人教版八年级数学上册讲义(全册)

八年级数学讲义

第11章三角形

一、三角形的概念

1．三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形

要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．

2．三角形的表示

△ABC中，边：AB，BC，AC 或c，a，b．

顶点：A，B，C ．

内角：∠A ，∠B ，∠C．．

二、三角形的边

1.三角形的三边关系:（证明所有几何不等式的唯一方法）

(1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+c>a

(2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-c

判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形.

当a最长，且有b+c>a时,就可构成三角形.

确定三角形第三边的取值范围: 两边之差

2. 三角形的主要线段

三角形的高线

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.

①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点；

②直角三角形三条高线交于直角顶点；

③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点

三角形的角平分线

三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

三条角平分线交于三角形内部一点.

三角形的中线

连结三角形一个顶点与它对边中点 的线段叫做三角形的中线。 三角形的三条中线交于三角形内部一点.

三、 三角形的角

1 三角形内角和定理

结论1：△ABC 中：∠A+∠B+∠C=180° ※三角形中至少有2个锐角

结论2：在直角三角形中，两个锐角互余． ※三角形中至多有1个钝角

注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角

如：在△ABC 中，∠C=180°－（∠A+∠B ）

三角形的边

本章进步目标

★★★★★☆

Level 5

通过对本节课的学习，你能够：

1．对三角形的三边关系应用达到【高级运用】级别； 2．对三角形的面积计算问题达到【高级运用】级别。

★★★★★☆ Level 5

本关进步目标

★★★☆☆☆ 你会利用两边长确定第三边的长或周长的取值范围，并根据三角形的三边关系化简代数式； ★★★★★☆ 你会证明线段间的不等关系。

第一章

第一关 三角形的三边关系

学习重点：掌握三角形三边关系定理及推论的应用．

1．三角形两条边长分别是3 cm 和10 cm ，周长C 的取值范围是________20

2．三角形的三条边长分别是3a -，1a -，2a +，则a 的取值范围是_________

a>6________．

3．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三边之长，化简：

a b c a b c b a c c b a +-+------+-=________2b -2c _________．

三角形的三边关系定理及推论

【高级理解】

熟记三边关系定理及推论的内容理解不等式的性质

关卡1-1

三角形的三边关系定理及推论

过关指南

Tips

笔记

★★★☆☆☆ 高级理解

例题

若一个三角形的两边长分别为5和7，则周长C 的取值范围是_____12>C>2____________；若x 为该三角形最长的边，则x 的取值范围是_________12>x ＞7________．

（ D ） A. a ，b ，a b + (0,0)a b >> B. a ，4a +，6a +（0a >） C. a ，3a -，3（3a >） D. 1a +，1a +，2a ()0a >

第一讲 三角形

考点·方法·破译

1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线. 2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边. 3．了解与三角形有关的角(内角、外角) . 4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题.

6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法.

经典·考题·赏析

【例１】若的三边分别为4，x ，9，则x 的取值范围是______________，周长l 的取值范围是______________ ；当周长为奇数时，x ＝______________.

【变式题组】

1．若△ABC 的三边分别为4，x ，9，且9为最长边，则x 的取值范围是______________，周长l 的取值范

围是______________.

2．设△ABC 三边为a ，b ，c 的长度均为正整数，且a ＜b ＜c ，a +b +c ＝13，则以a ，b ，c 为边的三角形，共

有______________个.

3．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数

是( ). A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm ，周长为58cm ，试求三角形三边的长.

【变式题组】

1．已知等腰三角形两边长分别为6cm ，12cm ，则这个三角形的周长是( )

A ．24cm

B ．30cm

C ．24cm 或30cm

最新人教版八年级数学上册课时讲义及教案（全册共79页）

目录

11.1.1三角形的边

11.1.2三角形的高、中线与角平分线

11.1.3三角形的稳定性

11.2.1三角形的内角

11.2.2三角形的外角

11.3.1多边形

11.3.2多边形的内角和

第十二章全等三角形

12.1全等三角形

12.2.1“SSS”

12.2.2“SAS”

12.2.3“ASA”和“AAS”

12.2.4“HL”

12.3角的平分线的性质

第十三章轴对称

13.1.1轴对称

13.1.2线段的垂直平分线的性质

13.1.3作对称轴

13.2.1画轴对称图形

13.2.2用坐标表示轴对称

13.3.1等腰三角形的性质

13.3.2等腰三角形的判定

13.3.3等边三角形

13.3.4特殊直角三角形的性质

13.4最短路径问题

第十一章 11.1.1三角形的边

知识点1：三角形的概念

(1)定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

在此定义中,要特别注意“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”这三个条件,缺一不可. 如图,在线段AB上取一点(除端点)C,三条线段AC、CB和AB是首尾顺次相接的,但它们却没有构成三角形.

