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程序框图——复习课的教学设计会泽县实验高中张正华如何上好高三复习课，一直以来都是每位高三毕业班的任课教师不断求索的问题。
2014年高考，是云南省高中教育课程改革以来的第三次高考，考试内容因课程内容的变化而变化，那么，我们的备考过程、特别是高三复习课的形式与内容，也自然发生了改变。
本课，就是在新课程改革的背景下，联系近两年的高考题所做的一次尝试。
具体教学设计如下。
一、设计思想根据本节课的特点、结合新课改的理念，我的设计思想遵循以下原则：1、采用“问题探究式”教学法，以多媒体为辅助手段，让学生主动发现问题、分析问题、解决问题，培养学生的探究论证、逻辑思维能力。
2、重视考纲，紧盯高考，全部例题均来自高考题和教材上的练习题、思考题及其变式。
二、教学目标：1，知识与技能（1）通过复习，使学生巩固算法与程序框图的基础知识；（2）通过例题分析与练习，使学生清楚高考考什么？怎么考？2，过程与方法（1）通过高考题的展示，为学生创造观察、实验、归纳、总结的机会，锻炼学生分析问题的能力；（2）通过例题分析，强化学生分类讨论的数学思想。
3，情感、态度与价值观（1）在对实际问题的求解过程中培养学生分析问题、解决问题的能力；（2）对计算机的算法语言有一个基本的了解，明确算法的要求，认识到计算机的强大与呆板（机械），进一步提高探索、认识世界的能力。
三、教学重点、难点：教学重点：程序框图的应用；教学难点：条件结构和循环结构的应用。
六、学案设计：（一）基础回扣1.程序框图的含义程序框图又称流程图，是一种用、及文字说明来准确、直观地表示算法的图形2、程序框图规定图形4、辨析：判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) （1）、算法可以无限操作下去。
（ ） （2）、一个程序框图一定包含顺序结构，但不一定包含条件结构和循环结构。
（ ）（3）、5x =是赋值语句。
（ ） （4）输入语句可以同时给多个变量赋值。
（ ） （5）一个赋值语句可以给多个变量同时赋值。
教案：初中数学归纳猜想法教学目标：1. 让学生了解归纳法，理解数学归纳的原理与实质。
2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤，会用数学归纳法证明与自然数有关的命题。
3. 培养学生观察、分析、论证的能力，发展学生的抽象思维能力和创新能力。
教学重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析。
教学难点：数学归纳法中递推思想的理解。
教学方法：类比启发探究式教学方法。
教学手段：多媒体辅助课堂教学。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入归纳法概念，通过具体例子让学生感受归纳法的作用。
2. 引导学生思考归纳法的局限性，引出数学归纳法的必要性。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解数学归纳法的原理与实质，让学生理解数学归纳法的基本思想。
2. 分步骤讲解数学归纳法的两个步骤：第一步是证明归纳基础成立，第二步是证明归纳假设成立。
3. 通过具体例子演示数学归纳法的运用过程，让学生掌握数学归纳法的证明方法。
三、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成。
2. 分组讨论，共同解决问题，培养学生的合作意识。
3. 教师点评，解答学生疑问。
四、归纳总结（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结数学归纳法的步骤和关键点。
2. 强调数学归纳法在证明与自然数有关命题中的应用。
五、课后作业（课后自主完成）1. 巩固数学归纳法的概念和步骤。
2. 尝试运用数学归纳法证明一些简单的命题。
教学反思：本节课通过讲解归纳法的基本概念，让学生了解数学归纳法的原理与实质。
通过具体例子，让学生掌握数学归纳法的证明步骤，培养学生的观察、分析、论证能力。
在课堂练习环节，学生通过独立完成练习题和分组讨论，进一步巩固所学内容。
在归纳总结环节，学生回顾所学知识，加强对数学归纳法的理解和应用。
通过课后作业，让学生巩固所学知识，提高自主学习能力。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时解答学生疑问，引导学生积极参与课堂讨论。
此外，还要注重培养学生的逻辑思维能力和创新能力，引导学生运用数学归纳法解决实际问题。
《数学归纳法》高三复习课张绍红教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学难点：经历试值、猜想、归纳、证明的过程来解决问题.教学过程：1、归纳法的概念对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。
归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点：由特殊→一般.不完全归纳法：根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫不完全归纳法.完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.小题训练1 . 如图，把边长为1的正方形看作第一层壳，其面积为s 1，在它外面再镶上面积为s 2 的第二层外壳，使之构成边长为1+2的正方形，再镶上面积为 s 3的第三层外壳，使之构成边长为1+2+3的正方形，依次下去，试猜测第n 层外壳的面积s n小题训练2满足 的自然数n 等于（ ）A 1B 1,2C 1,2,3D 1,2,3,42、数学归纳法的概念：证明某些与自然数有关的数学命题P （n ）,可用下列方法来证明它们的正确性:(1)验证当n 取第一个值n 0(例如n 0=1)时命题成立,(2)假设当n=k(k ∈N* ，k ≥n 0 )时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立小题训练3 .证明凸n 边形的对角线为 条时，第一步验证n 等于（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4小题训练4用数学归纳法证明“当n 为正奇数时， 能被x+y 整除”的第二步是（ ）A 、假使n=2k+1时正确，再推n=2k+3正确（ ）B 、假使n=2k-1时正确，再推n=2k+1正确（ ）C 、假使n=k 时正确，再推n=k+1正确（ ）212233413-32n n n n ⨯+⨯+⨯+⋯++=+（）()1n n-32n n x y +D 、假使n ≥ k （k ≥1）时正确，再推n=k+2时正确（ ）小题训练5 . F （n ）是一个关于自然数n 的命题，若F （k ）真，则F （k+1）真，现已知F （7）不真，则有： （ ） ①F （8）不真；②F （8）真；③F （6）不真； ④F （6）真；⑤F （5）不真；⑥F （5）真．其中真命题是 （ ）A 、③⑤B 、①②C 、④⑥D 、③④3．数学归纳法的应用例1 用数学归纳法证明：例2 求证：练习 在数列 中， (1)求a 2 ,a 3 ,a 4(2)猜想的通项公式，并加以证明。
对“五环节”课堂教学模式的几点认识和反思在教学实践中依据各种教育理论建立起来的教学模式主要是为适应教学的实际需要，不同教学模式尽管有所差异，但其根本目的是为了提高教学质量和效率。
“五环节”课堂教学模式有其适用范围，并在一定应用中发挥其积极的功能作用，也有需要进一步改进和完善之处，其优点与不足是共存的，需要辩证地认识和看待。
标签：课堂教学模式教学设计理论问题引领当前，依据各种教育理论创立的教学模式层出不穷，这些教学模式在一定的实际背景下不置可否会产生相应的教学效果，并在一定范围内发挥着提升教学质量的积极作用。
