7.3 不等式的解法(师版)

专题7.3 基本不等式【核心素养分析】1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． 【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】 高频考点一 利用基本不等式求最值【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ．【举一反三】（2020·江苏省南京模拟）函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________【方法技巧】利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路： (1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)【变式探究】(2019·天津卷)设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为 ．【变式探究】（2020·辽宁省葫芦岛模拟）已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 6B ．8 2C ．5D ．9高频考点二 利用基本不等式解决实际问题【例2】【2019·北京卷】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．，，，，，，，，【方法技巧】利用基本不等式解决实际问题的三个注意点 (1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．【变式探究】（2020·山西省大同模拟）经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km /h )(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎨⎧175（x 2－130x ＋4 900），x ∈[50，80），12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？专题7.3 基本不等式【核心素养分析】1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． 【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】高频考点一 利用基本不等式求最值【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ． 【答案】45【解析】∵22451x y y +=∴0y ≠且42215y x y -=∴422222222114144+2555555y y y x y y y y y-+=+=≥⋅=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号. ∴22xy +的最小值为45. 【举一反三】（2020·江苏省南京模拟）函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________【答案】23＋2【解析】∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立．【方法技巧】利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路： (1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)【变式探究】(2019·天津卷)设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为 ．【答案】92【解析】(x ＋1)(2y ＋1)xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋5xy ＝2＋5xy ，∵x ＞0，y ＞0且x ＋2y ＝4， ∴4＝x ＋2y ≥22xy ，∴xy ≤2，∴1xy ≥12，∴2＋5xy ≥2＋52＝92.【变式探究】（2020·辽宁省葫芦岛模拟）已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 6 B ．8 2 C ．5 D ．9【答案】A【答案】∵a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1， ∴a ＝b ＋1b －2＞0，∴b ＞2，∴a ＋2b ＝b ＋1b －2＋2b ＝2(b －2)＋3b －2＋5≥5＋22（b －2）·3b －2＝5＋2 6.当且仅当2(b －2)＝3b －2，即b ＝2＋62时取等号．∴a ＋2b 的最小值为5＋26，故选A 。

苏科版8年级下课题：§7.3 不等式的基本性质授课人：陈宏圣教学目标知识与能力1.探索并掌握不等式的基本性质；2.能熟练运用不等式的性质进行不等式的变形.过程与方法通过自主讨论培养观察力和归纳的能力.情感态度与价值观1.通过学生的讨论使学生进一步体会合作的作用,培养集体合作的精神.2.在积极参与探索发现不等式基本性质的过程中,体会不等式的两条基本性质的作用和意义,培养学生探索数学问题的能力.教学重点和难点重点：探索不等式的基本性质。

难点：能正确应用不等式的基本性质进行不等式的变形.教学方法：引导学生自主探究，促进学生学会在实践中思考、探索、交流、合作，主动地获取数学知识和发展能力。

教具准备：多媒体。

教学过程一、引入新课前面同学们学习了不等式的概念，那不等式具有什么性质呢？这就是本节课我们所要研究的内容。

二、探索不等式的性质由课本的情境乘电梯引入不等式的性质1的讨论多媒体展示问题，引导学生思考。

（边放多媒体，边叙述）师：电梯里有母女两人，妈妈的身高a米比女儿的身高b米要高，当电梯升高6米时，妈妈相对于原来的高度仍比女儿高，即：由a>b可得a+6>b+6。

当电梯下降3米时，妈妈相对于原来的高度仍比女儿高，即：由a+6>b+6可得a+6-3>b+6-3。

问：你有什么发现吗？答：不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不变。

问：如果在不等式两边同时加上或减去同一个整式呢？学生讨论后再请大家看表格归纳不等式的性质1问：从上面的描述中，能发现什么规律吗？学生分组讨论，交流意见。

一段时间后请学生回答：不等式两边都加上或减去同一个数，不等号的方向不变。

问：根据以上内容你能对下面问题做出判断吗？如果a>b,那么a+c > b+c , a-c > b-c问：由此你能概括出不等式具有什么性质吗？学生回答后，老师再强调并用大屏幕给出。

不等式的基本性质一：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

7．3、不等式的性质教学目标1．掌握不等式的性质。

2．运用不等式的性质对不等式变形。

3．通过不等式基本性质的推导，培养学生观察、归纳的能力。

教学重点、难点重点：不等式的基本性质和简单不等式的解法。

难点：不等式的变号问题。

教学准备天平、重物教学过程一、创设问题情境。

1．等式的基本性质是什么?(1) 等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，相等关系仍然成立。

(2) 等式的两边同时乘以（或除以）不为零的同一个数或同一个整式，相等关系仍然成立。

2．爸爸的年龄a比儿子的年龄b大，再过10年，爸爸的年龄仍比儿子年龄大，即：a＞b a b＋10。

3．一架倾斜的天平两边分别放有重物，其质量分别为a和b(显然有a＞b)，如果在两边盘内分别加上等质量的砝码，则盘子仍然像原来那样倾斜。

若两边再加上和原来同样多的物体，天平的倾斜程度仍然不变。

即：a＞a＋c＞b＋c，a＞a＋a＞b＋b 即2a＞2b。

二、探索新知。

1．不等式的性质1不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

用不等式表示为：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c，a－c＞b－c说明：由学生通过实际问题，研究、讨论其中所蕴含的数学思想、方法、规律，渗透概括、归纳的方法。

2．问题1：你能否用上面的实例说明如果a＞b，那么a－c＞b－c 。

(在天平的两边都去掉等量的物体，天平的倾斜程度不变)3．问题2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个不为零的数，不等号的方向是否也不变呢?探索观察：将不等式5＞2的两边都乘以同一个不为0的数，比较所得结果。

用“＜”或“＞”填空：5×3 2×3，5×4 2×4，5×(－2) 2×(－2)，5×(－0.5) 2×(－0.5)5÷3 2÷3,5÷4 2÷4，5÷(－2) 2÷(－2)，5÷(－0.5) 2÷(－0.5)，提问：你能从中发现什么?说明：让学生充分的计算、比较、分析、思考和讨论，让学生充分认识到这个规律。

