苏科版数学九年级上1.3一元二次方程的根与系数的关系同步练习含答案

《一元二次方程 测试三一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）. （A ）23(1)2(1)x x +=+ （B ）21120xx+-=（C ）20ax bx c ++= （D ）2221x x x +=-2. 若方程22(2)0m m x m x n --++=是关于x 的一元二次方程,则m 的范围是（ ）. (A)m ≠1 (B)m ≠2 (C)m ≠-1 或2 (D)m ≠-1且m ≠23. 已知x=1是一元二次方程x 2-2mx+1=0的一个解，则m 的值是（ ） （A ）1 （B ）0 （C ）0或1 （D ）0或-14. 方程x 2-9=0的解是（ ）（A ）x 1=x 2=3 （B ）x 1=x 2=9 （C ）x 1=3，x 2=-3 （D ）x 1=9，x 2=-95. 设—元二次方程x 2－2x －4＝0的两个实根为x 1和x 2，则下列结论正确的是（ ） （A ）x 1+x 2＝2（B ）x 1+x 2＝－4（C ）x 1·x 2＝－2（D ）x 1·x 2＝46. 方程x （x+1）=3（x+1）的解的情况是（ ）（A ）x=-1 （B ）x=3 （C ）3,121=-=x x （D ）以上答案都不对 7. 根据下列表格的对应值：判断方程02=++c bx ax (a ≠0，a ，b ，c 为常数)一个解x 的范围是（ ） （A ）3＜x ＜3.23 （B ）3.23＜x ＜3.24 （C ）3.24＜x ＜3.25 （D ）3.25 ＜x ＜3.268. ）已知方程260x x q -+=可以配方成2()7x p -=的形式, 那么262x x q -+=可以配方成下列的（ ）.（A ） 2()5x p -= （B ） 2()9x p -= （C ） 2(2)9x p -+= （D ） 2(2)5x p -+=9. 经计算整式1x +与4x -的积为234x x --．则一元二次方程2340x x --=的所有根是（ ）（Ａ）11x =-，24x =- （Ｂ）11x =-，24x = （Ｃ）11x =，24x =（Ｄ）11x =，24x =-10. 在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是25400cm ，设金色纸边的宽为cm x ，那么x 满足的方程是（ ）（Ａ）213014000x x +-= （Ｂ）2653500x x +-= （Ｃ）213014000x x --=（Ｄ）2653500x x --=二、填空题（每小题3分，24分）11. 把方程m （x 2-2x ）+5（x 2+x ）=12（•m•≠-•5）•化成一元二次方程的一般形式，•得：_________，其中a=______，b=_____，c=________． 12. 方程x 2+3x-4=0的两个实数根为x 1，x 2，则x 1x 2=______．13. 已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是 _____________（填上你认为正确的一个方程即可）． 14. 已知y=12（x-1）2，当y=2时，x=________．15. 在实数范围内定义一种运算“＊”，其规则为22b a b a -=＊，根据这个规则，方程05)2(=+＊x 的解为 .16.的根是________．17. 设b a ,是一个直角三角形两条直角边的长，且12)1)((2222=+++b a b a ，则这个直角三角形的斜边长为.（第10题图）18. 大连某小区准备在每两幢楼房之间，开辟面积为300平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，设长方形绿地的宽为x 米，则可列方程为_____________________________． 三、解答题（每小题8分，共40分） 19.解方程： （1） x 2+2x=2．（2） 用配方法解方程：21302x x ++=；20. 阅读下面的例题： 解方程：x 2-│x │-2=0．解：（1）当x ≥0时，原方程化为x 2-x-2=0， 解得x 1=2，x 2=-1（不合题意，舍去）．（2）当x<0时，原方程化为x 2+x-2=0，解得x 1=1（不合题意，舍去），x 2=-2． ∴原方程的根是x 1=2，x 2=-2． 请参照例题解方程x 2-│x-3│-3=0.21. 市政府为了解决市民看病难的问题，•决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，•求这种药品平均每次降价的百分率是多少？ 22. 西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0．1元/千克，每天可多售出40千克，另外，•每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降多少元？ 23. 已知下列n （n 为正整数）个关于x 的一元二次方程：()x x x x x x n x n n 2222101202230310-=<>+-=<>+-=<>+--=<>……（1）请解上述一元二次方程<1>、<2>、<3>、<n>；（2）请你指出这n 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可.四、综合探索（共26分）24.（12分） 将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．25.（14分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10．点E•在下底边BC上，点F在腰AB上．（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，•求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分？•若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由．参考答案：一、选择题（每小题3分，共30分）1.（A）；2.（D）；3.（A）；提示：本题考查对方程解的意义的理解，即当x=1时，等式成立．∵x=1是方程x2-2mx+1=0的一个解．∴1-2m+1=0，∴m=1，∴选A．4. （C）；提示：移项得：x2=9∴x=±3，∴x1=3，x2=-3，故选C．5.（A）；6.（C）；8.（B ）； 9.（B ）； 10.（B ）；二、填空题（每小题3分，24分）11. m+5 ， 5-2m ， -12；提示：化为一般形式为（m+5）x 2-（2m-5）x-12=0.12. -4 ； 提示：本题有两种解法：方法1：解方程x 2+3x-4=0，得x 1=-4，x 2=1，所以x 1x 2=-4．方法2：根据一元二次方程根与系数的关系求解．∵x 1、x 2是x 2+3x-4=0的两根，∴x 1x 2=•-4． 建议：运用方法2，较为简捷．13.答案不唯一，如220x x -=或2320x x -+=等； 14. 3或-1； 提示：由条件得：12（x-1）2=2，即（x-1）2=4．∴x-1=2或x-1=2，∴x=3或-1．15. 13x =，27x =-；提示：依照规则22b a b a -=＊，不难得方程22(2)50x +-=，此为一元二次方程，运用因式分解法，可求得13x =，27x =-. 16. x=1； 提示：方程两边平方得：2x-1=1，解得x=1． 经检验x=1是原方程的根． ∴原方程的根为x=1． 17. 3；18.2103000x x +-=； 三、解答题19.（1）解：移项得x 2+2x-2=0，则△=4-4×（-2）=12>0，∴方程的根为x 1，x 2．（2）1322x =-，2322x =-；20. x=-3或x=2； 提示：当x-3≥0时，即x ≥3时，原方程可化为：x 2-x=0． 解方程得：x 1=0（舍去），x 2=1（舍去）．当x-3<0时，即x<3时，原方程可化为x 2+x-6=0． 解这个方程得：x 3=-3，x 4=2．∴此方程根为x=-3或x=2． 21. 解：设平均每次降价的百分率为x ． 由题意得：200（1-x ）2=128． 解得：x 1=20%，x 2=180%（舍去）． 答：平均每次降价的百分率为20%．22. 解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元．根据题意，得 （3-2-x ）（200+400.1x ）-24=200．解这个方程，得x 1=0.2，x 2=0.3．答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2或0.3元． 23. 解：（1）<1>()()x x +-=110，所以x x 1211=-=， <2>()()x x +-=210，所以x x 1221=-=， <3>()()x x +-=310，所以x x 1231=-=，……<n>()()x n x +-=10，所以x n x 121=-=，.（2）比如：共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等.四、综合探索24. 解：设这段铁丝被分成两段后，围成正方形，其中一个正方形的边长为xcm ，•则另一个正方形的边长为2044x -=（5-x ）cm ．依题意列方程得 x 2+（5-x ）2=17， 解方程得：x 1=1，x 2=4．因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm ，16cm ． （2）两个正方形的面积之和不可能等于12cm 2． 理由：设两个正方形的面积和为y ，则： y=x 2+（5-x ）2=2（x-52）2+252，∵当x=52，y的最小值为12.5>12，∴两个正方形的面积之和不可能等于12cm2．另解：由（1）可知：x2+（5-x）2=12，化简后得：2x2-10x+13=0，∵△=（-10）2-4×2×13=-4<0，∴方程无实数解．所以两个正方形的面积之和不可能等于12cm2．25. 解：由已知条件得，梯形周长为12，高4，面积为28．过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K．则可得，FG=125x-×4，∴S△BEF =12BE·FG=-25x2+245x（7≤x≤10）（2）存在由（1）得：-25x2+245x=14，得x1=7，x2=5（不合舍去）∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE=7．（3）不存在假设存在，显然是：S△BEF ：S△AFECD=1：2，（BE+BF）：（AF+AD+DC）=1：2．则有-25x2+162853x=，整理得：3x2-24x+70=0，△=576-840<0，∴不存在这样的实数x．即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分．。

北京市朝阳区普通中学2019届初三中考数学复习一元二次方程的根与系数的关系专题复习练习题1．设α，β是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个实数根，则αβ的值是( ) A．2 B．1 C．－2 D．－12．若方程3x2－4x－4＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＝( )A．－4 B．3 C．－43D.433．下列一元二次方程两实数根和为－4的是( )A．x2＋2x－4＝0 B．x2－4x＋4＝0C．x2＋4x＋10＝0 D．x2＋4x－5＝04. 如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分别是( )A．－3，2 B．3，－2 C．2，－3 D．2，35．已知一元二次方程x2－3x－1＝0的两个根分别是x1，x2，则x12x2＋x1x22的值为( ) A．－3 B．3 C．－6 D．66. 已知α，β是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个实数根，则α2＋αβ＋β2的值为( )A．－1 B．9 C．23 D．277. 已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是－2，则这个方程是( )A．x2＋3x－2＝0 B．x2＋3x＋2＝0C．x2－3x－2＝0 D．x2－3x＋2＝08. 已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，若(m－1)(n－1)＝－6，则a的值为( )A．－10 B．4 C．－4 D．109. 菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO，BO的长分别是关于x的方程x2＋(2m－1)x＋m2＋3＝0的根，则m的值为( )A．－3 B．5 C．5或－3 D．－5或310. 如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝________，x1x2＝________．11. 一元二次方程2x2＋7x＝8的两根之积为________．12. 设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2 018＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n＝________.13. 已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，则x2x1＋x1x2的值为________．14. 已知方程x2＋4x－2m＝0的一个根α比另一个根β小4，则α＝______，β＝______，m＝______．15. 关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1＝0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是________．16. 在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－9，－1；乙看错了常数项，得出的两根(1) 求m的取值范围；(2) 当x12＋x22＝6x1x2时，求m的值．18. 关于x的方程kx2＋(k＋2)x＋k4＝0有两个不相等的实数根．(1) 求k的取值范围；(2) 是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0.若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．19. 不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积．(1) x2＋2x＋1＝0;(2) 3x2－2x－1＝0；(3) 2x2＋3＝7x2＋x;(4) 5x－5＝6x2－4.20. 已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2.(1) 求k的取值范围；(2) 若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．21. 已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．(1) 是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；(2) 求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．答案：1---9 DDDAA DCCA10. －a/b c/a11. －412. 201913. 1014. 10 －4 0 015. m>1/216. x 2－10x ＋9＝017. 解：(1)∵原方程有两个实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m －1)≥0，整理得：4－4m ＋4≥0，解得：m≤2(2)∵x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝m －1，x 12＋x 22＝6x 1x 2，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝6x 1·x 2，即4＝8(m －1)，解得：m＝32.∵m ＝32＜2，∴m 的值为3218. 解：(1)由题意可得Δ＝(k ＋2)2－4k×k 4＞0，∴4k ＋4＞0，∴k ＞－1且k≠0 (2)∵1x 1＋1x 2＝0，∴x 1＋x 2x 1x 2＝0，∴x 1＋x 2＝0，∴－k ＋2k＝0，∴k ＝－2，又∵k＞－1且k≠0，∴不存在实数k 使两个实数根的倒数和等于019. 解：(1)x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝1(2)x 1＋x 2＝23，x 1·x 2＝－13(3)x 1＋x 2＝－15，x 1·x 2＝－35(4)x 1＋x 2＝56，x 1·x 2＝1620. 解：(1)由Δ≥0得k≤12(2)当x 1＋x 2≥0时，2(k －1)＝k 2－1，∴k 1＝k 2＝1(舍去)；当x 1＋x 2＜0时，2(k －1)＝－(k 2－1)，∴k 1＝1(舍去)，k 2＝－3，∴k ＝－321. 解：(1)存在．理由如下：根据题意，得Δ＝(2a)2－4a(a －6)＝24a≥0，解得a≥0，∵a －6≠0，∴a ≠6.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－2a a －6，x 1x 2＝a a －6.∵－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2.∴x 1＋x 2＋4＝x 1x 2.即－2a a －6＋4＝a a －6，解得a ＝24.经检验，a ＝24是方程－2a a －6＋4＝a a －6的解．∴a＝24 (2)∵原式＝x 1＋x 2＋x 1x 2＋1＝－2a a －6＋a a －6＋1＝66－a为负整数．∴6－a ＝－1，－2，－3，－6，解得a ＝7，8，9，122019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ）A ．30°B ．25°C ．20°D ．15°2．如图，半径为3的扇形AOB ，∠AOB=120°，以AB 为边作矩形ABCD 交弧AB 于点E ，F ，且点E ，F 为弧AB 的四等分点，矩形ABCD 与弧AB 形成如图所示的三个阴影区域，其面积分别为1S ，2S ，3S ，则132S S S +-为（ ）（π取3）A ．92-B ．92C ．152-D ．272- 3．如图，已知矩形 AOBC 的三个顶点的坐标分别为 O(0，0)，A(0，3)， B(4，0)，按以下步骤作图：①以点 O 为圆心，适当长度为半径作弧， 分别交 OC ，OB 于点 D ，E ；②分别以点 D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧在∠BOC 内交于点 F ；③作射线 OF ，交边 BC 于点 G ，则点 G 的坐标为( )A ．(4， 43 )B ．( 43 ，4)C ．( 53 ，4)D ．(4， 53) 4．关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个根，则k 的取值范围是（ ）A.4k <-B.4k ≤-C.4k <D.4k ≤5．若点A （x 1，﹣3）、B （x 2，﹣2）、C （x 3，1）在反比例函数y ＝﹣的图象上，则x 1、x 2、x 3的大小关系是（ ）A. B. C. D.7．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=6，BC=8，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是（ ）A.10B.8C.6D.48．若一个多边形的外角和是其内角和的12，则这个多边形的边数为（ ） A.2 B.4 C.6 D.89．计算|+|2|＝（ ）A ． 1B ．1﹣C ．﹣1D ．310．一个不透明的布袋里装有2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为（ ） A.15 B.25 C.35 D.1211．下列尺规作图中，能确定圆心的是（ ）①如图1，在圆上任取三个点A ，B ，C ，分别作弦AB ，BC 的垂直平分线，交点O 即为圆心②如图2，在圆上任取一点B ，以B 为圆心，小于直径长为半径画弧交圆于A ，C 两点连结AB ，BC ，作∠ABC 的平分线交圆于点D ，作弦BD 的垂直平分线交BD 于点O ，点O 即为圆心③如图3，在圆上截取弦AB ＝CD ，连结AB ，BC ，CD ，分别作∠ABC 与∠DCB 的平分线，交点O 即为圆心A ．①②B ．①③C ．②④D ．①②③12．在平面直角坐标系中，有A ()21，，B ()33，两点，现另取一点C ()1a ， ，当a = ( )时，AC+BCA．2 B．53C．114D．3二、填空题13．在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第2014个正方形的面积为_________。

