平行四边形及其性质

平行四边形1.平行四边形的概念定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2.平行四边形的性质性质：（1）平行四边形的对边平行且相等；（2）平行四边形的对角相等；（3）平行四边形的对角线互相平分.注意：平行四边形是以对角线的交点为中心的对称图形，但不一定是轴对称图形.3.平行四边形的判定判定：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边；（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.注意：（1）平行四边形的定义既可以作为性质，又可以作为判定；（2）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形. 重点记忆：（1）夹在两平行线间的平行线段相等.（2）如图31-1，四边形ABCD是平行四边形，则有4.两平行线间的距离定义：两条平行线中一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线间的距离.1.平行四边形的性质一.填空题.1.如图4.1-1, D,E,F 分别在△ABC 的三边BC,AC,AB 上,且DE ∥AB, DF ∥AC, EF ∥BC,则图中共有_______________个平行四边形,分别是_______________________________________.FED CBA图4.1-12.已知平行四边形的周长是100cm, AB:BC=4 : 1,则AB 的长是________________.3.已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是______________.4.在平行四边形ABCD 中,∠A : ∠B=3:2,则∠C=_________ 度,∠D=_____________度.5.用20米长的一铁丝围成一个平行四边形,使长边与短边的比为3:2,则它的边长为________短边长为__________.6.如图4.1-2,在平行四边形ABCD 中, BC=2AB, CA ⊥AB,则∠B=______度,∠CAD=______度.DCB A图4.1-2二.选择题.7.平行四边形ABCD 的周长32, 5AB=3BC,则对角线AC 的取值范围为( )A. 6<AC<10B. 6<AC<16C. 10<AC<16D. 4<AC<16 8. 在平行四边形ABCD 中,∠A=65°,则∠D 的度数是 ( )A. 105°B. 115°C. 125°D. 65° 9. 在平行四边形ABCD 中,∠B -∠A=20°,则∠D 的度数是 ( ) A. 80° B. 90° C. 100° D. 110°10. 由等腰三角形底边上任一点(端点除外)作两腰的平行线,则所成的平行四边形的周长等于等腰三角形的 ( ) Ａ． 周长 B. 一腰的长 C. 周长的一半 D. 两腰的和 11. 在以下平行四边形的性质中,错误的是 ( )A. 对边平行B. 对角相等C. 对边相等D. 对角线互相垂直三. 解答题12. 平行四边形ABCD 的两条对角线AC,BD 相交于O.(1) 图4.1-3中有哪些三角形全等? 有哪些相等的线段?(2) 若平行四边形ABCD 的周长是20cm,△AOD 的周长比△ABO 的周长大6cm.求AB,AD 的长.ODCBA图4.1-313. 如图4.1-4,平行四边形ABCD 中,∠ADC 的邻补角的平分线交BC 的延长线于E,延长ED 交BA 的延长线于F,试判断△FBE 的形状.GFEDCBA图4.1-4四. 应用题14. (1) 如图4.1-5,平行四边形ABCD 中,AB=5cm, BC=3cm, ∠D 与∠C 的平分线分别交AB 于F,E, 求AE, EF, BF 的长?(2) 上题中改变BC 的长度,其他条件保持不变,能否使点E,F 重合,点E,F 重合时BC 长多少?求AE,BE 的长. (3) 由(1),(2)题,你想到了什么?请写下来与你同伴交流.F E DCBA图4.1-5五. 