第7章-3 收敛性稳定性
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差分方程的相容性收敛性和稳定性ppt课件
计算力学基础
第二章 有限差分方法
2.4 差分方程的相容性、收敛性和稳定性
1
一个微分方程采用不同的方法可以得到不同的差分方程。那么， 我们要问，对于这些不同的差分方程是否都同样有效，同样可靠，而 且能得到同样的计算结果呢？
答案是否定的。事实上，不同的差分方程和原方程有完全不同的 对应关系，它们具有各自不同的性质，因此，数值结果也完全不同。 在这些差分方程中有些差分方程是有效的、可靠的；些差分方程只有 在一定的条件下是有效的、可靠的；有些差分方程则是完全无效的、 不可靠的。所以，如何判断和分析差分方程有效性和可靠性就成为非 常必要和现实的问题了。
n j
，则离散化误差为
enj
u
u
n j
，把差分方
程和微分方程相减可得离散化误差方程：
en1 j
(1
r)enj
renj1
O(x,
t)
(b)
8
由（b）式可以看出离散化误差方程在形式上和差分方程是完全 相同的，由此可以得到：
en1 j
enj
a
t x
(enj
e
n j 1
)
定解为义1u：差，分它方们程之间L的unj 误 0差的用数e值nj 解表为示，unj则，e微nj 分u方程unj的精0 确称
第二章 有限差分方法
2.4 差分方程的相容性、收敛性和稳定性
1
一个微分方程采用不同的方法可以得到不同的差分方程。那么， 我们要问，对于这些不同的差分方程是否都同样有效，同样可靠，而 且能得到同样的计算结果呢？
答案是否定的。事实上，不同的差分方程和原方程有完全不同的 对应关系，它们具有各自不同的性质，因此，数值结果也完全不同。 在这些差分方程中有些差分方程是有效的、可靠的；些差分方程只有 在一定的条件下是有效的、可靠的；有些差分方程则是完全无效的、 不可靠的。所以，如何判断和分析差分方程有效性和可靠性就成为非 常必要和现实的问题了。
n j
，则离散化误差为
enj
u
u
n j
，把差分方
程和微分方程相减可得离散化误差方程：
en1 j
(1
r)enj
renj1
O(x,
t)
(b)
8
由（b）式可以看出离散化误差方程在形式上和差分方程是完全 相同的，由此可以得到：
en1 j
enj
a
t x
(enj
e
n j 1
)
定解为义1u：差，分它方们程之间L的unj 误 0差的用数e值nj 解表为示，unj则，e微nj 分u方程unj的精0 确称
第7章3节迭代收敛性
证明 由矩阵 B的若当标准型，存在非奇异矩阵 P使
J1
P 1BP
J2
J,
J r
其中若当块
Baidu Nhomakorabea
i 1
Ji
i
1
i
ni ni
,
6
r
且 ni n，显然有 B PJP 1, Bk PJ k P 1, i 1
Ak
A
0.
再利用矩阵范数的等价性，可证定理对其他算子范数也对.
定理2
lim
k
Ak
A 对任何向量 x Rn都有
lim
k
Ak
x
Ax.
5
定理3
设 B (bij ) R nn , 则
lim Bk
k
0(零矩阵)的
充分必要条件是矩阵 B的谱半径 (B) 1.
事实上，当 1 时，由 A为严格对角占优阵，有
cii aii i1 aij n aij
j1
ji1
i1
n
n
aij aij cij
j1
ji1
j1
ji
(i 1,2,,n).
数值分析--第7章非线性方程求根
内有方程的根. 取[a, b]的中点 x0
否则判别根 x*在 x0 的左侧还是右侧.
1 2
(a b) ,
将区间一分为二. 若 f (x0)=0, 则x0就是方程的根, 若f(a) · 0)<0, 则x*∈(a, x0), 令 a1= a, b1=x0; f(x 若f(x0) · f(b)<0, 则x*∈(x0 , b), 令 a1=x0, b1=b.
上页 下页
例2 用二分法求例1中方程 f(x)=x3-x-1=0的实根, 要求误差不超过0.005.
解 由例1可知x*∈(1, 1.5), 要想满足题意，即：
|x*-xn|≤0.005 则要
1 2
n 1
(b a) 2
2 lg 2
1
n 1
(1.5 1) 2
1
n 2
0.005
上页 下页
xk 1 ( xk )
k
( k 0,1, 2, )
lim xk x .
