河南省中原名校(即豫南九校)2017-2018学年高一上学期期末联考数学试题
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装…………○姓名:___________班装…………○绝密★启用前 【全国校级联考】豫南九校2017-2018学年上期高一期中联考数学试题 试卷副标题 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷(选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1.1.设集合{}0,2,4,6,8U =, {}0,4,8A =, {}2,4,8B =,则图中阴影部分表示的集合是( ) A . ∅ B . {}6 C . {}4,8 D . {}0,2,6 2.若 能构成映射,下列说法正确的有 ( ) (1)A 中的任一元素在B 中必须有像且唯一; (2)A 中的多个元素可以在B 中有相同的像; (3)B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像; (4)像的集合就是集合B . A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 3.设()()()2,10{ 6,(10)x x f x f f x x -≥=⎡⎤+<⎣⎦,则()9f 的值为( ) A . 10 B . 11 C . 12 D . 13 4.函数3y x =与3y x =+图象交点的横坐标所在的区间是( )………○…………装……※※请※※不※※要※※………○…………装……A . []1,2 B . []0,1 C . []1,0- D . []2,3 5.函数()1f x =的定义域是( ) A . (]3,0- B . (]3,1- C . ()(],33,0-∞-⋃- D . ()(],33,1-∞-⋃- 6.若函数()y f x =是函数x y a =(0a >且1a ≠)的反函数()21f =,且,则()8f =( ) A . 3 B . 13 C . -3 D . 13-7.设25a b m ==,且112a b +=,则m =( )A .B .C . 或D . 108.给出如下三个等式:①()()()f a b f a f b +=+;②()()()f ab f a f b =+;③()()()f a b f a f b =⨯.则下列函数中,不满足其中任何一个等式的函数是( )A . ()2f x x =B . ()3f x x =C . ()2x f x =D . ()ln f x x =9.9.9.三个数20.31a =, 2lo g 0.31b =, 0.312c =之间的大小关系为( )A . a c b <<B . b a c <<C . a b c <<D . b c a <<10.函数()()2ln 1f x x =+的图象大致是( )A .B .C .D .11.定义在R 上的偶函数()f x 满足:对任意的(]()1212,0x x x x ∈-∞≠、,有()()21210f x f x x x -<-,且()20f=,则不等式()()205f x f x x +-<的解集是( )A . ()(),22,-∞-⋃+∞B . ()(),20,2-∞-⋃C . ()()2,02,-⋃+∞D . ()()2,00,2-⋃12.若函数()()2lo g 2a f x x x =+(0a >且1a ≠)在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒有()0f x >,则()f x 的单调递增区间为( ) A . 1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B . 1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ C . ()0,+∞ D . 1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭○…………外○…………内第II 卷(非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13.满足条件{}{}1,21,2,3,4,5M ⊆⊆的集合M 有__________个. 14.若()()3ln 1x f x e a x =+-是偶函数,则a =__________. 15.已知函数, ,则 的值为__________.16,若方程()0f x k -=仅有一根,则实数k 的取值范围是__________.三、解答题17.已知集合{|27}A x x =≤<, {|310}B x x =<≤.求A B ⋂, ()R B C A ⋃, ()()R R C A C B ⋂.18.(1)计算.解方程: .19.已知二次函数()y f x =的最小值为3,且()()1311f f -==.求函数()f x 的解析式;(2)若偶函数()()x g x e f x =-(其中 2.71828e =),那么, ()g x 在区间()1,2上是否存在零点?请说明理由.20.《中华人民共和国个人所得税》规定,公民月工资、薪金所得不超过3500元的部分不纳税,超过3500元的部分为全月纳税所得额,此项税款按下表分段累计计算:已知张先生的月工资、薪金所得为10000元,问他当月应缴纳多少个人所得税? 设王先生的月工资、薪金所得为x 元,当月应缴纳个人所得税为y 元,写出y 与x 的函数关系式; (3)已知王先生一月份应缴纳个人所得税为303元,那么他当月的个工资、薪金所得为多少? 21.已知函数()21x f x x =+. (1)判断并证明函数()f x 的奇偶性;(2)判断当()1,1x ∈-时函数()f x 的单调性,并用定义证明; (3)若()f x 定义域为()1,1-,解不等式()()210f x f x -+<. 22.已知函数 . (1)若 的定义域和值域均是 ,求实数 的值; (2)若 在区间 上是减函数,且对任意的 ,都有 ,求实数 的取值范围; (3)若 ,且对任意的 ,都存在 ,使得 成立,求实数 的取值范围.参考答案1.D【解析】由题意可得阴影部分表示C (A )U B ⋂, {}{}4,8,C (A )0,2,6U A B B ⋂=⋂=,选D 。
豫南九校2017-2018学年上期期末联考高一数学试题一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}2,1{=A ,则集合},|),{(A y A x y x B ∈∈=中元素的个数为( ) A .1 B . 2 C .3 D .42.已知P :直线01:1=-+y ax l 与直线0:22=++a ay x l 平行,则a 的值为( ) A .1 B . -1 C . 0 D .-1或13.函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=0,log 0,)21()(2x x x x f x,则=))81((f f ( )A .41 B . 4 C . 81D . 8 4.设βα,是两个不同的平面,m 是直线且α⊂m ,β//m ,若使βα//成立,则需增加条件( )A . n 是直线且α⊂n ,β//nB .m n ,是异面直线,β//n C. m n ,是相交直线且α⊂n ,β//n D .m n ,是平行直线且α⊂n ,β//n 5.已知函数32)(2--=ax x x f 在区间]2,1[上是单调增函数,则实数a 的取值范围为( ) A . )1,(-∞ B . ]1,(-∞ C. ),2(+∞ D .),2[+∞6.已知矩形ABCD ,6=AB ,8=BC ,沿矩形的对角线AC 将平面ACD 折起,若D C B A ,,,四点都在同一球面上,则该球面的面积为( )A .π36B .π64 C. π100 D .π2007.设)(x f 是定义在实数集上的函数,且)()2(x f x f =-,若当1≥x 时,x x f ln )(=,则有( )A .)2()0()1(f f f =<-B .)2()0()1(f f f =>- C. )2()0()1(f f f <<- D .)2()0()1(f f f >>-8.已知bx ax x f +=2)(是定义在]2,1[a a -上的偶函数,那么)(x f 的最大值是( ) A . 0 B .31 C. 274 D .1 9.某四面体的三视图如图,则该四面体的体积是( )A . 1B .34 C. 23D .2 10.已知实数y x ,满足方程01422=--+x y x ,则x y 2-的最小值和最大值分别为( ) A . -9,1 B .-10,1 C. -9,2 D .-10,211.已知函数12)(2+-=x ax x f ,若对一切]2,21[∈x ,0)(>x f 都成立,则实数a 的取值范围为( )A . ),21[+∞B .),21(+∞ C. ),1(+∞ D .)1,(-∞12.已知BD AC ,为圆922=+y x O :的两条互相垂直的弦,且垂足为)2,1(M ,则四边形ABCD 面积的最大值为( )A . 10B .13 C.15 D .20二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.函数)1(log )(221-=x x f 的单调递增区间为 .14.已知集合}6)2()1(|),{(22=++-=y x y x A ,}052|),{(=-+=y x y x B ,则集合B A 中子集个数是 .15.如图,已知圆柱的轴截面11A ABB 是矩形,AB AA 21=,C 是圆柱下底面弧AB 的中点,1C 是圆柱上底面弧11B A 的中点,那么异面直线1AC 与BC 所成角的正切值为 .16.已知函数⎩⎨⎧≥+-<+-=1,241|,1|1)(2x x x x x x f ,则函数12)()2()(+--=x x f x x g 的零点个数为 .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知全集R U =,集合}1log 0|{3<<=x x A ,集合}12|{m x m x B -<<=. (1)当1-=m 时,求B A ,B A C U )(; (2)若A B A = ,求实数m 的取值范围.18. 已知直线0)()2(:=-+++-b a y b a x b a l 及点)3,1(P . (1)证明直线l 过某定点,并求该定点的坐标; (2)当点P 到直线l 的距离最大时,求直线l 的方程. 19. 设)(x f 是定义在R 上的奇函数,当0>x 时,xxx f 31)(-=. (1)求)(x f 的解析式; (2)解不等式8)(x x f -<. 20. 已知圆C 经过点)1,2(-A ,)3,0(-B 和直线1=+y x 相切. (1)求圆C 的方程;(2)若直线l 经过点)0,2(B ,并且被圆C 截得的弦长为2,求直线l 的方程.21. 如图,四面体PABC 中,⊥PA 平面ABC ,1=PA ,1=AB ,2=AC ,3=BC .(1)求四面体PABC 的四个面的面积中,最大的面积是多少? (2)证明:在线段PC 上存在点M ,使得BM AC ⊥,并求MCPM的值. 22.已知函数x x f 3log 23)(-=,x x g 3log )(=.(1)当]9,1[∈x 时,求函数)(]1)([)(x g x f x h ∙+=的值域;(2)如果对任意的]9,1[∈x ,不等式k x f x f >∙)()(2恒成立,求实数k 的取值范围; (3)是否存在实数a ,使得函数)(]2)([)(x f x ag x F ∙+=的最大值为0,若存在,求出a 的值,若不存在,说明理由.豫南九校2017—2018学年上期期末联考高一数学参考答案一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.解析:选D 集合B 中元素有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),共4个.2.解析:选A 由于直线l 1:ax +y -1=0与直线l 2:x +ay +2a =0平行所以012=-a ,即=a -1或1,经检验1=a 成立。
2017-2018高一数学上学期期末联考试卷(含答案河南中原名校)豫南九校2017-2018学年上期期末联考高一数学试题一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则集合中元素的个数为()A.1B.2C.3D.42.已知:直线与直线平行,则的值为()A.1B.-1C.0D.-1或13.函数,则()A.B.4C.D.84.设是两个不同的平面,是直线且,,若使成立,则需增加条件()A.是直线且,B.是异面直线,C.是相交直线且,D.是平行直线且,5.已知函数在区间上是单调增函数,则实数的取值范围为()A.B.C.D.6.已知矩形,,,沿矩形的对角线将平面折起,若四点都在同一球面上,则该球面的面积为()A.B.C.D.7.设是定义在实数集上的函数,且,若当时,,则有()A.B.C.D.8.已知是定义在上的偶函数,那么的最大值是()A.0B.C.D.19.某四面体的三视图如图,则该四面体的体积是()A.1B.C.D.210.已知实数满足方程,则的最小值和最大值分别为()A.-9,1B.-10,1C.-9,2D.-10,211.已知函数,若对一切,都成立,则实数的取值范围为()A.B.C.D.12.已知为圆的两条互相垂直的弦,且垂足为,则四边形面积的最大值为()A.10B.13C.15D.20二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.函数的单调递增区间为.14.已知集合,,则集合中子集个数是.15.如图,已知圆柱的轴截面是矩形,,是圆柱下底面弧的中点,是圆柱上底面弧的中点,那么异面直线与所成角的正切值为.16.已知函数,则函数的零点个数为.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知全集,集合,集合.(1)当时,求,;(2)若,求实数的取值范围.18.已知直线及点.(1)证明直线过某定点,并求该定点的坐标;(2)当点到直线的距离最大时,求直线的方程.19.设是定义在上的奇函数,当时,.(1)求的解析式;(2)解不等式.20.已知圆经过点,和直线相切.(1)求圆的方程;(2)若直线经过点,并且被圆截得的弦长为2,求直线的方程.21.如图,四面体中,平面,,,,.(1)求四面体的四个面的面积中,最大的面积是多少?(2)证明:在线段上存在点,使得,并求的值.22.已知函数,.(1)当时,求函数的值域;(2)如果对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围;(3)是否存在实数,使得函数的最大值为0,若存在,求出的值,若不存在,说明理由.豫南九校2017—2018学年上期期末联考高一数学参考答案一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.解析:选D集合B中元素有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),共4个.2.解析:选A由于直线l1:ax+y-1=0与直线l2:x+ay+=0平行所以,即-1或1,经检验成立。
2018-2019学年河南省豫南九校联考高一(上)期末数学试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题日要求的)1.(5分)同学们,当你任意摆放手中笔的时候,那么桌面所在的平面一定存在直线与笔所在的直线()A.平行B.相交C.异面D.垂直2.(5分)已知直线l经过点P(﹣2,5),且斜率为﹣,则直线l的方程为()A.3x+4y﹣14=0B.3x﹣4y+14=0C.4x+3y﹣14=0D.4x﹣3y+14=0 3.(5分)若线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍,则AB所在直线与平面α所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.120°4.(5分)下列函数中,满足“f(xy)=f(x)f(y)“的单调递增函数是()A.f(x)=x3B.f(x)=lgx C.f(x)=()x D.f(x)=3x 5.(5分)若直线11:2x﹣ay﹣1=0过点(1,1),l2:x+2y=0,则直线l1与l2()A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.相交于点(2,﹣1)6.(5分)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为()A.B.C.D.7.(5分)已知函数,则=()A.4B.C.﹣4D.8.(5分)如图是一个正方体的平面展开图,则在正方体中直线AB与CD的位置关系为()A.相交B.平行C.异面而且垂直D.异面但不垂直9.(5分)已知函数f(x)=a x(a>0,且a≠1),当x<0时,f(x)>1,方程y=ax+表示的直线是()A.B.C.D.10.(5分)如图,在四面体ABCD中,截面PQMN是正方形,则在下列命题中,错误的为()A.AC⊥BDB.AC∥截面PQMNC.AC=BDD.异面直线PM与BD所成的角为45°11.(5分)已知f(x)=log a(8﹣3ax)在[﹣1,2]上的减函数,则实数a的取值范围是()A.(0,1)B.C.D.(1,+∞)12.(5分)《九章算术》是我国古代著名数学经典.其中对勾股定理的论述比西方早一千多年,其中有这样一个问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”其意为:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯该材料,锯口深一寸,锯道长一尺.问这块圆柱形木料的直径是多少?长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中,截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦AB=1尺,弓形高CD=1寸,估算该木材镶嵌在墙中的体积约为()(注:1丈=10尺=100寸,π≈3.14,sin22.5°≈)A.600立方寸B.610立方寸C.620立方寸D.633立方寸二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(5分)已知直线y=kx+2k+1,则直线恒经过的定点.14.(5分)在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠ABC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M是AB上一个动点,则PM的最小值为.15.(5分)已知集合A={x|log2(2x﹣4)≤1},集合B={y|y=()x,x},则A∩B=.16.(5分)平面α以任意角度截正方体,所截得的截面图形可以是(填上所有你认为正确的序号)①正三边形②正四边形③正五边形④正六边形⑤钝角三角形⑥等腰梯形⑦非矩形的平行四边形三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知直线l的方程为x+2y﹣6=0,直线l1与l平行且与两坐标轴围成的三角形的面积为4,求直线l1的方程.18.(12分)设函数f(x)=x2+2x﹣m.(1)当m=3时,求函数f(x)的零点.(2)当x∈[1,+∞)时,f(x)≥0恒成立,求m的最大值.19.(12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H.