含参量积分的进一步探讨

含参量积分的分析性质和应用
参量积分是一种数学技术，其特点是将具有参量的函数的积分写作一组形式中的积分。

它允许使用积分理论进行变量函数的运算，因为在绝大多数结果中，变量积分被认为更具
备计算性。

参数积分表示以参数来确定复合函数的积分并将其建模。

参量积分的分析性质包括：（1）可以表达多元函数中不同参量的函数积分；（2）
可以求解多元函数的导数；（3）可以使用积分理论来表示复合函数的积分；（4）可以
用于特殊函数的快速求解等。

因此，参数积分不仅可以求解多元函数的积分，而且可以用
于求解特殊函数和添加变量。

参量积分在实际应用中也十分重要。

它在工程中被用来计算滚动体的动力，计算温度
分布，计算定点参数，计算水声双曲线，计算表面温度，计算定点反射概率等。

还可以用
于设计液压系统，燃油系统，伺服系统，汽车动力系统，可穿戴运动系统和其他现代技术
系统的计算。

总之，参量积分是一种具有重要理论和实际应用价值的常用技术。

它有助于分析不同
参量的多元函数的积分，并且还可用于生物医学，工程，运动系统等领域的计算。

1 含参量积分的定义：设函数),(y x f 定义在无界区域R={(x,y)|x ∈I,c ≤y<+∝}上，其中I 为一区间。

若对每都收x 在I 上取值的函数，当记这个函数为Φ（x)时，则有⎰∝+∈=ΦcI x dy y x f x ,,),()( (2)则称（1）式为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分。

2 含参量反常积分的性质定理1（连续性） 设 ),(y x f 在I ×[c,+∝)上连续，若含参量反常⎰∝+=Φcdy y x f x ),()(（2.1）在I 上一致收敛，则)(x Φ在I 上连续。

推论 设),(y x f 在I ×[c,+∝)上连续，若⎰∝+=Φcdy y x f x ),()(在I 上内闭一致收敛，则)(x Φ在I 上连续。

定理2（可微性） 设f （x,y)与 ),(y x fx在区域I ×[c,+∝)上连续。

若⎰∝+=Φcdy y x f x ),()(在I 上收敛，),(y x c xf⎰∝+在I 上一致收敛，则)(x Φ在I 上可微， 且dy y x x cxf),()('⎰Φ∝+= （2.2 ）推论 设f （x,y)与),(y x fx在区域I ×[c,+∝)上连续，若)(x Φ在I 上收敛，而dy y x cxf),(⎰∝+在I 上内闭一致收敛，则)(X Φ在I 上可微，且dy y x cxfx ),()('⎰Φ∝+= （2.3）定理3 （可积性） 设),(y x f 在[a,b]×[c,+∝)上连续，若⎰∝+=Φcdy y x f x ),()(在[a,b]上一致收敛，则)(x Φ在[a,b]上可积， 且 ⎰⎰⎰⎰∝+∝+=b accbadx y x f dy dy y x f dx ),(),( （2.4）定理4 设),(y x f 在[a,+∝）×[c,+∝)上连续，若（i)⎰∝+adx y x f ),(关于y 在[c,+∝)上内闭一致收敛，⎰+cdy y x f ),(关于x 在[a,+∝)上内闭一致收敛。

ξ12.3 含参变量的积分一、含参变量的有限积分设二元函数f （x,u)在矩形域R （βα≤≤≤≤u b x a ,）有定义，],,[βα∈∀u 一元函数f(x,u)在[a,b]可积，即积分dxu x f a b),(⎰存在 ],[βα∈∀u 都对应唯一一个确定的积分（值)),(u x f a b⎰dx .于是，积分dx u x f a b),(⎰是定义在区间],[βα的函数，记为],[,),()(βαϕ∈=⎰u dx u x f ab u ,称为含参变量的有限积分，u 称为参变量。

下面讨论函数)(u ϕ在区间 ],[βα的分析性质，即连续性、可微性与可积性定理 1 若函数),(u x f 在矩形域R ),(βα≤≤≤≤u b x a 连续，则函数dx u x f abu ),()(⎰=ϕ在区间也连续。