当(x)连续时，显然x*就是方程x=(x)之根(不动点). 于是可以从数列{xk}中求得满足精度要求的近似根. 这种求根方法称为不动点迭代法, xk 1 ( xk ) ( k 0,1, 2,) 称为迭代格式, (x)称为迭代函数, x0 称为迭代初值,
(-∞, 0), (0, 3)，(3, +∞)
高等油藏物理 第7章-差分格式的构造概要
2x
O x 2
2 x 一阶偏导数的中心差商表达。它具有 阶的截断
2 误差，记为 R (x )
当 x 趋于零时，截断误差 是相容的。
或者说距离有二阶精度。
R 也趋于零，因此说差商与微商
u
n j 1
j x u x j x, tn u ux
xj
(
tn t
tn
ut dt )dx a
n
tn
(
x f t
xf
ux dx)dt 0
x j x
xj
(u j
n 1
u j )dx a
tn t
tn
(u n j 1 u n j )dt 0
1 n n n (un u ) x a ( u u j j j 1 j )t 0
2t
t x 空间步长。 0 x 2x t 时间步长。 网格节点 x j , tn 简记为 j, n 。函数值记为
x
un j u x j , tn u j x, nt
对函数u在空间做泰勒级数展开
1 1 n n 2 u ux j x ux j x3 O x4 2 6 1 1 n n n n 2 3 4 un u x x , t u u x u x u x O x j 1 j n j x j x j x j 2 6
高等数学(下册)第7章第4讲幂级数及其收敛性
6
一、 函数项级数
例1
求级数
(1)n
1
n
的收敛域．
n1 n 1 x
P18 例 7.19
(3) 当 1 1时, x 0 或 x 2 . |1 x |
当 x 0时, 原级数为交错级数 (1)n , 该级数收敛；
n1 n
当 x 2 时, 原级数为调和级数 1 , 该级数发散. n1 n 故原级数的收敛域为(,2) [0,) .
函数项级数的和函数.即
s(x) un (x) u1 (x) u2 (x) un (x) . n 1
注 (1) 和函数的定义域就是该级数的收敛域.
(2) 函数项级数 un (x) 的前n 项的部分和记为 sn (x) , 在收敛域上有 n 1
lim
n
sn (x)
s(x)
.
5
一、 函数项级数
11
二、 幂级数及其收敛性
定义 正数 R 称为幂级数 an xn 的收敛半径.
n0
开区间 (R, R) 叫做幂级数 an xn 的收敛区间.
n0
收敛区间加上收敛的端点构成幂级数 an xn 的收敛域.
n0
即收敛域是 (R, R) 、[R, R) 、 (R, R] 或 [R, R] 这四个区间之一.
解 原幂级数缺少偶次幂的项，直接应用比值审敛法来求收敛区间.
一、 函数项级数
例1
求级数
(1)n
1
n
的收敛域．
n1 n 1 x
P18 例 7.19
(3) 当 1 1时, x 0 或 x 2 . |1 x |
当 x 0时, 原级数为交错级数 (1)n , 该级数收敛；
n1 n
当 x 2 时, 原级数为调和级数 1 , 该级数发散. n1 n 故原级数的收敛域为(,2) [0,) .
函数项级数的和函数.即
s(x) un (x) u1 (x) u2 (x) un (x) . n 1
注 (1) 和函数的定义域就是该级数的收敛域.
(2) 函数项级数 un (x) 的前n 项的部分和记为 sn (x) , 在收敛域上有 n 1
lim
n
sn (x)
s(x)
.
5
一、 函数项级数
11
二、 幂级数及其收敛性
定义 正数 R 称为幂级数 an xn 的收敛半径.
n0
开区间 (R, R) 叫做幂级数 an xn 的收敛区间.
n0
收敛区间加上收敛的端点构成幂级数 an xn 的收敛域.
n0
即收敛域是 (R, R) 、[R, R) 、 (R, R] 或 [R, R] 这四个区间之一.
解 原幂级数缺少偶次幂的项，直接应用比值审敛法来求收敛区间.