综合能力提高题15. 如图4.1-6,平行四边形ABCD 的四个外角的平分线分别两两交于E,F. (1) 试判断∠AED, ∠BFC 的大小.(2) 线段AE, ED, BF, FC, EC, HF 中哪些相等?H GFEDCBA图4.1-616. 如图4.1-7,BD 是平行四边形ABCD 的对角线,AE ⊥BD 于E,CF ⊥BD 于F. (1) 在图中,根据题意补全图形;(2) 试问: △ABE 与△CDF 能全等吗?请说明理由.DCB A图4.1-72. 平行四边形的判定一. 填空题1. 如图4.2-1,平行四边形ABCD 中,AE=CG, DH=BF,连结E,F,G,H,E,则四边形EFGH 是_________________.2. 如图4.2-2,平行四边形ABCD 中,E,F 是对角线AC 上的两点,且AE=CF,连结B,F,D,E,B 则四边形BEDF 是______________.HGFED CBA图4.2-1GFEDCB A图4.2-23. 一组对边平行且相等的四边形一定是_____________形.4. 有公共顶点的两个全等三角形,其中一个三角形绕公共顶点旋转180°后与另一个重合,那么不共点的四个顶点的连线构成____________形.5. 如图4.2-3,E,F 分别是平行四边形ABCD 的边AD 与BC 的三分之一点,则四边形AECF 是________________形.F EDCB A图4.2-3F E DCBA图4.2-4二. 选择题6. 如图4.2-4,平行四边形ABCD 中,E,F 分别为边AB,DC 的中点,则图中共有平行四边形的个数是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 67. 以长为5cm, 4cm, 7cm 的三条线段中的的两条为边,另一条为对角线画平行四边形,可以画出形状不同的平行四边形的个数是 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4 8. 能够判定一个四边形是平行四边形的条件是 ( )A. 一组对角相等B. 两条对角线互相平分C. 两条对角线互相垂直D. 一对邻角的和为180°9. 四边形ABCD 中,AD ∥BC,要判定ABCD 是平行四边形,那么还需满足 ( ) A. ∠A+∠C=180° B. ∠B+∠D=180° C. ∠A+∠B=180° D. ∠A+∠D=180° 10. 平行四边形的一组对角的平分线 ( )A. 一定相互平行B. 一点相交C. 可能平行也可能相交D. 平行或共线 三. 解答题11. 如图4.2-5,在平行四边形ABCD 中,M,N 分别是OA,OC 的中点,O 为对角线AC 与BD 的交点,试问四边形BMDN 是平行四边形吗?说说你的理由.OMNDCBA图4.2-512. 如图4.2-6,AC 是平行四边形ABCD 的一条对角线,BM ⊥AC, DN ⊥AC,垂直分别为M,N,四边形BMDN 是平行四边形吗?你有几种判别方法?NMDCBA图4.2-6 四. 应用题13. 如图4.2-7,在平行四边形ABCD 中,AC 的平行线MN 交DA 的延长线于M,交DC 的延长线于N,交AB,BC 于P,Q. (1) 请指出图中平行四边形的个数,并说明理由. (2) MP 与QN 能相等吗?NMQP DCBA图4.2-714. 已知如图4.2-8,在平行四边形ABCD 中,EF ∥DC,试说明图中平行四边形的个数.NMH G FE D CBA图4.2-8五. 综合能力提高题15. 如图4.2-9,为公园的一块草坪,其四角上各有一棵树,现园林工人想使这个草坪的面积扩大一倍,又要四棵树不动,并使扩大后的草坪为平行四边形,试问这个想法能否实现,若能请你设计出草图,否则说明理由.DCBA图4.2-916. 楠楠想出了一个测量池塘的两端A,B 引两条直线AC,BC 相交于点C,在BC 上取点E,G,使BE=CG,再分别过E,G 作EF ∥AB,交AC 于F,H.测出EF=8m, GH=3m,(如图4.2-10),她就得出了结论: 池塘的宽AB 为11m .你认为她说的对吗?图4.2-103.平行四边形性质和判定综合。