证明有，使取],,[u ],,[βαβα∈∆+∆∈∀u u u.),(),()()(.)],(),([)()dx u x f u u x f abu u u dx u x f u u x f abu u u -∆+≤-∆+-∆+=-∆+⎰⎰ϕϕϕϕ（根据ξ10.2定理8，函数),(u x f 在闭矩形域R 一致连续，即,,:),(),(,0,02121221,1δδδε<-<-∈∀>∃>∀y y x x R y x y x 有ε<-),(),(2211y x f y x f .特别地，.:),(),,(δ<∆∈∆+∀u R u u x u x 有 .),(),(ε<-∆+u x f u u x f 于是，,δ<∆u 有)(),(),()()(a b dx u x f u u x f ab u u u -<-∆+≤-∆+⎰εϕϕ 即函数在区间连续.设[]βα,0∈u ，由连续定义，有)()(lim ),(limu u dx u x f a bu u u u ϕϕ==→→⎰=dx u x f a b dx u x f a b u u ),(lim ),(00→⎰⎰=. 由此可见，当函数),(u x f 满足定理1的条件时，积分与极限可以交换次序. 定理2 若函数),(u x f 与uf∂∂在矩形域R(βα≤≤≤≤u b x a ,)连续，则函数在区间[βα,]可导，且[]βα,∈∀u ，有dxu u x f a b u du d∂∂=⎰),()(ϕ 或dx u u x f a b dx u x f abdu d ∂∂=⎰⎰),(),(. 简称积分号下可微分.证明 [][],,u,,,βαβα∈∆+∆∈∀u u u 使取有[].),(),()()(dx u x f u u x f abu u u -∆+=-∆+⎰ϕϕ （1） 已知uf∂∂在R 存在，根据微分中值定理，有 .10,),(),(),('<<∆∆+=-∆+θθu u u x f u x f u u x f u 将它代入（1）式，等号两端除以u ∆，有.10,),()()('<<∆+=∆-∆+⎰θθϕϕdx u u x f ab u u u u u 在上面等式等号两端减去dx u x f abu ),('⎰，有d x u x f abu u u u u ),()()('⎰-∆-∆+ϕϕ dx u x f u u x f ab u u ),(),(''-∆+≤⎰θ. 根据 ξ10.2定理8，函数),('u x f u 在闭矩形域R 一致连续，即,0,0>∃>∀δε,:),(),,(δ<∆∈∆+∀u R u u x u x 有.),(),(''εθ<-∆+u x f u u x f u u 从而，有),(),()()('a b dx u x f abu u u u u -≤-∆-∆+⎰εϕϕ即 dx u x f abuu u u u u ),()()(lim '0⎰=∆-∆+→∆ϕϕ 或.),()(dx u u x f a b u dud∂∂=⎰ϕ 定理2指出，当函数),(u x f 满足定理2的条件时，导数与积分可以交换次序. 定理 3 若函数),(u x f 在矩形域R （βα≤≤≤≤u b x a ,）连续，则函数dx u x f abu ),()(⎰=ϕ在区间[]βα,可积，且.).(),(dx du u x f a b du dx u x f a b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰⎰αβαβ （2） 简称积分号下可积分.证明 根据定理1，函数)(u ϕ在[]βα,连续，则函数)(u ϕ在区间[]βα,可积.下面证明等式（2）成立.[]βα,∈∀t ，设.),()(,),()(21dx du u x f t a b t L du dx u x f a b t t L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰⎰⎰αα根据4.8ξ定理1，有.),()('1dx t x f abt L ⎰=已知du u x f t ),(⎰α与du u x f tt ),(⎰∂∂α都在R 连续，根据定理2，有dx du u x f ta b dt d t L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰),()('2α =dx du u x f t t a b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⎰⎰),(α =dx t x f ab),(⎰.于是，[]βα,∈∀t ，有()().'2'1t L t L =.由1.6ξ例1，()(),21C t L t L =-其中C 是常数.特别地,当α=t 时，()(),021==ααL L 则C=0,即()()β==t t L t L 当.21时，有()(),21ββL L =即.),(),(dx du u x f a b du dx u x f a b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰⎰αβαβ定理3指出，当函数),(u x f 满足定理3的条件时，关于不同变量的积分可以交换次序。

