深圳市高一数学寒假作业-补习题精选14
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）
1.在平面直角坐标系xOy中，以x轴的非负半轴为始边，绕坐标原点O按逆时针方向
旋转3弧度后所得角的终边在（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2.已知集合A={x|x=2k-1，k∈Z}，B={-1，0，1，3，6}，则A∩B中的元素个数为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3.在下列区间上，方程x3=3x-1无实数解的是（）
A. （-2，-1）
B. （-1，0）
C. （0，1）
D. （1，2）
4.下列函数是周期函数的是（）
A. y=x0
B. y=sin|x|
C. y=cos x（x≥0）
D. y=
5.对于定义在R上的函数f（x），给出下列四种说法：
①若f（0）=0，则函数f（x）是奇函数；
②若f（-2）=f（2），则函数f（x）是偶函数；
③若f（2）＞f（1），则函数f（x）在R上不是单调减函数；
④若函数f（x）在（一∞，0]上是单调增函数，在（0，+∞）上也是单调增函数，
则函数f（x）在R上是单调增函数．
其中，正确说法的个数是（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
6.要得到函数y=cos2x的图象，只需要把函数的图象（）
A. 向左平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度
7.已知函数为幂函数、指数函数、对数函数中的一种，下列图象法表示的函数
中，分别具有性质、、
、的函数序号依次为
A. ③，①，②，④
B. ④，①，②，③
C. ③，②，①，④
D. ④，②，①，③
8.在任意平面四边形ABCD中，点E，F分别在线段AD，BC上，=λ+（λ∈R，
μ∈R），给出下列四组等式
①=，=
②=，=
③=，=
④=，=
其中，能使λ，μ为常数的组数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知幂函数y =x α的图象过点（8，），则α的值为______．
10. 已知α，β均为锐角，tanα=，tanβ=，则α+β的值为______
11. 已知关于实数x 的不等式2x 2-bx +c ＜0的解集为（-1，），则b +c 的值为______．
12. 已知lg2=a ，lg3=b ，则lg15=______．（用a ，b 表示）
13. 《九章算术》中记载了弧田（逆弧和其所对弦围成的弓形）的面积公式S 弧田=，其中“弦”指逆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之
差．已知一块弦长为6m 的弧田按此公式计算所得的面积为（9+）m 2，则该弧田的实际面积为______m 2．
14. 如图，平面内点P 在两条平行直线m ，n 之间，且到m ，n 的距离分别为1，2，点
A ，
B 分别在直线m ，n 上，且||=5，则的最大值为______．
三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）
15. 已知函数f （x ）=sin cos -sin 2+1．
（1）求函数f （x ）的对称轴方程；
（2）求函数f （x ）在区间[-π，0]上的最大值和最小值以及相应的x 的值．
16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=（
，-1），=（，）．
（1）求证：||=2||且⊥．
（2）设向量=+（t -3），=-+t ，且⊥，求实数t 的值．
17.在△ABC中，已知cos A=，cos（A-B）=，且A＞B．
（1）求tan A的值；
（2）求证：A=2B．
18.图为大型观览车主架示意图．点O为轮轴中心，距地面
高为32m（即OM=32m）．巨轮半径为30m，点P为吊
舱与轮的连结点，吊舱高2m（即PM=2m），巨轮转动
一周需15min．某游人从点M进入吊舱后，巨轮开始按
逆时针方向匀速转动3周后停止，记转动过程中该游人
所乘吊舱的底部为点M'．
（1）试建立点M'距地面的高度h（m）关于转动时间t
（min）的函数关系，并写出定义域；
（2）求转动过程中点M'超过地面45m的总时长．
19.设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=a x+a-x（a＞0，且a≠1）．
（1）求函数f（x）在R上的解析式；
（2）判断并证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（3）若对任意的x1，x2∈（0，+∞），f（2x1）+f（2x2）≥m•f（x1+x2），求实数m 的最大值．
20.设a为实数，函数f（x）=（x+1）|x-a|，x∈R
（1）若a=0，求不等式f（x）≥2的解集；
（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在区间（a-1，a+1）上既有最大值又有最小值？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）写出函数y=f（x）+a在R上的零点个数（不必写出过程）
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵＜3＜π，
∴3弧度角的终边在第二象限．
故选：B．
直接由＜3＜π得答案．
本题考查象限角与轴线角，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵集合A={x|x=2k-1，k∈Z}={奇数}，
B={-1，0，1，3，6}，
∴A∩B={-1，1，3}，
∴A∩B中的元素个数为3．
故选：C．
利用交集定义先求出A∩B，由此能求出A∩B中的元素个数．
本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：令f（x）=x3-3x+1，