(Ⅰ)求四面体ABCD的体积;(Ⅱ)证明:四边形EFGH是矩形.20.(12分)已知△ABC的顶点A(5,1),AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0.AC边上的高BH所在直线为x﹣2y﹣5=0.求:(1)顶点C的坐标;(2)直线BC的方程.21.(12分)已知四棱锥E﹣ABCD的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=EC=2,,O为AB的中点.(Ⅰ)求证:EO⊥平面ABCD;(Ⅱ)求点D到面AEC的距离.22.(12分)已知函数f(x)=+a(a∈R).(1)判断并证明f(x)在(1,+∞)上的单调性;(2)若存在1<m<n使得f(x)在[m,n]上的值域为[m,n]求实数a的取值范围.2018-2019学年河南省豫南九校联考高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题日要求的)1.【解答】解:由题意,笔所在直线若与地面垂直,则在地面总有这样的直线,使得它与笔所在直线垂直若笔所在直线若与地面不垂直,则其必在地面上有一条投影线,在平面中一定存在与此投影线垂直的直线,由三垂线定理知,与投影垂直的直线一定与此斜线垂直综上,当你任意摆放手中笔的时候,那么桌面所在的平面一定存在直线与笔所在的直线垂直.故选:D.2.【解答】解:∵直线l经过点P(﹣2,5),且斜率为﹣,∴直线l的点斜式方程为y﹣5=(x+2),整理得:3x+4y﹣14=0.故选:A.3.【解答】解:如图,AC⊥α,垂足为C,AB∩α=B,则BC是AB在平面α内的射影,∴∠ABC是直线与平面所成的角,∵线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍,∴BC=AB,∴∠ABC=60°.∴AB所在直线与平面α所成的角为60°.故选:C.4.【解答】解:根据题意,依次分析选项:对于A,对于f(x)=x3,有(xy)3=x3×y3,满足f(xy)=f(x)f(y),符合题意;对于B,f(x)=lgx,为对数函数,不满足f(xy)=f(x)f(y),不符合题意;对于C,f(x)=()x,为指数函数,不满足f(xy)=f(x)f(y),不符合题意;对于D,f(x)=3x,为指数函数,不满足f(xy)=f(x)f(y),不符合题意;故选:A.5.【解答】解:∵直线l1:2x﹣ay﹣1=0过点(1,1),∴2﹣a﹣1=0,∴a=1,∴直线l1:2x﹣y﹣1=0的斜率为2,∵l2:x+2y=0的斜率为﹣,∴直线l1与l2:x+2y=0互相垂直.故选:C.6.【解答】解:被截去的四棱锥的三条可见棱中,在两条为长方体的两条对角线,它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合,另一条为体对角线,它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合,对照各图,只有D符合.故选:D.7.【解答】解:f()=log5=﹣2,=f(﹣2)=,故选:B.8.【解答】解:由该正方体的平面展开图画出它的直观图为:可以看出AB与CD异面;如图,设该正方体一顶点为E,连接CE,DE,则AB∥CE;∴∠DCE为异面直线AB,CD的夹角,并且该角为60°;∴AB,CD异面但不垂直.故选:D.9.【解答】解:函数f(x)=a x(a>0,且a≠1),当x<0时,f(x)>1,∴0<a<1,方程y=ax+,令x=0可得y=,y=0可得x=﹣,∵﹣>,∴C选项正确.故选:C.10.【解答】解:因为截面PQMN是正方形,所以PQ∥MN、QM∥PN,则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA,所以PQ∥AC,QM∥BD,由PQ⊥QM可得AC⊥BD,故A正确;由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN,故B正确;异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角,故D正确;综上C是错误的.故选:C.11.【解答】解:令y=log a t,t=8﹣3ax,(1)若0<a<1,则函y=log a t,是减函数,由题设知t=8﹣3ax为增函数,需a<0,故此时无解;(2)若a>1,则函数y=log a t是增函数,则t为减函数,需a>0且8﹣3a×2>0,可解得1<a<综上可得实数a的取值范围是(1,).故选:B.12.【解答】解:如图,AB=10(寸),则AD=5(寸),CD=1(寸),设圆O的半径为x(寸),则OD=(x﹣1)(寸),在Rt△ADO中,由勾股定理可得:52+(x﹣1)2=x2,解得:x=13(寸).∴sin∠AOD=,即∠AOD≈22.5°,则∠AOB=45°.则弓形的面积S=≈6.33(平方寸).则算该木材镶嵌在墙中的体积约为V=6.33×100=633(立方寸).故选:D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.【解答】解:将直线y=kx+2k+1化简为点斜式,可得y﹣1=k(x+2),∴直线经过定点(﹣2,1),且斜率为k.即直线y=kx+2k+1恒过定点(﹣2,1).故答案为:(﹣2,1).14.【解答】解:如图,作CH⊥AB于H,连PH,∵PC⊥面ABC,∴PH⊥AB,PH为PM的最小值,而CH=2,PC=4,∴PH=2.故答案为:215.【解答】解:解不等式:log2(2x﹣4)≤1得:0<2x﹣4≤2,即:2<x≤3,即A=,由y=()x,x,求其值域得:0<y,即B=,即A∩B=,故答案为:.16.【解答】解:画出截面图形如图:可以画出三边形,但不能画出直角三角形和钝角三角形,故①正确,⑤错误;可以画出正四边形,故②正确;经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形.但此时不可能是正五边形,故③错误;.正方体有六个面,用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形,且可以画出正六边形,故④正确;可以画出梯形但不是直角梯形,故⑥正确.可以画出非矩形的平行四边形,故⑦.故平面α以任意角度截正方体,所截得的截面图形可以是:正三边形,正四边形,正六边形,等腰梯形,非矩形的平行四边形.故答案为:①②④⑥⑦.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.【解答】解:由题意可设直线l1的方程为:x+2y+m=0,可得与两坐标轴的交点分别为:(﹣m,0),(0,﹣).则=4,解得m=±4.∴直线l1的方程为:x+2y±4=0.18.【解答】解:(1)m=3时,f(x)=x2+2x﹣3,由f(x)=0,可得x=1或﹣3,则f(x)的零点为1或﹣3;(2)当x∈[1,+∞)时,f(x)≥0恒成立,可得m≤x2+2x在x≥1的最小值,由y=x2+2x在x≥1递增,可得函数y的最小值为3,即有m≤3,即m的最大值为3.19.【解答】(Ⅰ)解:由题意,BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1,∴AD⊥平面BDC,∴四面体ABCD的体积V==;(Ⅱ)证明:∵BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC =EH,∴BC∥FG,BC∥EH,∴FG∥EH.同理EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG,∴四边形EFGH是平行四边形,∵AD⊥平面BDC,∴AD⊥BC,∴EF⊥FG,∴四边形EFGH是矩形.20.【解答】解:直线AC的方程为:y﹣1=﹣2(x﹣5),即2x+y﹣11=0,解方程组得则C点坐标为(4,3).设B(m,n),则M(,),,整理得,解得则B点坐标为(﹣1,﹣3),y﹣3=(x﹣4),即6x﹣5y﹣9=0.21.【解答】(I)证明:连接CO∵∴△AEB为等腰直角三角形∵O为AB的中点,∴EO⊥AB,EO=1…(2分)又∵AB=BC,∠ABC=60°,∴△ACB是等边三角形∴,…(4分)又EC=2,∴EC2=EO2+CO2,∴EO⊥CO,∵AB∩CO=O∴EO⊥平面ABCD…(6分)(II)解:设点D到面AEC的距离为h∵∴…(8分)∵,E到面ACB的距离EO=1,V D﹣AEC=V E﹣ADC∴S△AEC•h=S△ADC•EO…(10分)∴∴点D到面AEC的距离为…(12分)22.【解答】解:(1)根据题意,函数f(x)=+a在(1,+∞)上为增函数;设1<x1<x2,则f(x1)﹣f(x2)=(+a)﹣(+a)=,又由1<x1<x2,则(x1﹣1)>0,(x2﹣1)>0,(x1﹣x2)<0,则f(x1)﹣f(x2)<0,则函数函数f(x)=+a在(1,+∞)上为增函数;(2)根据题意,由(1)的结论,函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,若存在1<m<n使得f(x)在[m,n]上的值域为[m,n],即,则方程f(x)=x即x2+(a+3)x+(a+3)=0在区间(1,+∞)上有两个不同的根,设g(x)=x2+(a+3)x+(a+3),必有,解可得a>1,即a的取值范围为(1,+∞).。
河南省中原名校联盟2017—2018学年高三第三次质量考评数学(理)试题(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合M ={x |2x -x -2<0},N ={y |y =-212x +1,x ∈R},则M ∩N = A .{x |-2≤x <1} B .{x |1<x <2}C .{x |-1<x ≤1}D .{x |1≤x <2}2.函数y =-sin (12x +3π)在x ∈[-2π,2π]上的单调递减区间为 A .[-53π,3π] B .[-2π,53π] C .[3π,2π] D .[-2π,53π]和[3π,2π] 3.已知f (n )=21+22+23+…+2(2)n ,则f (k +1)与f (k )的关系是A .f (k +1)=f (k )+2(21)k ++2(22)k +B .f (k +1)=f (k )+2(1)k +C .f (k +1)=f (k )+2(22)k +D .f (k +1)=f (k )+2(21)k +4.设n S 为等比数列{n a }的前n 项和且n S =13n +-A ,则A = A .-13 B .13C .-3D .35.已知点P (x ,y )在不等式组20020x y x y y ⎧⎪⎨⎪⎩-≥-≤-≤,表示的平面区域上运动,则z =x +y 的最大值是A .4B .3C .2D .16.高三学生在新的学期里,刚刚搬入新教室,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高,当教室在第n 层楼时,上下楼造成的不满意度为n ,但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随教室所在楼层升高,环境不满意度降低,设教室在第n 层楼时,环境不满意度为8n,则同学们认为最适宜的教室应在( )楼。
一、选择麒本大题共12个小题,每小题5分.共60分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合〃={0,2. 4.6,8}, A={0, 4.8},B={2, 4.8},则图中阴影部分表示的集合是()UA. 0B.(6)C.(4.8}D.(0. 2.6|【解答】解:•.•集合U=(0,2, 4.6,8},A={0, 4.8},B={2, 4.8).:.AC\B={4, 8),・.•图中阴影部分表示的集合是:Cu<Ans)={0. 2.6}.故选:D.2.(5分)若/:A-B能构成映射,则下列说法正确的有()(1)A中的任意一元素在B中都必须有像旦唯一:(2)A中的多个元素可以在B中有相同的像;(3)8中的多个元素可以在A中有相同的原像;(4)像的集合就是集合8.A.1个B.2个C.3个D.4个【解答】解:根据映射的定义,对于两个集合A,B,对于集合A中的每一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,A中的任意一元素在8中都必须有像且唯一:故(1)正确A中的多个元素可以在8中有相同的像;故(2)正确B中的多个元素不可以在A中有相同的原像.故(3)错误像的集合就是集合B的子集,故(4)错误,综上可知共有2个正确,故选:B.3.(5分)设函数/(X)=[X~2f(X-10),则/(9)的值为()l/W+6)],(x<10)A,10 B.11 C.12D・13【解答】解:V/(x)=,x-2,(x>10)/W+6)]・(xVIO)'•J(9)=/(/(9+6))=/(/(15))=/(13)=13-2=11,故选:B.4.(5分)函数y=/与y=x+3图象交点的横坐标所在的区间是()A.|h2]B.[0,1|C.|-!•0|D.[2.3]【解答】解:函数v=A J与),=x+3图象交点的横坐标,就是/(x)=/-x-3的零点,函数是连续函数,并且/(I)=-3<0./(2)=8・2・3=3>0,/(1)/(2)V0,由零点的判定定理可知,函数y=?与y=x+3图象交点的横坐标所在的区间是:[I.21,故选:A.5.(5分)函数/(x)=x/1^27+定义域为()A.(・3,0)B・(-3,1]C・(・ 8,・3)U(・3,0] D.(・8.・3)U(・ 3,1]【解答】解:根据题意:(x+3>0解得:-3VxW0・.・定义域为(・3,0]故选:A.6.(5分)若函数y=f(x)是函数),=/(〃>0,且的反函数,且/(2)=1,贝IJ/(8)=()A. 3B.-C.-3D, -i3 3【解答】解;(2)=1,.••点(2,1)在函数y=/的反函数的图象上,则点(1,2)在函数y=a x的图象上,将x=l,y=2,代入)=/中,得2=/,解得:a=2,.••y=2\贝ij x=logxv>即y=log2X,•V(x)=logu\:.f(8)=log28=3.故选:A.7.(5分)设2d=5"=m且-+7=2,则巾等于()a bA.x/10B.10C.20D.100【解答】解:•.•2“=5°=”且土+;=2,a b:.a=Iog2/w,h=Iog5/n•+7=log/n2+k)g,〃5=lo伽10=2,a bio,解得川=寸访.故选:A.8.(5分)给出如下三个等式:®f(a+b)=f(a) +f(b),®f(.ab)=了顷)甘(b):(3)f(uh)=/(〃)Xf(b\则下列函数中,不满足其中任何一个等式的函数是()A. /(x)=«?B.f(a)=3aC. /(x)=2rD.f(x)=lnx【解答】解:A中,若/(A)=】,V/(ub)=(ab)2,f(a>f(b)=44f(ah)=/(“)•/(b),故③成立,8中,若/(x)=3x,V/(a+b)=3(o+b),/(“)+f<b)=3。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,第1~6题只有一项符合题目要求,第7~10题有多项符合题目要求。
全部选对得5分,选对但不全得3分,有选错的得0分1.历史上,伽利略在斜面实验中分别在倾角不同、阻力很小的斜面上由静止释放小球,他通过实验观察和逻辑推理,得到的正确结论有A .倾角一定时,小球在斜面上的位移与时间的二次方成正比B .倾角一定时,小球在斜面上的速度与时间的二次方成正比C .斜面长度一定时,小球从顶端滚到低端时的速度与倾角无关D .斜面长度一定时,小球从顶端滚到低端所需的时间与倾角无关2.如图所示,汽车向右沿直线运动,原来的速度是1v ,经过一小段时间之后,速度变为2v ,v ∆表示速度的变化量,由图中所示信息可知A .汽车在做加速直线运动B .汽车的加速度方向与1v 的方向相同C .汽车的加速度方向与1v 的方向相反D .汽车的加速度方向与v ∆的方向相反3.为研究自由落体运动,实验者从某砖墙前的高度处由静止释放一个石子,让其自由落下,拍摄到石子下落过程中的一张照片如图所示。
由于石子的运动,,它在照片上留下了一条模糊的径迹.已知每层砖的平均厚度为6.0cm ,这个照相机的曝光时间为1.2×10-2s ,则拍摄到的石子位置A 距石子下落的起始位置的距离约为A .3.5cmB .5.0cmC .6.5cmD .8.0cm4.如图所示,用水平力推静止在水平地面上的打木箱,没有推动,这时木箱受到的A .推力小于静摩擦力B .推力一定小于重力C .推力和最大静摩擦力大小一定相等D .推力和静摩擦力大小一定相等5.在交通事故的分析中,刹车线长度是很重要的依据,刹车线是汽车刹车后停止转动的轮胎在地面上滑动时留下的痕迹,在某次交通事故中,汽车刹车线的长度是14m ,假设汽车轮胎与地面间的动摩擦因数为0.7,210/g m s =,则汽车开始刹车时的速度为A7m/s B10m/s C14m/s D20m/s6.1966年曾在地球的上空完成了以牛顿第二定律为基础的测定质量的实验,实验时,用宇宙飞船(质量为m )去接触正在轨道上运行的火箭(质量为x m ,发动机已熄火),),如图所示.接触以后,开动飞船尾部的推进器,使飞船和火箭共同加速,推进器的平均推力为F ,开动时间△t ,测出飞船和火箭的速度变化是△v ,下列说法正确的是A .火箭质量m x 应为F t v∆∆ B .宇宙飞船的质量m 应为F t v ∆∆ C .推力F 通过飞船传递给火箭,所以飞船对火箭的弹力大小应为FD .推力F 越大,v t ∆∆就越大,且v t∆∆与F 成正比 7.下面对牛顿第一定律和惯性的分析正确的是A .飞机投弹时,如果当目标在飞机的正下方时投下炸弹,能击中目标B .地球自西向东自转,你向上跳起来后,还会落到原地C .安全带的作用是防止人在汽车刹车时由于惯性作用发生危险D .有的同学说,向上抛出的物体,在空中向上运动时,肯定受到了向上的作用力8.两个力1F 和2F 间的夹角为θ,两力的合力为F ,以下说法正确的是A .若1F 和2F 大小不变,θ角越小,合力F 就越大B .合力F 总比分力1F 和2F 中的任何一个都大C .如果夹角θ不变,1F 大小不变,只要2F 增大,合力F 必然增大D .合力F 的作用效果与两个分力1F 和2F 共同产生的作用效果是相同的9.某同学站在电梯底板上,如图所示的v-t 图像是计算机显示的观光电梯在某一段时间内速度变化的情况(竖直向上为正方向),根据图像提供的信息,可以判断下列说法中A .在5s ~10s 内,该同学对电梯底板的压力等于他所受的重力B .在0~5s 内,观光电梯在加速上升,该同学处于失重状态C .在10s ~20s 内,该同学所受的支持力不变,该同学处于失重状态D .在20s ~25s 内,观光电梯在加速下降,该同学处于超重状态10.借助运动传感器可以计算测出物体运动的速度,如图所示,传感器由两个小盒子A 、B 组成,A 盒装有红外线发射器盒超声波发射器,它装在被测小车上,,每隔1s 可同时发射一个红外线脉冲和一个超声波脉冲;B 盒固定不动且装有红外线接收器和超声波接收器,B 盒收到红外线脉冲时开始计时(红外线速度为3×108m/s ,红外线的传播时间可以忽略不计),收到超声波脉冲时计时停止.在某次测量中,B 盒第一次记录到的收到红外线脉冲和收到超声波脉冲的时问差为0.15s ,B 盒第二次记录到的收到红外线脉冲和收到超声波脉冲的时间差为0.20s ,根据超声波速度340m/s ,可以判定( )A .当第1次发射脉冲时,小车距B 盒的距离51mB .当第2次发射脉冲时,小车距B 盒的距离68mC .该小车运动的速度大小为17m/sD .该小车运动方向是靠近B 盒二、实验题11.电磁打点计时器是中学研究物体运动时常用的实验器材,某同学用如下图所示装置测量自由落体加速度g ,得到如图所示的一段纸带,他每5个计时点取一个计数点,分别记为A 、B 、C……,测得AB=9.17cm ,BC=18.77cm ,已知交流电频率为50Hz ,则利用所给数据测得打B 点时重物的瞬时速度大小为___________,测得自由落体加速度g=_______m/s 2,它比公认的g 值__________(填“偏大”或“偏小”),可能的原因是______________。