平行四边形性质总结平行四边形是高中数学中一个重要的几何概念，它具有一系列特殊的性质。

本文将对平行四边形的性质进行总结，并展示其在几何证明和问题求解中的应用。

一、平行四边形的定义和特征平行四边形是指有四个边两两平行的四边形。

其特征包括：1. 两对对边分别相等（对边）。

2. 两对对角线互相平分（对角线）。

3. 对角线互相等长（对角线）。

4. 具有相对的顶点角和内角互补（角）。

二、平行四边形的性质和定理1. 对边性质：平行四边形的两对对边相等。

证明方法：利用平行线之间的性质，应用等腰三角形的性质进行证明。

2. 对角线性质：平行四边形的两对对角线互相平分且等长。

证明方法：利用平行线之间的性质，应用垂直线的性质进行证明。

3. 顶点角性质：平行四边形的相对的顶点角互补。

证明方法：利用平行线之间的性质，应用同位角的性质进行证明。

4. 内角性质：平行四边形的内角以及相对的补角相等。

证明方法：利用平行线之间的性质，应用同位角和内错角的性质进行证明。

5. 边性质：平行四边形的对边平行且相等。

证明方法：利用平行线之间的性质进行证明。

三、平行四边形的证明方法和例题1. 判断平行四边形：通过观察边的性质，判断是否为平行四边形。

如果边平行并且长度相等，则可判断为平行四边形。

2. 证明平行四边形：根据给定条件，利用平行线的性质和等腰三角形的性质进行推导和证明。

例题1：已知ABCD为平行四边形，证明对角线AC和BD相等。

证明：首先，根据平行四边形的性质，可以得出AB∥CD且AB=CD，以及AD∥BC且AD=BC。

然后，根据平行四边形的对角线性质，可以得出对角线AC和BD 互相平分且相等。

因此，根据等分线的性质，AC=BD。

例题2：已知ABCD为平行四边形，证明∠A=∠C。

证明：首先，根据平行四边形的性质，可以得出AB∥CD且AD∥BC。

然后，根据平行线的性质，∠A和∠C是同位角，同位角相等。

因此，∠A=∠C。

四、平行四边形的应用1. 几何证明：平行四边形常用于几何定理的证明过程中，通过利用平行四边形的特性和性质，简化证明过程，提高证明的效率。

平行四边形的性质和判定基础知识点知识点1平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

记作“口 ABCD 。

边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

知识点4 两条平行线的距离。

知识点5 三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线。

性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

典型例题例1、如图，E , F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的点，CE AF •猜想：BE 与DF 有怎样的位置.关 系和数量 关系？并对你的猜想加以证明。

知识点2平行四边形的性质：知识点3 边：对边平行且相等。

角：对角相等，邻角互补。

对角线：对角线互相平分。

平行四边形的判定：【变式练习】已知，在口ABCD中，点E、F分别在AD、CB的延长线上，且/ 仁/2, DF交AB于G, BE交CD 于H。

求证：EH=FG。

例2、已知如图，0为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点0,且与AB交于E,与CD交于F。

求证: 四边形AECF是平行四边形。

例3、?ABCD中，/ BAD的平分线交直线BC于点E,线DC于点F(1) 求证：CE=CF ;(2) 若/ ABC=120 ° FG// CE, FG=CE，求/ BDG .【变式练习】1、如图，在二ABCD中，AE=CF, M、N分别ED、FB的中点.求证：四边形ENFM是平行四边形.2、在？ABCD中，/ ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F,连接AC .(1)如图1,若/ ADC=90 ° G是EF的中点，连接AG、CG .①求证：BE=BF .②请判断△ AGC的形状，并说明理由；(2)如图2,若/ ADC=60 °将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG ,连接AG、CG .那么△ AGC又是怎样的形状.【变式练习】1.在平行四边形ABCD中, AB=3cm BC=5cm对角线AC, BD相交于点0,贝U 0A的取值范围是（）A. 2cm v 0A< 5cm B . 2cm< 0A< 8cm C . 1cm v 0A< 4cm D . 3cm v 0A< 8cm例4、如图，点E、F、G H分别是四边形ABCD的四边中点，求证四边形EFGH是平行四边形。

平行四边形的认识与性质平行四边形是几何学中的重要概念之一，它具有特殊的性质和性质，本文将从认识平行四边形的定义和特征入手，介绍平行四边形的性质和应用。

一、平行四边形的定义和特征平行四边形是指四边形的对边两两平行的四边形。

根据这一定义，在平行四边形中，任意两个相邻的边都是平行的。

平行四边形的特征：1. 对边平行性质：平行四边形的对边是两两平行的，即AB || CD，AD || BC。

2. 对角相等性质：平行四边形的对角线互相等长，即AC = BD。

3. 同位角等性质：平行四边形的同位角相等，即∠A = ∠C，∠B =∠D。

4. 邻位角补角性质：平行四边形的邻位角互为补角，即∠A + ∠B = 180°，∠B + ∠C = 180°，∠C + ∠D = 180°，∠D + ∠A = 180°。

