北京市2017届高三数学文一轮复习专题突破训练:平面向量
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平面向量训练题一、选择题:1.过△ABC 的重心任作一直线分别交AB ,AC 于点D 、E .若AD xAB =,AE yAC =,0xy ≠,则11x y+的值为( )(A )4 (B )3 (C )2 (D )12.已知下列命题中:(1)若k R ∈,且0kb =,则0k =或0b =, (2)若0a b ⋅=,则0a =或0b =(3)若不平行的两个非零向量b a ,,满足||||b a =,则0)()(=-⋅+b a b a (4)若a 与b 平行,则||||a b a b =⋅其中真命题的个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .33.设00,a b 分别是与,a b 向的单位向量,则下列结论中正确的是( )A .00a b =B .001a b ⋅= C .00||||2a b += D .00||2a b +=4.已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值,最小值分别是( )A .0,24B .24,4C .16,0D .4,0☆5.设,a b 是非零向量,若函数f (x )=(x a +b )·(a -x b )的图象是一条直线,则必有 ( )A .⊥a bB .∥a bC .||||=a bD .||||≠a b6.设点(2,0)A ,(4,2)B ,若点P 在直线AB 上,且AB =2AP ,则点P 的坐标为( )A .(3,1)B .(1,1)-C .(3,1)或(1,1)-D .无数多个7.在平行四边形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 的中点,DE 交AF 于H ,记、 分别为a 、b ,则=( )A .52a -54b B .52a +54b C .-52a +54b D .-52a -54b☆8.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c =(-1,-2),若表示向量4a ,4b -2c ,2(a -c ),d 的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量d 为( )A .(2,6)B .(-2,6)C .(2,-6)D .(-2,-6)9.若平面向量b 与向量)2,1(-=a 的夹角是o180,且53||=b ,则=b ( )A .)6,3(-B .)6,3(-C .)3,6(-D .)3,6(-10.向量(2,3)a =,(1,2)b =-,若ma b +与2a b -平行,则m 等于A .2-B .2C .21D .12-11.设3(,sin )2a α=,1(cos ,)3b α=,且//a b ,则锐角α为( )AB C E FDHA .030B .060C .075D .04512.设πθ20<≤,已知两个向量()θθsin ,cos 1=,()θθcos 2,sin 22-+=OP ,则向量21P P 长度的最大值是( )A.2B.3C.23D.3213.若平面向量与向量)1,2(=平行,且52||=,则=( )A .)2,4(B .)2,4(--C .)3,6(-D .)2,4(或)2,4(--☆14.点P 在平面上作匀速直线运动,速度向量(4,3)v =-(即点P 的运动方向与v 相同,且每秒移动的距离为v 个单位).设开始时点P 的坐标为(-10,10),则5秒后点P 的坐标为( ) A (-2,4) B (-30,25) C (10,-5) D (5,-10)☆15.设(43)=,a ,a 在b 上的投影为2,b 在x 轴上的投影为2,且||14≤b ,则b 为( ) A .(214),B .227⎛⎫-⎪⎝⎭, C .227⎛⎫- ⎪⎝⎭,D .(28),☆16.若向量a 与b 不共线,a ·b ≠0,且c =b b a a a a ⎪⎭⎫⎝⎛∙∙-,则向量a 与c 的夹角为 ( )A. 0B.6π C. 3π D. 2π ☆17.平面向量a =(x ,y ),b =(x 2,y 2),c =(1,1),d =(2,2),若a ·c =b ·d =1,则这样的向量a 有 ( )A. 1个B. 2个C. 多于2个D. 不存在 ☆18.P 是△ABC 所在平面上一点,若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅,则P 是△ABC 的( )A 外心B 内心C 重心D 垂心☆19.O 是平面上一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP =OA +λ(AB AC|AB ||AC |+),),[∞+∈λ0,则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A 外心B 内心C 重心D 垂心 二、填空题:20.平面向量,a b 中,若(4,3)a =-,b =1,且5a b ⋅=,则向量=____。
第四章§3:平面向量的数量积及平面向量的应用举例(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100,训练时间45钟一、选择题:本大题共5小题,每小题8分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若向量a =(1,1),b =(2,5),c =(3,x)满足条件(8a -b)·c =30,则x 等于A .6B .5C .4D .32.在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ⊥AB ,∠B =45°,AB =2CD =2,M 为腰BC 的中点,则M A →·M D →等于A .1B .2C .3D .43.已知向量|a|=|b|=3,且(a +b)·(2a -b)=92,则b 在a 方向上的投影等于 A .-332 B .-32 C .32 D .3324.已知向量O A →=(3,1),O B →=(cosθ,sinθ),θ∈R ,其中O 为坐标原点,则△AOB 面积的最大值为A .2B . 3C .1D .325.在△ABC 中,(BC →+BA →)·AC →=|AC →|2,则三角形ABC 的形状一定是A .等边三角形B .等腰三角形C .直角三角形D .等腰直角三角形二、填空题:本大题共3小题,每小题8分,共24分.6.a =(2,1),b +a =(1,k),若a ⊥b ,则实数k =________.7.已知向量a ,b 满足|a|=|b|=1,|2a -b|=2,则a 与a +b 的夹角的余弦值为________.8.在△ABC 中,BC →=a ,CA →=b ,AB →=c ,已知a·b =a·c =b·c ,则△ABC 的形状是________.三、解答题:本大题共2小题,共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(本小题满分18分,(1)小问5分,(2)小问6分,(3)小问7分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2).(1)设c=4a+b.求(b·c)·a;(2)若a+λb与a垂直,求λ的值;(3)求向量a在b方向上的投影.10.(本小题满分18分,(1)小问8分,(2)小问10分)已知向量m=(3sinx,cosx),n=(cosx,cosx),p=(23,1).(1)若m∥p,求sinx·cosx的值;(2)△ABC的三边a、b、c满足b2=ac,且边b所对的角θ的取值集合为M.当x∈M时,求函数f(x)=m·n的值域.参考答案及其解析一、选择题:本大题共5小题,每小题8分,共40分.1.解析:(8a -b)=(8,8)-(2,5)=(6,3),∴由(8a -b)·c =30得6×3+3x =30,∴x =4. 答案:C2.解析:由已知得|B C →|=2,B A →,B C →夹角为45°,∴M A →·M D →=(12CB →+B A →)·(-12C B →+CD →) =-14C B →2+12C B →·C D →-12C B →·B A →+B A →·CD → =-12+12C B →·(12B A →)-12C B →·B A →+|BA →|·|CD →|·cos0° =-12-14C B →·B A →+2=32-14·2·2·cos135°=2. 答案:B3.解析:设a 与b 的夹角为θ,∵(a +b)·(2a -b)=92, ∴2a 2+a·b -b 2=92. 又∵|a|=|b|=3,∴2×9+3×3cosθ-9=92, ∴cosθ=-12. ∴b 在a 方向上的投影为|b|cosθ=3×(-12)=-32. 答案:B4.解析:|OA →|=2,|OB →|=1,cos 〈O A →,O B →〉=O A →·O B →|OA →||OB →|=sin(π3+θ), S △AOB =12|O A →||O B →|sin 〈O A →,O B →〉=12×2×1×1-[sin (π3+θ)]2, 当sin(π3+θ)=±1时,△AOB 面积有最大值,且最大值为1. 答案:C5.解析:∵(BC →+BA →)·AC →=|AC →|2,∴(BC →+BA →)·AC →-AC →2=0,∴(BC →+BA →-AC →)·AC →=0,∴(BC →+BA →+CA →)·AC →=2BA →·AC →=0,∴BA →⊥AC →.