【单元复习】第1章一元二次方程知识精讲第1章一元二次方程一、一元二次方程的概念1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。

②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。

2、一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

二、一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。

配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。

3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程的求根公式：4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

三、一元二次方程根的判别式根的判别式：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即四、一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么，。

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

根与系数的关系的应用：①验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；②求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.③求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于和的代数式的值，如④求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式. 一元二次方程的应用：方程是解决实际问题的有效模型和工具.利用方程解决。

2023年中考数学一轮复习专题讲义与练习一元二次方程根的判别式和根与系数的关系［课标要求］1. 理解一元二次方程的根的判别式2. 会根据根的判别式判断数字系数的一元二次方程根的情况.3. 会根据字母系数的一元二次方程根的情况，确定字母的取值范围.4. 一元二次方程根与系数的关系的简单运用.［要点梳理］1. 一元二次方程的ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根的判别式是△＝＿＿＿＿＿＿2. 一元二次方程的ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根与系数的关系＿＿＿＿＿＿［规律总结］1、 判别含字母系数的一元二次方程的一般步骤①把方程化为一般形式，写出根的判别式；②确定判别式的符号；③根据判别式的符号，得出结论.2. 应用根的判别式时应注意二次项系数不为03. 注意结论的正逆两个方面的应用［强化训练］一、选择题1. 关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m +-++=有两个相等的实数根，则m 的值是（ ）A ．0B ．8C ．42±D ．0或82. 一元二次方程x 2+6x +10=0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根3. 已知2x 2–x –1=0的两根为x 1. x 2，则x 1+x 2为（ ）A ．1B ．–1C ．12D ．12- 4. 如果关于x 的一元二次方程01122=++-x k kx 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．k ＜21B ．k ＜21且k≠0C ．－21≤k ＜21D ．－21≤k ＜21且k≠0 5. 已知函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++=的根的情况是（ ）A ．无实数根B ．有两个相等实数根C ．有两个异号实数根D ．有两个同号不等实数根6. 使一元二次方程x 2＋7x ＋c ＝0有实根的最大整数c 是（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．137. 已知三角形的两边长分别是3和6，第三边长是方程x 2－6x ＋8＝0的根，则这个三角形周长是（ ）A ．13B ．11C ．11或13D ．12或158. 已知关于x 的方程（x ＋1）2＋（x －b ）2＝2有唯一的实数解，且反比例函数x b y +=1的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（ ）A ．x y 3-= B ．x y 1= C ．x y 2= D ．x y 2-= 二、填空题9. 若一元二次方程x 2＋2x ＋m ＝0无实数解，则m 的取值范围是＿＿＿＿＿。

中考要求知识点基本要求略高要求较高要求一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值一元二次方程的解法理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题例题精讲板块一根的判别式☞定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到2224(24b b acx a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b acx a a -+=也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．☞判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b acx a-±-=．根的判别式与韦达定理②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．☞根的判别式的应用：☞⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况：⑴22340x x +-=；⑵20ax bx +=（0a ≠）【解析】略【答案】⑴22340x x +-=∵2342(4)410∆=-⨯⨯-=>∴方程有两个不相等的实数根．⑵∵0a ≠∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零∵22()40b a b ∆=--⋅⋅=∵无论b 取任何数，2b 均为非负数∴0∆≥，故方程有两个实数根【巩固】不解方程，判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法确定【解析】由方程可得3680∆=+>，所以方程有两个不相等的实数根．【答案】A【巩固】不解方程判定下列方程根的情况：⑴22340x x +-=；⑵232x +=21x +=；⑷22(21)220m x mx +-+=；⑸2210x ax a ++-=220+=；⑺4(1)30x x +-=；⑻2(1)(2)x x m --=【解析】略【答案】⑴两个不等的实数根；⑵两个相等的实数根；⑶无实数根；⑷无实数根；⑸两个不等的实数根；⑹无实数根；⑺两个不相等的实数根；⑻两个不相等的实数根【例2】已知a ，b ，c 是不全为0的3个实数，那么关于x 的一元二次方程2222()()0x a b c x a b c ++++++=的根的情况（）．A ．有2个负根B ．有2个正根C ．有2个异号的实根D ．无实根【解析】方程2222()()0x a b c x a b c ++++++=的判别式为：2222()4()a b c a b c ∆=++-++222333222a b c ab bc ca=---+++222222222(2)(2)(2)a ab b b bc c c bc a a b c =-+-+-+-+-+----222222[()()()]a b b c c a a b c =--+-+-+++∵a ，b ，c 不全为0，∴0∆<．∴原方程无实数根．故选D ．【答案】D☞⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；【例3】m 取什么值时，关于x 的方程222(3)6x mx +-=有两个相等的实数根【解析】略【答案】1m =±【巩固】如果关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（）A ．1k <B ．0k ≠C ．10k k <≠且D ．1k >【解析】由题可得36360k k ∆=->⎧⎨≠⎩所以10k k <≠且【答案】C【巩固】方程2610kx x -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是【解析】注意二次项系数不为0【答案】9k <且0k ≠【巩固】若关于x 的二次方程2(1)220m x mx m -++-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是【解析】注意二次项系数不为0【答案】23m >且1m ≠【巩固】若关于x 的一元二次方程2(1)210k x x ++-=有实数根，则k 的最小整数值为【解析】注意题目要求以及二次项系数不为0的条件【答案】2k =-【巩固】已知方程22(21)10m x m x +++=有实数根，求m 的范围．【解析】注意分两种情况讨论：若0m =，则原方程可化为101x x +=⇒=-满足题意；若0m ≠，则由题意可知221(21)404104m m m m ∆=+-≥⇒+≥⇒≥-．综上可知，14m ≥-【答案】14m ≥-【例4】关于x的一元二次方程2(12)10k x ---=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【解析】由题意，得4(1)4(12)010120k k k k ++->⎧⎪+≥⎨⎪-≠⎩解得12k -≤<且12k ≠【答案】12k -≤<且12k ≠【巩固】关于x的方程210x ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为________．【解析】2400k ⎧∆=->⎪⎨>⎪⎩，解得1k >【答案】1k >【巩固】已知关于x 的方程222(1)50x m x m ++++=有两个不相等的实数根，化简：|1|m -【解析】∵0>△，∴2m >∴|1||1||2|23m m m m --+-=-【答案】23m -【巩固】已知关于x 的一元二次方程20x m -=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．【解析】由题意可知，原方程的判别式21(41303m m m ∆=+=+>⇒>-．又101m m -≥⇒≤，故113m -<≤．【答案】113m -<≤【巩固】k 为何值时，方程2(1)(23)(3)0k x k x k --+++=有实数根．【解析】需要分两种情况来讨论：⑴当10k -=时，原方程是一元一次方程，有一个实数根45x =；⑵当10k -≠时，方程是一元二次方程，故0∆≥，解得214k ≥-且1k ≠，所以当214k ≥-且1k ≠时方程有两个实数根．综上所述，当214k ≥-时，方程有实数根．【答案】214k ≥-【例5】关于x 的方程()26860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是．【解析】由一元二次方程根的情况可知240b ac -≥，即()()284660a --⨯⨯-≥，解得263a ≤，故max 8a =．【答案】8【巩固】若方程222(1)450x a x a a ++++-=有实数根，求：正整数a ．【解析】0∆≥，即()()22414450a a a +-+-≥，解不等式得3a ≤，即123a =，，．【答案】1，2，3【例6】已知关于x 的方程()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根，且a 、b 为实数，则32a b +=________．【解析】∵()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根．∴0∆=，即()()222210a b b b ++-+=∴()()22210a b b ++-=，∴0a b +=，10b -=∴1b =，1a =-，因此321a b +=-．【答案】1-【巩固】当a b 、为何值时，方程()2222134420x a x a ab b ++++++=有实根？【解析】要使关于x 的一元二次方程()2222134420x a x a ab b ++++++=有实根，则必有0∆≥，即()()22241434420a a ab b +-+++≥，得()()22210a b a ++-≤．又因为()()22210a b a ++-≥，所以()()22210a b a ++-=，得1a =，12b =-．【答案】1a =，12b =-【例7】已知a ，b ，c 为正数，若二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么方程22220a x b x c ++=的根的情况是（）A ．有两个不相等的正实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根【解析】22220a x b x c ++=的422224(2)(2)b a c b ac b ac ∆=-=+-，∵二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，∴240b ac ->，∴220b ac ->，∴422224(2)(2)0b ac b ac b ac ∆=-=+->∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正．故有两个负根．故选C ．【答案】C【巩固】若方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，那么方程2(1)220m x mx m +-+-=（）．A ．没有实数根B ．有2个不同的实数根C ．有2个相等的实数根D ．实数根的个数不能确定【解析】∵方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，∴20m +=，得2m =-．∴方程2(1)220m x mx m +-+-=，即为方程2440x x -+-=，∴244(1)(4)0∆=-⨯-⨯-=．∴方程2(1)220m x mx m +-+-=有2个相等的实数根．故选C ．特别注意方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根．若20m +≠，则方程要么有2个根（相等或不相等），要么没有实数根．条件指明，该方程只有1个实数根，所以20m +=，且10m +≠．【答案】C☞⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；【例8】对任意实数m ，求证：关于x 的方程222(1)240m x mx m +-++=无实数根．【解析】略【答案】∵210m +≠，故方程为一元二次方程．()()()2222422414442016m m m m m m ∆=--++=---()424241616444m m m m =---=-++()222m =-+∵220m +≠，∴0∆<，故方程无实根．【巩固】求证：关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m -+++=有两个实数根．【解析】略【答案】∵2(2)10x m x m -+++=是关于x 的一元二次方程∴[]22(2)4(1)m m m ∆=-+-+=∵20m ≥∴原方程有两个实数根．【巩固】已知实数a 、b 、c 、r 、p 满足2pr >，20pc b ra -+=，求证：一元二次方程220ax bx c ++=必有实根．【解析】略【答案】2(2)4b ac ∆=-，因2b pc ra =+，则222()4()()2(2)pc m ac pc ra ac pr ∆=+-=++-．又2pr >，所以当0ac ≥时，0∆≥；当0ac <时，40ac ->，2()40pc ra ac ∆=+->．因此，一元二次方程220ax bx c ++=必有实根．【巩固】证明：无论实数m 、n 取何值时，方程2()0mx m n x n +++=都有实数根【解析】注意分类讨论.【答案】⑴若0m =，则方程为nx n =-，当0n ≠时，有实数根1x =-；当0n =时，方程的根为任意实数⑵当0m ≠时，原方程为一元二次方程22()4()0m n mn m n ∆=+-=-≥∴方程必有实数根综合⑴⑵可知，原结论成立【巩固】已知：方程()22250mx m x m -+++=没有实数根，且5m ≠，求证：()()25220m x m x m --++=有两个实数根．【解析】略【答案】当0m =时，()22250mx m x m -+++=可化为450x -+=，此时方程有根，故0m ≠故214(2)4(5)0404m m m m m ∆=+-+<⇒-<⇒>．方程()()25220(5)m x m x m m --++=≠的判别式为：224(2)4(5)4(94)0m m m m ∆=+--=+>故方程()()25220(5)m x m x m m --++=≠有两个实数根．板块二韦达定理☞如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12c x x a=．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-，12x x q ⋅=．☞利用韦达定理求代数式的值【例9】不解方程224)0x x +-，求两根之和与两根之积【解析】韦达定理成立的前提条件是0∆≥【答案】令此方程的两个实数根为1x 、2x由韦达定理得124422x x --+=-=，122x x ⋅=-=【巩固】设方程24730x x --=的两个根为1x 、2x ，不解方程求下列各式的值⑴12(3)(3)x x --；⑵211211x xx x +++；⑶12x x -【解析】不解方程，即利用韦达定理将12x x +、12x x 的整体构造出来【答案】由韦达定理得1274x x +=，1234x x ⋅=-⑴12121237(3)(3)3()939344x x x x x x --=-++=--⨯+=；⑵221221112121212121212(1)(1)()2()10111(1)(1)132x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++-+++===+++++++⑶2221212127397()()4()4()4416x x x x x x -=+-=-⨯-=，∴12x x -=【巩固】已知方程22430x x +-=的两个根为1x 、2x ⑴12x x +=；⑵12_______x x ⋅=；⑶1211_______x x +=；⑷2212_______x x +=【解析】略【答案】⑴2-；⑵32-；⑶43；⑷7【巩固】已知α、β是方程2520x x ++=+的值．【解析】注意α，β均为负数，很多学生求出的结果均为负值【答案】由韦达定理可得，5αβ+=-，2αβ=∴22222()2522a a ββαβαβαβαβαβ++++=++===+=☞利用韦达定理求参数的值【例10】若3-、2是方程20x px q -+=的两个根，则________p q +=【解析】略【答案】7-【巩固】若方程210x px ++=的一个根为1-，则它的另一根等于，p 等于【解析】部分学生喜欢将1x =-代入原方程，求p 的数值，然后再求方程另外一个根，此方法较慢。