二、平行四边形的性质1. 边长性质：在平行四边形中，两对对边分别相等，即AB = CD，AD = BC。

2. 内角和性质：平行四边形的内角和为360°，即∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°。

3. 对角线性质：平行四边形的对角线互相等长，即AC = BD。

4. 对角线分割性质：平行四边形的对角线互相分割成两条相等的线段，即AD = BC，AC = BD。

5. 菱形特性：平行四边形是一种特殊的菱形，具有菱形的性质，如对边相等，对角线互相垂直等。

三、平行四边形的应用1. 设计与建筑：平行四边形在设计和建筑中有广泛的应用。

比如，在平面设计中使用平行四边形作为装饰图案；在建筑结构中使用平行四边形的性质来确定部分墙面的倾斜角度等。

2. 学习与教学：平行四边形是几何学的基础概念之一，它的应用贯穿于数学教育的各个阶段。

学习平行四边形的性质可以帮助学生培养形象思维和逻辑推理能力。

3. 工程与测量：在测量工程中，平行四边形的性质可以用来测量地面的倾斜度、绘制道路和建筑物的平面图等，具有很高的实用性和准确性。

讲义4.1平行四边形的性质及判定知识要点归纳1、平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形。

2、平行四边形的性质（1）定义性质：平行四边形的两组对边分别平行。

（2）性质:A、平行四边形的对角相等。

B、平行四边形的对边相等。

C、平行四边形的对角线互相平分。

（3）平行四边形是中心对称图形，平行四边形绕其对角线的交点旋转180后，与自身重合，我们说平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点。

注意：边：对边平行，对边相等；角：对角相等，邻角互补；对角线：对角线互相平分。

3、平行四边形的面积平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积，如图所示,平行四边形ABCD的面积=BC•AE=CD•BF,也就是平行四边形的面积=底边长×高=ah（其中a是平行四边形的任意一条边长，h必须是a边与其对边的距离。

）注意：同底(等底)同高（等高）的平行四边形面积相等，如图所示，平行四边形ABCD与平行四边EBCF有公共边BC，则平行四边形ABCD的面积=平行四边形EBCF的面积。

CFBEDA例1．ABCD 中，∠A 的平分线分BC 成4cm 和3cm 两条线段，则ABCD 的周长为 ．例2．在ABCD 中，∠C=60º,DE ⊥AB 于E,DF ⊥BC 于F ．（1）则∠EDF= ； （2）如图，若AE=4，CF=7，则ABCD 周长= ;例3.在平行四边形ABCD 中，已知∠A ＝40°，则∠B ＝ ，∠C ＝ ，∠D ＝ . 例4。

.中，周长为20cm ，对角线AC 交BD 于点O ，△OAB 比△OBC 的周长多4，则边AB ＝____________，BC ＝____________．变式训练.如图，在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，ΔAOB 的周长为15，AB ＝6，那么对角线AC 和BD 的和是多少？例5、如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，周长为80cm ，边的长。

平行四边形性质和判定
平行四边形性质：两组对边平行且相等；两组对角大小相等；相邻的两个角互补；对角线互相平分；对于平面上任何一点，都存在一条能将平行四边形平分为两个面积相等图形、并穿过该点的线；四边边长的平方和等于两条对角线的平方和。

平行四边形性质定理
在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形，称为平行四边形，其边与边、角与角、对角线之间存在着各种各样的关系，即是平行四边形性质定理。

平行四边形判定定理
（1）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

平行四边形恒等式
平行四边形恒等式是描述平行四边形的几何特性的一个恒等式。

它等价于三角形的中线定理。

在一般的赋范内积空间（也就是定义了长度和角度的空间）中，也有类似的结果。

这个等式的最简单的情形是在普通的平面上：一个平行四边形的两条对角线长度的平方和，等于它四边长度的平方和。

平行四边形的性质和判定知识点1 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

记作“□ABCD ”。

知识点2 平行四边形的性质： 边：对边平行且相等。

角：对角相等，邻角互补。

对角线：对角线互相平分。

知识点3 平行四边形的判定：边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

、 知识点4 两条平行线的距离。

知识点5 三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线。

性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

例1、如图，E F ，是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的点，CE AF ．猜想：BE 与DF 有怎样的位置．．关系和数量．．关系？并对你的猜想加以证明。