不等式的性质和解法一、不等式的性质1.不等式的定义：表示两个数之间的大小关系，用“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号表示。

2.不等式的基本性质：（1）传递性：如果a>b且b>c，那么a>c。

（2）同向相加：如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。

（3）同向相减：如果a>b，那么a-c>b-c。

（4）乘除性质：如果a>b且c>0，那么ac>bc；如果a>b且c<0，那么ac<bc。

二、不等式的解法1.解不等式的基本步骤：（1）去分母：将不等式两边同乘以分母的最小正整数，使分母消失。

（2）去括号：将不等式两边同乘以括号内的正数，或者将不等式两边同除以括号内的负数，使括号内的符号改变。

（3）移项：将不等式中的常数项移到一边，将含有未知数的项移到另一边。

（4）合并同类项：将不等式两边同类项合并。

（5）化简：将不等式化简到最简形式。

2.解一元一次不等式：（1）ax+b>c（a≠0）：移项得ax>c-b，再除以a得x>(c-b)/a。

（2）ax+b≤c（a≠0）：移项得ax≤c-b，再除以a得x≤(c-b)/a。

3.解一元二次不等式：（1）ax2+bx+c>0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。

（2）ax2+bx+c≤0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。

4.不等式的组：（1）解不等式组的步骤：先解每个不等式，再根据不等式的解集确定不等式组的解集。

（2）不等式组解集的表示方法：用区间表示，例如：[x1, x2]。

三、不等式的应用1.实际问题中的不等式：例如，距离、温度、速度等问题。

2.不等式在生活中的应用：例如，购物、制定计划、比较大小等问题。

3.不等式在其他学科中的应用：例如，在物理学中描述物体的运动状态，在经济学中描述市场的供求关系等。

不等式的解法不等式是数学中常见的一种表示数值关系的方法。

解不等式就是找出使不等式成立的数值范围。

在解不等式时，可以通过几种常见的方法来确定解集。

一、图像法图像法适用于简单的一元一次不等式。

通过将不等式转化为直线的形式，并在数轴上画出对应的线段，可以直观地找到满足不等式的数值范围。

例如，对于不等式x + 3 > 2，我们可以将其转化为x > -1的形式。

在数轴上，我们可以画出一个开口向右的箭头，箭头的起点为-1，表示解集为大于-1的所有实数。

二、代入法代入法是一种常见的解不等式的方法，特别适用于含有绝对值的不等式。

通过将可能的解代入到不等式中，验证是否满足不等式的关系，可以逐步缩小解集。

例如，对于不等式|2x - 3| < 5，我们可以先将其拆分成两个不等式：2x - 3 < 5和2x - 3 > -5。

然后分别解这两个不等式，可以得到解集为-1 < x < 4。

三、性质法性质法是解不等式的一种常用方法，通过利用不等式的性质和常用不等式的性质，可以快速求解不等式。

例如，对于不等式x^2 - 4x > 3，我们可以将其转化为x^2 - 4x - 3 > 0的形式。

通过因式分解或配方法，可以求得该不等式的根为x > 3或x < 1。

然后，结合二次函数的凹凸性质，可以得到解集为x < 1或x > 3。

四、区间法区间法是一种用于求解一元二次不等式的常用方法。

通过将一元二次不等式转化为标准形式，然后结合图像法和区间划分的方法，可以求解出不等式的解集。

例如，对于不等式x^2 - 5x + 6 > 0，可以将其转化为(x - 2)(x - 3) > 0的形式。

通过将x^2 - 5x + 6 = 0的根-1, 2, 3绘制在数轴上，并观察函数的正负性，可以得到解集为-1 < x < 2或x > 3。

综上所述，解不等式的方法有很多种，包括图像法、代入法、性质法和区间法等。

不等式的解法不等式是数学中常见的一种关系式，描述了数值之间的大小关系。

它是由不等号（例如>, <, ≥, ≤, ≠）连接的两个数或表达式组成的。

解不等式就是找出满足该不等式的所有数值。

在解不等式的过程中，需要考虑不等式中的未知数、常数以及可能存在的绝对值、平方根等特殊情况。

以下是几种常见的不等式解法方法：一、加减法解不等式若不等式中的未知数带有符号，并且仅涉及到加减法运算，则可以通过移项的方式解不等式。

具体步骤如下：1. 将所有含有未知数的项放在一边，将常数放在另一边，确保未知数的系数为正数；2. 合并同类项；3. 如果未知数系数为负数，将不等号反转；4. 如果不等式两侧都含有未知数，则根据大小关系进行筛选；5. 最后化简，得到不等式的解。

举例说明：解不等式2x + 5 < 7 - x。

1. 将所有含有未知数的项放在一边，将常数放在另一边，得到2x + x < 7 - 5；2. 合并同类项，得到3x < 2；3. 未知数系数为正数，不需要改变不等号；4. 进行筛选，得到x < 2/3；5. 最后化简，得到解集{x | x < 2/3}。

二、乘除法解不等式若不等式中的未知数带有符号，并且仅涉及到乘除法运算，则可以通过乘除法的逆运算解不等式。

具体步骤如下：1. 将不等式中的未知数项移动一侧，将常数项移动到另一侧；2. 如果是乘法，则将未知数系数为正数；3. 如果是除法，则需考虑被除数符号与除数符号的关系；4. 根据大小关系进行筛选；5. 最后化简，得到不等式的解。

举例说明：解不等式3x - 4 > 2x + 1。

1. 将未知数项移动到一侧，将常数项移动到另一侧，得到3x - 2x > 1 + 4；2. 未知数系数为正数，不需要改变不等号；3. 进行筛选，得到x > 5；4. 最后化简，得到解集{x | x > 5}。

