2019届高考数学专题-高考培优20讲-10等差、等比数列

畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场 / 应用宝下载花生日记 APP 邀请码 NJBHKZO ，高佣联盟官方正版 APP 邀请码 2548643培优点十 等差、等比数列1．等差数列的性质答案】 352．等比数列的性质答案】即所求表达式的值为 100 ．故选 C ．所以利用均值不等式可得： b 1 b 11 2 b 1b 11 2 b 62 2b 6 ；3．等差、 等比综合例 3：设a n 是等差数列，b n 为等比数列，其公比 q 1，且 b i 0 i 1,2,3,L,n ，若 a 1 b 1 ，a11 b 11则有()A ．a 6b6B ． a 6 b 6C ． a6 b 6D ． a6b6或 a6 b6【答案】 B【解析】抓住 a 1 ，a 11 和b 1， b 11 的序数和与 a 6 ， b 6 的关系，从而以此为入手点．例 1：已知数列 ab n 为等差数列，若 a 1 b 1 7 ， a 3 b 3 21，则 a 5 b 5解析】 ∵ a n ， b n 为等差数列，∴anb n 也为等差数列， ∴ 2 a 3 b 3a 1b 1a 5b 5 ，∴ a 5b 52 a3 b 3a 1b 135 ．例 2：已知数列 a n 为等比数列，若 a 4a610 ，则 a 7 a 1 2a 3 a 3a 9的值为( A ．10B ． 20C ． 100D ． 200解析】 与条件 a 6 10 联系，可将所求表达式向a4 ，a 6 靠拢， 从而 a 7 a 1 2a 3a 3a9 a 7a 1 2a 7a 3 a 3a 922 a 42a 4a 6 a 6a 4 a 6因为a 1 a 11 2a 6 ，而b n 为等比数列，联想到 b 11 与 b 6 有关，（q 1 故b1 b11 ，均值不等式等号不成立）所以a1 a11 b1 b11 2a6 2b6 ．即a6 b6 ．故选B．对点增分集训一、单选题1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长 5 尺，头部 1 尺，重4 斤，尾部 1 尺，重 2 斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（）A．6斤B．7斤C．8 斤D．9 斤【答案】D【解析】原问题等价于等差数列中，已知a1 4，a5 2，求a2 a3 a4的值．由等差数列的性质可知：a2 a4 a1 a5 6 ，a3 a1 a5 3 ，2则a2 a3 a4 9 ，即中间三尺共重9 斤．故选D．2．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S5 40，S9 126，则S7 （）A．66B．68C．77D．84【答案】C【解析】根据等差数列的求和公式S5 5a3 40 ，S99a5a3126 ，化简得38，14a5a 2d根据等差数列通项公式得18，解方程组得a1 2a1 4d14d3S7 7a47 a1 3d 7 2 3 377 ．故选C．3．已知等比数列a n 的前n 项和为S n ，且满足2S n2n 1，则的值为（）A．4B．2C．2D．4答案】C畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场 / 应用宝下载花生日记 APP 邀请码 NJBHKZO ，高佣联盟官方正版 APP 邀请码 25486435．已知数列 a n 是公比为 q 的等比数列，且a 1 ，a 3 ，a 2成等差数列，则公比 q 的值为（ ）A ．12 【答案】 CB ． 21 C ． 1 或 2D ． 1 或 12【解析】 由题意知： 2a 3 a 1 2a 2 ，∴ 2a 1qa 1q2a 1 ，即 2q 2q 1，∴ q 1 或 q1．故选 C ．26．公比不为 1 的等比数列 a n的前 n 项和为 S n ， 1 且 2a 1， a 2 ， 2a 3 成等差数列， 若 a 11 ，解析】 由等比数列的性质结合题意可知： a 5a 6 a 4a 7 9 ，∵数列 4a n 是等比数列，则 a 1 1 ，故 421；解得2．故选 C ．4．已知等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ， a 5a714 ，则 S 11 （ ）A ．140B ． 70C． 154D ．77【答案】 D【解析】等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ， a 5a714，∴S 11a 1 a 11 a 5 a 7 141 1111 5 7 11 11 77 ． 2 2 2故选D ．解析】 根据题意，当 n 1时， 2S 1 2a 1 4n1，故当 n 2时， a n S n S n 1 2n1则 S 4 （ ）A ． 5B ．0C ． 5D ． 7【答案】 A【解析】 设 a n的公比为 q ，由 2a 1 ，11a 2 ， a 3 成等差数列，可得 a 2 2a 1 2若a 1 1 ，可得q 2 q 2 ， 解得 q 2 1舍去 ，则S 4a 1 1 q 41q12 125 ，故选 A ．7．等比数列 a n 的各项均为正数，且a 5a 6 a 4a 7 18，则 log 3 a 1 log 3 a 2 Llog 3 a 10（）A ．12【答案】 BB ． 10C ．8D ．2 log3 54据此结合对数的运算法则可得：5log 3 a 1 log 3 a 2 L log 3 a 10 log 3 a 1a 2L a 10log 3 9 10．故选 B ．8．设公差为2 的等差数列a n ，如果 a 1 a 4 a 7 La 9750 ，那么 a 3 a 6a 9 L a 99等于（）A ． 182B ． 78C ． 148D．82【答案】 D【解析】由两式的性质可知：a 3 a 6 a9a99a 1 2da 4 2da 7 2da 97 2d ，则a 3 a 6 a 9a995066d82． 故选 D ．9．已知等差数列 a n 的前n项和为 S n ， 且 3S 1 2S 3 15 ，则数列 a n 的第三项为（）A ．3B ． 4C ． 5D． 6【答案】 C【解析】设等差数列 a n 的公差为 d ，∵3S 12S 3 15 ，∴ 3a 1 2a1 a 2a315 3a 16a 2 ，∴ a 1 2d 5 a 3 ．故选 C ．10．等差数列 a n 的前n 项和为 S n ，若2a 8 6 a 10，则 S 11 （ ） A ．27B ． 36C ．45D ．66【答案】 D【解析】 ∵ 2a 8 6 a 10 ，∴ a 6 a 10 6a 10 ，∴ a 6 6，∴ S 1111 a1a1111a 6 66 ，故8 10 6 10 10 6 2选 D ．11．设 a n 是各项为正数的等比数列， q 是其公比， K n 是其前 n 项的积，且 K 5 K 6，K 6 K 7 K 8 ，则下列结论错．误．的是（）A ． 0 q 1B ． a 7 1D ． K 6与 K 7均为 K n 的最大值 答案】 C且 a 1a10a2 a 9a 3a8 a 4a 7 a 5a 69，C ． K 9 K 5畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场 / 应用宝下载花生日记 APP 邀请码 NJBHKZO ，高佣联盟官方正版 APP 邀请码 2548643所以 a 7 a 1q 6 1 ，所以 B 正确，由1 a 1q 5 ，各项为正数的等比数列，可知 0 q 1，所以 A 正确，n n 1 n n 1n n 131 a 1q 6 ， K n a 1n q2 可知 K n a 1n q 2 q 2 ， 由 0 q 1，所以 q x 单调递减，n n 13在 n 6，7 时取最小值，2所以 K n 在 n 6 ，7时取最大值，所以 D 正确．故选 C ．12 ． 定 义 函 数 f x 如 下 表 ， 数 列 a n 满 足 a n 1 f a n ， n N ， 若 a 1 2 ， 则a1 a2 a3 L a 2018A ．7042B ． 7058C ． 7063D ． 7262【答案】 C【解析】 由题设知 f 13 ， f 2 5， f 34 ， f 4 6，f 5 1 ，f 6 2 ，∵a 12，a n 1 f a n ， n N ，∴a 12，a 2 f 2 5 ， a 3 f 5 1 ， a 4 f 1 3 ，a 5 f34， a 6 f 46， a 7f 6 2 ⋯⋯，∴ a n 是周期为 6 的周期数列， ∵ 2018 336 6 2 ，∴a 1 a 2 a 3 L a 2018 336 1 2 3 4 5 62 5 7063，故选 C ．二、填空题13．已知等差数列 an，若 a2a3 a 76 ，则 a 1 a7 ________解析】 设等比数列 a n na 1qK n 是其前 n 项的积，所以 K a 1 q由此 K 5 K 6 1 a 1q 5， K 6 K 71 a 1q 6， K 7 K 8 1 a 1q 7答案】 4解析】 ∵ a 2 a 3 a 7 6，∴ 3a 1 9d 6 ，∴ a 1 3d 2，∴a 4 2 ，∴ a 1 a 7 2a 4 4 ．故答案为 4．a n 的前 n 项和为 S n ，若公比 q 32，且a 1 a 2 a 3 1，则 S 12的值是答案】 15答案】 29a a 解析】 S929a5，又 a 5 10，代入得S99 102．S 555a 3 a 39 S 5 5 9a1 a52 1 516．在等差数列 a n 中， a 1 a 4 a 10 a 16 a 19 100 ，则 a 16 a 19 a 13 的值是答案】 20解析】 根据等差数列性质a 1 a 4a 10 a 16 a 19 5a 10 100 ，所以 a 10 20 ，三、解答题17．已知数列a n 中， a 1 2， a n 1 2a n ．（1）求 a n ；（2）若 b n n a n ，求数列 b n 的前 5 项的和 S 5 ． 【答案】（ 1） a n 2n ；（ 2）77． 【解析】（ 1） a 1 2， a n 1 2a n ，14．已知等比数列解析】 已知 a 1 a 2a 3 1 ，则 S 33 q1qa 1 11，又 q 3 2 代入得 a 1q1 ；∴ S 12 12 a 11 q 12 1q12q 1 1 3215．设 S n 是等差数列 a n 的前 n 项和，若a 31q190，则S S9515．根据等差数列性质，a16 a 19 a 13a 16 a 13 a 19 a 19 a 10 a 19 a 1020．畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/ 应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643则数列a n 是首项为2，公比为 2 的等比数列，a n2n 12n；2)b n a n n 2n，S5 1 2 2223 4 245 25345 22 2324255 2 2512 77 ．18．设a n 是等差数列，其前n 项和为S n n N*；b n 是等比数列，公比大于0，其前n项和为T nnN已知b1b2 2，b4a3a5，b5a42a6．1）求Sn 和T n2）若S n T n a n 4b n ，求正整数的值．答案】1) S n解析】12，T n 2 1；（2）4．1）设等比数列b n 的公比为q ，由b11，b3 b2 2 ，可得因为q 0 ，可得q2，故bn 2n 1．所以T n设等差数列an 的公差为d ．由b4a3a5 ，可得a1 3d 4 ．由b5a42a6 得3a113d 16 ，从而a1 1 ，故a n n，所以S n n n 1d11122n2n 1．2）由（1），有T1 T2 L T n2122 2n21 n 2n122n由S n T1 T2 L T n a nn 4b n ，可得整理得n23n 4 0 ，解得所以n 的值为4．nn2n2n 1 （舍），或n4．。

【考向解读】1.高考侧重于考查等差、等比数列的通项a n ，前n 项和S n 的基本运算，另外等差、等比数列的性质也是高考的热点．2.备考时应切实理解等差、等比数列的概念，加强五个量的基本运算，强化性质的应用意识．3.等差数列、等比数列是高考的必考点，经常以一个选择题或一个填空题，再加一个解答题的形式考查，题目难度可大可小，有时为中档题，有时解答题难度较大.解决这类问题的关键是熟练掌握基本量，即通项公式、前n 项和公式及等差、等比数列的常用性质.【命题热点突破一】等差、等比数列的基本计算 例1、（2018年浙江卷）已知成等比数列，且．若，则A. B.C.D.【答案】B【变式探究】(2017·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】通解：选C.设{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C.优解：由S 6＝48得a 4＋a 3＝16， (a 4＋a 5)－(a 4＋a 3)＝8， ∴d ＝4，故选C. 解得q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n . (2)由(1)可得 S n ＝－2[1－－2n]1＋2＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎡⎦⎤－23＋－1n2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．【变式探究】已知数列{a n }的各项均为正数，且a 1＝1，a n ＋1a n ＋a n ＋1－a n ＝0(n ∈N *)． (1)设b n ＝1a n ，求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和S n .【感悟提升】 等差数列的判定与证明有以下四种方法：①定义法，即a n －a n －1＝d(d 为常数，n ∈N *，n≥2)⇔{a n }为等差数列；②等差中项法，即2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列；③通项公式法，即a n ＝an ＋b(a ，b 是常数，n ∈N *)⇔{a n }为等差数列；④前n 项和公式法，即S n ＝an 2＋bn(a ，b 是常数，n ∈N *)⇔{a n }为等差数列．等比数列的判定与证明有以下三种方法：①定义法，即a na n －1＝q(q 为常数且q≠0，n ∈N *，n≥2)⇔{a n }为等比数列；②等比中项法，即a 2n ＋1＝a n a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列；③通项公式法，即a n ＝a 1qn －1(其中a 1，q 为非零常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列．【变式探究】若{a n }是各项均不为零的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足a 2n ＝S 2n －1，n∈N *.数列{b n } 满足b n ＝1a n ·a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和．(1) 求a n 和T n .(2) 是否存在正整数 m ，n(1<m<n)，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？ 若存在，求出所有m ，n 的值；若不存在，请说明理由．（2）假设存在正整数 m ，n （1<m<n ），使得T 1，T m ，T n 成等比数列，则T 1·T n ＝T 2m . ∵T 1·T n ＝n 6n ＋3＝16＋3n <16，∴T 2m ＝⎝⎛⎭⎫m 2m ＋12＝m 24m 2＋4m ＋1<16，∴2m 2－4m －1＜0，∴1－62＜m ＜1＋62，又∵m ∈N 且m ＞1，∴m ＝2，则T 22＝425.令T 1·T n ＝n 6n ＋3＝425，得n ＝12，∴当且仅当m ＝2，n ＝12时，T 1，T m ，T n 成等比数列. 