中原名校2017—2018学年第二次质量考评高三数学(文)试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合()22,143x y A x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭,(){},3xB x y y ==,则A B I的子集的个数是( )A .1B .2C .3D .42.已知复数21z x x i =+-,222z x i =-+(x R ∈,i 为虚数单位),若120z z +<,则x 的值是( )A .1±B .1-C .1D .2- 3.定义在R 上的函数()f x ,满足()()()()2log 4,012,0x x f x f x f x x -≤⎧⎪=⎨--->⎪⎩,则()3f =( )A .2-B .1-C .1D .24.已知函数()()22435f x ax a x =+-+在区间(),3-∞上是减函数,则a 的取值范围是( ) A .30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B .30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ C .30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D .30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦5.关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负实根的充要条件是( ) A .1a ≤ B .1a < C .01a <≤ D .01a <≤或0a < 6.函数()2log xf x x=的大致图象是( )A .B .C .D .7.定义在R 上的奇函数()f x ,满足()()2f x f x -=,当(]0,1x ∈,()1x f x e =-,则20232f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A .1e - B .1e - C.118.直线3470x y +-=与椭圆22221x y a b+=(0a b >>)相交于两点A ,B ,线段AB 的中点为()1,1M ,则椭圆的离心率是( )A .12 BCD .34 9.已知函数()()21ln f x f x x '=-,则()f x 的极大值为( ) A .2 B .2ln 22- C .e D .2e -10.若方程220x ax b ++=的一个根在区间()0,1内,另一根在区间()1,2内,则32b a --的取值范围是( )A .2,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C .51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D .2,15⎛⎫⎪⎝⎭11.一棱长为6的正四面体内部有一个可以任意旋转的正方体,当正方体的棱长取最大值时,正方体的外接球的表面积是( )A .4πB .6πC .12πD .24π12.定义在R 上的函数()f x ,满足()[)[)222,0,12,1,0x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩,且()()11f x f x +=-,若()232x g x x -=-,则方程()()g x f x =在区间[]1,5-上所有实根之和为( )A .3B .4C .5D .6第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知()()221sin 1x a xf x x ++=+(a R ∈),则()()()()()21012f f f f f -+-+++= .14.已知长方体ABCD A B C D ''''-,3AB =,4AA AD '==,则B 到平面AB C '的距离是 .15.直线l 与抛物线24y x =交于两不同点A ,B .其中()11,A x y ,()22,B x y ,若1236y y =-,则直线l 恒过点的坐标是 .16.已知函数()2x f x e ax =-有两个不同的零点,则实数a 的取值范围是 .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知()cos cos cos 0C A A B +=(1)求角B 的大小;(2)若1a c +=,求b 的取值范围.18.某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度,选了某小区的100位居民调查结果统计如下:(1)根据已有数据,把表格数据填写完整;(2)能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关? (3)已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性,其中2位是女教师,现从这5名女性中随机抽取3人,求至多有1位女教师的概率.附:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,n a b c d =+++19.在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ,AB CD ∥,PAD ∆是等边三角形,已知2AD =,BD =24AB CD ==.(1)设M 是PC 上一点,求证:平面MBD ⊥平面PAD . (2)求四棱锥P ABCD -的体积.20.已知椭圆D :22221x y a b +=(0a b >>)的短轴长为2(1)求椭圆D 的方程;(2)点()0,2E ,轨迹D 上的点A ,B 满足EA EB =λu u r u u r,求实数λ的取值范围.21.已知函数()()222ln 2f x x x x ax =-++.(1)若()f x 在1x =处的切线是340x y +-=,求实数a 的值;(2)当0a >时,函数()()2g x f x x =--有且仅有一个零点,若此时1,x e e -⎡⎤∈⎣⎦,()g x m ≥恒成立,求实数m 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程为132x ty t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0-=ρθθ,直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,点()1,3P .(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程; (2)求11PA PB+的值. 23.选修4-5:不等式选讲 已知函数()12f x x x =-++.(1)若存在x 使不等式()0a f x ->成立,求实数a 的取值范围; (2)若不等式()40a f x a+-≥对任意正数a 恒成立,求实数x 的取值范围.中原名校2017—2018学年第二次质量考评高三数学(文)参考答案一、选择题1-5:DBADA 6-10:CCABD 11、12:BC二、填空题13.5 14.17 15.()9,0 16.,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭三、解答题17.解:(1)()cos cos cos C A A B +=()cos cos cos cos 0A B A B A B -+=化简得sin B B = 所以3B =π(2)由正弦定理sin sin sin a c b A C B ===所以()1sin sin a c A C =+=+()2sin sin b A C =+,2sin sin sin sin 3A C A A ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭π6A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π203A <<π,∴1sin ,162A ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦π, ∴112b ≤< 综上:b 的取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭18.解:(1)(2)()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -==++++()2100200600 4.762 3.84180203070⨯-≈>⨯⨯⨯所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关. (3)记5人为abcde ,其中ab 表示教师,从5人任意抽3人的所有等可能事件是:abc ,abd ,abe ,acd ,ace ,ade ,bcd ,bce ,bde ,cde 共10个,其中至多1为教师有7个基本事件:acd ,ace ,ade ,bcd ,bce ,bde ,cde 所以所求概率是710. 19.解:(1)在三角形ABD 中由勾股定理AD BD ⊥, 又平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD I 平面ABCD AD = 所以BD ⊥平面PAD 又BD ⊂平面BDM . 所以平面MBD ⊥平面PAD.(2)取AD 中点为O ,则PO 是四棱锥的高PO =底面ABCD 的面积是三角形ABD 面积的32,即所以四棱锥P ABCD -的体积为133⨯=20.解:(1)由已知2221a b c b c a⎧⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩2a =,1b =,c = D 的方程为2214x y +=(2)过()0,2E 的直线若斜率不存在,则13=λ或3. 设直线斜率k 存在()11,A x y ,()22,B x y222440y kx x y =+⎧⇒⎨+-=⎩()221416120k x kx +++= 则()()()()122122120,116,21412,314,4k x x k x x k x x ∆≥⎧⎪-⎪+=⎪+⎨⎪=⎪+⎪=⎩λ由(2)(4)解得1x ,2x 代入(3)式得()2222161214141k k k-⎛⎫⋅= ⎪++⎝⎭+λλ 化简得()22314641k⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+λλ 由(1)0∆≥解得234k ≥代入上式右端得 ()2311641<≤+λλ 解得133<<λ 综上实数λ的取值范围是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.21.解:(1)()()222ln 2f x x x x ax =-++,(0x >)()()22ln 22f x x x x ax '=-+-+由已知()1123f a '=-+=-,∴1a =-(2)由已知()()222ln 0g x x x x ax x =-+-=(0x >)即方程()2ln 10x x ax -+-=(0x >)有唯一的实数根所以()12ln x xa x--=(0x >)即直线y a =与函数()12ln x xy x--=(0x >)的图象有唯一的交点构造函数()()12ln 1ln x x h x x x x--==-2ln xx +(0x >)()212ln x xh x x --'=(0x >)令12ln y x x =--,210y x '=--<,y ↓而1x =,0y =∴()10h '=;01x <<,0y >,()0h x '>;1x >,0y <,()0h x '< ∴01x <<,()h x ↑;1x >,()h x ↓且0x →,()h x →-∞;x →+∞,()h x →-∞ 所以()11a h ==已知可化为()()222ln m g x x x x x x ≤=-+-(1e x e -≤≤)的最小值()()()12ln 3g x x x '=-+(1e x e -≤≤)所以()g x 在()1,1e -上减,在()1,e 上增所以()()max 10m g x g ≤== 综上实数m 的取值范围是(],0-∞ 22.解:(1)直线l 的普通方程21y x =+ 曲线C 的直角坐标方程216y x =(2)直线的参数方程改写为153x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入216y x =247055t --=,∴12t t +=,12354t t =-,121211t t PA PB t t -+==23.解:(1)()12f x x x =-++≥123x x ---= 已知等价于()min 3a f x >=所以实数a 的取值范围()3,+∞ (2)0a >,44a a+≥(2a =取等号) 已知可化为()min44f x a a ⎛⎫≤+= ⎪⎝⎭ 所以124x x -++≤5322x ⇒-≤≤. 因此实数x 的取值范围53,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。
2017-2018学年河南省中原名校(即豫南九校)高三(上)第一次质检数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题.每小题5分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知:如图,集合U为全集,则图中阴影部分表示的集合是()A.∁U(A∩B)∩C B.∁U(B∩C)∩A C.A∩∁U(B∪C)D.∁U(A∪B)∩C 2.(5分)已知x∈C,若关于x实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,a≠0)有一根为1+i.则该方程的另一根为()A.﹣1+i B.1﹣i C.﹣1﹣i D.13.(5分)已知函数f(x)=e1+x+e1﹣x,则满足f(x﹣2)<e2+1的x的取值范围是()A.x<3 B.0<x<3 C.1<x<e D.1<x<34.(5分)已知数列{a n}为正项等比数列,且a1a3+2a3a5+a5a7=4,则a2+a6=()A.1 B.2 C.3 D.45.(5分)市场调查发现,大约的人喜欢在网上购买家用小电器,其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器.经工商局抽样调查发现网上购买的家用小电器合格率约为,而实体店里的家用小电器的合格率约为.现工商局12315电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉,则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是()A.B.C.D.6.(5分)已知:sinα+cosβ=,则cos2α+cos2β的取值范围是()A.[﹣2,2]B.[﹣,2]C.[﹣2,]D.[﹣,]7.(5分)某篮球运动员6场比赛得分如表:(注:第n场比赛得分为a n)在对上面数据分析时,一部分计算如图算法流程图(其中是这6个数据的平均数),则输出的s的值是()A.B.2 C.D.8.(5分)已知:,则a6=()A.﹣28 B.﹣448 C.112 D.4489.(5分)某多面体的三视图如图所示,每一小格单位长度为l,则该多面体的外接球的表面积是()A.27πB.πC.9πD.π10.(5分)已知抛物线C:y2=4x,过抛物线C焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点(点A在第一象限),且交抛物线C的准线于点E.若=2,则直线l 的斜率为()A.3 B.2 C.D.111.(5分)设r是方程f(x)=0的根,选取x0作为r的初始近似值,过点(x0,f(x0))做曲线y=f(x)的切线l,l的方程为y=f(x0)+f'(x0)(x﹣x0),求出l 与x轴交点的横坐标x1=x0﹣,称x1为r的一次近似值.过点(x1,f(x1))做曲线y=f(x)的切线,并求该切线与x轴交点的横坐标x2=x1﹣,称x2为r的二次近似值.重复=x n﹣,称为r的n+1次近似以上过程,得r的近似值序列,其中,x n+1值,上式称为牛顿迭代公式.已知是方程x2﹣6=0的一个根,若取x0=2作为r 的初始近似值,则在保留四位小数的前提下,≈()A.2.4494 B.2.4495 C.2.4496 D.2.449712.(5分)已知函数f(x)=在定义域(﹣∞,+∞)上是单调增函数,则实数a的取值范围是()A.(﹣∞,]B.[,+∞)C.[,]D.(,)二、填空题(每小题5分,共20分)13.(5分)已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点,则=.14.(5分)某学生计划用不超过50元钱购买单价分别为6元、7元的软皮和硬皮两种笔记本,根据需要软皮笔记本至少买3本,硬皮笔记本至少买2本,则不同的选购方式共有种.15.(5分)已知双曲线C:(a>0,b>0),其右焦点为F(c,0),O=bc,则为坐标原点,以OF为直径的圆交曲线C于A、B两点,若S四边形OAFB双曲线C的离心率e=.16.(5分)已知:f(x)=,若方程[f(x)]2﹣f(x)+a=0有四个不等的实根,则a的取值范围是.三、解答题:(17~21题每题12分;22、23题二选一10分)17.(12分)△ABC的内角A,B,C对应的边分别为a,b,c.已知:(1﹣tanA)(1﹣tanB)=2.(1)求角C;.(2)若b=2,c=4,求△ABC的面积S△ABC18.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四边形,且平面PAD ⊥平面ABCD,PA⊥AB.(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)若PA=PD=AD=DC,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.19.(12分)在某校举行的一次数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩X近似服从正态分布N(70,100).已知成绩在90分以上(含90分)的学生有16名.(1)试问此次参赛的学生总数约为多少人?(2)若该校计划奖励竞赛成绩在80分以上(含80分)的学生,试问此次竞赛获奖励的学生约为多少人?附:P(|X﹣μ|<ς)=0.683,P(|X﹣μ|<2ς)=0.954,P(|X﹣μ|<3ς)=0.997.20.(12分)设M(x,y)与定点F(1,0)的距离和它到直线l1:x=3的距离的比是常数,(1)求点M的轨迹曲线C的方程:(2)过定点F的直线l2交曲线C于A、B两点,以O、A、B三点(O为坐标原点)为顶点作平行四边形OAPB,若点P刚好在曲线C上,求直线l 2的方程.21.(12分)已知:f(x)=(2﹣x)e x+a(x﹣1)2(a∈R)(1)讨论函数f(x)的单调区间:(2)若对任意的x∈R,都有f(x)≤2e x,求a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ.(1)在直角坐标系中,若以过原点的直线的倾斜角α为参数,求出曲线C的参数方程.(2)求直线l与曲线C相交弦的最小值.[选修4-5:不等式选讲]23.已知:f(x)=|x+a|+|x﹣1|(1)当a=1时,求不等式f(x)<3的解集;(2)若对任意的x∈R,f(x)≥3恒成立,求a的取值范围.2017-2018学年河南省中原名校(即豫南九校)高三(上)第一次质检数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题.每小题5分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知:如图,集合U为全集,则图中阴影部分表示的集合是()A.∁U(A∩B)∩C B.∁U(B∩C)∩A C.A∩∁U(B∪C)D.∁U(A∪B)∩C 【解答】解:阴影部分所表示的为在集合A中但不在集合B,C中的元素构成的,故阴影部分所表示的集合可表示为A∩∁U(B∪C),故选C.2.(5分)已知x∈C,若关于x实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,a≠0)有一根为1+i.则该方程的另一根为()A.﹣1+i B.1﹣i C.﹣1﹣i D.1【解答】解:根据实系数一元二次方程虚根成对原理可知:该方程的另一根为1﹣i.故选:B.3.(5分)已知函数f(x)=e1+x+e1﹣x,则满足f(x﹣2)<e2+1的x的取值范围是()A.x<3 B.0<x<3 C.1<x<e D.1<x<3【解答】解:∵f(x)=e1+x+e1﹣x =,令t=e x,可得y=e(t+),内函数t=e x为增函数,而外函数y=e(t+)在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,∴函数f(x)=e1+x+e1﹣x 的减区间为(﹣∞,0),增区间为(0,+∞).又f(x)=e1+x+e1﹣x为偶函数,∴由f(x﹣2)<e2+1,得f(|x﹣2|)<f(1),得|x﹣2|<1,解得1<x<3.故选:D.4.(5分)已知数列{a n}为正项等比数列,且a1a3+2a3a5+a5a7=4,则a2+a6=()A.1 B.2 C.3 D.4【解答】解:∵数列{a n}为正项等比数列,且a1a3+2a3a5+a5a7=4,∴a1a3+2a3a5+a5a7==(a2+a6)2=4,∵数列{a n}为正项等比数列,∴a2+a6=2.故选:B.5.(5分)市场调查发现,大约的人喜欢在网上购买家用小电器,其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器.经工商局抽样调查发现网上购买的家用小电器合格率约为,而实体店里的家用小电器的合格率约为.现工商局12315电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉,则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是()A.B.C.D.【解答】解:∵大约的人喜欢在网上购买家用小电器,网上购买的家用小电器合格率约为,故网上购买的家用小电器被投诉的概率为×(1﹣)=,又∵实体店里的家用小电器的合格率约为.∴实体店里购买的家用小电器被投诉的概率为(1﹣)×(1﹣)=,故工商局12315电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉,则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性P==,故选:A6.(5分)已知:sinα+cosβ=,则cos2α+cos2β的取值范围是()A.[﹣2,2]B.[﹣,2]C.[﹣2,]D.[﹣,]【解答】解:∵sinα+cosβ=,可得:cosβ=﹣sinα,∵﹣1≤﹣sinα≤1.可得:≤sinα≤1.那么:co s2α+cos2β=1﹣2sin2α+2cos2β﹣1=2(cos2β﹣sin2α)=2(cosβ+sinα)(cosβ﹣sinα)=2×(﹣2sinα)=﹣6sinα,∵sinα∈[,1],则:﹣6sinα∈[﹣6,﹣3],∴cos2α+cos2β=﹣6sinα∈[﹣,].故选:D.7.(5分)某篮球运动员6场比赛得分如表:(注:第n场比赛得分为a n)在对上面数据分析时,一部分计算如图算法流程图(其中是这6个数据的平均数),则输出的s的值是()A.B.2 C.D.【解答】解:由已知得,=10,n=1时,s=0;n=2时,s=0+4=4;n=3时,s=4+4=8,依此类推,执行6次循环体后n=7,结束循环s=10.此时==.故选:C.8.(5分)已知:,则a6=()A.﹣28 B.﹣448 C.112 D.448【解答】解:令t=x﹣1,则,故,故选:A.9.(5分)某多面体的三视图如图所示,每一小格单位长度为l,则该多面体的外接球的表面积是()A.27πB.πC.9πD.π【解答】解:由三视图,可得,该几何体是底面为正方形的直三棱锥,补形可得(如图)正方体.正方体边长为a=3,外接球半径r===∴外接球的表面积S=4πR2=27π.故选:A.10.(5分)已知抛物线C:y2=4x,过抛物线C焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点(点A在第一象限),且交抛物线C的准线于点E.若=2,则直线l 的斜率为()A.3 B.2 C.D.1【解答】解:分别过A和D两点做AD、BC垂直于准线,交准线于D、C两点垂足分别为D,C,由=2,则B为AE的中点,丨AB丨=丨BE丨,则丨AD丨=2丨BC丨,由抛物线的定义可知:丨AF丨=丨AD丨,丨BF丨=丨BC丨,∴丨AB丨=3丨BC丨,∴丨BE丨=3丨BC丨,则丨BE丨=2丨BC丨,tan∠CBE==2,直线l的斜率k=tan∠AFx=tan∠CBE=2,故选:B.11.(5分)设r是方程f(x)=0的根,选取x0作为r的初始近似值,过点(x0,f(x0))做曲线y=f(x)的切线l,l的方程为y=f(x0)+f'(x0)(x﹣x0),求出l 与x轴交点的横坐标x1=x0﹣,称x1为r的一次近似值.过点(x1,f(x1))做曲线y=f(x)的切线,并求该切线与x轴交点的横坐标x2=x1﹣,称x2为r的二次近似值.重复以上过程,得r的近似值序列,其中,x n=x n﹣,称为r的n+1次近似+1值,上式称为牛顿迭代公式.已知是方程x2﹣6=0的一个根,若取x0=2作为r 的初始近似值,则在保留四位小数的前提下,≈()A.2.4494 B.2.4495 C.2.4496 D.2.4497=x n﹣=x n﹣=+.【解答】解:f(x)=2x,x n+1x0=2时,x1=+==2.5.x2===2.45,x3==≈2.4495.故选:B.12.(5分)已知函数f(x)=在定义域(﹣∞,+∞)上是单调增函数,则实数a的取值范围是()A.(﹣∞,]B.[,+∞)C.[,]D.(,)【解答】解:由于函数f(x)=在定义域(﹣∞,+∞)上是单调增函数,2a≥e﹣a,解得a≥.排除A,D,当a=2时,x=1可得e x﹣2x2=e﹣2;2a+lnx=4>e﹣2,显然不成立.排除B.故选:C.二、填空题(每小题5分,共20分)13.(5分)已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点,则=6.【解答】解:设=,=,=t则=﹣=﹣,2=4=2,•=2×2×cos60°=2∴=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t又∵+=+∴•﹙+﹚=[﹙1﹣t﹚+t]•﹙+﹚=﹙1﹣t﹚2+[﹙1﹣t﹚+t]•+t2 =﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6故答案为614.(5分)某学生计划用不超过50元钱购买单价分别为6元、7元的软皮和硬皮两种笔记本,根据需要软皮笔记本至少买3本,硬皮笔记本至少买2本,则不同的选购方式共有7种.【解答】解:根据题意,设买x本软皮笔记本,y本硬皮笔记本,则有,当x=3时,y可取的值为2、3、4;当x=4时,y可取的值为2、3;当x=5时,y可取的值为2;当x=6时,y可取的值为2;当x≥7时,由于y≥2,此时6x+7y≥56,不能满足题意;共7种不同的选购方式;故答案为:7.15.(5分)已知双曲线C:(a>0,b>0),其右焦点为F(c,0),O=bc,则为坐标原点,以OF为直径的圆交曲线C于A、B两点,若S四边形OAFB双曲线C的离心率e=.【解答】解:可设A(m,n),(m>0,n>0),S四边形OAFB=bc,由双曲线和圆的对称性可得,cn=bc,即n=b,将A的坐标代入双曲线的方程可得,﹣=1,可得m=a,由直径所对的圆周角为直角,可得k OA k AC=﹣1,即有•=﹣1,可得a2﹣ac+b2=0,由b2=c2﹣a2,化为3a2﹣2ac+c2=0,可得c=a,e==.故答案为:.16.(5分)已知:f(x)=,若方程[f(x)]2﹣f(x)+a=0有四个不等的实根,则a的取值范围是.【解答】解:由f(x)=,得f(x)=.当x≥0时,由f(x)=,得f′(x)=,当x∈[0,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当x<0时,由f(x)=﹣,得f′(x)=<0,f(x)单调递减,作出函数f(x)=的图象如图:令f(x)=m,若方程[f(x)]2﹣f(x)+a=0有四个不等的实根,则关于m得方程一个根在(0,)内而另一个根大于.∴,解得0<a<.∴a的取值范围是:.故答案为:.三、解答题:(17~21题每题12分;22、23题二选一10分)17.(12分)△ABC的内角A,B,C对应的边分别为a,b,c.已知:(1﹣tanA)(1﹣tanB)=2.(1)求角C;.(2)若b=2,c=4,求△ABC的面积S△ABC【解答】解:(1)∵(1﹣tanA)(1﹣tanB)=2,整理可得:tanAtanB﹣1=tanA+tanB,∴tanC=tan[π﹣(A+B)]=﹣=﹣=1,∵C∈(0,π)∴C=.(2)∵b=2,c=4,由(1)可得C=,∴由正弦定理,可得:sinB===,∵b<c,可得:B=,A=π﹣B﹣C,=bcsinA=sin(+)=.∴△ABC的面积S△ABC18.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四边形,且平面PAD ⊥平面ABCD,PA⊥AB.(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)若PA=PD=AD=DC,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.【解答】(1)证明:∵在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,在平面PAD内过P作PO⊥AD,则PO⊥平面ABCD,∴PO⊥AB,又PA⊥AB,PO∩PA=P,∴AB⊥平面PAD,∴AB⊥AD,又底面ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是矩形;(2)解:以O为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,设PA=PD=AD=DC=2,则A(1,0,0),B(1,2,0),C(﹣1,2,0),P(0,0,).∴,,.设平面PAB的一个法向量为,平面PBC的一个法向量为,由,取,得;由,取,得.∴cos<>===.由图可知,二面角A﹣PB﹣C的平面角为钝角,其余弦值为.19.(12分)在某校举行的一次数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩X近似服从正态分布N(70,100).已知成绩在90分以上(含90分)的学生有16名.(1)试问此次参赛的学生总数约为多少人?(2)若该校计划奖励竞赛成绩在80分以上(含80分)的学生,试问此次竞赛获奖励的学生约为多少人?附:P(|X﹣μ|<ς)=0.683,P(|X﹣μ|<2ς)=0.954,P(|X﹣μ|<3ς)=0.997.【解答】解:(1)设参赛学生的成绩为X,因为X~N(70,100),所以μ=70,ς=10,则:==,16÷0.023≈696(人).因此,此次参赛学生的总数约为696人.(2)由P(X≥80)=P(X≤60)====0.1585,得696×0.1585≈110.因此,此次竞赛获奖励的学生约为110人.20.(12分)设M(x,y)与定点F(1,0)的距离和它到直线l1:x=3的距离的比是常数,(1)求点M的轨迹曲线C的方程:(2)过定点F的直线l2交曲线C于A、B两点,以O、A、B三点(O为坐标原点)为顶点作平行四边形OAPB,若点P刚好在曲线C上,求直线l 2的方程.【解答】解:(1)由题意得,则3[(x﹣1)2+y2]=(x﹣3)2,即2x2+3y2=6,∴,故曲线C的方程为;(2)设直线l2的方程为x=my+1,P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2).联立,得(2m2+3)y2+4my﹣4=0.则,=.∴,.∵P(x0,y0)在椭圆上,∴,即2m2+3=4,得m=.∴直线l 2的方程为或.即或.21.(12分)已知:f(x)=(2﹣x)e x+a(x﹣1)2(a∈R)(1)讨论函数f(x)的单调区间:(2)若对任意的x∈R,都有f(x)≤2e x,求a的取值范围.【解答】解:(1)f′(x)=(1﹣x)e x+2a(x﹣1)=(x﹣1)(2a﹣e x),当a≤0时,函数在(﹣∞,1)上递增,在(1,+∞)上递减;当时,函数在(﹣∞,ln2a),(1,+∞)上递减,在(ln2a,1)上递增;当时,函数在(﹣∞,1),(ln2a,+∞)上递减,在(1,ln2a)上递增;当时,函数在R上递减;(2)由对任意的x∈R,f(x)≤2e x,即(2﹣x)e x+a(x﹣1)2≤2e x,当x=1时,e x+a(x﹣1)2≤2e x,恒成立,当x≠1时,整理得:a≤,对任意x∈R恒成立,设g(x)=,求导g′(x)==,令g′(x)=0,解得:x=1±,当x=1+附近时,当x>1+,g′(x)>0,当1<x<1+,f′(x)<0,∴当x=1+时取极小值,极小值为,当x=1﹣附近时,当x>1﹣,g′(x)>0,当x<1﹣,g′(x)<0,当x=1﹣时取极小值,极小值为,由<,∴g(x)的最小值为,,由题意对任意的x∈R,都有f(x)≤2e x,即a≤f(x)最小值∴a的取值范围(﹣∞,].请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ.(1)在直角坐标系中,若以过原点的直线的倾斜角α为参数,求出曲线C的参数方程.(2)求直线l与曲线C相交弦的最小值.【解答】解:(1)曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ,即ρ2=2ρsinθ,利用互化公式可得:x2+y2=2y,配方为:x2+(y﹣1)2=1,圆心C(0,1),半径r=1.可得参数方程:.(θ为参数).(2)直线l的参数方程为(t为参数),可得直线l经过定点P.当直线l⊥CP时,直线l与曲线C相交弦的弦长最短为2=.[选修4-5:不等式选讲]23.已知:f(x)=|x+a|+|x﹣1|(1)当a=1时,求不等式f(x)<3的解集;(2)若对任意的x∈R,f(x)≥3恒成立,求a的取值范围.【解答】解:(1)a=1时,f(x)=|x+1|+|x﹣1|,x≥1时,x+1+x﹣1<3,解得:x<1.5,﹣1<x<1时,x+1+1﹣x<3,成立,x≤﹣1时,﹣x﹣1﹣x+1<3,解得:x>﹣1.5,故不等式的解集是:(﹣1.5,1.5);(2)若对任意的x∈R,f(x)≥3恒成立,即f(x)min≥3恒成立,而f(x)≥|x+a﹣x+1|=|a+1|,故|a+1|≥3,解得:a≥2或a≤﹣4.。
河南省中原名校(豫南九校)2018届高三上学期第四次质量考评(期中)数学(理)试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设全集2{3,1,21}U a a =-+,集合{1,3}A = ,{0}U A C =,则a 的值为( ) A .0 B .1 C .2- D .1-2. i 是虚数单位,复数242(1)412ii i i+---=-( ) A .0 B .2 C .4i - D .4i 3. 若“01x <<”是“()[(2)]0x a x a --+≤”的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是( )A .[1,0]-B .(1,0)-C .(,0)[1,)-∞+∞D .()(,1)0,-∞-+∞ 4. 如果33log log 4m n +≥,那么m n +的最小值为( ) A .4 B. C. 9 D .185. 一个几何体的三视图如图所示:其中,正(主)视图中ABC ∆的边长是2的正三角形,俯视图为正六边形,那么该几何体的体积为( )A .1B .32C. 2 D .4 6. 连接双曲线22221x y a b -=和22221y x b a-=(其中,0a b >)的四个顶点的四边形面积为1S ,连接四个焦点的四边形的面积为2S ,则21SS 的最小值为( )AB .2C.D .37. 已知定义在R 上的函数()f x ,其导函数()f x '的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是( )①()()()f b f a f c >>;②函数()f x 在x c =处取得极小值,在x e =处取得极大值; ③函数()f x 在x c =处取得极大值,在x e =处取得极小值; ④函数()f x 的最小值为()f d.A .③B .①② C.③④ D .④ 8. 若将函数sin(3)()22y x ππϕϕ=+-<<的图象向右平移4π个单位后得到的图象关于点(,0)3π对称,则ϕ=( ) A .4π-B .4π C. 3π D .3π- 9. 已知抛物线24y x =的焦点为F ,准线与x 轴的交点为M ,N 为抛物线上的一点,且满足NF =,则点F 到MN 的距离为( ) A .12B .1C. D .210. 在ABC ∆中,222a c b +=cos A C +的最大值是( ) A .1 B .2 C.3 D .411. 已知2214a b +=,则cos 2sin a b θθ+的最大值为( )A .1 BC. 2 D.12. 已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 为增函数,且1()(())1f x f f x x⋅+=,则(1)f 等于( )ABC.D第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上) 13.若x ,y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则y x 的最大值为 .14.如图,长方体1111ABCD A B C D -的三个面的对角线1AD ,1A B ,AC 的长分别是1,2,3,则该长方体的外接球的表面积为 .15.已知直线l 的方程为20x y -+=,抛物线为22y x =,若点P 是抛物线上任一点,则点P 到直线l 的最短距离是 . 16.已知数列{}n a 满足11a =,122n n n n a a a +=+.记2nn nC a =,则数列{}n C 的前n 项和12...n C C C +++= .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 海中一小岛C的周围8)n mile 内有暗礁,海轮由西向东航行至A 处测得小岛C 位于北偏东75︒,航行8nmile 后,于B 处测得小岛C 在北偏东60︒(如图所示).