初三数学上册第一章知识点归纳

九年级上册数学第一章笔记一、一元二次方程的定义。

1. 基本形式。

- 一元二次方程的一般形式是ax^2+bx + c = 0(a≠0)。

这里的a就像是这个方程的老大，它不能是0哦，要是a = 0了，那ax^2这一项就没了，方程就变成一元一次方程了，那就不是我们现在研究的一元二次方程啦。

- 比如说2x^2+3x - 1 = 0，这里a = 2，b = 3，c=-1。

2. 判断方程是否为一元二次方程。

- 就看它能不能化成ax^2+bx + c = 0(a≠0)这种形式。

- 像x(x + 1)=x^2-1，乍一看好像有点复杂，但是我们把左边展开x^2+x=x^2-1，然后移项得到x+1 = 0，这就不是一元二次方程啦，因为它最后化成了一元一次方程。

二、一元二次方程的解（根）1. 定义。

- 使一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)左右两边相等的未知数的值就是这个方程的解，也叫根。

- 比如说方程x^2-3x + 2 = 0，当x = 1的时候，1^2-3×1 + 2=1 - 3+2 = 0，所以x = 1就是这个方程的一个根；当x = 2时，2^2-3×2+2 = 4 - 6 + 2 = 0，x = 2也是这个方程的根。

2. 检验根的方法。

- 很简单，就是把这个值代入方程，看等式两边是不是相等。

就像上面那个例子，把x = 1和x = 2代入方程x^2-3x + 2 = 0，如果等式成立，那这个值就是方程的根。

三、一元二次方程的解法。

1. 直接开平方法。

- 适用于形如(x + m)^2=n(n≥0)的方程。

- 比如说(x - 3)^2=4，那x - 3=±2，这里要注意是正负两种情况哦。

- 当x - 3 = 2时，x = 5；当x - 3=-2时，x = 1。

就像打开一个盒子，里面的东西可能有两种情况呢。

2. 配方法。

- 对于一般的一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，我们要把它变成完全平方式。

九年级上册知识点第一单元 一元二次方程一、一元二次方程1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

二、一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。

配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x 4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

三、一元二次方程根的判别式根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆四、一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21。

九年级（上）第一章知识总结一、三角形1、三角形全等的判定方法(1) 公理三边对应相等的两个三角形全等；(SSS)(2) 公理两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；(SAS)(3) 公理两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；(ASA )(4) 定理两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．(AAS)(5) 定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)2、全等三角形的性质（1）公理全等三角形的对应边、对应角相等（2）结论全等三角形对应边上的中线相等、对应边上的高相等、对应角的平分线相等。

3、等腰三角形（1）性质定理等腰三角形的两个底角相等；（简称为“等边对等角”）（2）判定定理有两个角相等的三角形是等腰三角形；（等角对等边）（3）推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(三线合一)符号语言：①∵AB=AC, ∠1=∠2(已知).∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.②∵AB=AC, BD=CD (已知).∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）③∵AB=AC, AD⊥BC(已知).∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）说明：轮换条件∠1=∠2, AD⊥BC,BD=CD,可得三线合一的三种不同形式的运用.（4）与等腰三角形有关知识要点：结论1：等腰三角形两底角的平分线相等结论2：等腰三角形两腰上的中线相等结论3：等腰三角形两腰上的高相等结论4：等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于顶角的一半结论5：等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等结论6：等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高4、等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角是600的等腰三角形是等边三角形A5、直角三角形：（1）定理: 在直角三角形中,如果一个锐角等于300,那么这个锐角所对直角边等于斜边的一半∵∠ACB=900 , ∠A=300 ∴AB BC 21=(2)它的逆命题: 在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于300.∵∠ACB=900, AB BC 21= ∴ ∠A=300(3) 勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.（常应用于计算中） 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形 6、等腰直角三角形的判定：有一个角等于45°的直角三角形是等腰直角三角形 ∵∠ACB=900，∠A=450 ∴△ABC 是等腰直角三角形 7、等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的底角等于45°。