【命题热点突破三】 数列中a n 与S n 的关系问题例3 、（2018年天津卷）设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n （n ∈N *）；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n （n ∈N *）．已知b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6．（Ⅰ）求S n 和T n ；（Ⅱ）若S n +（T 1+T 2+…+T n ）=a n +4b n ，求正整数n 的值． 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)4.【变式探究】已知{}n a 是等差数列，{S }n 是其前n 项和.若，则9a 的值是 ▲ .【答案】20.【解析】由510S =得32a =，因此【感悟提升】 在等差数列、等比数列的综合问题中，通过列方程(组)求基本量是基本而重要的方法．在数列的最值问题中，如果使用函数的方法，要充分考虑数列中的自变量是正整数．【变式探究】已知等比数列{}a n 的首项a 1＝2，公比q>1，且a n ，54a n ＋1，a n ＋2成等差数列（n ∈N *）. （1）求数列{}a n 的通项公式；（2）记b n ＝na n ，数列{}b n 的前n 项和为S n ，若（n －1）2≤m （S n －n －1）对于n≥2，n ∈N *恒成立，求实数m 的取值范围.（2）因为b n ＝na n ＝n·2n ，所以S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n ， 2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋（n －1）·2n ＋n·2n ＋1，所以S n ＝－（2＋22＋23＋…＋2n －n·2n ＋1）＝－（2－2n ＋11－2－n·2n ＋1）＝（n －1）·2n ＋1＋2. 因为（n －1）2≤m （S n －n －1）对于n≥2，n ∈N *恒成立，所以（n －1）2≤m[（n －1）·2n ＋1＋2－n －1]恒成立，即（n －1）2≤m （n －1）（2n ＋1－1）恒成立，于是问题转化为m≥n －12n ＋1－1对于n≥2，n ∈N *恒成立.令f （n ）＝n －12n ＋1－1，n≥2，则f （n ＋1）－f （n ）＝n2n ＋2－1－n －12n ＋1－1＝（2－n ）·2n ＋1－1（2n ＋2－1）（2n ＋1－1）<0， 所以当n≥2，n ∈N *时，f （n ＋1）<f （n ），即f （n ）单调递减， 则f （n ）≤f （2）＝17， 所以m≥17.故实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫17，＋∞.【高考真题解读】 1. （2018年浙江卷）已知成等比数列，且．若，则A. B.C.D.【答案】B2. （2018年北京卷）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A. B. C.D.【答案】D【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则，故选D.3. （2018年江苏卷）已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．【答案】274. （2018年浙江卷）已知等比数列{a n}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1−b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由是的等差中项得，所以，7. （2018年江苏卷）设，对1，2，···，n的一个排列，如果当s<t时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记为1，2，···，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．（1）求的值；（2）求的表达式(用n 表示)．【答案】（1）2 5 （2）n ≥5时，【解析】（1）记为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有，所以．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，．1．(2017·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】通解：选C.设{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C.优解：由S 6＝48得a 4＋a 3＝16， (a 4＋a 5)－(a 4＋a 3)＝8， ∴d ＝4，故选C.2．(2017·高考全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8【解析】选A.由已知条件可得a 1＝1，d ≠0，由a 23＝a 2a 6可得(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )，解得d ＝－2.所以S 6＝6×1＋6×5×－22＝－24.故选A. 3．(2017·高考全国卷Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________.【答案】－84．(2017·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． 解：(1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 11＋q ＝2，a 11＋q ＋q 2＝－6.于是当{2,4}T =时，.又30r S =，故13030a =，即11a =.所以数列{}n a 的通项公式为.（2）因为，，所以.因此，1r k S a +<.1.【2015高考重庆，理2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6 【答案】B【解析】由等差数列的性质得，选B.2.【2015高考福建，理8】若,a b 是函数的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】D3.【2015高考北京，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ） A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +< C ．若120a a <<，则213a a a >D ．若10a <，则【答案】C【解析】先分析四个答案支，A 举一反例，120a a +>而230+<a a ，A 错误，B 举同样反例，130a a +<，而120+>a a ，B 错误，下面针对C 进行研究，{}n a 是等差数列，若120a a <<，则10,a >设公差为d ，则0d >，数列各项均为正，由于，则2113a a a >，选C.4.【2015高考新课标2，理16】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，，则n S =________．【答案】1n-【解析】由已知得，两边同时除以1n n S S +⋅，得，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则，所以1n S n=-． 5.【2015高考广东，理10】在等差数列中，若，则= . 【答案】10．【解析】因为是等差数列，所以，{}n a 2576543=++++a a a a a 82a a +{}n a 37462852a a a a a a a +=+=+=即，所以，故应填入．6.【2015高考陕西，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ．【答案】5【解析】设数列的首项为1a ，则，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5．7.【2015高考浙江，理3】已知{}na 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（ ）A.B. C. D. 【答案】B.8.【2015高考安徽，理14】已知数列{}n a 是递增的等比数列，，则数列{}n a 的前n 项和等于 .【答案】21n -【解析】由题意，，解得或者，而数列{}n a 是递增的等比数列，所以，即3418a q a ==，所以2q =，因而数列{}n a 的前n 项和.9. 【2014高考北京版理第5题】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D345675525a a a a a a ++++==55a =285210a a a +==1010. 【2014高考福建卷第3题】等差数列{}n a的前n项和n S，若，则6a ( )C.14DB.12.8A.10【答案】C【解析】假设公差为d,依题意可得.所以.故选C.。

专题三数列第10讲等差数列与等比数列1. 理解等差、等比数列的概念，掌握等差、等比数列的通项公式及前n项和公式．2. 数列是高中的重要内容，考试说明中，等差、等比数列都是C级要求，因而考试题多为中等及以上难度，试题综合考查了函数与方程，分类讨论等数学思想．填空题常常考查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式及等差、等比数列的性质，考查运算求解能力；解答题综合性很强，不仅考查数列本身的知识而且还涉及到函数、不等式、解析几何等方面的知识，基本上都是压轴题．1. 在数列{a n}中，a n＝4n－52，a1＋a2＋…＋a n＝an2＋bn，n∈N*，其中a，b为常数，则ab＝________.2.已知等差数列{a n}中，a2＝6，a5＝15.若b n＝a2n，则数列{b n}的前5项和等于________．3.设{a n}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{a n}前7项和为________．4.已知等比数列{a n}满足a1>0，a1 006＝2，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a2 011＝________.【例1】等差数列{a n}的各项均为正数，且a1＝1，前n项和为S n，{b n}为等比数列，b1＝1 ，前n项和为T n，且b2S2＝12，b3S3＝81.(1) 求a n与b n;(2) 求S n与T n；(3) 设c n＝a n b n，{c n}的前n项和为M n，求M n.【例2】等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1＋2，S3＝9＋3 2.(1) 求数列{a n}的通项a n与前n项和S n；(2) 设b n＝S nn(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【例3】设{a n}是公差不为零的等差数列，S n为其前n项和，满足a22＋a23＝a24＋a25，S7＝7.(1) 求数列{a n}的通项公式及前n项和S n;(2) 试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2为数列{a n }中的项．【例4】 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝2n (n ∈N *)，b n ＝3a n . (1) 试证数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －13×2n 是等比数列，并求数列{b n }的通项公式．(2) 在数列{b n }中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说明理由．(3) 试证在数列{b n }中，一定存在满足条件1＜r ＜s 的正整数r ，s ，使得b 1，b r ，b s 成等差数列；并求出正整数r ，s 之间的关系．1. (2011·广东)等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.2.(2011·辽宁)若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为________.3.(2011·湖北)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．4.(2010·天津)设{a n }是等比数列，公比q ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．记T n ＝17S n －S 2na n ＋1，n ∈N ＋，设Tn 0为数列{T n }的最大项，则n 0＝________.5.(2011·湖北)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1) 求数列{b n }的通项公式；(2) 数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．6.(2009·广东)已知点⎝⎛⎭⎫1，13是函数f(x)＝a x (a>0，a ≠1)的图象上一点，等比数列{a n }的前n 项和为f(n)－c ，数列{b n }(b n >0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n －S n －1＝S n ＋S n ＋1(n ≥2)．(1) 求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2) 若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1前n 项和为T n ，问T n >1 0002 009的最小正整数n 是多少？(2011·辽宁)(本小题满分12分)已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，(2分)解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.(4分)故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n(n ∈N *)．(5分)(2) 设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1， ①故S 1＝1. (7分) S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .② 所以，当n>1时，①－②得S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n＝1－⎝⎛⎭⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n 2n ＝1－⎝⎛⎭⎫1－12n －1－2－n 2n ，(9分) 所以S n ＝n 2n －1，n ＝1适合，综上数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1. (12分)专题三 数 列第10讲 等差数列与等比数列1. 若数列{a n }，{b n }的通项公式分别是a n ＝(－1)n ＋2007·a ，b n ＝2＋(－1)n＋2008n，且a n ＜b n对任意n ∈N *恒成立，则常数a 的取值范围是____________．【答案】 [－2,1] 解析： a ＞0时，a n 的最大值为a(n 取奇数)，b n 的最小值为1，a ＝0，b n ＞0，a n ＜b n 恒成立，a ＜0时，a n 的最大值为－a(n 取偶数)，b n ＞2，－a ≤2，综上，a ∈[－2,1)．