x .当0<x <1时，g ′(x )<0，∴函数g (x )在(0,1)上是减函数，∴g (x )＜g (0)＝0，即f ′(x )＜0，∴函数f (x )在(0,1)上是减函数． ∵0<x 1<x 2<1，∴f (x 1)>f (x 2)，即a >b .故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上) 13．已知函数y ＝f (x )对任意的x ∈R 都有f (1－x )－2f (x )＝x 2－1，则f (－1)＝________，曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程为________________．解析：由题可得⎩⎪⎨⎪⎧f (1－x )－2f (x )＝x 2－1，f (x )－2f (1－x )＝(1－x )2－1，解得f (x )＝－x 2＋23x ＋23.所以f (－1)＝－1，f ′(x )＝－2x ＋23，所以f ′(－1)＝83，所以曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程为y ＋1＝83(x ＋1)，即8x －3y ＋5＝0.答案：－1 8x －3y ＋5＝014．函数f (x )＝3x －4x 3在[0,1]上的最大值为________． 解析：f ′(x )＝3－12x 2，令f ′(x )＝0，则x ＝－12(舍去)或x ＝12，f (0)＝0，f (1)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32－12＝1， ∴f (x )在[0,1]上的最大值为1. 答案：115．若x ＝－2函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x的极值点，则f ′(－2)＝________，f (x )的极小值为________．解析：由函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x 可得f ′(x )＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax －1)e x，因为x ＝－2是函数f (x )的极值点，所以f ′(－2)＝(－4＋a )e －2＋(4－2a －1)e －2＝0，即－4＋a ＋3－2a ＝0，解得a ＝－1.所以f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x.令f ′(x )＝0可得x ＝－2或x ＝1.当x ＜－2或x ＞1时，f ′(x )＞0，此时函数f (x )为增函数，当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0，此时函数f (x )为减函数，所以当x ＝1时函数f (x )取得极小值，极小值为f (1)＝(12－1－1)×e 1＝－e.答案：0 －e16．已知f (x )定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )＜－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)＞(x －1)·f (x 2－1)的解集是________．解析：令g (x )＝x ·f (x )， 则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＜0. ∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数． 又∵f (x ＋1)＞(x －1)f (x 2－1)， ∴(x ＋1)f (x ＋1)＞(x 2－1)f (x 2－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x 2－1＞0，x ＋1＜x 2－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ＜－1或x ＞1，x ＜－1或x ＞2.∴x ＞2.答案：{x |x ＞2}三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分) 已知f (x )＝log 3x 2＋ax ＋bx ，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a ，b ，使f (x )同时满足下列两个条件：①f (x )在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数； ②f (x )的最小值是1.若存在，求出a ，b ，若不存在，请说明理由．解：设g (x )＝x 2＋ax ＋b x ，则g ′(x )＝x 2－bx2，∵f (x )在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数， ∴g (x )在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数， 又∵f (x )的最小值为1，则g (x )的最小值为3，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′(1)＝0，g (1)＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＝0，a ＋b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.经检验，当a ＝1，b ＝1时，f (x )满足题设的两个条件． 18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x e a －x＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间． 解：(1)因为f (x )＝x ea －x＋bx ， 所以f ′(x )＝(1－x )·ea －x＋b .依题设，得⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝2e ＋2，f ′(2)＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1，解得a ＝2，b ＝e. (2)由(1)知f (x )＝x e 2－x＋e x .由f ′(x )＝e2－x(1－x ＋e x －1)及e2－x>0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号．令g (x )＝1－x ＋ex －1，则g ′(x )＝－1＋ex －1.所以当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．所以g (1)＝1是g (x )在区间(－ ∞，＋∞)上的最小值． 所以g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)． 所以f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间． 19．(本小题满分12分)已知f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若f (x )在[2，＋∞)上是增函数，某某数a 的取值X 围；(2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )在[1，a ]上的最小值和最大值．