第一章知识点总结在九年级上册数学中，第一章主要介绍了一元二次方程的基本概念和解法。

这一章对于学生来说可能是一个全新的领域，因此需要深入和透彻地理解。

接下来，我们将从简到繁地探讨这一主题，帮助你更深入地理解这些知识点。

1. 一元二次方程的概念一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c 为常数且a≠0。

在学习一元二次方程的过程中，我们需要了解该方程的特点和求解方法。

2. 一元二次方程的解法针对一元二次方程，我们可以通过因式分解、配方法、求根公式等方式进行求解。

不同的方程情况可能需要使用不同的方法进行解答，因此我们需要灵活掌握这些方法。

3. 图像与一元二次方程一元二次方程的图像通常为一个开口向上或向下的抛物线，我们需要了解方程中各项系数对于图像的影响，以及如何通过图像来解释和验证方程。

回顾本章内容，我们首先学习了一元二次方程的基本概念和特点，然后掌握了不同的解法和应用场景，最后通过图像来直观地理解方程。

这些知识点将对我们今后的学习和生活有很大的帮助。

在我看来，一元二次方程不仅是数学中重要且基础的概念，更是一种抽象思维和问题解决能力的培养。

通过学习和掌握这一知识点，我们可以更好地理解和应用数学在实际生活中的价值。

总结：通过本章的学习，我们不仅掌握了一元二次方程的基本概念和解法，更培养了抽象思维和问题解决能力。

希望在今后的学习中能够继续加深对这一主题的理解，并能够灵活应用于实际问题中。

一元二次方程在数学中是一个非常重要的概念，它不仅在数学领域有着广泛的应用，还在其他学科以及现实生活中起着重要作用。

在本章的学习中，我们对一元二次方程的概念、解法以及图像有了初步的了解，接下来让我们深入探讨一些相关的内容，以及一元二次方程的实际应用。

让我们来学习一些与一元二次方程相关的重要概念。

在学习一元二次方程时，我们需要了解二次函数的性质和特点。

二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线，它的顶点坐标、对称轴、开口方向等是我们需要特别注意的重点。

九年级上册数学第一章知识点总结一、判定两个三角形全等的公理及推论；1、一般三角形全等的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS。

2、直角三角形全等的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，HL。

二、等腰三角形1、等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等。

（简称为“等边对等角”）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

2、等腰三角形的判定方法：定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。

（简称为“等角对等边”）3、反证法的理念：①假设与原命题的结论相反的结论；②根据假设的结论进行推理，推出一个新的结论；③判断新结论与公里、定理、推论、已知条件等相互矛盾；④所以假设不成立，故原命题成立。