2. 已知无穷数列{a n }中，a 1，a 2，…，a m 是首项为10，公差为－2的等差数列；a m ＋1，a m ＋2，…，a 2m 是首项为12，公比为12的等比数列(其中 m ≥3，m ∈N *)，并对任意的n ∈N *，均有a n ＋2m ＝a n 成立．(1) 当m ＝12时，求a 2 010； (2) 若a 52＝1128，试求m 的值；(3) 判断是否存在m(m ≥3，m ∈N *)，使得S 128m ＋3≥2 010成立？若存在，试求出m 的值；若不存在，请说明理由．解： (1) m ＝12时，数列的周期为24.∵ 2 010＝24×83＋18，而a 18是等比数列中的项，∴ a 2 010＝a 18＝a 12＋6＝⎝⎛⎭⎫126＝164.(2) 设a m ＋k 是第一个周期中等比数列中的第k 项，则a m ＋k ＝⎝⎛⎭⎫12k . ∵1128＝⎝⎛⎭⎫127， ∴ 等比数列中至少有7项，即m ≥7，则一个周期中至少有14项． ∴ a 52最多是第三个周期中的项． 若a 52是第一个周期中的项，则a 52＝a m ＋7＝1128. ∴ m ＝52－7＝45； 若a 52是第二个周期中的项，则a 52＝a 3m ＋7＝1128.∴ 3m ＝45，m ＝15； 若a 52是第三个周期中的项，则a 52＝a 5m ＋7＝1128.∴ 5m ＝45，m ＝9； 综上，m ＝45，或15，或9.(3) 2m 是此数列的周期，∴ S 128m ＋3表示64个周期及等差数列的前3项之和． ∴ S 2m 最大时，S 128m ＋3最大．∵ S 2m ＝10m ＋m (m －1)2×(－2)＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12m 1－12＝－m 2＋11m ＋1－12m ＝－⎝⎛⎭⎫m －1122＋1254－12m， 当m ＝6时，S 2m ＝31－164＝306364；当m ≤5时，S 2m ＜306364； 当m ≥7时，S 2m ＜－(7－112)2＋1254＝29＜306364.∴ 当m ＝6时，S 2m 取得最大值，则S 128m ＋3取得最大值为64×306364＋24＝2 007.由此可知，不存在m(m ≥3，m ∈N *)，使得S 128m ＋3≥2 010成立． 基础训练1. －1 解析：{a n }为等差数列，则S n ＝2n 2－12n ，∴ a ＝2，b ＝－12.2. 90 解析：a n ＝3n ，b n ＝6n.3. 1274. 2 011 解析：log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a 2 011＝log 2(a 1a 2a 3…a 2 011)＝log 2[(a 1a 2011)(a 2a 2 010)…(a 1 005a 1 007)a 1 006]＝log 2[(22)1 005×2]＝log 222 011＝2 011. 例题选讲例1 解：(1) 设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正数，a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧S 3b 3＝(3＋3d )q 2＝81，S 2b 2＝(2＋d )q ＝12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－23，q ＝9.(舍去)故a n ＝1＋2(n －1)，a n ＝2n －1，b n ＝3n －1.(2) S n ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2，T n ＝1－3n 1－3＝3n －12.(3) c n ＝(2n －1)×3n －1，M n ＝1＋3×3＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，①3M n ＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n －1)×3n ，②①－②得－2M n ＝1＋2×3＋2×32＋…＋2×3n －1－(2n －1)×3n ， M n ＝(n －1)×3n ＋1.变式训练 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1) 求{a n }的公比q ； (2) 若a 1－a 3＝3，求S n .解： (1) 依题意有a 1＋(a 1＋a 1q)＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)， 由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0，又q ≠0，从而q ＝－12.(2) 由已知可得a 1－a 1⎝⎛⎭⎫－122＝3，故a 1＝4. 从而S n ＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1－⎝⎛⎭⎫－12＝83⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n .例2 解：(1) 由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴ d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n(n ＋2)．(2) 由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)．∴ (q 2－pr)＋(2q －p －r)2＝0, ∵ p ，q ，r ∈N *，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0， ∴ ⎝⎛⎭⎫p ＋r 22＝pr, (p －r)2＝0, ∴ p ＝r.这与p ≠r 矛盾．故数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．变式训练 设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝kn 2＋n ，n ∈N *，其中k 是常数． (1) 求a 1及a n ；(2) 若对于任意的m ∈N *，a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，求k 的值． 解： (1) 当n ＝1，a 1＝S 1＝k ＋1，n ≥2，a n ＝S n －S n －1＝kn 2＋n －[k(n －1)2＋(n －1)]＝2kn －k ＋1，(*) 经检验，n ＝1，(*)式成立，∴ a n ＝2kn －k ＋1(n ∈N *)． (2) ∵ a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列， ∴ a 22m ＝a m ·a 4m ， 即(4km －k ＋1)2＝(2km －k ＋1)(8km －k ＋1)，整理得：mk(k －1)＝0， 对任意的m ∈N *成立，∴ k ＝0或k ＝1.例3 解：(1) 设公差为d ，则a 22－a 25＝a 24－a 23，由性质得－3d(a 4＋a 3)＝d(a 4＋a 3)，因为d ≠0，所以a 4＋a 3＝0，即2a 1＋5d ＝0，又由S 7＝7得7a 1＋7×62d ＝7，解得a 1＝－5，d ＝2，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －7，前n 项和S n ＝n 2－6n. (2) (解法1)a m a m ＋1a m ＋2＝(2m －7)(2m －5)2m －3，设2m －3＝t ，则a m a m ＋1a m ＋2＝(t －4)(t －2)t ＝t ＋8t －6, 所以t 为8的约数．因为t 是奇数，所以t 可取的值为±1，当t ＝1，m ＝2时，t ＋8t－6＝3,2×5－7＝3，是数列{a n }中的项；当t ＝－1，m ＝1时，t ＋8t －6＝－15，数列{a n }中的最小项是－5，不符合．所以满足条件的正整数m ＝2.(解法2) 因为a m a m ＋1a m ＋2＝(a m ＋2－4)(a m ＋2－2)a m ＋2＝a m ＋2－6＋8a m ＋2为数列{a n }中的项，故8a m ＋2为整数，又由(1)知：a m ＋2为奇数，所以a m ＋2＝2m －3＝±1，即m ＝1,2，经检验，符合题意的正整数只有m ＝2.例4 解： (1) 证明：由a n ＋a n ＋1＝2n ，得a n ＋1＝2n －a n ，所以a n ＋1－13×2n ＋1a n －13×2n ＝2n －a n －13×2n ＋1a n －13×2n ＝－(a n －13×2n )a n －13×2n ＝－1.又因为a 1－23＝13，所以数列{a n －13×2n }是首项为13，公比为－1的等比数列．所以a n －13×2n ＝13×(－1)n －1，即a n ＝13[2n －(－1)n ]，所以b n ＝2n －(－1)n .(2) 假设在数列{b n }中，存在连续三项b k －1，b k ，b k ＋1(k ∈N *, k ≥2)成等差数列，则b k －1＋b k ＋1＝2b k ，即[2k －1－(－1)k －1]＋[2k ＋1－(－1)k ＋1]＝2[2k －(－1)k ]，即2k －1＝4(－1)k －1.① 若k 为偶数，则2k －1＞0,4(－1)k －1＝－4＜0，所以，不存在偶数k ，使得b k －1，b k ，b k ＋1成等差数列．② 若k 为奇数，则当k ≥3时，2k －1≥4，而4(－1)k －1＝4，所以，当且仅当k ＝3时，b k －1，b k ，b k ＋1成等差数列．综上所述，在数列{b n }中，有且仅有连续三项b 2，b 3，b 4成等差数列． (3) 要使b 1，b r ，b s 成等差数列，只需b 1＋b s ＝2b r ，即3＋2s －(－1)s ＝2[2r －(－1)r ]，即2s －2r ＋1＝(－1)s －2(－1)r －3，(﹡)① 若s ＝r ＋1，在(﹡)式中，左端2s －2r ＋1＝0，右端(－1)s －2(－1)r －3＝(－1)s ＋2(－1)s －3＝3(－1)s －3，要使(﹡)式成立，当且仅当s 为偶数时．又s ＞r ＞1，且s ，r 为正整数， 所以当s 为不小于4的正偶数，且s ＝r ＋1时，b 1，b r ，b s 成等差数列．② 若s ≥r ＋2时，在(﹡)式中，左端2s －2r ＋1≥2r ＋2－2r ＋1＝2r ＋1，由(2)可知，r ≥3，所以r ＋1≥4，所以左端2s －2r ＋1≥16(当且仅当s 为偶数、r 为奇数时取“＝”)；右端(－1)s －2(－1)s －3≤0.所以当s ≥r ＋2时，b 1，b r ，b s 不成等差数列．综上所述，存在不小于4的正偶数s ，且s ＝r ＋1，使得b 1，b r ，b s 成等差数列. 高考回顾 1. 10 2. 43.6766解析：设该数列为{a n }，首项为a 1，公差为d ，依题意 ⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎨⎧a 1＋7d ＝43，d ＝766.则a 5＝a 1＋4d ＝a 1＋7d －3d ＝43－2166＝6766.4. 4 解析：不妨设a 1＝1，则a n ＝(2)n －1，a n ＋1＝(2)n，S n ＝(2)n －12－1＝a n ＋1－12－1，S 2n＝(2)2n －12－1＝a 2n ＋1－12－1，T n ＝17S n －S 2n a n ＋1＝17·a n ＋1－12－1－a 2n ＋1－12－1a n ＋1＝－12－1⎝⎛⎭⎫a n ＋1＋16a n ＋1－17， 因为函数g(x)＝x ＋16x (x ＞0)在x ＝4时，取得最小值，所以T n ＝－12－1⎝⎛⎭⎫a n ＋1＋16a n ＋1－17在a n ＋1＝4时取得最大值．此时a n ＋1＝(2)n ＝4，解得n ＝4.即T 4为数列{T n }的最大项，则n 0＝4.5. 解：(1) 设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d ；则a －d ＋a ＋a ＋d ＝＝5；数列{b n }中的b 3、b 4、b 5依次为7－d,10,18＋d ，则(7－d)(18＋d)＝100；得d ＝2或d ＝－13(舍)，于是b 3＝5，b 4＝n ＝5·2n －3.(2) 证明：数列{b n }的前n 项和S n ＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是公比为2的等比数列．6. 解：(1) ∵ f(1)＝a ＝13， ∴ f(x)＝⎝⎛⎭⎫13x ， a 1＝f(1)－c ＝13－c ，a 2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－29，a 3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－227. 又数列{a n }成等比数列，a 1＝a 22a 3＝481－2 27＝－23＝13－c ，所以c ＝1；又公比q ＝a 2a 1＝13，所以a n ＝－23⎝⎛⎭⎫13n －1＝－2⎝⎛⎭⎫13n (n ∈N *)； 又 S n －S n －1＝(S n －S n －1)(S n ＋S n －1)＝S n ＋S n －1(n ≥2)，又b n ＞0，S n ＞0，∴ S n －S n －1＝1；数列{S n }构成一个首项为1，公差为1的等差数列，S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，S n ＝n 2. 当n ≥2，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1；又b 1＝1， ∴ b n ＝2n －1(n ∈N *)． (2) T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)×(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12⎝⎛⎭⎫13－15＋12⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1，由T n ＝n 2n ＋1＞1 0002 009，得n ＞1 0009，满足T n ＞1 0002 009的最小正整数为112.。

