简单的线性规划教学设计
一、课题: 简单的线性规划课题
二、姓名：岳伟单位：木头凳高级中学
三、教材在本章节中的地位及作用
1．“简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是《新大纲》中增加的一个新内容，反映了《新大纲》对数学知识应用的重视，体现了数学的工具性、应用性．
2．本节内容渗透了转化、归纳、数形结合数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材.
3．本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力．
四、教学目标
1．知识目标：能把实际问题转化为简单的线性规划问题，并能给出解答．
2．能力目标：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归、数形结合的数学思想，
提高学生“建模”和解决实际问题的能力．
3．情感目标：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创
新．
五、教学重点与难点
1．教学重点：建立线性规划模型
2．教学难点：如何把实际问题转化为简单的线性规划问题，并准确给出解答．
解决重点、难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．为突出重点，突破难点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化．
六、教学方法与手段
1．教学方法
为了激发学生学习的主体意识，面向全体学生，使学生在获取知识的同时，各方面的能力得到进一步的培养．根据本节课的内容特点，本节课采用启发引导、讲练结合的教学方法，着重于培养学生分析、解决实际问题的能力以及良好的学习品质．
2．教学手段
新大纲明确指出：要积极创造条件，采用现代化的教学手段进行教学．根据本节知识本身的抽象性以及作图的复杂性，为突出重点、突破难点，增加教学容量，激发学生的学习兴趣，增强教学的条理性、形象性，本节课采用计算机辅助教学，以直观、生动地揭示二元一次不等式(组)所表示的平面区域以及图形的动态变化情况．
七、学生课前准备
坐标纸、三角板、铅笔和彩色水笔
八、教学过程设计
教学流程图
(一) 创设情境，新课导入(教师活动)通过多媒体创设情境(学生活动) 思考、并根据分析，尝试用坐标纸作图、解答．引例：某班班长赵彬预算使用不超过50元的资金购买单价分别为6元的笔筒和7元的文具盒作为奖品，根据需要，笔筒至少买3个，文具盒至少买2个，问他最多共买多少个笔筒和文具盒？请同学们考虑怎么将这个实际问题转化为数学问题？设计意图：通过创设情境，自然地让学生感受到数学与实际生活息息相关，激发学生的学习热情，明确本节课探究目标，同时又复习了线性规划问题的图解法．(二)例题示范，形成技能(教师活动)电脑打出例题，并作分析．(学生活动)思考、并根据分析，尝试解答．例1 要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型A 规格B 规格
C 规格第一种钢板
211第二种钢板123今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？[分析]本题是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的资源来完成该项任务（审题）引导学生弄清各元素之间的关系，抓住问题的本质.（建模）① 确定变量及目标函数：第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，所用钢板数为z 张，则z =x+y ② 分析约束条件； ③ 建立线性规划模型；设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，由题中表格得?????????≥≥≥+≥+≥+.0,0,
273,182,152y x y x y x y x 试求满足上述约束条件的x, y ，且使目标函数z ＝x+y 取得最小值(其中x, y 均为正整数)．
因此把实际问题转化为线性规划问题.
（求解）④ 运用图解法求出最优解；
问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料
用多媒体教学, 着重分析如何寻找最优解是整数解.
⑤ 回答实际问题的解．
解：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，根据题意可得：
?????????≥≥≥+≥+≥+.
0,0,273,182,152y x y x y x y x z=x+y ，
作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.
作直线l : x+y=0,
把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经
过可行域上的点A ，且与原点距离最近，此时
z=x+y 取最小值.
解方程组215327x y x y +=??