三、等边三角形1、等边三角形的性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度。

2、等边三角形的判定方法：定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。

有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形。

四、直角三角形1、直角三角形的性质定理：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

直角三角形中，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半。

直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

直角三角形中，如果直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30度。

2、直角三角形的判定方法：定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。

勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

如果一个三角形一边上的中线等于斜边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

五、线段的垂直平分线1、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

2、判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

3、用尺规作图法求作线段的垂直平分线六、角平分线1、性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

九年级上册数学第一章知识点宝子，咱来说说九年级上册数学第一章的知识点哈。

这第一章呢，往往是和二次函数有关的内容。

一、二次函数的概念。

二次函数长啥样呢？它的一般式是y = ax²+bx + c（a≠0哦，如果a = 0，那就变成一次函数了，就像从“二次世界”掉到“一次天地”啦）。

这里的a、b、c可都是常数呢。

a就像是这个二次函数的“老大”，它决定了函数图象的开口方向和开口大小。

当a>0的时候，图象开口向上，就像一个开心的嘴巴朝上笑呢；要是a<0，图象开口向下，就像一个嘟着嘴不开心的样子。

| a|越大，这个开口就越窄，就像嘴巴张得小一点；| a|越小，开口就越宽，就像嘴巴咧得大大的。

二、二次函数的图象。

1. 二次函数y = ax²的图象是一条抛物线哦。

它的对称轴是y轴（也就是x = 0这条直线），顶点就是原点(0,0)。

如果是y = ax²+bx + c呢，对称轴就变成了x = -(b)/(2a)。

这个对称轴就像一面镜子，图象关于它对称，左右两边就像照镜子一样。

2. 顶点坐标也很重要呢。

对于y = ax²+bx + c，顶点坐标是( - (b)/(2a), (4ac -b²)/(4a))。

这个顶点就像是抛物线的“尖儿”，它在图象上可是个特殊的存在。

三、二次函数图象的平移。

这就像挪小方块一样有趣。

如果是y = a(x - h)²+k这种形式（这也是二次函数的顶点式哦），h和k就决定了图象的平移。

h是左右平移，当h>0的时候，图象就向右边平移h个单位；h<0的时候，图象就向左边平移| h|个单位。

k呢是上下平移，k>0图象向上平移k个单位，k<0图象向下平移| k|个单位。

就好像这个抛物线在一个大棋盘上，按照h和k的指示走来走去呢。

四、二次函数与一元二次方程的关系。

二次函数y = ax²+bx + c和一元二次方程ax²+bx + c = 0可是亲戚关系呢。

初三数学上册章节主要知识点归纳初三数学上册章节主要知识点归纳第一章实数一、重要概念1.数的分类及概念数系表：说明：“分类”的原则：1相称不重、不漏2有标准2.非负数：正实数与零的统称。

表为：x≥0性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。

3.倒数：①定义及表示法②性质：A.a≠1/aa≠±1;B.1/a中，a≠0;C.01;a1时，1/a1;D.积为1。

4.相反数：①定义及表示法②性质：A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。

5.数轴：①定义“三要素”②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

6.奇数、偶数、质数、合数正整数—自然数定义及表示：奇数：2n-1偶数：2nn为自然数7.绝对值：①定义两种：代数定义：几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。

②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a 的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。

二、实数的运算1. 运算法则加、减、乘、除、乘方、开方2. 运算定律五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]分配律3. 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.同级运算从“左”到“右”如5÷ ×5;C.有括号时由“小”到“中”到“大”。

三、应用举例略附：典型例题1. 已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b│=b-a.2.已知：a-b=-2且ab0，a≠0，b≠0，判断a、b的符号。

第二章代数式★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算☆内容提要☆一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

