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第五章 大数定律及中心极限定理1．据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为１００h的指数分布，现随机地取１６只，设它们的寿命是相互独立的．求这１６只元件的寿命的总和大于１９２０h的概率．解以X i（i＝１，２，…，１６）记第i只元件的寿命，以T记１６只元件寿命的总和：T＝钞１６i＝１X i，按题设E（X i）＝１００，D（X i）＝１００２，由中心极限定理知T－１６×１００１６１００２近似地服从N（０，１）分布，故所求概率为P｛T＞１９２０｝＝１－P｛T≤１９２０｝＝１－P T－１６×１００１６１００２≤１９２０－１６×１００１６１００２≈１－Ф１９２０－１６００４００＝１－Ф（０．８）＝１－０畅７８８１＝０畅２１１９．2．（１）一保险公司有１００００个汽车投保人，每个投保人索赔金额的数学期望为２８０美元，标准差为８００美元，求索赔总金额超过２７０００００美元的概率．（２）一公司有５０张签约保险单，各张保险单的索赔金额为X i，i＝１，２，…，５０（以千美元计）服从韦布尔（Weibull）分布，均值E（X i）＝５，方差D（X i）＝６，求５０张保险单索赔的合计金额大于３００的概率（设各保险单索赔金额是相互独立的）．解（１）记第i人的索赔金额为X i，则由已知条件E（X i）＝２８０， D（X i）＝８００２．要计算p１＝P钞１００００i＝１X i＞２７０００００，因各投保人索赔金额是独立的，n＝１００００很大．故由中心极限定理，近似地有X —＝１１００００钞１００００i＝１X i～N２８０，８００２１００２，故 p１＝P（X —＞２７０）≈１－Φ２７０－２８０８＝１－Φ－５４＝Φ５４＝Φ（１畅２５）＝０畅８９４４．（２）E（X i）＝５，D（X i）＝６，n＝５０．故 p＝P钞５０i＝１X i＞３００≈１－Φ３００－５０×５５０×６＝１－Φ５０３００＝１－Φ（２畅８９）＝０畅００１９．这与情况（１）相反．（１）的概率为０畅８９４４表明可能性很大．而（２）表明可能性太小了，大约５００次索赔中出现＞３００的只有一次．3．计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立且在（－０畅５，０畅５）上服从均匀分布．（１）将１５００个数相加，问误差总和的绝对值超过１５的概率是多少？（２）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于１０的概率不小于０畅９０？解设第k个加数的舍入误差为X k（k＝１，２，…，１５００），已知X k在（－０畅５，０畅５）上服从均匀分布，故知E（X k）＝０，D（X k）＝１１２．（１）记X＝钞１５００k＝１X k，由中心极限定理，当n充分大时有近似公式P 钞１５００k＝１X k－１５００×０１５００１１２≤x≈Φ（x）．于是P｛X＞１５｝＝１－P｛X≤１５｝＝１－P｛－１５≤X≤１５｝＝１－P－１５－０１５００１１２≤X－０１５００１１２≤１５－０１５００１１２≈１－Φ１５１５００１１２－Φ－１５１５００１１２＝１－２Φ１５１５００１２－１＝１－［２Φ（１畅３４２）－１］＝２［１－０畅９０９９］＝０畅１８０２．即误差总和的绝对值超过１５的概率近似地为０畅１８０２．（２）设最多有n个数相加，使误差总和Y＝钞n k＝１X k符合要求，即要确定n，使P｛Y＜１０｝≥０畅９０．由中心极限定理，当n充分大时有近似公式P Y－０n１１２≤x≈Φ（x）．811概率论与数理统计习题全解指南于是 P ｛Y ＜１０｝＝P ｛－１０＜Y ＜１０｝＝P －１０n １１２＜Yn １１２＜１０n １１２≈Φ１０n １２－Φ－１０n １２＝２Φ１０n １２－１．因而n 需满足 ２Φ１０n ／１２－１≥０．９０，亦即n 需满足 Φ１０n ／１２≥０畅９５＝Φ（１畅６４５），即n 应满足 １０n ／１２≥１畅６４５，由此得 n ≤４４３畅４５．因n 为正整数，因而所求的n 为４４３．故最多只能有４４３个数加在一起，才能使得误差总和的绝对值小于１０的概率不小于０畅９０．4．