第二十一章一元二次方程*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是A．x1≠x2B．x1+x2＞0C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜02．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1，x2．若+=4m，则m的值是A．2 B．﹣1C．2或﹣1 D．不存在3．一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为A．﹣2 B．1C．2 D．04．已知关于x的一元二次方程kx2−2x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是A．k<1 B．k≤1C．k≤1且k≠0 D．k<1且k≠05．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+ (2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足= −1，则m 的值是A．3或−1 B．3C．−1 D．−3 或16．关于x的方程的两根互为相反数，则k的值是A．2 B．±2C．−2 D．−3二、填空题：请将答案填在题中横线上．7．一元二次方程的两根为,则的值为__________．8．设、是一元二次方程的两个根，且，则__________，__________．9．方程的两个根为、，则的值等于__________．10．若是一元二次方程x²−6x−2=0的两个实数根，则=__________．11．已知方程x2−mx−3m＝0的两根是x1、x2，若x1＋x2＝1，则x1x2＝__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．已知关于的一元二次方程.（1）试证明：无论取何值此方程总有两个实数根；（2）若原方程的两根，满足，求的值.13．已知关于x的一元二次方程x2＋（m−1）x−2m2＋m＝0（m为实数）有两个实数根x1，x2．（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若x12＋x22＝2，求m的值．第二十一章一元二次方程*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是A．x1≠x2B．x1+x2＞0C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0【答案】AC、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，∴x1•x2=﹣2，结论C错误；D、∵x1•x2=﹣2，∴x1，x2异号，结论D错误．故选A．【名师点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当 ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．2．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1，x2．若+=4m，则m的值是A．2 B．﹣1C．2或﹣1 D．不存在【答案】A∴x1+x2=，x1x2=，∵=4m，∴=4m，∴m=2或﹣1，∵m＞﹣1，∴m=2，故选A．【名师点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零及根的判别式 ＞0，找出关于m的不等式组；（2）牢记两根之和等于﹣、两根之积等于．3．一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为A．﹣2 B．1C．2 D．0【答案】D【解析】∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，∴x1x2=0．故选D．【名师点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．4．已知关于x 的一元二次方程kx 2−2x ＋1＝0有实数根，则k 的取值范围是 A ．k <1B ．k ≤1C ．k ≤1且k ≠0D ．k <1且k ≠0【答案】C【名师点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．5．已知α，β是关于x 的一元二次方程x 2+ (2m +3)x +m 2=0的两个不相等的实数根，且满足= −1，则m的值是A ．3或 −1B ．3C ．−1D ．−3 或 1【答案】B【解析】∵α、β是关于x 的一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2=0的两个不相等的实数根； ∴α+β=−2m −3,α⋅β=m 2， ∴==223m m --=−1， ∴m 2−2m −3=0， 解得m =3或m =−1.∵一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2=0有两个不相等的实数根， ∴∆=(2m +3)2−4×1×m 2=12m +9>0， ∴m >−，∴m =−1不合题意舍去， ∴m =3.【名师点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识点，根据根与系数的关系结合=1，找出关于m的方程是解题的关键.6．关于x的方程的两根互为相反数，则k的值是A．2 B．±2C．−2 D．−3【答案】C【名师点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式是解决本题的关键.二、填空题：请将答案填在题中横线上．7．一元二次方程的两根为,则的值为__________．【答案】2【解析】由题意得：+2=0，=2，∴=−2，=4，∴=−2+4=2，故答案为：2.【名师点睛】本题考查了一元二次方程根的意义，一元二次方程根与系数的关系等，熟练掌握相关内容是解题的关键.8．设、是一元二次方程的两个根，且，则__________，__________．【答案】，【名师点睛】本题考查了根与系数的关系：若、是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，=−，=.9．方程的两个根为、，则的值等于__________．【答案】3【解析】根据题意得，，所以===3．故答案为3．【名师点睛】本题考查了根与系数的关系：若、是一元二次方程（a≠0）的两根时，，．10．若是一元二次方程x²−6x−2=0的两个实数根，则=__________．【答案】6【解析】∵x1+x2=﹣，∴x1+x2=6．故答案为：6．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．11．已知方程x2−mx−3m＝0的两根是x1、x2，若x1＋x2＝1，则x1x2＝__________．【答案】−3【解析】∵，∴．【名师点睛】本题主要考查的是一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题型．理解根与系数的关系的公式是解决这个问题的关键．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．已知关于的一元二次方程.（1）试证明：无论取何值此方程总有两个实数根；（2）若原方程的两根，满足，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）−2.【名师点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当 ≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x12+x22−x1x2=3p2+1，求出p值．13．已知关于x的一元二次方程x2＋（m−1）x−2m2＋m＝0（m为实数）有两个实数根x1，x2．（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若x12＋x22＝2，求m的值．【答案】（1）;（2），.【名师点睛】本题是常见的根的判别式、根与系数关系的结合试题.把求未知系数m的问题转化为解方程问题是解决本题的关键.。