单独的一个数或字母也是代数式。

整式和分式统称为有理式。

2.整式和分式含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

九年级上册第1章知识点九年级上册第1章是我们初中生涯的开端，也是我们的入门阶段。

在这一章中，我们将学习到一些基础且重要的知识点，为我们后续的学习打下坚实的基础。

以下是本章的主要内容：一、整数整数是我们最基础的数学概念之一。

我们将学习整数的概念、整数的比较大小、整数的加减乘除等基本运算规则，以及应用整数解决实际问题的方法。

掌握好整数的概念和运算规则，对我们后续的学习将起到非常重要的作用。

二、有理数有理数是包括整数和分数的集合。

在这一部分，我们将学习到有理数的概念、有理数的大小比较、有理数的加减乘除等基本运算规则，以及有理数在数轴上的表示。

对于有理数的掌握，不仅对数学的学习有重要作用，同时也在我们的日常生活中有广泛的应用。

三、实数实数是所有有理数和无理数的集合。

在这一部分中，我们将学习到实数的概念、实数的分类、实数的运算规则等内容。

了解实数的性质和运算规则，对于我们后续的数学学习将起到非常重要的支撑作用。

四、代数表达式与代数式的运算代数表达式是数学中常见的一种表达形式，它将数、字母和运算符号相结合。

在这一部分，我们将学习代数表达式的概念、代数表达式的基本运算规则、代数表达式的展开与因式分解等内容。

代数表达式的学习将为我们后续的代数运算和方程式的解法打下坚实的基础。

五、一次函数一次函数在数学中是一种重要的线性函数。

在这一部分中，我们将学习一次函数的概念、一次函数的图像及性质、一次函数的表示与运算等内容。

掌握一次函数的相关知识，不仅对于我们的数学学习有帮助，同时也对于我们解决实际问题有重要的指导作用。

总结：九年级上册第1章的知识点是我们初中数学学习的重要基础，也为我们后续的学习打下了坚实的基础。

通过学习整数、有理数、实数、代数表达式与代数式的运算以及一次函数等内容，我们将逐渐掌握数学中的基本概念和基本运算规则，为我们的数学学习打开一扇大门。

希望大家能够认真学习，牢固掌握这些知识点，并能够灵活运用于实际问题中。

初三数学上册第一章知识点归纳1. 整点与半点的概念•整点：指钟表在时刻刚好显示整数个小时的时间点，如12时、3时、6时等。

•半点：指钟表在时刻刚好显示半小时的时间点，如12时30分、3时30分等。

2. 有理数的加减运算•有理数加减法定律：两个有理数相加（或相减）的结果仍然是有理数，加法和减法的运算结果与运算数的先后次序无关。

•有理数的异号相加减：两个有理数异号相加减，其结果的绝对值等于两数绝对值的差，结果的符号由绝对值大的数确定。

3. 相反数与绝对值•相反数：两个数之间的相反数是指它们绝对值相等，但符号不同的数。

•绝对值：一个数直接去掉符号得到的值。

正数的绝对值等于该数，负数的绝对值等于其相反数。

4. 有理数的乘除运算•有理数乘法：两个有理数相乘的结果仍然是有理数，乘法的结果与乘法因数的顺序无关。

•有理数除法：一个非零有理数除以另一个非零有理数的结果仍然是有理数，除法的结果与除法被除数和除数的顺序无关。

5. 平均数的计算•平均数：一组数的平均数是指所有数的和除以数的个数。

6. 整式的定义与性质•整式：由代数符号及数与代数符号的乘积或积的和构成的式子。

•整式的性质：–整数与整数的和（差）是整数。

–整数与整式的积是整式。

–任意两个整式的和（差）是整式。

–整数、整式与整式的积也是整式。

7. 多项式的定义与运算•多项式：由正整数次幂的字母与正有理数的乘积的代数和构成的式子。

•多项式的运算：–多项式的加减法：对应项系数相加（或相减）得到新的多项式。

–多项式乘法：用乘法分配率逐项相乘，然后合并同类项得到新的多项式。

8. 整式的加减与乘法混合运算•整式的加减与乘法混合运算：先进行乘法运算，然后再进行加法和减法运算。

9. 幂的乘法与乘幂的定义•幂的乘法：同底数幂相乘，底数相同指数相加得到新的幂。

•乘幂的定义：一个数的乘幂是这个数连乘若干次得到的结果。

10. 乘幂的法则•乘幂的法则：对于任何非零有理数a和正整数m、n，有以下法则：–a的m次幂与a的n次幂相乘，等于底数相同，指数次数相加得到新的幂。

第一章证明（二）一．三角形全等的判定方法1.三边对应相等的两个三角形全等。

（SSS）2.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。

（SAS）3.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。

（ASA）4.两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（AAS）二．全等三角形的性质5.全等三角形的对应边相等、对应角相等。

三．等腰三角形的判定方法6.定义：两边相等的三角形叫等腰三角形。

7.有两个角相等的三角形是等腰三角形。

（等角对等边）四．等腰三角形的性质8.等腰三角形的两个底角相等。

（等边对等角）9.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（三线合一）五．等边三角形的判定方法10.定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形。

11.三个角都相等的三角形是等边三角形。

12.有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形。

六．等边三角形的性质13．等边三角形的三条边相等。

14.等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于600。

七．直角三角形的判定方法15.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

16.如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

八．直角三角形的性质17.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

18.在直角三角形中，300角所对的直角边等于斜边的一半。

19.在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。

九．直角三角形全等的判定方法20. SSS SAS ASA AAS HL斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（HL）十．线段的垂直平分线21.定理1：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