解：(1)由题意，知f ′(x )＝3x 2－2ax －3，所以f ′(x )≥0 在x ∈[2，＋∞)上恒成立，得a ≤32⎝⎛⎭⎪⎫x －1x min .记t (x )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ，当x ≥2时，t (x )是增函数，所以t (x )min ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝94，所以a ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，94. (2)由题意得f ′(3)＝0，即27－6a －3＝0，所以a ＝4. 所以f (x )＝x 3－4x 2－3x ，f ′(x )＝3x 2－8x －3. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－13，x 2＝3.又因为x ∈[1,4]，所以x ＝－13舍去，故x ＝3.当x ∈(1,3)时，f ′(x )<0， 所以f (x )在[1,3]上为减函数； 当x ∈(3,4)时，f ′(x )>0， 所以f (x )在[3,4]上为增函数． 所以x ＝3时，f (x )有极小值．于是当x ∈[1,4]时，f (x )min ＝f (3)＝－18， 而f (1)＝－6，f (4)＝－12， 所以f (x )max ＝f (1)＝－6.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －2(e≈2.72，a ∈R )． (1)判断曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与曲线y ＝g (x )的公共点个数；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时，若函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点，求a 的取值X 围．解：(1)f ′(x )＝ln x ＋1，所以斜率k ＝f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，曲线在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋ax －2，y ＝x －1⇒x 2＋(1－a )x ＋1＝0.由Δ＝(1－a )2－4＝a 2－2a －3可知：当Δ＞0时，即a ＜－1或a ＞3时，有两个公共点； 当Δ＝0时，即a ＝－1或a ＝3时，有一个公共点； 当Δ＜0时，即－1＜a ＜3时，没有公共点． (2)y ＝f (x )－g (x )＝x 2－ax ＋2＋x ln x ，由y ＝0得a ＝x ＋2x＋ln x .令h (x )＝x ＋2x＋ln x ，则h ′(x )＝(x －1)(x ＋2)x2. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，由h ′(x )＝0得x ＝1.所以h (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上单调递减，在[1，e]上单调递增， 故h min (x )＝h (1)＝3.由h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1e＋2e －1，h (e)＝e ＋2e ＋1，比较可知h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＞h (e)．所以当3＜a ≤e＋2e＋1时，函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点，即a 的取值X 围为⎝ ⎛⎦⎥⎤3，e ＋2e ＋1. 21．(本小题满分12分)某公司将进货单价为a 元(a 为常数，3≤a ≤6)一件的商品按x 元(7≤x ≤10)一件销售，一个月的销售量为(12－x )2万件．(1)求该公司经销此种商品一个月的利润L (x )(万元)与每件商品的售价x (元)的函数关系式；(2)当每件商品的售价为多少元时，L (x )取得最大值？并求L (x )的最大值． 解：(1)L (x )＝(x －a )(12－x )2(7≤x ≤10)． (2)L ′(x )＝(12－x )2＋(x －a )(2x －24) ＝(12－x )(12＋2a －3x )．令L ′(x )＝0得x ＝2a ＋123或x ＝12.由a ∈[3,6]，得2a ＋123∈[6,8]．当2a ＋123∈[6,7]，即3≤a ≤92时， L (x )在[7,10]上是减函数， L (x )的最大值为L (7)＝25(7－a )；当2a ＋123∈(7,8]，即92<a ≤6时，L (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤7，2a ＋123上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋123，10上是减函数．L (x )的最大值为L ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋123＝4(12－a )327.综上可知，若3≤a ≤92，则当x ＝7时，L (x )取得最大值，最大值是25(7－a )；若92<a ≤6，则当x ＝2a ＋123时，L (x )取得最大值，最大值是4(12－a )327. 22．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x －x cos x －x ，f ′(x )为f (x )的导数．(1)证明：f ′(x )在区间(0，π)存在唯一零点； (2)若x ∈[0，π]时，f (x )≥ax ，求a 的取值X 围．解：(1)证明：设g (x )＝f ′(x )，则g (x )＝cos x ＋x sin x －1，g ′(x )＝x cos x .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，g ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，g ′(x )<0，所以g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减．又g (0)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>0，g (π)＝－2， 故g (x )在区间(0，π)存在唯一零点． 所以f ′(x )在区间(0，π)存在唯一零点． (2)由题设知f (π)≥a π，f (π)＝0，可得a ≤0.由(1)知，f ′(x )在区间(0，π)只有一个零点，设为x 0，且当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )>0；当x ∈(x 0，π)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，π)上单调递减．又f (0)＝0，f (π)＝0，所以当x ∈[0，π]时，f (x )≥0. 又当a ≤0，x ∈[0，π]时，ax ≤0，故f (x )≥ax . 因此，a 的取值X 围是(－∞，0]．。