三、绝对值不等式的解法对于含有绝对值的不等式，需要分情况进行讨论。

§7.3 基本不等式及其应用最新考纲 1.探索并了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)概念方法微思考1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示 不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值．2．函数y ＝x ＋1x的最小值是2吗？提示 不是．因为函数y ＝x ＋1x 的定义域是{x |x ≠0}，当x <0时，y <0，所以函数y ＝x ＋1x 无最小值．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f (x )＝cos x ＋4cos x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值等于4.( × ) (2)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( × )(3)(a ＋b )2≥4ab (a ，b ∈R )．( √ )(4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( × )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ ) 题组二 教材改编2．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82 答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.3．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ，面积为y m 2， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，其中0<x <10，∴y ＝x (10－x )≤⎣⎡⎦⎤x ＋(10－x )22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25. 题组三 易错自纠4．“x >0”是“x ＋1x ≥2成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2. 因为x ，1x 同号，所以若x ＋1x ≥2，则x >0，1x >0，所以“x >0”是“x ＋1x ≥2成立”的充要条件，故选C.5．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4 答案 C解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，故选C. 6．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 D解析 由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x ＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15⎝⎛⎭⎫3y ＋1x ＝15⎝⎛⎭⎫4＋9＋3y x ＋12x y ≥15(4＋9＋236)＝5， 当且仅当3y x ＝12xy ，即y ＝2x 时，“＝”成立，故4x ＋3y 的最小值为5.故选D.题型一 利用基本不等式求最值 命题点1 配凑法例1 (1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． 答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎡⎦⎤3x ＋(4－3x )22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．答案 23＋2解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立．命题点2 常数代换法例2 (2019·大连模拟)已知首项与公比相等的等比数列{a n }中，满足a m a 2n ＝a 24(m ，n ∈N *)，则2m ＋1n的最小值为( ) A ．1 B.32 C ．2 D.92答案 A解析 由题意可得，a 1＝q ，∵a m a 2n ＝a 24，∴a 1·q m －1·(a 1·q n －1)2＝(a 1·q 3)2，即q m ·q 2n ＝q 8， 即m ＋2n ＝8.∴2m ＋1n＝(m ＋2n )⎝⎛⎭⎫2m ＋1n ×18 ＝⎝⎛⎭⎫2＋m n ＋4n m ＋2×18≥()4＋24×18＝1. 当且仅当m ＝2n 时，即m ＝4，n ＝2时，等号成立． 命题点3 消元法例3 已知正实数a ，b 满足a 2－b ＋4≤0，则u ＝2a ＋3b a ＋b ( )A ．有最大值145B ．有最小值145C ．有最小值3D ．有最大值3答案 B解析 ∵a 2－b ＋4≤0，∴b ≥a 2＋4， ∴a ＋b ≥a 2＋a ＋4.又∵a ，b >0，∴a a ＋b ≤aa 2＋a ＋4，∴－a a ＋b ≥－a a 2＋a ＋4，∴u ＝2a ＋3b a ＋b ＝3－a a ＋b ≥3－a a 2＋a ＋4＝3－1a ＋4a＋1≥3－12a ·4a ＋1＝145， 当且仅当a ＝2，b ＝8时取等号．故选B.思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法．跟踪训练1 (1)(2019·四平质检)设x >0，y >0，若x lg 2，lg 2，y lg 2成等差数列，则1x ＋9y 的最小值为( )A ．8B ．9C ．12D ．16 答案 D解析 ∵x lg 2，lg 2，y lg 2成等差数列， ∴2lg 2＝(x ＋y )lg 2，∴x ＋y ＝1. ∴1x ＋9y＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ≥10＋2y x ·9xy＝10＋6＝16， 当且仅当x ＝14，y ＝34时取等号，故1x ＋9y的最小值为16.故选D. (2)若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1b ＋c 的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6 答案 B解析 ∵a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2， ∴a ＋b ＋c ＋1＝3， 且a ＋1>0，b ＋c >0.∴4a ＋1＋1b ＋c ＝13·(a ＋1＋b ＋c )·⎝⎛⎭⎫4a ＋1＋1b ＋c ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋4(b ＋c )a ＋1＋a ＋1b ＋c ≥13(5＋4)＝3.当且仅当a ＋1＝2(b ＋c )，即a ＝1，b ＋c ＝1时，等号成立．故选B. 题型二 基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4 (2018·重庆诊断)已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，过第一象限内圆O 外的点P (a ，b )作圆O 的两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，若PO →·P A →＝8，则a ＋b 的最大值为( ) A ．3 B ．3 2 C ．4 2 D ．6答案 B解析 根据题意，结合向量数量积的定义式， 可求得PO →·P A →＝|P A →|2＝8，所以可求得|PO |2＝9， 即a 2＋b 2＝9，结合基本不等式， 可得a ＋b ≤2(a 2＋b 2)＝32， 当且仅当a ＝b ＝322时取等号，故选B.命题点2 求参数值或取值范围例5 (2018·中山模拟)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案 B解析 已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值大于或等于9，∵1＋a ＋y x ＋axy ≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立， ∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4， 即正实数a 的最小值为4，故选B.思维升华 求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．跟踪训练2 (1)在△ABC 中，A ＝π6，△ABC 的面积为2，则2sin C sin C ＋2sin B ＋sin Bsin C 的最小值为( ) A.32B.334C.32D.53答案 C解析 由△ABC 的面积为2，所以S ＝12bc sin A ＝12bc sin π6＝2，得bc ＝8，在△ABC 中，由正弦定理得 2sin C sin C ＋2sin B ＋sin B sin C ＝2c c ＋2b ＋bc＝2cb b (c ＋2b )＋b 2bc＝168＋2b 2＋b 28＝84＋b 2＋b 2＋48－12≥284＋b2·b 2＋48－12＝2－12＝32， 当且仅当b ＝2，c ＝4时，等号成立，故选C.(2)已知函数f (x )＝ax 2＋bx (a >0，b >0)的图象在点(1，f (1))处的切线的斜率为2，则8a ＋bab的最小值是( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．3 2答案 B解析 由函数f (x )＝ax 2＋bx ，得f ′(x )＝2ax ＋b ， 由函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为2， 所以f ′(1)＝2a ＋b ＝2，所以8a ＋b ab ＝1a ＋8b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋8b (2a ＋b )＝12⎝⎛⎭⎫10＋b a ＋16a b ≥12⎝⎛⎭⎫10＋2b a ·16a b ＝12(10＋8)＝9，当且仅当b a ＝16a b ，即a ＝13，b ＝43时等号成立，所以8a ＋bab的最小值为9，故选B.利用基本不等式求解实际问题数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学的语言表达问题，用数学的方法构建模型解决问题．过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题．例 某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ⇒k ＝2， ∴x ＝3－2m ＋1，每万件产品的销售价格为1.5×8＋16xx (万元)，∴2019年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx －8－16x －m＝4＋8x －m ＝4＋8⎝⎛⎭⎫3－2m ＋1－m＝－⎣⎡⎦⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)．(2)∵m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．