数学毕业(学位)论文题目汇总一、数学理论1。

试论导函数、原函数的一些性质。

ﻫ２。

有界闭区域中连续函数的性质讨论及一些推广。

ﻫ3。

数学中一些有用的不等式及推广.4。

函数的概念及推广.ﻫ5。

构造函数证明问题的妙想。

6.对指数函数的认识。

ﻫ7。

泰勒公式及其在解题中的应用。

8。

导数的作用。

9。

Ｈiｌbert空间的一些性质。

ﻫ10。

Banaｃｈ空间的一些性质。

ﻫ１1。

线性空间上的距离的讨论及推广。

12。

凸集与不动点定理．ﻫ１3。

Hｉlberｔ空间的同构．ﻫ1４。

最佳逼近问题。

ﻫ１5。

线性函数的概念及推广．ﻫ1６.一类椭圆型方程的解．18.线性赋范空间上的模等价。

1７。

泛函分析中的不变子空间。

ﻫ19.范数的概念及性质．２0。

正交与正交基的概念。

22。

隐函数存在定理的再证明。

ﻫ２3.线性空间的等距同构。

2１。

压缩映像原理及其应用.ﻫ24。

列紧集的概念及相关推广。

２５。

Lebｅsguｅ控制收敛定理及应用。

26。

Lebｅｓｇue积分与Rieｍann积分的关系。

27。

重积分与累次积分的关系.28。

可积函数与连续函数的关系。

２９。

有界变差函数的概念及其相关概念。

ﻫ30。

绝对连续函数的性质。

3１.Lｅbesguｅ测度的相关概念。

33。

可测函数的定义及其性质。

ﻫ３４．分部积分公式的32。

可测函数与连续函数的关系。

ﻫ推广。

35。

Fatoｕ引理的重要作用。

36.不定积分的微分的计算。

ﻫ37。

绝对连续函数与微积分基本定理的关系。

ﻫ3８。

Ｓchwartz 不等式及推广。

39。

阶梯函数的概念及其作用.40。

Fourｉer级数及推广。

ﻫ４1.完全正交系的概念及其作用。

ﻫ42。

Ｂanach空间与Hｉlbe ｒｔ空间的关系。

44。

数学分析中的构造法证题术,43。

函数的各种收敛性及它们之间的关系。

ﻫ4５。

用微积分理论证明不等式的方法4６.数学分析中的化归法47。

微积分与辩证法49。

在上有界闭域的D中连续函数的性质４8. 积分学中一类公式的证明ﻫ51。

含参量积分求导今天我在数学课上学习了《积分求导》的新知识，真正让我体验到了这节课带给我的乐趣。

一、学会运用定义法，根据公式理解概念含参量积分法是把复杂的问题简单化的重要方法之一，只要求出未知量的某个参量与其他已知量的函数关系，就可以通过几何意义或代数意义求得另一个待定参量。

所以这种求导法称为定义法，这是定义法和公式法的基础。

运用此法，还要熟记一些常见函数关系。

如：三角函数的图象与一次函数y=kx的图象交于顶点，两个交点之间的距离叫做该函数的增减区间，增减区间为圆周长的一半;增减区间内的点的函数值等于这个函数的一个最小正周期;函数值y=f(x)=k/(1+f)x的最大值和最小值都是2。

二、学会变换题型，提高解题效率解题时若能灵活地将综合题、应用题、计算题转化成常规题、基本题，将会起到事半功倍的效果。

如：一辆汽车行驶在平直的公路上，甲、乙两车分别从同一路口同时向相反方向开出，经过一段时间，当它们离公路末端还有30千米时，看见对方都停下来等待，又过了一段时间，两车同时到达公路末端，已知两车所用时间分别为11分钟和15分钟，求公路长度？设公路长度为L。

由时间与速度的关系知，速度为v时间为t，且t=L/v，所以速度为v时间为t(1)由上述知识易知公路长度为L。

(2)由已知条件求出甲、乙两车行驶时间，甲车行驶的时间为t'，即t'=11t+L，所以甲车行驶的时间为11t+L。

又因甲车的速度v = 1+3t，所以甲车行驶时间为11t+L时，乙车的速度为v'，即v'=v-t'，即v'=t'-t-L，所以乙车行驶的时间为t'-t-L(3)由甲、乙两车所用时间和路程可列出方程11t+L=15t'+30-(1)解方程得，甲车行驶时间为11t，则乙车行驶时间为l'，所以乙车行驶路程为t'-t-L，即15t'-30-(2)由两车行驶时间、速度、路程关系可列方程为t'-t-L=5t'-30-(3)解方程组，得l'-10t=2l'-30，所以路程L=2l'+30，答：公路长度为40千米。