(1)如果这艘海轮不改变航向,有没有触礁的危险?请说明理由.(2)如果有触礁的危险,这艘海轮在B 处改变航向为东偏南α(0α>)方向航行,求α的最小值.附:tan 752︒=+18.已知两个不共线的向量,a b满足(1a = ,(cos ,sin )b θθ=,R θ∈.(1)若2a b - 与7a b -垂直,求a b + 的值;(2)当[0,]2πθ∈时,若存在两个不同的θ使得a ma = 成立,求正数m 的取值范围.19.如图,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,侧棱1A A ⊥底面ABCD ,AB AC ⊥,1AB =,12AC AA ==,AD CD ==M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点.(1)求证://MN 平面ABCD ; (2)求二面角11D AC B --的正弦值;(3)设E 为棱11A B 上的点,若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13,求线段1A E 的长.20.设椭圆2221(3x y a a +=的右焦点为F ,右顶点为A .已知1OA OF -=,其中O 为原点,e 为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程及离心率e 的值;(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上),垂直于l 的直线与l 交于点M ,与y 轴交于点H .若BF HF ⊥,且MOA MAO ∠≤∠,求直线l 的斜率的取值范围. 21. 设函数()()f x mx n =+ln x .若曲线()y f x =在点(,())P e f e 处的切线方程为2y x e =-(e 为自然对数的底数).(1)求函数()f x 的单调区间;(2)若关于x 的不等式2()(1)f x x λ≤-恒成立,求实数λ的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为1ρ=,曲线2C 的参数方程为12cos 12sin x y αα=+⎧⎨=+⎩,(α为参数).(1)将两曲线化成普通坐标方程;(2)求两曲线的公共弦长及公共弦所在的直线方程. 23.选修4-5:不等式选讲已知关于x 的不等式32x x a -+-<. (1)当3a =时,解不等式;(2)如果不等式的解集为空集,求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BAADB 6-10:BAABA 11、12:CB 二、填空题13.3 14.7π 15. 16. 2n n ⋅ 三、解答题17.解:(1)如图1,过点作直线AB 的垂线,交直线AB 于点D . 由已知得15A ∠=︒,30CBD ∠=︒,15ACB ∠=︒, ∴8AB BC nmile ==.∴在Rt BCD ∆中,sin CD AB CBD =⋅∠=1842nmile nmile ⨯=.又48<,∴海轮由触礁的危险.(2)如图2,延长CD 至E ,使8)CE nmile =,故12)DE nmile =.由(1)得tan30CDBD ==︒.∴tan 2DE DBE BD ∠===-∵tan 752︒=tan152︒==-即tan tan15DBE ∠=︒,∴15DBE ∠=︒. 故海轮应按东偏南15°的方向航行.18.解:(1)由条件知2a = ,1b = ,又2a b - 与7a b -垂直,所以(2)(7)81570a b a b a b -⋅-=-⋅+= ,所以1a b ⋅=.所以222a b a +=+ 24217a b b ⋅+=++= ,故a b + =(2)由a ma = ,得22a ma += ,即22223a b b m a +⋅+= ,即2434b m +⋅+=,27)4m θθ+=,所以2)476m πθ+=-.由[0,]2πθ∈得2[,]663πππθ+∈,又θ要有两解,结合三角函数图象可得,2647m ≤-≤2134m ≤≤,又因为0m >m ≤≤19.解:如图,以A 为原点建立空间直角坐标系,依题意可得(0,0,0)A ,(0,1,0)B ,(2,0,0)C ,(1,2,0)D -,1(0,0,2)A ,1(0,1,2)B ,1(2,0,2)C ,1(1,2,2)D -.又因为M ,N 分别为1B C 和1D D的中点,所以11,12M (,),122N -(,,).(1)证明:依题意,可得(0,0,1)n = 为平面ABCD 的一个法向量,MN 5(0,,0)2=-,由此可得0MN n ⋅=.又因为直线MN ⊄ABCD ,所以//MN 平面ABCD .(2)1(1,2,2)AD =- ,(2,0,0)AC = ,设1111(,,)n x y z =为平面1ACD 的一个法向量,则1110,0,n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1111220,20.x y z x -+=⎧⎨=⎩不妨设11z =,可得1(0,1,1)n =.设2222(,,)n x y z =为平面1ACB 的一个法向量,则2120,0.n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 又1(0,1,2)AB = ,所以22220,20,y z x +=⎧⎨=⎩不妨设21z =,可得2(0,2,1)n =-.因此有121212cos ,n n n n n n ⋅<>==,于是12sin ,n n <>=所以,二面角11D AC B --(3)依题意,可设111A E A B λ=,其中[0,1]λ∈,则(0,,2)E λ, 从而(1,2,1)NE λ=-+.又(0,0,1)n =为平面ABCD 的一个法向量,由已知,得 cos ,NE n NE n NE n ⋅<>=13==, 整理得2430λλ+-=,解得2λ=-又因为[0,1]λ∈,所以2λ=. 所以,线段1A E的长为2λ=.20.解:(1)设(,0)F c ,∵1a c -=,∴1a c =+,2212a c c =++又222a b c =+,∴312c =+,1c =,∴2a =, 所以21c =,因此24a =.所以,椭圆的方程为22143x y +=.12c e a ==.(2)解:设直线l 的斜率为(0)k k ≠,则直线l 的方程为(2)y k x =-,设(,)B B B x y , 由方程组22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,消去y ,得2222(43)1616120k x k x k +-+-=, 解得2x =,或228643k x k -=+,由题意得228643B k x k -=+,从而21243B ky k -=+.由(1)知,(1,0)F ,设(0,)H H y ,有(1,)H FH y =- ,2229412(,)4343k kBF k k -=++ .由BF HF ⊥,得0B F F H ⋅= ,所以222124904343H ky k k k -+=++,解得29412H k y k -=.因此直线M H 的方程为219412k y x k k-=-+.设(,)M M M x y ,由方程组2(2)19412y k x k y x k k =-⎧⎪⎨-=-+⎪⎩,消去y ,解得2220912(1)M k x k +=+,在MAO ∆中,MOA MAO MA MO ∠≤∠⇔≤,即2222(2)M M M Mx y x y -+≤+,化简得1M x ≥,即22209112(1)k k +≥+,解得k ≤,或k ≥所以,直线l的斜率的取值范围为(,)-∞+∞ . 21.解:(1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞. ()ln mx nf x m x x+'=+. 依题意得()f e e =,()2f e '=,即0,2,me n me nm e +=⎧⎪+⎨+=⎪⎩ 所以1,0m n ==.所以()ln f x x x =,()ln 1f x x '=+.当1(0,)x e ∈时,()0f x '<;当1(,)x e∈+∞时,()0f x '>.所以函数()f x 的单调递减区间是1(0,)e,单调递增区间是1(,)e +∞.(2)设函数2()ln (1)H x x x x λ=+-,故对任意[1,)x ∈+∞,不等式()0(1)H x H ≤=恒成立.又()ln 12H x x x λ'=+-,当()ln 120H x x x λ'=+-≤,即ln 12x xλ+≤恒成立时, 函数()H x 单调递减,设ln 1()x r x x+=,则2ln ()0x r x x -'=≤,所以max ()(1)1r x r ==,即1122λλ≤⇔≥,符合题意; 当0λ≤时,()ln 120H x x x λ'=+-≥恒成立,此时函数()H x 单调递增. 于是,不等式()(1)0H x H ≥=对任意[1,)x ∈+∞恒成立,不符合题意; 当102λ<<时,设()()ln 12q x H x x x λ'==+-, 则1()20q x xλ'=-=112x λ⇒=>; 当1(1,)2x λ∈时,1()20q x xλ'=->,此时()()ln 12q x H x x x λ'==+-单调递增, 所以()ln 12H x x x λ'=+-(1)120H λ'>=->, 故当1(1,)2x λ∈时,函数()H x 单调递增. 于是当1(1,)2x λ∈时,()0H x >成立,不符合题意; 综上所述,实数λ的取值范围为:1[,)2+∞.22.解:(1)由题知,曲线1C :1ρ=的直角坐标方程为:221x y +=①, 圆心为(0,0),半径为1;曲线2C :12cos 12sin x y αα=+⎧⎨=+⎩(α为参数)的直角坐标方程为22(1)(1)4x y -+-=②,(2)由①-②得,2210x y ++=,此即为过两圆的交点的弦所在的直线方程.圆心(0,0)到直线2210x y ++=的距离d故两曲线的公共弦长为. 23.解:(1)原不等式233x x -+-<.当2x <时,原不等式化为523x -<,解得1x >,∴12x << 当23x ≤≤时,原不等式化为13<,∴23x ≤≤.当3x >时,原不等式化为253x -<,解得4x <,∴34x <<. 综上,原不等式解集为}{14x x <<.(2)解法一:作出23y x x =-+-与y a =的图象. 若使23x x a -+-<解集为空集,只须23y x x =-+-的图象在y a =的图象的上方,或y a =与1y =重合, ∴1a ≤,所以a 的范围为(,1]-∞.解法二:23y x x =-+-25(3)1(23)52(2)x x x x x -≥⎧⎪=≤≤⎨⎪-<⎩,当3x ≥时,1y ≥, 当23x ≤<时,1y =, 当2x <时,1y >,综上1y ≥,原问题等价于min [23]a x x ≤-+-,∴1a ≤.解法三:∵23231x x x x -+-≥--+=,当且仅当(2)(3)0x x --≤时,上式取等号,∴1a ≤.。
**==(本文系转载自网络,如有侵犯,请联系我们立即删除 )==**2017-2018学年上期期末考试高一数学试题卷一、选择题:本大题共 12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有 项是符合题目要求的.1.已知集合卜=修,3}|, 归丽,若集合 草厄|中有3个元素,贝U 曰( )A. 2B. 3C. 5D. 2或 3【答案】DB-心集合A 中有3个元素,所以叵习或3. 故选D.2.已知点瓯q ]近空],则线段 匝的垂直平分线的方程是( )A. ¥x~y + 2 =r ^]B. K +4 =5] C. px-y-W 司 D. px~y 十 1 可【答案】A【解析】点区四巨到的中点为(0,2),ri .一 ,.辎直线的斜率为 ——=--,线段四的垂直平分线斜率为 2, 2 + 2 2 线段阿的垂宜平分线的方程是:M=2X +2| ,整理得p*-y¥ = O .pgx +1段可【答案】C[解析]由krW,易知妒---------| X y何 3所以A,B 不正确,C 正确,n __________________ I当x= ], y =待时,满足但gx-1 = ,故D 不正确.一… 1 3.函数云)-——+ ln(3 2x) 血] AN B .国c. 【答案】B的定义域为( 3D-)【解析】要使函数 1:(x)---- 1 ln(3 - 2x); 有意义,则故选B.解得卜诚故选A.4.已知 *,y E 溟mk >y a °L 贝u(C. D.A.UoB.故选C.5.若直线=到始终平分圆Il 4y 3 = 0的周长,则i的值为(A. -2B. -1C. 2D. 4【答案】B【解析】直线l:x - y - 1 =。
始终平分圆U:x'卜y' - 2ax I 4y - 3 = 0的周长,代入直线得I =。
],解得口.故选B.A.是偶函数,且在目上是增函数B. 是奇函数,且在四上是增函数C.是偶函数,且在目上是减函数D. 是奇函数,且在网上是减函数【答案】B【解析】函数f(x)= e x-由*满足f(x) + f< - x) = e x - + - e x=所以回是奇函数,又因为£目和匚句均为增函数,所以|f(x)=e x - (§*也为增函数,故选B.7.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥四个面的面积中最大面的面积是(【答案】C 0,即f(x) = -f( - x).6.|^2.71828--|),则由【解D作出三棱锥P-ABC勺直观图如图所示,过A作A[X BG垂足为D,连结PDBDAD=1,CD=PA=2,二Rc = =心i AD?=焰.心=十匚口?=我必=由.日G L PD故选C.由三视图可知PM平面ABC点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系,遵循“长对正,高平齐,宽相等”的基本原则,其内涵为正视图的高是几何体的高,长是几何体的长;俯视图的长是几何体的长,宽是几何体的宽;侧视图的高是几何体的高,宽是几何体的宽8.如图,在四边形牌珂中,|顷CD], |AB LRq, ]W = DC = 4,匕少=据,动点时从点同出发,按照虫三三耳路径沿边运动,设点运动的路程为&叵囤的面积为口,则函数E顼可的图像大致是()【解析】在四边形回羽中,皿印,匝口血=用,所以K"AB = 45七AB = 2 I同, _________ , i 忑 2 - 2j2当泡E[CU]时,=——X;------ 2 2 4、“ __- 1 匚 2 +2皿—当际卫迎时,y = X耕x盘=―-—;] 2 + j\/2>当k」NY I 刨寸,y = - x局x (4・1很f)=—火4 +掴-对.由此可得图象为 A.—故选A.9.我国南北朝时期的数学家、天文学家祖唯提出了著名的祖唯原理:“藉势既同,则积不容异”。
中原名校2017—2018学年第二次质量考评高三数学(理)试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}lg A x y x ==,{}2230B x x x =--<,则A B =I ( )A .()0,3B .()1,0-C .()(),03,-∞+∞UD .()1,3- 2.若()2x i i y i -=+,,x y R ∈,其中i 为虚数单位,则复数x yi +=( ) A .2i -+ B .2i + C .12i - D .12i +3.命题p :,x y R ∈,222x y +<,命题q :,x y R ∈,2x y +<,则p 是q 的( ) A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .必要充分条件 D .既不充分也不必要条件4.已知函数()12log ,1236,1xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪+≤⎩,则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭( ) A .3 B .4 C .3- D .385.某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的体积等于( )3cm.A .243+π B .342+π C .263+π D .362+π6.已知定义域为R 的偶函数()f x 在(],0-∞上是减函数,且()12f =,则不等式()2log 2f x >的解集为( )A .()2,+∞B .()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U C .)⎛+∞ ⎝⎭UD .)+∞7.已知0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πα,()sin sin a =αα,()sin cos b =αα,()cos sin c =αα,则( )A .a b c <<B .a c b <<C .b a c <<D .c a b <<8.点A ,B ,C ,D 在同一个球的球面上,AB BC ==,90ABC ∠=︒,若四面体ABCD 体积的最大值为3,则这个球的表面积为( ) A .2π B .4π C .16π D .8π9.已知AB 是圆C :()2211x y -+=的直径,点P 为直线10x y -+=上任意一点,则PA PB ⋅uu r uu r的最小值是( )A .1B .0C 110.若函数()()3f x x x c =-在2x =处有极小值,则常数c 的值为( ) A .4- B .2或8 C .2 D .811.倾斜角为12π的直线l 经过原点与双曲线22221x y a b-=的左、右两支于A 、B 两点,则双曲线离心率的取值范围为( )A .)+∞ B .)+∞ C .(D .(12.已知曲线()xf x ke -=在点0x =处的切线与直线210x y --=垂直,若1x ,2x 是函数()()ln g x f x x =-的两个零点,则( ) A .12211x x e e << B .12211x x e << C .1211x x e<< D .212e x x e <<第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.设x ,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩,则2z x y =-的最大值为 .14.已知函数()sin bf x a x c x=++,[)(]5,00,5x ∈-ππU ,若()()114034f f +-=,则c = . 15.由曲线y =2y x =-及x 轴所围成的封闭图形的面积为 .16.定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()0f x >,()f x '为()f x 的导函数,且()()()23f x xf x f x '<<对()0,x ∈+∞恒成立,则()()23f f 的取值范围是 . 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c,且sin cos a B A =. (1)求角A 的值;(2)若ABC ∆ABC ∆的周长为6,求边长a .18.近年来空气质量逐步恶化,雾霾天气现象增多,大气污染危害加重,大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解心肺疾病是否与性别有关,在市第一人民医院随机对入院50人进行了问卷调查,得到如下的列联表:(1)是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由;(2)已知在患心肺疾病的10位女性中,有3位又患有胃病,现在从患心肺疾病的10位女性中,选出3位进行其他方面的排查,其中患胃病的人数为ξ,求ξ的分布列、数学期望.