【2019年咼考考纲解读】 1. 等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现 2. 数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力. 【重点、难点剖析】 一、等差数列、等比数列的运算 1 •通项公式 等差数列： a n = a i + ( n — i) d ； 等比数列： n — 1 a n = a i • q . 2 .求和公式 a i + a n 2 3 .性质 若 m + n = p + q ,在等差数列中 a m + a n = a p + a q ；在等比数列中 a m • a n = a p ■ a q .二 等差数列、等比数列的判定与证明证明数列｛a n ｝是等差数列或等比数列的证明方法(1) 证明数列｛a n ｝是等差数列的两种基本方法：① 利用定义，证明 a n +1 — a n (n € N)为一常数；② 利用等差中项，即证明 2a n = a n -1 + a n +i (n 》2, n € N).(2) 证明数列｛a n ｝是等比数列的两种基本方法：a “+1 *① 利用定义，证明 一一(n € N)为一常数；a n② 利用等比中项，即证明 a ；? = a n — i a n + i (n 》2, n € N).三、等差数列、等比数列的综合问题解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、 方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解.【高考题型示例】题型一、等差数列、等比数列的运算例1、（1）（2018 •全国I ）记 S 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，若3S s = S 2+ S, a i = 2，贝U a 5等于（） A . — 12 B .— 10等差数列与等比数列等差数列: 等比数列: a i S n = a i — a n q(q ^ i)n =n a i + -C. 10 D . 12答案B解析设等差数列｛a n｝的公差为d,由3S= S2+ S4,- 2 2 —j 乂？—| J y d —I得 3 |3a i + 2 x d = 2a1 + ----------- 2------- x d + 4a1 + -----2 -------- x d,将a1 = 2 代入上式，解得d=—3,故a5= a + （5 —1）d = 2+4x（—3）= —10.故选B.⑵（2018 •全国川）等比数列｛a n｝中，a1= 1, a5= 4空.①求｛a n｝的通项公式；②记S为｛a n｝的前n项和，若63,求m解①设（胡的公比为4由憩殳得H由已知得孑=4孑，解得尸0（舍去）；尸-2或尸2・故（一2）1或迤=21（山€矿）”②若则氏二匕严由©=盟得（-2）”=-1貂，此万程没有正整数解.若乞=21』则£=2"-1,宙5；=63 得2*=64;解得*=6.【感悟提升】在进行等差（比）数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d（q）的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量.【变式探究】（1）设公比为q（q>0）的等比数列｛a n｝的前n项和为S,若S= 3a2 + 2,S= 3a4+ 2，则a等于（）1 2A.—2 B . —1 C. - D.-2 3答案B解析S —S = a3 + a4 = 3a4 —3a2,2即3a2+ a3—2a4= 0,即卩3a2 + a2q—2a2q = 0,323即 2q — q — 3 = 0,解得 q =— 1(舍)或 q = 2, 3 当 q = 2时，代入 S ?= 3a 2+ 2,得 a i + a i q = 3a i q + 2,解得 a i = — 1. ⑵ 设各项均为正数的等比数列 ｛a n ｝中，若S 4= 80, 82= 8，则公比q = _答案 3 162解析 由题意可得，S — 82= q?S ,代入得q = 9.•••等比数列｛a n ｝的各项均为正数，••• q = 3，解得 a i = 2,故 a 5= 162.题型二 等差数列、等比数列的判定与证明1 例 2、已知数列｛a n ｝, ｛b n ｝，其中 a i = 3, b i = — 1,且满足 a n =-(3a n —i — bn n 》2. (1) 求证：数列｛a n — b n ｝为等比数列;又 a i — b i = 3— ( — 1) = 4,所以｛a n — b n ｝是首项为4,公比为2的等比数列⑵解由(1)知，a — b n = 2n +：① 又 a n + b n = 2(3 a n — 1 - b n — i ) + 二 2 ( a n — 1 - 3b n — i ) = a n — 1 + b n — 1 , 又 a i + b i = 3+ ( — 1) = 2,所以｛ a n + b n ｝为常数数列，a n + b n = 2,②联立①②得，a n = 2 + 1,2n 2n1 1 a n a n +1= 2n + ⑴1+ = 2n + 1 — 2n +1+ 1’所以 Tn = 21 + 1 22+ 1 + 22+ 1 23 + 1 + + 2n + 1 2n +1+ 11 111 *2 + 1 2 +13 2 + 1【感悟提升】(1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前 法. ⑵a n = a n — i a n +i (n 》2)是数列｛a n ｝为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零.,a 5 ___1 *),b n = —㊁®— i — 3b n — i ), n €N , ⑵求数列a n a n + 1 【勺前n 项和T .1(1)证明12 ( a n —1 — 3b n — 1)= 2( a n — 1 — b n —n 项和公式，但不能作为证明方1 4【变式探究】已知｛a n ｝是各项都为正数的数列，其前 n 项和为S,且S 为a n 与 的等差中项. a n⑴ 求证：数列｛Sn ｝为等差数列；⑵ 求数列｛a n ｝的通项公式;⑴证明 由题青知2 £=至十二 即2 £俚—fi ：= 1, W当 定2时，有51-u 代入(半)式得29(耳一 £-1) — (£—整理得又当n=l 时，由(杓式可得网=£[=「二数列｛专是苜项为h 公差为1的等差数列”⑵解由⑴可得S 2 = 1+ n -1 = n ,•• •数列｛a n ｝的各项都为正数，••• S= n,•••当 n 》2 时，a n = S — S -i = "J n-\/n — 1,又a 1 = S = 1满足上式，...a n = n - n -1(n €N *).i ni n (3)解 由(2)得 bn = - = 尸〒’ an p n -寸 n - 1=(-1)n ( n + n - 1),当n 为奇数时， T n =- 1 + ( 2+ 1)-(寸3 +』2) +…+ ( n - 1+ n -2) - ( n + n - 1) =- n ,当n 为偶数时，T n =- 1 + ( 2+ 1) - ( 3 + 2) +…一(n -1+ n -2) + ( n + n - 1) = n ,数列｛b n ｝的前 n 项和 T n = ( — 1)育n ( n €N ).题型三 等差数列、等比数列的综合问题例3、已知等差数列｛a n ｝的公差为一1，且a 2 + a 7 + a 12=- 6.(1) 求数列｛a n ｝的通项公式a n 与其前n 项和S ；(2) 将数列｛a n ｝的前4项抽去其中一项后， 剩下三项按原来顺序恰为等比数列 ｛b n ｝的前3项，记｛b n ｝的前n 项 和为T n ,若存在m ^N *，使得对任意n €N *，总有S<T m +入恒成立，求实数 入的取值范围.⑶设b n =-1a n n -,求｛b n ｝的前n 项和T n .解 (1)由 a 2 + a 7 + a i2= — 6，得 a 7=— 2,「. a i = 4,n 9 — n *a n = 5— n ,从而 S= --------- 2 (n €N ).(2)由题意知 b i = 4, b 2= 2, b 3= 1,设等比数 列｛b n ｝的公比为q ,12,弓丁随m 的增加而减少,2 •••｛T ｝为递增数列，得4W T m <8.n 9— n 1 2又 S= -------- 2 = — 2(n — 9n )若存在m€N ，使得对任意n €N ,总有Si<T n +入， 则10<8+入，得入>2.即实数 入的取值范围为(2 ,+^).【感悟提升】(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解 ，但有时灵活地运用性质，可使运算简便. ⑵ 数列的项或前n 项和 可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题.(3) 数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解.【变式探究】已知数列｛a n ｝的前n 项和为S,且S — 1 = 3(a n — 1) , n €N *.(1)求数列｛a n ｝的通项公式；解 (1)由已知得 S= 3a n — 2,令n = 1,得a 1 = 1,又 a n +1 S +1 S 3a n +1 3a n ,3所以数列｛a n ｝是以1为首项，2为公比的等比数列,(2)设数列｛ b n ｝满足a n + 1 = 若b n W t 对于任意正整数 n 都成立，求实数t 的取值范围.得 a n + 1 = 32a n ,故($) max = S= S 5= 10,所以a n=(n€N*).—n ■ ~ T_l f所乱7一方==S+l）• -/-n ■訂=—（2-n），4 4所以⑹…=矗=氏=亍所以&亍即f的取值范围为p +8 ,.。

【考点剖析】1. 命题方向预测：数列是高考必考内容，往往是主、客观题均有.预计2019年高考将重点考查等差、等比数列的通项公式及其性质、求和公式等，主观题以等差、等比数列与其他知识的综合为主.2.课本结论总结：等差数列的判断方法：(1)定义法：对于的任意自然数，验证为同一常数；(2)等差中项法：验证都成立；(3)通项公式法：验证；(4)前n项和公式法：验证.注后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．等比数列的判定方法：(1)定义法：若(为非零常数)或(为非零常数且)，则是等比数列．(2)中项公式法：若数列中且，则数列是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成(，均为不为0的常数，)，则是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列{a n}的前n项和(为常数且，)，则是等比数列．3.名师二级结论：以数列与函数、不等式相结合为背景的选择题,主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、比较大小、参数取值范围的探求，此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能．求解数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：（1）若函数在定义域为，则当时，有恒成立；恒成立；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得．4.考点交汇展示：(1)数列与函数相结合1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且．若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.(2)数列与不等式相结合【2018年江苏卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．【答案】27【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.详解：设，则，由得，所以只需研究是否有满足条件的解，此时，，为等差数列项数，且.由得满足条件的最小值为.【考点分类】考向一等差数列基本量的计算1.【2018年理新课标I卷】设为等差数列的前项和，若，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，整理解得，所以，故选B.2.【2017课标1，理4】记为等差数列的前项和．若，，则的公差为A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C3.【2018年理北京卷】设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为__________．【答案】【解题技巧】等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量，，，，，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题，此外要注意当时，为常数列，是特殊的等差数列.【方法规律】数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换作用，而和是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，例如第3题，将条件中的等式都转化为关于和的方程组，通过解方程组求解.考向二等差数列性质的综合运用1.【2018届河北省武邑中学第二次调研】数列满足，且，，则（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】D【解析】数列满足，则数列是等差数列，利用等差数列的性质可知：.本题选择D选项.2.【2018届东北师范大学附属中学五模】我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部尺，重斤，尾部尺，重斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”A．6斤B．7斤C．斤D．斤【答案】D【解析】原问题等价于等差数列中，已知，求的值.由等差数列的性质可知：，则，即中间三尺共重斤.本题选择D选项.3.设数列都是等差数列,若,则__________.【答案】35【解析】因为数列都是等差数列,所以数列也是等差数列，故由等差中项的性质,得,即,解得.【方法规律】等差数列的性质：（1）通项公式的推广：（2）若，则；（3）若，为等差数列，且前项和分别为和，则，熟记等差数列的一些常用性质可提高解题的速度与正确率，例如第6题，利用等差数列的下标性质，可以快速求解问题【解题技巧】等差数列前项和的最值问题的方法：①二次函数法：将看作关于的二次函数，运用配方法，借助函数的单调性及数形结合，使问题有解；②通项公式法：求使（或）成立的最大值，即可得的最值；（3）不等式法：借助最大时，有，解此不等式组确定的范围，进而确定的值和对应的值（即的最值）.考向三等比数列基本量的计算1.【2018年理新课标I卷】记为数列的前项和，若，则_____________．【答案】2.【2017江苏，9】等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则= .【答案】32【解析】当时，显然不符合题意；当时，，解得，则.3.【2018年文北京卷】设是等差数列，且.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求.【答案】（I）（II）【解析】分析：（1）设公差为，根据题意可列关于的方程组，求解，代入通项公式可得；（2）由（1）可得，进而可利用等比数列求和公式进行求解.【解题技巧】（1）对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用．（2）在涉及等比数列前项和公式时要注意对公式是否等于的判断和讨论．【方法规律】关于等比数列的基本运算，其实质就是解方程或方程组，容易出现的问题主要有两个方面：一是计算出现失误，特别是利用因式分解求解方程的根时，忽略根的符号的判断，导致出错；二是不能灵活利用等比数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大了运算量，将条件中的等式转化为关于和的方程组，解得和，从而解决问题.考向四等比数列性质的综合运用1．【2018年文北京卷】】“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率f，则第八个单音频率为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则，故选D.2.【辽宁省凌源二中2018届三校联考】已知数列为等比数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】B3.【2018届四川省双流中学9月月考】各项为正数的等比数列中，与的等比中项为,则__________．【答案】【解析】由题设，又因为，所以，应填答案.【方法规律】等比数列的性质：（1）通项公式的推广：（2）若，则；（3）等比数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等比数列，即成等比数列，熟记等差数列的一些常用性质可提高解题的速度与正确率，例如第18题，利用等比数列的下标性质，可以快速求解问题【解题技巧】(1)由，并不能立即断言为等比数列，还要验证，(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对与分类讨论，防止因忽略这一特殊情形导致解题失误．