智能控制 第7章 神经网络控制
加反馈的监督控制方法，不仅可以确保控制系
统的稳定性和鲁棒性，而且可有效地提高系统
的精度和自适应能力。
神经网络直接逆动态控制
神经网络直接逆控制就是将被控对
象的神经网络逆模型直接与被控对 象串联起来，以便使期望输出与对 象实际输出之间的传递函数为1。则 将此网络作为前馈控制器后，被控 对象的输出为期望输出。
根据神经网络在控制器中的作用不同，
一类为神经控制，它是以神经网络为基
础而形成的独立智能控制系统。 另一类为 混合神经网络控制 ，它是指
利用神经网络学习和优化能力来改善传
统控制的智能控制方法，如自适应神经
网络控制等。
综合目前的各种分类方法，可将神经网
络控制的结构归结为以下七类。
神经网络监督控制
通过对传统控制器进行学习，然
神经网络自校正控制分为直接自校 正控制和间接自校正控制。间接自校 正控制使用常规控制器，神经网络估 计器需要较高的建模精度。直接自校 正控制同时使用神经网络控制器和神 经网络估计器。
（1）神经网络直接自校正控制
在本质上同神经网络直接逆控制， 其结构如图所示。
（2）神经网络间接自校正控制
其结构如图所示
神经网络 估计器
ˆ ˆ f ,g yd t
+ -
et
常规 控制器
u t
对象
y t
数值分析--第7章非线性方程与方程组的数值解法
ex /10 sin 10x 0, 它在整个 x轴上有无穷多个解，若 x 取值范围不同，解也 不同，因此讨论非线性方程(1.1)的求解必须强调 x的定 义域，即 x的求解区间 [a, b].
4
非线性问题一般不存在直接的求解公式，故没有直接 方法求解，都要使用迭代法.
迭代法要求先给出根 x *的一个近似，若 f (x) C[a,b] 且 f (a) f (b) 0 ，根据连续函数性质可知 f (x) 0在(a, b) 内至少有一个实根，这时称 [a, b]为方程(1.1)的有根区间.
3
根据代数基本定理可知, n次方程在复数域有且只有 n 个根（含重根， m重根为 m个根）.
n 1,2 时的求根公式是熟知的，n 3,4时的求根公式 可在数学手册中查到，但比较复杂不适合数值计算，当 n 5 时就不能用公式表示方程的根，所以 n 3时求根仍用一般 的数值方法
另一类是超越方程，例如
1.3242
f ( xk )符号
12
二分法是计算机上的一种常用算法，计算步骤为：
步骤1 准备 计算 f (x) 在有根区间[a, b] 端点处的值
f (a), f (b).
步骤2
f ( a b ). 2
二分
计算 f (x) 在区间中点 a b 处的值
2
步骤3 判断 若 f ( a b ) 0，则 a b 即是根，
4
非线性问题一般不存在直接的求解公式，故没有直接 方法求解，都要使用迭代法.
迭代法要求先给出根 x *的一个近似，若 f (x) C[a,b] 且 f (a) f (b) 0 ，根据连续函数性质可知 f (x) 0在(a, b) 内至少有一个实根，这时称 [a, b]为方程(1.1)的有根区间.
3
根据代数基本定理可知, n次方程在复数域有且只有 n 个根（含重根， m重根为 m个根）.
n 1,2 时的求根公式是熟知的，n 3,4时的求根公式 可在数学手册中查到，但比较复杂不适合数值计算，当 n 5 时就不能用公式表示方程的根，所以 n 3时求根仍用一般 的数值方法
另一类是超越方程，例如
1.3242
f ( xk )符号
12
二分法是计算机上的一种常用算法，计算步骤为：
步骤1 准备 计算 f (x) 在有根区间[a, b] 端点处的值
f (a), f (b).
步骤2
f ( a b ). 2
二分
计算 f (x) 在区间中点 a b 处的值
2
步骤3 判断 若 f ( a b ) 0，则 a b 即是根，
Fluent-第7章--边界条件
压力出口
流动出口的静压（在回流中还包括
其它的标量）。
当出现回流时，使用压力出口边界条件来代替质量出 口 条件常常有更好的收敛速度。
压力远场
模拟无穷远处的自由可压流动，该流
动的自由流马赫数以及静态条件已经
指定了。这一边界类型只用于可压
流。
精选课件
7
边界条件定义
质量出口
进风口 进气扇边界 通风口 排气扇边界
精选课件
23
Pressure Outlet
给定 static gauge pressure 作为出口处的环境压力. 可以定义径向的压力分布.