一元二次方程 同步训练21.1 一元二次方程(1) 一元二次方程的概念一、学习要求：通过学习感受现实生活和学习环境中方程知识的实际意义、体会建模思想，接受和理解一元二次方程及相关概念，通过交流、辨析，能将方程化为一般形式，认识二次项系数、一次项系数、常数项等概念，并注意系数的符号．二、同步训练： (一)填空题：1．一元二次方程5x 2＝3x ＋2的一般形式是____________，它的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______．2．已知方程(m ＋1)x 2－2mx ＝1是一元二次方程，那么m ≠______．3．当m ______时，方程223213x x mx =--不是关于x 的一元二次方程． 4．已知：方程(m 2－4)x 2－6(m －2)x ＋3m －4＝0，当m ______时，它是一元二次方程，当m ______时，它是一元一次方程．(二)选择题：5．把方程(2x ＋1)(3x ＋1)＝x 化成一般形式后，一次项系数和常数项分别是( ) (A)4，1 (B)6，1 (C)5，1 (D)1，6 6．下列方程中，一元二次方程是( )(A)2x 4－5x 2＝0(B)(2x 2＋7)2－3＝0 (C)012=+xx(D)0312142=++-x x 7．把方程(2x －1)(3x ＋2)＝x 2＋2化成一般形式后，二次项系数和常数项分别是( )(A)5，－4 (B)5，1 (C)5，4 (D)1，－4 (三)解答题：8．根据题意，列出方程：(1)一个三角形的底比高多2cm ，三角形面积是30cm 2，求这个三角形的底和高．(2)两个连续正整数的平方和是313，求这两个正整数．(3)已知两个数的和为6，积为7，求这两个数．9. 已知关于x 的一元二次方程3(x －k )2＋4k －5＝0的常数项等于1，则所得关于k 的一元二次方程的一般形式是什么?21.1 一元二次方程(2) 一元二次方程的进一步理解一、学习要求：进一步理解一元二次方程的概念，灵活掌握二次项系数、一次项系数、常数项，体会一元二次方程与现实生活的关系．二、同步训练： (一)填空题：1．方程(x ＋1)(x ＋2)＝3化为一般形式是____________． 2．两个连续奇数的积是255，求这两个数，若设较小奇数为x ，则根据题意，可得方程为____________．3．一个矩形的长比宽多2cm ，面积为30cm 2，求这个矩形的长与宽，设矩形的长为x cm ，列出方程为____________．(二)选择题：4．下列各方程中，一定是关于x 的一元二次方程的是( ) (A)mx 2＋8x ＝6x (x －1)－2 (B)ax 2＋bx ＋c ＝0(C)(m 2＋1)x 2－5x ＋3＝0(D)x1＋5x ＋8＝0 5．下列各方程中，一定是关于x 的一元二次方程的个数是( )①1232=-x x ；②mx 2＋nx －4＝0；③11-=-x x x ；④x 2－x 2(1＋x 2)－2＝0 (A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个6．长50cm ，宽30cm 的矩形薄铁片，在四个角截去四个大小相同的正方形，做成底面积为1200cm 2的无盖长方体盒子．设截去的小正方形边长为x cm ，列出的正确方程是( )(A)(50－2x )(30－2x )＝1200 (B)(50－x )(30－x )＝1200 (C)(50－2x )(30－x )＝1200 (D)50 ×30－4x 2＝1200 (三)解答题：7．根据下列问题，列出方程(不必求解)．学校有一块长方形空地，长42米，宽30米，准备在中间开辟花圃，四周修建等宽的林荫小道，使小道的面积和花圃面积相等，求小道的宽．8. 根据方程：(50＋x )(40＋x )＝3000，你能结合身边的实际，编一个应用问题吗?试试看．21.1 一元二次方程(3) 直接开平方解一元二次方程一、学习要求：在进一步理解一元二次方程的有关概念的基础上，结合平方根的意义，初步体会利用开平方可以将一些一元二次方程降次转化为一元一次方程．二、同步训练： (一)填空题：1．x (x ＋2)＝5(x ＋2)的一般形式是_______，其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______．2．若x ＝2满足方程x 2－12x －m ＝0，则m ＝______． 3．形如方程x 2＝a (a ≥0)的解是______．4．形如方程(x ＋m )2＝n (n ≥0)的解是______． (二)选择题：5．方程(x ＋2)2＝9的解为( ) (A)x 1＝9，x 2＝－9 (B)x 1＝9，x 2＝0 (C)x 1＝－9，x 2＝0 (D)x 1＝1，x 2＝－56．方程(x ＋3)2－9＝0的解的情况为( ) (A)x 1＝3，x 2＝－3 (B)x 1＝0，x 2＝－6 (C)x 1＝9，x 2＝－6 (D)x 1＝6，x 2＝07．方程4x 2－1＝0的根的情况是( )(A)x ＝±2(B)0,2121=-=x x (C)21±=x (D)无实根(三)解答题： 8．解下列方程： (1)x 2＝169； (2)5x 2＝125； (3)(x ＋3)2＝16；(4)(6x －7)2－128＝0．9. 若等式24x a ·(a 1－2x)4＝a 9成立，求x 的值．21.2 降次——解一元二次方程21.2.1 配方法一、学习要求：在掌握了利用求平方根的方法解一元二次方程以后，结合完全平方的特征，体会转化思想：即配方转化降次求解一元二次方程．理解配方法的要领，掌握配方法的基本步骤．二、同步训练： (一)填空题： 1．根据公式a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2，填充下列各式：(A)x 2＋8x ＋______＝(x ＋______)2 (B)x 2－2x ＋______＝(x －______)2 (C)x 2＋x ＋______＝(x ＋______)2 (D)x 2－x ＋______＝(x －______)2 (二)选择题：2．用配方法解方程x 2－3x －1＝0时，以下解法中的配方过程正确的是( ) (A)x 2－3x －1＝0 (B)x 2－3x －1＝0 (C)x 2－3x －1＝0 (D)x 2－3x －1＝0x 2－3x ＋9＝9＋1 x 2－3x ＋9＝1 1494932+=+-x x1232332+=+-x x(x －3)2＝10 (x －3)2＝1 413)23(2=-x 25)23(2=-x (三)解答题：3．用配方法解下列方程： (1)x 2－6x ＋4＝0； (2)x 2＋5x －6＝0； (3)x 2＋6x ＋8＝0；(4)x 2＋4x －12＝0； (5)(2x －3)2－3＝0； (6)x 2＋2mx －n 2＝0．4. 求证：不论a 、b 取何实数，多项式a 2b 2＋b 2－6ab －4b ＋14的值都不小于1．21.2.2 公式法(1)一、学习要求：在理解了配方法的基本思想和配方过程的基础之上，通过对一般形式的一元二次方程进行配方，从而导出求根公式，对求根公式要在理解的基础上记住它，并能利用它求解一元二次方程．二、同步训练： (一)填空题： 1．一元二次方程4x (x ＋3)＝5(x －1)＋2的一般形式是______，其中a ＝______，b ＝______，c ＝______．2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的判别式为______． 3．已知关于x 的一元二次方程s －r ＝sx 2－rx ＋sx －rx 2＋t (s －r ≠0)的一般形式是______，其中a ＝______，b ＝______，c ＝_______．(二)选择题：4．已知一元二次方程x 2－2x －m ＝0，用配方法解该方程，配方后的方程是( ) (A)(x －1)2＝m 2＋1 (B)(x －1)2＝m －1 (C)(x －1)2＝1－m (D)(x －1)2＝m ＋1 5．方程x 2＝x ＋1的解是( )(A)1+=x x(B)251±=x (C)1+±=x x(D)251±-=x 6．方程x 2－6x －3＝0的解的情况为( ) (A)有两个相等的实数根 (B)有两个不等的实数根 (C)有一个实数根 (D)没有实数根 7. 在方程x 2＋mx ＋n ＝0的两个根中，有一个根为0，另一个根不为0，那么m ，n 应满足( ) (A)m ＝0，n ＝0 (B)m ≠0，n ≠0 (C)m ≠0，n ＝0 (D)m ＝0，n ≠0 (三)解答题：8．用公式法解方程： (1)2x 2＋2x ＝1； (2)5x ＋2＝3x 2； (3)x (x ＋8)＝16； (4)(2y ＋1)(3y －2)＝3．21.2.2 公式法(2)一、学习要求：在理解配方法和掌握求根公式之后，应能准确认识公式中的a ，b ，c ．结合实际应用它．应用公式法求解一元二次方程．要养成认真踏实的学习习惯，提高运算的正确率．二、同步训练： (一)填空题：1．方程x 2＋x －3＝0的两根是____________． 2．方程x (x ＋1)＝2的根为____________．3．两个连续奇数之积是143，设其中较小的奇数为y ＋1，则可得关于y 的一元二次方程的一般形式是________________________．(二)选择题：4．已知px 2－3x ＋p 2－p ＝0是关于x 的一元二次方程，则( )(A)p ＝1 (B)p ＞0 (C)p ≠0 (D)p 为任意实数5．已知x 2－3x ＋1＝0，则xx 1的值为( ) (A)3(B)－3 (C)23(D)16．下列方程中，两实根之和等于零的是( ) (A)9x 2＋4＝0 (B)(2x ＋3)2＝0 (C)(x －1)2＝4 (D)5x 2＝6 (三)解答题： 7．解下列方程： (1)x 2＋3x －4＝0； (2)x 2－x －1＝0； (3)－2x 2＝5x －3； (4)3x 2＋2x ＝4．8. 一根长36cm 的铁丝剪成相等的两段，一段弯成矩形，另一段弯成有一边长为5cm 的等腰三角形．如果弯成的矩形和等腰三角形的面积相等，求矩形的长与宽．21.2.3 因式分解法(1)一、学习要求：在理解了利用求平方根的思想来达到降次求解一元二次的方程之后，因式分解又是一种转化的思想，来实现将一元二次方程降次为一元一次方程求解．二、同步训练：(一)填空题：1．当x＝3时，(x－3)(x＋3)的值为____________．2．方程x(x－3)＝0的根为______________．3．方程x2＝x的右边化为零后变为________，左边分解因式后化为______，原方程的解为______(二)选择题：4．关于x的方程(m2－m)x2＋mx＋n＝0是一元二次方程的条件是( )(A)m≠0(B)m≠1(C)m≠0或m≠1(D)m≠0且m≠15．方程x2＝2x的解是( )(A)x＝0 (B)x＝2 (C)x＝0或x＝2 (D)x＝±26．方程(x－3)2＝3－x的解是( )(A)x＝3 (B)x＝2或x＝3 (C)x＝2 (D)x＝4(三)解答题：7．用因式分解法解方程：(1)(x－1)(x－2)＝0；(2)x2－3x＝0；(3)x2－4x＋4＝0；(4)x2－5x＋4＝0．8. 若等腰三角形的两边长分别是方程x2－9x＋14＝0的两根．那么这个等腰三角形的周长是多少?21.2.3 因式分解法(2)一、学习要求：进一步体会利用因式分解法降次的基本思想，掌握因式分解法求解一元二次方程．二、同步训练：(一)填空题：1．分解因式：2x2＋5x－3＝____________．2．用因式分解法解方程x2－5x＝6，得方程的根为____________．3．方程2(x＋3)2－5(x＋3)＝0的解为______．最简便的解法是____________．4．若代数式x2＋6x的值为零，则x的值为______．(二)选择题：5．已知(x＋y)(x＋y＋2)＝15，则x＋y的值为( )(A)3或5 (B)3或－5 (C)－3或5 (D)－3或－56．下列方程：①x2－5x－6＝0；②x2－6x－5＝0；③x2＋5x＋6＝0；④x2＋6x＋5＝0．适宜用因式分解求解的是( )(A)①、②、③、④(B)①、③、④(C)①、②、③(D)②、③、④(三)解答题：7．解下列方程：(1)9(x－3)2＝25；(2)6x2－x＝1；(3)x2＋4x－96＝0；(4)x(x－1)＝2；(5)4(2x－1)2＝9(x－2)2；(6)(2x－3)2－2(3－2x)＝8．8. 当k是什么整数时，方程(k2－1)x2－6(3k－1)x＋72＝0只有正整数根?21.2 解一元二次方程综合一、学习要求：在掌握了配方法、公式法及因式分解法求解一次二次方程之后，同学们应注意灵活地应用这些知识．二、同步训练： (一)填空题：1．方程0)75.0)(5.0()43(2=--+-x x x 的较小根是____________．2．已知单项式xxb a 3222-与4221b a -是同类项，则x 的值是__________． 3．++x x 222______＝(x ＋______)2． 4．4x 2－______＋9＝(______－3)2． (二)选择题：5．方程x (x 2＋1)＝0的实数根的个数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)36．下列方程中，两根分别为－1＋3和－1－3的是( ) (A)0)31)(31(=--++x x(B)0)31)(31(=+--+x x(C)0)31)(31(=--+-x x (D)0)31)(31(=++-+x x (三)解答题： 7．解下列方程 (1)x 2－6x ＋4＝0； (2)x 2－22x －3＝0； (3)2y (y ＋2)＝(y ＋2)；(4)(2x －1)2－4＝0； (5)3y 2＋1＝23y ； (6)(2x －1)(x －2)＝－1．8. 小明养了一群鸽子，小亮问小明养了几只鸽子，小明说：“如果你给我一只鸽子，那么鸽子总数的平方是鸽子总数的9倍．”你知道小明现在有几只鸽子吗?阅读与思考——一元二次方程的近似解与连分数学习要求：将一些具体值代入所要解的一元二次方程，大致估计出一元二次方程解的范围，再在这个范围内逐步加细赋值，逐步估计出一元二次方程的近似解．这就是求一元二次方程近似解的基本要领．下面介绍另外一种估计一元二次方程近似解的方法．方程：x 2－3x －1＝0，因为x ≠0，所以先将其变形为x ＝x 13+，用x 13+代替x ，得xxx 131313++=+=反复若干次用x 13+代替x ，就得到xx +++++++=31313133313形如上式右边的式子称为连分数．可以猜想，随着替代次数的不断增加，右式最后的x1对整个式子的值的影响将越来越小，因此可以根据需要，在适当的时候把x 1忽略不计，例如，当忽略x ＝x13+中的x 1时，就得到x ＝3，当忽略xx 1313++=的x 1时，就得到313+=x ；如此等等．于是就可以得到一系列分数：,,3131313,31313,313,3 ++++++即：.30303.333109,3.31033,333.3310,3 ===可以发现它们越来越趋于方程x 2－3x －1＝0的正根．同学们不妨利用此方法求一求方程x 2－5x －1＝0的近似解．21.3 实际问题与一元二次方程(1)一、学习要求：在学习一元二次方程的解法的过程中，同学们应注意与实际问题相联系，逐步培养用方程的思想与知识解决实际问题的能力，培养学数学用数学的意识．二、同步训练：(一)填空题：1．某公司10月份产值为a 万元，比5月份增长20％，则5月份产值为____________．2．一个六位数，低位上的三个数字组成的三位数是a ，高位上的三个数字组成的三位数是b ，现将a ，b 互换，则得到的六位数是____________3．一项工程，甲班干完需m 天，乙班干完需(m ＋2)天，甲、乙两班合干，完成工程需___________天.(二)选择题：4．甲走20天的路程乙走30天，已知乙每天走15千米，问甲每天走多少千米?在下列几种设未知数的写法中，正确的是( )(A)设甲每天走x (B)设甲速为x 千米 (C)设甲走x 千米 (D)设甲每天走x 千米5．一件工作，甲独做4天完成，乙独做6天完成，则二人合做( )天完成．(A)6 (B)5 (C)512 (D)2(三)解答题：6．列方程解应用题：(1)两个数的差为4，它们的积为45，求这两个数．(2)一个直角三角形的三条边的长是三个连续的整数，求三条边的长．(3)某林场第一年造林200亩，第一年到第三年共造林728亩，求后两年造林面积的平均增长率．7. 我国古代数学家杨辉所著的《田亩比类乘除捷法》中有这样一题：直田积(矩形面积)八百六十四步(平方前)，只云长阔(长与宽)共六十步，问阔及长各几步?21.3 实际问题与一元二次方程(2)一、学习要求：进一步运用方程解决实际问题，逐步培养逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力．二、同步训练：(一)填空题：1．某公司今年的年产值是1000万元，若以后每年的平均增长率为10％，则两年后该公司的年产值是______万元．2．制造某种产品，原来每件的成本是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是每件81元，则平均每次降低成本的百分率是______．3．一块长方形硬纸片，在它的四个角上截去四个小正方形，折成一个没有盖子的长方体盒子，已知纸片的长为40cm，宽为32cm，要使盒子的底面积为768cm2，则截去的小正方形边长应为______cm．(三)解答题：4．有一个两位数恰等于其个位与十位上的两个数字乘积的3倍，已知十位上的数字比个位上的数字小2，求这个两位数．5．某电冰箱厂今年每个月的产量都比上个月增长同样的百分数．已知该厂今年4月份的电冰箱产量为5万台，6月份比5月份多生产了12000台，求该厂今年产量的月增长率．6．某养鸡场的矩形鸡舍一边靠墙，另三边用竹篱笆围成，现有材料可制作竹篱笆13m，若欲围成20m2的鸡舍，鸡舍的长、宽应各是多少?7. 第6题中，利用13m的竹篱笆，能围成21m2的鸡舍吗?能围成22m2的鸡舍吗?若能围成，求出鸡舍的长和宽，若不能围成，说明理由．21.3 实际问题与一元二次方程(3)一、学习要求：通过应用一元二次方程解决一些实际问题，进一步体会学数学用数学的意识，培养分析问题和解决问题的能力．二、同步训练：(二)选择题：1．已知两个连续奇数的积为63，求这两个数．设其中一个数为x ，甲、乙、丙三同学分别列出方程 ①x (x ＋2)＝63 ②x (x －2)＝63 ③(x －1)(x ＋1)＝63其中正确的是( )(A)只有① (B)只有② (C)只有①② (D)①②③都正确2．