【热点预测】1.【2017课标II，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【答案】B【解析】2.【2018届安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会高三上第一次联考】已知等比数列满足，则的值为（）A. 1B. 2C.D.【答案】A【解析】∵等比数列满足，∴，又偶数项同号，∴∴，∴故选：A3.【黑龙江省2018年仿真模拟（十一）】等比数列中，，，，则（）A．64 B．128 C．256 D．512【答案】A【解析】4.在等差数列中，已知，则（）A．12 B．18 C．24 D．30【答案】C【解析】公差为，则，．故选C．5.【2018届湖北省荆州市荆州中学高考模拟】已知等差数列的前项和为．若，，则（）A．35 B．42 C．49 D．63【答案】B【解析】已知数列为等差数列，则其前项和性质有、、也是等差，由题意得，，则，，故选.6.【2017浙江，6】已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由，可知当，则，即，反之，，所以为充要条件，选C．7.【2018届宁夏石嘴山市第三中学四模】已知等比数列中，则A．B．-2 C．2 D．4【答案】C【解析】因为等比数列中，，所以，即以，因此=，因为，同号，所以选C.8. 【2018届湖北省武汉市部分学校新高三起点考试】已知等比数列中，，，成等差数列，设为数列的前项和，则等于（）A. B. 3或 C. 3 D.【答案】B9.已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于.【答案】【解析】由题意，，解得或者，而数列是递增的等比数列，所以，即，所以，因而数列的前项和.10.【2018届江苏省泰州中学高三上开学】设正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的值为__________．【答案】611.【2018届宁夏平罗中学第四次（5月）模拟】已知数列的前项和为,且,,时,,则的通项公式___________．【答案】.【解析】由得．又，，∴．又，∴，∴，∴，∴数列是首项为3，公差为2的等差数列，∴，∴当时，，又满足上式，∴.答案：12. 已知等比数列的各项均为正数，且，.(1) 求数列的通项公式；(2) 设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.13.【2018届河北省唐山市迁安市第三中学高三上期中】正项等差数列满足，且成等比数列，的前n项和为．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）设数列公差为，由已知得：，化简得：，解得：或（舍），所以．（2）因为，所以，所以＝＝．14. 【2018届江苏省盐城中学全仿真模拟】已知正项数列的前项和为，其中.(I)若，求数列的通项公式；(I)若，求证: 是等差数列.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】(2)根据题意，有，因为，所以可设，(2)-(1)得(4)，(3)-(2)得(5)(5)-(4)得，当时故舍，则有，代入(4)式得，代入(1)式得，所以，当时有.两式相减得，整理得. 又恒成立，则，所以是等差数列.。

专题四 数列第一讲 等差数列、等比数列考点一 等差、等比数列的基本运算1．等差数列的通项公式及前n 项和公式a n ＝a 1＋(n －1)d ； S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .2．等比数列的通项公式及前n 项和公式a n ＝a 1q n －1(q ≠0)；S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q1－q (q ≠1).[对点训练]1．在等差数列{a n }中，已知a 5＋a 10＝12，则3a 7＋a 9＝( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．30[解析] 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 因为a 5＋a 10＝12， 所以2a 1＋13d ＝12，所以3a 7＋a 9＝3(a 1＋6d )＋a 1＋8d ＝4a 1＋26d ＝2(2a 1＋13d )＝2×12＝24.[答案] C2．(2018·山东青岛模拟)公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝3a 4，且S 9＝λa 4，则λ的值为( )A ．18B ．20C ．21D ．25[解析] 设公差为d ，由a 6＝3a 4，且S 9＝λa 4，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝3a 1＋9d ，9a 1＋9×8d 2＝λa 1＋3λd ，解得λ＝18，故选A.[答案] A3．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12 D.18[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，可知q ≠1，则a 1q 2×a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，∴116×q 6＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫14×q 3－1，∴q 6－16q 3＋64＝0，∴(q 3－8)2＝0，即q 3＝8，∴q ＝2，∴a 2＝12，故选C.[答案] C4．在等比数列{a n }中，若a 4－a 2＝6，a 5－a 1＝15，则a 3＝________.[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3－a 1q ＝6，a 1q 4－a 1＝15，两式相除，得q1＋q 2＝25，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－16，q ＝12.故a 3＝4或a 3＝－4.[答案] 4或－4[快速审题] 看到求项、求和，想到求a 1，d ，q 及通项公式、前n 项和公式．等差(比)数列的运算注意两点(1)在等差(比)数列中，首项a 1和公差d (公比q )是两个最基本的元素．(2)在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a 1和d (q )的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．考点二 等差、等比数列的性质[对点训练]1．(2018·山西太原一模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 3＋a 10＝9，则S 9＝( )A ．3B ．9C ．18D ．27[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 2＋a 3＋a 10＝9，∴3a 1＋12d ＝9，即a 1＋4d ＝3，∴a 5＝3，∴S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝27，故选D.[答案] D2．(2018·山东菏泽一模)在等比数列{a n }中，a 2，a 16是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( )A ．2B ．－ 2 C. 2 D ．－2或 2[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2，a 16是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，可得a 2a 16＝2，所以a 29＝2，则a 2a 16a 9＝a 9＝±2，故选D.[答案] D3．(2018·合肥模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5＝1，S 10＝3，则S 15的值是________．[解析] ∵数列{a n }是等比数列，∴S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，∴(S 10－S 5)2＝S 5·(S 15－S 10)，4＝1×(S 15－3)，得S 15＝7.[答案] 7[探究追问] 3题中条件不变，如何求S 100的值？[解析] 在等比数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10，…成等比数列，因为S 5＝1，S 10＝3，所以S 100可表示为等比数列1,2,4，…的前20项和，故S 100＝1×(1－220)1－2＝220－1.[答案] 220－1[快速审题] 看到等差、等比数列，想到等差、等比数列项的性质、和的性质．等差(比)数列性质应用策略解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．考点三等差、等比数列的判定与证明1．证明数列{a n}是等差数列的两种基本方法(1)利用定义，证明a n＋1－a n(n∈N*)为一常数；(2)利用等差中项，即证明2a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2)．2．证明数列{a n}是等比数列的两种基本方法[解](1)证明：由a1＝1，及S n＋1＝4a n＋2，有a1＋a2＝4a1＋2，a2＝3a1＋2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.由S n＋1＝4a n＋2①知当n ≥2时，有S n ＝4a n －1＋2② ①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1) 又∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1，∴{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列． (2)由(1)可得b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1， ∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列．∴a n 2n ＝12＋(n －1)×34＝34n －14，a n ＝(3n －1)·2n －2.等差、等比数列的判定与证明应注意的两点(1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n 项和公式的特征，但不能作为证明方法．(2)a n ＋1a n＝q 和a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)都是数列{a n }为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零．[对点训练]若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12. (1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1). 当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12[解析] 解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，∵3S 3＝S 2＋S 4，∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 1＋3×22d ＝2a 1＋d ＋4a 1＋4×32d ，解得d ＝－32a 1，∵a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10，故选B.解法二：设等差数列{a n }的公差为d ，∵3S 3＝S 2＋S 4，∴3S 3＝S 3－a 3＋S 3＋a 4，∴S 3＝a 4－a 3，∴3a 1＋3×22d ＝d ，∵a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10，故选B.[答案] B2．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8[解析] 解法一：等差数列{a n }中，S 6＝(a 1＋a 6)×62＝48，则a 1＋a 6＝16＝a 2＋a 5，又a 4＋a 5＝24，所以a 4－a 2＝2d ＝24－16＝8，得d ＝4，故选C.解法二：由已知条件和等差数列的通项公式与前n 项和公式可列方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝4，故选C.[答案] C3．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得a 23＝a 2·a 6，即(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )，解得d ＝－2或d ＝0(舍去)，又a 1＝1，∴S 6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24，故选A.[答案] A4．(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A.32fB.322fC.1225fD.1227f[解析] 由题意知，十三个单音的频率构成首项为f ，公比为122的等比数列，设该等比数列为{a n }，则a 8＝a 1q 7，即a 8＝1227f ，故选D.[答案] D5．(2017·江苏卷)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.[解析] 设等比数列{a n }的公比为q .当q ＝1时，S 3＝3a 1，S 6＝6a 1＝2S 3，不符合题意，∴q ≠1，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q ＝74，a 1(1－q 6)1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，∴a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.[答案] 32高考主要考查两种基本数列(等差数列、等比数列)，该部分以选择题、填空题为主，在4～7题的位置或13～14题的位置，难度不大，以两类数列的基本运算和基本性质为主．热点课题10 数列中的最值问题[感悟体验]1．(2018·江西五校联考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8>0，且S 9<0，则S 1、S 2、…、S 9中最小的是( )A ．S 5B ．S 6C ．S 7D ．S 8 [解析] 在等差数列{a n }中， ∵a 3＋a 8>0，S 9<0，∴a 5＋a 6＝a 3＋a 8>0，S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5<0，∴a 5<0，a 6>0，∴S 1、S 2、…、S 9中最小的是S 5，故选A. [答案] A2．(2018·山东青岛模拟)已知a n ＝n －2017n －2018(n ∈N *)，则在数列{a n }的前50项中，最小项和最大项分别是( )A ．a 1，a 50B ．a 1，a 44C ．a 45，a 50D ．