就算是同一名称的教学模式，也会在某个环节，或内容或活动的先后顺序上有所区别和不同，当然，也有它们共同和相似之处，在实践的普遍应用中教学模式也就不应该有优劣好坏之分。
教学模式的运用有其一定的范围和背景，尽管在同一背景条件下，针对不同学科的教学也可能会有所差异，其效果固然也会不尽相同，所以，离开一定的范围和背景去谈功效就失去了其本身的意义。
一、“五环节”课堂教学模式总体思路这里所说的“五环节”课堂教学模式主要是指包括自学预习，提出问题；师生展示，答疑解惑；纠错评价，形成共识；反馈练习，达到目标；巩固提升，达标测试等五个环节。
也可以说成是包括激发兴趣，情境导入；自学思考，提出疑问；合作探究，汇报展示；拓展延伸，升华知识；习题训练，巩固知识等五个环节。
再者可以概括为“引、解、展、升、达”五环节课堂教学模式。
由此可见，这种教学模式在总体上体现了教学中教师的主导地位，学生学习的主体地位。
更重要的是，学生在主动学习过程中，能够更好地展示个性，亲身经历知识的探究、发现，直至知识的获取。
在课堂上，注重以问题引导教学，学生以发现、提出和解决问题为主线展开教学的各个环节，师生各自角色地位得到全面展示和体现，符合现代教学理论要求和学生学习需要及规律特点。
二、“五环节”课堂教学模式的理论依据对于“五环节”课堂教学模式来说，其建立或支撑的理论依据可以从以下四个方面来理解。
高考数学教学工作计划模板一、指导思想高三数学教学要以《全日制普通高级中学教科书》、____年普通高等学校招生全国统一考试《北京卷考试说明》为依据，以学生的发展为本，全面复习并落实基础知识、基本技能、基本数学思想和方法，为学生进一步学习打下坚实的基础。
要坚持以人为本，强化质量的意识，务实规范求创新，科学合作求发展。
二、教学建议1、认真学习《考试说明》，研究高考试题，把握高考新动向，有的放矢，提高复习课的效率。
《考试说明》是命题的依据，备考的依据。
高考试题是《考试说明》的具体体现。
因此要认真研究近年来的考试试题，从而加深对《考试说明》的理解，及时把握高考新动向，理解高考对教学的导向，以利于我们准确地把握教学的重、难点，有针对性地选配例题，优化教学设计，提高我们的复习质量。
注意____年高考的导向：注重能力考查，反对题海战术。
《考试说明》中对分析问题和解决问题的能力要求是：能阅读、理解对问题进行陈述的材料;能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述;能选择有效的方法和手段对新颖的信息、情境和设问进行独立的思考与探究，使问题得到解决。
____年的高考试题无论是小题还是大题，都从不同的角度，不同的层次体现出这种能力的要求和对教学的导向。
这就要求我们在日常教学的每一个环节都要有目的地关注学生能力培养，真正提高学生的数学素养。
2、充分调动学生学习积极性，增强学生学习的自信心。
尊重学生的身心发展规律，做好高三复习的动员工作，调动学生学习积极性，因材施教，帮助学生树立学习的自信性。
3、注重学法指导，提高学生学习效率。
教师要针对学生的具体情况，进行复习的学法指导，使学生养成良好的学习习惯，提高复习的效率。
如：要求学生建立错题本，让学生养成反思的习惯;养成学生善于结合图形直观思维的习惯;养成学生表述规范，按照解答题的必要步骤和书写格式答题的习惯等。
“7.6 归纳—猜想—论证”学案【学习目标】1．体验“归纳—猜想—论证”的过程。
2．感悟“归纳—猜想—论证”的思想方法。
3．运用“归纳—猜想—论证”的方法解决简单的数列问题。
【预习导引】阅读课本第34页至第36页．一、学习P34例1后，观察前几项值之间的关系，需要将1、4、9、16分别表示成、、、，才能顺利猜想出a的表达式。
n在用数学归纳法进行证明的过程中，关注每一项的结构特点，从“n=k”到“n=k+1”，需要增加的项为。
二、学习P35例2后，整体观察前几项值之间的关系，你认为需要怎样进行思考，才能顺利猜想出结论？三、练一练：1．（1）分别计算2,2+4,2+4+6,2+4+6+8的值；（2）根据（1）的计算，猜想2+4+6+…+2n的表达式；（3）用数学归纳法证明你的猜想。
2.（1）分别计算数列 -1，-1+3，-1+3-5，-1+3-5+7，…的值；（2）根据（1）的计算，猜想a=-1+3-5+…+(-1)n(2n-1)的表达式；n（3）用数学归纳法证明你的猜想。
四、小结体会：经过以上学习，你认为“归纳—猜想—论证”这一思想方法是通过怎样的一个过程体现的？【能力提高】1．已知数列}{n a 满足*+∈-==N n a a a nn ,12,211， (1)计算1a 、2a 、3a 、4a 的值；(2)猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明.小结：从本小题可以看出，“归纳—猜想—论证”的方法可以解决数列中的一类什么问题？以前我们解决这类问题可以采用哪些方法？2．已知正整数数列}{n a 的前n 项和n S 满足*2,)1(41N n a S n n ∈+= (1)计算1a 、2a 、3a 、4a 的值；(2)猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明.小结：从本小题看出，“归纳—猜想—论证”的方法又可以解决数列中的一类什么问题？以前我们解决这类问题采用的是怎样的方法，你可以用这种方法再解一次本题吗？【探究思考题】是否存在大于1的正整数m，使得*f n∈n++=都能被m整除？⋅n3,9n)72((N)若存在，你能求出m的最大值吗？你能证明你的结论吗？【拓宽知识】你所知道的世界上著名的猜想有哪些？可以介绍给大家吗？作业：【基础题】《练习册》P15 习题7.6 A 组 1—4【能力提高题】1．在数列}{n a 中，),2()1(22,1*11N n n n n n a a a n n ∈≥+++==-， （1）可求得2a = ，3a = ，4a = ，猜想n a =（2）请用数学归纳法证明你的猜想.2．是否存在常数a 、b 、c ，使等式c bn an n n n n n ++=-⋅++-⋅+-⋅24222222)()2(2)1(1 对一切正整数n 都成立？ 若存在，你能求出常数a 、b 、c 的值吗？。
模块： 五、数列 课题： 7、归纳、猜想、证明教学目标： 领会“归纳——猜想——论证”的思想方法． 重难点： 通过归纳猜想命题的一般结论． 一、 知识要点“归纳、猜想、证明”就是运用“检验有限个n 的值，寻找一定规律，猜想一个结论，然后用数学归纳法证明所猜想的结论正确”的解题方法． 理解一个完整的思维过程，往往是既要发现结论，又要证明结论的正确性．这就需要掌握运用由特殊到一般的思维方法，也就是通过观察、归纳，提出猜想，探求结论，且运用严密的逻辑推理，即数学归纳法证明结论（猜想）的正确．领会“归纳、猜想、证明”的思想方法，非常有助于提高观察分析能力．二、 例题精讲例1、在数列{}n a 中，11,3a =且()21,n n S n n a =-通过求234,,a a a 猜想n a 的表达式，并证明你的结论． 答案：()()12121n a n n =-+例2、数列{}n a 满足112a =，*1,23n n n a a n N a +=∈+． （1） 求2a ，3a ，4a ；（2） 根据（1），猜想数列的通项公式n a ； （3） 用数学归纳法证明你的猜想． 答案：（1）23411182680a a a ===，，；（2）131n n a =-；（3）略．例3、已知函数())1f x x =≥，数列{}n a 满足11a =，()()112n n a f a n --=≥．（1） 写出n a 的表达式，并用数学归纳法加以证明； （2） 设11n n n b a a -=+，若数列{}n b 的前n 项和10n S =，求n ．答案：（1）n a =，证明略；（2）120．例4、已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 且1122a b a b ==，，且12a a ≠，0n a >()*n N ∈．