∴∠A =90°,∴△ABC 为直角三角形.答案:C二、填空题:本大题共3小题,每小题8分,共24分.6.解析:由已知得b =(1,k)-a =(-1,k -1),又a ⊥b ,∴a·b =0,∴-2+k -1=0,k =3.答案:37.解析:∵|2a -b|2=4,∴4a 2-4a·b +b 2=4,∴4a·b =1,即a·b =14. ∴(a +b)2=a 2+b 2+2a·b =2+12=52, ∴|a +b|=102. ∴cos θ=a·(a +b )|a|·|a +b|=1+14102=104. 答案:1048.解析:∵a·b =a·c ,∴a·(b -c)=0,如图,∠CBD =π2, ∴|AB →|=|AC →|,同理|AB →|=|BC →|,|BC →|=|AC →|.∴△ABC 为正三角形.答案:正三角形三、解答题:本大题共2小题,共36分.9.(本小题满分18分,(1)小问8分,(2)小问10分)解:(1)∵a =(1,2),b =(2,-2),∴c =4a +b =(4,8)+(2,-2)=(6,6).∴b·c =2×6-2×6=0,∴(b·c)·a =0·a =0.(2)a +λb =(1,2)+λ(2,-2)=(2λ+1,2-2λ),由于a +λb 与a 垂直,∴2λ+1+2(2-2λ)=0,∴λ=52. (3)设向量a 与b 的夹角为θ,向量a 在b 方向上的投影为|a|cosθ. ∴|a|cosθ=a·b |b|=1×2+2×(-2)22+(-2)2=-222=-22.10.(本小题满分18分,(1)小问8分,(2)小问10分)解:(1)∵m ∥p ,∴3sinx -23cosx =0.∴tanx =2.∴sinx·cosx =sinxcosx sin 2x +cos 2x =tanx tan 2x +1=25. (2)f(x)=m·n =3sinxcosx +cos 2x =32sin2x +12cos2x +12=sin(2x +π6)+12. ∵b 2=ac ,∴cosB =a 2+c 2-b 22ac ≥2ac -ac 2ac =12. ∴0<B ≤π3, ∴M ={θ|0<θ≤π3}. ∵x ∈M ,∴π6<2x +π6≤5π6. ∴1≤f(x)≤32,即f(x)的值域为[1,32].。
《平面向量》一轮复习(文科)教学设计一.考纲要求平面向量是高中数学的新增内容是高考命题的基本素材和主要背景之一,也是近几年高考的热点。
向量有着极其丰富的实际背景,是近代数学中重要和基本的概念之一。
向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,它同时具有代数的运算性和几何的直观性,是数形结合的典范。
向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用,能与中学数学教学内容的许多主干知识综合,形成知识交汇。
(一)、2016考试说明及解读(二)近三年全国卷部分考题展示:平面向量与解三角形交汇的题目3个选择题和7个填空题,其中有3道题是平面向量与解三角形的交汇(四)考情分析1.考查题型主要是以选择、填空为主,分值为10分左右,基本属容易题,也可以为中档的解答题.2.考查内容主要是平面向量的共线与垂直的充要条件,平面向量的线性运算和数量积运算,平面向量的应用等.(五)高考预测1.预计本章在今后的高考中,还将以向量的线性运算、向量的夹角、模、数量积为命题热点,将更加注重向量与其他知识的交汇,以考查基础知识、基本技能为主.2.题型主要以选择、填空为主,因此训练题的难度多数应该控制在中档即可,要适当增加以向量为载体考查平面几何,三角函数,解析几何,数列,不等式等问题的综合训练.3.对于能力型高考题的准备,向量具有基础知识的特点,是一种工具性和方法性知识,更要立足基本知识,基本方法,基本技能。
二.复习目标1、通过平面向量的线性运算和数量积运算,强化对平面向量基本概念的理解及提高向量运算求解能力。
2、通过向量与其它知识交汇的题型,体会向量的工具性作用。
特别是要关注向量与三角函数、解三角形、解析几何的结合。
3、关注数学思想方法在本章中的渗透:思想方法:数形结合的思想、类比的思想、分类讨论的思想、化归的思想、函数与方程的思想等。
解题方法:基向量法、坐标法、待定系数法、几何作图法、函数法等。
三.专题知识体系构建的方法与总体构思(复习计划)(一)进度安排本专题共有四讲内容:第一讲平面向量的概念及其线性运算第二讲平面向量基本定理及坐标表示第三讲平面向量的数量积第四讲平面向量应用举例前三讲每讲3课时,第四讲4课时,包括作业评讲,测试及评讲,共需两周时间。
专题5.1 平面向量的概念及线性运算真题回放1.【2017年高考新课标Ⅱ卷文4题】设非零向量a ,b 满足+=-b b a a 则 ( ) A.a ⊥b B. =b a C. a ∥b D. >b a 【答案】A2.【2016年高考山东理8题】已知非零向量m ,n 满足4|m |=3|n |,cos ,m n =13.若n ⊥(t m +n ),则实数t 的值为 (A )4 (B )–4(C )94(D )–94【答案】B【考点】平面向量的数量积【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题,关键在于能从n ⊥(t m +n )出发,转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好地考查考生转化与化归思想、基本运算能力等.3.【2016年高考北京理4题】设,a b 是向量,则“||||=a b ”是“||||+=-a b a b ”的 (A ) 充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件(C ) 充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件 【答案】D【考点】充要条件,向量运算【名师点睛】由向量数量积的定义||||cos θ⋅=⋅⋅a b a b (θ为a ,b 的夹角)可知,数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一,再考虑到数量积还可以用坐标表示,因此又可以借助坐标进行运算.当然,无论怎样变化,其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近几年高考中出现的频率很高,应熟练掌握其解法. 考点分析融会贯通题型一 平面向量的概念典例1 (2016-2017年河北武邑中学高二文周考)点C 在线段AB上,且,则ACuuu r 等于( )【答案】D【解析】因为点C 在线段AB 上,所以AC uuu r 等于 D.考点:向量的相等. 解题技巧与方法总结平面向量的概念问题需要牢牢抓住平行向量(共线向量)、相等向量、相反向量的概念及特征,需要注意平行向量可以包含两个向量重合的情况,这点需要与直线平行加以区别【变式训练1】(2016-2017学年河北武邑中学高一上学期月考)下列说法正确的是( ) A .零向量没有方向 B .单位向量都相等 C .任何向量的模都是正实数 D .共线向量又叫平行向量 【答案】D考点:向量的概念.【变式训练2】设a r是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是( )A .a r 与λa r的方向相反 B .a r 与2λa r 的方向相同 C .|-λa r |≥| a r|D .|-λa r |≥| λ|·a r【答案】B【解析】对于A ,当λ>0时,a r 与λa r 的方向相同,当λ<0时,a r 与λa r的方向相反,B 正确;对于C ,|-λa r |=|-λ|| a r |,由于|-λ|的大小不确定,故|-λa r |与| a r|的大小关系不确定;对于D ,|λ| a r 是向量,而|-λa r|表示长度,两者不能比较大小.【变式训练3】(2015-2016学年江西上饶铅山县一中高一下学期期中)下列关系式正确的是 ( )A. 0AB BA +=uu u r uu r rB. a b ⋅r r是一个向量 C. AB AC BC -=uu u r uuu r uu u r D. 00AB ⋅=uu u r r【答案】D 【解析】试题分析:A 相反向量的和为零向量,所以A 不正确;B 两向量的数量积是一个实数,所以B 不正确;C 根据向量的减法的三角形法则,得CB AC =-AB ,故C 不正确;D 零与任何向量的数量积等等于零向量,故D 正确.考点:平面向量的线性运算;向量的数量积的定义及其性质.1.向量:既有大小又有方向的量叫作向量.向量的大小叫向量的长度(或模).2.几个特殊的向量(1)零向量:长度为零的向量,记作0,其方向是任意的. (2)单位向量:长度等于1个单位长度的向量.(3)平行向量:方向相同或相反的非零向量,平行向量又称为共线向量,规定0与任一向量共线.(4)相等向量:长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量:长度相等且方向相反的向量.典例2 (青海省平安县第一高级中学2015~2016课后练习)设向量,a b rr 不平行,向量a b λ+r r 与2a b +r r平行,则实数λ=___________【答案】12考点:向量平行的条件 解题技巧与方法总结(1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.