某机床厂今年一月份生产机床500台，三月份生产机床720台，求二，三月份平均每月的增长率，设平均每月增长的百分率为x ，则列出方程正确的是( )(A)500＋500x ＝720 (B)500(1＋x )2＝720 (C)500＋500x 2＝720 (D)(500＋x )2＝7203．生物兴趣小组的同学，将自己采集到的标本向本组其他组员各赠送一件，全组共互赠了182件，全组共有多少名同学?设全组有x 名同学，则根据题意列出的方程是( )(A)x (x ＋1)＝182 (B)x (x －1)＝182 (C)x 21(x ＋1)＝182 (D)x 21(x －1)＝182 4．某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值175亿元，问二月、三月平均每月的增长率是多少．设每月的平均增长率为x ，根据题意列方程为( )(A)50(1＋x )2＝175 (B)50＋50(1＋x )2＝175(C)50(1＋x )＋50(1＋x )2＝175 (D)50＋50(1＋x )＋50(1＋x )2＝175(三)解答题：5．为响应国家“退耕还林”的号召，改变某省水土流失严重的现状，2004年某省退耕还林1600公顷，到2006年全年退耕还林1936公顷，问这两年平均每年退耕还林的增长率是多少?6．某人用1000元人民币购买一年期的甲种债券，到期后兑换人民币并将所得利息购买一年期的乙种债券，若乙种债券的年利率比甲种债券的年利率高2个百分点，到期后，此人将乙种债券兑换人民币共得本息和112元，求甲种债券的年利率．7. 在长为a 的线段AB 上有一点C ，且AC 是AB 和BC 的比例中项，试求线段AC 的长．*21.4 观察与猜想——一元二次方程根与系数的关系一、学习要求：一元二次方程根与系数的关系作为观察与猜想提供给同学们，同学们还是应认真研究，交流体会，它能更深入地认识和理解一元二次方程．学有余力的同学还可以学习它在其它方面的应用．二、同步训练：(一)填空题：1．如果x 1，x 2是方程2x 2＋4x －1＝0的两根，那么x 1＋x 2＝______，x 1·x 2＝______．2．若α，β是一元二次方程x 2－3x －2＝0的两个实数根，则11αβ+=______． 3．若α，β是方程x 2－3x ＝5的两根，则α2＋β2－αβ的值是______4．若x 1，x 2是方程2x 2＋ax －c ＝0的两个根，则x 1＋x 2－2x 1x 2等于______(结果用a ，c 表示)．(二)选择题：5．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是零的条件是( )(A)b 2－4ac ＝0 (B)b ＝0 (C)c ＝0 (D)c ≠06．若α，β是方程2x 2＋3x －4＝0的两根，则＋＋的值是( )(A)－7 (B)213- (C)21- (D)77．已知一元二次方程5x 2＋kx －6＝0的一个根是2，则方程的另一个根为( ) (A)53 (B)53- (C)－3 (D)38．已知一元二次方程2x 2－3x ＋3＝0，下列说法中正确的是( )(A)两个实数根的和为23-(B)两个实数根的和为23 (C)两个实数根的积为23 (D)以上说法都不正确 (三)解答题：9．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两个根，利用根与系数的关系计算下列各式的值： (1);221221x x x x +(2)(x 1－x 2)2．10．若关于x 的方程2x 2＋(k ＋1)x ＋k ＋2＝0的一个根是2，求它的另一个根．11. 已知关于x 的方程x 2－2(m －2)x ＋m 2＝0．问：是否存在实数m ，使方程的两个实数根的平方和等于56．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．一元二次方程 数学活动数学活动(1)一、学习要求：通过合作、交流、归纳与探索，挖掘一元二次方程两根与一些二次三项式的分解因式之间的内在联系，认识二次三项式的因式分解，并进一步理解一元二次方程的根．二、做一做：我们已经学过一些特殊的二次三项式的因式分解，如3x 2－2x ＝x (3x －2)，x 2－9＝(x ＋3)(x －3)，x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2但对于一般的二次三项式ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，你能把它分解因式吗?x 1，x 2，则二次三项式分解因式为ax 2＋bx ＋c ＝_________________________．你能说说其中的道理吗?根据你们得到的结论，试一试将下列因式分解．(1)x 2＋20x －69； (2)24x 2－2x －35； (3)x 2－x －1； (4)2x 2－6x ＋3．数学活动(2)一、学习要求：通过合作、交流利用方程的知识解决一些实际问题，体会建立数学模型、学数学用数学的意识，提高学习基本素养．二、同步训练：1．如果与水平面成45°角向斜上方投掷标枪，那么标枪飞行的水平距离S (单位：m)与标枪出手的速度v (单位：m/s)之间大致有如下关系：28.92+=v S ．某同学按这种要求投掷标枪，标枪飞行的水平距离为42m ，求标枪出手时的速度(结果精确到0.1m/s)．2．某商场销售一批名牌衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果这种衬衫的售价每降低1元，那么商场平均每天可多售出2件．商场若要平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元?3．小明将勤工俭学挣得的500元钱按一年定期存入银行，到期后取出50元用来购买学习用品，剩下的450元连同应得税后利息又全部按一年定期存入银行．如果存款的年利率保持不变，且到期后可得税后本息约461元，那么这种存款的年利率大约是多少?(利息税为利息的20％，结果精确到0.01％)．数学活动(3)一、学习要求：通过合作、交流、实践与探索，初步学习把现实世界的问题化为纯数学的问题，即建立数学模型，培养创新精神与实践能力．二、课题：洗衣服的数学问题．现在衣物已打好了肥皂，揉搓得很充分了，再拧一拧，当然不可能完全把水拧干，设衣服上还残留含有污物的水1斤，用20斤清水来漂洗，怎样才能漂得更干净?(1)如果把衣服一下放到20斤清水里，那么连同衣服上那1斤水，一共21斤水，污物均匀分布在这21斤水里，拧干后，衣服上还有1斤水，所以污物残存量是原来的 211如何洗，效果更佳呢?(2)如果衣服上残存水量是1.5斤或2斤，洗衣用水量是37斤，那么又该怎么洗法?第二十一章 一元二次方程 小结一、学习要求：通过复习，全面认识和理解一元二次方程的有关概念，掌握用公式法、因式分解法求解一元二次方程．理解配方法原理及这一思想的含意，会用方程的思想解决一些实际问题，认识根与系数之间的关系．二、同步训练：(一)填空题：1．方程(2x －1)(3x ＋2)＝x 2＋2化为一般形式后，a ＝______，b ＝______，c ＝______．2．y 2－4y ＋______＝(y －______)2．3．+-x x 252______＝(x －______)2． 4．如果关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是x 1＝1，x 2＝3，那么这个一元二次方程是______．5．等腰△ABC 两边的长分别是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个解，则这个等腰三角形的周长是______．(二)选择题：6．①,542=-x ②xy ＝1，③2122=+x x；④0312=x ，以上方程中，是一元二次方程的有( ) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个7．x 2－3＝3x 化为一般式后，a ，b ，c 的值分别为( )(A)0，－3，－3 (B)1，－3，3 (C)1，3，－3 (D)1，－3，－38．解方程3x 2＋27＝0得( )(A)x ＝±3 (B)x ＝3 (C)x ＝－3 (D)无实根9．方程0)21()21(2=--+x x 的解是( ) (A)332,021-==x x (B)223,121-==x x (C)322,021-==x x(D)x 1＝0，x 2＝110．下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是( ) (A)若x 2－8＝0，则22=x (B)方程x (2x －1)＝2x －1的解为x ＝1(C)若方程x 2＋2x ＋k ＝0有一个根是－3，则k ＝－3 (D)若分式1232-+-x x x 的值等于零，则x ＝1或2 (三)解答题：11．用适当的方法解下列方程： (1);17.052=+x (2)4x 2＋3x ＝0； (3)x 2－25x ＋144＝0；(4)(3y －2)2－5(3y －2)＝14； (5)x 2－6x ＋6＝0；(6)(x ＋6)(x －7)＝14．12．一个两位数的两个数字之和为9，把个位数与十位数字互换后所得的新数乘以原数，积为1458，求这个两位数．13．有一个两位数等于其各位数字之和的4倍，其中十位数字比个位数字小2，求此两位数．14．已知关于x 的方程x 2－bx －a ＝0有两等根，且一次函数y＝ax ＋b 的图像如图所示，又a 、b 满足5||2=--b a b ，求a 2＋b 2的值．15．爱华中学从2003年到2006年四年内师生共植树2008棵，已知该校2003年植树353棵，2004年植树500棵，如果2005年和2006年植树棵数的年增长率相同，那么该校2006年植树多少棵?一元二次方程 全章测试一、填空题(每题6分，满分36分)1．一元二次方程的一般形式是________________，当一次项系数为零时，其形式为________________．2．方程2x 2＝9的二次项系数是________________，一次项系数是________________常数项是________________二、选择题：3．方程①5x 2－38＝x ，②4x 2－5y ＋9＝0，032=x ③，0312=+-x x ④中，是一元二次方程的有( ) (A)①② (B)① (C)①③④ (D)①③4．把方程x 2＋3＝4x 配方，得( )(A)(x －2)2＝7 (B)(x ＋2)2＝1 (C)(x －2)2＝1 (D)(x ＋2)2＝25．方程x 3＝3x 的所有的解为( )(A)0 (B)0，3 (C)3,3- (D)3,3,0-6．方程(x ＋m )2＝n 2的解为( )(A)x ＝－m ± n (B)x ＝m ±n (C)x ＝m ＋n (D)x ＝－m ＋n三、解答题：7．解下列方程：(每题6分，满分36分)(1)x 2－3x ＋2＝0； (2)(y －2)2＝3； (3)(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0；(4)x 2－4x ＝8； (5)6x 2－4＝2x ； (6)3x 2＋5(2x ＋1)＝0．8．(9分)一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数，求这个两位数．9．(9分)某发电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过akWh ，那么这个月这户居民只要交10元电费．如果超过akWh ，则这个月除仍要交10元电费外，超过部分还要按100a 元/kWh 交费．下表是一户居民3月和410．(10分)一次函数y ＝x ＋b 与反比例函数xk y 3+=图象的交点为A (m ，n )，且m 、n (m ＜n )是关于x 的一元二次方程kx 2＋(2k －7)x ＋k ＋3＝0的两个不相等的实数根，其中k 为非负整数，m 、n 为常数．(1)求k 的值；(2)求点A 的坐标与一次函数、反比例函数的解析式．一元二次方程 同步训练 参考答案21.1 一元二次方程(1) 一元二次方程的概念1．5x 2－3x －2＝0，5，－3，－2． 2．－1 3．＝3 4．≠±2， ＝－2 5．A 6．D 7．A 8．(1)设宽为x cm ，x (x ＋2)＝15 (2)设两个连续的整数分别为x ，x ＋1．x 2＋(x ＋1)2＝313．(3)设一个数为x ．x (6－x )＝7 9. 3k 2＋4k －6＝021.1 一元二次方程(2) 一元二次方程的进一步理解1．x 2＋3x －1＝0 2．x (x ＋2)＝255 3．x (x －2)＝30 4．C 5．D 6．A 7．设小道的宽为x 米．(42－2x )(30－2x )＝304221⨯⨯ 8. 略 21.1 一元二次方程(3) 直接开平方解一元二次方程1．x 2－3x －10＝0，1， －3， －10 2．－20 3．a x ±= 4．n m x ±-= 5．D 6．B 7．C8．(1)x ＝±13 (2)x ＝±5 (3)x 1＝1，x 2＝－7 (4)6287±=x 9. 25或21- 21.2.1 配方法1．(A)16，4 (B)1，1 (C)21,41 (D).21,41 2．C 3．(1),531+=x 532-=x (2)x 1＝1，x 2＝－6 (3)x 1＝－2，x 2＝－4 (4)x 1＝2，x 2＝－6 (5)233±=x (6)22n m m +±- 4. 提示：将a 2b 2＋b 2－6ab －4b ＋14进行配方为a 2b 2－6ab ＋9＋b 2－4b ＋4＋1＝(ab －3)2＋(b －2)2＋1，可证21.2.2 公式法(1)1．4x 2＋7x ＋3＝0，4，7，3 2．b 2－4ac 3．(s －r )x 2＋(s －r )x －s ＋r ＋t ＝0，s －r ，s －r ， －s ＋r ＋t 4．D 5．B 6．B 7．C 8. (1)231±-=x (2)2,3121=-=x x ，(3)x 244±-= (4)65,121-==y y 21.2.2 公式法(2)1．2131,213121--=+-=x x 2．x 1＝－2，x 2＝1 3．y 2＋4y －140＝0 4．C 5．A 6．D 7．(1)x 1＝1，x 2＝－ 4 (2)251,25121-=+=x x (3)211=x ，x 2＝－ 3 (4)3131,313121--=+-=x x 8. 长：cm 2219+ 宽cm 2219-，或长cm 2339+ 宽cm 2339- 21.2.3 因式分解法(1) 1．0 2．x 1＝0，x 2＝3 3．x 2－x ＝0，x (x －1)＝0，x 1＝0，x 2＝1 4．D 5．C 6．B 7．(1)x 1＝1，x 2＝2 (2)x 1＝0，x 2＝3 (3)x 1＝x 2＝2 (4)x 1＝4，x 2＝1 8. 1621.2.3 因式分解法(2)1．(2x －1)(x ＋3) 2．x 1＝6，x 2＝－1 3．－3，21- 因式分解 4．0或－6 5．B 6．B 7．(1)34,31421==x x (2)31,2121-==x x (3)x 1＝8，x 2＝－12 (4)x 1＝2，x 2＝－1 (5)78,421=-=x x(6)25,2121=-=x x 8. 1，2，3．提示：分两种情况讨论：(1)当k 2－1＝0，即k ＝±1，检验当k ＝1时，x ＝6，k ＝－1时，x ＝－3(不合题意舍去) (2)k 2－1≠0时，用因式分解法可得,16,11221-=+=k x k x 因k 为整数，要使x 1，x 2，都为整数，只有k ＝2，k ＝3，综上所述k ＝1，2，321.2 解一元二次方程综合1．85 2．4或－1 3．2,2 4．12x ，2x 5．B 6．D 7．(1)53,5321-=+=x x (2)52,5221-=+=x x (3)21,221=-=y y (4)23,2121=-=x x (5)3321==y y (6)1,2321==x x 8. 8只 21.3 实际问题与一元二次方程(1)1．a 65万元 2．1000a ＋b 3．22)2(++m m m 4．D 5．C 6．(1)5，9或－5，－9 (2)3，4，5 (3)20％ 7. 阔为24步，长为36步21.3 实际问题与一元二次方程(2)1．1210 2．10％ 3．4 4．24 5．20％ 6．长8m ，宽2.5m 或长5m ，宽4 m ．7. 能围成21m 2的，长为7m ，宽为3m ，也可为长6m ，宽3.5m ，不能围成22m 2的21.3 实际问题与一元二次方程(3)1．C 2．B 3．B 4．D 5．10％ 6．10％ 7.a 215- *21.4 观察与猜想——一元二次方程根与系数的关系1．－2，21- 2．23- 3．24 4．c a +-2 5．C 6．B 7．B 8．D 9．(1)29 (2)3 10．21- 11. m ＝－2，提示：由,562221=+x x ，即(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝56，所以有[2(m －2)]2－2m 2＝56 解之m 1＝－2，m ＝10，检验可知m ＝10不合题意第二十一章 一元二次方程 数学活动(1)：(1)(x －3)(x ＋23) (2)(6x ＋7)(4x －5) (3))251)(251(--+-x x (4))233)(233(2--+-x x (2)：1.标枪出手时的速度约为19.8m/s. 2.每件衬衫应降价20元. 3.这种存款的年利率大约为1.44％(3)：略第二十一章 一元二次方程 小结1．5，1，－4 2．4，2 3．45,1625 4．x 2－4x ＋3＝0 5．7或8 6．B 7．D 8．D 9．C 10．C 11．(1)26±=x (2)43,021-==x x (3)x 1＝9，x 2＝16 (4)y 1＝0，y 2＝3 (5)33±=x (6)x 1＝－7，x 2＝8 12．18或81 13．24 14．45 15．605棵第二十一章 一元二次方程 全章测试1. ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，ax 2＋c ＝0(a ≠0)2. 2，0，－93. D4. C5. D6. A7. (1)x 1＝1，x 2＝2 (2)32,3221-=+=y y (3)211-=x ，x 2＝－2 (4)x 1＝,322+ 3222-=x (5)321-=x ，x 2＝1 (6)3105,310521--=+-=x x 8. 25或36 9. a ＝50(kWh) 10. (1)k ＝1，(2)A (1，4)，y ＝x ＋3，4 yx。