设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为０畅５kg ，均方差为０畅１kg ，问５０００个零件的总重量超过２５１０kg 的概率是多少？解以X i （i ＝１，２，…，５０００）记第i 个零件的重量，以W 记５０００个零件的总重量：W ＝钞５０００i ＝１X i ．按题设E （X i ）＝０．５，D （X i ）＝０畅１２，由中心极限定理，可知W －５０００×０畅５５０００×０畅１近似地服从N （０，１）分布，故所求概率为P ｛W ＞２５１０｝＝１－P ｛W ≤２５１０｝＝１－P W －５０００×０畅５５０００×０畅１≤２５１０－５０００×０畅５５０００×０畅１≈１－Ф２５１０－５０００×０畅５５０００×０畅１＝１－Ф（２）＝１－０畅９２１３＝０畅０７８７畅5．有一批建筑房屋用的木柱，其中８０％的长度不小于３m ，现从这批木柱中随机地取１００根，求其中至少有３０根短于３m 的概率．解按题意，可认为１００根木柱是从为数甚多的木柱中抽取得到的，因而可当作放回抽样来看待．将检查一根木柱看它是否短于３m 看成是一次试验，检查１００根木柱相当于做１００重伯努利试验．以X 记被抽取的１００根木柱中长度短于３m 的根数，则X ～b （１００，０畅２）．于是由教材第五章§２定理三得P ｛X ≥３０｝＝P ｛３０≤X ＜∞｝911第五章 大数定律及中心极限定理＝P３０－１００×０畅２１００×０畅２×０畅８≤X －１００×０畅２１００×０畅２×０畅８＜∞－１００×０畅２１００×０畅２×０畅８≈Φ（∞）－Φ３０－２０１６＝１－Φ（２畅５）＝１－０畅９９３８＝０畅００６２畅本题也可以这样做，引入随机变量：X k ＝１， 若第k 根木柱短于３m ，０， 若第k 根木柱不短于３m ， k ＝１，２，…，１００畅于是E （X k ）＝０．２，D （X k ）＝０畅２×０畅８．以X 表示１００根木柱中短于３m 的根数，则X ＝钞１００k ＝１X k ．由中心极限定理有P ｛X ≥３０｝＝P ｛３０≤X ＜∞｝＝P ３０－１００×０畅２１０００畅２×０畅８≤钞１００k ＝１X k －１００×０畅２１０００畅２×０畅８ ＜∞－１００×０畅２１０００畅２×０畅８≈Φ（∞）－Ф３０－２０１６＝１－Φ（２畅５）＝０畅００６２畅6．一工人修理一台机器需两个阶段，第一阶段所需时间（小时）服从均值为０．２的指数分布，第二阶段服从均值为０畅３的指数分布，且与第一阶段独立．现有２０台机器需要修理，求他在８小时内完成的概率．解设修理第i （i ＝１，２，…，２０）台机器，第一阶段耗时X i ，第二阶段为Y i ，则共耗时Z i ＝X i ＋Y i ，今已知E （X i ）＝０畅２，E （Y i ）＝０畅３，故E （Z i ）＝０畅５．D （Z i ）＝D （X i ）＋D （Y i ）＝０畅２２＋０畅３２＝０畅１３畅２０台机器需要修理的时间可认为近似服从正态分布，即有钞２０i ＝１Z i ～N （２０×０畅５，２０×０畅１３）＝N （１０，２畅６）．所求概率 p ＝P钞２０i ＝１Z i ≤８≈Φ８－２０×０畅５２０×０畅１３＝Φ－２１畅６１２５＝Φ（－１畅２４）＝０畅１０７５，即不大可能在８小时内完成全部工作．7．一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取１元、１畅２元、１畅５元各个值的概率分别为０畅３、０畅２、０畅５畅若售出３００只蛋糕．21概率论与数理统计习题全解指南（１）求收入至少４００元的概率；（２）求售出价格为１畅２元的蛋糕多于６０只的概率．解设第i 只蛋糕的价格为X i ，i ＝１，２，…，３００，则X i 有分布律为X i １１畅２１畅５p k０畅３０畅２０畅５由此得E （X i ）＝１×０畅３＋１畅２×０畅２＋１畅５×０畅５＝１畅２９，E （X ２i ）＝１２×０畅３＋１畅２２×０畅２＋１畅５２×０畅５＝１畅７１３，故D （X i ）＝E （X ２i ）－［E （X i ）］２＝０畅０４８９畅（１）以X 表示这天的总收入，则X ＝钞３００i ＝１X i ，由中心极限定理得P ｛X ≥４００｝＝P ｛４００≤X ＜∞｝＝P ４００－３００×１畅２９３０００畅０４８９≤钞３００i ＝１X i －３００×１畅２９３０００畅０４８９ ＜∞－３００×１畅２９３０００畅０４８９≈１－Φ（３畅３９）＝１－０畅９９９７＝０畅０００３．