【变式练习】已知，在□ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、CB的延长线上，且∠1=∠2，DF 交AB 于G ，BE 交CD 于H 。

求证：EH=FG 。

例2、已知如图，O 为平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点，EF 交于F 。

求证：四边形AECF 是平行四边形。

例3、▱ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，线DC （1）求证：CE=CF ；C ABCDE F（2）若∠ABC=120°，FG ∥CE ，FG=CE ，求∠BDG ． 【变式练习】 1、如图,中，AE =CF ，M 、N 分别ED 、FB 的中点．求证：四边形ENFM 是平行四边形．2、在▱ABCD 中，∠ADC 的平分线交直线BC 于点E 、交AB 的延长线于点F ，连接AC ．（1）如图1，若∠ADC=90°，G 是EF 的中点，连接AG 、CG ． ①求证：BE=BF ．②请判断△AGC 的形状，并说明理由；（2）如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F 顺时针旋转60°至FG ，连接AG 、CG ．那么△AGC 又是怎样的形状．例4、如图，点E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的四边中点，求证四边形EFGH 是平行四边形。

四边性质定理总结平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；性质：（1）平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）平行四边形的对边平行且相等；（3）平行四边形的对角线互相平分。

判定：（1）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；定理：三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半。

矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线相等；判定：（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形；直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半。

菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）菱形的四条边相等；（3）菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形的另一个面积计算公式：对角线乘积的一半。

判定：（1）定义法：一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四条边相等四边形是菱形。

正方形定义：既是矩形又是菱形的四边形是正方形性质：正方形具有矩形的性质又具有菱形的性质；（1）边：四条边相等，邻边相等，对边平行；（2）角：四个角都是直角；对角线：相等且互相垂直平分;每一条对角线平分一组对角；正方形一条对角线上的一点到另一条对角线的两端相等；判定：判定是一个四边形是正方形的顺序：（1）先证明是平行四边形；（2）再证明是矩形（菱形）；（3）最后证明是菱形（或矩形）；梯形定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形梯形的底：梯形中平行的两边叫做梯形的底；梯形的腰：梯形中不平行的两边叫做梯形的腰；梯形的高：梯形两底的距离；梯形的分类：一般梯形；特殊的梯形（1）等腰梯形（两腰相等的梯形）；(2)直角梯形（有一个角是直角的梯形）；等腰梯形性质：（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行；(2)等腰梯形同底上的两个角相等；（3）等腰梯形的两条对角线相等；等腰梯形判定：（1）两腰相等的梯形是等腰梯形；(2)在同底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；（3）两条对角线相等梯形是等腰梯形；。

平行四边形的性质与分类平行四边形是一个具有特殊性质的四边形，其四条边两两平行。

本文将介绍平行四边形的性质和分类。

1. 基本性质平行四边形的基本性质包括以下几点：- 两对对边分别平行- 两对对边相等- 对角线互相平分- 对角线相等以上性质是平行四边形的重要特点，可以通过这些性质来判断一个四边形是否为平行四边形。

2. 分类平行四边形可以根据其边长和角度分类。

2.1 边长分类根据边长的不同，平行四边形可以分为以下几种情况：- 一般平行四边形：四边不等长- 矩形：四边相等，四个角都为直角- 正方形：四边相等，四个角都为直角，边长相等- 菱形：四边相等，没有角为直角2.2 角度分类根据角度的不同，平行四边形可以分为以下几种情况：- 一般平行四边形：四个角都不为直角- 矩形：四个角都为直角- 菱形：四个角都相等，但不为直角- 平行四边形的角度之和为360度，而不论其是什么形状。

