省级高中数学优质课：一元二次不等式及其解法 导学案

一元二次不等式及其解法考纲要求1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3.会解一元二次不等式.考情分析1.一元二次不等式的解法及三个二次间关系问题是命题热点．2.考查题型多为客观题，有时会在解答中出现交汇命题，着重考查二次不等式的解法，属中、低档题.教学过程基础梳理一元二次不等式的解集若a <0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．双基自测1．(教材习题改编)不等式x 2－3x ＋2<0的解集为 ( )A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)B ．(－2，－1)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(1,2)2．设二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <13，则ab 的值为( )A ．－3B ．－5C ．6D ．5 3．(2011·福建高考)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 4．若a <0，则关于x 的不等式x2－4ax －5a2>0的解是____________．5．(教材习题改编)不等式x 2－2x ＋a >0对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．解一元二次不等式应注意的问题：(1)在解一元二次不等式时，要先把二次项系数化为正数；(2)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数为零的情况． (3)一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号；(4)一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标相同．典例分析考点一、一元二次不等式的解法[例1] (2011·江西高考)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)在本例中，若f (x )变为：f (x )＝x 2－2x ＋ln(x ＋1)，则f ′(x )>0的解集________．[冲关锦囊]1．解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)，ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)； (2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏.考点二、一元二次不等式恒成立问题[例2] (2012·湖州模拟)若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0,2]恒成立，则a 的取值范围为 ( ) A ．(－∞，23] B ．[23，＋∞) C ．(－∞，23]∪[23，＋∞) D ．[23，23] [巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1.．(2012·南宁模拟)在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则 ( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <2C ．－21<a <23D ．－23<a <212．(2012·九江模拟)若关于x 的不等式x 2－ax －a >0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a 的取值范围是________；若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________________．[冲关锦囊]1．对于二次不等式恒成立问题．恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方．恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方． 2．解决恒成立问题还可以利用分离参数法.考点三、一元二次不等式的应用[例3 ]。

§3.2 一元二次不等式及其解法 学习目标1. 正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程解一元二次不等式；3. 掌握一元二次不等式的解法。

学习过程一、课前预习1、阅读教材7679~P P ，回答下列问题（1）什么叫一元二次不等式？（2）一元二次不等式250x x -≤所对应的一元二次方程250x x -=与所对应的一元二次函数25y x x =-零点的关系怎样？（3）你能从一元二次函数25y x x =-的图象中看出不等式250x x -≤的解吗？（4）不等式250x x -+≥与不等式250x x -≤解集相同吗？（5）书本上讨论一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<时，为什么只讨论0a >情况？0a <的情况不要求掌握吗？（6）解一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<（0a >）的方法和步骤是什么？（7）一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<（0a <）能化归到（6）求解吗？（8）完成课本77页底部的表格 二、例题 例1 求不等式0232>+-x x 的解集.类推：不等式0)4)(3(>--x x 的解集为 . 不等式0)6)(5(>+-x x 的解集为 .不等式0))((21>--x x x x 的解集为 （其中12x x <）.例2 求不等式2320x x -+<的解集.类推：不等式(3)(4)0x x --<的解集为 .不等式(5)(6)0x x -+<的解集为 .不等式12()()0x x x x --<的解集为 （其中12x x <）.例3 求不等式2320x x -+-≤的解集.例4 求不等式0122>+-x x 的解集.类推：不等式0)3(2>-x 的解集为 .不等式2(6)0x +≥的解集为 .不等式2(6)0x +<的解集为 .不等式2(3)0x -≤的解集为 .不等式0)(21>-x x 的解集为 .例5 求不等式2230x x -+->小结：1、解一元二次不等式的步骤：（1）将原不等式化为一般式.（2）判断∆的符号.（3）求方程c bx ax ++2=0的根.（4）画出与不等式对应的函数c bx ax y ++=2的图象；（5）根据图象写出不等式的解集.※ 动手试试解下列关于x 的不等式：（1）0322>-+x x （2）0)12)(13(≤-+x x（3）012≥+-x x （4）0122<++x x（5）0))(1(2>-+a x x （6）172153-+≥--x x x x§3.2 一元二次不等式及其解法(解析版)§3.2 一元二次不等式及其解法（1） 学习目标1. 正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程解一元二次不等式；3. 掌握一元二次不等式的解法。

课题：3.2一元二次不等式及其解法(2)班级： 组名： 姓名： 设计人：赵帅军 审核人：魏帅举 领导审批：一．：自主学习，明确目标 1．知识与技能：巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法；2．过程与方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；教学重点：熟练掌握一元二次不等式的解法教学难点：理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系教学方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；二．研讨互动，问题生成1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系2．一元二次不等式的解法步骤——课本第77页的表格三．合作探究，问题解决例1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关系：21120180s x x =+在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m ，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h ）例2、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （辆）与创造的价值y （元）之间有如下的关系：22220y x x =-+若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？改：设2280x x a -+-≤对于一切(1,3)x ∈都成立，求a 的范围.改：若方程2280x x a -+-=有两个实根12,x x ，且13x ≥，21x ≤，求a 的范围.1、已知二次不等式20ax bx c ++<的解集为1132{|}x x x <>或，求关于x 的不等式20cx bx a -+>的解集.2、若关于m 的不等式2(21)10mx m x m -++-≥的解集为空集，求m 的取值范围.改1：解集非空改2：解集为一切实数自我评价同伴评价 小组长评价。

x §3.2 《一元二次不等式及其解法》导学案【学习目标】1.了解一元二次不等式及其解。

2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。

3.能在具体的问题情境中，抽象出一元二次不等式模型。

【重点】一元二次不等式的解法。

【难点】一元二次不等式与相应函数、方程的联系。

一.复习回顾一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的情况：（用判别式=∆ 判别） 当0>∆，则 ；当0=∆，则 ；当0<∆，则 ； 思考：求一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的方法有哪些？二、一元二次不等式的概念1、情景引入：一水产养殖户想挖一周长为100米的矩形水池搞养殖，要求水池面积不小于600平方米，假设水池一边长为 x 米，则x 应满足什么关系？解：依题意可得，需满足化简得2、定义：只含有 未知数，并且未知数的 是 的 ，称为一元二次不等式。