(2)向量,a b r r共线是指存在不全为零的实数12,λλ,使120a b λλ+=r r r 成立;若120a b λλ+=r r r ,当且仅当12λλ==0时成立,则向量,a b r r不共线.【变式训练1】(青海省平安县第一高级中学2015~2016课后练习)已知向量i r 与j r不共线,且,,1AB i m j AD ni j m =+=+≠u u u r r r u u u r r r,若,,A B D 三点共线,则实数,m n 满足的条件是( )A. 1m n +=B. 1m n +=-C. 1mn =D. 1mn =-【解析】法一:Q ,,1AB i m j AD ni j m =+=+≠u u u r r r u u u r r r,若,,A B D 三点共线且,,A B D 三点共线所以存在非零实数λ,使AB AD λ=uu u r uuu r即()i m j ni j λ+=+r r r rQ i r 与j r不共线所以1n m λλ=⎧⎨=⎩1n m λλ⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩∴1mn =法二:由题可得, AB CD uu u r uu u rP∴AB AD λ=uu u r uuu r∴11m n = ∴1mn =考点:向量共线定理【变式训练2】已知(1,0),(2,1)a b ==r r(1) 当k 为何值时,ka b -r r 与2a b +r r共线?(2) 若23AB a b =+uu u r r r ,BC a mb =+uu u r r r,且,,A B C 三点共线,求m 的值【答案】1-232(2)Q ,,A B C 三点共线AB BC ∴u u u r u u u rP故存在实数λ,使得AB BC λ=uu u r uu u r()23a b a mb λ+=+r r r r∴2λ=,32m =考点:向量的运算法则、共线定理 知识链接:平行向量:方向相同或相反的非零向量,平行向量又称为共线向量,规定0与任一向量共线. 两个向量共线定理:向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ,使得b =λa . 题型二 向量的线性运算 命题点1 简单的向量线性运算典例 (吉林省吉林大学附属中学2017届高三第五次摸底考试数学(理))在梯形ABCD 中,3AB DC =uu u r uuu r ,则BC uu u r等于( )【答案】D解题技巧与方法总结(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量,并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧: ①观察各向量的位置; ②寻找相应的三角形或多边形; ③运用法则找关系;④化简结果.【变式训练1】(河南省商丘市九校2016-2017学年高一下学期期中)如图12,e e u r u r为互相垂直的单位向量,向量a b c ++r r r可表示为( )A. 1223e e +u r u rB. 1232e e +u r u rC. 1232e e -u r u rD. 1233e e --u r u r【答案】B【解析】 1212122,2,2a e e b e e c e e =+=-=+u r u r u r u r u r u r r r r ,故 1232a b c e e ++=+u r u rr r r .知识链接:平面向量的基本定理如果12,e e u r u r是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量,有且只有一对实数21,λλ使:1122a e e λλ=+r u r u r 其中不共线的向量12,e e u r u r叫做表示这一平面内所有向量的一组基底【变式训练2】(北京市东城区2017届高三5月综合练习(二模)数学理)设,a b rr 是非零向量,则“,a b rr 共线”是“ )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B命题点2 向量线性运算运用典例 (山东省淄博市临淄中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学(理)试题)如图在空间四边形 OABC 中,点M 在OA 上,且 2OM MA = , N 为BC 中点,则MN uuu r等于( )A.121232OA OB OC -+uu ruu u r uuu r B.211322OA OB OC -++uu r uuu r uuu r C.111222OA OB OC +-uu ruu u r uuu r D.221332OA OB OC+-uu ruu u r uuu r【答案】B【名师点睛】进行向量的运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中,选用从同一点出发的基本量或首尾相接的向量,运用向量的加减运算及数乘来求解,充分利用相等的向量,相反的向量和线段的比例关系,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来解决 【变式训练1】如图所示,已知AB 是圆O 的直径,点C ,D 是半圆弧的两个三等分点,AB →=a ,AC →=b ,则AD →=( )A .a -12b B.12a -bC .a +12b D.12a +b【答案】D【解析】连接CD ,由点C ,D 是半圆弧的三等分点,得CD ∥AB 且CD →=12AB →=12a ,所以AD →=AC →+CD →=b +12a .【变式训练2】如图所示,设P 、Q 为△ABC 内的两点,且=+,=+,则△ABP与△ABQ 的面积之比为 .【答案】知识链接:1.向量加法:求两个向量和的运算叫做向量的加法,例AB BC AC +=uu u r uu u r uuu r(1)0+0a a a =+=r r r r r;(2)向量加法满足交换律与结合律;2.向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”:(1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量(2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法则. 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:AB BC CD PQ QR AR +++++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rL ,但这时必须“首尾相连”. 3.向量的减法 :向量a r 加上b r 的相反向量叫做a r 与b r的差,记作:()a b a b -=+-r r r r 求两个向量差的运算,叫做向量的减法4.作图法:a b -r r 可以表示为从b r 的终点指向a r 的终点的向量(a r 、b r有共同起点)命题点3 向量线性运算求参数值或取值范围典例 1(黑龙江省齐齐哈尔市第一中学校2016-2017学年高一3月月考数学(理)试题)已知在ABC ∆中,点在边上,且2,CD DB CD r AB sAC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,则的值为( ) A. 0 B. D. 3- 【答案】A【解析】分析试题由已知可得:()22223333CD CB AB AC AB AC ==-=-uu u r uu r uu u r uuu r uuu r uuu r ,所以=点睛:向量的线性运算,注意理解加法的三角形法则和平行四边形法则以及减法法则的运用. 【变式训练1】(2013·江苏卷)设D ,E 分别是△ABC 的边AB ,BC 上的点,AD =12AB ,BE =23BC.若DE →=λ1AB →+λ2AC →(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.【答案】12【变式训练2】在△ABC 中,M 为边BC 上任意一点,N 为AM 的中点,AN →=λAB →+μAC →,则λ+μ的值为 ( )A. 12B. 13C. 14D .1【答案】A【解析】∵M 为BC 上任意一点,∴可设AM →=x AB →+y AC →(x +y =1).∵N 为AM 的中点,∴AN →=12AM →=12x AB →+12y AC →=λ AB →+μ AC →,∴λ+μ=12(x +y )=12.知识链接:三点共线的性质定理:(1)若平面上三点A 、B 、C 共线,则AB →=λBC →.(2)若平面上三点A 、B 、C 共线,O 为不同于A 、B 、C 的任意一点,则OC →=λOA →+μOB →,且λ+μ=1.典例2【2014届广东省东莞市高三第二次模拟考试】如图所示,A 、B 、C 是圆O 上的三点,CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ,若OC =uuu r xOA yOB +uu r uu u r,则 ( )A.01x y <+<B.1x y +>C.1x y +<-D.10x y -<+<【答案】C【变式训练】(2014北京东城高三期末)在直角梯形ABCD 中,90,30,2,A B A BB C ∠=︒∠=︒==,点E 在线段CD 上,若AE AD AB μ=+uu u r uuu r uu u r,则实数μ的取值范围是 .