a 44，a 45[解析] a n ＝n －2017n －2018＝n －2018＋2018－2017n －2018＝1＋2018－2017n －2018.结合函数y ＝a ＋cx －b(c >0)的图象，要使a n 最大，则需n －2018最小且n －2018>0，∴当n ＝45时，a n 最大，当n ＝44时，a n 最小，故选D. [答案] D专题跟踪训练(十八)一、选择题1．(2018·长郡中学摸底)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＋a 12－a 8＝8，a 10－a 6＝4，则S 23＝( )A ．23B ．96C ．224D ．276[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得a 4＋a 12－a 8＝2a 8－a 8＝a 8＝8，a 10－a 6＝4d ＝4，解得d ＝1，所以a 8＝a 1＋7d ＝a 1＋7＝8，解得a 1＝1，所以S 23＝23×1＋23×222×1＝276，故选D.[答案] D2．已知数列{a n }为等比数列，且a 1＋1，a 3＋4，a 5＋7成等差数列，则公差d 为( )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] 设{a n }的公比为q ，由题意得2(a 3＋4)＝a 1＋1＋a 5＋7⇒2a 3＝a 1＋a 5⇒2q 2＝1＋q 4⇒q 2＝1，即a 1＝a 3，d ＝a 3＋4－(a 1＋1)＝4－1＝3，故选B.[答案] B3．等比数列{a n }中，已知a 1＋a 3＝8，a 5＋a 7＝4，则a 9＋a 11＋a 13＋a 15的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．5[解析] 因为{a n }为等比数列，所以a 5＋a 7是a 1＋a 3与a 9＋a 11的等比中项，所以(a 5＋a 7)2＝(a 1＋a 3)(a 9＋a 11)， 故a 9＋a 11＝(a 5＋a 7)2a 1＋a 3＝428＝2；同理，a 9＋a 11是a 5＋a 7与a 13＋a 15的等比中项，所以(a 9＋a 11)2＝(a 5＋a 7)(a 13＋a 15)，故a 13＋a 15＝(a 9＋a 11)2a 5＋a 7＝224＝1.所以a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝2＋1＝3，故选C.[答案] C4．已知等比数列{a n }中a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，0)∪[1，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)[解析] 因为等比数列{a n }中a 2＝1，所以S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2⎝⎛⎭⎪⎫1＋q ＋1q ＝1＋q ＋1q .当公比q >0时，S 3＝1＋q ＋1q≥1＋2q ·1q＝3；当公比q <0时，S 3＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－q －1q ≤1－2(－q )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1q ＝－1，所以S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)，故选D. [答案] D5．(2018·江西七校联考)等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝38n ＋142n ＋1(n ∈N *)，则a 6b 7＝( )A ．16 B.24215 C.43223 D.49427[解析] 令S n ＝38n 2＋14n ，T n ＝2n 2＋n ，∴a 6＝S 6－S 5＝38×62＋14×6－(38×52＋14×5)＝38×11＋14；b 7＝T 7－T 6＝2×72＋7－(2×62＋6)＝2×13＋1，∴a 6b 7＝38×11＋142×13＋1＝43227＝16，故选A.[答案] A6．(2018·河南郑州二中期末)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项的和，则2S n ＋16a n ＋3(n ∈N *)的最小值为( ) A ．4 B ．3 C ．23－2 D.92[解析] ∵a 1＝1，a 1、a 3、a 13成等比数列，∴(1＋2d )2＝1＋12d .得d ＝2或d ＝0(舍去) ∴a n ＝2n －1， ∴S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，∴2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2.令t ＝n ＋1， 则2S n ＋16a n ＋3＝t ＋9t －2≥6－2＝4当且仅当t ＝3， 即n ＝2时，∴2S n ＋16a n ＋3的最小值为4，故选A.[答案] A 二、填空题7．(2018·福建四地六校联考)已知等差数列{a n }中，a 3＝π4，则cos(a 1＋a 2＋a 6)＝________.[解析] ∵在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 6＝a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝34π，∴cos(a 1＋a 2＋a 6)＝cos 34π＝－22.[答案] －228．(2018·山西四校联考)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 2＝5，则S 8S 4＝________.[解析] 解法一：设数列{a n }的公比为q ，由已知得S 4S 2＝1＋a 3＋a 4a 1＋a 2＝5，即1＋q 2＝5，所以q 2＝4，S 8S 4＝1＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋q 4＝1＋16＝17.解法二：由等比数列的性质可知，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4，S 8－S 6成等比数列，若设S 2＝a ，则S 4＝5a ，由(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)得S 6＝21a ，同理得S 8＝85a ，所以S 8S 4＝85a5a＝17.[答案] 179．已知数列{x n }各项均为正整数，且满足x n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x n 2，x n 为偶数，x n ＋1，x n 为奇数，n ∈N *.若x 3＋x 4＝3，则x 1所有可能取值的集合为________．[解析] 由题意得x 3＝1，x 4＝2或x 3＝2，x 4＝1. 当x 3＝1时，x 2＝2，从而x 1＝1或4； 当x 3＝2时，x 2＝1或4，因此当x 2＝1时，x 1＝2，当x 2＝4时，x 1＝8或3. 综上，x 1所有可能取值的集合为{1,2,3,4,8}． [答案] {1,2,3,4,8} 三、解答题10．(2018·沈阳市高三第一次质量监测)已知数列{a n }是等差数列，满足a 1＝2，a 4＝8，数列{b n }是等比数列，满足b 2＝4，b 5＝32.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d ＝a 4－a 13＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝2＋(n －1)×2＝2n .设等比数列{b n }的公比为q ，由题意得q 3＝b 5b 2＝8，解得q ＝2.因为b 1＝b 2q＝2，所以b n ＝b 1·q n －1＝2×2n －1＝2n .(2)由(1)可得，S n ＝n (2＋2n )2＋2(1－2n )1－2＝n 2＋n ＋2n ＋1－2.11．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.(1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．[解] (1)设{a n }的公差为d ，由题意得 3a 1＋3d ＝－15. 由a 1＝－7得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. (2)由(1)得S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16.所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.12．已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列； (2)试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论． [解] (1)证明：假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－32＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫49λ－4，故49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ，即9＝0，这与事实相矛盾．所以对任意实数λ，数列{a n }都不是等比数列．(2)因为b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －2n ＋14＝－23(－1)n (a n －3n ＋21)＝－23b n ，b 1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，b 1＝0(n ∈N *)，此时{b n }不是等比数列；当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0，则b n ≠0，所以b n ＋1b n ＝－23(n ∈N *)．故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列．。

畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643培优点十 等差、等比数列1．等差数列的性质例1：已知数列{}n a ，{}n b 为等差数列，若117a b +=，3321a b +=，则55a b +=_______ 【答案】35【解析】∵{}n a ，{}n b 为等差数列，∴{}n n a b +也为等差数列， ∴()()()3311552a b a b a b +=+++，∴()()553311235a b a b a b +=+-+=．2．等比数列的性质例2：已知数列{}n a 为等比数列，若4610a a +=，则()713392a a a a a ++的值为（ ） A ．10 B ．20 C ．100 D ．200【答案】C【解析】与条件4610a a +=联系，可将所求表达式向4a ，6a 靠拢，从而()()22271339717339446646222a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+，即所求表达式的值为100．故选C ．3．等差、等比综合例3：设{}n a 是等差数列，{}n b 为等比数列，其公比1q ≠，且()01,2,3,,i b i n >=L ，若11a b =，1111a b =，则有（ ） A ．66a b = B ．66a b > C ．66a b < D ．66a b >或66a b <【答案】B【解析】抓住1a ，11a 和1b ，11b 的序数和与6a ，6b 的关系，从而以此为入手点． 由等差数列性质出发，11a b =，1111111111a b a a b b =⇒+=+， 因为11162a a a +=，而{}n b 为等比数列，联想到111b b ⋅与6b 有关，所以利用均值不等式可得：11162b b b +>=；（1q ≠故111b b ≠，均值不等式等号不成立）所以1111116622a a b b a b +=+⇒>．即66a b >．故选B ．一、单选题1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（ ） A ．6斤 B ．7斤 C ．8斤 D ．9斤【答案】D【解析】原问题等价于等差数列中，已知14a =，52a =，求234a a a ++的值． 由等差数列的性质可知：24156a a a a +=+=，15332a a a +==， 则2349a a a ++=，即中间三尺共重9斤．故选D ．2．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若540S =，9126S =，则7S =（ ） A ．66 B ．68C ．77D ．84【答案】C【解析】根据等差数列的求和公式53540S a ==，959126S a ==，化简得35814a a =⎧⎨=⎩，根据等差数列通项公式得1128414a d a d +=⎧⎨+=⎩，解方程组得123a d =⎧⎨=⎩，()()741773723377S a a d ==+=⨯+⨯=．故选C ．3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．2- D ．4-【答案】C对点增分集训畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643【解析】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+，故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=， ∵数列{}n a 是等比数列，则11a =，故412λ+=；解得2λ=-．故选C ． 4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5714a a +=，则11S =（ ） A ．140 B ．70 C ．154 D ．77【答案】D【解析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5714a a +=， ∴57111111411111177222a a a a S ++=⋅=⋅=⋅=．故选D ． 5．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且1a ，3a ，2a 成等差数列，则公比q 的值为（ ） A ．12-B ．2-C ．1或12-D ．1-或12【答案】C【解析】由题意知：3122a a a =+，∴21112a q a q a =+，即221q q =+， ∴1q =或12q =-．故选C ．6．公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a -，212a -，3a 成等差数列，若11a =，则4S =（ ） A ．5- B ．0C ．5D ．7【答案】A【解析】设{}n a 的公比为q ，由12a -，212a -，3a 成等差数列，可得2132a a a -=-+，若11a =，可得22q q -=-+，解得()21q =-舍去，则()()()44141125112a q S q---===----，故选A ．7．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L （ ） A ．12 B ．10 C ．8D ．32log 5+【答案】B【解析】由等比数列的性质结合题意可知：56479a a a a ==，且110293847569a a a a a a a a a a =====， 据此结合对数的运算法则可得：()53132310312103log log log log log 910a a a a a a +++===L L ．