（1） 试比较3a 与3b ，4a 与4b 的大小，并猜想n a 与()3n b n ≥的大小关系； （2） 证明上述猜想的正确性．答案：（1）()3n n b a n >≥；（2）正确，证明略．例5、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且方程20n n x a x a --=有一根为1n S -，*n N ∈，（1） 求12a a ，；（2） 猜想数列{}n S 的通项公式，并给出严格的证明． 答案：（1）121126a a ==，；（2）1n nS n =+．*例6、数列{}n a 满足11a =，且()118162501n n n n a a a a n ++-++=≥，记()1112n n b n a =≥-．（1） 求1234b b b b 、、、的值；（2） 求数列{}n b 的通项公式及数列{}n n a b 的前n 项和n S ．答案：（1）12348202433b b b b ====，，，；（2）243n n b +=，5213n n n S +-=．三、课堂练习1、已知数列{}n a 前四项依次为1，12-，123-+，1234-+-，猜想通项n a = ．答案：1,21,2,22n n k n n k +⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩k Z +∈2、()22xf x x =+，11x =，()()*12,n n x f x n n N -=≥∈，则234,,x x x 分别为 ，猜想n x = ． 答案：212,,325，21n +． 3、根据2条直线相交有1个交点，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，推断()*n n N ∈条直线两两相交最多有 个交点．答案：()12n n - 4、数列{}n a 中，已知12a =，131nn n a a a +=+，依次计算出234,,a a a 后，归纳、猜想{}n a 的通项n a 为（ ） A 、243n - B 、243n + C 、221n - D 、265n - 答案：D5、已知等差数列前n 项和为n S ，则有()323n n n S S S =-成立，若推广上述结论应为（ ）A 、()()()323kn k n k n S S S ++=-B 、()2kn n n S k S S =-C 、()()()()323kn k n k n S k S S ++=+-D 、()()()()21121kn k n k n S k S S --=--答案：D四、 课后作业 一、填空题1、由给写的数列前四项，猜想通项公式（1）1，()13+，()135++，()1357+++，…，n a = ．（2）1-，85，157-，249，…，n a = ． 答案：（1）2n ；（2）()22121nn nn +-+2、数列{}n a 中，1a 1=，且前n 项和为n S ，11,,2n n S S S +成等差数列，则2S ，3S ，4S 分别为 ，猜想n S = ．答案：3715,,248，1212n n --．3、由归纳原理探求：凸n 边形的对角线条数()f n = ． 答案：()112n n + 4、()()1232312n a a a na n n n ++++=++，则n a = ．答案：33n +5、由归纳原理探求：平面内n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n 个圆分平面区域数()f n = ． 答案：22n n -+6、在数列{}n a 中，如果存在非零常数T ，使得m T m a a +=对任意的非零自然数m 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫做{}n a 的周期．已知数列{}n x 满足()11||1,n n n x x x n n N +-=->∈，如果()121,0,x x a a a R ==≠∈，选取适当的a 值，使得数列{}n a 的周期最小，则此时该数列前2013项的和是 ． 答案：1342二、选择题7、数列{}n a 中，121n n a a -=+且11a =，依次计算234,,a a a 后，归纳、猜想{}n a 的通项n a 为（ ） A 、21n +B 、21n -C 、21n-D 、2n答案：C8、设0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12cos a θ=，1n a +=n a =（ ）A 、2cos 2nθB 、12cos2n θ+ C 、12cos2n θ- D 、2sin2nθ答案：C9、已知正数1a ≠，且数列{}n b 满足11b a a=+，*111,n n b b n N b +=-∈，依次计算2b 、3b 后，猜想n b 的表达式为（ ）A 、()211na a- B 、()22211n na a a+-- C 、()21211n na a a+-- D 、()21211n na a a--- 答案：B三、解答题10、证明：)*13,n n N n++++<≥∈．11、证明：()22*633n n n n N +++∈是11的倍数．12、已知数列{}n a 的通项公式()2421n a n =-，数列{}n b 的通项满足()()()12111n n b a a a =---，用数学归纳法证明：2112n n b n+=-．。
第二讲 数学归纳法与归纳—猜想—论证 知识提要1. 数学归纳法可以用来证明与正整数n 有关的恒等式、不等式、整除等数学问题.（1）数学归纳法的两个步骤缺一不可，结论语也不可少，它把前两步整合成有机证明.（2）第一步是证明的基础，为假设提供合理性依据；第二步是证明的核心，保证命题的传递性.（3）数学归纳法证明的关键是应用归纳假设，归纳假设作为推理论证的条件体现了数学归纳法的优越性.2. 为了探求一般规律，先考察一些简单的特例，进行归纳，形成猜想，然后设法证明猜想的正确性，这样解决问题的想法就是“归纳—猜想—论证”的思想方法. 典型例题【例1】证明()()3171n n n N *+-∈ 能被9整除.【例2】是否存常数,a b R ∈使等式()3333332211231321()2n n n an b +++++-++++=+ 恒成立？并证明你的结论【例3】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)25(212++=+n n a S n n（1）求1a 的值，并用n 和n a 表示1+n a ；（2）猜想数列{}n a 的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论.巩固练习1、用数学归纳法证明：n n n n n 212111211214131211+++++=--++-+-时，第一步应证明的等式是_________________.2、在数列{}n a 中，311=a 且n n a n n S )12(-=，则=n a _________________. 3、猜想：=+++⨯+⨯+⨯)13(1037241n n _________________.4、有下列各式：211>，131211>++，237131211>++++ ， 215114131211>+++++ ，可以猜想一个更一般的不等式为_________________. 5、用数学归纳法证明3)12(1221222222+=++++++n n n ：的过程中，假设k n =成立后，在证明1+=k n 也成立时，和n k =时相比较，等式左边增加的项是_________________.6、已知(1)(2)(3)(2)n A n n n n n =++++ ，则k A 与1+k A 的关系为_________________.7、用数学归纳法证明时：2)12(sin sin 1)12cos(3cos cos 21ααααα+=-++++n n (21)cos(,)2n k k N ααπ*-≠∈，当验证1=n 时，左边=_________________. 