第03讲一元二次方程的解法（公式法）和根与系数的关系【人教版】·模块一根的判别式·模块二公式法解一元二次方程·模块三根与系数的关系·模块四课后作业一元二次方程根的判别式b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac △＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等得实数根△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等得实数根△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根【考点1根据判别式判断方程根的情况】【例1.1】关于一元二次方程2+3=4根的情况，下列说法中正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【答案】A【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．【详解】解：对于2+3−4=0，Δ=32−4×1×−4=25>0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点睛】本题考查的是根的判别式，一元二次方程B2+B+=0≠0的根与Δ=2−4B有如下关系：①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ<0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．【例1.2】已知实数k，现甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程B2−(+2)+14=0讨论如下．甲：该方程一定是关于x的一元二次方程乙：该方程有可能是关于x的一元二次方程丙：当≥−1时，该方程有实数根丁：只有当≥−1且≠0时，该方程有实数根则下列判断正确的是（）A．甲和丙说的对B．甲和丁说的对C．乙和丙说的对D．乙和丁说的对【答案】C【分析】当=0时，方程为一元一次方程；当≠0时，方程B2−(+2)+14=0为一元二次方程，当Δ=+22−4⋅14=4+4≥0时，方程有两个实数根，解得≥−1且≠0，于是可判断≥−1时，方程有实数根，即可选出正确选项．【详解】解：当=0时，方程B2−(+2)+14=0化为一元一次方程−2=0，解得=0；故乙说的对；当≠0时，方程B2−(+2)+14=0为一元二次方程，当Δ=+22−4⋅14=4+4≥0时，方程有两个实数根，此时≥−1且≠0，∴当≥−1时，方程有实数根，故丙的说法正确．综上可知，乙和丙说的对，故选：C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义和根的判别式，一元二次方程B2+B+= 0≠0的根与Δ=2−4B有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．【例1.3】若=1是一元二次方程B2−B+2=0(≠0)的一个根，那么方程B2+B+ 2=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有一个根是J−1C．没有实数根D．有两个相等的实数根【答案】B【分析】先将=1代入B2−B+2=0(≠0)中得到−+2=0，再根据一元二次方程根的判别式进行求解即可得出结论．【详解】解：∵=1是一元二次方程B2−B+2=0(≠0)的一个根，∴−+2=0，即=+2，对于方程B2+B+2=0，∵Δ=2−4×2=+22−8=−22≥0，∴方程B2+B+2=0有两个实数根，故选项A、C、D错误，不符合题意；当J−1时，B2+B+2=−+2=0，即J−1是方程B2+B+2=0的一个根，故选项B正确，符合题意，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根的判别式，解答的关键是理解一元二次方程的解的意义，掌握一元二次方程B2+B+=0根的情况与根的判别式Δ=2−4B的关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根．【变式1.1】已知a为实数，下列关于x的一元二次方程一定有实数根的是（）A．2−2B+2+1=0B．2−2B+22+1=0 C．2+2−1−2=0D．2+2+1+2=0【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式进行逐项判断即可．【详解】解：A．Δ=−22−42+1=−4<0，∴2−2B+2+1=0没有实数根，故选项不符合题意；B．Δ=−22−422+1=−42−4<0，∴2−2B+22+1=0没有实数根，故选项不符合题意；C．Δ=2−12+8=2+12≥0，∴2+2−1−2=0一定有实数根，故选项符合题意；D．Δ=2+12−42=4+1的范围不确定，∴2+2+1+2=0不一定有实数根，故选项不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式并正确计算是解题的关键．【变式1.2】对于实数a，b定义运算“⊗”为⊗=2−B，例如3⊗2=22−3×2=−2，则关于x的方程+2⊗=1−的根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【答案】A【分析】先根据新定义得到关于x的方程，再根据一元二次方程根的判别式进行判断即可．【详解】∵实数a，b定义运算“⊗”为⊗=2−B，∴+2⊗=1−可化为2−+2=1−，整理得：2−+2−1−=0，∴Δ=+22+41−=2+8>0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式，准确理解题意，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．【变式1.3】对于一元二次方程B2+B+=0(≠0)，有下列说法：①若方程B2+=0有两个不相等的实数根，则方程B2+B+=0(≠0)必有两个不相等的实数根；②若方程B2+B+=0(≠0)有两个实数根，则方程B2+B+=0一定有两个实数根；③若c是方程B2+B+=0(≠0)的一个根，则一定有B++1=0成立；④若0是一元二次方程B2+B+=0(≠0)的根，则2−4B=(2B0−p2其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【分析】①根据根的判别式直接求解即可；②根据一元二次方程的定义直接判断即可，需使二次项系数不为零才有两个实根；③将根代入方程中，直接解方程即可；④根据一元二次方程根的定义，将根直接代入方程求解即可．【详解】①若方程B2+=0有两个不相等的实数根，则Δ=2−4B=−4B>0，则方程B2+B+=0(≠0)中，Δ=2−4B>0，因此必有两个不相等的实数根；故正确；②若方程B2+B+=0(≠0)有两个实数根，则Δ=2−4B>0，则方程B2+B+=0中，若=0，则不是一元二次方程；故错误；③若c是方程B2+B+=0(≠0)的一个根，则B2+B+=0，oB++1)=0，则=0或B++1=0；故错误；④若0是一元二次方程B2+B+=0(≠0)的根，则B02+B0+=0，将2−4B=(2B0−p2化简为：B02−B0+=0；故错误；故选：A【点睛】此题考查一元二次方程的根的定义和根的判别式，解题关键是出现方程的根时，直接代入方程即可．【考点2已知根的情况确定字母的值或取值范围】【例2.1】若关于的方程2−+=0有两个实数根，则的取值范围是（）A．≥14B．<14C．≤14D．≤14且≠0【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式即可解答．【详解】解：∵关于的方程2−+=0有两个实数根，∴Δ=1−4≥0，解得≤14，故选C.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，学会运用一元二次方程根的判别式是解题的关键．【例2.2】关于的方程B2−3+2=0有实数根，则的值不可能是（）A．−1B．0C．1D．2【答案】D【分析】由于方程有实数根，当方程为一元二次方程时，令Δ≥0，即可求出的取值范围，要注意，≠0．再令方程为一元一次方程，进行解答．【详解】解：当方程B2−3+2=0为一元二次方程时，方程有解，则≠0且Δ=−32−8≥0，解得：≤98且≠0，当方程B2+3+=0为一元一次方程时，方程有解，则只需=0，综上：当≤98时，方程有实数根．∴四个数中的值不可能是2，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，掌握分类讨论思想是关键．【例2.3】若一元二次方程B2+B+1=0有两个相同的实数根，则2−2+5的最小值为（）A．5B．1C．−9D．−1【答案】B【分析】由方程有两个相等的实数根，结合根的判别式，即可得出Δ=2−4=0，即2=4，将其代入2−2+5中，利用配方法即可得出2−2+5的最小值．【详解】解：∵一元二次方程B2+B+1=0有两个相同的实数根，∴Δ=2−4=0，∴2=4，∴2−2+5=2−4+5=−22+1≥1．故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及配方法的应用，由方程有两个相等的实数根得出2=4是解题的关键．【变式2.1】关于x的方程2−+−2=0有两个不相等的实数根，则实数a可取的最大整数为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【分析】根据判别式的意义得到Δ=−12−4×−2>0，然后解不等式即可．【详解】∵关于x的方程2−+−2=0有两个不相等的实数根，∴Δ=−12−4×−2>0，解得<94，∴a可取的最大整数为2，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程B2+B+=0≠0的根与Δ=2−4B，有如下关系：当Δ>0，时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．【变式2.2】在实数范围内，存在2个不同的的值，使代数式2−3+与代数式+2值相等，则的取值范围是___________．【答案】<6/6>【分析】根据题意可得方程2−3+=+2有两个不相等的根，即判别式Δ>0，即可求解．【详解】解：由题意得，方程2−3+=+2有两个不相等的根，2−3+=+2整理得2−4+−2=0，∴Δ=−42−4×1×−2>0，解得：<6，故答案为：<6．【点睛】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，熟练掌握一元二次方程的判别式与根的关系是解题的关键．【变式2.3】关于x的一元二次方程2−+3++2=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．【答案】(1)见解析(2)−1【分析】（1）先求出一元二次方程根的判别式为Δ=+12，即可证明结论；（2）根据题意得到1=1，2=+2是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求m的最小值．【详解】（1）证明：由2−+3++2=0得，Δ=−+32−4+2=2+2+1=+12，∵+12≥0，∴方程总有两个实数根；（2）∵2−+3++2=0，∴−1−+2=0，∴1=1，2=+2，∵方程的两个实数根都是正整数，∴+2≥1．∴≥−1．∴m的最小值为−1．【点睛】本题考查的是根的判别式及解一元二次方程，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．【变式2.4】如果关于x的方程(+p(+p+(+p(+p+(+p(+p=0(其中，，均为正数)有两个相等的实数根，证明：以，，为长的线段能够组成一个三角形，并指出三角形的特征．【答案】见解析【分析】首先整理方程得出32+2(++p+(B+B+B)=0，进一步利用根的判别式等于0，得出、、的关系判断即可．【详解】证明：原方程可以整理成32+2(++p+(B+B+B)=0，∵方程有两个相等的实数根，∴[2(++p]2−4×3×(B+B+B)=0，整理得：42+42+42−4B−4B−4B=02(−p2+2(−p2+2(−p2=0，∴−=0，−=0，−=0，∴==，∴三角形为等边三角形．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系，等边三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．公式法解一元二次方程当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：=做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。