Backflow 收敛过程出现 最终结果如此. 方向是垂直于边界.
适用于 compressible 和 incompressible
flows 在超音速条件下，忽略所给定的压
精选课件
4
边界的种类
axis exhaust-fan inlet-vent intake-fan interface mass-flow-inlet outflow outlet-vent pressure-fat-field pressure-inlet pressure-outlet symmetry velocity-inlet wall
轴边界 排气扇面 排气口 入口扇面 界面 质量入口 流出 出口 压力远场 压力入口 压力出口 对称 速度入口 壁面
第7章3 任意项级数
u1
数列 s2 n是有界的 , lim s2 n s u1 . n
lim u2 n1 0, lim s2 n1 lim( s2 n u2 n1 ) s,
n n n
级数收敛于和 s , 且s u1 .
8
例题（条件收敛）
• 例：证明下列级数为条件收敛：
§7.3任意项级数敛散性的判别
• 一、交错级数 • 二、绝对收敛、条件收敛 • 三、莱布尼兹判别法
1
交错级数、任意项级数定义
定义 正、负项相间的级数称为交错级数.
( 1)
n 1
n 1
un或 ( 1)n un (其中un 0)
n 1
定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
2
定理
定理 若 u 收敛,则 u 收敛.
n 1 n n 1 n
证
n 1 又 un ( 2vn un ), u 收敛.
1 令 v n ( un un ) ( n 1,2,), 2 显然 v n 0, 且 v n un , v n收敛,
un un1 ,
原级数收敛.
10
n 又 lim un lim 0. n n n 1
例题
分析：此题不是交错级数，不能用莱布尼兹判 别法。到底如何判断呢？先转化为正项级数， 然后考虑比较判别法，还是比值判别法
数值分析第7章答案教材
第七章非线性方程求根
一、重点内容提要 （一）问题简介 求单变量函数方程
()0f x = (7.1)
的根是指求*x （实数或复数），使得(*)0f x =.称*x 为方程(7.1)的根,也称*x 为
函数()f x 的零点.若()f x 可以分解为
()(*)()m
f x x x
g x =- 其中m 为正整数,()g x 满足()0g x ≠,则*x 是方程(7.1)的根.当m=1时,称*x 为单根;当m>1时,称*x 为m 重根.若()g x 充分光滑,*x 是方程(7.1)的m 重根,则有
(1)()
(*)'(*)...(*)0,(*)
m m f x f x f x f x -====≠ 若()f x 在[a,b]上连续且()()0f a f b <,则方程(7.1)在(a,b)内至少有一个实根,称[a,b]为方程(7.1)的有根区间.有根区间可通过函数作图法或逐次搜索法求得. (二)方程求根的几种常用方法 1.二分法
设()f x 在[a,b]上连续,()()0f a f b <,则()0f x =在(a,b)内有根*x .再设()0f x =在
(a,b)内仅有一个根.令00,a a b b ==,计算0001
()
2x a b =+和0()f x .若0()0f x =则*x x =,结束计算;若00()()0f a f x >,则令10,1a x b b ==,得新的有根区间11[,]a b ;若
00()()0
f a f x <,则令
10,a a b
x ==,
第7章 常微分方程数值解法
常微分方程
理论上可以证明：只要函数f(x，y)适当光 滑—关于y满足李普希兹(Lipschitz)条件
| f ( x , y ) f ( x , y ) | L | y y |
则初值问题的解存在唯一。
例
y' 2 x y (0) 0
y ' 1 2 xy y (0) 0
一、再看Taylor方法
二、Runge-Kutta 方法
dy f ( x , y ) x [a , b ] dx y ( a ) y0
复习
一元函数的Taylor展开
h y ( x h) y ( x) hy' ( x) y" ( x) 2 3 4 h h ( 4) y ( x) y ( x) 6 24
f (t , y (t )) dt
故其数值公式为 h yi 1 yi [ f ( xi , yi ) f ( xi 1 , yi 1 )] 2
其特点是 yi+1 表示成 xi ， xi+1 及 yi 的隐函数.