8、),2)((,1,22)(11*-∈≥==+=N n n x f x x x x x f n n ，则=n x _________________. 9、在应用数学归纳法证明等式247532122222+-=++++n n n 时（ ） （A ）n 为任何自然数时都成立 （B ）仅当3,2,1=n 时成立（C ）4=n 时成立，5=n 时不成立 （D ）仅当4=n 时成立10、某个命题与自然数n 有关，如果k n =时，该命题不成立，那么可推出当1+=k n 时，该命题不成立，现已知当5=n 时，命题成立，那么（ ）（A ）当6=n 时，命题不成立 （B ）当6=n 时，命题成立（C ）当4=n 时，命题不成立 （D ）当4n =时，命题成立11、用数学归纳法证明“对任意偶数n ，n n b a -能被b a +整除”时，第二步应该（ ）（A ）假设()2,n k k k N *=≥∈时成立，再证1+=k n 时成立 （B ）假设k n 2=()k N *∈时成立，再证12+=k n 时成立 （C ）假设()2,n k k k N *=≥∈时成立，再证2+=k n 时成立 （D ）假设k n 2=()k N *∈时成立，再证)1(2+=k n 时成立12、求证：2511222n -++++ 能被31整除.13、是否存在常数a 、b 、c 使等式222222246(2)()3n n an bn c ++++=++ 成立？并证明你的结论.14、已知数列{}n a 中，11a =，且点()()1,,n n P a a n N *+∈在直线10x y -+=上 （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1n n nb S a =，表示{}n b 的前n 项和，试问：是否存在关于n 的整式()g n ，使得 ()()1211n n S S S S g n -+++=-⋅ 对于一切不小于2的自然数n 都成立. 若存在，写出()g n 的解析式，并加以证明；若不存在，说明理由.。
归纳—猜想—论证（高三复习课）教学设计说明选择课题的背景：1.在2009年第9期《数学教学》杂志封底看到张奠宙和赵小平教授的编后漫笔《一个新课题：数学思想方法的教学》，深受启发，很想付诸实践，于是选择这个机会展示一节关于数学思想方法的教学。
2.研究近年的高考试题，发现自觉或不自觉地在考查应用“归纳—猜想”解决问题的思想和方法（参看本节课所选试题），作为高三复习课，本着以学生的发展为本的理念，要重视这一数学思想的教学。
3.2011年10月10日在建平中学听华东师范大学李俊教授的报告，她谈到后面的课改，会把数学思想方法教学的具体要求写入课标，这更坚定了我的想法----上一节关于数学思想方法的课。
一、内容与教材分析“归纳—猜想—论证”是上海教育出版社高级中学课本数学高二年级第一学期（试用本）第7章数列一章的内容，隶属数学归纳法这一节。
“归纳—猜想—论证”是高中数学教学中唯一一节以数学思想方法为内容的课。
如果数学归纳法是数学方法，那么“归纳—猜想—论证”就是解决问题的思想方法，经常和数学归纳法联合使用，所以教材将其归入数学归纳法的一部分，但也并非意味着归纳猜想的结论只能应用数学归纳法证明。
为了探求一般规律，往往先考察一些简单的特例，进行归纳，形成猜想，然后设法用证明验证猜想的正确性，这样解决问题的想法就是“归纳—猜想—论证”的思想方法。
“归纳—猜想—论证”是把解答问题转化为证明问题的方法，核心是把复杂的问题简单化，把抽象的问题具体化，蕴涵着简化问题的思想。
需要注意（方法的要害）：归纳猜想后，只有证明了我们才可以肯定猜想的正确性（例如哥德巴赫猜想，尽管计算机可以检验到很大的数猜想都成立，可是在没证明之前，谁也无法断定哥德巴赫猜想的正确性，课本例题中遗憾的费马猜想就是最好佐证）。
“归纳—猜想—论证”是人们探究（数学）问题最基本的方法，所以可以尝试用它来解决各类问题（如这节课解决的几何、向量、矩阵等问题），它经历三个过程：尝试观察特例→体验猜测→理性证明，所以“归纳—猜想—论证”完美地把归纳猜想和演绎论证统一了起来。
7．6 归纳—猜想—论证教学目标设计1．了解数学推理的常用方法：归纳法与演绎法，进一步理解数学归纳法的适用情况和证明步骤．2．通过实例，理解利用归纳的方法，发现规律、提出猜想，然后用数学归纳法证明的思想方法，获得对于“归纳—猜想—论证”过程的体验，初步形成在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力．3．体验概念形成过程，引起对“归纳—猜想—论证”思维方法的兴趣，提升数学素养．教学重点与难点重点：“归纳—猜想—论证”思维方法的渗透和学习．难点：对数学归纳法的进一步理解和应用．教学过程设计1．引入问题1．用数学归纳法证明：2222121(1)1234(1)(1).2n n n n n --+-+-++-=- 选题目的：回顾并熟练掌握用数学归纳法证明数学命题的过程与 基本步骤，为新课的引入做好铺垫．2．归纳猜想我们已经学习了用数学归纳法来证明一些等式，但是这些等式又 是如何得到的呢？[说明] 引起学生思考，探求结论获得的可能方法：一是直接计算获得结论，二是归纳猜想．问题2．数列的通项公式22(55)n a n n =-+，计算1234,,,a a a a 的值，你可以得到什么结论？问题3．费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他是解 析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．费马认为，当n ∈N 时，221n+一定都是质数，这是他对n=0，1， 2，3，4作了验证后得到的．18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了5221+=4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．问题4．设2()41f n n n =++，则当n ∈N 时，()f n 是否都为质数？ (0)41f =，(1)43f =，(2)47f =，(3)53f =，(4)61f =，(5)71f =，(6)83f =， (7)97f =，(8)113f =，(9)131f =，(10)151f =，，(39)1601f =．但是(40)16814141f ==⨯是合数．找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来！3．归纳猜想论证在数学问题的探索中，为了寻求一般规律，往往先考虑一些特例， 进行归纳，形成猜想，这是归纳与猜想．但猜测的结论一定正确吗？不一定！通过归纳猜测的结论可能错误也可能正确，然后一定要去证明这些猜想的正确与否．证明一个命题为假命题只需要举出一个反例．证明一个命题为真命题需要逻辑推理．例1．依次计算数列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…的前四项值，由此猜测123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++的有限项表达式，并加以证明．选题目的：（1）引导学生体验从特殊到一般的思考过程，形成归纳猜想的意识．（2）这里去掉了原题中“并用数学归纳法证明”的证明方法的要求，以期证明方法的开放性，引起学生更开阔的思考．如：123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++22[123(1)].n n n n =++++-+-=（3）要证明2n a n =对一切正整数都成立，一个一个验证是不可能的．一些与正整数有关的命题可以用数学归纳法加以证明．例2．已知数列114⨯，147⨯，1710⨯，…，1(32)(31)n n -+，…，设n S 为该数列前n 项和，计算1234,,,S S S S 的值．根据计算结果猜测n S 关于n 的表达式，并用数学归纳法证明．选题目的：经历和体验“归纳—猜想—论证”的完整过程，理解掌握这一重要的思维方法．4．练习P36—1，2，35．小结本节课主要学习用“归纳—猜想—论证”的方法分析和解决问题． 归纳—猜想—论证是我们分析和解决问题的常用方法，它经历三个过程：尝试，观察特例；体验，归纳猜测一般规律；理性，证明猜想．这也告诉我们在分析和解决问题时要“大胆假设，小心求证”．大胆假设，也就是大胆猜测，这是探索发现真理的重要手段，是创造的源泉；但对猜想要小心求证，这是思维严谨的体现．在证明过程中，我们进一步学习了如何用数学归纳法进行演绎推理证明．6．作业P15—2，3 P16—4。