22.逆定理2：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

23.定理3：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

十一角平分线24.定理1：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

25.逆定理2：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

九年级数学上册第一章知识点第一章数与式1. 整数的概念与性质- 整数的定义：整数的范围是正整数、零和负整数的集合。

- 整数的大小比较：同号相比较，绝对值大的整数大；异号相比较，正整数大于负整数。

- 整数的加减法运算：同号相加减，保留原来的符号并按照正整数的运算法则计算；异号相加减，转化为同号相减再取其相反数。

- 整数的乘法运算：同号相乘结果为正，异号相乘结果为负。

- 整数的除法运算：除法运算是乘法运算的逆运算，同号相除结果为正，异号相除结果为负。

2. 有理数的概念与性质- 有理数的定义：有理数是可以表示为两个整数的比的数，包括整数和分数。

- 有理数的分类：正有理数、负有理数、零是有理数的三种特殊情况。

- 有理数的大小比较：同号相比较，绝对值大的有理数大；异号相比较，正有理数大于负有理数。

- 有理数的加减法运算：同号相加减，保留原来的符号并按照正有理数的运算法则计算；异号相加减，转化为同号相减再取其相反数。

- 有理数的乘法运算：同号相乘结果为正，异号相乘结果为负。

- 有理数的除法运算：除法运算是乘法运算的逆运算，同号相除结果为正，异号相除结果为负。

3. 实数的概念与性质- 实数的定义：实数包括有理数和无理数。

- 无理数的定义：无理数是不能表示为两个整数的比的数，包括无限不循环小数和无限循环小数。

- 实数数轴：实数可用数轴表示，其中每一个点对应一个唯一的实数。

- 实数的大小比较：实数可用数轴上的大小比较方法进行。

- 实数的加减法运算：实数的加减法运算满足交换律和结合律。

- 实数的乘法运算：实数的乘法运算满足交换律和结合律。

- 实数的除法运算：除法运算是乘法运算的逆运算。

4. 数的开方与乘方- 数的开方：开方是求一个数的正平方根，结果是使得这个数乘以自己等于被开方数的非负实数。

- 平方根的性质：非负实数的平方根是有两个，一个是正数，一个是负数。

- 数的乘方：乘方是重复乘以一个数，有平方、立方等特殊情况。

初三数学上册第一章知识点第一课时二次根式（1）1.二次根式的基本性质：当a≥0时，()2a= a；例1．下列式子，哪些是二次根式，1xx>0）1x y +（x≥0，y•≥0）．x>0）x≥0，y≥0）、1x1x y+．例2．当x在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x≥1 3当x≥1 3例3．当x11x+在实数范围内有意义？分析：11x+在实数范围内有意义，0和11x+中的x+1≠0．解：依题意，得23010 xx+≥⎧⎨+≠⎩由①得：x≥-3 2由②得：x≠-1当x≥-32且x≠-1+11x+在实数范围内有意义．例4(1)已知，求xy 的值． (2)=0，求a2004+b2004的值．第二课时1a ≥0）是一个非负数； 2．2=a （a ≥0）． 3、a （a ≥0）．例3在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3答案：()()()()()()()3232)3;222)2;33)12-+-++-+x x x x x x x第三课时 二次根式(3) 掌握⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a （3）例题：1、=4 42、=-2)5.1( 1.53、=-2)1(x x-1 （x ≥1） 42(2)69(3)x x x ++≤-=π-3 5、=+-442x x x-2 （2≥x ） （4那么x 取值范围是（ ）A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 （5）实数p 在数轴上的位置如图所示：化简：22)2()1(p p-+-=p-1+2-p=1一、选择题1 ）．A ．0B ．23 C．423 D ．以上都不对2．a ≥0）． AC．·· · · 01 2p二、填空题1．= ．2是一个正整数，则正整数m 的最小值是_______． 三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式=a+（1-a ）=1； 乙的解答为：原式（a-1）=2a-1=17．两种解答中，____甲 ___的解答是错误的，错误的原因是____甲没有先判定1-a 是正数还是负数_． 2．若│1995-a │=a ，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）由已知得a-•2000•≥0，•a•≥2000所以=a，a-2000=19952， 所以a-19952=2000．3. 若-3≤x ≤2时，试化简│x-2│4. 第三讲 二次根式的乘法教学目标：使学生能掌握并能运用二次根式的乘法法则b a ab •==b a ab •=(0,0)a b ≥≥并进行相关计算；同时掌握积的算术平方根的性质：b a ab •=(0,0)a b ≥≥；能熟练应用。

