江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编
立体几何
一、填空题
1、（泰州市2015届高三上期末）若αβ、是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为 ▲ ．（写出所有真命题的序号） ①若直线m α⊥，则在平面β内，一定不存在与直线m 平行的直线． ②若直线m α⊥，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直． ③若直线m α⊂，则在平面β内，不一定存在与直线m 垂直的直线． ④若直线m α⊂，则在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线．
2、（无锡市2015届高三上期末）三棱锥P ABC -中，,D E 分别为,PB PC 的中点，记
三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则1
2
V V =
二、解答题
1、（常州市2015届高三）
如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD ⊥平面 ABCD ， PB =PD ，PA ⊥PC ，CD ⊥PC ，O ，M 分别是BD ，PC 的中点，连结OM ．求证： （1）OM ∥平面PAD ； （2）OM ⊥平面PCD ．
D
（第16题）
2、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三）如图，在三棱锥P ABC -中，已知平面PBC ⊥平面ABC ．
(1) 若AB ⊥BC ，且CP ⊥PB ，求证：CP ⊥PA ；
(2) 若过点A 作直线l ⊥平面ABC ，求证：l //平面PBC ．
3、（南京市、盐城市2015届高三） 如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，,O E 分别为1,B D AB 的中点
. （1）求证：//OE 平面11BCC B 学科网； （2）求证：平面1B DC ⊥平面1B DE .
4、（南通市2015届高三）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,4,AC BC CC M ⊥=是棱1CC 上的一点.
()1求证：BC AM ⊥；
()2若N 是AB 的中点，且CN ∥平面1AB M .
5、（南通市2015届高三）如图，在四棱锥A-BCDE 中，底面BCDE 为平行四边形，平面
A P
B
（第16题）
B
A
C
D
B 1
A 1 C 1
D 1 E
第16题图
O
ABE ⊥平面BCDE ，AB ＝AE ，DB ＝DE ，∠BAE ＝∠BDE ＝90º。 （1）求异面直线AB 与DE 所成角的大小； （2）求二面角B-AE-C 的余弦值。
6、（苏州市2015届高三上期末）如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别是1,AD DD 中点.
求证：（1）EF ∥平面1C BD ； （2）1AC ⊥平面1C BD .
7、（苏州市2015届高三上期末）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂
直，1AB AF =.
（1）求二面角A-DF-B 的大小；
（2）试在线段AC 上确定一点P ，使PF 与BC 所成角为60︒
.
8、（泰州市2015届高三上期末）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
,AC BD 相交于点O ，//EF AB ，2AB EF =，平面BCF ⊥平面ABCD ，BF CF =，
点G 为BC 的中点．
（1）求证：直线//OG 平面EFCD ； （2）求证：直线AC ⊥平面ODE ．
9、（泰州市2015届高三上期末）如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，2DA DC ==，
1DD '=，A C ''与B D ''相交于点O '，点P 在线段BD 上（点P 与点B 不重合）．
(1)若异面直线O P '与BC '
所成角的余弦值为
55
，求DP 的长度; (2)
若2
DP =，求平面PA C ''与平面DC B '所成角的正弦值．
10、（无锡市2015届高三上期末）如图，过四棱柱1111ABCD A B C D -形木块上底面内的
一点P和下底面的对角线BD将木块锯开，得到截面BDEF.
(1)请在木块的上表面作出过P的锯线EF，并说明理由；
(2)若该四棱柱的底面为菱形，四边形时矩形
11
BB D D，试证明：平面BDEF^平面11
AC CA.
11、（扬州市2015届高三上期末）在三棱锥P－ABC中，D为AB的中点。
（1）与BC平行的平面PDE交AC于点E，判断点E在AC上的位置并说明理由如下：（2）若PA＝PB，且△PCD为锐角三角形，又平面PCD⊥平面ABC，求证：AB⊥PC。
参考答案
一、填空题
1、②④
2、1 4
二、解答题
1、证明：（1）连结AC，
因为ABCD是平行四边形，所以O为AC的中点．………………………2分在△PAC中，因为O，M分别是AC，PC的中点，
所以OM∥PA．………………………4分
因为OM ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，
所以OM ∥平面PAD ． ………………………6分 （2）连结PO ．因为O 是BD 的中点，PB =PD ， 所以PO ⊥BD ．
又因为平面PBD ⊥平面ABCD ，平面
PBD 平
面ABCD =BD ，PO ⊂平面PBD 所以PO ⊥平面ABCD ．
从而PO ⊥CD ．……………………8分 又因为CD ⊥PC ，PC PO P =,PC ⊂平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，
所以CD ⊥平面PAC ．
因为OM ⊂平面PAC ，所以CD ⊥OM ． ………………………10分 因为PA ⊥PC ，OM ∥PA ，所以OM ⊥PC ． ………………………12分 又因为CD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，CD
PC C =,
所以OM ⊥平面PCD ． ………………………14分 2、（1）因为平面PBC ⊥平面ABC ，平面
PBC
平面ABC BC =，AB ⊂平面ABC ，
AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面PBC ． ……2分
因为CP ⊂平面PBC ，所以CP ⊥AB ．…4分 又因为CP ⊥PB ，且PB
AB B =，
,AB PB ⊂平面PAB ， 所以CP ⊥平面PAB ，…6分
又因为PA ⊂平面PAB ，所以CP ⊥PA ．…7分
（2）在平面PBC 内过点P 作PD ⊥BC ，垂足为D ．…………………………………8分
因为平面PBC ⊥平面ABC ，又平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，
PD ⊂平面PBC ，所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………10分
又l ⊥平面ABC ，所以l //PD ．……………………………………………………12分 又l ⊄平面PBC ，PD ⊂平面PBC ，l //平面PBC ．……………………………14分 3、证明（1）：连接1BC ，设1
1BC B C F =学科网，连接OF ， ………2分
因为O ，F 分别是1B D 与1B C 的中点，所以//OF DC ，且1
2
OF DC =，
又E 为AB 中点，所以//EB DC ，且1
2EB DC =，
从而//,OF EB OF EB =，即四边形OEBF 是平行四边形， 所以//OE BF ， ……………6分
B 1 A 1
C 1
D 1