归纳—猜想—论证【教学目标】1．对数学归纳法的认识不断深化。
2．帮助学生掌握用不完全归纳法发现规律，再用数学归纳法证明规律的科学思维方法。
3．培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而引导学生去探求事物的内在的本质的联系。
【教学重难点】用不完全归纳法猜想出问题的结论，并用数学归纳法加以证明。
【教学过程】一、复习引入师：我们已学习了数学归纳法，知道它是一种证明方法。
请问：它适用于哪些问题的证明？生：与连续自然数n有关的命题。
师：用数学归纳法证明的一般步骤是什么？生：共有两个步骤：（1）证明当n取第一个值n时结论正确；（2）假设当n=k（k∈N，且k≥n）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确。
师：这两个步骤的作用是什么？生：第（1）步是一次验证，第（2）步是用一次逻辑推理代替了无数次验证过程。
师：这实质上是在说明这个证明具有递推性。
第（1）步是递推的始点；第（2）步是递推的依据。
递推是数学归纳法的核心。
用数学归纳法证题时应注意什么？生：两个步骤缺一不可。
证第（2）步时，必须用归纳假设。
即在n=k成立的前提下推出n=k+1成立。
师：只有这样，才能保证递推关系的存在，才真正是用数学归纳法证题。
今天，我们一起继续研究解决一些与连续自然数有关的命题。
二、归纳、猜想、证明1．问题的提出。
a 3，a4，由此推测计算an的公式，然后用数学归纳法证明这个公式。
师：这个题目看起来庞大，其实它包括了计算、推测、证明三部分，我们可以先一部分、一部分地处理。
（学生很快活跃起来，计算工作迅速完成，请一位同学口述他的计算过程，教师板演到黑板上。
）师：正确。
怎么推测an的计算公式呢？可以相互讨论一下。
2．归纳与猜想。
生：我猜出了一个an的计算公式。
（许多学生在偷笑）。
师：大家在笑什么？是笑他的“猜”吗？“猜”有什么不好。
人们对事物的认识很多都是以“猜”开始的，探索新领域就需要大胆，敢猜敢想，当然还要有严谨的思维做后盾。
大胆猜想、科学论证——《归纳猜想证明》教学设计与反思教学内容：归纳、猜想、证明教学理念：授人以鱼，不如授人以渔。
教学愿望：在教学过程中让学生学会思考，学会学习，学会创造。
学科思想：数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识，中学数学思想主要包括：数形结合的思想，分类讨论的思想，函数与方程的思想，化归与转化的思想等。
一、教材分析1、本节的地位与作用匈牙利数学家波利亚说过：“数学有两个侧面，一方面欧几里得式的严谨科学，从这方面看，数学像是一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学看起来像是一门试验性的归纳科学。
”传统的数学教学过分强调“演绎推理”的作用，甚至有“将数学窄化为演绎”的倾向。
由于演绎是一种从一般规则推导出特例的推理方法，学生就总是先学概念、定理，然后再运用它们去解题。
课堂上知识的建构往往被“听讲”所代替，学生看不到数学“生动活泼”的面孔，更享受不到“发现的乐趣”。
将课堂教学变成学生的“发现之旅”，让猜想占有适当的位置，使猜想走进数学课堂，让学生享受“发现的乐趣”，就成为我们教师的责任。
因此，在数学归纳法学完之后，穿插了专题《归纳猜想证明》，不仅使学生在一种兴奋的状态中学习到了数学知识，而且初步了解了归纳、猜想、证明对于日常生活和科学发现的重要性。
2、教学目标（1）对数学归纳法的认识不断深化．（2）帮助学生掌握用不完全归纳法发现规律，再用数学归纳法证明规律的科学思维方法．（3）培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，培养学生合作交流、综合归纳能力，培养学生对待知识的科学态度、勇于探索的创新精神，让学生学会猜想，学会创造。
3、教学重点和难点：用不完全归纳法提出猜想，用数学归纳法证明猜想．二、教法与学法1、教法：教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。
根据这样的原则和所要完成的教学目标着重采用多媒体教学法、讨论式教学法、探索式教学法等2、学法：我们常说：“现代的文盲不是不识字的人，而是没有掌握学习方法的人”，因而在教学中要特别重视学法的指导。
第06讲 归纳——猜想——证明（一）知识归纳：由事物的部分特殊事例猜想出事物的一般结论，这种方法人们称为“不完全归纳法”，用不完全归纳法得出的结论需要经过证明，因此全部过程可以小结为下面程序：①计算命题取特殊值时的结论；②对这些结果进行分析，探索数据的变化规律，并猜想命题的一般结论；③证明所猜想的结论. （二）学习要点：在中学数学内，“归纳—猜想—证明”的推理方法一般只局限于数列的内容，而且与正整数n 有关，其它内容中很少有要求，解决问题时要注意以下几点，①计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律；②猜想必须准确，绝对不能猜错，否则将徒劳无功；③如果猜想出来的结论与正整数n 有关，一般用数学归纳法证明. 【例1】已知数列{}n a 满足关系式∈≥+=>=--n a a a a a a a n n n ,2(12),0(111N +）， （Ⅰ）用a 表法a 2，a 3，a 4；（Ⅱ）猜想a n 的表达式（用a 和n 表示），并证明你的结论.[解析]（Ⅰ）;7183141314212,31412112212,23342232a a aa a aa a a a a a a a a a a a a a a a +=+++⨯=+=+=+++⨯=+=+= （Ⅱ）（ ,)12(12,)12(12111001a a a a a a a -+=-+==） 猜想,)12(1211aaa n n n -+=--下面用数学归纳法证明：1°．当n=1时，∴-+==,)12(12001a aa a 当n=1结论正确； 2°．假设当n=k 时结论正确，即aaa k k k )12(1211-+=--，∴当n=k+1时 a a aa a a k k k k k k 1112)12(1212--++-+=+= =,)12(1222121aaa a a kk k k -+=-⨯+-当n=k+1时结论也正确；根据1°与2°命题对一切n ∈N*都正确.[评析]“归纳—猜想—证明”是解决数列的某些问题的一种重要方法，对于一些变换技巧比较高的问题，如果能通过这种方法解答成功，则解答过程比较其它方法更容易.【例2】已知数列{}n a 满足：,232,1111-+⨯+==n n n a a a 计算a 2，a 3，a 4的值，由此归纳出a n 的公式，并证明你的结论.[解析]很容易算出a 2=5，a 3=16，a 4=44，但由此猜想出结论显然是非常困难的，下面作一些探索.∵a 2=2 a 1+3×2°=2×1+3×2°，a 3=2（2×1+3×2°）+3×21=22×1+2×3×21， a 4=2（22×1+2×3×21）+3×22=23×1+3×3×22；猜想a n =2n －1+（n －1）×3×2n －2=2n －2（3n －1）； 用数学归纳法证明：1°．当n=1时，a 1=2－1×=1，结论正确；2°．