初三数学上册第一章知识点归纳初三数学上册第一章通常是为后续学习打下基础的重要章节，包含了许多关键的数学概念和方法。

以下是对这一章知识点的详细归纳。

一、正数和负数1、正数：大于 0 的数叫做正数。

例如：5、105、20% 等都是正数。

2、负数：小于 0 的数叫做负数。

比如：－3、－58、－10% 等。

3、 0 既不是正数，也不是负数。

0 是正数和负数的分界点。

4、具有相反意义的量：为了区分具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量规定为正，另一种与它意义相反的量规定为负。

例如：向东走 5 米记为＋5 米，那么向西走 8 米就记为－8 米。

二、有理数1、有理数的分类（1）按定义分类：有理数包括整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。

（2）按性质分类：有理数分为正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。

2、数轴（1）定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

（2）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。

（3）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。

3、相反数（1）定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

例如：5 和－5 互为相反数。

（2）一般地，a 的相反数是 a，0 的相反数是 0。

4、绝对值（1）定义：数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值。

（2）正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。

即：如果 a ＞ 0，那么｜a| ＝ a；如果 a ＝ 0，那么｜a| ＝ 0；如果a ＜ 0，那么｜a| ＝ a。

三、有理数的加减法1、有理数的加法法则（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

例如：＋5 ＋＋3 ＝＋8，－5 ＋－3 ＝－8。

（2）异号两数相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

例如：＋5 ＋－3 ＝ 2，－5 ＋＋3 ＝－2。

（3）一个数同 0 相加，仍得这个数。

第一章直角三角形的边角关系第一节从梯子的倾斜程度谈起一、三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切、余切都是∠A的三角函数，可以表示边的比值与角的关系。

1、在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比也随之确定，这个比叫∠A的正切，记作tanA①tanA=∠A的对边/∠A的邻边②∠A是坡角③tanA的值越大，梯子越陡2、在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的邻边与对边的比也随之确定，这个比叫∠A的余切，记作cotA①cotA=∠A的邻边/∠A的对边3、在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比也随之确定，这个比叫∠A的正弦，记作sinA①sinA=∠A的对边/斜边②（sinA）²= sin²A③∠A为锐角时，0< sinA<1④sinA的值越大，梯子越陡4、在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的邻边与斜边的比也随之确定，这个比叫∠A的余弦，记作cosA①cosA=∠A的邻边/斜边②（cosA）²= cos²A③∠A为锐角时，0< cosA<1④cosA的值越小，梯子越陡5、求面积：①S平行四边形ABCD=AB*BC*sinB②S三角形ABC=1/2*AB*BC*sinB图一图②6、规律：①∠A+∠B=90°→{②同一个角的正切和余切互为倒数：tanA*cotA=1③sin²A+ cos²B=1第二节30°45°60°角的三角函数值sinA sin∠ABC sin∠1 sinβ3、例题：①sinA=2/5，求∠A的取值范围解：∵sinA=2/5=0.4 ∴1°＜∠A＜30°②2sin（γ-20°）=1，求γ的度数解：∵2sin（γ-20°）=1sin（γ-20°）=1/2∴γ-20°=30°∴γ=50°③（1）tanA≤√3,求∠A的度数解：∵tanA≤√3tanA≤tan60°∴∠A≤60°（2）cosA≤√3/2，求∠A的度数解：∵cosA≤√3/2cosA≤cos30°∴30°≤∠A＜90°第四节船有触礁的危险吗1、有一条公共边的Rt△图一图二方法一：①从固定（A）点向动点(BC所在直线)做垂直②设和已知线段共线的线段（BC、CD）为x，③在两个Rt△中分别表示公共边④列方程：公共边=公共边⑤换算、比较、结论方法二：①从固定（A）点向动点(BC所在直线)做垂直②设公共边为x③在两个Rt△中分别表示共线的边（BC、CD）④列方程：BC+CD=BD⑤换算、比较、结论第五节测量物体的高度1、测物体MN的高度图一图二①：（1）γ（2）测AN的距离（3）测AC的高度（4）通过以上3步，就可以知道被测物体的高度结论：MN=a+tanγ*b②（1）γ，β（2）测移动距离AB距离（3）测AC的高度（4）通过以上3步，就可以知道被测物体的高度结论：MN= a +（b* tanβ* tanγ/ tanβ- tanβ）EM= b* tanβ* tanγ/ tanβ- tanβ。