易知f（x）在R上连续，
f（-1）=1+3-1=3＞0，
f（-2）=-8+6+1=-1＜0
且f（0）=0-0+1=1＞0，
f（1）=1-3+1=-1＜0，
f（2）=8-6+1=1＞0，
故f（x）在（-2，-1），（0，1），（1，2）上有零点，
故方程x3+3x-1=0在区间（-1，0）上没有零点．
故选：B．
构造函数f（x）=x3-3x+1，从而利用零点的判定定理证明即可．
本题考查了函数与方程的关系应用及零点的判定定理的应用．
4.【答案】C
【解析】解：对于选项：A，
函数：y=x0（x≠0），
故函数为常量函数，错误．
对于选项：B，
函数为偶函数，图象关于y轴对称，错误．
对于选项：D，
函数为分段函数，错误．
以上选项都不满足f（x+A）=f（x），
只有选项：C满足cos（x+2kπ）=cos x．
故选项C正确．
故选：C．
直接利用排除法，对周期函数的定义进行分析，进一步求出结果．
本题考查的知识要点：函数的性质周期性定义的考察和应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
5.【答案】B
【解析】解：①若f（0）=0，则函数f（x）不一定是奇函数；不一定满足奇函数的定义．所以不正确．
②若f（-2）=f（2），则函数f（x）不一定是偶函数；不一定满足偶函数的定义．所以不正确．
所以不正确．
③若f（2）＞f（1），不一定满足函数的单调减函数的定义，则函数f（x）在R上不是单调减函数也可能是减函数，所以③不正确；
④若函数f（x）在（一∞，0]上是单调增函数，在（0，+∞）上也是单调增函数，则函
数f（x）在R上是单调增函数．不正确，反例y=-，所以不正确；
故选：B．
利用函数的奇偶性判断①②的正误；利用函数的单调性判断③④的正误；
本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查转化思想以及计算能力．
6.【答案】C
【解析】解：把函数=cos（-2x）=cos（2x-）的图象向左平移个单位长度，可得函数y=cos[2（x+）-]=cos2x的图象，
故选：C．
已知函数即y=cos（2x-），再根据函数y=A cos（ωx+φ）的图象变换规
律，可得结论．
本题主要考查诱导公式的应用，函数y=A cos（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题
7.【答案】D
【解析】解：由图可知，①对应于指数函数，②对应于对数函数，③对应于幂指数为正偶数的幂函数，④对应于幂函数中的一次函数．
由f（x）=x，可得f（x+y）=f（x）+f（y）；
由f（x）=log a x（a＞0且a≠1），可得f（xy）=f（x）+f（y）；
由f（x）=a x（a＞0且a≠1），可得f（x+y）=f（x）f（y）；
由f（x）=x2k（k∈N*），可得f（xy）=f（x）f（y）．
∴分别具有性质f（x+y）=f（x）+f（y）、f（xy）=f（x）+f（y）、f（x+y）=f（x）f（y）、f（xy）=f（x）f（y）的函数序号依次为④，②，①，③．
故选：D．
由函数图象可得函数类型，结合函数的性质得答案．
本题考查基本初等函数的图象与性质，是基础题．
8.【答案】A
【解析】解：设=x，=，
则==+y=+y（）-x=（1-y）+（y-x）+y，
又=λ+（λ∈R，μ∈R），λ，μ为常数，
则x-y=0，即x=y，
满足题意的只有④，
故选：A．
设=x，=，结合平面向量的线性运算有：==+y=+y
（）-x=（1-y）+（y-x）+y，由题意有：x-y=0，即x=y，逐一检验
即可．
本题考查了平面向量的基本定理及向量共线，属简单题．
9.【答案】
【解析】解：在平面直角坐标系xOy中，
∵幂函数y=xα的图象过点（8，），
∴f（8）=8α=，
解得α=，
故答案为：．
由幂函数y=xα的图象过点（8，），得f（8）=8α=，由此能求出α的值．
本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：已知α，β均为锐角，tanα=，tanβ=，
则：0＜α+β＜π，
所以：==1，
故：．
故答案为：．
直接利用两角的和的正切关系式求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，两角和的正切关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
11.【答案】-2
【解析】解：∵一元二次不等式2x2-bx+c＜0的解集是（-1，），
∴-1，是方程2x2-bx+c=0的两根，
由根与系数关系得：，
即b=1，c=-3．
∴b+c=-2．
故答案为：-2
由不等式的解集得到不等式所对应的方程的根，在由根与系数关系列式求得b，c的值，则b+c可求．
本题考查了一元二次不等式的解法，考查了一元二次方程根与系数关系，是基础的计算题．
12.【答案】b-a+1
【解析】解：∵lg2=a，lg3=b，
∴lg15=lg3+lg5=lg3+1-lg2=b-a+1．
故答案为：b-a+1．
推导出lg15=lg3+lg5=lg3+1-lg2，由此能求出结果．
本题考查指数式、对数式化简求值，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】12π-9
【解析】解：如图所示，弦长AB=6，设矢CD=x，
则弧田的面积为S弧田=×（6x+x2）=9+，
即x2+6x=18+9，
∴=18（+2），
∴=9，
解得x=3或x=-6-3（不合题意，舍去）；
设OA=R，则OD=R-3，
∴R2=（R-3）2+，
解得R=6，
∴∠AOB=，
该弧田的实际面积为
S=S扇形-S△AOB=π•62-×6×3=12π-9．
故答案为：12π-9．
根据题意画出图形，结合图形求出扇形的半径和圆心角，再计算弓形的面积．
本题考查了扇形的面积与弓形
的面积计算问题，也考查了方程
的解法与应用问题，是中档题．
14.【答案】4
【解析】解：平面内点P在两条
平行直线m，n之间，。