假设n=k 时，a k =2k －2（3k －1）正确，∴当n=k+1时，111123)13(2232---+⨯+-=⨯+=k k k k k k a a =)23(21+-k k],1)1(3[21)1(-+=-+k k 结论正确；由1°、2°知对n ∈N*有).13(22-=-n a n n[评析]如果计算出来的数据很难猜出结论时，应考虑整理计算过程，探索数据的变化规律，看看能否猜想成功.【例3】已知等差数列{}n a 中，a 2=8，前10项的和S 10=185， （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式a n ；（Ⅱ）若从数列{}n a 中依次取出第2，4，8，…，2n ，…项，按原来的顺序排成一个新数列，试求新数列的前n 项和A n ； （Ⅲ）设 B n =n （5+3 a n ），试比较A n 和B n 的大小，并说明理由.[解析]（Ⅰ）设公差为d ，∴;23)1(35,5345101858111+=-⨯+=∴⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧+=-=n n a a d d a d a n（Ⅱ）设新数列为{}n b ，∴2232+⨯==nn n a b∴A n =3×（2+22+23+…+2n ）+2n=3×2n ＋1+2n －6；（Ⅲ）∵,48163,22283,8443,119)119(3212=⨯==-⨯==-⨯=∴+=+=A A A n n n n B nA 4=3×32+2=98，A 5=3×64+4=196，A 6=3×128+6=390，A 7=3×256+8=776，…… 而B 1=20，B 2=58，B 3=114，B 4=188，B 5=280，B 6=390，B 7=518，…… ①当n=1，2，3，4，5时，B n >A n ； ②当n=6时，B 6=A 6；③当n ≥7，且n ∈N*时，猜想A n >B n ，用数学归纳法证明： 1°．当n=7时，A 7=766>518=B 7，结论正确；2°．假设当n=k （k ≥7）时，A k >B k ，即3×2k+1+2k －6>9k 2+11k ⇒2k+1>3k 2+3k+2，∴n=k+1时，)]1(11)1(9[]6)1(223[2211+++--++⨯=-+++k k k B A k k k=6×2 k+2－9k 2－27k －24=6×[2 k+1－（3k 2+3k+2）]+6×（3k 2+3k+2）－9k 2－27k －24 =6×[2 k+1－（3k 2+3k+2）]+9k 2－9k －12>9k 2－9k －12=9k （k －1）－12≥9×7×（7－1）－12>0 ∴A k+1>B k+1，即n=k+1时，结论也正确；根据1°、2°知当n ≥7且n ∈N*时，有A n >B n .[评析]从上面例子可以看出，归纳猜想不仅仅是要有对数据的观察能力，还需要有一定的经验，否则很难作出上述准确的猜想.【例4】已知数列{}n a 满足：,2121221nn n a a a a a +===++且问是否存在常数p 、q ，使得对一切n ∈N*都有,12n n n qa pa a +=++并说明理由.[解析] ∵,112,3222341223=+==+=a a a a a a 设存在这样的常数p 、q ，∴,141133234123⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=+⇒⎩⎨⎧+=+=q p q p q p qa pa a qa pa a 由此猜想，对n ∈N*，有,412n n n a a a -=++ 下面用数学归纳法证明这个结论：1°．当n=1时，12343a a a -==，结论正确；2°．假设当n=k 时结论正确，即,412k n k a a a -=++ ∴当n=k+1时，,42)2(4242)4(21212121221121223++++++++++++++-=-+-=--=+-=+=k k k k k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a a ∴当n=k+1时结论正确，故当n ∈N*时，n n n a a a -=++124成立.[评析]例4是一类探索题型，由条件直接推出结论是非常困难的，通过归纳—猜想—证明的方法，难度不大.《训练题》一、选择题1． 已知数列{}n a 的前n 项和)2(2≥⋅=n a n S n n ，而11=a ，通过计算,,,432a a a 猜想=n a（ ）A ．2)1(2+n B ．)1(2+n nC ．122-nD ．122-n 2．已知数列{}n a 的通项公式∈+=n n a n()1(12 N*），记)1()1)(1)(1()(321n a a a a n f ----= ， 通过计算)4(),3(),2(),1(f f f f 的值，由此猜想=)(n f（ ）A ．)1(22++n nB ．nn 42+ C ．2)1(12+-n n D ．)1(1++n n n3．数列{}n a 中，a 1=1，S n 表示前n 项和，且S n ，S n+1，2S 1成等差数列，通过计算S 1，S 2， S 3，猜想S n =（ ）A ．1212-+n n B ．1212--n n C ．nn n 2)1(+ D ．1－121-n4．已知a 1=1，,,,01)(2)(,321211a a a a a a a a n n n n n n 计算且=++-->+++然后猜想=n a（ ）A ．nB ．n 2C ．n 3D ．n n -+35．设,20πθ<<已知,2,cos 211n n a a a +==+θ则猜想=n a（ ）A ．n2cos2θB ．12cos2-n θC ．12cos2+n θD ．n2sin2θ6．从一楼到二楼的楼梯共有n 级台阶，每步只能跨上1级或2级，走完这n 级台阶共有)(n f 种走法，则下面的猜想正确的是 （ ）A ．)3()2()1()(≥-+-=n n f n f n fB ．)2()1(2)(≥-=n n f n fC ．)2(1)1(2)(≥--=n n f n fD ．)3()2()1()(≥--=n n f n f n f二、填空题：7．已知数列{}n a 中，,924,1111=+-=++n n n n a a a a a 且通过计算,,,432a a a 然后猜想=n a8．在数列{}n a 中，,)1(,111n n a n a a +==+通过计算,,,432a a a 然后猜想=n a 9．设数列{}n a 的前n 项和为S n ，已知S n =2n －a n （n ∈N +），通过计算数列的前四项，猜想 =n a 10．已知函数,22)(xx f -=记数列{}n a 的前n 项和为S n ，且2),1(1≥=n f a 当时， ),25(21)(22-+=-n n a f S n n 则通过计算,,,321a a a 的值，猜想{}n a 的通项公式=n a 三、解答题11．是否存在常数a ，b ，c ，使等式 ∈+++=+++⋅+⋅n c bn an n n n n 对)(12)1()1(32212222N +都成立，并证明你的结论.12．已知数列{}n a 的各项为正数，其前n 项和为S n ，又n n S a 与满足关系式：n n n S a S a S a S =++++++2424242211 ，试求{}n a 的通项公式. 13．已知数列{}n a 的各项为正数，S n 为前n 项和，且)1(21nn n a a S +=，归纳出a n 的公式，并证明你的结论.14．已知数列{}n a 是等差数列，,2,131==a a 设∈=++++=-n k a a a a P n k n ,3(1931 N +）， ∈-=++++=n n m a a a a Q m n ,24(1062 N +），问P n 与Q n 哪一个大？证明你的结论.15．已知数列{}n a ：∈-==-n a p a a n n (1||,110N* ),10,<<p（Ⅰ）归纳出a n 的公式，并证明你的结论； （Ⅱ）求证：.01<<-n a p答案与解析一、1.B 2.A 3.D 4.B 5.B 6.A二、7．