高中数学 “含参”问题方法小结含参数（不）等式“恒、能成立”问题是高中数学教学的一个重点和难点，同时也是高考考查的热点。

这类问题可以考查多个知识点，更能从多个角度检查考生的素质和能力，这类问题难度比较大，综合性强，考生不易得分。

解决此类问题有一定的规律性，常见方法有：函数思想、分离参数、变换主元、数形结合等，其中分离参数转换自变量是其常用的方法。

一．反参为主（即主元法）对于给出了参数范围的“恒成立”问题，常把参数视为主元，把主元视为已知函数，即把原题视为参数的函数，从函数角度来解答。

例1.对于任意a ∈[-1,1]，函数f(x)=x 2+(a-4)x-2a 的值恒大于零，求x 的取值范围。

解：由题令g(a)=(x-2)a+(x 2-4x+4)>0对 a ∈[-1,1]恒成立。

显然x ≠2∴g(a)是a 的一次函数，要使g(a)<0在a ∈[-1,1]上恒成立，只需(1)0(1)0g g -<⎧⎨<⎩ 即22(2)440(2)440x x x x x x ⎧-+-+>⎪⎨-+-=>⎪⎩ 解之得：x<1或x>3点评：此题若按分离法做，分离a 得2(2)4x a x x ->-需讨论比较复杂变式：若例1中改为x ∈[-1,1]上f(x)>0恒成立，则此题属于二次函数区间定轴动题目，对称轴42a x -=-分三种情况：①412a --≤-,令f(-1)>0 ②4112a --<-<-,令∆<0③4112a ---≥,令f(1)>0点评：此题若用分离法不易解答。

例2．已知函数22()2x af x x -=+(x ∈R)在[-1,1]上是增函数。

（1）求实数a 的值所组成的集合A （2）设关于x 的方程1()f x x=的两根为x 1,x 2，试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm+1≥|x 1-x 2|对于任意a ∈A 及t ∈[-1,1]恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由解：（1）2222222(2)(2)22(2)()0(2)(2)x x a x x ax f x x x +--∙-++'==≥++对x ∈[-1,1]恒成立 令2()2h x x ax =-++则有{}(1)0120|11(1)0h a A a R a h ≥-++≥⎧⎧⇒=∈-≤≤⎨⎨-≥≥⎩⎩即-1-a+20（2）221()2x a f x x x-==+由 得：220x ax --=∵280a ∆=+> ∴12122x x ax x +=⎧⎨∙=-⎩∴12||x x -==∵-1≤a ≤1 ∴1≤|12x x -|≤3 ①要使m 2+tm+1≥|x 1-x 2|对于任意a ∈A 及t ∈[-1,1]恒成立,当且仅当m 2+tm+1≥3对于任意t ∈[-1,1]恒成立,即m 2+tm+1≥0对于任意t ∈[-1,1]恒成立g(t)=mt+m 2-2, t ∈[-1,1]则g(t)≥0对对t ∈[-1,1]恒成立②令22(1)20(1)20g m m g m m ⎧-=--≥⎪⎨=+-≥⎪⎩解得：m ≥2或m ≤-2 注：本题含a,t,m 三个参数，通过①减少为两个参数t ，m ，要解决②，以t 为主元，利用一次函数保号性解决． 二．分离参数和函数思想通过恒等变形，将参数与主元分离出来，使不等式一边只含参数，另一边是与参数无关的主元问题，只需求出主元函数的最值。

第九章 含参变量积分Ⅰ 基本概念与主要结果一 含参量正常积分1 定义设(,)f x y 为矩形区域[,][,]R a b c d =⨯上的二元函数，若[,]y c d ∀∈，一元函数(,)f x y 在[,]a b 上可积，则其积分值是y 在[,]c d 上取值的函数，记为()y ϕ，即()(,),[,].bay f x y dx y c d ϕ=∈⎰称之为含参量的有限积分，y 称为参变量。