【答案】102⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 【解析】由题意可求得1,AD CD ==2AB DC =uu u r uuu r.因为点E 在线段CD 上,所以DE DC λ=uuu r uuu r(01λ≤≤).因为AE AD DE =+uu u r uuu r uuu r ,又AE AD AB μ=+uu u r uuu r uu u r =2AD DC μ+u u u r u u u r =2AD DE μλ+uuur uuu r ,所以2μλ=1,即μ=2λ.因为0≤λ≤1,所以0≤μ≤12.知识交汇例1 如图,经过△OAB 的重心G 的直线与OA ,OB 分别交于点P ,Q ,设OP →=mOA →,OQ →=nOB →,m ,n ∈R ,则1n +1m的值为________.【答案】3【交汇技巧】本题将向量的共线定理与三角形重心的性质进行结合,三角形重心是三条边中线的交点,另外本题还结合了方程思想,通过消去λ得到m ,n 之间的关系例2 已知点O 为△ABC 外接圆的圆心,且0OA OB CO ++=uu r uu u r uu u r r,则△ABC 的内角A 等于( )A .30°B .60°C .90°D .120°【答案】A【解析】 由0OA OB CO ++=uu r uu u r uu u r r 得OA OB OC +=uu r uu u r uuu r,由O 为△ABC 外接圆的圆心,结合向量加法的几何意义知四边形OACB 为菱形,且∠CAO =60°,故A =30°.【交汇技巧】三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,到三个顶点距离相等,结合0OA OB CO ++=uu r uu u r uu u r r可得四边形OACB 为平行四边形的条件,得出四边形OACB 为菱形,从而求出角A 的大小 练习检测1.【山东省淄博实验中学2015届高三第一学期第一次诊断考试试题,文10】在ABC ∆中,点,M N 分别是,AB AC 上,且32,5AM MB AN AC ==uuu r uuu r uuu r uuu r,线段CM 与BM 相交于点P ,且,AB a AC b ==u u u r r u u u r r,则AP uu u r 用a r 和b r 表示为( )A .4193AP a b =+uu u r r rB .4293AP a b =+uu u r r rC . 2493AP a b =+uu u r r rD .4377AP a b =+uu u r r r【答案】A2.(江西省南昌市重点学校2016-2017学年高一4月检测)已知ABC ∆的边BC 上有一点D 满足3BD DC =uu u r uuu r ,则AD uuu r可表示为( )A. 23AD AB AC =-+uuu r uu u r uuu rB.【答案】C【解析】如图所示,3.(2015届北京市156中学高三上学期期中考试理科)如图,向量b a -等于( )(A )2124e e -- (B )2142e e --(C )213e e - (D )213e e - 【答案】C点评:12,e e u r u r 是两个单位向量,从图上将,a b r r用单位向量表示出来4.已知点O ,A ,B 不在同一条直线上,点P 为该平面上一点,且2OP →=2OA →+BA →,则 ( )A .点P 在线段AB 上B .点P 在线段AB 的反向延长线上C .点P 在线段AB 的延长线上D .点P 不在直线AB 上 【答案】B【解析】因为2OP →=2OA →+BA →,所以2AP →=BA →,所以点P 在线段AB 的反向延长线上,故选B. 5.(2016-2017学年天津市静海县第一中学高二上学期期末五校联考理)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,M 为11A C 的中点,若1,,AB a BC b AA c ===uu u r r uu u r r uuu r r,则BM uuu r 可表示为( )A. 1122a b c -++r r rB. 1122a b c ++r r rC. 1122a b c --+r r rD. 1122a b c -+r r r【答案】A【解析】()111222BN BA BC a b =+=-+uuu r uu r uu u r r r Q1122BM BN NM a b c ∴=+=-++uuu r uuu r uuur r r r,故本题正确答案为A6.(江西省赣州市十四县(市)2017届高三下学期期中联考(理))如图,平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O ,点E , F 分别在边AB , AD 上,直线EF 交AC 于点K , AK AO λ=uuu r,则λ等于( )【答案】C7.在△ABC 中,E ,F 分别为AC ,AB 的中点,BE 与CF 相交于G 点,设AB →=a ,AC →=b ,试用a ,b 表示AG →.8.设点O 在ABC V 内部,且有40OA OB OC ++=uu r uu u r uuu r r,求△ABC 的面积与△OBC 的面积之比.【答案】S △ABC ∶S △OBC =3∶2.【解析】取BC 的中点D,连接OD,则+=2,4++=0,∴4=-(+)=-2,∴=-.∴O 、A 、D 三点共线,且||=2||,∴O 是中线AD 上靠近A 点的一个三等分点, ∴S △ABC ∶S △OBC =3∶2.9.在任意四边形ABCD 中,E 是AD 的中点,F 是BC 中点,求证:()1=+2EF AB DC uu u r uu u r uuu r法二:连接EB EC uu r uu u r , 则=+EC ED DC uu u r uu u r uuu r()()11==+++=22EF EC EB ED DC EA AB +uu u r uu u r uu r uu u r uuu r uu r uu u r ()1+2AB DC uuu r uuu r。
专题09 平面向量【2017年高考题】1.【2017北京,文7】设m , n 为非零向量,则“存在负数λ,使得m =λn ”是“m ·n <0”的(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充分必要条件(D )既不充分也不必要条件【答案】A【考点】1.向量;2.充分必要条件.【名师点睛】判断充分必要条件的的方法:1.根据定义,若,p q q p ⇒≠>,那么p 是的充分不必要 ,同时是p 的必要不充分条件,若p q ⇔,那互为充要条件,若p q <≠>,那就是既不充分也不必要条件,2.当命题是以集合形式给出时,那就看包含关系,若:,:p x A q x B ∈∈,若A B ≠⊂,那么p 是的充分必要条件,同时是p 的必要不充分条件,若A B =,互为充要条件,若没有包含关系,就是既不充分也不必要条件,3.命题的等价性,根据互为逆否命题的两个命题等价,将p 是条件的判断,转化为q ⌝是p ⌝条件的判断.2.【2017课标II ,文4】设非零向量a ,b 满足+=-b b a a 则 A.a ⊥b B. =b a C. a ∥b D. >b a 【答案】A【解析】由||||a b a b +=-平方得2222()2()()2()a ab b a ab b ++=-+,即0ab =,则a b ⊥,故选A.【考点】向量数量积 【名师点睛】(1)向量平行:1221//a b x y x y ⇒=,//,0,a b b a b λλ≠⇒∃∈=R ,111BA AC OA OB OC λλλλ=⇔=+++ (2)向量垂直:121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=,(3)向量加减乘: 221212(,),||,||||cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅<>3.【2017浙江,10】如图,已知平面四边形ABCD ,AB ⊥BC ,AB =BC =AD =2,CD =3,AC 与BD 交于点O ,记1·I OAOB=,2·I OB OC =,3·I OC OD =,则A .321I I I <<B .231I I I <<C .213I I I <<D .312I I I <<【答案】C【考点】 平面向量数量积运算【名师点睛】平面向量的计算问题,往往有两种形式,一是利用数量积的定义式,二是利用数量积的坐标运算公式,涉及几何图形的问题,先建立适当的平面直角坐标系,可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件,可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决.列出方程组求解未知数.本题通过所给条件结合数量积运算,易得90AOB COD ∠=∠>,由AB =BC =AD =2,CD =3,可求OC OA <,OD OB <,进而解得213I I I <<.4.【2017山东,文11】已知向量a =(2,6),b =(1,)λ- ,若a ||b ,则λ= . 【答案】3- 【解析】试题分析:由a ||b 可得162 3.λλ-⨯=⇒=- 【考点】向量共线与向量的坐标运算【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b 的充要条件是x 1y 2=x 2y 1”解题比较方便.