初三数学上册第一单元知识点一、有理数1. 有理数的概念有理数是指可以表示成a/b形式的数，其中a和b都是整数，且b eq0。

2. 数轴与有理数数轴是用来表示数的一种图形，在数轴上，原点表示0，正方向表示正数，负方向表示负数。

有理数在数轴上对应着一点，这个点的位置可以用它对应的数在数轴上的位置来表示。

3. 有理数的比较与大小两个有理数的大小关系可以根据它们在数轴上的位置来判断。

如果一个有理数a在数轴上的位置在另一个有理数b的左边，那么就有a<b；如果a在b的右边，那么就有a>b。

4. 有理数的加减乘除有理数加减法的规则与整数相同，乘法的规则也是相同的，除法的规则为：两个有理数相除，可以把除数乘以分母的倒数，然后再做乘法。

二、代数式1. 代数式的概念代数式是指由常数和变量及它们间的运算符号组成的式子。

常数是指不带有未知量的数，而变量是指带有未知量的数或字母。

2. 代数式的四则运算代数式的四则运算与数的四则运算类似，加减乘除都可以用分配律、结合律、交换律等运算法则来运算。

3. 代数式的乘方与约分代数式的乘方是指同一变量的幂相乘的运算，约分是指将代数式中的公因式约掉，以简化代数式。

4. 代数式的对称性质代数式的对称性质分为奇偶性、周期性和对称形式等，其中奇偶性质需要特别注意。

三、方程与不等式1. 方程的概念方程是指用字母或符号表示未知量的等式，其中字母或符号表示的量称为未知量，它的系数和常数称为已知量。

2. 一元一次方程一元一次方程是指未知量的最高次数为1的方程。

解一元一次方程需要用到加减消元法、配方法、代入法等方法。

3. 一元二次方程一元二次方程是指未知量的最高次数为2的方程。

解一元二次方程需要用到公式法、配方法、图象法等方法。

4. 不等式的概念及其解法不等式是指用不等号连接起来的两个代数式，其中的未知量不一定有相等的情况。

解不等式需要根据不等式的性质，如相加减不等式、乘除不等式、绝对值不等式等来进行。

初三数学上册第一章知识点归纳第一章证明一、等腰三角形、概念：有两边相等的三角形是等腰三角形。

二、性质：1等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）2等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（“三线合一”）3等腰三角形的两底角的平分线相等。

（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）4等腰三角形底边上的垂直平分线上的点到两条腰的距离相等。

等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半6等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高7等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴3、判定：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。