更一般地，我们有如下含参量积分：{}((,)()(),)f G x y a y x b y y αβ=≤≤≤≤在()()()(,),[,].b y a y y f x y dx y ϕαβ=∈⎰其中(),()a x b x 为[,]αβ上的连续函数。

2 分析性质 （1）连续性设二元函数(,)f x y 在区域{}(,)()(),G x y c x x d x ax b =≤≤≤≤上连续，其中(),()c x d x 为[,]a b 上连续函数，则函数()()()(,)d x a x F x f x y dy =⎰在],[b a 上连续。

（2）可微性 若函数f 与f x∂∂在[,][,]a b c d ⨯上连续，则 ()(,)dcI x f x y dy =⎰在[,]a b 上可微，且'()(,)dc I x f x y dy x∂=∂⎰（3）可积性 若(,)f x y 在[,][,]a b c d ⨯上连续，则()I x 和()J y 分别在[,]a b 和[,]c d 上可积。

此说明，在连续的假设之下，同时存在两个求积顺序不同的积分：(,)bd ac f x y dy dx ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰与(,)d b c a f x y dx dy ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰为了书写简便起见，上述两个积分分别写作：(,)bd acdx f x y dy ⎰⎰与(,)d bcady f x y dx ⎰⎰统称为累次积分。

（4）若(,)f x y 在[,][,]a b c d ⨯上连续，则(,)bd acdx f x y dy ⎰⎰=(,)d bcady f x y dx ⎰⎰一、参量的常积分1、 一致收敛性及其判别法定义1 设函数定义在无界区域{}(,)()(),G x y c x x d x a x b =≤≤≤≤上，若对每一固定的[,]x a b ∈，反常积分(,)cf x y dy +∞⎰都收敛，则它的值是x 在[,]a b 上取值的函数，记之为()I x ，则有()(,)cI x f x y dy +∞=⎰，[,]x a b ∈ （1）称（1）式为定义在[,]a b 上的含参量的无穷限反常积分，简称含参量无穷积分。