(2)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地,在求与一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R ),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量.(3)三点共线问题.A ,B ,C 三点共线等价于AB →与AC →共线.5.【2017北京,文12】已知点P 在圆22=1x y +上,点A 的坐标为(-2,0),O 为原点,则AO AP ⋅的最大值为_________. 【答案】6【考点】1.向量数量积;2.向量与平面几何 【名师点睛】本题考查了转化与化归能力,因为AO是确定的,所以根据向量数量积的几何意义若AO AP ⋅最大,即向量AP 在AO 方向上的投影 最大,根据数形结合分析可得当点P 在圆与轴的右侧交点处时最大,根据几何意义直接得到运算结果236⨯=.6.【2017课标3,文13】已知向量(2,3),(3,)a b m =-=,且a b ⊥,则m = . 【答案】2【解析】由题意可得:2330,2m m -⨯+=∴=. 【考点】向量数量积【名师点睛】(1)向量平行:1221//a b x y x y ⇒=,//,0,a b b a b λλ≠⇒∃∈=R ,111BA AC OA OB OC λλλλ=⇔=+++ (2)向量垂直:121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=,(3)向量加减乘: 221212(,),||,||||cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅<>7.【2017浙江,14】已知向量a ,b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________,最大值是_______.【答案】4,【解析】试题分析:设向量,a b的夹角为,由余弦定理有:21a b -=+=212a b +=+=54cos a b a b ++-=+,令θθcos 45cos 45-++=y ,则[]21016,20y =+,据此可得:()()maxmin2025,164a b a ba b a b++-==++-==,即a b a b ++-的最小值是4,最大值是 【考点】平面向量模长运算【名师点睛】本题通过设入向量,a b 的夹角,结合模长公式, 解得5s c o s a b a b ++-=+,再利用三角有界性求出最大、最小值,属中档题,对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求。
平面向量011、已知向量a 和b 满足条件:a b ≠且0≠⋅ 若对于任意实数t ,-≥-,则在a 、b 、a +、b a -这四个向量中,一定具有垂直关系的两个向量是( )(A) a 与b a - (B) b 与b a - (C) a 与b a + (D)b 与b a + 【答案】B【≥22)()(b a b t a -≥-⇒2222222t t +⋅-≥+⋅-⇒0)2(2222≥-⋅+⋅⋅-⋅b b a t b a t b ,此式对任意实数t 恒成立,则 △ =0)2(4)(4222≤-⋅-⋅b b a b b a ⇒0)(2)(422≤+⋅⋅-⋅b b b a b a ⇒0])[(22≤-⋅b b a⇒2b b a =⋅⇒0)(=-⋅b a b ,故选(B)2、非零向量OA u u u r 与OB uuu r,对于任意的,t R ∈OA tOB +u u u r u u u r 的最小值的几何意义为【答案】点A 到直线OB 的距离【 解析】设向量OA u u u r 与OB uuu r的夹角为θ,22222OA tOB OA tOA OB t OB+=+⋅+uu r uu u r uu r uu r uu u r uu u r22222222cos 2()()t OA tOA OB OB t OA OB t OA OBOBθ⋅=-+=-+uu ruu r uu u ruu u r uu r uu u r uu r uu u ruu u r 222222222cos cos ()cos ()sin OA OA OB t OA OA OB t OA OB OBθθθθ=--+=-+uu r uu r uu u r uu r uu r uu u r uu r uu u r uu u r , 所以OA tOB +=uu r uu u r,所以当cos OA t OB θ=uu r uu u r 时,OA tOB+u u u r u u u r有最小值,此时sin OA tOB OA θ+==uu r uu u r uu r,所以OA tOB +u u u r u u u r的最小值的几何意义为点A 到直线OB 的距离。
专题09 平面向量【2017年高考题】1.【2017北京,文7】设m, n为非零向量,则“存在负数,使得m=λn”是“m·n<0”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件【答案】A【考点】1.向量;2.充分必要条件.【名师点睛】判断充分必要条件的的方法:1.根据定义,若p q,q p,那么p是的充分不必要,同时是p的必要不充分条件,若p q,那互为充要条件,若p q,那就是既不充分也不必要条件,2.当命题是以集合形式给出时,那就看包含关系,若p:x A,q:x B,若A B,那么p是的充分必要条件,同时是p的必要不充分条件,若A B,互为充要条件,若没有包含关系,就是既不充分也不必要条件,3.命题的等价性,根据互为逆否命题的两个命题等价,将p是条件的判断,转化为q是p条件的判断.2.【2017课标II,文4】设非零向量a,b满足a+b=a-b则A.a⊥bB. a=bC. a∥bD. a b【答案】A【解析】由|a b||a b|平方得(a)22ab(b)2(a)22ab(b)2,即ab0,则a b,故选A.【考点】向量数量积【名师点睛】a//b x y x y,a//b,b0R,a b,(1)向量平行:122111 BAAC OA OB OC11a b a b0 x xy y 0 ,(2)向量垂直:1 21 2(3)向量加减乘:22a b (x x , y y ),a | a | ,ab | a || b| cos a ,b12123.【2017浙江,10】如图,已知平面四边形 ABCD ,AB ⊥BC ,AB =BC =AD =2,CD =3,AC 与 BD 交于点 O ,记 I =OA OB , 1 · I =OB OC , 2 ·I =OC OD ,则3 ·A . IB .1II23IC .1II32I3II12D . I2II13【答案】C【考点】 平面向量数量积运算【名师点睛】平面向量的计算问题,往往有两种形式,一是利用数量积的定义式,二是利用数 量积的坐标运算公式,涉及几何图形的问题,先建立适当的平面直角坐标系,可起到化繁为简 的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件,可将有关角度问题、线段长问 题及垂直问题转化为向量的数量积来解决.列出方程组求解未知数.本题通过所给条件结合数量积运算,易得AOB COD90,由AB=BC=AD=2,CD=3,可求OA OC,OB OD,进而解得I.3I I1224.【2017山东,文11】已知向量a=(2,6),b=(1,),若a||b,则.【答案】3【解析】试题分析:由a||b可得162 3.【考点】向量共线与向量的坐标运算【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1”解题比较方便.(2)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.→→(3)三点共线问题.A,B,C三点共线等价于AB与AC共线.5.【2017北京,文12】已知点P在圆x2y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则AO AP 的最大值为_________.【答案】6【考点】1.向量数量积;2.向量与平面几何AO 【名师点睛】本题考查了转化与化归能力,因为是确定的,所以根据向量数量积的几何意义若AO AP最大,即向量AP在AO方向上的投影最大,根据数形结合分析可得当点P 在圆与轴的右侧交点处时最大,根据几何意义直接得到运算结果236.6.【2017课标3,文13】已知向量a(2,3),b(3,m),且a b,则m= .【答案】2【解析】由题意可得:233m0,m2.【考点】向量数量积a//b x y x y,a//b,b0R,a b, 【名师点睛】(1)向量平行:122131 BAAC OA OB OC11a b a b0 x xy y 0 ,(2)向量垂直:1 21 2(3)向量加减乘:22a b (x x , y y ),a | a | ,ab | a || b| cos a ,b12127.【2017浙江,14】已知向量 a ,b 满足 a1, b 2,则 a b a b 的最小值是________,最大值是_______. 【答案】4, 2 5 【解析】试 题 分 析 : 设 向 量 a ,b 的 夹 角 为 , 由 余 弦 定 理 有 :a b 1 2212cos54 cos22,a b 1 2 212cos5 4 cos22,则:a ba b 5 4cos 54 cos,令 y54cos 5 4cos,则y 2 10 2 2516 c os 216, 20 ,据此可得:a ba b202 5, a bab16 4maxmin,即 a b a b 的最小值是 4,最大值是 2 5 .【考点】平面向量模长运算【 名 师 点 睛 】 本 题 通 过 设 入 向 量 a ,b 的 夹 角 , 结 合 模 长 公 式 ,解 得a b a b 5 4cos 5 4 cos ,再利用三角有界性求出最大、最小值,属中档题,对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求。