一元二次不等式（a ≠0）的一般形式有：ax 2 + bx + c > 0、 ___________________、___________________、___________________3、一元二次不等式的解集：使一元二次不等式成立的未知数的取值范围（结果用集合或区间表示）三、一元二次不等式的解法1、225050x x x x -≥-≤探究一元二次不等式、的解集2、根据上述方法，请将下表填充完整：二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系四、自学例题：课本P78 例1、例2尝试解答：解下列不等式（1）0322>+-x x ； （2）0562≥-+-x x ；总结：解一元二次不等式的一般步骤是:这个可以课堂上解决，或者写解一元二次不等式的方法总结：求根，因式分解五、课堂练习：解下列不等式：这些不用打在学案上222+-≤-+>-+-> x x x x x x(1)410(2)4410(3)230六、知识迁移：求下列函数的定义域2 ==--y y x x (1)(2)lg(6)。

《一元二次不等式及其解法》导学案问题1.方程250x x -=的根情况如何？问题2. 二次函数25y x x =-的图象开口方向、与x 轴的交点坐标分别是什么？并作出它的草图.（1）开口方向： ；（2）与x 轴的交点坐标： ； 问题3. 根据草图填空： （1）当x = 或 时，0y =，即250x x -=； （2）当x ∈ 时，函数的图象位于x 轴的下方，则y 0，即25x x - 0；（填≥、>、≤或<）.所以不等式250x x -<的解集是 ；（3）当x ∈ 时，函数的图象位于x 轴的上方，则y 0，即25x x - 0；（填≥、>、≤或<）. 所以不等式250x x ->的解集是 ；问题4：如何获得不等式2560x x -+≥的解集呢？问题5：如何将上述方法推广到求解一般的一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<(0)a >的解集呢？关键要考虑哪些方面？规律：有根大于取两边，有根小于取中间；无根大于全实数，无根小于是空集。

六、知识运用1、求不等式2610x x --≤的解集.2：求不等式2340x x -++≥ 的解集课堂练习：求下列不等式的解集：（1）24410x x -+> （2）2230x x -+-> （3）29x ≥（4）23710x x -≤ （5）2961x x -≥+ （6）(9)0x x ->（7）2632>+-x x （8）2|2|2<-x 3、 (9)1()()0a x x a-->问题7：（1）利用二次函数的图象解一元二次不等式的步骤是什么？（2）二次函数、一元二次方程与一元二次不等式之间有什么关系？知识点二、三个“二次”之间的关系例1、若不等式的值。

求的解为b a x bx ax ,,21022<<<+-不等式22ax bx ++>的解集是 ，则a b +的值是_________例2、关于x 的函数)1()1(2-+-+=m x m mx y 的值恒为负，求m 的取值范围. 例3、二次不等式02<++c bx ax 的解集是全体实数的条件是（ ） A 、B 、⎩⎨⎧>∆>00a B 、⎩⎨⎧<∆>00a C 、⎩⎨⎧>∆<00a D 、⎩⎨⎧<∆<00a同步练习：1、不等式2654x x +<的解集为（ ）3、若不等式210x mx ++>的解集为R ，则m 的取值范围是（ ）4、设一元二次不等式210ax bx ++>的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则ab 的值是（ ）A ．6-B ．5-C ．6D ．55、不等式()221200x ax a a --<<的解集是（ ）8、不等式()()120x x --≥的解集是（ ） 9、不等式()20ax bx c a ++<≠的无解，那么（ ）11、若01a <<，则不等式()10a x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解是（ ） A ．1a x a<< B ．1x a a<<C ．x a <或1x a> D ．1x a<或x a >12、不等式()130x x ->的解集是（ ）13、二次函数()2y ax bx c x R =++∈的部分对应值如下表：则不等式20ax bx c ++>的解集是____________________________．14、若0a b >>，则()()0a bx ax b --≤的解集是_____________________________． 15、不等式20ax bx c ++>的解集为{}23x x <<，则不等式20ax bx c -+>的解是___． 16、不等式2230x x -->的解是___________________________． 17、不等式2560x x -++≥的解是______________________________． 18、()21680k x x --+<的解集是425x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则k =_________． 19、已知不等式20x px q ++<的解集是{}32x x -<<，则p q +=________． 20、不等式30x x +≥的解集为____________________． 21、求下列不等式的解集：⑴ ()()410x x +--<； ⑵ 232x x -+>； ⑶ 24410x x -+>．。

课题：一元二次不等式的解法班级： 组 姓名 教师评价: 编制人： 审核人：【学习目标】1、 理解一元二次不等式的概念.2、 掌握一元二次不等式解法的一般步骤.3、 合作学习体验成功.重点：熟练掌握一元二次不等式的解法。

难点：一元二次不等式解集的理解。

【预习案】【使用说明与学法指导】1.通读教材，完成预习案，重点理解一元二次不等式解法的一般步骤.2.将预习中不能解决的问题提出来，并写到后面“我的疑惑处”。

一、相关知识：1、 一元二次不等式的概念.2、解一元二次不等式的一般步骤.二、教材助读：1、一元二次不等式的定义：含有_______个未知数，并且未知数的最高次数是________次的不等式，叫做一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式为__________________。

2、要解一元二次不等式，二次项系数先变__________，大于时解集在两根________，小于时解集在两根________。

三、预习自测：1．当=x ______或=x ______时，01582=+-x x2．解下列一元二次不等式：①()()021>-+x x ②()()021<-+x x【我的疑惑】【探究案】一、质疑探究探究点一：掌握解一元二次不等式的一般步骤例1：求下列一元二次不等式的解集：①01272>+-x x ②0652≥+--x x规律方法总结:探究点二: 当0≤∆时，一元二次不等式的解集讨论 例2：求下列一元二次不等式：①0122<+-x x ②0322>+-x x规律方法总结: 二、归纳梳理、整合内化1、一元二次不等式的概念；2、解一元二次不等式的一般步骤；3、当0≤∆时，结合图像，理解一元二次不等式的解集为R 或空集。

三、当堂检测1、解下列不等式：①032>-x x ②01032>+--x x ③0122≥+-x x【我的收获】（反思静悟、体验成功）【训练案】1、书本P54牛刀小试1，练习1③④2、书本P54牛刀小试2，③④3、书本P55牛刀小试3，③④4、拓展训练，练习1③⑤，练习2②，练习3①③【有错必改】感谢您的阅读，祝您生活愉快。

金华六中“导学案”高效课堂建设-—数学学科导学案专题名不等式课题名一元二次不等式及其解法编者: 高一数学组时间：2013年12月 23 日班级：________小组：________姓名：__________学号：______一、明确目标二、新课预习，提出疑惑1。