参考公式:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++下面的临界值仅供参考:19.如图,四边形ABCD 为正方形,PD ⊥平面ABCD ,PD QA ∥,2QA AB PD ==. (1)证明:平面PQC ⊥平面DCQ ; (2)求二面角Q BP C --的余弦值.20.已知椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>)的离心率为12,以坐标原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)设点()4,0P ,A 、B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点,连接PB 交椭圆C 于另一点E ,证明:直线AE 与x 轴相交于定点. 21.已知函数()ln f x x =,()h x ax =(a R ∈).(1)函数()f x 与()h x 的图象无公共点,试求实数a 的取值范围; (2)是否存在实数m ,使得对任意的1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭,都有函数()m y f x x =+的图象在()xe g x x=的图象的下方?若存在,请求出最大整数m 的值;若不存在,请说明理由.(参考数据:ln 20.6931=,ln 3 1.0986= 1.6487= 1.3956=).请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程以坐标原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10+=ρθρθ,将曲线1C :cos sin x y =⎧⎨=⎩αα(α为参数),经过伸缩变换32x xy y'=⎧⎨'=⎩后得到曲线2C .(1)求曲线2C 的参数方程;(2)若点M 的曲线2C 上运动,试求出M 到直线C 的距离的最小值. 23.选修4-5:不等式选讲 已知函数()12f x x a a=-+(0a ≠) (1)若不等式()()1f x f x m -+≤恒成立,求实数m 的最大值. (2)当12a <时,函数()()21g x f x x =+-有零点,求实数a 的取值范围.中原名校2017—2018学年第二次质量考评高三数学(理)参考答案一、选择题1-5:ABACD 6-10:BDCAD 11、12:AB二、填空题13.8 14.2017 15.103 16.84,279⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题17.解:(1)∵sin cos a B A =,∴sin sin cos A B B A =, ∵()0,B ∈π,∴sin 0B ≠,∴sin A A =,tan A =()0,A ∈π,∴3A =π.(2)1sin 2ABC S bc A ∆==4bc =, 又∵6a b c ++=,222cos 2b c a A bc +-==()222122b c bc a bc +--=∴()2268182a a ---=解得2a =.18.解:(1)∵()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,即()2250201551025252530203K ⨯-⨯==⨯⨯⨯∴28.333K ≈,又()27.8790.0050.5%P K ≥==,∴我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的(2)现在从患心肺疾病的10位女性中选出3位,其中患胃病的人数0,1,2,3=ξ,∴()373107024C P C ===ξ,()217331021140C C P C ⋅===ξ, ()12733107240C C P C ⋅===ξ,()3331013120C P C ===ξ. 所以ξ的分布列为所以ξ的数学期望()721012440E =⨯+⨯+ξ719234012010⨯+⨯= 19.解:如图,以D 为坐标原点,线段DA 的长为单位长,射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -.(1)依题意有()1,1,0Q ,()0,0,1C ,()0,2,0P .则()1,1,0DQ =uuu r ,()0,0,1DC =uuu r ,()1,1,0PQ =-uu u r.所以0PQ DQ ⋅=u u u r u u u r ,0PQ DC ⋅=u u u r u u u r.即PQ DQ ⊥,PQ DC ⊥,故PQ ⊥平面DCQ , 又PQ 平面PQC ,所以平面PQC ⊥平面DCQ .(2)依题意有()1,0,1B ,()1,0,0CB =uu r ,()1,2,1BP =--uu r.设(),,n x y z =是平面PBC 的法向量,则0n CB n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu r r uu r即0220x x y =⎧⎨-+-=⎩因此可取()0,1,2n =--r . 设m 是平面PBQ 的法向量,则0m BP m PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uu r u r uu u r同理可取()1,1,1m =u r.所以cos ,m n =. 故二面角Q BP C --的余弦值为20.解:(1)以坐标原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆为222x y b +=直线0x y -=与圆相切,∴b ==又12c e a ==∴2a c =∵222a b c =+∴2243c c =+解得1c =∴2a =故椭圆的方程为22143x y +=. (2)由题意知直线PB 的斜率存在,所以设直线PB 的方程为()4y k x =-,由()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,得()2222433264120k x k x k +-+-=,设点()11,B x y ,()22,E x y ,则()11,A x y -,∴21223243k x x k +=+,2122641243k x x k -=+① 直线AE 的方程为()212221y y y y x x x x +-=--,令0y =得212221x xx x y y y -=-+,有∵()114y k x =-,()224y k x =-代入上式,整理得()121212248x x x x x x x -+=+-②将①式代入②式整理得1x =, 所以直线AE 与x 轴相交于定点()1,0.21.解:(1)函数()f x 与()h x 无公共点,等价于方程ln xa x=在()0,+∞无解, 令()ln x t x x =,则()21ln xt x x -'=,令()0t x '=,得x e =因为x e =是唯一的极大值点,故()max 1t t e e== 故要使方程ln x a x =在()0,+∞无解,当且仅当1a e >故实数a 的取值范围为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)假设存在实数m 满足题意,则不等式e ln x m x x x +<对1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立,即ln xm e x x <-对1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭恒成立,令()ln x r x e x x =-,则()ln 1x r x e x '=--, 令()ln 1x x e x =--ϕ,则()1xx e x'=-ϕ, 因为()x 'ϕ在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,121202e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭ϕ,()110e '=->ϕ,且()x 'ϕ的图象在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上连续,所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()00x '=ϕ,即0010x e x -=,则00ln x x =-所以当01,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()x ϕ单调递减;当()0,x x ∈+∞时,()x ϕ单调递增,则()x ϕ取到最小值()000ln 1xx e x =--=ϕ0011110x x +-≥=>, 所以()0r x '>,即()r x 在区间1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭内单调递增, 12111ln 222m r e ⎛⎫≤=-= ⎪⎝⎭121ln 2 1.995252e +=,所以存在实数m 满足题意,且最大整数m 的值为1.22.解:(1)将曲线1C :cos sin x y =⎧⎨=⎩αα(α为参数)由伸缩变换32x x y y '=⎧⎨'=⎩,可得参数方程为3cos 2sin x y =⎧⎨=⎩αα(α为参数). (2)曲线C 的极坐标方程2sin cos 10+=ρθρθ,化为直角坐标方程:2100y x +-=,点M 到C的距离d ==≥=,∴点M 到C 23.解:(1)12x a x a m a -+--+12x a x a m m a-≤--+-= ∵()()1f x f x m -+≤∴1m ≤,m 的最大值为1.(2)()()21g x f x x =+-即()1131,22111,22131,2x a x a g x x a a x a x a x a a ⎧+--≥⎪⎪⎪=-+-+≤<⎨⎪⎪-+++<⎪⎩()g x 在12x =处取到最小值,即1131022a a ⨯+--≤,11022a a+-≤, 通分后的()()21102a a a+-≥ 解集为10,12a a a ⎧⎫-≤<≥⎨⎬⎩⎭与题干中12a <取交集得102a a ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭。
河南省豫南九校联考2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)一、选择题。
1.同学们,当你任意摆放手中笔的时候,那么桌面所在的平面一定存在直线与笔所在的直线A. 平行B. 相交C. 异面D. 垂直【答案】D【解析】【分析】由题设条件可知,可以借助投影的概念对及三垂线定理选出正确选项.【详解】解:由题意,若笔所在直线若与地面垂直,则在地面总有这样的直线,使得它与笔所在直线垂直;若笔所在直线若与地面不垂直,则其必在地面上有一条投影线,在平面中一定存在与此投影线垂直的直线,由三垂线定理知,与投影垂直的直线一定与此斜线垂直,综上,当你任意摆放手中笔的时候,那么桌面所在的平面一定存在直线与笔所在的直线垂直.故选:D.【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系,解题的关键是熟练掌握线面垂直与三垂线定理,再结合直线与地面位置关系的判断得出答案.2.已知直线l经过点,且斜率为,则直线l的方程为A. B.C. D.【答案】A【解析】直线经过点,且斜率为,则即故选A3.若线段AB的长等于它在平面内的射影长的2倍,则AB所在直线与平面所成的角为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据图形找到线面角,进而在直角三角形中求解即可.【详解】如图,AC⊥α,AB∩α=B,则BC是AB在平面α内的射影,则BC=AB,所以∠ABC =60°,它是AB与平面α所成的角.故选C.【点睛】本题主要考查了线面角的求解,属于基础题.4.下列函数中,满足的单调递增函数是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意,由依次分析选项,综合即可得答案.【详解】解:根据题意,依次分析选项:对于A,对于,有,满足,符合题意;对于B,,为对数函数,不满足,不符合题意;对于C,,为指数函数,不满足,不符合题意;对于D,,为指数函数,不满足,不符合题意;故选:A.【点睛】本题考查函数的值的计算,涉及函数单调性的判断,属于基础题.5.若直线:过点,:,则直线与A. 平行B. 相交但不垂直C. 垂直D. 相交于点【答案】C【解析】【分析】利用直线:过点,求出a,求出两条直线的斜率,即可得出结论.【详解】解:直线:过点,,,直线:的斜率为2,:的斜率为,直线与:互相垂直.故选:C.【点睛】本题考查直线方程,考查直线与直线的位置关系,考查学生的计算能力,比较基础.6.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为A. B.C. D.【答案】C【解析】解:将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体中可以从左向右看得到,则该几何体的侧视图为D7.已知函数,则=()A. 4B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据分段函数的解析式,代入求解,即可得到答案.【详解】由题意,函数,则,所以,选B.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题,其中解答中正确把握分段函数的解析式,根据分段条件代入求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.8.如图是一个正方体的平面展开图,则在正方体中直线AB与CD的位置关系为A. 相交B. 平行C. 异面而且垂直D. 异面但不垂直【答案】D【解析】解:利用展开图可知,线段AB与CD是正方体中的相邻两个面的面对角线,仅仅异面,所成的角为600,因此选D9.已知函数,且,当时,,方程表示的直线是A. B.C. D.【答案】C【解析】∵f(x)=a x,且x<0时,f(x)>1,∴0<a<1,>1.又∵y=ax+在x轴、y轴上的截距分别为-和,且|-|>,故C项图符合要求.10.如图,在四面体ABCD中,截面PQMN是正方形,则在下列命题中,错误的是()A. B. 截面PQMNC. D. 异面直线PM与BD所成的角为【答案】C【解析】【分析】首先由正方形中的线线平行推导线面平行,再利用线面平行推导线线平行,这样就把AC、BD 平移到正方形内,即可利用平面图形知识做出判断.【详解】解:因为截面PQMN是正方形,所以、,则平面ACD、平面BDA,所以,,由可得,故A正确;由可得截面PQMN,故B正确;异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角,故D正确;综上C是错误的.故选:C.【点睛】本题主要考查线面平行的性质与判定.11.已知在上的减函数,则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先将函数转化为,,两个基本初等函数,再利用复合函数的单调性求解.【详解】解:令,,若,则函,是减函数,由题设知为增函数,需,故此时无解;若,则函数是增函数,则t为减函数,需且,可解得综上可得实数a的取值范围是故选:B.【点睛】本题考查复合函数的单调性,关键是分解为两个基本函数,利用同增异减的结论研究其单调性,再求参数的范围.12.九章算术是我国古代著名数学经典其中对勾股定理的论述比西方早一千多年,其中有这样一个问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小以锯锯之,深一寸,锯道长一尺问径几何?”其意为:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯该材料,锯口深一寸,锯道长一尺问这块圆柱形木料的直径是多少?长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中,截面图如图所示阴影部分为镶嵌在墙体内的部分已知弦尺,弓形高寸,估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注:1丈尺寸,,)A. 600立方寸B. 610立方寸C. 620立方寸D. 633立方寸【答案】D【解析】【分析】由三角形,利用勾股定理可得半径,进而得,再利用,乘以高即可得体积.【详解】连接,设⊙的半径为,则,所以.由于,所以,即.所以平方寸.∴该木材镶嵌在墙中的体积为立方寸,故选D.【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理及扇形的面积公式,柱体的体积公式,属于中档题二、填空题。