故选B ．8．设公差为2-的等差数列{}n a ，如果1479750a a a a +++=+L ，那么36999a a a a ++++L 等于（ ） A ．182- B ．78- C ．148- D ．82-【答案】D【解析】由两式的性质可知：36999147972222a a a a a d a d a d a d +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++， 则36999506682a a a a d +++⋅⋅⋅+=+=-．故选D ．9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且133215S S -=，则数列{}n a 的第三项为（ ） A ．3 B ．4- C ．5- D ．6【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，∵133215S S -=，∴()112312321536a a a a a a ++==--，∴1325a d a +=-=．故选C ． 10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若81026a a =+，则11S =（ ） A ．27 B ．36 C ．45 D ．66【答案】D【解析】∵81026a a =+，∴610106a a a +=+，∴66a =，∴()1111161111662a a S a +===，故选D ．11．设{}n a 是各项为正数的等比数列，q 是其公比，n K 是其前n 项的积，且56K K <，678K K K =>，则下列结论错误．．的是（ ） A ．01q << B ．71a =C ．95K K >D ．6K 与7K 均为n K 的最大值【答案】C畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643【解析】设等比数列11n n a a q-=，n K 是其前n 项的积，所以()121n n n n K a q -=，由此55611K K a q <⇒<，66711K K a q =⇒=，77811K K a q >⇒>所以6711a a q ==，所以B 正确，由511a q <，各项为正数的等比数列，可知01q <<，所以A 正确，611a q =，()121n n n n K a q-=可知()()113221n n n n n n K a qq--==，由01q <<，所以x q 单调递减，()n n 132-在6n =，7时取最小值，所以n K 在6n =，7时取最大值，所以D 正确．故选C ．12．定义函数()f x 如下表，数列{}n a 满足()1n n a f a +=，n *∈N ，若12a =，则1232018a a a a ++++=L （ ）A ．7042B ．7058C ．7063D ．7262【答案】C【解析】由题设知()13f =，()25f =，()34f =，()46f =，()51f =，()62f =， ∵12a =，()1n n a f a +=，n *∈N ，∴12a =，()225a f ==，()351a f ==，()413a f ==， ()534a f ==，()646a f ==，()762a f ==……，∴{}n a 是周期为6的周期数列， ∵201833662=⨯+，∴()1232018336123456257063a a a a ++++=⨯+++++++=L ，故选C ．二、填空题13．已知等差数列{}n a ，若2376a a a ++=，则17a a +=________【答案】4【解析】∵2376a a a ++=，∴1396a d +=，∴132a d +=，∴42a =，∴17424a a a +==．故答案为4．14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S，若公比q =1231a a a ++=，则12S 的值是___________． 【答案】15【解析】已知1231a a a ++=，则()313111a q S q-==-，又q =11a q =-；∴()()()12121121111511q a q S qq---===--．15．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若53109a a =，则95SS =_______． 【答案】2【解析】()()19955315992552a a S a S a a a +==+，又53109a a =，代入得95910259S S =⨯=．16．在等差数列{}n a 中，14101619100a a a a a ++++=，则161913a a a -+的值是_______． 【答案】20【解析】根据等差数列性质14101619105100a a a a a a ++++==，所以1020a =， 根据等差数列性质，1619131613191910191020a a a a a a a a a a -+=+-=+-==．三、解答题17．已知数列{}n a 中，12a =，12n n a a +=． （1）求n a ；（2）若n n b n a =+，求数列{}n b 的前5项的和5S ． 【答案】（1）2n n a =；（2）77． 【解析】（1）12a =，12n n a a +=，畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643则数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，1222n n n a -=⨯=； （2）2n n n b n a n =+=+，()()()()()234551222324252S =+++++++++ ()()23451234522222=+++++++++()515522277212+⨯-⨯=+=-．18．设{}n a 是等差数列，其前n 项和为()*n S n ∈N ；{}n b 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()*n T n ∈N ．已知11b =，322b b =+，435b a a =+，5462b a a =+． （1）求n S 和n T ；（2）若()124n n n n S T T T a b ++++=+L ，求正整数n 的值． 【答案】（1）()12n n n S +=，21n n T =-；（2）4．【解析】（1）设等比数列{}n b 的公比为q ，由11b =，322b b =+，可得220q q --=． 因为0q >，可得2q =，故12n n b -=．所以122112nn n T -==--．设等差数列{}n a 的公差为d ． 由435b a a =+，可得134a d +=．由5462b a a =+得131316a d +=，从而11a =，1d =， 故n a n =，所以()12n n n S +=．（2）由（1），有()()112122122221222n n n n n T n T T n ++++⨯-=+++-=-=---L L ．由()124n n n n S T T T a b ++++=+L ，可得()1112222n n n n n n ++++--=+，整理得2340n n --=，解得1n =-（舍），或4n =． 所以n 的值为4．。

2, 等差数列与等比数列1.已知等差数列｛◎｝中，34= 9, 24,贝y 37等于（）A . 3 B. 7 C. 13 D . 15 答案 D3i + 3d = 9,解析由于数列为等差数列，依题意得<4a i + 6d =24,解得 d = 2,所以 37= 34+ 3d = 9 + 6 = 15.9 ________2 .已知等比数列｛&｝的首项为1,公比q z — 1，且35 + 34= 3( 33+ 32)，贝U 313233-a 9等于(A .— 9B . 9 C.— 81 D. 81答案 B而 313233 …39= ；J a 5 = 35= 31 • q 4 = 1x3= 9.3 .等差数列｛3n ｝的首项为1,公差不为0.若32 , 33 , 36成等比数列，则｛3n ｝的前6项和为( )A .— 24B . — 3C . 3D . 8 答案 A解析 由已知条件可得31= 1, d z 0,22由 33= 3236,可得(1 + 2d ) = (1 + d )(1 + 5d ), 解得d = — 2或d = 0(舍). …_ 一 . 6X5X —2 _所以 S a = 6X 1 + 2=— 24.4.一个等比数列的前三项的积为2,最后三项的积为 4，且所有项的积为 64,则该数列的项数是( A . 13 B . 12 C. 11 D . 10 答案 B解析 根据题意可知 35 + 34 233+ 32= q= 3,313n =解析设等比数列为｛3n｝，其前n项积为T n,由已知得313233 = 2, 3n3n—13n—2= 4,可得(3偸)3= 2X 4,•' T n= 3132…3n,「. T n=（3132…3n）=(a i a n)( a2a n-J •••( a n aj = (aa)n= 2 = 642= 212,••• n= 12.a log i5. 已知数列｛a n｝满足5 n+=25 ^5 a n，且a2 + & + a6 = 9,贝U ^(a5+ a?+ a o)等于()1 1A. —3 B . 3 C . — D.-3 3答案Aa n+1 a n 2+ a n解析T5= 25 • 5= 5a n+ 1= a n+ 2 ,•数列｛a n｝是等差数列，且公差为 2.a2 + a4 + a6= 9,• 3a4= 9, a4= 3.匕叮疔厂川logPa? 期匚丸"玄log1 27・••住= 3 = 5 = 3 =——3.6. 数列｛a n｝是以a为首项，b为公比的等比数列，数列｛b n｝满足b n= 1 + a1+ a?+…+ a n( n= 1,2，…)，数列｛c n｝满足6= 2 + b + b2+-+ b n( n= 1,2，…)，若｛c n｝为等比数列，则a+ b等于()A. 2 B . 3 C. 5 D . 6答案B解析由题意知，当片1时，©｝不是等比数列』得弘=1要使为等比数列，必有v\7 .已知数列｛a n｝的前n项和为S, a1= 15 ,且满足(2n—5) a n+1= (2n—3) a n + 4n2—16n+15,已知n, N*, n>m贝U S— S的最小值为()4949A .—= B右 C 14 D 284 8答案 C解析根据题意可知(2 n — 5) a n +1 = (2 n — 3) a n + (2 n — 5)(2 n — 3), 式子的每一项都除以(2 n — 5)(2 n — 3), 可得 ----- =+ 1 可得 2n — 3 2n — 5十'， 15 2一^ =— 5为首项，以1为公差的等差数列, 所以 2n — 5=— 5+ (n—1) 1= n— 6,即 a n = (n — 6)(2 n — 5),由此可以判断出 a 3, a 4, a 5这三项是负数, 从而得到当n = 5, m = 2时，S — S m 取得最小值,且 S — S^= S — S 2 = a 3 + a 4 + a 5= — 3 — 6 — 5 = — 14.8 .已知等差数列｛◎｝的前n 项和为 S,若a 4+ a 12 — a s = 8, a 。

专题03.01--等差、等比数列的判断一、问题概述此部分内容是高考的重点和热点，主要考查等差、等比数列的判断，判断的最终依据是等差、等比数列的定义：等差数列的定义有两种表达形式：①d a a n n =-+1对*N n ∈恒成立；②n n n n a a a a -=-+++112对*N n ∈恒成立（例1，例3）等比数列的定义有两种表达形式：①q a a nn =+1对*N n ∈恒成立（例1，例2）；②221.++=n n n a a a 对*N n ∈恒成立在解题的过程中值得注意的是：（1）判断一个数列是等差（等比）数列，还有通项公式法及其前n 项和公式法，但不作为证明方法；（2）若要判断一个数列不是等差（等比）数列，只需判断存在三项不成等差（等比）数列即可；（3）*),2(.112N n n a a a n n n ∈≥=+-是数列{an }为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0二、释疑拓展1．【苏北四市2018届高三第一学期期末调研.19题】 已知数列满足*1(0,)a a a a N =>∈,1210n n a a a pa +++⋅⋅⋅+-=*(0,1,)p p n N ≠≠-∈.（1）求数列的通项公式n a ；（2）若对每一个正整数k ,若将123,,k k k a a a +++按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公差为k d . ①求p 的值及对应的数列．②记k S 为数列的前k 项和，问是否存在a ，使得30k S <对任意正整数k 恒成立?若存在，求出a 的最大值；若不存在,请说明理由．2．【扬州、泰州、南通2014届高三第三次调研.20题】 各项均为正数的数列{a n }中，设12n n S a a a =+++，12111n nT a a a =+++， 且(2)(1)2n n S T -+=，*n ∈N ．（1）设2n n b S =-，证明数列{b n }是等比数列；（2）设12n n c na =，求集合(){}*,,|2,,,,m r k m k r c c c m k r m k r +=<<∈N ．3．【扬州、泰州、南通、扬州、淮安2017届高三第二次调研.20题】 设数列{}n a 的前n 项和为S n ()*n ∈N ，且满足：①12 a a ≠；②()()()22112n n r n p S n n a n n a +-=++--，其中r p ∈R ，，且0r ≠． （1）求p 的值；（2）数列{}n a 能否是等比数列？请说明理由； （3）求证：当r =2时，数列{}n a 是等差数列．三、专题反思（你学到了什么？还想继续研究什么？）四、巩固训练1．【南通、扬州、泰州、淮安2016届高三第三次调研.19题】已知数列{}n a ，{}n b 均为各项都不相等的数列，n S 为{}n a 的前n 项和，()11n n n a b S n N ++=+∈.（1）若11,2n na b ==，求4a 的值； （2）若{}n a 是公比为q 的等比数列，求证：存在实数λ，使得{}n b λ+为等比数列； （3）若{}n a 的各项都不为零，{}n b 是公差为d 的等差数列，求证：23,,,,n a a a 成等差数列的充要条件是12d =.2．【南通、泰州2018届高三第二次调研.20题】若数列{a n }同时满足：①对于任意的正整数n ，a n ＋1≥a n 恒成立；②若对于给定的正整数k ，a n －k ＋a n ＋k ＝2a n 对于任意的正整数n (n >k )恒成立，则称数列{a n }是“R (k)数列”．(1) 已知a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为奇数，2n ， n 为偶数，判断数列{a n }是否为“R (2)数列”，并说明理由； (2) 已知数列{b n }是“R (3)数列”，且存在整数p (p>1)，使得b 3p －3，b 3p －1，b 3p ＋1，b 3p ＋3成等差数列，证明：{b n }是等差数列．3．【泰州市2015届高三第一学期期末调研.19题】数列{}n a 、{}n b 、{}n c 满足：12n n n b a a +=-，1222n n n c a a ++=+-，*n N ∈； （1）若数列{}n a 是等差数列，求证：数列{}n b 是等差数列；（2）若数列{}n b 、{}n c 都是等差数列，求证：数列{}n a 从第二项起为等差数列；（3）若数列{}n b 是等差数列，试判断当130b a +=时，数列{}n a 是否成等差数列？证明你的结论．参考解答题 二、释疑拓展1．