形如或不等式叫一元二次不等式。

（其中）2。

二次函数y = ax2 + bx + c的是相应方程ax2 + bx + c=0的 .3. 提出疑惑：三、创设情境,引入课题学校要在长为8，宽为6 的一块长方形地面上进行绿化,计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，中间种植草坪(图中阴影部分）为了美观，现要求草坪的种植面积超过总面积的一半,此时花卉带的宽度的取值范围是什么?探究（一）：一元二次不等式2760-+>的解集x x（1）一元二次方程2760-+=的根与二次函数276x x=-+的零点的关系?y x x(2）当x 时,0y =？当x 时，0y >? 当x 时,0y <？（3)由图象得：不等式2760x x -+>的解集为 ；不等式2760x x -+<的解集为 探究（二）:设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、， ac b 42-=∆，不等式的解的各种情况如下表：思考：（1）对于一元二次不等式20,(0)ax bx c a ++>≠或20,(0)ax bx c a ++<≠ 当二次项系数0a <时如何求解?（2）不等式20,(0)ax bx c a ++>≠的解集与不等式20,(0)ax bx c a ++≥≠的解集有差异吗？四、典例剖析 规范步骤例1：解不等式22320x x --> 例2：解不等式24410x x -+>五、达标检测，及时巩固（由易到难分为A 、B 组）A 组1．不等式22150x x +-<的解集是 ;2．在下列不等式中，解集为∅的是（ ）(A ）02322>+-x x (B)0442≤++x x（C)0442<--x x （D ）02322>-+-x xB 组3.已知关于x 的不等式0622>++m x mx⑴若不等式的解集为{|23}x x <<,求实数m 的值; ⑵若不等式的解集为}1|{mx x -≠，求实数m 的值; ⑶若不等式的解集为R ，求实数m 的取值范围；（4）若不等式的解集为Φ,求实数m 的取值范围。

§3.2 一元二次不等式及其解法（1）1．了解一元二次不等式的定义。

2．理解一元二次不等式、一元二次方程、一元二次函数三者之间的关系。

3．掌握一元二次不等式的解法和步骤。

4．会应用一元二次不等式的解集求参数。

一、知识清单：二、典型例题： 例１ 解下列不等式：①2280x x --> ②2230x x -+>③24410x x -+> ④22430x x -+->例２ 已知关于x的不等式20ax bx c ++<的解集为122x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，求不等式20ax bx c -+<的解集。

例３ 已知关于x 的不等式210x ax ++≥的解集为Ｒ，求实数a 的取值范围。

变式：已知关于x 的不等式210ax ax ++≥的解集为Ｒ，求实数a 的取值范围。

三、练习巩固：１．不等式20x x -≥的解集为（ ）Ａ{}01x x << Ｂ{}10x x x ≥≤或Ｃ{}01x x ≤≤ Ｄ{}10x x x >≤或2．函数2ln(235)y x x =--的定义域为（ ）Ａ[]2,5 Ｂ(]2.5,3 Ｃ[)2,2.5 Ｄ(2.5,3) 3．不等式2690x x ---≥的解集为__________________ 4．不等式2230x x -+<的解集为__________________ 5．不等式2320x x --<的解集为__________________ 6．不等式23240x x --<的解集为__________________ 自助餐1．关于x 的不等式22(1)(1)10a x a x ---+<的解集为空集，求实数a 的取值范围。

2．若函数y =a 的取值范围。

3.2一元二次不等式及其解法导学案一、学习目标（1）理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；（2）进一步提高数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法； （3）发扬集体合力，探究知识，共同进步。

二、本节重点熟练掌握一元二次不等式的解法 三、本节难点理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系 四、【课前延伸】问题1.方程250x x -=的根情况如何？问题2. 二次函数25y x x =-的图象开口方向、与x 轴的交点坐标分别是什么？并作出它的草图. （1）开口方向： ；（2）与x 轴的交点坐标： ； 问题3. 根据草图填空：（1）当x = 或 时，0y =，即250x x -=；（2）当x ∈ 时，函数的图象位于x 轴的下方，则y 0，即25x x - 0；（填≥、>、≤或<）.所以不等式250x x -<的解集是 ；（3）当x ∈ 时，函数的图象位于x 轴的上方，则y 0，即25x x - 0；（填≥、>、≤或<）. 所以不等式250x x ->的解集是 ；问题4：如何获得不等式2560x x -+≥的解集呢？问题5：如何将上述方法推广到求解一般的一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<(0)a >的解集呢？关键要考虑哪些方面？规律：有根大于取两边，有根小于取中间；无根大于全实数，无根小于是空集。

五、【课内探究】 一、你帮我学，探究技巧 例1：解下列不等式：（1）2340x x --≥ （2）24410x x -+> （3）2230x x -+-> 解： 解： 解：例2：解下列不等式：（1） 2430x x -+> （2）2430x x -+≤ 解： 解：总结规律：利用二次函数的图像解一元二次不等式的步骤是：-① 将二次项系数化为“+”， ② 计算判别式∆，解方程③ 画出简图，分析不等式的解的情况 ④ 写出不等式的解集化正----求根----画图----定范围二、分工合作，小试牛刀 练习1 解下列不等式：（1）0532>+-x x （2） 02732<+-x x（3）01442<++x x （4）02--62≤x x三、延伸拓展，变式训练（一）例题3 解不等式：201x x +≤-分析：201x x +≤-的解集与下列哪个不等式同解，说说为什么？A 、(2)(1)0x x +-≤B 、 (2)(1)0x x +-≤且(1)0x -≠C 、(2)(1)0x x +-<D 、(2)0x +≤ 且(1)0x -< 解：（二）总结规律：分式不等式先转化为一元二次不等式，再解不等式。