特殊的等腰三角形等边三角形、概念：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形。

（注意：假设三角形三条边都相等那么说那个三角形为等边三角形，而一样不称那个三角形为等腰三角形）。

二、性质：⑴等边三角形的内角都相等，且均为60度。

⑵等边三角形每一条边上的中线、高线和每一个角的角平分线相互重合。

⑶等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。

3、判定：⑴三边相等的三角形是等边三角形。

⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形。

⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

⑷有两个角等于60度的三角形是等边三角形。

二、直角三角形全等、直角三角形全等的判定有种：（1）、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；（ASA）（2）、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；（SAS）（3）、三边对应相等的两个三角形全等；（SSS）（4）、两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（AAS）（）、斜边及一条直角边对应相等的两个三角形全等；（HL）二、在直角三角形中，如有一个内角等于30&rd;，那么它所对的直角边等于斜边的一半3、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半4垂直平分线：垂直于一条线段而且平分这条线段的直线。

第一章特殊平行四边形一、平行四边形的相关容平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

平行四边形的性质：（边，角，对角线，对称性）（1）边的性质：平行四边形的对边相等。

平行四边形的对边平行。

（2）角的性质：平行四边形的对角相等。

（3）对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分。

（4）平行四边形是中心对称图形。

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）。

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（注意：①必须是同一组对边平行且相等，也就是一组对边平行，另一组对边相等时，不一定是平行四边形。

②有两条边相等，并且另外两条边相等的四边形不一定是平行四边形）3.两条平行线间的距离的定义：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行4.线之间的距离，实际上平行线间的距离处处相等。

二、菱形的相关知识1. 菱形的定义及性质菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形。

菱形的性质：（边，角，对角线，对称性）（1）边的性质：菱形的四条边相等。

（2）角的性质：菱形的对角相等。

（3）对角线的性质：菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是关于对角线的交点成中心对称图形，又以对角线所在直线为对称轴的轴对称图形。

（5）分割特殊性：菱形的两条对角线把他分割为四个全等的直角三角形2.菱形的判定（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）。

（2）对角线互相垂直（平分）的平行四边形是菱形。

（3）四条边都相等的四边形是菱形。

（4）两条对角线分别平分一组对角的四边形是菱形。

：菱形的面积公式（1）菱形的面积=底×高（2）菱形的面积=两条对角线乘积的一半。

三、矩形的相关知识1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形,也叫长方形2．归纳总结矩形的性质：(1)对边平行且相等(2)四个角都是直角；(3)对角线互相平分且相等．；(4) 对称性:既是关于对角线的交点成中心对称图形,又以对边的中垂线为对称轴的轴对称图形,有两条对称轴(5)分割特殊性:矩形的两条对角线把它分割为四个面积相等的等腰三角形3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．4．矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形；•矩形的两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形．因此，有关矩形的问题往往可化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决(1)有一个角是直角的四边形是矩形(2)对角线相等的平行四边形是矩形(3)有三个角是直角的四边形是矩形：1．矩形的四个角都是直角；2．矩形的对角线互相平分且相等；3．矩形还是轴对称图形；4．矩形的对角线把矩形分成了两对全等的直角三角形；5．矩形的面积等于两邻边的乘积四、正方形的相关知识1.正方形的定义及性质正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形。

九年级上册数学第一章知识点九年级上册数学第一章知识点什么是实数实数释义：有理数和无理数的统称。

数学上，实数定义为与数轴上的实数，是有理数和无理数的总称。

数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。

实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。

虚数不是实数。

|a|表示的是a的绝对值。

虚数的定义：在数学中，虚数就是形如a+bxi的数，其中a,b是实数，且b≠0,i² = - 1。

实数性质封闭性实数集对加、减、乘、除(除数不为零)四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为零)仍然是实数。

有序性实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足并且只满足下列三个关系之一：ab。

传递性实数大小具有传递性，即若ab，且bc，则有ac。

阿基米德性质实数具有阿基米德性质，即(倒A)a，b∈R ，若a0，则∃正整数n，nab。

稠密性R实数集具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数。

完备性作为度量空间或一致空间，实数集合是个完备空间初三数学重要知识点归纳1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

数学利用旋转性质作图知识点旋转有两条重要性质：(1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;(2)对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。

步骤可分为：①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心;②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度(作旋转角)③截：即在角的另一边截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点;④接：即连接到所连接的各点。