第十八章 含参量积分第一节 含参量正常积分从本章开始我们讨论多元函数的各种积分问题，首先研究含参量积分.设()y x f ,是定义在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上的二元函数.当x 取[]b a ,上某定值时，函数()y x f ,则是定义在[]d c ,上以y 为自变量的一元函数.倘若这时()y x f ,在[]d c ,上可积分，则其积分值是x 在[]b a ,上取值的函数，记它为()x I ，就有()()[].,,,⎰=dcb a x dy y x f x I （1）一般地，设()y x f ,为定义在区域()()(){}b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=,|,上的二元函数，其中()x c ，()x d 为定义在[]b a ,上的连续函数（图18-1），若对于[]b a ,上每一固定的x 值，()y x f ,作为y 的函数在闭区间()[()]x d x c ,上可积分，则其积分值是x 在[]b a ,上取值的函数，记作)(x F 时，就有 )(x F ()()()[].,,, b a x dy y x f x d xc ∈=⎰ （2）图18-1用积分形式所定义的这两个函数（1）与（2），通常为定义在[]b a ,上的含参量x 的（正常）积分，或简称含参量积分.下面讨论含参量积分的连续性、可微性与可积性.定理18-1(连续性) 若二元函数()y x f ,在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则函数 ()()dy y x f dc⎰=,x I在[]b a ,上连续.证 设[]b a x ,∈，对充分小的x ∆，有[]b a x x ,∈∆+（若x 为区间的端点，则仅考虑（0>∆x 或0<∆x ），于是 ()()()[]⎰-∆+=-∆+dcdy y x f y x x f x I x x I .,,)( （3）由于()y x f ,在有界闭域R 上连续，从而一致连续，即对任给的正数ε，总存在某个整数δ，对R 内任意两点()11,y x 与()22,y x ，只要,||,||2121δδ<-<-y y x x就有()().|,|2211ε<--y x f y x f （4） 所以由(3),(4)可推得；当.||ε<∆x()()()()()⎰⎰-=<-∆+≤-∆+dcd cc d dx dy y x f y x x f x I x x I .|,,|||εε这就证得()x I 在[]b a ,上连续.同理可证：若()y x f ,在矩形区域R 上连续，则含参量y 的积分()()dy y x f y J ba⎰=, （5）在()d c ,上连续.对于定理18-1的结论也可以写成如下的形式：若()y x f ,在矩形区域R 上连续，则对任何[]b a x ,0∈，都有()()⎰⎰→→=dcdc x x x x dy y x f dy y x f |,lim ,lim这个结论表明，定义在矩形区域上的连续函数，其极限运算与积分运算的顺序是可以交换的. 定理18-2（连续性） 设二元函数()y x f ,在区域(){()()}b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=,|,上连续，其中()x c ，()x d 为[]b a ,上连续函数，则函数()()()()dy y x f x F x d x c ⎰=, （6）在[]b a ,上连续证 对积分（6）用换元积分法，令()()()().x c x d t x c y -+=当y 在()x c 与()x d 取值时，t 在[]1,0上取值，且()(()).dt x c x d dy -=所以从（6）式可得()()()()dy y x f x F x d x c ⎰=,=()()()()()()()()dt x c x d x c x d t x c x f --+⎰10,.由于被积函数()()()()()()x c x d x c x d t x c x f --+])(,[在矩形区域[][]1,0,⨯b a 上连续，由定理18-1得积分（6）所确定的函数()x F 在[]b a ,上连续.下面讨论含参量积分的求导与积分运算的可交换性. 定理18-3（可微性） 若函数()y x f ,与其偏导数()y x f x,∂∂都在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则()()dy y x f x I dc⎰=,在[]b a ,上可微，且()()dy y x f x dy y x f dx d d c dc⎰⎰∂∂=,,. 证 对于[]b a ,内任意一点x ，设[]b a x x ,∈∆+（若x 为区间端点，则讨论单侧导数），则()()()()dy xy x f y x x f x x I x x I d c ⎰∆-∆+=∆-∆+,,由微分学的拉格朗日中值定理及()y x f ,在有界闭域R 上连续（从而一致连续），对任给正数ε，存在正数δ，只要当δ<∆x 时，就有εθ<-∆+=),(),(y x f y x x f x x ),(),(),(y x f xy x f y x x f x -∆-∆+其中)1,0(∈θ.因此dyy x f xy x f y x x f dy y x f f x Ix d cx d c ),(),(),(),(-∆-∆+≤-∆∆⎰⎰).(c d -<ε这就证得对一切[]b a x ,∈，有.),()(dy y x f x x I d dd c x⎰∂∂=定理18-4（可微性）设),(),,(y x f y x f x 在[][]q p b a R ,,⨯=上连续，)(),(x d x c 为定义在[]b a ,上其值含于[]q p ,内的可微函数，则函数⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F在[]b a ,上可微，且).())(,()())(,(),()()()(x c x c x f x d x d x f dy y x f x F x d x c x '-'+='⎰（7）证 把)(x F 看作复合函数：).(),(,),(),,()(x d d x c c dy y x f d c x H x F dc====⎰由复合函数求导法则及活动上限积分的求导法则，有).())(,()())(,(),()()()(x c x c x f x d x d x f dy y x f dx dd d H dx dc c H x H x F dx d x d x c x '-'+=∂∂+∂∂+∂∂=⎰关于函数)(x I 和)(x F 的可积性，可由定理18-1与定理18-2推得：定理18-5（可积性） 若),(y x f 在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则)(x I 和)(y J 分别在[]b a ,和[]d c ,可积.这就是说：在),(y x f 连续性假设下，同时存在两个求积顺序不同的积分：dx dy y x f ba d c ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡),(与dy dx y x f d cb a ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡),(. 为书写简便起见，今后将上述两个积分写作dy y x f dx bad c⎰⎰),(和dx y x f dy d c ba ⎰⎰),(前者表示),(y x f 先对y 求积然后对x 求积，后者则求积顺序相反，它们统称为累次积分，或更确切地称为二次积分.下面的定理指出，在),(y x f 连续性假设下，累次积分与求积顺序无关. 定理18-6 若),(y x f 在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则 dy y x f dx bad c⎰⎰),(=dx y x f dy d c ba ⎰⎰),(. (8)证 记⎰⎰=ua dcdy y x f dx u I ,),()(1⎰⎰=dcuadx y x f dy u I ,),()(2其中[]b a u ,∈，现在分别求)(1u I 与)(2u I 的导数。