素养提升 利用基本不等式求解实际问题时根据实际问题抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．1．函数f (x )＝x 2＋4|x |的最小值为( )A ．3B ．4C ．6D ．8答案 B解析 f (x )＝x 2＋4|x |＝|x |＋4|x |≥24＝4，当且仅当x ＝±2时，等号成立，故选B.2．若x >0，y >0，则“x ＋2y ＝22xy ”的一个充分不必要条件是( ) A ．x ＝y B ．x ＝2y C ．x ＝2且y ＝1 D ．x ＝y 或y ＝1 答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥22xy ，当且仅当x ＝2y 时取等号．故“x ＝2且y ＝1 ”是“x ＋2y ＝22xy ”的充分不必要条件．故选C. 3．(2018·潍坊模拟)已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则4a ＋1b 的最小值为( )A.53 B ．3 C ．5 D ．9 答案 D解析 由题意知，正数a ，b 满足a ＋b ＝1， 则4a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫4a ＋1b (a ＋b ) ＝4＋1＋4b a ＋ab≥5＋24b a ·ab＝9， 当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝23，b ＝13时等号成立，所以4a ＋1b的最小值为9，故选D.4．若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( ) A ．8B ．6C ．4D ．2答案 C解析 由lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，得lg(ab )＝lg(a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有1a ＋1b ＝1，所以a ＋b＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4，故选C.5．已知函数f (x )＝e x 在点(0，f (0))处的切线为l ，动点(a ，b )在直线l 上，则2a ＋2－b的最小值是( ) A ．4 B ．2 C ．2 2 D. 2答案 D解析 由题意得f ′(x )＝e x ，f (0)＝e 0＝1，k ＝f ′(0)＝e 0＝1.所以切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0，∴a －b ＋1＝0，∴a －b ＝－1，∴2a ＋2－b ≥22a ·2－b ＝22a －b ＝22－1＝ 2⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝－12，b ＝12时取等号，故选D.6.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0) C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 答案 D解析 由AC ＝a ，BC ＝b ，可得圆O 的半径r ＝a ＋b2，又OC ＝OB －BC ＝a ＋b 2－b ＝a －b2，则FC 2＝OC 2＋OF 2＝(a －b )24＋(a ＋b )24＝a 2＋b 22，再根据题图知FO ≤FC ，即a ＋b 2≤ a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时取等号．故选D. 7．设x ，y 均为正数，且xy ＋x －y －10＝0，则x ＋y 的最小值是________．答案 6解析 由xy ＋x －y －10＝0，得x ＝y ＋10y ＋1＝9y ＋1＋1， ∴x ＋y ＝9y ＋1＋1＋y ≥29y ＋1·(1＋y )＝6， 当且仅当9y ＋1＝1＋y ，即y ＝2时，等号成立． 8．(2019·吉林梅河口二中模拟)设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 7－S 5＝3(a 4＋a 5)，则4a 3＋9a 7的最小值为________． 答案 4解析 设正项等比数列{a n }的公比为q (q >0)，∵S 7－S 5＝a 7＋a 6＝3(a 4＋a 5)，∴a 7＋a 6a 5＋a 4＝q 2＝3. ∴4a 3＋9a 7＝4a 3＋9a 3q 4＝4a 3＋1a 3≥24a 3·1a 3＝4， 当且仅当4a 3＝1a 3，即a 3＝12时等号成立． ∴4a 3＋9a 7的最小值为4. 9．(2018·肇庆模拟)已知△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，且△ABC 的面积为334，则a 的最小值为________． 答案 3解析 由题意得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴2bc cos A ＝bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3. ∵△ABC 的面积为334， ∴12bc sin A ＝343，∴bc ＝3. ∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴a 2≥2bc －bc ＝bc ＝3(当且仅当b ＝c 时，等号成立)，∴a ≥ 3.10．已知a ，b 为正实数，且(a －b )2＝4(ab )3，则1a ＋1b的最小值为________． 答案 2 2解析 由题意得(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ，代入已知得(a ＋b )2＝4(ab )3＋4ab ，两边同除以(ab )2得⎝⎛⎭⎫a ＋b ab 2＝4(ab )3a 2b 2＋4ab a 2b 2 ＝4⎝⎛⎭⎫ab ＋1ab ≥4·2ab ·1ab＝8， 当且仅当ab ＝1时取等号．所以1a ＋1b≥22， 即1a ＋1b的最小值为2 2. 11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y的最小值． 解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2， 此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2x y时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 12.某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2.(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 的值最大，则x ，y 的值各为多少？解 (1)由题意可得xy ＝1 800，b ＝2a ，则y ＝a ＋b ＋3＝3a ＋3，所以S ＝(x －2)a ＋(x －3)b ＝(3x －8)a＝(3x －8)y －33＝1 808－3x －83y (x >3，y >3)． (2)方法一 S ＝1 808－3x －83×1 800x＝1 808－⎝⎛⎭⎫3x ＋4 800x ≤1 808－23x ×4 800x＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x ＝4 800x， 即x ＝40时等号成立，S 取得最大值，此时y ＝1 800x＝45， 所以当x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值．方法二 设S ＝f (x )＝1 808－⎝⎛⎭⎫3x ＋4 800x (x >3)， 则f ′(x )＝4 800x 2－3＝3(40－x )(40＋x )x 2， 令f ′(x )＝0，则x ＝40，当0<x <40时，f ′(x )>0；当x >40时，f ′(x )<0.所以当x ＝40时，S 取得最大值，此时y ＝45.13．(2018·郑州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a －c b ＝cos C cos B，b ＝4，则△ABC 面积的最大值为( )A ．4 3B ．2 3C ．3 3 D. 3答案 A解析 ∵2a －c b ＝cos C cos B， ∴(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin C cos B ＋sin B cos C＝sin(B ＋C )＝sin A .又sin A ≠0，∴cos B ＝12. ∵0<B <π，∴B ＝π3. 由余弦定理得b 2＝16＝a 2＋c 2－2ac cos π3＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，∴ac ≤16，当且仅当a ＝c 时等号成立．∴S △ABC ＝12ac sin π3≤12×16×32＝4 3. 故△ABC 面积的最大值为4 3.故选A.14．如图，在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD →＋AE → ＝xAB →＋yAC →，则1x ＋4y 的最小值为( )A ．32B ．2C ．52D ．92答案 D解析 设AD →＝mAB →＋nAC →，AE →＝λAB →＋μAC →，∵B ，D ，E ，C 共线，∴m ＋n ＝1，λ＋μ＝1，∵AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →＝()m ＋λAB →＋()n ＋μAC →，则x ＋y ＝m ＋n ＋λ＋μ＝2，∴1x ＋4y ＝12⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ()x ＋y ＝12⎝⎛⎭⎫5＋y x ＋4x y ≥12⎝⎛⎭⎫5＋2y x ·4x y ＝92，当且仅当x ＝23，y ＝43时，等号成立． 故1x ＋4y 的最小值为92，故选D.15．设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q ＝a p ·a q ，则f (n )＝S n －1·(S n －1＋2)＋256a n的最小值为_______． 答案 30解析 当q ＝1时，a p ＋1＝a p ·a 1＝2a p ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n ＝2n ，S n ＝2(2n －1)2－1＝2n ＋1－2， ∴S n －1＝2n －2，S n －1·(S n －1＋2)＝(2n －2)·2n ，∴f (n )＝(2n －2)2n ＋2562n ＝2n －2＋2562n ≥2256－2＝30，当且仅当2n ＝16，即n ＝4时，等号成立，f (n )min ＝30.16．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，侧面BCC 1B 1的面积为46， 求该正三棱柱外接球表面积的最小值．解 设BC ＝a ，CC 1＝b ，则ab ＝46，底面三角形外接圆的半径为r ，则a sin 60°＝2r ，∴r ＝33a . 所以R 2＝⎝⎛⎭⎫b 22＋⎝⎛⎭⎫33a 2＝b 24＋a 23≥2 b 24·a 23＝29612＝42， 当且仅当a ＝32b 时，等号成立． 所以该正三棱柱外接球表面积的最小值为4π×42＝162π.。