3. 性质运用平行四边形的性质常常用于解决几何问题。

以下是一些常见的应用场景：3.1 面积计算平行四边形的面积计算公式为：面积 = 底边长 ×高其中，底边长为任意一条边的长度，高为这条边到其它平行边的垂直距离。

通过这个公式，我们可以方便地计算平行四边形的面积。

3.2 判断是否为平行四边形通过观察四边形的边长和角度可以判断其是否为平行四边形。

如果四边形的对边平行且对角线相等，则可以确定为平行四边形。

3.3 构造平行四边形利用平行四边形的性质，我们可以通过一些已知条件来构造平行四边形。

例如，已知一个四边形的两对对边相等和平行，我们可以通过画出对角线使得其互相平分来得到一个平行四边形。

综上所述，平行四边形具有独特的性质和分类。

通过对平行四边形的性质的了解，我们可以更好地理解和解决与平行四边形相关的几何问题。

立体几何中的平行四边形及其性质在立体几何中，平行四边形是一种具有独特性质的多边形。

它由四条平行的边组成，其中两对相邻边相等且内部角相邻。

本文将探讨平行四边形的性质及其在几何学中的重要应用。

一、平行四边形的定义平行四边形是由四条平行的边所组成的四边形。

根据平行四边形的定义，我们可以得出以下几个结论：1. 平行四边形的对边相等：平行四边形的两对相对边是平行的，因此它们的长度相等。

2. 平行四边形的相邻角相等：平行四边形的相邻角是指有一边是公共边的两个相邻角，它们的度数相等。

二、平行四边形的性质除了上述定义中的性质，平行四边形还具有一些其他重要的性质，如下所示：1. 对角线互相平分：平行四边形的两条对角线互相平分。

也就是说，两条对角线的交点是对角线的中点。

2. 对角线长度关系：平行四边形的对角线长度满足勾股定理。

设平行四边形的两条对角线长度分别为d1和d2，四边形的边长为a和b，则有d1^2 + d2^2 = a^2 + b^2。

3. 完全独立的边长：平行四边形的四条边长度可以独立地确定，即知道其中三条边的长度就可以确定第四条边的长度。

4. 相对边角补：平行四边形的相对边角补为180度，也就是说，平行四边形的相对角是补角。

三、平行四边形的重要应用平行四边形在几何学中有着广泛的应用。

下面介绍其中几个常见的应用场景：1. 平行四边形面积的计算：平行四边形的面积计算公式为S = 底边长 ×高，其中底边长为任一边的长度，高为垂直于底边的距离。

2. 投影与剖面图：平行四边形的特性使其在制图和建筑设计中得到广泛应用，例如绘制投影图和剖面图时常用到平行四边形的性质。

3. 平行四边形的判定：通过分析四边形的边和角度关系，可以判定一个四边形是否为平行四边形。

例如，若四边形的对边相等且相邻角相等，则可判定该四边形为平行四边形。

4. 平行四边形的证明：在几何证明中，平行四边形通常作为中间步骤或辅助线，用于证明其他几何定理和性质。

平行四边形的性质平行四边形是一种特殊的四边形，它具有一些独特的性质。

在本文中，我们将详细探讨平行四边形的性质，包括角度关系、边长关系以及对角线关系。

一、角度关系1. 对顶角：在平行四边形中，对顶角是相等的。

对顶角是指共享一个顶点但不在同一边上的两个角。

这个性质可以表示为∠A = ∠C，以及∠B = ∠D。

2. 内角和：平行四边形的内角和等于360度。

也就是说，∠A +∠B + ∠C + ∠D = 360°。

这个性质可以应用于解决各种角度相关问题。

二、边长关系1. 对边平行：平行四边形的对边是平行的。

也就是说，AB ∥ CD，以及AD ∥BC。

这个性质使得平行四边形具有一些独特的性质和应用。

2. 边长相等：在平行四边形中，对个对边的长度是相等的。

也就是说，AB = CD，以及AD = BC。

这个性质使得平行四边形具有对称性，可以方便地解决与边长相关的问题。

三、对角线关系1. 对角线等分：在平行四边形中，对角线互相等分。

也就是说，AC = BD。

这个性质说明平行四边形具有对称性，对角线可以用于证明其他性质。

2. 对角线交点连线：平行四边形的对角线交点可以连线形成一条连线，这条连线将对角分成两个相等的三角形。