河南省豫南九校2017-2018学年⾼⼀上学期期末联考数学试题含答案豫南九校2017-2018学年上期期末联考⾼⼀数学试题⼀、选择题:本⼤题共12个⼩题,每⼩题5分,共60分.在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项是符合题⽬要求的.1.已知集合}2,1{=A ,则集合},|),{(A y A x y x B ∈∈=中元素的个数为() A .1 B . 2 C .3 D .42.已知P :直线01:1=-+y ax l 与直线0:22=++a ay x l 平⾏,则a 的值为() A .1 B . -1 C . 0 D .-1或13.函数>≤=0,log 0,)21()(2x x x x f x,则=))81((f f ()A .41 B . 4 C . 81D . 8 4.设βα,是两个不同的平⾯,m 是直线且α?m ,β//m ,若使βα//成⽴,则需增加条件()A . n 是直线且α?n ,β//nB .m n ,是异⾯直线,β//n C. m n ,是相交直线且α?n ,β//n D .m n ,是平⾏直线且α?n ,β//n 5.已知函数32)(2--=ax x x f 在区间]2,1[上是单调增函数,则实数a 的取值范围为() A . )1,(-∞ B . ]1,(-∞ C. ),2(+∞ D .),2[+∞6.已知矩形ABCD ,6=AB ,8=BC ,沿矩形的对⾓线AC 将平⾯ACD 折起,若D C B A ,,,四点都在同⼀球⾯上,则该球⾯的⾯积为()A .π36B .π64 C. π100 D .π2007.设)(x f 是定义在实数集上的函数,且)()2(x f x f =-,若当1≥x 时,x x f ln )(=,则有()A .)2()0()1(f f f =<-B .)2()0()1(f f f =>- C. )2()0()1(f f f <<- D .)2()0()1(f f f >>-8.已知bx ax x f +=2)(是定义在]2,1[a a -上的偶函数,那么)(x f 的最⼤值是() A . 0 B .31 C. 274 D .1 9.某四⾯体的三视图如图,则该四⾯体的体积是()A . 1B .34 C. 23D .2 10.已知实数y x ,满⾜⽅程01422=--+x y x ,则x y 2-的最⼩值和最⼤值分别为() A . -9,1 B .-10,1 C. -9,2 D .-10,211.已知函数12)(2+-=x ax x f ,若对⼀切]2,21[∈x ,0)(>x f 都成⽴,则实数a 的取值范围为()A . ),21[+∞B .),21(+∞ C. ),1(+∞ D .)1,(-∞12.已知BD AC ,为圆922=+y x O :的两条互相垂直的弦,且垂⾜为)2,1(M ,则四边形ABCD ⾯积的最⼤值为()A . 10B .13 C.15 D .20⼆、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.函数)1(log )(221-=x x f 的单调递增区间为.14.已知集合}6)2()1(|),{(22=++-=y x y x A ,}052|),{(=-+=y x y x B ,则集合B A 中⼦集个数是.15.如图,已知圆柱的轴截⾯11A ABB 是矩形,AB AA 21=,C 是圆柱下底⾯弧AB 的中点,1C 是圆柱上底⾯弧11B A 的中点,那么异⾯直线1AC 与BC 所成⾓的正切值为.16.已知函数≥+-<+-=1,241|,1|1)(2x x x x x x f ,则函数12)()2()(+--=x x f x x g 的零点个数为.三、解答题(本⼤题共6⼩题,共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知全集R U =,集合}1log 0|{3<<=x x A ,集合}12|{m x m x B -<<=. (1)当1-=m 时,求B A ,B A C U )(;(2)若A BA = ,求实数m 的取值范围.18. 已知直线0)()2(:=-+++-b a y b a x b a l 及点)3,1(P . (1)证明直线l 过某定点,并求该定点的坐标;(2)当点P 到直线l 的距离最⼤时,求直线l 的⽅程. 19. 设)(x f 是定义在R 上的奇函数,当0>x 时,xxx f 31)(-=. (1)求)(x f 的解析式;(2)解不等式8)(x x f -<. 20. 已知圆C 经过点)1,2(-A ,)3,0(-B 和直线1=+y x 相切. (1)求圆C 的⽅程;(2)若直线l 经过点)0,2(B ,并且被圆C 截得的弦长为2,求直线l 的⽅程.21. 如图,四⾯体PABC 中,⊥PA 平⾯ABC ,1=PA ,1=AB ,2=AC ,3=BC .(1)求四⾯体PABC 的四个⾯的⾯积中,最⼤的⾯积是多少?(2)证明:在线段PC 上存在点M ,使得BM AC ⊥,并求MCPM的值. 22.已知函数x x f 3log 23)(-=,x x g 3log )(=.(1)当]9,1[∈x 时,求函数)(]1)([)(x g x f x h ?+=的值域;(2)如果对任意的]9,1[∈x ,不等式k x f x f >?)()(2恒成⽴,求实数k 的取值范围;(3)是否存在实数a ,使得函数)(]2)([)(x f x ag x F ?+=的最⼤值为0,若存在,求出a 的值,若不存在,说明理由.豫南九校2017—2018学年上期期末联考⾼⼀数学参考答案⼀、选择题(本⼤题共12⼩题,每题5分,共60分,在每个⼩题给出的四个选项中,只有⼀项是符合题⽬要求的)1.解析:选D 集合B 中元素有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),共4个.2.解析:选A 由于直线l 1:ax +y -1=0与直线l 2:x +ay +2a =0平⾏所以012=-a ,即=a -1或1,经检验1=a 成⽴。
河南省中原名校(即豫南九校)2017-2018学年高一上学期期末联考化学试题1. 下列由实验或已有知识得出的结论错误的是A. SO2可用于杀菌、消毒,但不可用来加工食品B. 液氨汽化时要吸收大量热,因此氨常用作制冷剂C. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的细小可吸入颗粒物,其分散在空气中能形成气溶胶D. 铝箔在酒精灯上加热,铝熔化但不滴落,说明氧化铝的熔点高于铝的熔点【答案】C【解析】A. SO2可用于杀菌、消毒,由于二氧化硫有毒,因此不可用来加工食品,A正确;B. 液氨汽化时要吸收大量热,因此氨常用作制冷剂,B正确;C. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米(2.5×10-6m)的细小可吸入颗粒物,其分散在空气中不能形成气溶胶,C错误;D. 铝箔在酒精灯上加热,铝熔化但不滴落,说明氧化铝的熔点高于铝的熔点,D正确,答案选C。
2. 化学与生活密切相关,下列有关说法错误的是A. 高纯度的二氧化硅广泛用于制作光导纤维,光导纤维遇强碱会“断路”B. 《本草经集注》中关于鉴别硝石(KNO3)和朴硝(Na2SO4)的记载:“以火烧之,紫青烟起,乃真硝石也”,该方法应用了焰色反应C. 用漂粉精和洁厕灵(主要成分是盐酸) 混合后的浓溶液清洗马桶效果更佳D. 中草药煎制过程体现了化学实验中的溶解、浓缩、过滤等提纯操作【答案】C【解析】A. 高纯度的二氧化硅广泛用于制作光导纤维,二氧化硅与氢氧化钠溶液反应,光导纤维遇强碱会“断路”,A正确;B. 《本草经集注》中关于鉴别硝石(KNO3)和朴硝(Na2SO4)的记载:“以火烧之,紫青烟起,乃真硝石也”,该方法应用了焰色反应,因为钠和钾的焰色反应不同,B正确;C. 用漂粉精和洁厕灵(主要成分是盐酸)混合后的浓溶液会产生氯气,会降低清洗马桶的效果,且会产生有毒气体氯气,C错误;D. 中草药煎制过程体现了化学实验中的溶解、浓缩、过滤等提纯操作,D正确,答案选C。
中原名校2017—2018学年第二次质量考评高三数学(文)试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合()22,143xyA xy⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭,(){},3xB x y y==,则A BI的子集的个数是()A.1 B.2 C.3 D.42.已知复数21z x x i=+-,222z x i=-+(x R∈,i为虚数单位),若12z z+<,则x的值是()A.1± B.1- C.1 D.2-3.定义在R上的函数()f x,满足()()()()2log4,012,0x xf xf x f x x-≤⎧⎪=⎨--->⎪⎩,则()3f=()A.2- B.1- C.1 D.24.已知函数()()22435f x ax a x=+-+在区间(),3-∞上是减函数,则a的取值范围是()A.30,4⎛⎫⎪⎝⎭B.30,4⎛⎤⎥⎝⎦C.30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦5.关于x的方程2210ax x++=至少有一个负实根的充要条件是()A.1a≤ B.1a< C.01a<≤ D.01a<≤或0a<6.函数()2log xf xx=的大致图象是()A. B. C. D.7.定义在R 上的奇函数()f x ,满足()()2f x f x -=,当(]0,1x ∈,()1xf x e =-,则20232f ⎛⎫=⎪⎝⎭( )A .1e -B .1e - C.1-18.直线3470x y +-=与椭圆22221x y a b+=(0a b >>)相交于两点A ,B ,线段AB 的中点为()1,1M ,则椭圆的离心率是( )A .12 B.2 C.2 D .349.已知函数()()21ln f x f x x '=-,则()f x 的极大值为( ) A .2 B .2ln 22- C .e D .2e -10.若方程220x ax b ++=的一个根在区间()0,1内,另一根在区间()1,2内,则32b a --的取值范围是( )A .2,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C .51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D .2,15⎛⎫⎪⎝⎭11.一棱长为6的正四面体内部有一个可以任意旋转的正方体,当正方体的棱长取最大值时,正方体的外接球的表面积是( )A .4πB .6πC .12πD .24π12.定义在R 上的函数()f x ,满足()[)[)222,0,12,1,0x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩,且()()11f x f x +=-,若()232x g x x -=-,则方程()()g x f x =在区间[]1,5-上所有实根之和为( ) A .3 B .4 C .5 D .6第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知()()221sin 1x a xf x x ++=+(a R ∈),则()()()()()21012f f f f f -+-+++= .14.已知长方体ABCD A B C D ''''-,3AB =,4AA AD '==,则B 到平面AB C '的距离是 .15.直线l 与抛物线24y x =交于两不同点A ,B .其中()11,A x y ,()22,B x y ,若1236y y =-,则直线l 恒过点的坐标是 .16.已知函数()2xf x e ax =-有两个不同的零点,则实数a 的取值范围是 .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知()cos cos cos 0C A A B +-= (1)求角B 的大小;(2)若1a c +=,求b 的取值范围.18.某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度,选了某小区的100位居民调查结果统计如下:(1)根据已有数据,把表格数据填写完整;(2)能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关?(3)已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性,其中2位是女教师,现从这5名女性中随机抽取3人,求至多有1位女教师的概率.附:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,n a b c d =+++19.在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ,AB CD ∥,PAD ∆是等边三角形,已知2AD =,23BD =,24AB CD ==.(1)设M 是PC 上一点,求证:平面MBD ⊥平面PAD . (2)求四棱锥P ABCD -的体积.20.已知椭圆D :22221x y a b+=(0a b >>)的短轴长为2,离心率是32.(1)求椭圆D 的方程;(2)点()0,2E ,轨迹D 上的点A ,B 满足EA EB =λuu r uu r,求实数λ的取值范围.21.已知函数()()222ln 2f x x x x ax =-++.(1)若()f x 在1x =处的切线是340x y +-=,求实数a 的值;(2)当0a >时,函数()()2g x f x x =--有且仅有一个零点,若此时1,x e e -⎡⎤∈⎣⎦,()g x m ≥恒成立,求实数m 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为132x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0-=ρθθ,直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,点()1,3P . (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程; (2)求11PA PB+的值. 23.选修4-5:不等式选讲 已知函数()12f x x x =-++.(1)若存在x 使不等式()0a f x ->成立,求实数a 的取值范围; (2)若不等式()40a f x a+-≥对任意正数a 恒成立,求实数x 的取值范围.中原名校2017—2018学年第二次质量考评高三数学(文)参考答案一、选择题1-5:DBADA 6-10:CCABD 11、12:BC二、填空题13.5 14.()9,0 16.,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭三、解答题17.解:(1)()cos cos cos C A A B +=()cos cos cos cos 0A B A B A B -+=化简得sin B B = 所以3B =π(2)由正弦定理sin sin sin 3a cb b A C B ===所以()231sin sin a c b AC =+=+ ()32sin sin b A C =+,2sin sin sin sin 3A C A A ⎛⎫+=+-⎪⎝⎭π3sin 6A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π 203A <<π,∴1sin ,162A ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦π,∴112b ≤< 综上:b 的取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭18.解:(1)(2)()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -==++++()2100200600 4.762 3.84180203070⨯-≈>⨯⨯⨯所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关. (3)记5人为abcde ,其中ab 表示教师,从5人任意抽3人的所有等可能事件是:abc ,abd ,abe ,acd ,ace ,ade ,bcd ,bce ,bde ,cde 共10个,其中至多1为教师有7个基本事件:acd ,ace ,ade ,bcd ,bce ,bde ,cde 所以所求概率是710. 19.解:(1)在三角形ABD 中由勾股定理AD BD ⊥, 又平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD I 平面ABCD AD = 所以BD ⊥平面PAD 又BD ⊂平面BDM .所以平面MBD ⊥平面PAD.(2)取AD 中点为O ,则PO 是四棱锥的高3PO =底面ABCD 的面积是三角形ABD 面积的32,即33所以四棱锥P ABCD -的体积为133333⨯=20.解:(1)由已知22213a b c b c a ⎧⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩2a =,1b =,3c =D 的方程为2214x y +=(2)过()0,2E 的直线若斜率不存在,则13=λ或3. 设直线斜率k 存在()11,A x y ,()22,B x y222440y kx x y =+⎧⇒⎨+-=⎩()221416120k x kx +++=则()()()()122122120,116,21412,314,4k x x k x x k x x ∆≥⎧⎪-⎪+=⎪+⎨⎪=⎪+⎪=⎩λ由(2)(4)解得1x ,2x 代入(3)式得()2222161214141k k k -⎛⎫⋅= ⎪++⎝⎭+λλ 化简得()22314641k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+λλ 由(1)0∆≥解得234k ≥代入上式右端得 ()2311641<≤+λλ 解得133<<λ 综上实数λ的取值范围是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.21.解:(1)()()222ln 2f x x x x ax =-++,(0x >)()()22ln 22f x x x x ax '=-+-+由已知()1123f a '=-+=-,∴1a =-(2)由已知()()222ln 0g x x x x ax x =-+-=(0x >) 即方程()2ln 10x x ax -+-=(0x >)有唯一的实数根所以()12ln x xa x--=(0x >)即直线y a =与函数()12ln x xy x--=(0x >)的图象有唯一的交点构造函数()()12ln 1ln x x h x x x x --==-2ln xx+(0x >) ()212ln x xh x x --'=(0x >)令12ln y x x =--,210y x'=--<,y ↓ 而1x =,0y =∴()10h '=;01x <<,0y >,()0h x '>;1x >,0y <,()0h x '< ∴01x <<,()h x ↑;1x >,()h x ↓且0x →,()h x →-∞;x →+∞,()h x →-∞ 所以()11a h ==已知可化为()()222ln m g x x x x x x ≤=-+-(1e x e -≤≤)的最小值()()()12ln 3g x x x '=-+(1e x e -≤≤)所以()g x 在()1,1e -上减,在()1,e 上增 所以()()max 10m g x g ≤== 综上实数m 的取值范围是(],0-∞ 22.解:(1)直线l 的普通方程21y x =+ 曲线C 的直角坐标方程216y x =(2)直线的参数方程改写为135x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入216y x =24705t -=,∴12t t +,12354t t =-,12121135t t PA PB t t -+== 23.解:(1)()12f x x x =-++≥123x x ---=已知等价于()min 3a f x >= 所以实数a 的取值范围()3,+∞ (2)0a >,44a a+≥(2a =取等号) 已知可化为()min44f x a a ⎛⎫≤+= ⎪⎝⎭ 所以124x x -++≤5322x ⇒-≤≤. 因此实数x 的取值范围53,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。