高三一轮复习 4.1平面向量的概念与线性运算(练习卷教师版)一、选择题:1.下列关于向量的叙述不正确的是()A.向量错误!的相反向量是错误!B.模长为1的向量是单位向量,其方向是任意的C.若A,B,C,D四点在同一条直线上,且AB=CD,则错误!=错误!D.若向量a与b满足关系a+b=0,则a与b共线【答案】D【解析】A,B显然正确;对于C,如图,A,B,C,D四点满足条件,但错误!≠错误!,所以C不正确;对于D,由a+b=0,得b=-a,由共线向量定理知,a与b共线,所以D正确。
故选D2.如图所示,向量a-b等于()A.-4e1-2e2B.-2e1-4e2C.e1-3e2D.3e1-e2【答案】C【解析】由题图可得a-b=错误!=e1-3e2。
故选C3.已知错误!=a+2b,错误!=-5a+6b,错误!=7a-2b,则下列一定共线的三点是()A.A,B,C B.A,B,DC.B,C,D D.A,C,D【答案】B【解析】因为错误!=错误!+错误!+错误!=3a+6b=3(a+2b)=3错误!,又错误!,错误!有公共点A,所以A,B,D三点共线.故选B4.如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若错误!=m错误!,错误!=n错误!,则m+n的值为()A.1 B.2 C.3D.4【答案】B【解析】∵O为BC的中点,∴错误!=错误!(错误!+错误!)=错误!(m错误!+n错误!)=错误!错误!+错误!错误!,∵M,O,N三点共线,∴错误!+错误!=1,∴m+n=2. 故选B二、填空题:5.(2016北京模拟)在Rt△ABC中,C=错误!,B=错误!,CA=1,则|2错误!-错误!|=__________。
【答案】2.【解析】作错误!=2错误!,则2错误!-错误!=错误!,由题设可知△ABC′是正三角形,所以|2错误!-错误!|=|错误!|=2.6.设a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与2a-b共线,则λ=________。
突破点3 平面向量提炼1 平面向量共线、垂直的两个充要条件 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则:(1)a ∥b ⇔a =λb (b ≠0)⇔x 1y 2-x 2y 1=0. (2)a ⊥b ⇔a·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0.提炼2 数量积常见的三种应用 已知两个非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则(1)证明向量垂直:a ⊥b ⇔a·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0.(2)求向量的长度:|a |=a·a =x 21+y 21.(3)求向量的夹角:cos 〈a ,b 〉=a·b|a||b|=x 1x 2+y 1y 2x 21+y 21·x 22+y 22. 提炼3 平面向量解题中应熟知的常用结论 (1)A ,B ,C 三点共线的充要条件是存在实数λ,μ,有OA→=λOB →+μOC →,且λ+μ=1.(2)C 是线段AB 中点的充要条件是OC→=12(OA →+OB →).(3)G 是△ABC 的重心的充要条件为GA→+GB →+GC →=0,若△ABC 的三个顶点坐标分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),则△ABC 的重心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+x 2+x 33,y 1+y 2+y 33. (4)P A →·PB →=PB →·PC →=P A →·PC →⇔P 为△ABC 的垂心.(5)非零向量a ,b 垂直的充要条件:a ⊥b ⇔a·b =0⇔|a +b|=|a -b|⇔x 1x 2+y 1y 2=0.(6)向量b 在a 的方向上的投影为|b |cos θ=a·b |a |, 向量a 在b 的方向上的投影为|a |cos θ=a·b|b|.回访1 平面向量的线性运算1.(2015·全国卷Ⅰ)已知点A (0,1),B (3,2),向量AC →=(-4,-3),则向量BC →=( )A .(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4)D.(1,4)A 设C (x ,y ),则AC→=(x ,y -1)=(-4,-3), 所以⎩⎨⎧x =-4,y =-2,从而BC→=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4).故选A.] 2.(2014·全国卷Ⅰ)设D ,E ,F 分别为△ABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点,则EB→+FC →=( ) A.BC → B.12AD → C.AD→ D.12BC →C 如图,EB→+FC →=EC →+CB →+FB →+BC →=EC→+FB →=12(AC →+AB →) =12·2AD →=AD →.]回访2 平面向量的数量积3.(2015·全国卷Ⅱ)向量a =(1,-1),b =(-1,2),则(2a +b )·a =( ) A .-1 B.0 C.1D.2C 法一:∵a =(1,-1),b =(-1,2),∴a 2=2,a ·b =-3, 从而(2a +b )·a =2a 2+a ·b =4-3=1. 法二:∵a =(1,-1),b =(-1,2), ∴2a +b =(2,-2)+(-1,2)=(1,0), 从而(2a +b )·a =(1,0)·(1,-1)=1,故选C.]4.(2016·全国乙卷)设向量a =(x ,x +1),b =(1,2),且a ⊥b ,则x =__________. -23∵a ⊥b ,∴a·b =0,即x +2(x +1)=0,∴x =-23.]5.(2012·全国卷)已知向量a ,b 夹角为45°,且|a |=1,|2a -b |=10,则|b |=________.32 ∵a ,b 的夹角为45°,|a |=1, ∴a ·b =|a |·|b |cos 45°=22|b |, |2a -b |2=4-4×22|b |+|b |2=10,∴|b |=3 2.]回访3 数量积的综合应用6.(2013·全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,c =t a +(1-t )b ,若b ·c =0,则t =________.2 |a |=|b |=1,〈a ,b 〉=60°.∵c =t a +(1-t )b ,∴b ·c =t a ·b +(1-t )b 2=t ×1×1×12+(1-t )×1=t 2+1-t =1-t 2.∵b ·c =0,∴1-t2=0,∴t =2.]热点题型1 平面向量的运算题型分析:该热点是高考的必考点之一,考查方式主要体现在以下两个方面:一是以平面图形为载体考查向量的线性运算;二是以向量的共线与垂直为切入点,考查向量的夹角、模等.(1)(2016·深圳二模)如图3-1,正方形ABCD 中,M 是BC 的中点,若AC→=λAM→+μBD →,则λ+μ=( )图3-1A.43 B.53 C.158D.2(2)(2016·天津高考)已知△ABC 是边长为1的等边三角形,点D ,E 分别是边AB ,BC 的中点,连接DE 并延长到点F ,使得DE =2EF ,则AF →·BC→的值为( ) A .-58 B.18 C.14D.118(1)B (2)B (1)法一:建立平面直角坐标系如图所示,设正方形的边长为2,则A (0,0),B (2,0),C (2,2),M (2,1),D (0,2),所以AC→=(2,2),AM →=(2,1),BD →=(-2,2).由AC→=λAM →+μBD →,得(2,2)=λ(2,1)+μ(-2,2),即(2,2)=(2λ-2μ,λ+2μ),所以⎩⎨⎧2λ-2μ=2,λ+2μ=2,解得⎩⎪⎨⎪⎧λ=43,μ=13,所以λ+μ=53,故选B.法二:因为AC→=λAM →+μBD →=λ(AB →+BM →)+μ(BA →+AD →)=λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →+12AD →+μ(-AB →+AD →)=(λ-μ)AB →+⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ+μAD →,所以⎩⎪⎨⎪⎧λ-μ=1,12λ+μ=1,得⎩⎪⎨⎪⎧λ=43,μ=13,所以λ+μ=53,故选B.(2)如图所示,AF→=AD →+DF →.