3.3 一元二次不等式及其解法【学习目标】1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图象法解一元二次不等式的方法.3.培养利用数形结合、分类讨论思想方法解一元二次不等式的能力．【重、难点】重点：一元二次不等式的解法，及从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系．【知识链接】一元二次函数的图像与性质和一元二次方程的根【新知探究】探究一. 一元二次不等式的解集引例. 画出二次函数 y＝x2－2x－3 的图像，回答下列问题.1. 该函数的图像与 x 轴的交点的坐标是什么？2. 当 x 取什么值时，y＝0？3. 当 x 取什么值时，y<0？4. 当 x 取什么值时，y>0？问题1.根据思考2确定满足不等式x2－2x－3<0 的x的取值范围的思路，怎样确定满足一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)与ax2＋bx＋c<0(a>0)的x的取值范围？答:先求出一元二次方程的根，再根据函数图像与x轴的相关位置，确定满足一元二次不等式的x的取值范围．【概念】(1) 一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解．(2) 一元二次不等式的所有解组成的集合，叫做一元二次不等式的解集．问题2. 设 a>0 ，根据以上讨论，请将下表补充完整.有两相等实根答: 二次函数的图像与x轴交点的横坐标为相应一元二次方程的根，即一元二次方程的根为相应二次函数的零点；二次函数的图像在x轴上方或下方的部分所对应x的范围是不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)与ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集．例1. 解不等式：3x2＋5x－2>0.解:∵3x2＋5x－2=(x+2)(3x−1).∴3x2＋5x－2=0的两根是x1＝－2，x2＝13，0)，又函数 y=3x2＋5x－2的图像是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(－2,0)和(13如下图：，+∞)．∴观察图像，不等式的解集为(−∞，−2)∪(13【解题反思】如何求解一元二次不等式的解集？答：对于一般形式的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)与 ax2＋bx＋c<0(a> 0)，求解步骤一般为：第一步：求出相应方程的根；第二步：画出相应二次函数的图像；第三步：观察图像得不等式的解集.变式1.解不等式：−2x2+x+1<0.，x2=1，解：方法一∵方程2x2－x－1=0的根为x1=−12又函数 y=2x2－x－1的图像是开口向下的抛物线，如下图：)∪(1，+∞).观察图像，不等式的解集为(−∞，−12方法二由不等式的两边同乘以－1，得2x2－x－1>0.，x2=1.∵方程2x2－x－1=0的两个根为x1=−12又函数 y=2x2－x－1的图像是开口向上的抛物线，如下图：)∪(1，+∞).观察图像，原不等式的解集为(−∞，−12【解题反思】如何求解非一般形式的一元二次不等式？答：（1）当所给一元二次不等式为非一般形式时，应先化为一般形式；（2）对于二次项系数a<0的一元二次不等式，一般有两种解法：①结合开口向下的抛物线求解；②不等式的两边同乘以－1，使二次项系数变为正数，然后求解. 但通常采用方法二．探究二. 含参数的一元二次不等式的解法例2．解关于x的不等式：x2−(2m+1)x+m2+m<0解：∵x2−(2m+1)x+m2+m=(x−m)(x−m−1)∴方程x2−(2m+1)x+m2+m=0的根为x1=m，x2=m+1，且m<m+1.又二次函数y=x2−(2m+1)x+m2+m的图像可口向上，且与x轴有两个交点∴不等式x2−(2m+1)x+m2+m<0的解集为{x|m<x<m+1}.【解题反思】含参数的一元二次不等式的求解步骤：(1) 讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图像的开口方向；(2) 讨论判别式的符号，即相应二次函数图像与x轴交点的个数；(3) 当Δ>0 时，讨论相应一元二次方程两根的大小；(4) 最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．变式2.1. 关于x的不等式x2＋(1－a)x－a<0.解：方程x2＋(1－a)x－a=0 的解为x1=－1，x2=a.又函数y=x2＋(1－a)x－a的图像开口向上，∴(1) 当a<－1 时，原不等式的解集为(a，－1)；(2) 当a=－1 时，原不等式的解集为∅；(3) 当a>－1 时，原不等式的解集为(－1，a)．变式2.2设m∈R，解关于x的不等式m2x2＋2mx－3<0.解：(1) 当m＝0时，－3<0 恒成立，所以x∈R.(2) 当 m>0 时，不等式变为(mx＋3)(mx－1)<0，即(x+3m )(x−1m)<0，解得−3m<x<1 m .(3) 当m<0 时，原不等式变为(x+3m )(x−1m)<0，解得1m<x<−3m..综上所述，当m＝0 时，不等式的解集为R；当m>0 时，不等式的解集为{x|−3m <x<1m}；当m<0 时，不等式的解集为{x|1m <x<−3m}.。

&3.2.《一元二次不等式的解法》（第一课时）学案 班别： 座号： 姓名：一、创设情境、引入新课学校要在长为8米,宽为6 米的一块长方形地面上进行绿化。

计划四周种花卉,花卉带的宽度相同,中间种植草坪(图中阴影部分)。

为了美观,现要求草坪的种植面积超过总面积的一半,此时花卉带的宽度x 的取值范围是什么?一元二次不等式定义： 标准形式： 二、探究交流，发现规律 思考：1.一元二次方程2760x x -+=的实根为2.画出函数276y x x =-+的图象，并根据图象回答：当x 取 时，y>0 ？即不等式2760x x -+>的解集为当x 取 时，y<0 ？即不等式2760x x -+<的解集为三、启发引导，形成结论 完成下列表格 ⊿=b 2-4ac0>∆ 0=∆ 0<∆ c bx ax y ++=2（0>a ）的图象()的根002>=++a c bx ax 的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx axxx xxxx xx四、典例剖析，规范步骤 例1：解不等式 （1）x 2-x-2<0 （2）4x 2-4x+1>0变式：?)0?,0(01442≤<≥+-x x 的解集分别是？ （3）0322<+-x x （4）322-<+-x x五、当堂检测、巩固基础 解不等式：4)1(2>x0)9()2(>-x x六、回顾小结，加深印象 本节课学习的重点： 学习难点：七、课后作业、提升深化1.求函数2.解不等式2(1)940x ->(2)(2)0x x -<(3)()(1)0(1)x a x a --<<3.设计求解一元二次不等式 20(0)ax bx c a ++>>的程序框图.。

第三章不等式§3.2一元二次不等式及其解法一、学习目标1.体会一元二次不等式与二次函数的关系,掌握一元二次不等式的解法.2.运用分类讨论思想解含参数的一元二次不等式.3.解决简单一元二次不等式与函数的综合性问题.【重点，难点】教学重点：掌握一元二次不等式的解法.教学难点：运用分类讨论思想解含参数的一元二次不等式。

二、学习过程【情景创设】炮弹发射后运行的高度h(km)与时间t(s)的关系可以用函数h=-t2+20t-1表示,试问炮弹运行到50 km以上的高空所需的时间是多少?上述问题就是通过解不等式-t2+20t-1≥50求出不等式解集的区间长度问题,该不等式是一个一元二次不等式,也就是我们这节课探究的重点——一元二次不等式的解法.【导入新课】1:解一元二次不等式的基本思想(1)形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(其中a≠0),叫作.(2)基本思想:画出二次函数y=ax2+bx+c的图象,图象与x轴的交点对应的横坐标的集合就是一元二次方程ax2+bx+c=0的解集,图象在x轴上方的点对应的横坐标的集合就是一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集,图象在x 轴下方的点对应的横坐标的集合就是一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集.2:二次函数、二次方程、二次不等式间的关系如下表,设f(x)=ax2+bx+c(a>0).Δ=b2-4ac Δ>0Δ=0Δ<0y=f(x)的示意图f(x)=0的根x1,x2x0=-错误!未找到引用源。