§7.2 简单数值方法与基本概念 一、欧拉公式 二、隐式的欧拉公式 三、梯形公式
二、常微分方程的数值解
由于在实用上对初值问题，一般 是要求得到解在若干点上满足规定 精确度的近似值yi ，或者是得到一 个满足精确度要求的便于计算的近 似表达式。
《高等数学(下册)》课件 高等数学 第7章
1 n(n 1)
1
1 2
1 2
1 3
1 3
1 4
1 1 n 1
1 n
1 n 1
于是
lim
n
Sn
lim
n
1
1 n 1
1
所以这个级数收敛，其和为1。
例3 讨论级数 ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 的敛散性。
123
n
解 级数的局部和为
Sn
ln
2 1
ln
3 2
ln
4 3
付余额的
1 2
2
2
给学院，第三个月再支付余额的
1 2
给学院，以后如此
支付。那么第 n 个月学院已收到的资金数为：
10 2
10 22
10 2n
10
1 2
1 22
1 2n
10
1 2
1
1 2n
1 1
101
1 2n
2
如果 n 无限大，在上式两边取极限有
lim
n
10
1 2
1 22
1 2n
lim10
n 1
1 n2
收敛，由比
较审敛法可知，级数 n1 (n 1)(n 3) 收敛。
在应用比较审敛法时，需要先找一个敛散性的级数作为比 较对象，通常选用 p- 级数和等比级数．但在不少情况下，找比 较对象的级数是比较困难的。下面介绍应用较为方便的比值审 敛法。
第7章样条函数(Spline)
如何构造?
7.2 三次样条函数
构造过程：
xi x x xi 1 Si( x) M i 1 M i x xi 1 , xi hi hi
(1) 设S ( xi ) M i , hi xi xi 1 , 则构造二阶导数 Si( x)为
6hi
6hi
Ai x xi Bi x xi 1 , xi
(3) 利用插值特性 、 函数连续性、 增加的边界 条件来求系数 .
7.2 三次样条函数
① 第一类边界条件 (已知端点的一阶导数值 )下 的系数.
hi i h h i i 1 i 1 i 6 yi 1 yi yi yi 1 g i hi hi 1 hi 1 hi yn yn 1 6 yi y 0 6 y0 g n y n g0 h h h h i i n n
M n yn
7.2 三次样条函数
yi yi 1 hi Ai M i M i 1 hi 6 B y 1 M h 2 i i 1 i 1 i 6
3 xi x S ( x) M i
ຫໍສະໝຸດ Baidu
6hi
i 1
3 x xi 1 M
内蒙古工业大学现代交换网络现代交换技术--第7章路由与IP交换技术
•在TCP/IP协议结构中，IP是一个网络层 协议，它是为实现计算机网络中主机之间 的通信而设计的。
• 目前广泛使用的IP是第四版，即IPv4。
20:59
6
• 但随着Internet的迅猛发展，用户对业务 和服务质量的要求越来越高，IPv4在地址 空间、端到端连接、服务质量、网络安全 和移动性等方面的弊端逐渐显现，于是 IPv6应运而生。
20:59
37
图7-6 IP分组格式
20:59 38
（3）服务类型：8bit。 （4）总长度：16bit。 （5）标识符：当前分组的标识，16bit。 （6）标志：3bit。 （7）分段偏移量：13bit。
20:59
39
（8）生存时间TTL：8bit，单位为秒（s）。 （9）协议：8bit，表示上层协议类型。 （10）首部校验和：16比特。 （11）源地址：32bit源节点IP地址。
199.1.1.0/25 （拥有100台计算机的部门1用此网络） 199.1.1.128/25
11000111.00000001.00000001.1|0|000000 11000111.00000001.00000001.1|1|000000 (b)
199.1.1.128/26（拥有50台计算机的部门2用此网络） 199.1.1.192/26
20:59
66
• 根据IP包首部的目的地址，路由器在路由 表中查找下一跳；同时，对IP数据包首部的 TTL字段的值进行减数操作，并重新计算校 验和。
• 目前广泛使用的IP是第四版，即IPv4。
20:59
6
• 但随着Internet的迅猛发展，用户对业务 和服务质量的要求越来越高，IPv4在地址 空间、端到端连接、服务质量、网络安全 和移动性等方面的弊端逐渐显现，于是 IPv6应运而生。
20:59
37
图7-6 IP分组格式
20:59 38