(2)组成:如图,三条边,即边AB、边BC、边CA;三个内角,即∠A、∠B、∠C;三个顶点,即点A、点B、点C. 三角形有三个顶点,三个角,三条边.

(3)表示法:“三角形”用符号“△”表示,如上图,顶点是A、B、C的三角形,记作“△ABC”,读作“三角形ABC” .

另外,△ABC的三边,有时也用a,b,c来表示,一般地,∠A对边a,∠B对边b,∠C对边c.如图上,顶点A所对的边BC用a表示,边AC、边AB分别用b、c来表示.

8

分式恒等变形满分晋级

代数式10级

二次根式的概念及运算

代数式11级

分式恒等变形

代数式12级

二次根式的综合化简

漫画释义

对于分式的混合运算和化简求值来说，最为重要的就是细心运算，不要跳步.个别的题目要注意是否有简便方法.

【引例】 计算2233x y x y

x y x x y x x ⎡⎤+-⎛⎫---÷

⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦ 【解析】 原式()2233x y x y

x y x x y x

x ⎧⎫+-⎡⎤=--+÷⎨⎬⎢⎥+⎣⎦⎩⎭ ()222

33x y x y x y x x y x x y x ⎡⎤+-=-⋅++÷⎢⎥++⎣⎦ 2x x y

=⋅-

2x x y =

-

【点评】 此题还可以先将小括号里的式子通分，再打开括号，但是运算量会加大，所以在运算的 时候需要思考一下简单方法.

例题精讲

思路导航

知识互联网

题型一：分式的混合运算与化简求值

【例1】 计算：

⑴2

3

22()x y x x y xy x y ⎛⎫⎛⎫

-÷+⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

⑵2212239a a a a a a -+÷

--- 【解析】 ⑴2()

()

x x y y x y +-；

⑵原式()()()331232a a a a a a a

+-=

+⋅--- 1322a a a +=

+--13

22a a a --=+

-- 2222a a a a --+==-

--

【探究对象】条件分式求值的方法与技巧 【探究一】将条件式变形后代入求值

【变式一】已知

234

x y z

==，求

22x y z x y z +--+的值． 【解析】 设234

x y z

k ===，

人教版八年级数学上册（全册）单元知识点及重点汇总

第十一章三角形

一、知识框架：

二、知识概念：

1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.

3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.

4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.

5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.

6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.

7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.

8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.

9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.

10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对

角线.

11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.

12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用

多边形覆盖平面，

13.公式与性质：

⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°

⑵三角形外角的性质：

性质 1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

性质 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

⑶多边形内角和公式：n 边形的内角和等于(n − 2) ·180°

⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.

八年级数学讲义

第11章三角形

三角形的概念

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角

形

要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接.

2. 三角形的表示

△ ABC 中，边：AB, BC, AC 或c, a, b.

顶点：A, B, C .

内角：/ A ,Z B ,Z C..

二、三角形的边

1.三角形的三边关系：(证明所有几何不等式的唯一方法)

(1) 三角形任意两边之和大于第三边：b+c>a

(2) 三角形任意两边之差小于第三边：b-c<a

1.1判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形.

当a最长，且有b+c>a时,就可构成三角形.

1.2确定三角形第三边的取值范围：两边之差<第三边<两边之和.

2. 三角形的主要线段2.1三角形的咼线

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做

三角形的高线

①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点；

②直角三角形三条高线交于直角顶点；

③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点

2.2三角形的角平分线

三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三条角平分线交于三角形内部一点

2.3三角形的中线

1.三角形的定义

B

三角形的三条中线交于三角形内部一点

三、三角形的角 1三角形内角和定理

结论〔：△ ABC 中：/ A+Z B+Z C=180° 结论2:在直角三角形中，两个锐角互余.