没有实数根f(x)>0的解集(-∞,x1)∪(x2,+∞)(-∞,-错误!未找到引用源。

)∪(-错误!未找到引用源。

,+∞)(-∞,+∞)f(x)<0的解集(x1,x2) ⌀⌀3:解含参数的一元二次不等式的一般步骤对字母系数分类讨论时,要注意确定分类的标准,而且分类时要不重不漏.一般方法是:(1)当二次项系数不确定时,按二次项系数、、三种情况进行分类.(2)判别式大于零时,还需要讨论两根的.(3)判别式不确定时,按判别式、、三种情况讨论.结合方程的根、函数的图象得到解集.4:(1)函数f(x)=ax2+bx+c>0在R上恒成立,则且.(2)若函数f(x)=log m(ax2+bx+c)的定义域为R,则或者.(3)若函数f(x)=log m(ax2+bx+c)的值域为R,则或者.【典型例题】例1.解下列一元二次不等式(1)x2+2x-15>0;(2)x2>2x-1解：(1)x2+2x-15>0⇔(x+5)(x-3)>0⇔x<-5或x>3,∴不等式的解集是{x|x<-5或x>3}.(2)x2>2x-1⇔x2-2x+1>0⇔(x-1)2>0⇔x≠1,∴不等式的解集是{x|x≠1}.【小结】解一元二次不等式可先将二次项系数化为正,再求对应方程的根,并根据根的情况画出草图,观察图象写出解集.例2. 含参数型的一元二次不等式已知a≠0,解关于x的一元二次不等式ax2+(a+2)x+2>0.解：由ax2+(a+2)x+2=0得方程的根为x=-错误!未找到引用源。