1256--n n 8．n ！ 9．1212--n n 10．n+1 11．令n=1得24=++c b a ①， 令n=2得4424=++c b a ②，令n=3得7039=++c b a ③， 解①、②、③得a =3，b=11，c=10，记原式的左边为S n ，用数学归纳法证明猜想)10113(12)1(2+++=n n n n S n （证明略） 12．计算得,6,4,2321===a a a 猜测n a n 2=，用数学归纳法证明（证明略）. 13．∵;12)1(211;1)1(21222211111-=⇒+=+=⇒+==a a a a a a a a S ∵23)1(2123333-=⇒+=+a a a a ，…，猜想∈--=n n n a n (1N*）.用数学归纳法证明（略）.14．∵,22+=n a n ∴,41232132132131101-+=++++++=-n P n n ;22212421224212142nn n Q n +=+-+++-⨯++-⨯= 计算得①当1≤n ≤3时，P n <Q n ；②猜想n ≥4时P n ＞Q n ，用数学归纳法证明，即证：当n ≥4时1(;1432+=+>k n n n 时用比较法证）15．（Ⅰ）∵pp p p p a p p p a a +-+-=-+--⋅=+-+-=+-=⇒=1)(111)(1,1)(111323220,…，猜测pp a nn +-+-=1)(1，数学归纳法证明（略）.（Ⅱ）∵,0)1()(11;0,1|)(|01>+--=+<∴<-<+p p p p a a p n n n n而∴.01,1<<-->n n a pp a 得。
高三数学教学计划标准范本一、指导思想和教学目标以现代教育理论，教学大纲和考纲为指导，全面____教育方针，深化教育改革，积极实施和推进素质教育。
不仅使学生掌握高中数学基础知识与能力，而且要全方位培养学生的创新意识，创新精神，创新能力和实践能力，争取本学年我校高三数学教学上新台阶。
二、教学计划与要求新课已授完，高三将进入全面复习阶段，全年复习分两轮进行。
第一轮为系统复习（第一学期），此轮要求突出知识结构，扎实打好基础知识，全面落实考点，要做到每个知识点，方法点，能力点无一遗漏。
在此基础上，注意各部分知识点在各自发展过程中的纵向联系，以及各个部分之间的横向联系，理清脉络，抓住知识主干，构建知识网络。
在教学中重点抓好各中通性、通法以及常规方法的复习，是学生形成一些最基本的数学意识，掌握一些最基本的数学方法。
同时有意识进行一定的综合训练，先小综合再大综合，逐步提高学生解题能力。
第二轮（第二学期）专题复习与综合考试相结合。
要精选专题，紧扣高考内容，抓紧高考热点与重点，授课时脚踏实地，讲透内容通过测评，查漏补缺，既提高解决综合题的分析与解题能力，又能调适心理，使学生进入一个良好的心理和竞技状态。
三、教学措施1、进一步转变教育观念，真正做到面向全体学生，尊重学生的身心发展规律。
不能因为是复习阶段而“满堂灌”,惟恐学生吃不饱，欲速则不达。
在教学过程中处理好几个矛盾：一是讲和练的统一二是量和内容的整合三是自我探究和他人帮助的协调。
每天采用有针对性的内容进行限时小剂量的过关练习，帮助差生争取基本分，学生可以解决，鼓励他自己完成，克服机械模仿带来的负迁移，同时增强信心。
注意用分层教学来落实全体性与差异性。
不能一个水平，一个内容，一个进度对待所有学生，既要求保底，又要大胆放飞。
能达到什么水平就练什么水平的试题，保持这个水平是首要的，同时鼓励学生根据自己实际，大胆向前冲。
对于基础较薄弱的学生，应多鼓励多指导学法。
因为进入复习阶段，这些学生会无所适从，很容易产生放弃念头，教师的关心与鼓励，是他们坚持下去的良药。
论证要合理教案
教案标题：论证要合理教案
一、教学目标
1. 知识目标：学生能够理解和掌握论证要合理的概念和方法。
2. 能力目标：学生能够运用论证要合理的方法进行教案设计和教学实施。
3. 情感目标：培养学生批判性思维和逻辑思维能力，提高他们对教学活动的认
识和理解。
二、教学重点
1. 论证要合理的概念和意义。
2. 论证要合理的方法和技巧。
三、教学难点
1. 如何在教案中合理运用论证方法。
2. 如何引导学生进行合理的论证思维。
四、教学过程
1. 导入：通过一个生动的例子或情境引出论证要合理的概念，激发学生的学习
兴趣。
2. 理论学习：介绍论证要合理的方法和技巧，包括归纳法、演绎法、比较法等，让学生理解其意义和作用。
3. 实践演练：设计一些教学案例或问题，让学生运用论证要合理的方法进行分
析和解答，锻炼他们的论证能力。
4. 拓展应用：引导学生运用论证要合理的方法进行教案设计，让他们在实际教
学中体会到论证方法的重要性和实用性。
5. 总结反思：让学生总结本节课的学习收获，思考如何在日常学习和生活中运用论证要合理的方法。
五、教学手段
1. 多媒体课件
2. 教学案例
3. 小组讨论
4. 课堂互动
六、教学评价
1. 学生的课堂表现和参与度
2. 学生的作业和练习成绩
3. 学生的教案设计质量和思维能力表现
七、教学反思
教师应该不断反思教学过程，及时调整教学方法和手段，提高学生的学习效果和教学质量。
归纳—猜想—论证（高三复习课）教学设计说明选择课题的背景：1.在2009年第9期《数学教学》杂志封底看到奠宙和小平教授的编后漫笔《一个新课题：数学思想方法的教学》，深受启发，很想付诸实践，于是选择这个机会展示一节关于数学思想方法的教学。
2.研究近年的高考试题，发现自觉或不自觉地在考查应用“归纳—猜想”解决问题的思想和方法（参看本节课所选试题），作为高三复习课，本着以学生的发展为本的理念，要重视这一数学思想的教学。
3.2011年10月10日在建平中学听华东师大学俊教授的报告，她谈到后面的课改，会把数学思想方法教学的具体要求写入课标，这更坚定了我的想法----上一节关于数学思想方法的课。
一、容与教材分析“归纳—猜想—论证”是教育高级中学课本数学高二年级第一学期（试用本）第7章数列一章的容，隶属数学归纳法这一节。
“归纳—猜想—论证”是高中数学教学中唯一一节以数学思想方法为容的课。
如果数学归纳法是数学方法，那么“归纳—猜想—论证”就是解决问题的思想方法，经常和数学归纳法联合使用，所以教材将其归入数学归纳法的一部分，但也并非意味着归纳猜想的结论只能应用数学归纳法证明。
为了探求一般规律，往往先考察一些简单的特例，进行归纳，形成猜想，然后设法用证明验证猜想的正确性，这样解决问题的想法就是“归纳—猜想—论证”的思想方法。
“归纳—猜想—论证”是把解答问题转化为证明问题的方法，核心是把复杂的问题简单化，把抽象的问题具体化，蕴涵着简化问题的思想。
需要注意（方法的要害）：归纳猜想后，只有证明了我们才可以肯定猜想的正确性（例如哥德巴赫猜想，尽管计算机可以检验到很大的数猜想都成立，可是在没证明之前，谁也无法断定哥德巴赫猜想的正确性，课本例题中遗憾的费马猜想就是最好佐证）。
“归纳—猜想—论证”是人们探究（数学）问题最基本的方法，所以可以尝试用它来解决各类问题（如这节课解决的几何、向量、矩阵等问题），它经历三个过程：尝试观察特例→体验猜测→理性证明，所以“归纳—猜想—论证”完美地把归纳猜想和演绎论证统一了起来。
我们在分析和解决问题时，要大胆假设，小心求证，这也是探索发现真理的重要思想，是创造灵感的源泉，也是思维严谨的体现，是矛盾的统一。
二、学情分析高三复习中，一方面遇到非数列背景的数学问题，学生往往较难想到应用“归纳—猜想—论证”的思想方法解决问题，应用意识非常薄弱。
另一方面，近几年高考和各类考试都在考查“归纳—猜想—论证”的思想方法，如本课选的课堂练习和作业中的问题。
教学目标、考查要求和学生实际表现使矛盾不断凸现。
本着以学生的发展为本的理念，必须增强学生归纳猜想的能力。
我校是市实验性示性高中，本班是学校的重点物理班，学生基础比较扎实，想象力比较强，归纳猜想能力比较好，所以在选择问题的时候层次也比较高，有一定难度，但问题难度的处理上一定要注意层层推进，螺旋上升。
三、教学目标设计 教学目标想方法。
2.发展学生的归纳猜想能力，提高演绎论证能力，体会归纳与演绎的辩证与统一。