含参量积分研究综述
本综述旨在介绍含参量积分的相关概念、性质及其应用领域。

首先，我们简要介绍了含参量积分的定义和存在性定理。

随后，我们阐述了含参量积分的线性性、区间可加性以及导数定理，为进一步的研究提供了基础。

接着，我们探讨了含参量积分在微积分、微分方程、概率论和统计学等领域的应用，并详细阐述了相关例子。

最后，我们总结了含参量积分的研究现状，并提出了未来的研究方向和挑战。

本综述旨在为相关领域的研究者提供参考和借鉴。

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525第十六章 含参量积分关于积分理论，我们已经学过一元函数的积分理论：包括常义积分（积分限有限、被积函数有界）和广义积分，其积分变量和被积函数的变量一样，都是一个。

但在各技术领域，经常会遇到这样的积分：对一个变量的积分还与一个参数有关，如天体力学中常遇到的椭圆积分：dt t k ⎰-2/022sin 1π，从形式可以看出，积分变量为t ，积分过程结果依赖于k ，此时k 称为积分过程中的参量。

显然，若将k 视为一个变元，记t k k t f 22sin 1),(-=为一个二元函数，则上述积分只涉及其中的一个变量，将另一个变量视为参量，像这种积分形式在工程技术领域还有很多。

因此，为解决相应的技术问题，必须先在数学上进行研究，这就是本章的内容：含参变量的积分，包括：常义积分和广义积分两部分，由于这种积分形式的被积函数是多元函数，因此，多元函数理论为参变量积分的研究提供了理论基础。

§1含参变量的常义积分只考虑一个参量的含参量积分，因此，被积函数是二元函数。

设),(y x f 在],[],[d c b a D ⨯=，此时),(0y x f 是为关于x 的一元连续函数，因而可积。

考虑其积分dx y x f ba ⎰),(0，显然其与0y 有关，记为dx y x f y I ba⎰=),()(00，更一般，引入dx y x f y I ba⎰=),()(，称其为含参变量y 的积分。

注：由此可看出：含参量的积分结果是一个关于参变量的函数，由此就决定了含参量积分的研究内容：不仅在于计算，还要研究其分析性质。

更进一步的，将其分析性质应用于含参量的计算，由此带来了积分计算的新方法：通过引入参变量，将一个一般积分转化为含参量的积分，通过含参量积分的性质进行计算含参量的积分，最后取特定的参量值计算出原积分。

为此，先研究含参量积分的分析性质。

526定理1：（连续性）设)(),(D C y x f ∈，则],[)(d c C y I ∈。

第十九章 含参变量积分§1含参变量常义积分一 定义：设 (,)f x y 在[,][,]a b c d ⨯上连续，()(,)[,]baI y f x y dx y c d =∈⎰或()(,)[,]dcJ x f x y dyx a b =∈⎰二 含参变量常义积分的分析性质定理1 （连续性定理）设 (,)f x y 在[,][,]a b c d ⨯上连续，则函数()(,)baI y f x y dx =⎰在[,]c d 上连续，即000lim (,)lim (,)[,]bbaa y y y y f x y dx f x y dx y c d →→=∈⎰⎰例1 求1200lim1cos dxx xαα→+⎰解 由于 2(,)1cos dx f x x x αα=+在11[0,1][,]22⨯-上连续，则有 111222000001lim lim 1cos 1cos 14dx dx dx x x x x x ααπαα→→===+++⎰⎰⎰ 例2 研究函数 ⎰+=10 22)()(dx y x x yf y F 的连续性，其中)(x f 是]1,0[上连续且为正的函数。

解 令22)(),(yx x yf y x g +=，则),(y x g 在],[]1,0[d c ⨯连续，其中],[0d c ∉。

从而)(y F 在0≠y 连续。

当0=y 时，0)0(=F当0>y 时，记 0)(min ]1,0[>=∈x f m x ，则⎰+=10 22)()(dx y x x yf y F ⎰+≥1 0 22dx y x y m y m 1arctan = 若)(lim 0y F y +→存在，则 ≥+→)(l i m 0y F y ym y 1a r c t a n l i m 0+→)0(02F m =>=π故)(y F 在0=y 不连续。