第1课时一元二次不等式及其解法1.一元二次不等式的定义□01只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集□02使一元二次不等式成立的x的值叫做一元二次不等式的□03解，□04所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的解集．3．一元二次不等式与相应二次函数、一元二次方程的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根x1，x2x0＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集□05{x|x<x1或x>x2}□06{xx≠⎭⎬⎫－b2a□07Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集□08{x|x1<x<x2}□09∅□10∅1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一元二次方程的根就是相应函数的图象与x轴的交点．()(2)(x＋a)(x＋a＋1)<0是一元二次不等式．()(3)不论实数a取什么值，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集一定与相应方程ax2＋bx ＋c ＝0的解有关．( )(4)设二次方程f (x )＝0的两解为x 1，x 2(x 1<x 2)，则一元二次不等式f (x )>0的解集不可能为{x |x 1<x <x 2}．( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．做一做(1)(教材改编P 80T 1(1))不等式x (x ＋1)≤0的解集为( ) A ．[－1，＋∞) B ．[－1,0) C ．(－∞，－1]D ．[－1,0](2)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(3)当a >0时，若ax 2＋bx ＋c >0的解集为R ，则Δ应满足的条件为________． (4)已知不等式ax 2－bx ＋2<0的解集为{x |1<x <2}，则a ＋b ＝________. 答案 (1)D (2){x |－4<x <1} (3)Δ<0 (4)4探究1 不含参数的一元二次不等式的解法 例1 求下列不等式的解集： (1)2x 2＋7x ＋3>0；(2)－x 2＋8x －3>0； (3)x 2－4x －5≤0；(4)－4x 2＋18x －814≥0； (5)－12x 2＋3x －5>0；(6)－2x 2＋3x －2<0.解 (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12，又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－12或x <－3. (2)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不等实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13，又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}．(3)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}．(4)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝94.(5)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，因为Δ＝62－40＝－4<0，所以原不等式的解集为∅.(6)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以原不等式的解集为R .拓展提升解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． (2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)根据图象写出不等式的解集． 【跟踪训练1】 求下列不等式的解集： (1)x 2－3x ＋1≤0； (2)3x 2＋5x －2>0； (3)－9x 2＋6x －1<0； (4)x 2－4x ＋5>0； (5)2x 2＋x ＋1<0.解 (1)因为Δ＝9－4＝5>0，所以方程x 2－3x ＋1＝0有两个不等实数根x 1＝3－52，x 2＝3＋52，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪3－52≤x ≤3＋52. (2)原不等式可化为(3x －1)(x ＋2)>0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >13或x <－2. (3)原不等式可化为(3x －1)2>0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠13，x ∈R .(4)因为Δ＝(－4)2－4×5＝－4<0，所以原不等式的解集为R . (5)因为Δ＝12－4×2＝－7<0，所以原不等式的解集为∅. 探究2 含参数的一元二次不等式的解法例2 解关于x 的不等式(a ∈R )： (1)2x 2＋ax ＋2>0； (2)ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.解 (1)Δ＝a 2－16，下面分情况讨论：①当Δ<0，即－4<a <4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R .②当Δ≥0，即a ≥4或a ≤－4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两个根为 x 1＝14(－a －a 2－16)，x 2＝14(－a ＋a 2－16)．当a ＝－4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠1}； 当a >4或a <－4时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <14(－a －a 2－16)或x >14(－a ＋a2－16)；当a ＝4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠－1}． (2)若a ＝0，原不等式⇒－x ＋1<0⇒x >1； 若a <0，原不等式⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0⇒x <1a 或x >1；若a >0，原不等式⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0，(*)其解的情况应由1a 与1的大小关系决定，故 ①当a ＝1时，式(*)⇒x ∈∅； ②当a >1时，式(*)⇒1a <x <1； ③当0<a <1时，式(*)⇒1<x <1a .综上所述，当a <0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 或x >1； 当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1. 拓展提升解含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系．(3)写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式，分类讨论的结果最后不能合并．【跟踪训练2】 (1)解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0； (2)解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0. 解 (1)原不等式可化为(x －a )(x －a 2)>0.方程x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＝0的两根为x 1＝a ，x 2＝a 2. 由a 2－a ＝a (a －1)可知： ①当a <0或a >1时，a 2>a . 解原不等式得x >a 2或x <a .②当0<a <1时，a 2<a ，解原不等式得x >a 或x <a 2. ③当a ＝0时，原不等式为x 2>0，∴x ≠0. ④当a ＝1时，原不等式为(x －1)2>0，∴x ≠1. 综上可知：a <0或a >1时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≠0}； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠1}．(2)方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a ，函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，则当a ＜－1时，原不等式的解集为{x |a ＜x ＜－1}； 当a ＝－1时，原不等式的解集为∅；当a ＞－1时，原不等式的解集为{x |－1＜x ＜a }． 探究3 “三个二次”之间的转化关系例3 若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－3<x <4}，求不等式bx 2＋2ax －c －3b <0的解集．解 因为ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－3<x <4}，所以a <0且－3和4是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧－3＋4＝－ba ，－3×4＝ca ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－12a .所以不等式bx 2＋2ax －c －3b <0，即为－ax 2＋2ax ＋15a <0，即x 2－2x －15<0， 故所求的不等式的解集为{x |－3<x <5}．[变式探究] 本例中把{x |－3<x <4}改为{x |x <－3或x >4}，其他条件不变，则不等式的解集又如何？解 因为ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－3或x >4}，所以a >0且－3和4是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧－3＋4＝－ba ，－3×4＝c a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－12a ，所以不等式bx 2＋2ax －c －3b <0，即为－ax 2＋2ax ＋15a <0，即x 2－2x －15>0，解得x <－3或x >5，故所求不等式的解集为{x |x <－3或x >5}． 拓展提升三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：【跟踪训练3】 (1)已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－2或x >－12，则ax 2－bx ＋c >0的解集为________；(2)已知方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，则不等式ax 2＋bx －1>0的解集为________．答案(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2 (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <1 解析 (1)由题意可得－2，－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，且a <0， 故⎩⎪⎨⎪⎧－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－b a ，(－2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝c a ，解得a ＝c ，b ＝52c ，所以不等式ax 2－bx ＋c >0即为2x 2－5x ＋2<0，解得 12<x <2.(2)∵方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，由根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2＝－b a ，－12×2＝2a ，∴a ＝－2，b ＝3，故ax 2＋bx －1>0可变为－2x 2＋3x －1>0， 即2x 2－3x ＋1<0，解得12<x <1.[规律小结]1.对一元二次不等式概念的三点说明(1)“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有其他字母类的量，只要明确指出这些字母所代表的量，即哪一个是变量“未知数”，哪一个是“参数”即可．(2)“次数最高是2”，仅限于“未知数”，若还含有其他参数，则次数不受此条件限制．(3)必须是整式不等式．2.解含参数的不等式时应注意的问题(1)解含参数的不等式时，必须注意参数的取值范围，并在此范围内对参数进行分类讨论．(2)了解哪些情况需要分类讨论．①二次项系数为字母时，要分等于零、大于零、小于零三类讨论． ②对应方程的根无法判断大小时，要分类讨论．③若判别式含参数，则在确定解的情况时需分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况进行讨论．