３.通过实验、观察、尝试，培养他们的科学探究能力。
教学重点教学难点。
四、教学过程设计【教学脉络】 以“归纳—猜想—论证”思想方法的“复习－应用－延拓－再应用”为主线展开设计。
1.复习“归纳—猜想—论证”的思想方法（从问题引出课题）【引例】观察下列等式，你可以归纳出一个更一般的结论吗？【学生】()()22233331123123.4n n n n +++++=++++= 【教师】这个等式很简洁，很美，这么漂亮的等式用什么方法证明呢？（数学归纳法）【设计意图】这道题目的结果体现一种简洁美，给人美的享受，可以培养学生数学审美情趣。
问题难度不大，每个学生都能理解，可以比较完整地复习“归纳—猜想—论证”的思想方法。
因为通常我们可以先考虑用数学归纳法完成猜想的证明，所以我们选择引例采用数学归纳法证明。
证明： 1.当1n =时，猜想成立。
2. 假设()1n k k =≥时， ()2233331123.4k k k S k +=++++= 则当1n k =+时，()()()()()222233111211.44k k k k k k S S k k ++++=++=++=所33333311,129,12336,.=+=++=以，1n k =+时猜想也成立。
综上，对任意的n N *∈猜想都正确。
【问题】如果直接给你这样一个问题3333123n ++++= . 你该怎么做？【教师】为了探求一般规律，先考察一些简单的特例，进行归纳，形成猜想，然后设法证明猜想是否正确，这样解决问题的想法就是“归纳—猜想—论证”的思想方法（今天我们复习“归纳—猜想—论证”，直接点题）【设计意图】让学生用自己的语言根据刚刚解决的实例总结“归纳—猜想—论证”解决问题的思维过程，增强学生理解的深度，教师进行适当补充直接点题。
2.应用“归纳—猜想—论证”的思维方法解决问题【例1】设定义在*N 上的函数();()()()2n n f n n f n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数， 如果)2()3()2()1(n n f f f f a ++++= ，那么=-+n n a a 1 . 【问题】这是去年浦东新区一模第13试题，也是一个和正整数有关的问题，如何解答？【教师】需要强调：因为归纳猜想的结论不一定正确，所以我们一定要尽可能地利用证明验证猜想的正确性，由于这道题目证明方法比较巧妙，我给大家留下充足的时间课后思考、探讨，下节课我们相互交流。
【设计意图】这也是一个数列问题，目的是让学生练习应用“归纳—猜想—论证”的思想方法解决问题，教师引导学生深刻体会“归纳—猜想—论证”的思想方法，既是练习也是例题。
放在这节课，【例1】难度比前面引例的难度大，比后面【例2】的难度小，体现教学难度的层层推进，螺旋上升。
作为“归纳—猜想—论证”在其它问题中应用的一个过渡，给学生搭建拾级而上的台阶，为学习后面的【例2】做好铺垫。
【教师】到目前为止，我们应用“归纳—猜想—论证”的思想方法解决的都是与数列有关的问题，那么，是不是这种方法只能解决与数列有关的问题呢？（不是！学生斩钉截铁回答的背后很大程度上是直觉在说话，而后面【例2】的解答才给予学生充分的底气）下面，我们尝试应用“归纳—猜想—论证”解决一个看起来和正整数无关的问题（自然过渡）。
【例2】在空间直角坐标系O xyz -中，满足条件[][][]2221x y z ++≤的点(),,x y z 构成的空间区域3Ω的体积为3V ，（[][][],,x y z 分别表示不大于,,x y z 的最大整数），则3V = .（1）高斯和高斯函数简介：见课件。
【设计意图】 提高学生的数学文化修养，课后还有配套习题：【4】画高斯函数的图像。
画图像时，也是先画简单的情形，再归纳出一般的图像，体现了归纳猜想的思想方法在解决函数问题的应用。
（2）分析：空间问题有时比较复杂，比较抽象，如何解决呢？能不能把复杂的问题简单化，把抽象问题的具体化呢？可以先考虑[]21x ≤（直线上的情况）,再考察[][]221x y +≤（平面上的情况）。
讨论清楚直线和平面的情况，画出图形，再归纳猜测空间情形，最后再证明自己的猜想。
（教学方法：启发式）【教师】点评：空间问题有时比较复杂，比较抽象，这时我们可以简化问题，先研究平面，直线上的情况，再归纳猜想空间的情形，这就是“归纳—猜想—论证”的思想方法(再次点题)。
【设计意图】这是一道非常漂亮的试题，可谓鬼斧神工，难度较大，但如果思考的方法恰当，解决起来也不是很困难。
这道空间几何问题，涉及到高斯函数，所以这道题目除了可以培养学生“归纳—猜想”的能力外，还可以培养学生的空间想象能力，以及数学文化修养。
选这道题目的目的是想告诉学生“归纳—猜想—论证”的思想方法不但可以解决与数列相关的问题，也可以解决一些和正整数看起来无关的问题（其实，空间是三维的，平面是两维的，直线是一维的，我们可以对问题的维数进行归纳猜想），所以空间问题也可应用“归纳—猜想—论证”的方法解决。
此处是本节的重头戏，也是高潮。
我们没有直接采用分类讨论解决空间问题，而是采用归纳猜想的方法，也就是说不光为了解决具体问题，而是在解决问题的过程中寻找一般性的处理问题的方法，即使分类讨论的方法本身也可以通过归纳得到。
三．小试牛刀（下面我们做几个练习）【1】设12,,,n A A A ()n N *∈是空间中给定的n 个不同的点，则使120n MA MA MA +++=成立的点M 的个数为 （ ）.A ．0B ．1C ．nD ．2n【2】 在n 行n 列矩阵12321234113451212321n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅. 若n 为正奇数，则1122nn a a a +++= .【设计意图】 练习应用归纳猜想思想方法解决非数列问题，继续延拓方法应用的围。
【1】中5n =，就是2011年高考试题；【2】中9n =，就是2010年高考试题，所以问题具有代表性和典型性。
这两道试题如果应用归纳猜想，问题解答就比较容易了。
在【1】中分别取1,2n n ==就能得到答案，在【2】中分别取1,3,5n n n ===，就可以归纳猜想出结论。
【问题】若用数学归纳法证明上面的猜想，在第二步，假设n k =（1k ≥，是正奇数）时，猜想成立，则当n = .时，要证明的等式是 .【设计意图】【2】的具体证明已经超出了课程标准和考试大纲，而关于这道题的证明自然地设计了这样一个框架性问题，检测学生对数学归纳法本质的理解，也是对证明的思考，体现“归纳—猜想—论证”思维过程的完整性(由于本节课不是复习数学归纳法，所以这个问题我们作为机动问题，要看课堂时间是否允许)。
四．小节提升1.“归纳—猜想—论证”是把解答问题转化为证明问题的方法，核心是把复杂的问题简单化，把抽象的问题具体化，蕴涵着简化问题的思想。
2.需要注意的问题是：归纳猜想后，只有证明了我们才可以肯定猜想的正确性。
3.“归纳—猜想—论证”，是人们探究（数学）问题最基本的方法，所以可以用它来解决各类问题（如这节课解决的几何、向量、矩阵等问题），它完美地把归纳猜想和演绎论证统一了起来。
最后，送大家一句名言：没有大胆的猜想，就没有伟大的发现！【设计意图】回顾总结课堂学习，提高学生对“归纳—猜想—论证”数学思想方法本质的理解和认识。
以牛顿的名言结束本节课，提升数学课堂的情趣，强调猜想的重要性。
作业设计【1】数学上有一个著名的猜想：哥德巴赫猜想，大家可以上网找找，看看我国的数学家做了哪些贡献？【2】 在数列{}n a 中，()115,342n n a a a n n N *+==-+∈. 若2n n b a n =-，则数列{}n b 的通项公式是 .【3】函数x x x f tan sin )(+=．项数为27的等差数列}{n a 满足⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππn a ，且公差d ≠0．若0)()()(2721=+⋅⋅⋅++a f a f a f ，则当=k 时，0)(=k a f ．【4】 画高斯函数的图像。