绝密★启用前【全国校级联考】河南省中原名校(即豫南九校)2017-2018学年高一上学期期末联考数学试题试卷副标题注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1.已知集合{}1,2A =,则集合(){,|,}B x y x A y A =∈∈中元素的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .42.已知直线1:10l ax y +-=与直线22:0l x ay a ++=平行,则a 的值为A .1B .-1C .0D .-1或13.函数()21,0{ 2log ,0xx f x x x ⎛⎫≤ ⎪=⎝⎭>,则18f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭( ) A .14 B .4 C .18D .8 4.设,αβ是两个不同的平面, m 是直线且m α⊂, //m β,若使//αβ成立,则需增加条件( )A .n 是直线且n α⊂, //n βB .,n m 是异面直线, //n βC .,n m 是相交直线且n α⊂, //n βD .,n m 是平行直线且n α⊂, //n β 5.已知函数()223f x x ax =--在区间[]1,2上是单调增函数,则实数a 的取值范围为( )A .(),1-∞B .(],1-∞C .()2,+∞D .[)2,+∞○…………订……※※订※※线※※内※※答※※○…………订……若,,,A B C D 四点都在同一球面上,则该球面的面积为( ) A .36π B .64π C .100π D .200π7.设()f x 是定义在实数集上的函数,且()()2f x f x -=,若当1x ≥时, ()ln f x x =,则有( )A .()()()102f f f -<=B .()()()102f f f ->=C .()()()102f f f -<<D .()()()102f f f ->>8.已知 是定义在 上的偶函数,那么 的最大值是( ) A .0 B .C .D .19.某四面体的三视图如图,则该四面体的体积是( )A .1B .43 C .32D .2 10.已知实数,x y 满足方程22410x y x +--=,则2y x -的最小值和最大值分别为( )A .-9,1B .-10,1C .-9,2D .-10,211.已知函数()221f x ax x =-+,若对一切1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, ()0f x >都成立,则实数a 的取值范围为( )A .1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B .1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C .()1,+∞D .(),1-∞ 12.已知 为圆 : 的两条互相垂直的弦,且垂足为 ,则四边形 面积的最大值为( )A .10B .13C .15D .20……○…………订…______班级:___________考号:……○…………订…第II 卷(非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明的单调递增区间为 .14.已知集合()()()22{,|126}A x y x y =-++=, (){,|250}B x y x y =+-=,则集合A B ⋂中子集个数是__________.15.如图,已知圆柱的轴截面11ABB A 是矩形, 12AA AB =, C 是圆柱下底面弧AB 的中点, 1C 是圆柱上底面弧11A B 的中点,那么异面直线1AC 与BC 所成角的正切值为__________.16.已知函数()211,1{ 42,1x x f x x x x -+<=-+≥,则函数()()()221g x x f x x =--+的零点个数为__________. 三、解答题17.已知全集U R =,集合3{|0log 1}A x x =<<,集合{|21}B x m x m =<<-. (1)当1m =-时,求A B ⋃, ()U C A B ⋂; (2)若A B A ⋂=,求实数m 的取值范围.18.已知直线()():20l a b x a b y a b -+++-=及点()1,3P . (1)证明直线l 过某定点,并求该定点的坐标; (2)当点P 到直线l 的距离最大时,求直线l 的方程. 19.设()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x >时, ()13xxf x =-.○…………订……※※订※※线※※内※※答※○…………订……(1)求()f x的解析式;(2)解不等式()8xf x<-.20.已知圆C经过点()2,1A-,()0,3B-和直线1x y+=相切.(1)求圆C的方程;(2)若直线l经过点()2,0B,并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程.21.如图,四面体PABC中,PA⊥平面ABC,1PA=,1AB=,2AC=,BC=.(Ⅰ)求四面体PABC的四个面的面积中,最大的面积是多少?(Ⅱ)证明:在线段PC上存在点M,使得AC BM⊥,并求PMMC的值.22.已知函数()332logf x x=-,()3logg x x=.(1)当[]1,9x∈时,求函数()()()1?h x f x g x⎡⎤=+⎣⎦的值域;(2)如果对任意的[]1,9x∈,不等式()2•f x f k>恒成立,求实数k的取值范围;(3)是否存在实数a,使得函数()()()2?F x ag x f x⎡⎤=+⎣⎦的最大值为0,若存在,求出a的值,若不存在,说明理由.参考答案1.D【解析】集合B 中元素有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),共4个. 故选D. 2.A【解析】由于直线l 1:ax +y -1=0与直线l 2:x +ay +2a =0平行所以210a -=, 即a =-1或1,经检验1a =成立. 故选A. 3.D【解析】∵211log 388f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,∴()3113882f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选D 4.C【解析】要使//αβ成立,需要其中一个面的两条相交直线与另一个面平行,,n m 是相交直线且n α⊂, //n β, m α⊂, //m β,由直线和平面平行的判定定理可得//αβ. 故选C. 5.B【解析】函数f (x )=x 2-2ax -3的图象开口向上,对称轴为直线x =a , 画出草图如图所示.由图象可知,函数在[a ,+∞)上是单调增函数,因此要使函数f (x )在区间[1,2]上是单调增函数,,只需a ≤1,从而a ∈(-∞,1]. 故选B. 6.C【解析】矩形ABCD,AB=6,BC=8,矩形的对角线AC=10为该球的直径,所以该球面的面积为100π. 故选C. 7.B【解析】由f (2-x )=f (x )可知函数f (x )的图象关于x =1对称,所以()()02f f =,()()13f f -=,又当x ≥1时,f (x )=ln x 单调递增,所以()()()102f f f ->=,故选B. 8.C 【解析】∵f (x )=ax 2+bx 是定义在[a -1,2a ]上的偶函数,∴a -1+2a =0,∴a =. 又f (-x )=f (x ),∴b =0,∴,所以.故选C. 9.B【解析】在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中还原出三视图的直观图,其是一个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥,即为D 1-BCB 1,如图所示,该四面体的体积为114V 222323=⨯⨯⨯⨯=. 故选B .点睛:三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,不能看到的部分用虚线表示.(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合.(3)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图. 10.A【解析】22410x y x +--=即为()2225x y -+=y -2x 可看作是直线y =2x +b 在y 轴上的截距,当直线y =2x +b 与圆相切时,纵截距b =得b =-9或1.所以y -2x 的最大值为1,最小值为-9. 故选A. 11.C【解析】由题意得,对一切1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,f (x )>0都成立,即22221211a (1)1x x x x x->=-=--+, 而21(1)11x--+≤,则实数a 的取值范围为()1,+∞. 故选C.点睛:函数问题经常会遇见恒成立的问题:(1)根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题;(2)若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值,最终转化为()min 0f x > ,若()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<;(3)若()()f x g x > 恒成立,可转化为()()min max f x g x >(需在同一处取得最值) . 12.B 【解析】如图,作OP ⊥AC 于P ,OQ ⊥BD 于Q ,则|OP |2+|OQ |2=|OM |2=5,∴|AC |2+|BD |2=4(9-|OP |2)+4(9-|OQ |2)=52. 则|AC |·|BD |= ,当时,|AC|·|BD|有最大值26,此时S四边形ABCD=|AC|·|BD|=×26=13,∴四边形ABCD面积的最大值为13.故选B.点睛:直线与圆的位置关系常用处理方法:(1)直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直,构建直角三角形,进而利用勾股定理可以建立等量关系;(2)直线与圆相交,利用垂径定理也可以构建直角三角形;(3)直线与圆相离时,当过圆心作直线垂线时长度最小.13.(),1 -∞-【解析】所以当(),1x∈-∞-时,21u x=-,而u,所以函数的单调递增区间为(),1-∞-.考点:复合函数单调性14.4【解析】由题意知A B⋂中的元素为圆与直线交点,因为圆心(1,-2)到直线2x+y-5=0的距离d==<,所以直线与圆相交.集合A B⋂有两个元素.故集合A B⋂中子集个数为4.故答案为:4.15.【解析】取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD,因为C是圆柱下底面弧AB的中点,所以AD∥BC,所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角,因为C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点, 所以C 1D ⊥圆柱下底面,所以C 1D ⊥AD , 因为圆柱的轴截面ABB 1A 1是矩形, AA 1=2AB所以C 1D =AD ,所以直线AC 1与AD 所成角的正切值为,所以异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为故答案为:.点睛:求两条异面直线所成角的关键是作为这两条异面直线所成角,作两条异面直线所成角的方法是:将其中一条一条直线平移与另一条相交相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使他们相交,然后再同一平面内求相交直线所成角,值得注意的是:平移后相交所得的角必须容易算出,因此平移时要求选择恰当位置. 16.3【解析】由()()()221g x x f x x =--+,得()213222x f x x x -==+--, 作出y =f (x ), 3y 22x =+-的图象,由图象可知共有3个交点,故函数的零点个数为3. 故答案为:317.(1)A ∪B ={x |-2<x <3}, ()(]2,1U C A B ⋂=-;(2)(-∞,-2]. 【解析】试题分析:(1)求解集合A,B 根据集合交并补的定义求解即可;(2)由A ∩B =A ,得A ⊆B ,从而得12{21 13m mm m ->≤-≥,解不等式求解即可.试题解析:(1)由题得集合A ={x |0<3log x <1}={x |1<x <3} 当m =-1时,B ={x |-2<x <2}, 则A ∪B ={x |-2<x <3}.()(]{|13}{|22}2,1U C A B x x x x x ⋂=≤≥⋂-<<=-或(2)由A ∩B =A ,得A ⊆B ..解得m ≤-2,即实数m 的取值范围为(-∞,-2]. 18.(1)证明见解析,定点坐标为21,33⎛⎫-⎪⎝⎭;(2)15x +24y +2=0. 【解析】试题分析:(1)直线l 的方程可化为 a (2x +y +1)+b (-x +y -1)=0,由210{10x y x y ++=-+-=,即可解得定点;(2)由(1)知直线l 恒过定点A 21,33⎛⎫-⎪⎝⎭,当直线l 垂直于直线PA 时,点P 到直线l 的距离最大,利用点斜式求直线方程即可. 试题解析:(1)证明:直线l 的方程可化为 a (2x +y +1)+b (-x +y -1)=0, 由210{10x y x y ++=-+-=,得23{ 13x y =-=,所以直线l 恒过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.(2)由(1)知直线l 恒过定点A 21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭, 当直线l 垂直于直线PA 时,点P 到直线l 的距离最大.又直线PA 的斜率13832513k -==⎛⎫-- ⎪⎝⎭,所以直线l 的斜率k l =-58. 故直线l 的方程为152383y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭, 即15x +24y +2=0.19.(1) (),0,13{0,0, ,0.13xxx x f x x x x -<-==>-;(2)(-∞,-2)∪(0,2).【解析】试题分析:(1)奇函数有f (0)=0,再由x <0时,f (x )=-f (-x )即可求解;(2)由(1)分段求解不等式,最后取并集即可.试题解析:(1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数,所以当x=0时,f (x )=0,当x <0时,f (x )=-f (-x ),-x >0,又因为当x >0时,f (x )=,.所以当x <0时,f (x )=-f (-x )=-=.. 综上所述:此函数的解析式(),0,13{0,0, ,0.13x x x x f x x x x -<-==>-.(2)f (x )<-,当x=0时,f (x )<-不成立;当x >0时,即<-,所以<-,所以>,所以3x -1<8,解得x <2, 当x <0时,即<-,所以>-,所以3-x >32,所以x <-2,综上所述解集是(-∞,-2)∪(0,2).20.(1)(x -1)2+(y +2)2=2;(2)x =2或3x -4y -6=0.【解析】试题分析:(1)先求线段AB 的垂直平分线方程为1y x =--,设圆心的坐标为C (a ,-a -1),由圆心到点的距离和到切线的距离相等求解即可;(2)由题知圆心C 到直线l的距离1d ==,进而讨论直线斜率存在不存在两种情况求解即可.试题解析:(1)由题知,线段AB 的中点M(1,-2), ()31102AB k ---==-,线段AB 的垂直平分线方程为()21y x +=--,即1y x =--,设圆心的坐标为C (a ,-a -1),=,化简,得a 2-2a +1=0,解得a =1.∴C (1,-2),半径r =|AC |==.∴圆C 的方程为(x -1)2+(y +2)2=2.(解二:可设原方程用待定系数法求解)(2)由题知圆心C 到直线l 的距离1d ==,①当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x =2,此时直线l 被圆C 截得的弦长为2, 满足条件.②当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为()2y k x =-1=,解得k =,∴直线l 的方程为y =(x -2).综上所述,直线l 的方程为x =2或3x -4y -6=0. 点睛:直线与圆的位置关系常用处理方法: (1)直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直,构建直角三角形,进而利用勾股定理可以建立等量关系;(2)直线与圆相交,利用垂径定理也可以构建直角三角形;(3)直线与圆相离时,当过圆心作直线垂线时长度最小.21.(Ⅰ) ;(Ⅱ)证明见解析. 【解析】试题分析:(1)易得ACB ∆, PAC ∆, PAB ∆, PCB ∆均为直角三角形,且PCB ∆的面积最大,进而求解即可;(2)在平面ABC 内,过点B 作BN ⊥AC ,垂足为N .在平面PAC 内,过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ,连接BM ,可证得AC ⊥平面MBN ,从而使得AC ⊥BM ,利用相似和平行求解即可.试题解析:(1)由题设AB =1,AC =2,BC可得222AB BC AC +=,所以AB BC ⊥,由PA ⊥平面ABC ,BC 、AB ⊂平面ABC ,所以PA BC ⊥, PA AB ⊥,所以PB =又由于P ∩ B =A ,故BC ⊥平面PAB,PB ⊂平面PAB,所以BC PB ⊥,所以ACB ∆, PAC ∆, PAB ∆, PCB ∆均为直角三角形,且PCB ∆的面积最大,12PCB S ∆==.(2)证明:在平面ABC 内,过点B 作BN ⊥AC ,垂足为N .在平面PAC 内,过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ,连接BM .由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ,所以MN ⊥AC .由于BN ∩MN =N ,故AC ⊥平面MBN .又BM ⊂平面MBN ,所以AC ⊥BM .因为ABN ∆与ACB ∆相似, 12AB AB AN AC ⋅==,从而NC =AC -AN =.由MN ∥PA ,得==.22.(1)[0,2];(2)(-∞,8116-);(3)答案见解析. 【解析】试题分析:(1)由h (x )=-2(log 3x -1)2+2,根据log 3x ∈[0,2],即可得值域;(2)由()2•f x f k >,令t =log 3x ,因为x ∈[1,9],所以t =log 3x ∈[0,2],得(3-4t )(3-t )>k 对一切t ∈[0,2]恒成立,利用二次函数求函数的最小值即可; (3)由()()()233 2log 34log 6F x a x a x =-+-+,假设最大值为0,因为3log x R ∈,则有()()220{ 344260a a a -<--⨯-⨯=,求解即可.试题解析:(1)h (x )=(4-2log 3x )·log 3x =-2(log 3x -1)2+2,因为x ∈[1,9],所以log 3x ∈[0,2],故函数h (x )的值域为[0,2].(2)由()2•f x f k >, 得(3-4log 3x )(3-log 3x )>k ,令t =log 3x ,因为x ∈[1,9],所以t =log 3x ∈[0,2],所以(3-4t )(3-t )>k 对一切t ∈[0,2]恒成立,令()()23434159y t t t t =--=-+,其对称轴为158t =, 所以当158t =时, y 的最小值为8116-, 综上,实数k 的取值范围为(-∞,8116-).. (3)假设存在实数a ,使得函数()()()2F x ag x f x ⎡⎤=+⋅⎣⎦的最大值为0,由()()()()()()()233332log 232log 2log 34log 6F x ag x f x a x x a x a x ⎡⎤=+⋅=+-=-+-+⎣⎦.因为3log x R ∈,则有()()220{ 344260a a a -<--⨯-⨯=,解得a ϕ∈,所以不存在实数a ,使得函数()()()2F x ag x f x ⎡⎤=+⋅⎣⎦的最大值为0.点睛:函数问题经常会遇见恒成立的问题:(1)根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题;(2)若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值,最终转化为()min 0f x > ,若()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<;(3)若()()f x g x > 恒成立,可转化为()()min max f x g x >(需在同一处取得最值).。