（3）服务类型：8bit。 （4）总长度：16bit。 （5）标识符：当前分组的标识，16bit。 （6）标志：3bit。 （7）分段偏移量：13bit。
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（8）生存时间TTL：8bit，单位为秒（s）。 （9）协议：8bit，表示上层协议类型。 （10）首部校验和：16比特。 （11）源地址：32bit源节点IP地址。
199.1.1.0/25 （拥有100台计算机的部门1用此网络） 199.1.1.128/25
11000111.00000001.00000001.1|0|000000 11000111.00000001.00000001.1|1|000000 (b)
199.1.1.128/26（拥有50台计算机的部门2用此网络） 199.1.1.192/26
20:59
66
• 根据IP包首部的目的地址，路由器在路由 表中查找下一跳；同时，对IP数据包首部的 TTL字段的值进行减数操作，并重新计算校 验和。
第7章-常微分方程初值问题的数值解法
尤
拉
公
式
为
：
y n1
yn
h( yn
2 xn ) yn
y
p
yn
h(yn
2 xn ) yn
改
进
的
尤
拉
公
式
为
： y c
yn
h(yp
2 xn1 ) yp
2021/4/9
y n1
1 2
(yp
yc)
16
7.3 龙格-库塔（R-K）法
尤拉法
yi1 yi hk1
k1 f xi , yi
局部截断误差O(h2)
考察改进的尤拉法，可以将其改写为：
yi1
yi
h12
K1
1 2
K2
K1 f (xi , yi )
K2 f (xi h, yi hK1)
局部截断误差O(h3)
增加202计1/4算/9f(x,y)在不同点的 值，能否提高局部截断误差的阶？
17
有微分中值定 （ 理 0,1） ，使 存得 在
逐 步 计 算 出 y（ yx ） 在 xn 1 点 的 值 ： yn 1ynh f(xn,yn) n0 ， 1 ， 2 ，
用分段的折线逼近函数,此为“折线法”而非“切线 法”，除第一个点是曲线上的切线，其它都不是。
2021/4/9
实变函数与泛函分析基础第七章(1-3)
a t b
当n N 时, 对所有的t [a , b], 有
xn (t ) x(t ) max xn (t ) x(t ) ,
a t b
即 {xn} 在 [a, b] 上一致收敛到 x .
“充分性”：若{xn} 一致收敛到 x , 则对
任给 ε > 0, 存在正整数 N, 使得当 n > N
时，对任意的 t ∈ [a, b] , 有
| xn ( t ) x( t ) |
2
.
于是，当 n > N 时，有
max xn ( t ) x( t )
at b
2
,
lim max xn ( t ) x( t ) 0,
n a t b
即 lim ( xn , x ) 0.
2 2 2 2 xk 2 x . y y k k k k 1 k 1 k 1 k 1
1 2
2 2 xk yk k 1 k 1
t A t A
= ( x, z ) ( y, z ),(t A)
所以
( x, y) ( x, z ) ( y, z ).
例4 可测函数空间 M(X). 设 M(X) 表示 X 上连续实值 (或复值)的 L 可测函数全体，m 为 L 测度，若 m(X) <∞,
当n N 时, 对所有的t [a , b], 有
xn (t ) x(t ) max xn (t ) x(t ) ,
a t b
即 {xn} 在 [a, b] 上一致收敛到 x .
“充分性”：若{xn} 一致收敛到 x , 则对
任给 ε > 0, 存在正整数 N, 使得当 n > N
时，对任意的 t ∈ [a, b] , 有
| xn ( t ) x( t ) |
2
.
于是，当 n > N 时，有
max xn ( t ) x( t )
at b
2
,
lim max xn ( t ) x( t ) 0,
n a t b
即 lim ( xn , x ) 0.
2 2 2 2 xk 2 x . y y k k k k 1 k 1 k 1 k 1
1 2
2 2 xk yk k 1 k 1
t A t A
= ( x, z ) ( y, z ),(t A)
所以
( x, y) ( x, z ) ( y, z ).
例4 可测函数空间 M(X). 设 M(X) 表示 X 上连续实值 (或复值)的 L 可测函数全体，m 为 L 测度，若 m(X) <∞,