不等式的解法一. 知识点的重点与难点：1. 一元一次不等式解法：形如0>+b ax 的解法（1）0>a ，解为ab x ->（2）0<a ，解为abx -<（3）0=a ⎩⎨⎧≤>φ的解为的解为0R 0b b2. 一元二次不等式解法（关于“三个二次”的关系）：02>++c bx ax （0≠a ）0>a ，ac b 42-=∆0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2的图象一元二次方程 02=++c bx ax 的根有两实根 21x x x x ==或 有两个相等的实根ab x x x 221-=== 无实根一 式 元 的 二 解 次 集 不 等不等式02>++c bx ax 的解集}|{21x x x x x ><或}|{1x x x ≠R不等式02<++c bx ax 的解集}|{21x x x x <<Φ Φ3. 分式不等式的解法（通分，同解变形转化为整式不等式）：对于解a x g x f a x g x f ≥<)(')()()('''或型不等式，应先移项、通分，将不等式整理成)0(0)()(<>x g x f 或)0(0)()(≤≥x g x f 的形式，再转化为整式不等式求解。

（1）0)()(0)()(>•⇔>x g x f x g x f （2）0)()(0)()(<•⇔<x g x f x g x f （3） （4）分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。

解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

如（1）解不等式25123xx x -<---（答：(1,1)(2,3)-U ）；（2）关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等⇔≥0)()(x g x f 0)()(≥•x g x f 0)(≠x g ⇔≤0)()(x g x f0)()(≤•x g x f 0)(≠x g使满足关于x 的不等式0922<+-a x x （解集非空）的每一个x 的值至少满足不等式08603422<+-<+-x x x x 和中的一个，则实数a 的取值范围是______.（答：81[7,)8）5. 绝对值不等式的解法：（1）)0(|)(|>>a a x f a x f >⇔)(或a x f -<)(（2）)0(|)(|><a a x f ⎩⎨⎧-><⇔a x f a x f )()( （3）⇔>⇔>)()(|)(||)(|22x g x f x g x f 0)]()([)]()([>+⋅-x g x f x g x f（4）⇔>)(|)(|x g x f )()(x g x f >或)()(x g x f -< （5）⇔<)(|)(|x g x f )()()(x g x f x g <<- 绝对值不等式的解法：（1）分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|21|2|432|+-≥-x x （答：x R ∈）；（2）利用绝对值的定义；（3）数形结合；如解不等式|||1|3x x +->（答：(,1)(2,)-∞-+∞U ）（4）两边平方：如若不等式|32||2|x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为______。

课题：7.3 一元一次不等式组（2）第二课时 不等式组的解法主备人：王刚喜 审核人： 杨明 使用时间：2011年3月 日年级 班 姓名：学习目标：1、强化对一元一次不等式组概念的理解2、继续学习由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解法，能借助数轴正确的表示一元一次不等式组的解集。

3、通过探讨一元一次不等式组的解法以及解集的确定，渗透转化思想，进一步感受数形结合在解决问题中的作用。

学习重点：灵活解一元一次不等式组的解法 学习难点：熟练地判断一元一次不等式的解集 一、学前准备【回顾】1.判断不等式组解集的口诀：2．解不等式组：⎩⎨⎧≤--<+13112x x ⎩⎨⎧->+->+.1223,421x x x x【预习】1. 认真看书第36页，例2 ⎪⎩⎪⎨⎧+>--<-2133124725x x x x二、探究活动【类比解析】仿照例2解下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧-<++≥-21327715x x x x【典例精析】例1.求不等式组⎩⎨⎧->+++>-252)2(3123x x x x 的正整数解例2.若关于x 的不等式组⎩⎨⎧>-<-3212b x a x 的解集是11<<-x ，求（a+1）(b+1)的值。