【解】（1）因为1210n n a a a pa +++⋅⋅⋅+-=,所以2n ≥时, 1210n n a a a pa -++⋅⋅⋅+-=,两式相减,得,故数列从第二项起是公比为的等比数列又当n=1时,120a pa -=,解得,从而（2）①由(1)得,[1]若1k a +为等差中项,则1232k k k a a a +++=+，即或，解得此时1123(2),3(2)k kk k a a a a -++=--=--，所以112||92k k k k d a a a -++=-=⋅[2]若2k a +为等差中项,则2132k k k a a a +++=+，即，此时无解[3]若3k a +为等差中项,则3122k k k a a a +++=+，即或，解得,此时,所以综上所述,, 192k k d a -=⋅或,②[1]当时,9(21)kk S a =-,则由30k S <,得,当3k ≥时, ,所以必定有1a <,所以不存在这样的最大正整数[2]当时,,则由30k S <,得，因为，所以13a =满足30k S <恒成立；但当14a =时，存在5k =,使得即30k S <，所以此时满足题意的最大正整数13a = 2、【解】（1）当1n =时，11(2)(1)2S T -+=，即111(2)(1)2a a -+=，解得11a =． ……………………………2分由(2)(1)2n n S T -+=，所以212n nT S =-- ① 当2n ≥时，11212n n T S --=-- ②①-②，得11212222(2)(2)n n n n n n a a S S S S --=-=----（2n ≥），……………………………4分即211(2)(2)2[(2)(2)]n n n n S S S S ----=---， 即2112()n n n n b b b b --=-，所以1152n n n n b b b b --+=， 因为数列{a n }的各项均为正数，所以数列{}2n S -单调递减，所以11nn b b -<． 所以112nn b b -=（2n ≥）． 因为11a =，所以110b =≠，所以数列{b n }是等比数列． ……………………………6分（2）由（1）知112()2n n S --=，所以112n n a -=，即2n n nc =．由2m r k c c c +=，得2m r k k c cc c +=（*）又2n ≥时，1112n n c n c n++=<，所以数列{}n c 从第2项开始依次递减． …………8分 （Ⅰ）当2m ≥时，若2k m -≥，则22422222m m m k m m mc cm m c c m ++==++≥≥， （*）式不成立，所以1k m -=，即1k m =+． ……………………………10分 令*1()r m i i =++∈N ，则()111112122222222i r k m m im m m m i m r m c c c ++++++++==-=-==， 所以12i r +=，即存在满足题设的数组(){}11121,2,2i i i i i +++---（*i ∈N ）．……… 13分 （Ⅱ）当1m =时，若2k =，则r 不存在；若3k =，则4r =； 若4k ≥时，1142k c cc c =≥，（*）式不成立． 综上所述，所求集合为{}111(1,3,4),(21,2,2)i i i i i +++---（*i ∈N ）． ………………16分 （注：列举出一组给2分，多于一组给3分） 3、【解】：（1）n =1时，211(1)220r p S a a -=-=， 因为12a a ≠，所以20S ≠，又0r ≠，所以p =1． （2）{}n a 不是等比数列．理由如下：假设{}n a 是等比数列，公比为q ， 当n =2时，326rS a =，即211(1)6ra q q a q ++=， 所以2(1)6r q q q ++=，（i ）当n =3时，431212+4rS a a =，即2321112(1)124ra q q q a q a +++=+， 所以232(1)62r q q q q +++=+， （ii ）由（i ）（ii ）得q =1，与12a a ≠矛盾，所以假设不成立． 故{}n a 不是等比数列． （3）当r =2时，易知3122a a a +=． 由22112(1)()(2)n n n S n n a n n a +-=++--，得2n ≥时，11(1)(1)(2)211n n n n a n n a S n n +++-=+--， ① 112(1)(2)(1)(2)2n n n n a n n a S n n++++-+=+，② ②-①得，2112(1)(2)(1)(2)21(1)n n n n n a n n a n n a a n n n n +++++-+=-+--， …… 11分 即11121(1)(2)()(1)()2()1n n n n n a a n n a a a a n n ++++-+--=--， 211112()(2)()()11n n n a a n a a n a a n n n ++-+--=-+-， 即()2111111121n n n n a a a a n a a a a n n n n +++-----=-+- ()111(1)2212n n n n a a a a n n ----=-⨯-- =…… ()3121(1)3202223121n n a a a a -⨯⋅⋅⋅⨯--=-=⨯⨯⋅⋅⋅⨯--，所以11121121n n a a a a a an n ----==⋅⋅⋅=--，令21a a -=d ，则11n a a d n -=-(2)n ≥． …… 14分 所以1(1)(2)n a a n d n =+-≥. 又1n =时，也适合上式，所以*1(1)()n a a n d n =+-∈N ． 所以*1()n n a a d n +-=∈N ．所以当r =2时，数列{}n a 是等差数列． …… 16分四、巩固训练1．【解】：（1）由11,2n na b ==，知2344,6,8a a a ===. （2）（方法一）因为11n n n a b S +=+，所以()11111n nn a q a q b q-=+-.所以11111n nn q q b q a q =+---，即1111111nn b q a q q ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 所以存在实数11q λ=-，使得11111nn b q a q λ⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 又因为0n b λ+≠（否则{}n b 为常数数列与题意不符）， 所以当2n ≥，11n n b b qλλ-+=+，此时{}n b λ+为等比数列，所以存在实数11qλ=-，使{}n b λ+为等比数列. （方法二）因为11n n n a b S +=+①， 所以当2n ≥时，111n n n a b S --=+②，①-②得，当2n ≥时，11n n n n n a b a b a +--=③， 由③得，当2n ≥时，111111n n n n n n n a a b b b a a q q--++=+=+， 所以111111n n b b q q q -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，又因为101n b q +≠-（否则{}n b 为常数数列与题意不符），所以存在实数11qλ=-，使{}n b λ+为等比数列.（3）因为{}n b 为公差为d 的等差数列，所以由③得，当2n ≥时，()1n n n n n a b a b d a +--=, 即()()11n n n n a a b d a +-=-，因为{}n a ，{}n b 各项均不相等，所以10,10n n a a d +-≠-≠,所以当2n ≥时，11n nn n b a d a a +=--④, 当3n ≥时，1111n n n n b a d a a ---=--⑤, 由④-⑤，得当3n ≥时111111n n n n n n n n a a b b da a a a d d--+---==----⑥,先证充分性：即由12d =证明23,,,,n a a a 成等差数列,因为12d =，由⑥得1111n n n n n n a a a a a a -+--=--, 所以当3n ≥时，1111n n n n n n a a a a a a -+-+=--, 又0n a ≠，所以11n n n n a a a a +--=- 即23,,,,n a a a 成等差数列.再证必要性：即由23,,,,n a a a 成等差数列证明12d =. 因为23,,,,n a a a 成等差数列，所以当3n ≥时，11n n n n a a a a +--=-,所以由⑥得，11111111n n n n n n n n n n n n a a a a da a a a a a a a d--+----=-==-----所以12d =，所以23,,,,n a a a 成等差数列的充要条件是12d =. 2、【解】：（1）当n 为奇数时，a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－1－(2n －1)＝2>0，所以a n ＋1≥a n .(2分) a n －2＋a n ＋2＝2(n －2)－1＋2(n ＋2)－1＝2(2n －1)＝2a n ；(4分) 当n 为偶数时，a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－2n ＝2>0，所以a n ＋1≥a n . a n －2＋a n ＋2＝2(n －2)＋2(n ＋2)＝4n ＝2a n . 所以数列{a n }是“R(2)数列”．(6分) (2) 由题意可得b n －3＋b n ＋3＝2b n ，则数列b 1，b 4，b 7，…是等差数列，设其公差为d 1， 数列b 2，b 5，b 8，…是等差数列，设其公差为d 2， 数列b 3，b 6，b 9，…是等差数列，设其公差为d 3.(8分) 因为b n ≤b n ＋1，所以b 3n ＋1≤b 3n ＋2≤b 3n ＋4，所以b 1＋nd 1≤b 2＋nd 2≤b 1＋(n ＋1)d 1， 所以n(d 2－d 1)≥b 1－b 2，① n(d 2－d 1)≤b 1－b 2＋d 1.②若d 2－d 1<0，则当n>b 1－b 2d 2－d 1时，①不成立； 若d 2－d 1>0，则当n>b 1－b 2＋d 1d 2－d 1时，②不成立．若d 2－d 1＝0，则①和②都成立，所以d 1＝d 2.同理得d 1＝d 3，所以d 1＝d 2＝d 3，记d 1＝d 2＝d 3＝d.(12分) 设b 3p －1－b 3p －3＝b 3p ＋1－b 3p －1＝b 3p ＋3－b 3p ＋1＝λ， 则b 3n －1－b 3n －2＝b 3p －1＋(n －p)d －[b 3p ＋1＋(n －p －1)d] ＝b 3p －1－b 3p ＋1＋d ＝d －λ.(14分)同理可得b 3n －b 3n －1＝b 3n ＋1－b 3n ＝d －λ，所以b n ＋1－b n ＝d －λ. 所以{b n }是等差数列．(6分)另解：λ＝b 3p －1－b 3p －3＝b 2＋(p －1)d －[b 3＋(p －2)d]＝b 2－b 3＋d ， λ＝b 3p ＋1－b 3p －1＝b 1＋pd －[b 2＋(p －1)d]＝b 1－b 2＋d ， λ＝b 3p ＋3－b 3p ＋1＝b 3＋pd －(b 1＋pd)＝b 3－b 1， 以上三式相加可得3λ＝2d ，所以λ＝23d ，(12分) 所以b 3n －2＝b 1＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －2－1)d3，b 3n －1＝b 2＋(n －1)d ＝b 1＋d －λ＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －1－1)d3， b 3n ＝b 3＋(n －1)d ＝b 1＋λ＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －1)d3， 所以b n ＝b 1＋(n －1)d 3，所以b n ＋1－b n ＝d3， 所以数列{b n }是等差数列．(16分)3、证明：（1）设数列{}n a 的公差为d ；∵12n n n b a a +=-，∴1121121(2)(2)()2()2n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a d d d +++++++-=---=---=-=-； ∴数列{}n b 是公差为d -的等差数列． ………………… 4分（法二：用通项公式直接代入硬算；n b 用n 的一次式表示，不作差要扣1分，要补证．） （2）当2n ≥时，1122n n n c a a -+=+-， ∵12n n n b a a +=-，∴112n n n b c a -+=+，∴1112n n n b ca +++=+， ∴111112222n n n n n n n n n n b c b c b b c c a a +-+-+++---=-=+； ∵数列{}n b ，{}n c 都是等差数列，∴1122n n n n b b c c +---+为常数， ∴数列{}n a 从第二项起为等差数列． ………………………………………………………… 10分（3）数列{}n a 成等差数列．（可用数学归纳法）第 11 页 共 11 页解法1：设数列{}n b 的公差为d '，∵12n n n b a a +=-，∴11222n n n n n n b a a ++=-， ∴1111222n n n n n n b a a ----=-，…，2112222b a a =-， ∴11111122222n n n n n n b b b a a -+-+++⋅⋅⋅+=-；设211212222n n n n n T b b b b --=++⋅⋅⋅++，∴21112222n n n n n T b b b +-=+⋅⋅⋅++， 两式相减得：21112(222)2n n n n n T b d b -+'-=++⋅⋅⋅++-，即11124(21)2n n n n T b d b -+'=---+，∴11111124(21)222n n n n n b d b a a -+++'---+=-， ∴1111111112224(21)22242()n n n n n n n a a b d b a b d b d +-+++'''=++--=+---， ∴1111224()2n n n a b d a b d ++'+-'=--；………………………………… 12分令2n =，得111132133224224()22a b d a b d a b d b ''+-+-'=--=-， ∵130b a +=，∴1113322402a b d b a '+-=+=，∴112240a b d '+-=；∴1()n n a b d +'=--；∴211()()n n n n a a b d b d d +++'''-=--+-=-，∴数列{}n a (2n ≥)是公差为d '-的等差数列， … 14分∵12n n n b a a +=-，令1n =，1232a a a -=-，即12320a a a -+=；∴数列{}n a 是公差为d '-的等差数列． ………………………………………………………… 16分解法2：∵12n n n b a a +=-，130b a +=，令1n =，1232a a a -=-，即12320a a a -+=， 12分 ∴1122n n n b a a +++=-，2232n n n b a a +++=-，∴12122132(2)2(2)n n n n n n n n n b b b a a a a a a +++++++--=-----，∵数列{}n b 是等差数列，∴1220n n n b b b ++--=，∴1221322(2)n n n n n n a a a a a a +++++--=--，14分 ∵12320a a a -+=，∴1220n n n a a a ++--=，∴数列{}n a 是等差数列．■………………………………………………………… 16分。