（２）以Y 记３００只蛋糕中售价为１畅２元的蛋糕的只数，于是Y ～b （３００，０畅２）．E （Y ）＝３００×０畅２，D （Y ）＝３００×０畅２×０畅８，由棣莫弗拉普拉斯定理得P ｛Y ＞６０｝＝１－P ｛Y ≤６０｝＝１－P Y －３００×０畅２３００×０畅２×０畅８≤６０－３００×０畅２３００×０畅２×０畅８≈１－Φ６０－３００×０畅２３００×０畅２×０畅８＝１－Φ（０）＝０畅５．8．一复杂的系统由１００个相互独立起作用的部件所组成，在整个运行期间每个部件损坏的概率为０畅１０．为了使整个系统起作用，至少必须有８５个部件正常工作，求整个系统起作用的概率．解将观察一个部件是否正常工作看成是一次试验，由于各部件是否正常工作是相互独立的，因而观察１００个部件是否正常工作是做１００重伯努利试验，以X 表示１００个部件中正常工作的部件数，则X ～b （１００，０畅９），按题意需求概率P ｛X ≥８５｝，由棣莫弗拉普拉斯定理知X －１００×０畅９１００×０畅９×０畅１近似地服从标准正态分布N （０，１），故所求概率为121第五章 大数定律及中心极限定理P ｛X ≥８５｝＝P ｛８５≤X ＜∞｝＝P ８５－１００×０畅９１００×０畅９×０畅１≤X －１００×０畅９１００×０畅９×０畅１≤∞－１００×０畅９１００×０畅９×０畅１≈１－Ф－５３＝０畅９５２５．9．已知在某十字路口，一周事故发生数的数学期望为２畅２，标准差为１畅４．（１）以X —表示一年（以５２周计）此十字路口事故发生数的算术平均，试用中心极限定理求X —的近似分布，并求P ｛X —＜２｝．（２）求一年事故发生数小于１００的概率．解 （１）E （X —）＝E （X ）＝２畅２，D （X —）＝D （X ）５２＝１畅４２５２，由中心极限定理，可认为X —～N （２畅２，１畅４２／５２）．P ｛X —＜２｝＝Φ２－２畅２１畅４／５２＝Φ－０畅２×５２１畅４＝Φ（－１畅０３０）＝１－Φ（１畅０３０）＝１－０畅８４８５＝０畅１５１５．（２）一年５２周，设各周事故发生数为X １，X ２，…，X ５２．则需计算p ＝P钞５２i ＝１X i ＜１００，即P ｛５２X —＜１００｝．用中心极限定理可知所求概率为 p ＝P ｛５２X —＜１００｝＝P ｛X —＜１００５２｝≈Φ１００５２－２畅２５２１畅４＝Φ（－１畅４２６）＝１－０畅９２３０＝０畅０７７０．10．某种小汽车氧化氮的排放量的数学期望为０．９g ／km ，标准差为１畅９g ／km ，某汽车公司有这种小汽车１００辆，以X —表示这些车辆氧化氮排放量的算术平均，问当L 为何值时X —＞L 的概率不超过０畅０１．解 设以X i （i ＝１，２，…，１００）表示第i 辆小汽车氧化氮的排放量，则X —＝１１００钞１００i ＝１X i ．由已知条件E （X i ）＝０畅９，D （X i ）＝１畅９２得E （X —）＝０畅９， D （X —）＝１畅９２１００．各辆汽车氧化氮的排放量相互独立，故可认为近似地有221概率论与数理统计习题全解指南X —～N ０畅９，１畅９２１００．需要计算的是满足P ｛X —＞L ｝≤０畅０１的最小值L ．由中心极限定理P ｛X —＞L ｝＝PX —－０畅９０畅１９＞L －０畅９０畅１９≤０畅０１畅L 应为满足１－ΦL －０畅９０畅１９≤０畅０１的最小值，即ΦL －０畅９０畅１９≥０畅９９＝Φ（２畅３３），即L －０畅９０畅１９≥２畅３３，故L ≥０畅９＋０畅１９×２畅３３＝１畅３４２７，应取L ＝１畅３４２７g ／km 畅11．随机地选取两组学生，每组８０人，分别在两个实验室里测量某种化合物的p H ．各人测量的结果是随机变量，它们相互独立，服从同一分布，数学期望为５，方差为０畅３，以X —，Y —分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均．（１）求P ｛４畅９＜X —＜５畅１｝．（２）求P ｛－０畅１＜X —－Y —＜０畅１｝．解由题设E （X —）＝５，D （X —）＝D （Y —）＝０畅３８０．（１）由中心极限定理知X —近似服从N （５，０畅３８０），故P ｛４畅９＜X —＜５畅１｝＝P ４畅９－５０畅３８０＜X —－５０畅３８０＜５畅１－５０畅３８０≈Φ５畅１－５０畅３８０－Φ４畅９－５０畅３８０＝２Φ（１畅６３）－１＝２×０畅９４８４－１＝０畅８９６８．