又D ,E 分别为AB ,BC 的中点,且DE =2EF ,所以AD→=12AB →,DF →=12AC →+14AC →=34AC →,所以AF→=12AB →+34AC →.又BC→=AC →-AB →,则AF →·BC →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →+34AC →·(AC →-AB →) =12AB →·AC →-12AB →2+34AC →2-34AC →·AB →=34AC →2-12AB →2-14AC →·AB →. 又|AB →|=|AC →|=1,∠BAC =60°, 故AF →·BC→=34-12-14×1×1×12=18.故选B.]1.平面向量的线性运算要抓住两条主线:一是基于“形”,通过作出向量,结合图形分析;二是基于“数”,借助坐标运算来实现.2.正确理解并掌握向量的概念及运算,强化“坐标化”的解题意识,注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用.提醒:运算两平面向量的数量积时,务必要注意两向量的方向.变式训练1] (1)已知向量a =(-1,2),b =(3,1),c =(x,4),若(a -b )⊥c ,则c·(a +b )=( )A .(2,12) B.(-2,12) C.14D.10(2)已知e 1,e 2是不共线向量,a =m e 1+2e 2,b =n e 1-e 2,且mn ≠0.若a ∥b ,则mn =__________.【导学号:85952017】(1)C (2)-2 (1)易知a -b =(-4,1),由(a -b )⊥c ,可得(-4)×x +1×4=0,即-4x +4=0,解得x =1,∴c =(1,4).而a +b =(2,3),∴c·(a +b )=1×2+4×3=14.故选C.(2)∵a ∥b ,∴a =λb ,即m e 1+2e 2=λ(n e 1-e 2),则⎩⎨⎧λn =m ,-λ=2,解得m n =-2.]热点题型2 三角与向量的综合问题题型分析:平面向量作为解决问题的工具,具有代数形式和几何形式的“双重型”,高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题,通过向量运算作为题目条件.(名师押题)已知向量a =⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ,34,b =(cos x ,-1).(1)当a ∥b 时,求cos 2x -sin 2x 的值;(2)设函数f (x )=2(a +b )·b ,已知在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若a =3,b =2,sin B =63,求y =f (x )+4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A +π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π3的取值范围. 解] (1)∵a ∥b ,∴34cos x +sin x =0,2分 ∴tan x =-34,4分∴cos 2x -sin 2x =cos 2x -2sin x cos x sin 2x +cos 2x =1-2tan x 1+tan 2x =85.6分(2)f (x )=2(a +b )·b =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4+32,8分 由正弦定理得a sin A =b sin B ,可得sin A =22.9分 ∵b >a ,∴A =π4,10分y =f (x )+4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A +π6=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4-12.11分 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π3,∴2x +π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4,11π12,∴32-1≤y ≤2-12,即y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32-1,2-12.12分平面向量与三角函数问题的综合主要利用向量数量积运算的坐标形式,多与同角三角函数关系、诱导公式以及和角与倍角等公式求值等问题相结合,计算的准确性和三角变换的灵活性是解决此类问题的关键点.变式训练2] 在平面直角坐标系xOy 中,已知向量m =⎝ ⎛⎭⎪⎫22,-22,n =(sin x ,cos x ),x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2. (1)若m ⊥n ,求tan x 的值; (2)若m 与n 的夹角为π3,求x 的值. 解] (1)若m ⊥n ,则m ·n =0.由向量数量积的坐标公式得22sin x -22cos x =0,4分 ∴tan x =1.6分(2)∵m 与n 的夹角为π3,∴m ·n =|m |·|n |cos π3,即22sin x -22cos x =12,8分 ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4=12.10分又∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,∴x -π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4,π4,∴x -π4=π6,即x =5π12.12分。
北京市部分区2017届高三上学期考试数学理试题分类汇编平面向量一、选择、填空题1、(昌平区2017届高三上学期期末)在矩形ABCD 中,2,1AB BC ==,那么AC AB ⋅=______ ;若E 为线段AC 上的动点,则AC BE ⋅的取值范围是___________ .2、(朝阳区2017届高三上学期期末)在Rt ABC ∆中,90A ∠=︒,点D 是边BC 上的动点,且3AB =,4AC =,AD AB AC λμ=+(0,0λμ>>),则当λμ取得最大值时,AD 的值为 A .72 B .3 C .52 D .1253、(朝阳区2017届高三上学期期中)已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1(O 为圆心),且2OA AB AC ++=0, ||2||OA AB =,则CA BC ⋅等于 A .154- B .152- C .154 D .1524、(东城区2017届高三上学期期末)在△ABC 所在平面内一点P ,满足2155AP AB AC =+,延长BP 交AC 于点D ,若AD AC λ=,则λ=_______.5、(丰台区2017届高三上学期期末)如果平面向量(20),=a ,(11),=b ,那么下列结论中正确的是 (A )=a b(B )22⋅=a b (C )()-⊥a b b (D )//a b6、(海淀区2017届高三上学期期末)已知向量,a b 满足2+=0a b ,()2+⋅=a b a ,则⋅=a bA .12- B .12 C .2- D .27、(海淀区2017届高三上学期期中)已知正方形ABCD 边长为1,E 是线段CD 的中点,则AE BD ⋅=____.8、(石景山区2017届高三上学期期末)有以下4个条件:①a b =;②||||a b =;③a 与b 的方向相反;④a 与b 都是单位向量.其中a //b 的充分不必要条件有 .(填正确的序号).9、(通州区2017届高三上学期期末)如图,在正方形ABCD 中,P 为DC 边上的动点,设向量AC DB AP λμ=+,则λμ+的最大值为_______.10、(西城区2017届高三上学期期末)设,a b 是非零向量,且≠±a b .则“||||=a b ”是“()()+⊥-a b a b ”的(A )充分而不必要条件(B )必要而不充分条件 (C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件11、(北京昌平临川育人学校2017届高三上学期期末)已知向量a ,b ,其中|a |=,|b |=2, 且(a ﹣b )⊥a ,则向量a 和b 的夹角是( )A .B .C .D .π12、(北京市2017届高三春季普通高中会考)已知向量a b ,,那么1(24)22a b b -+等于( ) A .2a b - B .4a b - C .a D .b 13、(北京市2017届高三春季普通高中会考)已知向量(3,1)a =-,(1,)b x =,且a b ⊥,那么x 的值是( )A .-3B .3C .13-D .13参考答案1、4; [4,1]2、C3、A4、135、C6、C7、解析:以B 为原点,BC 向右方向为x 轴正方向,BA 向上方向为y 轴正方向,建立直角坐标系,则各点坐标为:A (0,1),B (0,0),D (1,1),E (1,12), 所以,AE BD =(1,-12)(1,1)=12,答案:128、①③ 9、3 10、C 11、A 12、C 13、B。
北京市2017届高三数学文一轮复习专题突破训练
平面向量
一、选择、填空题
1、(2016年北京高考)已知向量=(1,3),(3,1)=a b ,则a 与b 夹角的大小为_________.