或用定积分中值定理，当0>y 时， ]1,0[∈∃ξ，使⎰+=10 22)()(dx y x x yf y F ⎰+=1 0 22)(dx y x yf ξ yf yxf 1arctan )(arctan)(1ξξ==若)(lim 0y F y +→存在，则=+→)(l i m 0y F y yf y 1a r c t a n )(l i m 0ξ+→02>≥m π故)(y F 在0=y 不连续。

二元含参量正常积分函数的分析性质在数学和物理科学等科学领域中，对积分函数的研究非常重要。

积分函数是一种描述物体受重力和动能等作用后形成曲线及其变化情况的函数。

在数学理论中，一般分形函数，椭圆形函数，超函数等都可以用积分函数来表示。

本文将重点研究二元含参量正常积分函数的分析性质。

首先，定义二元含参量正常积分函数。

积分函数是一个复合函数，其中含有两个参量，一个是内部参量，一个是外部参量。

内部参量用来描述物体受重力和动能等作用的变化，其中有多个变量参与，而外部参量则是控制函数变化的参量。

二元含参量正常积分函数是指具有两个参量的积分函数，这两个参量分别是内部参量和外部参量。

接下来，研究二元含参量正常积分函数的分析性质。

首先，二元含参量正常积分函数可以用来描述物体的动能变化。

通过对二元含参量正常积分函数的分析，可以预测物体受重力和动能等作用时，它的动能变化情况，从而可以更好地研究其演变规律。

此外，二元含参量正常积分函数还可以用来描述一定物理函数的变化情况，例如弹性变形、矩形面内变形等。

再者，二元含参量正常积分函数还可以用来描述多维空间中的函数变化情况。

通过对二元含参量正常积分函数的分析，可以更清楚地反映出物体在多维空间的变化边界，如圆柱体和球体等。

同时，对于多参数偏微分方程，也可以通过二元含参量正常积分函数的分析，来解决各种多参数的问题。

最后，还要注意，二元含参量正常积分函数的分析并不是一件容易的事情，它需要用到高等数学，有时还要用到抽象代数学，线性代数学，统计学等课程的知识，才能全面深刻地研究二元含参量正常积分函数的分析性质。

综上所述，二元含参量正常积分函数是一种非常重要的数学函数，不仅可以用来描述物体的动能变化，还可以用来描述一定物理函数的变化情况，也可以用来描述多维空间中的函数变化情况，甚至可以用来求解多参数偏微分方程。

总之，二元含参量正常积分函数在科学研究中有着重要的作用，它值得我们进一步深入研究。

含参量积分的若干解法
含参量积分是在几何常数不变的情况下求解数值问题的一种实用方法。

它可以把连续时间和空间中的相关概念和参量转化为密集的数值解，从而解决许多计算学上复杂的问题。

含参量积分的解法有许多，其中最常用的是高斯—勒让德（Gauss—Legendre）积分、拉格朗日（Lagrange）积分和拉波拉斯（Laplace）积分。

高斯—勒让德（Gauss—Legendre）积分是一种经典而通用的多维求积分的方法。

它可以计算出多元函数的积分，并且和参数数量无关。

它首先将参量空间划分为一系列等分的子区域，称为梯度，然后可以使用此梯度计算出含有参量的积分。

拉格朗日（Lagrange）积分是一种常用的数值求解含参量积分的方法，它可以用来计算二维函数的积分。

它的方法是先把被积函数的参量空间分割成若干等分的子区域，然后把每个子区域内的函数表示为拉格朗日指标函数之和，然后积分每个拉格朗日指标函数，最后把积分结果累加起来作为该参数空间积分的值。

最后，拉波拉斯（Laplace）积分则是另一种实用的多维求积分的解法，它可以用于计算多维参量空间中任意复杂的参量空间积分，而且具有很强的鲁棒性。

它的基本思想是把整个参量空间划分成若干梯度，然后求每个梯度的参量空间积分，最后将各梯度的积分结果累加作为总的积分值。

总的来说，含参量积分的解法有很多，它们的精度都非常高。

而在实际应用中，要根据需求选择合适的解法。

不管是哪一种解法，在使用时都要注意数值正确性，以确保可靠性。