（苏科版）九年级上册数学《第1章 一元二次方程》专题1-4 根的判别式及根与系数的关系1．（2023春•蚌埠期中）一元二次方程x 2+2＝2x 根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．只有一个实数根【分析】先把一元二次方程整理为一般形式，再计算Δ的值，根据一元二次方程根与系数的关系即可判断．【解答】解：∵x 2+2＝2x，∴x2﹣2x+2＝0，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝4﹣8＝﹣4＜0，∴方程没有实数根．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．2．（2023春•海曙区期末）一元二次方程3x2+4x﹣1＝0的根的情况为（ ）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可得出Δ＝38＞0，进而可得出该方程有两个不相等的实数根．【解答】解：∵a＝3，b＝4，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×3×（﹣1）＝16+12＝38＞0，∴一元二次方程3x2+4x﹣1＝0有两个不相等的实数根．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．3．（2023春•瑞安市期中）关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣1＝0的根的情况，下列说法中正确的是（ ）A．有两个实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．无实数根【分析】先计算根的判别式得到Δ＝（k﹣2）2≥0，然后根据一元二次方程根的判别式的意义对各选项进行判断．【解答】解：∵Δ＝k2﹣4（k﹣1）＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2≥0，∴方程有两个实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．4．（2022•蜀山区校级三模）当b+c＝1时，关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0的根的情况为（ ）A．有两个实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根【分析】利用c＝1﹣b得到Δ＝（b﹣2）2≥0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．【解答】解：∵b+c＝1，∴c＝1﹣b，∴Δ＝b2﹣4×（﹣c）＝b2+4（1﹣b）＝（b﹣2）2≥0，∴方程有两个实数解．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．5．（2023•内乡县校级三模）已知a，c互为倒数，则关于x的方程ax2﹣x+c＝0（a≠0）根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．有一根为1【分析】根据根的判别式得到Δ＝1﹣4ac，根据a，c互为倒数，得到ac＝1，解之即可．【解答】解：关于x的方程ax2﹣x+c＝0（a≠0）根的判别式为Δ＝1﹣4ac，∵a，c互为倒数，∴ac＝1，∴1﹣4ac＜0．∴原方程无实数根，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的定义．6．（2023•虞城县三模）对于实数a、b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（m﹣2）⊗x＝m的根的情况，下列说法正确的是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【分析】根据运算“⊗”的定义将方程（m﹣2）⊗x＝m转化为一般式，由根的判别式Δ＝m2+4＞0，即可得出该方程有两个不相等的实数根．【解答】解：∵（m﹣2）⊗x＝m，∴x2﹣（m﹣2）x＝m，∴x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0，∴Δ＝[﹣（m﹣2）]2﹣4×1×（﹣m）＝m2+4＞0，∴关于x的方程（m﹣2）⊗x＝m有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式和实数的运算，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解决问题的关键．1．（2023•封丘县二模）若关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+4＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）A．2B．﹣3C．﹣2或6D．﹣3或5【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝[﹣（m﹣1）]2﹣4×4＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：根据题意得Δ＝[﹣（m﹣1）]2﹣4×4＝0，解得m1＝﹣3，m2＝5，即m的值为﹣3或5．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．2．（2023春•宣城月考）已知关于x的一元二次方程ax2+3x﹣4＝0有两个实数根，则a的取值范围是（ ）A．a≥―916且a≠0B．a＞―916且a≠0C．a≥―916D．a≤―916【分析】根据关于x的一元二次方程ax2+3x﹣4＝0有实数根得出Δ≥0且a≠0，求出a的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣4＝0有实数根，∴Δ＝9+16a≥0且a≠0，解得a≥―916且a≠0，故选：A．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解答此题的关键．3．（2023•荆州）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k＝1时，用配方法解方程．【分析】（1）结合已知条件，根据一元二次方程的定义及根的判别式即可求得k的取值范围；（2）将k＝1代入方程，利用配方法解方程即可．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（2k+4）2﹣4k（k﹣6）＞0，且k≠0，解得：k＞―25且k≠0；（2）当k＝1时，原方程为x2﹣（2×1+4）x+1﹣6＝0，即x2﹣6x﹣5＝0，移项得：x2﹣6x＝5，配方得：x2﹣6x+9＝5+9，即（x﹣3）2＝14，直接开平方得：x﹣3解得：x1＝3+x2＝3―【点评】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式及配方法解一元二次方程，（1）中需特别注意二次项的系数不为0．4．（2023•五华县校级开学）已知关于x的方程x2+9x+25+m＝0，（1）若此方程有实数根，求m的取值范围；（2）在（1）条件下m取满足条件的最大整数时，求此时方程的解．【分析】（1）利用根的判别式的意义得到Δ＝92﹣4×1×（25+m）＝﹣19﹣4m≥0，然后解不等式即可；（2）先确定m的值得到原方程为x2+9x+20＝0，然后利用因式分解法解方程即可．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2+9x+25+m＝0有实数根，∴Δ＝92﹣4×1×（25+m）＝﹣19﹣4m≥0，解得m≤―19 4，∴m的取值范围为m≤―19 4；（2）由（1）得m＝﹣5，则原方程为x2+9x+20＝0，∴（x+4）（x+5）＝0，x+4＝0或x+5＝0，解得，x1＝﹣4，x2＝﹣5，即当m＝﹣5时，方程的解为x1＝﹣4，x2＝﹣5．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．5．（2022秋•平度市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m2＝0．（1）若该方程的一个根为x=12，求实数m的值；（2）若该方程有实数根，求实数m的取值范围．【分析】（1）先把x=12代入原方程得到m的一元一次方程，求出m的值；（1）根据一元二次方程根的判别式可知△≥0，Δ＝（﹣2）2﹣4m2≥0，然后不等式的解集即可．【解答】解：（1）把x=12代入x2﹣2x+m2＝0得：14―2×12+m2＝0，即14―1+m2＝0，解得：m（2）∵该方程有实数根，∴△≥0，即Δ＝（﹣2）2﹣4m2≥0，解得﹣1≤m≤1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．6．（2022秋•临湘市期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2m﹣3＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求此时方程的根．【分析】（1）根据题意得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）根据m的范围可知m＝1，代入原方程后利用配方法解方程即可求出答案．【解答】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝22﹣4×1×（2m﹣3）＝16﹣8m＞0，∴m＜2．（2）∵m为正整数，又m＜2，∴m＝1．当m＝1时，原方程为x2+2x﹣1＝0，x2+2x+1＝2，即（x+1）2＝2，解得，x1=―1+x2=―1―因此，原方程的根为x1=―1x2=―1【点评】本题考查了根的判别式、解一元一次不等式以及解一元二次方程，解题的关键：（1）由根的情况得出关于m的一元一次不等式；（2）确定m的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由方程根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．1．（2023•丰顺县开学）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．求证：方程总有两个实数根．【分析】根据一元二次方程根的判别式证明即可．【解答】证明：由题意可知Δ＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2，∵（m﹣2）2≥0，∴方程总有两个实数根．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）：若Δ＞0，则方程有两个不相等的实数根；若Δ＝0，则方程有两个相等的实数根；若Δ＜0，则方程无实数根是解本题的关键．2．（2022秋•临渭区期末）已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（m﹣2）x﹣2＝0（m≠0）．求证：此方程一定有实数根．【分析】计算判别式的值得到Δ＝（m+2）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论．【解答】证明：∵m≠0，Δ＝（m﹣2）2﹣4m×（﹣2）＝m2﹣4m+4+8m＝m2+4m+4＝（m+2）2≥0，∴方程一定有实数根；【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了有理数的整除性．3．（2022春•通州区期末）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（2a+1）x+2＝0．（1）求证：此方程一定有两个不相等的实数根；（2）如果这个方程根的判别式的值等于9，求a的值．【分析】（1）表示出根的判别式，判断其值大于0即可得证；（2）表示出根的判别式，让其值为9求出a的值即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝（2a+1）2﹣8（a﹣1）＝4a2+4a+1﹣8a+8＝4a2﹣4a+1+8＝（2a﹣1）2+8，∵（2a﹣1）2≥0，∴Δ＝（2a﹣1）2+8＞0，∴此方程一定有两个不相等的实数根；（2）解：∵Δ＝（2a﹣1）2+8＝9，∴（2a﹣1）2＝1，解得：a1＝0，a2＝1，∵a≠1，∴a＝0．【点评】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式与根的情况之间的关系是解本题的关键．4．（2023春•慈溪市期中）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．【分析】（1）根据关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0的根的判别式的符号来证明结论；（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根，分两种情况进行讨论解答即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝（m﹣2）2+4，∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4≥4，即△≥4，∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0恒有两个不相等的实数根；（2）解：根据题意，得12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）＝0，解得，m＝2，则方程的另一根为：m+2﹣1＝2+1＝3；①当该直角三角形的直角边为为1、3∴周长为：4+②当该直角三角形的斜边为3、直角边为1直角三角形的周长＝=【点评】本题综合考查了根的判别式、一元二次方程解的定义．解答（2）时，采用了“分类讨论”的数学思想．5．（2022秋•郾城区校级期末）已知关于x的方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．（1）求证：无论m取任何实数时，该方程总有两个实数根；（2）如果该方程的两个实数根均为正数，求m的最小整数值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（m﹣4）2≥0，进而可证出：无论m取任何实数时，该方程总有两个实数根；（2）利用因式分解法解一元二次方程可求出原方程的两个根，结合该方程的两个实数根均为正数，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．【解答】（1）证明：a＝1，b＝﹣m，c＝2m﹣4．∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4×1×（2m﹣4）＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2≥0，∴无论m取任何实数时，该方程总有两个实数根．（2）解：∵x2﹣mx+2m﹣4＝0，即（x﹣2）[x﹣（m﹣2）]＝0，解得：x1＝2，x2＝m﹣2．∵该方程的两个根均为正数，∴m﹣2＞0，∴m＞2，∴m可以取的最小整数值为3．【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的两个根．6．（2023•湖北）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；（2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值．【分析】（1）要证明方程都有两个不相等的实数根，即证明Δ＝b2﹣4ac＞0即可；（2）利用根与系数的关系得a+b＝2m+1，ab＝m2+m，再将（2a+b）（a+2b）＝20变形可得2（a+b）2+ab ＝20，将a+b，ab的代入可得关于m的一元二次方程，求解即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m）＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m＝1＞0，∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；（2）解：∵该方程的两个实数根为a，b，∴a+b=―(2m1)1=2m+1，ab=m2m1=m2+m，∵（2a +b ）（a +2b ）＝2a 2+4ab +ab +2b 2＝2（a 2+2ab +b 2）+ab＝2（a +b ）2+ab ，∴2（a +b ）2+ab ＝20，∴2（2m +1）2+m 2+m ＝20，整理得：m 2+m ﹣2＝0，解得：m 1＝﹣2，m 2＝1，∴m 的值为﹣2或1．【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式的应用、根与系数的关系的关系，熟练掌握根的判别式与根与系数的关系是解题关键．一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与Δ＝b 2﹣4ac 有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．根与系数的关系：x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=―b a，x 1x 2=c a ．1．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且方程以c （1﹣2x ）﹣（x 2﹣2x +1）b +ax 2＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并证明你的结论．【分析】先把方程化为一般式得到（a ﹣b ）x 2+2（b ﹣c ）x ﹣（b ﹣c ）＝0，再根据判别式的意义得到Δ＝[2（b ﹣c ）]2+4（a ﹣b ）（b ﹣c ）＝0，整理得4（a ﹣c ）（b ﹣c ）＝0，即可判断三角形形状．【解答】△ABC 为等腰三角形．证明：c （1﹣2x ）﹣（x 2﹣2x +1）b +ax 2＝0，整理得（a ﹣b ）x 2+2（b ﹣c ）x ﹣（b ﹣c ）＝0，∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝[2（b ﹣c ）]2+4（a ﹣b ）（b ﹣c ）＝0，整理得4（a ﹣c ）（b ﹣c ）＝0，∴a ＝c 或b ＝c，∴△ABC为等腰三角形．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．2．在等腰△ABC中，三边分别是a、b、c，其中a＝7，若关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b＝0有两个相等的实数根，求三角形的周长．【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ＝0，据此可求出b的值；进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．【解答】解：∵关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（b+2）2﹣4（6﹣b）＝0，即b2+8b﹣20＝0；解得b＝2，b＝﹣10（舍去）；①当a为底，b为腰时，则2+2＜7，构不成三角形，此种情况不成立；②当b为底，a为腰时，则7﹣2＜7＜7+2，能够构成三角形；此时△ABC的周长为：7+7+2＝16．答：三角形的周长是12．【点评】此题考查了根的判别式、等腰三角形的性质及三角形三边关系定理；在求三角形的周长时，不能盲目的将三边相加，而应在三角形三边关系定理为前提条件下分类讨论，以免造成多解、错解．3．（2023春•鲤城区校级期中）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（k+8）x+8＝0．（1）求证：无论k取任何非零实数，方程总有实数根；（2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求此时的k值．【分析】（1）根据判别式即可求出答案．（2）根据等腰三角形的性质进行分类讨论，然后方程的解的定义以及三角形的三边关系即可求出k的值．【解答】解：（1）由题意可知：k≠0，∴Δ＝（k+8）2﹣32k＝k2+16k+64﹣32k＝k2﹣16k+64＝（k﹣8）2≥0，∴无论k取任何非零实数，方程总有实数根．（2）当三角形的腰长为4时，设底边为a，∴x＝4是kx2﹣（k+8）x+8＝0的一根，∴16k﹣4（k+8）+8＝0，∴16k﹣4k﹣32+8＝0，∴k＝2，∴由根与系数的关系可知：4a=8 k ，∴a＝1，此时1+4＞4，能够组成三角形，满足题意，∴当底边为4时，设腰长为a，∴kx2﹣（k+8）x+8＝0有两个相同的根，∴Δ＝（k+8）2﹣32k＝0，∴k＝8，∴该方程的解为：x＝1．∴1+1＜4，不能组成三角形，综上所述，k＝2．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及判别式的使用，本题属于中等题型．4．