[走出误区]易错点⊳解含参数的不等式时分类讨论不全出错 [典例] 解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)>0.[错解档案] 当a ＝0时，原不等式化为x －2<0，其解集为{x |x <2}；当a ≠0时，方程(x －2)(ax －2)＝0的两根为x 1＝2，x 2＝2a . (1)当2a ＝2，即a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠2，x ∈R }； (2)当2a >2，即0<a <1时，原不等式的解集为{|x x >2a 或x <2； (3)当2a <2，即a <0或a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <2a或x >2.综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠2，x ∈R }； 当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >2a 或x <2； 当a <0或a >1时，原不等式的解集为{|x x <2a 或x >2.[误区警示] 当a <0或a >1时，只注意到了2a <2，而忽略了当a <0时，原不等式二次项系数为负数，此时不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a <x <2. [规范解答] 以上同错解． (3)当2a <2，即a <0或a >1时，①当a <0时，原不等式的二次项系数为负数，因此原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a <x <2； ②当a >1时，原不等式的二次项系数为正数，因此原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <2a 或x >2. 综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠2，x ∈R }； 当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >2a 或x <2； 当a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <2a 或x >2；当a <0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a <x <2. [名师点津] 解ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0不等式时要注意对参数分类讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式Δ>0，Δ＝0，Δ<0；第三层次是根的大小的讨论.1．在下列不等式中，解集是∅的是( ) A ．2x 2－3x ＋2>0 B ．x 2＋4x ＋4≤0 C ．4－4x －x 2<0 D ．－2＋3x －2x 2>0答案 D解析 A 的解集为R ；B 的解集是{x |x ＝－2}；C 的解集为{x |x >－2＋22或x <－2－22}，D 选项中Δ＝9－4×2×2＝－7<0，解集为∅，故选D.2．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是( ) A.{|x －23≤x ≤12 } B.{|x x ≤－23或x ≥12} C.{|x x ≥12 }D.{|x x ≤－32}答案 B解析 ∵－6x 2－x ＋2≤0，∴6x 2＋x －2≥0， ∴(2x －1)(3x ＋2)≥0，∴x ≥12或x ≤－23.故选B. 3．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( ) A.{|x x ≠－13} B ．{|x －13≤x ≤13}C ．∅D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13答案 D解析 原不等式可变形为(3x ＋1)2≤0.∴x ＝－13.故选D.4．若不等式x 2＋(m －3)x ＋m ≤0的解集不是空集，则m 的取值范围是________．答案 m ≥9或m ≤1解析 由题意知Δ＝(m －3)2－4m ≥0，即m 2－10m ＋9≥0，∴m ≥9或m ≤1. 5．解不等式1<x 2－3x ＋1<9－x . 解 由x 2－3x ＋1>1，得x 2－3x >0， ∴x <0或x >3.由x 2－3x ＋1<9－x ，得x 2－2x －8<0， ∴－2<x <4，∴原不等式的解集为{x |x <0或x >3}∩{x |－2<x <4} ＝{x |－2<x <0或3<x <4}．A 级：基础巩固练一、选择题1．函数y ＝x 2＋x －12的定义域是( ) A ．{x |x ＜－4或x ＞3} B ．{x |－4＜x ＜3} C ．{x |x ≤－4或x ≥3} D ．{x |－4≤x ≤3}答案 C 解析 使y ＝x 2＋x －12有意义，则x 2＋x －12≥0.∴(x ＋4)(x －3)≥0，∴x ≤－4或x ≥3.2．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)答案 B解析 ∵x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2<0，∴x 2＋x －2<0.∴－2<x <1. 3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x ＜0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3) 答案 A解析 f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1；当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0. 所以f (x )>f (1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．4．已知不等式ax 2－5x ＋b >0的解集为{x |－3<x <2}，则不等式bx 2－5x ＋a >0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13<x <12B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－13或x >12C ．{x |－3<x <2}D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－12或x >13答案 B解析 由题意可知，ax 2－5x ＋b ＝0的两个根分别为－3，2，利用根与系数的关系可得，－3＋2＝5a ，－3×2＝ba ，解得a ＝－5，b ＝30，则所求不等式可化为30x 2－5x －5>0，即(2x －1)(3x ＋1)>0，解得x <－13或x >12.故选B.二、填空题5．已知M ＝{x |－9x 2＋6x －1<0}，N ＝{x |x 2－3x －4<0}，则M ∩N ＝________. 答案⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <4且x ≠13解析 由－9x 2＋6x －1<0，得9x 2－6x ＋1>0. 所以(3x －1)2>0，解得x ≠13， 即M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R 且x ≠13.由x 2－3x －4<0，得(x －4)(x ＋1)<0，解得－1<x <4，即N ＝{x |－1<x <4}． 所以M ∩N ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <4且x ≠13.6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表：答案 {x |x ＜－2或x ＞3}解析 由表知x ＝－2时y ＝0，x ＝3时，y ＝0. ∴二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 可化为y ＝a (x ＋2)(x －3)，又当x ＝1时，y ＝－6，∴a ＝1. ∴不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |x <－2或x >3}．7．已知A ＝(1,2)，B ＝{x |x 2－2ax ＋a 2－1<0}，若A ⊆B ，则a 的取值范围是________．答案 [1,2]解析 方程x 2－2ax ＋a 2－1＝0的两根为a ＋1，a －1，且a ＋1>a －1，∴B ＝{x |a －1<x <a ＋1}．∵A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤1，a ＋1≥2，解得1≤a ≤2.三、解答题8．已知函数f (x )＝x 2－(m ＋1)x ＋m ，g (x )＝－(m ＋4)x －4＋m ，m ∈R . (1)比较f (x )与g (x )的大小； (2)解不等式f (x )≤0.解 (1)由于f (x )－g (x )＝x 2－(m ＋1)x ＋m ＋(m ＋4)x ＋4－m ＝x 2＋3x ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋74>0， ∴f (x )>g (x )．(2)不等式f (x )≤0，即x 2－(m ＋1)x ＋m ≤0， 即(x －m )(x －1)≤0，当m <1时，其解集为{x |m ≤x ≤1}， 当m ＝1时，其解集为{x |x ＝1}， 当m >1时，其解集为{x |1≤x ≤m }．9．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B . (1)求A ∩B ；(2)若不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，求不等式ax 2＋x ＋b <0的解集． 解 (1)由x 2－2x －3<0，得－1<x <3， ∴A ＝(－1,3)．由x 2＋x －6<0，得－3<x <2， ∴B ＝(－3,2)，∴A ∩B ＝(－1,2)． (2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＋b ＝0，4＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.∴－x 2＋x －2<0，∴x 2－x ＋2>0， ∴不等式x 2－x ＋2>0的解集为R .10．已知M 是关于x 的不等式2x 2＋(3a －7)x ＋3＋a －2a 2<0的解集，且M 中的一个元素是0，求实数a 的取值范围，并用a 表示出该不等式的解集．解 原不等式可化为(2x －a －1)(x ＋2a －3)<0， 由x ＝0适合不等式得(a ＋1)(2a －3)>0， 所以a <－1或a >32.若a <－1，则－2a ＋3－a ＋12＝52(－a ＋1)>5， 所以3－2a >a ＋12，此时不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a ＋12<x <3－2a； 若a >32，由－2a ＋3－a ＋12＝52(－a ＋1)<－54， 所以3－2a <a ＋12，此时不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪3－2a <x <a ＋12. 综上，当a <－1时，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12，3－2a ；当a >32时，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2a ，a ＋12.B 级：能力提升练1．已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x )2<1(i ＝1,2,3)都成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 1 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 3 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 3答案 B解析 由(1－a i x )2<1，得1－2a i x ＋(a i x )2<1， 即a i ·x (a i x －2)<0. 又a 1>a 2>a 3>0.∴0<x <2a i，即x <2a 1，x <2a 2且x <2a 3.∵2a 3>2a 2>2a 1>0，∴0<x <2a 1. 2．若关于x 的不等式x 2－ax －6a <0的解集的区间长度不超过5个单位，求实数a 的取值范围．解 ∵x 2－ax －6a <0有解，∴方程x 2－ax －6a ＝0的判别式Δ＝a 2＋24a >0， ∴a >0或a <－24.解集的区间长度就是方程x 2－ax －6a ＝0的两个根x 1，x 2的距离， 由x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝－6a ，得 (x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋24a . ∵|x 1－x 2|≤5，∴(x 1－x 2)2≤25， ∴a 2＋24a ≤25，∴－25≤a ≤1. 综上可得－25≤a <－24或0<a ≤1， 即a 的取值范围是[－25，－24)∪(0,1]．。