这个性质可以用于求解三角形的面积或者证明其他性质。

作为一个特殊的四边形，平行四边形具有以上提到的性质。

这些性质不仅仅是理论上的概念，更是在几何学和实际生活中有广泛应用的基础知识。

总结：平行四边形的性质包括角度关系、边长关系以及对角线关系。

其中，角度关系表明对顶角相等且内角和为360度；边长关系表明对边平行且对边长度相等；对角线关系表明对角线等分且对角线交点可以连线形成相等的三角形。

这些性质为解决几何问题提供了基础，也揭示了平行四边形的特殊性质和对称性。

对于学生和几何学爱好者来说，深入理解和应用这些性质将有助于提高问题解决能力和几何思维。

平行四边形性质及判定
知识点一、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．知识点二、平行四边形的性质
平行四边形性质1：两组对边分别平行．（边）
平行四边形性质2：平行四边形的对边相等．（边）
平行四边形性质3：平行四边形的对角相等．（角）
平行四边形性质4：平行四边形的邻角互补．（角）
平行四边形性质5：平行四边形的对角线互相平分.（对角线）
知识点三、平行四边形的判定
判定、1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

判定、2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
判定、3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
判定、4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
判定、5：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．。

知识点讲解：一、平行四边形定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(如图)，记作“□ABCD ”。

平行四边形的表示：一般按一定的方向依次表示各顶点，如右图的平行四边形不能表示成□ACBD ，也不能表示成□ADBC 。

二、平行四边形的性质平行四边形的定义及性质在□ABCD 中，①若∠A －∠B ＝40°，则∠A ＝____；②若周长为54cm ，AB －BC ＝5cm ，则AB ＝____cm ；③若AC 平分∠DAB ，则对角线AC 与BD 的位置关系为____。

④若∠A ＝30°，AB ＝7cm ，AD ＝6cm ，则ABCD S ＝ ____。

⑤若E 为AD上一点，且6ABE DCE S S ∆∆+=，则ABCD S ＝ ____。

例题精讲【例1】⑴(2009东营)如图，在□ABCD 中，已知AD ＝8cm ，AB ＝6cm ，DE 平分∠ADC交BC 边于点E ，则BE 等于 cm 。

⑵(2008—2009十一学校练习题)已知□ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于O 点，△AOB 的周长比△BOC 的周长多8cm ，则AB 的长度为 cm 。

⑶(2008—2009十一学校练习题) 已知三角形ABC ，若存在点D 使得以A ，B ，C ，D 的为顶点的四边形是平行四边形，则这样的点D 有___个。

若已知△ABC 的周长为3，则以所有D 点围成的多边形周长为____。

【例2】⑴如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于E，F。

则图中的全等三角形共有____对。

⑵(2009—2010四中期中)如图，□ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为( )。

A．3 B．6 C．12 D．24⑶如图，□ABCD中，P是形内任意一点，△ABP，△BCP，△CDP，△ADP的面积分别为S1，S2，S3，S4 ，则一定成立的是( )。