【课堂检测】 1．解下列不等式组(1)⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+2123932x x（2） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≥->+013145023xx x2.已知代数式213-m 的值在-1和2之间，求整数m 的值。

【小结步骤】※ 解一元一次不等式组“三步走”：① ② ③三、自我测试1．不等式组⎩⎨⎧<--<-02)2(332x x x 的解集是2．不等式组⎩⎨⎧≥+->=053032x x 的整数解有 个，分别是 。

3．解下列不等式组，并把解集表示在数轴上。

（1）⎪⎩⎪⎨⎧-≥--+>-x x x x 237127)1(325 (2)⎪⎩⎪⎨⎧--<-+≤-3314)3(265x xx x四、应用与拓展1.解不等式（x-1）(x-2)<0。

不等式的解法及知识点
不等式解法有哪些？对此想了解不等式的朋友可以来看看，下⾯由店铺⼩编为你准备了“不等式的解法及知识点”，仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的内容资讯！
不等式的解法及知识点
不等式的解法
不等式的解法：1、找出未知数的项、常数项，该化简的化简。

2、未知数的项放不等号左边，常数项移到右边。

3、不等号两边进⾏加减乘除运算。

4、不等号两边同除未知数的系数，注意符号的改变。

不等式知识点
拓展阅读：不等式的基本性质
1.如果x>y，那么y<X;如果Yy;(对称性)
2.如果x>y，y>z;那么x>z;(传递性)
3.如果x>y，⽽z为任意实数或整式，那么x+z>y+z,即不等式两边同时加或减去同⼀个整式，不等号⽅向不变;
4.如果x>y，z>0，那么xz>yz ,即不等式两边同时乘以(或除以)同⼀个⼤于0的整式，不等号⽅向不变;
5.如果x>y，z<0，那么xz<YZ, p 即不等式两边同时乘以(或除以)同⼀个⼩于0的整式，不等号⽅向改变;
6.如果x>y，m>n，那么x+m>y+n;
7.如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn;
8.如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数)，x的n次幂<Y的N次幂(N为负数)。