（２）因E （X —－Y —）＝E （X —）－E （Y —）＝０，D （X —－Y —）＝D （X —）＋D （Y —）＝０畅３４０，由中心极限定理P ｛－０畅１＜X —－Y —＜０畅１｝ 321第五章 大数定律及中心极限定理＝P－０畅１－００畅３４０＜（X —－Y —）－００畅３４０＜０畅１－００畅３４０≈Φ０畅１－００畅３４０－Φ－０畅１－００畅３４０＝２Φ（１畅１５）－１＝２×０畅８７４９－１＝０畅７４９８．12．一公寓有２００户住户，一户住户拥有汽车辆数X 的分布律为X ０１２p k０畅１０畅６０畅３问需要多少车位，才能使每辆汽车都具有一个车位的概率至少为０畅９５畅解 设需要车位数为n ，且设第i （i ＝１，２，…，２００）户有车辆数为X i ，则由X i 的分布律知E （X i ）＝０×０畅１＋１×０畅６＋２×０畅３＝１畅２，E （X ２i ）＝０２×０畅１＋１２×０畅６＋２２×０畅３＝１畅８，故D （X i ）＝E （X ２i ）－［E （X i ）］２＝１畅８－１畅２２＝０畅３６．因共有２００户，各户占有车位数相互独立．从而近似地有钞２００i ＝１X i ～N （２００×１畅２， ２００×０畅３６）．今要求车位数n 满足０畅９５≤P钞２００i ＝１X i ≤n ，由正态近似知，上式中n 应满足０畅９５≤Φn －２００×１畅２２００×０畅３６＝Φn －２４０７２，因０畅９５＝Φ（１畅６４５），从而由Φ（x ）的单调性知n －２４０７２≥１畅６４５，故n ≥２４０＋１畅６４５×７２＝２５３畅９６．由此知至少需２５４个车位畅13．某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望μ（未知），方差σ２＝４００．为了估计μ，随机地取n 只这种器件，在时刻t ＝０投入测试（测试是相互独立的）直到失效，测得其寿命为X １，X ２，…，X n ，以X —＝１n钞ni ＝１X i 作为μ的估计，为使P ｛X —－μ＜１｝≥０畅９５，问n 至少为多少？解由教材第五章§２定理一可知，当n 充分大时，421概率论与数理统计习题全解指南钞ni ＝１X i －n μn σ＝１n钞ni ＝１X i －μσ／n近似地N （０，１），即X —－μσn近似地N （０，１）．由题设D （X i ）＝４００（i ＝１，２，…，n ），即有σ＝４００，于是X —－μ４００n ＝X —－μ２０n近似地服从N （０，１）分布，即有P ｛X —－μ＜１｝＝P ｛－１＜X —－μ＜１｝＝P －１２０n ＜X —－μ２０n ＜１２０n ≈Φ１２０n－Φ－１２０n ＝２Φ１２０n －１．现在要求P ｛X —－μ＜１｝≥０畅９５，即要求２Ф１２０n －１≥０畅９５，亦即要求Ф１２０n≥０畅９７５＝Ф（１畅９６），故需要１２０n≥１畅９６，即 n ≥（２０×１畅９６）２＝１５３６畅６４畅因n 为正整数，故n 至少为１５３７．14．某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难血液病的治愈率为０畅８，医院任意抽查１００个服用此药品的病人，若其中多于７５人治愈，就接受此断言，否则就拒绝此断言．（１）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是０畅８畅问接受这一断言的概率是多少？（２）若实际上此药品对这种疾病的治愈率为０畅７，问接受这一断言的概率是多少？解由药厂断言来看１００人中治愈人数X ～b （１００，０畅８）．（１）在治愈率与实际情况相符合条件下，接受药厂断言的概率即为P （X ＞521第五章 大数定律及中心极限定理７５）．由中心极限定理知近似地有X～N（１００×０畅８， １００×０畅８×０畅２）＝N（８０，４２），于是 p１＝P（X＞７５）≈１－Φ７５－８０４＝１－Φ（－５４）＝Φ（１畅２５）＝０畅８９４４．（２）若实际上治疗率为０畅７，即X～b（１００，０畅７），则治愈人数X近似地服从正态分布，即有X～N（１００×０畅７， １００×０畅７×０畅３）．所求概率p２＝P（X＞７５）≈１－Φ７５－１００×０畅７１００×０畅７×０畅３＝１－Φ５２１＝１－Φ（１畅０９）＝１－０畅８６２１＝０畅１３７９．621概率论与数理统计习题全解指南。