平行四边形的认识与性质平行四边形是几何学中的一个重要概念，它具有独特的性质和特点。

本文将围绕平行四边形的定义、性质和应用等方面展开论述，帮助读者更好地理解和认识平行四边形。

一、平行四边形的定义在几何学中，平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。

换句话说，如果一个四边形的对边两两平行，则该四边形就是平行四边形。

例如：ABCD是一个四边形，且AB∥CD，AD∥BC，则ABCD为平行四边形。

二、平行四边形的性质1. 对边性质：平行四边形的对边相等。

即AB = CD，AD = BC。

2. 对角线性质：平行四边形的对角线相互平分，且交点连线是对角线的中点。

即AC和BD互相平分，且交于O点，AO = CO，BO = DO。

3. 同位角性质：平行四边形的同位角相等。

即∠A = ∠C，∠B =∠D。

4. 内角性质：平行四边形的内角和为180度。

即∠A + ∠B + ∠C +∠D = 180°。

5. 对边角性质：平行四边形的对边角相等。

即∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。

6. 中点连线性质：平行四边形的中点连线是平行四边形的对角线。

即AC∥BD。

7. 对角线长度性质：平行四边形的对角线长度相等。

即AC = BD。

三、平行四边形的应用1. 平行四边形的面积计算：平行四边形的面积可以通过底边长度和高的乘积来计算。

即S = 底边长度 ×高。

2. 平行四边形的性质应用：平行四边形的性质在解题过程中经常被应用。

例如，利用平行四边形的对边性质可以求解边长或角度的问题；利用对角线性质可以证明两个平行四边形相等等。

四、平行四边形的例题分析为了更好地理解平行四边形的性质和应用，以下为两个与平行四边形相关的例题分析：例题1：已知平行四边形ABCD中，AB = 8cm，BC = 6cm，∠A = 60°，求AD的长度。

解析：根据平行四边形的对边性质，AB = CD，BC = AD。

平行四边形的概念及性质
1. 概念
平行四边形是一种特殊的四边形，具有以下特点：
- 四条边两两平行；
- 相邻两边相等。

2. 性质
平行四边形具有以下性质：
2.1 内角性质
平行四边形的内角性质如下：
- 对角线互补：平行四边形的任意一条对角线与其它对角线所夹的角互为补角；
- 内角和为180度：平行四边形的内角和为180度；
- 对角线平分：平行四边形的任意一条对角线平分另一条对角线。

2.2 边性质
平行四边形的边性质如下：
- 相对边相等：平行四边形的对边相等；
- 邻边互补：与同顶点相邻的两条边互为补角。

2.3 对边平行性质
平行四边形的对边平行性质如下：
- 任意两对对边都是平行的；
- 对边长度相等：平行四边形的对边长度相等。

3. 实例
以下是一些平行四边形的实例：
- 矩形：是一种特殊的平行四边形，具有四个直角；
- 菱形：是一种等边的平行四边形，具有四个相等的内角；- 平行四边形：四边都平行但不一定相等的四边形。

以上是关于平行四边形的概念及性质的简要介绍。

参考资料：。

平行四边形的性质平行四边形是一种特殊的四边形，它有一些特殊的性质和性质。

在本文中，我们将讨论平行四边形的定义以及与其相关的一些重要性质。

首先，让我们回顾一下平行四边形的定义。

一个四边形如果它的对边是平行的，则称之为平行四边形。

这意味着平行四边形有两对平行边。

除了这一定义，平行四边形还具有以下几种重要的性质。

1. 对边平行性：平行四边形的两对对边都是平行的。

这意味着四边形的相对边之间的距离是相等的。

2. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分。

这意味着连接平行四边形的相对顶点的直线将平分对角线的长度。

3. 相邻角补角性质：平行四边形中相邻角是补角。

这意味着相邻的两个角的和等于180度。

4. 对继角性质：平行四边形中对继角是相等的。

这意味着对继角的度数是相等的。

5. 对边长度性质：平行四边形的对边长度相等。

这意味着平行四边形的相对边长是相等的。

6. 对角线长度性质：平行四边形的对角线长度相等。

这意味着平行四边形的对角线长度是相等的。

7. 对边夹角性质：平行四边形的对边夹角是相等的。

这意味着平行四边形的相对边的夹角是相等的。

8. 内角性质：平行四边形的内角之和是360度。

这意味着平行四边形的四个内角之和等于一个圆的角度。

这些性质使得平行四边形成为解决几何问题和证明几何性质的有用工具。

对于平行四边形的性质，我们可以利用它们来推导出其他几何形状的性质，或者根据平行四边形的性质来解决几何问题。

有许多方法可以证明平行四边形的性质。

其中之一是使用几何的基本定理和定律，比如平行线的性质，夹角的性质，以及不等式的性质。

另一个方法是使用向量或坐标几何来证明平行四边形的性质。

这些方法都有助于我们更深入地理解平行四边形的性质。

总结一下，平行四边形是一种具有许多重要性质的几何形状。

它的定义包括对边平行和对角线互相平分。

根据这些性质，我们可以推导出诸如对继角相等、对边长度相等、对边夹角相等等性质。

平行四边形的性质对于解决几何问题和证明几何性质非常有用，我们可以运用它们来解决各种几何问题。