1.“三个二次”的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根有两个相异实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集{x|x<x1或x>x2} {x|x≠－b2a}{x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1< x<x2} ∅∅2.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法不等式解集a<b a＝b a>b(x－a)·(x－b)>0 {x|x<a或x>b} {x|x≠a} {x|x<b或x>a}(x－a)·(x－b)<0{x|a<x<b}∅{x|b<x<a}口诀：大于取两边，小于取中间.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(√)(2)不等式x －2x ＋1≤0的解集是[－1,2].( × )(3)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ ) (4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (5)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × )1.(教材改编)不等式x 2－3x －10>0的解集是( ) A.(－2,5) B.(5，＋∞)C.(－∞，－2)D.(－∞，－2)∪(5，＋∞)答案 D解析 解方程x 2－3x －10＝0得x 1＝－2，x 2＝5，由y ＝x 2－3x －10的开口向上，所以x 2－3x －10>0的解集为(－∞，－2)∪(5，＋∞). 2.设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N 等于( ) A.(0,4] B.[0,4) C.[－1,0) D.(－1,0] 答案 B解析 ∵M ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1<x <4}， ∴M ∩N ＝[0,4).3.已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( ) A.(2,3) B.(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫13，12 D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案 A解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a ，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a.解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a <0即为x 2－5x ＋6<0，解集为(2,3).4.(教材改编)若关于x 的不等式m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，则实数m 的值为________. 答案 2解析 因为m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}. 所以1,2一定是m (x －1)＝x 2－x 的解，∴m ＝2.5.(教材改编)若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值范围为________. 答案 (－1,1)解析 由题意可知，Δ>0且x 1x 2＝a 2－1<0，故－1<a <1.题型一 一元二次不等式的求解 命题点1 不含参的不等式例1 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集. 解 化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0， 解方程2x 2－x －3＝0得x 1＝－1，x 2＝32，∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞)，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞).命题点2 含参的不等式例2 解关于x 的不等式：x 2－(a ＋1)x ＋a <0. 解 由x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0得(x －a )(x －1)＝0， ∴x 1＝a ，x 2＝1，①当a >1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |1<x <a }， ②当a ＝1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为∅， ③当a <1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |a <x <1}. 引申探究将原不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，求该不等式的解集. 解 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a )(x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a <x <1；③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1a .综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1a或x >1}；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x |1a <x <1}.思维升华 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论.(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集.解 ∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0， 即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 得：x 1＝－a 4，x 2＝a3.①a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； ③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4.综上所述，当a ＞0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4.题型二 一元二次不等式恒成立问题 命题点1 在R 上恒成立例3 (1)若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A.(－3,0]B.[－3,0)C.[－3,0]D.(－3,0)(2)设a 为常数，∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则a 的取值范围是( ) A.(0,4) B.[0,4) C.(0，＋∞) D.(－∞，4)答案 (1)D (2)B解析 (1)2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2k <0，Δ＝k 2－4×2k ×(－38)<0，解之得－3<k <0. (2)∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0或a ＝0，∴0≤a <4.命题点2 在给定区间上恒成立例4 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围.解 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即 m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立. 有以下两种方法：方法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]. 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0. 综上所述：m 的取值范围是{m |m <67}.方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可. 所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m <67.命题点3 给定参数范围的恒成立问题例5 对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是________. 答案 {x |x <1或x >3}解析 x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立， 即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0， 在k ∈[－1,1]时恒成立.只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解之得x <1或x >3.思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.(1)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A.[－1,4]B.(－∞，－2]∪[5，＋∞)C.(－∞，－1]∪[4，＋∞)D.[－2,5](2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________. 答案 (1)A (2)(－22，0) 解析 (1)x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4， 所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立， 只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.(2)作出二次函数f (x )的草图，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0. 题型三 一元二次不等式的应用例6 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围. 解 (1)由题意得，y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为[0,2]. (2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260， 化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.思维升华 求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系.(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型. (3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义. (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 解 (1)y ＝[(1＋0.75x )×12－(1＋x )×10]×(1＋0.6x )×10 000 ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000，即y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0<x <1). (2)上年利润为(12－10)×10 000＝20 000. ∴y －20 000>0，即－6 000x 2＋2 000x >0， ∴0<x <13，即x 的范围为(0，13).13.转化与化归思想在不等式中的应用典例 (1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________.(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________.思维点拨 (1)考虑“三个二次”间的关系； (2)将恒成立问题转化为最值问题求解. 解析 (1)由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)， ∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22. 又∵f (x )<c ，∴⎝⎛⎭⎫x ＋a22<c ， 即－a 2－c <x <－a2＋c .∴⎩⎨⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.(2)∵x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋ax >0恒成立，即x 2＋2x ＋a >0恒成立.即当x ≥1时，a >－(x 2＋2x )＝g (x )恒成立.而g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )max ＝g (1)＝－3，故a >－3. ∴实数a 的取值范围是{a |a >－3}. 答案 (1)9 (2){a |a >－3}温馨提醒 (1)本题的解法充分体现了转化与化归思想：函数的值域和不等式的解集转化为a ，b 满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题. (2)注意函数f (x )的值域为[0，＋∞)与f (x )≥0的区别.[方法与技巧]1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a <0的情形转化为a >0时的情形.2.f (x )>0的解集即为函数y ＝f (x )的图象在x 轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想.3.简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解. [失误与防范]1.对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形.2.当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0 (a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.3.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.A 组 专项基础训练 (时间：30分钟)1.不等式(x －1)(2－x )≥0的解集为( ) A.{x |1≤x ≤2} B.{x |x ≤1或x ≥2} C.{x |1<x <2} D.{x |x <1或x >2}答案 A解析 由(x －1)(2－x )≥0可知(x －2)(x －1)≤0， 所以不等式的解集为{x |1≤x ≤2}.2.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ≤0，－x ＋2， x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A.[－1,1]B.[－2,2]C.[－2,1]D.[－1,2]答案 A解析 方法一 当x ≤0时，x ＋2≥x 2， ∴－1≤x ≤0；①当x >0时，－x ＋2≥x 2，∴0<x ≤1.② 由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}.方法二 作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图象，如图，由图知f (x )≥x 2的解集为[－1,1].3.若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A.{a |0<a <4} B.{a |0≤a <4} C.{a |0<a ≤4} D.{a |0≤a ≤4}答案 D解析 由题意知a ＝0时，满足条件.a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0， 得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.4.已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集是B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A.－3B.1C.－1D.3 答案 A解析 由题意，A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}， 则不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |－1<x <2}. 由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2， 所以a ＋b ＝－3，故选A.5.设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c 等于( ) A.1∶2∶3 B.2∶1∶3 C.3∶1∶2 D.3∶2∶1答案 B解析 ∵－c <ax ＋b <c ，又a >0， ∴－b ＋c a <x <c －b a.∵不等式的解集为{x |－2<x <1}， ∴⎩⎨⎧ －b ＋ca＝－2，c －ba ＝1，∴⎩⎨⎧b ＝a 2，c ＝32a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a2＝2∶1∶3.6.若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是( ) A.(－2,2]B.(－2,2)C.(－∞，－2)∪[2，＋∞)D.(－∞，2]答案 A解析 原不等式等价于(m －2)x 2＋2(m －2)x －4<0， ①当m ＝2时，对任意x 不等式都成立； ②当m －2<0时，Δ＝4(m －2)2＋16(m －2)<0， ∴－2<m <2，综合①②，得m ∈(－2,2].7.若0<a <1，则不等式(a －x )(x －1a )>0的解集是________________.答案 {x |a <x <1a}解析 原不等式即(x －a )(x －1a )<0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a.8.若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－12<x <13}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为________.答案 {x |－2<x <3}解析 由题意，知－12和13是一元二次方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根且a <0，所以⎩⎨⎧－12＋13＝－b a，－12×13＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2.则不等式2x 2＋bx ＋a <0，即2x 2－2x －12<0， 其解集为{x |－2<x <3}.9.设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是________.答案 (－1，23)解析 ∵f (x ＋3)＝f (x )，∴f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝－f (1)<－1. ∴2a －3a ＋1<－1⇔3a －2a ＋1<0⇔(3a －2)(a ＋1)<0， ∴－1<a <23.10.设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n ).(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集；(2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小. 解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n ).当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}.(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a >0，且0<x <m <n <1a， ∴x －m <0,1－an ＋ax >0.∴f (x )－m <0，即f (x )<m .B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11.已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )<0的解集是( )A.(－∞，－32)∪(12，＋∞) B.(－32，12) C.(－∞，－12)∪(32，＋∞) D.(－12，32) 答案 A解析 f (x )＝0的两个解是x 1＝－1，x 2＝3且a <0，由f (－2x )<0得－2x >3或－2x <－1，∴x <－32或x >12. 12.已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)，设关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为A .若[－12，12]⊆A ，则实数a 的取值范围是( ) A.(1－52，0) B.(1－32，0) C.(1－52，0)∪(0，1＋32) D.(－∞，1－52) 答案 A解析 f (x )＝x (1＋a |x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋x ，x ≥0，－ax 2＋x ，x <0，若不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为A ，且⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A ，则在区间⎣⎡⎦⎤－12，12上，函数y ＝f (x ＋a )的图象应在函数y ＝f (x )的图象的下边.(1)当a ＝0时，显然不符合条件.(2)当a >0时，画出函数y ＝f (x )和y ＝f (x ＋a )的图象大致如图(1).由图(1)可知，当a >0时，y ＝f (x ＋a )的图象在y ＝f (x )图象的上边，故a >0不符合条件. (3)当a <0时，画出函数y ＝f (x )和y ＝f (x ＋a )的图象大致如图(2).由图可知，若f (x ＋a )<f (x )的解集为A ，且⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A ，只需f ⎝⎛⎭⎫－12＋a <f ⎝⎛⎭⎫－12即可， 则有－a ⎝⎛⎭⎫－12＋a 2＋⎝⎛⎭⎫－12＋a <－a ⎝⎛⎭⎫－122－12(a <0)， 整理得a 2－a －1<0，解得1－52<a <1＋52. 又∵a <0，∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0. 综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1－52，0. 13.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( )A.－1<b <0B.b >2C.b <－1或b >2D.不能确定答案 C解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则有a 2＝1，故a ＝2. 由f (x )的图象可知f (x )在[－1,1]上为增函数.∴x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，令b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2.14.已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是______________.答案 {x |－7<x <3}解析 令x <0，则－x >0，∵x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x 2＋4x ，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴x <0时，f (x )＝x 2＋4x ，故有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x ＜0.再求f (x )<5的解，由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x <5，得0≤x ＜5；由⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x 2＋4x <5，得－5<x <0，即f (x )<5的解集为(－5,5).由于f (x )向左平移两个单位即得f (x ＋2)，故f (x ＋2)<5的解集为{x |－7<x <3}.15.已知函数f (x )＝x ＋b 1＋x 2为奇函数. (1)证明：函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数；(2)解关于x 的不等式f (1＋2x 2)＋f (－x 2＋2x －4)>0.(1)证明 ∵函数f (x )＝x ＋b 1＋x 2为定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，即b ＝0，∴f (x )＝x x 2＋1(经检验满足题意)， ∴f ′(x )＝(x 2＋1)－x ·2x (x 2＋1)2＝1－x 2(x 2＋1)2. 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数.(2)解 由f (1＋2x 2)＋f (－x 2＋2x －4)>0，得f (1＋2x 2)>－f (－x 2＋2x －4).∵f (x )是奇函数，∴f (1＋2x 2)>f (x 2－2x ＋4).又∵1＋2x 2>1，x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3>1，且f (x )在(1，＋∞)上为减函数，∴1＋2x 2<x 2－2x ＋4，即x 2＋2x －3<0，解得－3<x <1.∴不等式f (1＋2x 2)＋f (－x 2＋2x －4)>0的解集为{x |－3<x <1}.。