§3.2 一元二次不等式及其解法（1）1. 正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程解一元二次不等式.7678 复习1：解下列不等式： ①112x >-； ②112x ->； ③1102x -+>.复习2：写出一个以前所学的一元二次不等式_____________，一元二次函数________________，一元二次方程___________________二、新课导学※ 学习探究 探究一：某同学要上网，有两家公司可供选择，公司A 每小时收费1.5元(不足1小时按1小时收费);公司B 的收费原则为:在第1小时内(含恰好1小时，下同)收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若一次上网时间超过17小时按17小时计算). 如何选择?归纳：这是一个关于x 的一元二次不等式，最终归结为如何解一元二次不等式.c+新知：只含有____个未知数，并且未知数的最高次数是_______的不等式，称为_______________.探究二：如何解一元二次不等式？能否与一元二次方程与其图象结合起来解决问题呢？归纳：解不等式时应先将二次项系数化为正，再根据图象写出其解集.※ 典型例题例1 求不等式2230x x -+->的解集.变式：求下列不等式的解集.（1）2230x x +->； （2）2230x x -+-≤.例2 求不等式24410x x -+>的解集.小结：解一元二次不等式的步骤：（1）将原不等式化为一般式.（2）判断∆的符号.（3）求方程的根.（4）根据图象写解集.※ 动手试试练1. 求不等式24415x x ->的解集.练2. 求不等式21340x ->的解集.三、总结提升 ※ 学习小结解一元二次不等式的步骤：（1）将原不等式化为一般式（0a >）.（2）判断∆的符号.（3）求方程的根.（4）根据图象写解集.※ 知识拓展（1）20ax bx c ++>对一切x R ∈都成立的条件为00a >⎧⎨∆<⎩（2）20ax bx c ++<对一切x R ∈都成立的条件为00a <⎧⎨∆<⎩※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知方程20ax bx c ++=的两根为12,x x ，且12x x <，若0a <，则不等式20ax bx c ++<的解为（ ）.A ．RB ．12x x x <<C ．1x x <或2x x >D ．无解2. 关于x 的不等式20x x c ++>的解集是全体实数的条件是（ ）.A ．14c <B ．14c ≤C ．14c >D ．14c ≥3. 在下列不等式中，解集是∅的是（ ）. A ．22320x x -+> B ．2440x x ++≤ C ．2440x x --< D ．22320x x -+->4. 不等式230x x -<的解集是 .5. y 的定义域为 .4.求下列不等式的解集（1）23100x x -->； （2）2450x x -+<.2. 若关于x 的一元二次方程2(1)0x m x m -+-=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围.§3.2 一元二次不等式及其解法（2）1. 巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；2. 进一步熟练解一元二次不等式的解法.复习1：一元二次不等式的解法步骤是1.____________________ 2.________________ 3.____________________ 4._______________复习2： 解不等式.（1）23710x x -≤； （2）2250x x -+-<.二、新课导学 ※ 典型例题例1 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关系：21120180s x x =+. 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m ，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h ）例2 一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （辆）与创造的价值y （元）之间有如下的关系：22220y x x =-+若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？例3 产品的总成本y （万元）与产量x 之间的函数关系式是23000200.1y x x =+-，(0,240).x ∈ 若每台产品的售价为25万元，求生产者不亏本时的最低产量.※ 动手试试练1． 在一次体育课上，某同学以初速度012/v m s =竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留多长时间？（注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h 与时间x 满足关系2012h v t gt =-，其中29.8/g m s =）练2．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏. 为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？三、总结提升 ※ 学习小结进一步熟练掌握一元二次不等式的解法、一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系．※ 知识拓展（1）连结三个“二次”的纽带是：坐标思想：函数值y 是否大于零等价于为P (,)x y 是否在x 轴的上方.（2）三个“二次”关系的实质是数形结合思想：20ax bx c ++=的解2y ax bx c ⇔=++图象上的点(,0)x ；20ax bx c ++>的解2y ax bx c ⇔=++图象上的点(,)x y 在x 轴的上方的x 的取值范围.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 函数y =的定义域是（ ）.A ．{|4x x <-或3}x >B ．{|43}x x -<<C ．{|4x x ≤-或3}x ≥D ．{|43}x x -≤≤2. 不等式2223931711()()33x x x x --+-≤的解集是（ ）.A ．[2，4]B ．(,2][4,)-∞+∞C ．RD ．(,2][4,)-∞-+∞3. 集合A ={2|540}x x x -+≤，B =2{|560}x x x -+≥，则A B =（ ）. A ．{|12x x ≤≤或34}x ≤≤ B ．{|12x x ≤≤且34}x ≤≤C ．{1，2，3，4}D ．{|41x x -≤≤-或23}x ≤≤4. 不等式(5)(2)0x x --<的解集为 .5. 已知两个圆的半径分别为1和5，圆心距满足210240d d -+<，则两圆的位置关系为 .1. 求下列不等式的解集：（1）23100x x --+>； （2）(9)0x x ->.2. 据气象部门预报，在距离某码头O 南偏东45︒方向600km 处的热带风暴中心A 在以20km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450km 以内的地区都将受影响. 从现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴影响，影响时间为多长？3.2一元二次不等式及其解法（3）1. 掌握一元二次不等式的解法；2. 能借助二次函数的图象及一元二次方程解决相应的不等式问题._____________复习2：不等式20ax bx c ++>(0)a ≠的解集.二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：含参数的一元二次不等式的解法 问题：解关于x 的不等式： 22(21)0x m x m m -+++<分析：在上述不等式中含有参数，因此需要先判断参数对的解的影响. 先将不等式化为方程22(21)0x m x m m -+++=此方程是否有解，若有，分别为__________，其大小关系为________________ 试试：能否根据图象写出其解集为_____________※ 典型例题例1设关于x 的不等式210ax bx ++>的解集为1{|1}3x x -<<，求.小结：二次不等式给出解集，既可以确定对应的二次函数图象开口方向（即a 的符号），又可以确定对应的二次方程的两个根，由此可根据根与系数关系建立系数字母关系式，或通过代入法求解不等式.变式：已知二次不等式20ax bx c ++<的解集为1{|3x x <或1}2x >，求关于x 的不等式20cx bx a -+>的解集.例2 2{|430}A x x x =-+<，2{|280}B x x x a =-+-≤，且A B ⊆，求a 的取值范围.小结：（1）解一元二次不等式含有字母系数时，要讨论根的大小从而确定解集. （2）集合间的关系可以借助数轴来分析，从而确定端点处值的大小关系.例3 若关于m 的不等式2(21)10mx m x m -++-≥的解集为空集，求m 的取值范围.小结：m 的不同实数取值对不等式的次数有影响，当不等式为一元二次不等式时，m 的取值还会影响二次函数图象的开口方向，以及和x 轴的位置关系. 因此求解中，必须对实数m 的取值分类讨论. ※ 动手试试练1. 设2280x x a -+-≤对于一切(1,3)x ∈都成立，求a 的范围.练2. 若方程2280x x a -+-=有两个实根12,x x ，且13x ≥，21x ≤，求a 的范围.三、总结提升 ※ 学习小结对含有字母系数的一元二次不等式，在求解过程中应对字母的取值范围进行讨论，其讨论的原则性一般分为四类： ※ 按二次项系数是否为零进行分类； ※ 若二次项系数不为零，再按其符号分类； ※ 按判别式∆的符号分类； ※ 按两根的大小分类. ※ 知识拓展解高次不等式时，用根轴法：就是先把不等式化为一端为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从x 轴的右端上方起，依次穿过这些零点，则大于零的不等式的解对应着曲线在x 轴上方的实数x 的取值集合；小于零x 轴下方的实数x 的取值集合.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 若方程20ax bx c ++=（0a <）的两根为2，3，那么20ax bx c ++>的解集为（ ）. A ．{|3x x >或2}x <- B ．{|2x x >或3}x <- C ．{|23}x x -<< D ．{|32}x x -<<2. 不等式220ax bx ++>的解集是11{|}23x x -<<，则a b +等于（ ）.A ．-14B ．14C ．-10D ．103. 关于x 的不等式2(1)10x a x ---<的解集为∅，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．3(,1]5-B ．(1,1)-C ．(1,1]-D ．3(,1)5-4. 不等式2524x x -<的解集是 .5. 若不等式220ax bx +->的解集为1{|1}4x x -<<-，则,a b 的值分别是 .1. m 是什么实数时，关于x 的一元二次方程 2(1)0mx m x m --+=没有实数根.2. 解关于x 的不等式2(2)20x a x a +--<（a ∈R ）.。