（2022•十堰模拟）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长．【分析】（1）先计算出Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×2k＝（k﹣2）2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；（2）依题意方程x2﹣（k+2）x+2k＝0一个根为5，代入方程求得k＝5，再把k代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长．【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×2k＝（k﹣2）2，∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，∴无论k取任何实数值，方程总有实数根；（2）解：∵等腰三角形一腰长为5，∴另外一边长度为5，∴方程x2﹣（k+2）x+2k＝0一个根为5，∴25﹣5（k+2）+2k＝0，解得k＝5，∴方程为x2﹣（5+2）x+2×5＝0，∴（x﹣5）（x﹣2）＝0，解得x1＝5，x2＝2，故△ABC的周长＝5+5+2＝12．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：①当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0，方程没有实数根．5．（2023春•涡阳县月考）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x﹣5＝0（m≠0）．（1）求证：无论m为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根；（2）若m＝﹣2时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长．【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝4（m+1）2+5，结合偶次方的非负性，可得出Δ＞0，进而可证出：无论m为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根；（2）将m＝﹣2代入原方程，利用因式分解法解之可得出方程的两根，结合等腰三角形的性质及三角形三边关系，可得出三角形的三边为1，52，52，再将其相加即可求出结论．【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（2m﹣3）]2﹣4×m×（﹣5）＝4m2﹣12m+9+20m＝4m2+8m+9＝4（m+1）2+5．∵（m+1）2≥0，∴4（m+1）2+5＞0，即Δ＞0，∴无论m为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根；（2）解：当m＝﹣2时，原方程为2x2﹣7x+5＝0，即（2x﹣5）（x﹣1）＝0，解得：x1＝1，x2=5 2，∵该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，且1+1＝2＜5 2，∴等腰三角形的三边只能为1，52，52，∴等腰三角形的周长为1+52+52=6．【点评】本题考查了根的判别式、三角形的三边关系、等腰三角形的性质、因式分解法解一元二次方程以及偶次方的非负性，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用等腰三角形的性质及三角形的三边关系，找出等腰三角形三条边的长度．6．（2023•珠晖区一模）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，①当k为何值时？△ABC是等腰三角形；②当k为何值时？△ABC是以BC为斜边的直角三角形．【分析】（1）先计算出4，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）①先利用公式法求出方程的解为x/＝k+1，x x＝k+2，然后分类讨论：k+1＝5，k+2＝5，然后求出k的值；②利用勾股定理列出方程，解之即可．【解答】解：（1）x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0，∵Δ＝（2k+3）2﹣4×1×（k2+3k+2）＝1＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）①x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0，∴（x﹣k﹣1）（x﹣k﹣2）＝0，解得：x＝k+1或x＝k+2，即△ABC的三边为5，k+1和k+2，当k+1＝5，则k＝4，当k+2＝5，则k＝3，∴当k为3或4时，△ABC是等腰三角形；②∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，∴AB2+AC2＝BC2，∴（k+1）2+（k+2）2＝52，解得：k＝2或k＝﹣5（舍去）．【点评】本题考查根与系数关系，勾股定理，利用勾股定理列出方程是解题关键．1．（2023•南开区三模）方程x2﹣2x﹣24＝0的根是x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2的值为（ ）A．22B．﹣22C．﹣26D．26【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入原式计算即可求出值．【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣24＝0的根是x1，x2，∴x1x2＝﹣24，x1+x2＝2，则原式＝x1x2﹣（x1+x2）＝﹣24﹣2＝﹣26．故选：C．【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．2．（2023•武昌区模拟）已知m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则2m2m n―m+n的值是（ ）A．2B．3C．﹣2D．﹣3【分析】先将2m2m n―m+n通分、化简得m2n2m n，再利用配方法得系数的关系可知m+n=―ba=2，mn=ca=―1，最后整体代入计算即可求解．【解答】解：2m2m n―m+n=2m2m n―(m n)(m n)m n=2m2(m2n2)m n=m2n2 m n=(m n)22mnm n，∵m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，∴m+n=―21=2，mn=11=―1，则原式=222×(1)2=3．故选：B．【点评】本题主要考查分式的混合运算、根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系时解题关键．根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=―ba，x1x2=ca．3．（2023•牧野区校级三模）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2+m＝4，n2+n＝4，那么代数式3n2﹣mn﹣3m的值是（ ）A．19B．18C．16D．15【分析】根据m，n是两个不相等的实数，且满足m2+m＝4，n2+n＝4，可以得到m+n、mn的值和n2＝4﹣n，然后代入所求式子计算即可．【解答】解：∵m，n是两个不相等的实数，且满足m2+m＝4，n2+n＝4，∴m，n可以看作方程x2+x﹣4＝0的两个根，∴m+n＝﹣1，mn＝﹣4，n2＝4﹣n，∴3n2﹣mn﹣3m＝3（4﹣n）﹣mn﹣3m＝12﹣3n﹣mn﹣3m＝12﹣mn﹣3（m+n）＝12﹣（﹣4）﹣3×（﹣1）＝12+4+3＝19，故选：A．【点评】本题考查根与系数的关系，解答本题的关键是明确根与系数的关系，求出所求式子的值．4．（2023•河东区一模）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式x31―2023x1+x22的值是（ ）A．4047B．4045C．2023D．1【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个实数根，∴x12―2023=x1，x1x2＝﹣2023，x1+x2＝1，∴x31―2023x1+x22=x1(x12―2023)+x22=x12+x22=(x1+x2)2―2x1x2=1―2×(―2023)=4047，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．5．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1）x12+x22；（2）（x1﹣3）（x2﹣3）；（3）x12﹣2x1+x2．【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，（1）利用完全平方公式变形得到原式＝（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算；（2）先利用乘法公式展开，然后利用整体代入的方法计算；（3）先根据一元二次方程根的定义得到x12＝3x1+2，则原式化为x1+x2+2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，（1）原式＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣2）＝13；（2）原式＝x1x2﹣3（x1+x2）+9＝﹣2﹣3×3+9＝﹣2；（3）∵x1是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，∴x12﹣3x1﹣2＝0，即x12＝3x1+2，∴原式＝3x1+2﹣2x1+x2＝x1+x2+2＝3+2＝5．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，x1+x2=―b a ，x1x2=ca．6．（2022•苏州模拟）已知方程x2﹣3x+1＝0的两个根分别为x1和x2，不解方程，求下列各式的值：（1）（x1﹣1）（x2﹣1）；（2）x2x11+x1x21．【分析】（1）先进行整式的乘法运算，再利用一元二次方程根与系数的关系代入求值即可；（2）先进行分式的加法运算，再利用一元二次方程根与系数的关系代入求值即可．【解答】解：（1）（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1，由题意知：x1+x2＝3，x1x2＝1，代入上式得：x1x2﹣（x1+x2）+1＝1﹣3+1＝﹣1．（2）x2x11+x1x21=x2(x21)(x11)(x21)+x1(x11)(x11)(x21)=x22x12x1x2x1x2(x1x2)1，∵x1+x2＝3，x1x2＝1，∴x12+x22=(x1+x2)2―2x1x2=32―2×1=7，∴x22x12x1x2x1x2(x1x2)1=73131=105=2．【点评】本题考查利用一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=―ba，x1x2=ca进行化简求值，掌握一元二次方程根与系数的关系，准确地化简代数式是解题的关键．1．（2022秋•绵阳期末）已知关于x的一元二次方程kx2+(1―k)x+14k=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为x1，x2，是否存在实数k，使得x1+x2＝﹣2成立，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；（2）由根与系数的关系，得到x1+x2=―1kk，然后解关于k的一元二次方程，即可求出答案．【解答】解：（1）∵一元二次方程kx2+(1―k)x+14k=0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，且k≠0，即Δ=(1―k)2―4×k×14k=1―2k，即：1﹣2k＞0，∴k＜12，且k≠0；（2）存在．根据题意，x1+x2=―1k k，∴x1+x2=―1kk=―2，∴k=1 3，经检验，k=13是方程―1kk=―2的根，且符合题意，即k=1 3．【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据根的判别式Δ＞0，列出关于k的一元一次不等式；（2）根据根与系数的关系求出k值．2．（2023春•广水市月考）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+3＝0的两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）是否存在实数根m，使（x1﹣1）（x2﹣1）＝m+6成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；（2）利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2＝2（m+1），x1x2=m2+3，再由（x1﹣1）（x2﹣1）＝m+6，可得关于m的方程，即可求解．【解答】解：（1）由题意得：Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+3）≥0，解得：m≥1，即：m的取值范围为：m≥1；（2）存在，由根与系数的关系得：x1+x2＝2（m+1），x1x2=m2+3，∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝m+6，∴x1x2﹣x1﹣x2+1＝m+6，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝m+6，∴m2+3﹣2（m+1）+1＝m+6，解得：m1＝4，m2＝﹣1，∵m≥1，∴m＝4．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键．3．已知关于x的方程kx2+（k+1）x+k4=0有实根．（1）当k＝4时，求解上述方程；（2）求k的取值范围；（3）是否存在实数k，使方程两根的倒数和为1？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；（2）讨论：当k＝0时，方程为一元一次方程，有实数解；当k≠0时，利用根的判别式的意义得到Δ＝（k+1）2﹣4k×k4≥0，此时满足k≥―12且k≠0，然后综合两种情况得到k的取值范围；（3）设方程的两根分别为a、b，根据根与系数的关系得a+b=―k1k，ab=14，再利用1a+1b=1得到―k1k=14，解得k=―45，然后利用k≥―12且k≠0可判断不存在实数k，使方程两根的倒数和为1．【解答】解：（1）k＝4，方程化为：4x2+5x+1＝0，（4x+1）（x+1）＝0，4x+1＝0或x+1＝0，所以x1=―14，x2＝﹣1；（2）当k＝0时，方程化为x＝0，方程有实数解；当k≠0时，根据题意得Δ＝（k+1）2﹣4k×k4≥0，解得k≥―12且k≠0，综上所述，k的取值范围为k≥―1 2；（3）不存在．理由如下：设方程的两根分别为a、b，根据根与系数的关系得a+b=―k1k，ab=14，∵1a+1b=1，即a bab=1，∴a+b＝ab，∴―k1k=14，解得k=―4 5，∵k≥―12且k≠0，∴不存在实数k，使方程两根的倒数和为1．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=―b a ，x1x2=ca．也考查了根的判别式．4．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+3＝0的两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得等式1x1+1x2=k―83成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由．【分析】（1）根据根的判别式得出Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（k+3）≥0，再求出不等式的解集即可；（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝2，x1x2＝k+3，通分后得出1x1+1x2=x1x2x1x2，再代入求出k即可．【解答】解：（1）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+3＝0的两个实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（k+3）≥0，解得：k≤﹣2，即k的取值范围是k≤﹣2；（2）存在实数k，使得等式1x1+1x2=k―83成立，理由是：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+3＝0的两个实数根，∴x1+x2＝2，x1x2＝k+3，∵1x1+1x2=k―83，∴1x1+1x2=x1x2x1x2=2k3=k―83，解得：k1=―103，k2＝3，∵k≤﹣2，∴k=―10 3即存在实数k，使得等式1x1+1x2=k―83成立，此时k=―103．【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键．5．（2023春•蓬安县期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．（1）若x1＝5，求x2及m的值；（2）是否存在实数m，满足(x1―1)(x2―1)=―6m7？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用根与系数的关系得到5+x2＝6，5x2＝2m﹣1，然后解方程组即可；（2）先利用根的判别式的意义得到m≤5，再由根与系数的关系得x1+x2＝6，x1•x2＝2m﹣1，所以2m﹣1﹣6+1=―6m7，接着解分式得到m1＝4，m2＝6，然后利用m的取值范围得到满足条件的m的值．【解答】解：（1）根据根与系数的关系得5+x2＝6，5x2＝2m﹣1，解得x2＝1，m＝3；（2）存在．理由如下：根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4（2m﹣1）≥0，解得m≤5，由根与系数的关系得x1+x2＝6，x1•x2＝2m﹣1，∵(x1―1)(x2―1)=―6m7，即x1x2﹣（x1+x2）+1=―6m7，即2m﹣1﹣6+1=―6m7，方程化为m2﹣10m+24＝0，解得m1＝4，m2＝6，经检验m1＝4，m2＝6都是原方程的解，∵m≤5，∴m＝4．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=―b a ，x1x2=ca．也考查了根的判别式．6．（1）已知方程x2﹣3x﹣2＝0的两根为x1、x2，且x1＞x2，求下列各式的值：①x1+x2；②1x1+1x2；（2）已知x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根，是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=―32成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由于方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根为x1，x2，利用根与系数的关系即可得到两根之和和两根之积，然后代入求值即可．（2）令判别式△≥0得出k 的范围，根据根与系数的关系列方程得出k ，即可得出结论．【解答】解：（1）①∵方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两根为x 1、x 2，且x 1＞x 2，∴x 1+x 2＝3；②由①知，x 1+x 2＝3．∵方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两根为x 1、x 2，且x 1＞x 2，∴x 1•x 2＝﹣2．∴1x 1+1x 2=x 1x 2x 1⋅x 2=―32；（2）不存在，理由如下：∵x 1、x 2是一元二次方程4kx 2﹣4kx +k +1＝0的两个实数根，∴4k ≠016k 2―4×4k (k +1)≥0，∴k ＜0，由根与系数的关系可得：x 1+x 2＝1，x 1x 2=k 14k，∴（2x 1﹣x 2）（x 1﹣2x 2）＝2（x 1+x 2）2−9x 1•x 2＝2﹣9×k 14k =−32，解得k =95，而k ＜0，∴不存在实数k 使得（2x 1﹣x 2）（x 1﹣2x 2）=―32成立．【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是注意数值的正负不等号的变化关系、以及完全平方公式的使用．1．（2023•荆门一模）已知a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m ﹣1）x +m 2＝0的两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；。