2、(2014年北京高考)已知向量()2,4a = ,()1,1b =-
,则2a b -= ( )
(A )()5,7 (B )()5,9 (C )()3,7 (D )()3,9 3、(2016年全国I 卷高考)设向量a =(x ,x +1),b =(1,2),且a ⊥b ,则x = . 4、(2016年全国II 卷高考)已知向量a =(m ,4),b =(3,-2),且a ∥b ,则m =___________. 5、(2016年天津高考)已知△ABC 是边长为1的等边三角形,点E D ,分别是边BC AB ,的中点,
连接DE 并延长到点F ,使得EF DE 2=,则AF BC ∙
的值为( )
(A )85
-
(B )
8
1 (C )
41 (D )811
6、(东城区2016届高三二模)已知向量(cos ,sin )OA ββ=
,将向量OA 绕坐标原点O 逆时针旋
转θ角得到向量OB
(090)θ<< ,则下列说法不正确的是
(A )OA OB OA OB +>- (B )2AB <
(C )OA OB OA OB +=- (D )()()OA OB OA OB +⊥-
7、(丰台区2016届高三一模)已知△ABC 中,AB =4,AC =3,∠CAB=90o
,则BA BC
⋅=__________
8、(海淀区2016届高三二模)已知向量(1,2),=a (2,)t =b , 且0⋅=a b ,则=|b |
A.5
B.22
C.25
D.5
9、(石景山区2016届高三一模)如图所示,已知正方形ABCD 的边长为1,点E 从D 点出发,按
字母顺序D A B C →→→沿线段DA ,AB ,BC 运动到C 点,在此过程中DE CD ⋅
的最大值
是( )
A .0
B .
1
2
C .1
D .1-
10、(西城区2016届高三二模)设平面向量,a b 满足||||2==a b ,()7⋅+=a a b ,则向量,a b 夹角的余弦值为_____.
11、(昌平区2016届高三二模)如图,在正方形ABCD 中, 4,AD =E 为DC 上一点,且
3DE EC =
,则AB AE ⋅=
A .20 B. 16 C. 15 D. 12
E
D C
B
A
12、(朝阳区2016届高三二模)已知向量(1,2)=a ,向量(2,)m =b ,若+a b 与a 垂直,则实数m 的值为 .
13、(丰台区2016届高三上学期期末)已知向量(3,-4)a = ,(,)b x y = ,若a //b
,则 (A )340x y -= (B )340x y += (C )430x y += (D )430x y -=
14、(海淀区2016届高三上学期期末) 如图, 正方形ABCD 中,E 为DC 的中点,若
AE AB AC λμ=+ ,
则λμ+的值为 A.
12 B. 1
2
- C. 1 D.1-
15、(海淀区2016届高三上学期期中)在
中,∠A 60°,|
|2,|
|1,则
的值为
A .
B .-
C .1
D .-1
16、(西城区2016届高三上学期期末)设M 是ABC ∆所在平面内一点,且BM MC = ,则AM =
( )
(A )AB AC - (B )AB AC + (C )1()2AB AC - (D )1()2
AB AC +
17、(石景山区2016届高三上学期期末)已知向量()3,4a →
=-,()m b ,1=→,若()0a a b →→→
⋅-=,则
=m ___________
18、(延庆区2016届高三3月模拟)平面直角坐标系xOy 中,已知向量(1,2)a =
,1(3,1)2
a b -= ,
则a b ⋅=
;
二、解答题
1、已知R ∈x ,设)c o s s i n ,c o s 2(x x x m += ,)cos sin ,sin 3(x x x n -= ,记函数n m x f
⋅=)(.
(1)求函数)(x f 取最小值时x 的取值范围;
(2)设△ABC 的角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若2)(=C f ,3=c ,求△ABC 的面积S 的最大值.
2、已知两个向量()()2221log ,log ,log ,1a x x b x =+=r r
(1)若a b ⊥r r
,求实数x 的值;
(2)求函数1(),,24f x a b x ⎡⎤
=⋅∈⎢⎥⎣⎦
r r 的值域。
3、已知向量)0)(1,(cos ),cos ,sin 3(2>=-=ωωωωx n x x m ,把函数2
1
)(+
⋅=n m x f 化简为B tx A x f ++=)sin()(ϕ的形式后,利用“五点法”画)(x f y =在某一个周期内的图像时,列表并
填入的部分数据如下表所示:
x
12
π
12
7π ①
ϕ
+tx 0
2π
2
3π π2
)(x f
0 1 0
1-
(Ⅰ)请直接写出①处应填的值,并求ω的值及函数)(x f y =在区间]6
,2[π
π-上的值域; (Ⅱ)设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知1)6
2(
=+π
A f ,2=c ,7=a ,求BC BA ⋅.
参考答案
一、选择、填空题 1、30. 2、【答案】A
【解析】因为)8,4(2=a ,所以)7,5()1,1()8,4(2=--=-b a
,故选A.
3、23
-
4、6-
5、B
6、C
7、16
8、A
9、A 10、34
11、D 12、72
-
13、C 14、A 15、C 16、D 17、7 18、0 二、解答题
1、(1)x x x x x x n m x f 2cos 2sin 3cos sin cos sin 32)(22-=-+=⋅=
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=62sin 2πx . ………………………………………………………(3分)
当)(x f 取最小值时,162sin -=⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-
πx ,2262π
ππ-=-k x ,Z ∈k ,……(6分)
所以,所求x 的取值集合是⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈-
=Z k k x x ,6π
π. …………………(7分)
(2)由2)(=C f ,得162sin =⎪⎭
⎫
⎝
⎛-πC , …………………………(1分) 因为π<<C 0,所以6
116
26
π
π
π
<
-
<-C , 所以2
6
2π
π
=
-
C ,3
π
=
C . ……………………………………(3分)
在△ABC 中,由余弦定理C ab b a c cos 22
2
2
-+=, ………………(4分) 得ab ab b a ≥-+=2
2
3,即3≤ab , …………………………(5分) 所以△ABC 的面积4
3
323321sin 21=
⨯⨯≤=
C ab S , ……………(6分) 因此△ABC 的面积S 的最大值为
4
3
3. ……………………(7分) 2、解:(1)()222,1log log log 0a b x x x ⊥∴+⋅+=r r
Q
22log (log 2)0x x ⇒⋅+= 22log 0log 2x x ∴==-或
经检验1
14
x x ==
或为所求的解;………………………………………………4分 (2)由条件知()2
222()log (log 2)log 11f x x x x =⋅+=+-
[]21,2,log 2,14x x ⎡⎤
∈∴∈-⎢⎥⎣⎦
Q
[]()[]2
22log 11,2log 10,4x x ∴+∈-⇒+∈
所以值域为[]1,3-。
………………………………………………………………8分 3、。