+=?,,
得交点A 的坐标（），由于和都不是整数，所以可行域内的点( )不是最优解.183955,185395183955,将直线l 1向可行域内平移，最先到达的整点为B(3,9)和C(4,8)它们是最优解，此时z 取得最小值12.答：要截得所需规格的三种钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张，两种方法都最少要截得两种钢板共12张.[说明]这种寻找整点最优解的方法可简述为“平移找解法”，即打网格，描整点，平移直线l ，找出整点最优解．此法应充分利用非整点最优解的信息，作图要精确．设计意图：把实际问题转化为线性规划问题是本节课的重难点，而寻找整点最优解则是例1的难点．为此本环节充分利用计算机辅助教学，投影题目及表格，作可行域，动态演示直线的平移过程等，不仅能够增大教学容量，而且能够使数学知识形象化、直观比，诱发学生在感情上参与；同时，多媒体教学通过对学生各种感官的刺激，以一种接近人类认知特点的方式来组织、展示教学内容及构建知识结构，能把课堂结构反映得更集中、典型、精粹，从而大大优化了课堂结构．例2某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t ，需耗A 种矿石10 t 、B 种矿石5 t 、煤4 t ；生产乙种产品1 t 需耗A 种矿石4 t 、B 种矿石4 t 、煤9 t.每1 t 甲种产品的利润是600元，每1 t 乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过300 t 、B 种矿石不超过200 t 、煤不超过360 t ，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t ），能使利润总额达到最大？
[分析] 本题是在资源一定的条件下，怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大．（审题）引导学生弄清各元素之间的关系，抓住问题的本质，整理已知数据列成下表：
产品
消耗量
资源
甲产品（1t ）乙产品（1t ）资源限额（t ）
A 种矿石（t ）
104300B 种矿石（t ）
54200煤（t ）
49360利润（元）6001000(建模)(1)确定变量及目标函数：若设生产甲、乙两种产品分别为x t, y t,
利润总额为z 元，则用x ，y 如何表示z ？
(2)分析约束条件：z 值随甲、乙两种产品的产量x ，y 变化而变化，
但甲、乙两种产品是否可以任意变化呢?它们受到哪些因素的制约?怎样用数学语言表述这些制约因素?
(3)建立线性规划模型：
已知变量x,y 满足约束条件求x, y 取何值时，目标函数z ＝600x +1000y 取得最大
?????????≥≥≤+≤+≤+;
0,0,36094,20045,300410y x y x y x y x 值， （求解）采用图解法求出最优解解：设生产甲、乙两种产品分别为x t 、y t ，利润总额为z 元，根据题意可得：?????????≥≥≤+≤+≤+;0,0,36094,20045,300410y x y x y x y x 目标函数为：z=600x+1000y .作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域.作直线l :600x+1000y=0,即直线l :3x+5y=0,把直线向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z=600x+1000y 取最大值
.解方程组 ???=+=+,36094,20045y x y x 得M 的坐标为x =≈12.336029y=≈34.51000
29答：应生产甲产品约12.3 t ，乙产品约34.5 t ，能使利润总额达到最大
[说明]对于最优解的近似值，要根据实际问题的具体情形取近似值．按四舍五入取值即x =12.4,y =34.5时，虽然z=41940最大，但此时的x,y 不在可行域内．可以验证点（12.4,34.4）和(12.3,34.5)在可行域内，但当x =12.4,y =34.4时，z =41840；当x =12.3,y =34.5时，z =41880，因此按精确度取舍后的最优解点，可以离M 点“较远”，但必须离l 1距离最小．本例要求精确到0.1 t ，只需把坐标平面以0.1 单位网格化，在格点上找到离l 1距离最小的点，就是符合题意的最优解．
设计意图：学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；孤立地考虑单个的问题情境，不能多方联想，形成正迁移．针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，本环节教师侧重于引导学生建立数学模式,其余过程由学生自主解决．用多媒体展示最优解的近似值．
引导学生结合上述两例子总结归纳解决这类问题的方法和步骤：
(三)学生互动巩固提高
(教师活动)电脑打出练习、要求学生独立解答．巡视学生解答情况，纠正错误．
(学生活动)用坐标纸作图、解答．
某人有楼房一幢，室内面积共180m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积为18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大效益?
（答案：隔出大房间3间，小房间8间或者只隔出小房间12间就能获得最大收益．）
（教师用投影展示学生的结论并用多媒体展示正确结论同时点评）
设计意图：巩固、加深对线性规划解决实际问题的理解和应用．
(四)概括提炼，总结升华
(引导学生从知识和思想方法两方面进行总结)
1．本节课你学了哪些知识？
2．本节课渗透了什么数学思想方法？
(五)布置作业，探究延续
1．课本作业：P65，习题7．4第3，5题．
2．选做题：P88，第16题
3．拓展题：通过网络搜索查阅有关线性规划的应用实例
设计意图：强化基本技能训练，巩固课堂内容，发现和弥补教与学中的遗漏和不足，以便及时矫正．
（六）小结：本节课的设计，力图让学生在教师的指导下，从“懂”到“会”到“悟”，体会钻研的意识，品尝成功的喜悦，从而使学生在积极活跃的思维过程中，数学能力和数学素养得到提高．
九、板书设计（略）
十、课后附记
1．本节课是线性规划第三课时的教学内容，它以二元一次不等式(组)所表示的平面区域和线性规划的图解法等知识为基础，体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了转化、归纳、数形结合数学思想.
2．学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模，故本设计把“实际问题抽象转化为线性规划问题”作为本堂课的重难点，并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题的
已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求得最优解作为突破难点的关键．