注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角 如：在△ ABC 中，Z C=180°-(Z A+Z B )

八年级数学课本

第11章三角形

一、三角形的概念

1．三角形的界说由不在统一向线上的三条线段首尾按序贯穿连接所构成的图形叫做三角形

要点：①三条线段;②不在统一向线上;③首尾按序相接．

2．三角形的暗示

△ABC中,边：AB,BC,AC 或c,a,b．

极点：A,B,C ．

内角：∠A ,∠B ,∠C．．

二、三角形的边

1.三角形的三边关系:（证实所有几何不等式的独一办法）

(1) 三角形随意率性双方之和大于第三边:b+c>a

(2) 三角形随意率性双方之差小于第三边:b-c<a

1.1断定三条已知线段a.b.c可否构成三角形.

当a最长,且有b+c>a时,就可构成三角形.

肯定三角形第三边的取值规模:双方之差<第三边<双方之和.

2.三角形的重要线段

三角形的高线

从三角形的一个极点向它的对边地点直线作垂线,极点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.

①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点;

②直角三角形三条高线交于直角极点;

③钝角三角形三条高线地点直线交于三角形外部一点

2.2三角形的角等分线

三角形一个角的等分线与它的对边订交,这个角的极点与交点之间的线段叫做三角形的角等分线.

三条角等分线交于三角形内部一点.

2.3三角形的中线

贯穿连接三角形一个极点与它对边中点的线段叫做三角形的中线.

三角形的三条中线交于三角形内部一点.

三、三角形的角

1 三角形内角和定理

结论1：△ABC中：∠A+∠B+∠C=180°※三角形中至少有2个锐角

结论2：在直角三角形中,两个锐角互余．※三角形中至多有1个钝角留意：①在三角形中,已知两个内角可以求出第三个内角

目录

第一讲三角形 (2)

第二讲全等三角形的性质与判定 (7)

第三讲角平分线的性质与判定 (14)

第四讲轴对称及轴对称变换 (18)

第五讲等腰三角形 (25)

第六讲等边三角形 (32)

第八讲幂的运算 (45)

第九讲整式乘法 (50)

第十讲：整式乘法公式讲义 (55)

第十一讲整式除法讲义 (62)

第十二讲因式分解及其应用 (66)

第十三讲分式的概念•性质与运算 (71)

第十四讲分式的化简求值与证明 (75)

第十五讲分式方程及其应用 (81)

人教版数学八年级上数学期末模拟试卷2份（含答案） (109)

第一讲三角形

考点·方法·破译

1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线.

2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边.

3．了解与三角形有关的角(内角、外角) .

4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题.

6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法.

经典·考题·赏析

【例１】若的三边分别为4，x，9，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________；当周长为奇数时，x＝______________.

【变式题组】

1．若△ABC的三边分别为4，x，9，且9为最长边，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________.

2．设△ABC三边为a，b，c的长度均为正整数，且a＜b＜c，a+b+c＝13，则以a，b，c为边的三角形，共有______________个.

八年级数学讲义

第11章三角形

一、三角形的概念

1．三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形

要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．

2．三角形的表示

△ABC中，边：AB，BC，AC 或c，a，b．

顶点：A，B，C ．

内角：∠A ，∠B ，∠C．．

二、三角形的边

1.三角形的三边关系:（证明所有几何不等式的唯一方法）

(1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+c>a

(2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-c

1.1判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形.

当a最长，且有b+c>a时,就可构成三角形.

1.2 确定三角形第三边的取值范围:两边之差

2.三角形的主要线段

2.1三角形的高线

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.

①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点；

②直角三角形三条高线交于直角顶点；

③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点

2.2三角形的角平分线

三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三条角平分线交于三角形内部一点.

2.3三角形的中线

连结三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。

A

C B

A

D

三角形的三条中线交于三角形内部一点.

三、三角形的角

1 三角形内角和定理

结论1：△ABC中：∠A+∠B+∠C=180°※三角形中至少有2个锐角

结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．※三角形中至多有1个钝角

注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角

如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）