不等式的解法过程解不等式的过程分为两步，一是将不等式进行变形，二是根据变形后的不等式求解。

在解不等式的过程中要注意两点：一是变换不等式的过程中要保持不等式的等价性，即等号两边同时进行的操作要保持等号的方向一致；二是在求解的过程中要确定不等式的解集。

下面以代数不等式为例，介绍解不等式的过程。

第一步：将不等式进行变形在变形的过程中，可以利用加减法原则、乘除法原则、开方原则等。

首先，需要将不等式的两边集中项放在一起，将所有的常数项移到等式的一边，将其他变量移到等式的另一边，使得不等式变形为一个以未知数为边界的等式。

例1：解不等式3x+5<7-2x首先将所有的常数项移到等式的一边，将其他变量移到等式的另一边，得到：3x+2x<7-5将同类项合并，得到：5x<2最后将不等式中的除法进行移项，得到：x<2/5例2：解不等式3(x+1)-2(x-1)<4x+1首先将等式中的同类项合并，得到：3x+3-2x+2<4x+1继续合并同类项，得到：x+5<4x+1将变量移到等式的一边，常数项移到等式的另一边，得到：x-4x<1-5合并同类项，得到：-3x<-4将不等式中的除法进行移项，得到：x>4/3第二步：求解不等式的解集在本步骤中，需要根据第一步变形后的等式确定不等式的解集。

对于一元一次不等式，解集可以用图形表示出来，也可以用数轴表示出来。

例3：求解不等式2x-3>5首先将等式中的同类项合并，得到：2x-3-5>0继续合并同类项，得到：2x-8>0将不等式2x-8=0表示成等式，即x=4，将x=4作为不等式的特解点。

将数轴分成三个区间：(-∞，4)，(4,+∞)，区间内的数满足不等式，区间外的数不满足不等式。

取每个区间的一个数进行测试，例如取x=0，代入不等式得到2(0)-8>0，显然满足。

所以，解集为(4,+∞)。

例4：求解不等式(x-3)/(x+2)>0首先将等式中的分式变为等式，得到：(x-3)/(x+2)=0求出等式的特解点x=-2,x=3.将数轴分成四个区间：(-∞，-2)，(-2，3)，(3,+∞)。

常见不等式的解法(教师版)一、一元一次不等式 解下列关于x 的不等式1、2x+3>52、-2x+5<63、ax>14、不等式3(x +1)≥5x -9的正整数解是_________5、已知关于x 的不等式(3a -2)x +2<3的解集是41->x ,则a =______.二、一元二次不等式1、22x ≥ 2、2(1)2x -< 3、x 2+x -2≤4 4、若0＜a ＜1，则不等式(x -a )(x -a 1)＜0的解是______.a ＜x ＜a 15、已知不等式022>++bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x ，则b a +的值为______.-146、不等式2x 2-3|x |-35>0的解为______..x <-5或x >57、方程实数根，有两个不相等的 0122=+++m x m mx )(则实数m 的取值范围是______.041≠->m m 且8、不等式02≤++n mx x 的解集是{}32≤≤-x x |，则m = __，n = __.-1;-69、函数的定义域为22--=x x x f )(______________{2≥x x 或}1-≤x10、对于任意实数x ，一元二次不等式(2m -1)x 2+(m +1)x +(m -4)＞0恒成立，则实数m 的取值范围是______. m ＞511、函数()f x =R ，则a 的取值范围是_________ 【0,8】1）标准化：移项通分化为()()f xg x>(或()()f xg x<)；()()f xg x≥(或()()f xg x≤)的形式，2）转化为整式不等式（组）()()0 ()()0()()00()0 ()()f xg xf x f xf xg xg xg x g x≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩；1. 不等式22231372x xx x++>-+的解集是 2. 不等式3113xx+>--的解集是3. 不等式2223712x xx x+-≥--的解集是 4. 不等式1111x xx x-+<+-的解集是5. 不等式229152x xx--<+的解集是 6. 不等式2232712x xx x-+>-+的解集是7. 不等式2121x xx+≤+的解集是 8. 不等式2112xx->-+的解集是9. 不等式23234xx-≤-的解集是 10. 不等式2212(1)(1)xx x-<+-的解集是答案1. 2. (-2，3)3. 4.5. 6. 7. 8. (1，2)9. 10.无理不等式一般是指在根号下含有未知数的不等式，今天我们主要研究在二次根号下含有未知数的简单的无理不等式的解法。