2019—2020年最新苏教版高中数学必修二模块综合检测(B)及答案解析.docx

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二章末质量评估(一)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．直线l与平面α所成角为30°，l∩α＝A，m⊂α，A∉m，则m与l所成角的取值范围是________．解析直线l与平面α所成的30°的角为m与l所成角的最小值，当m在α内适当旋转就可以得到l⊥m，即m与l所成角的最大值为90°.答案[30°，90°]2．以△ABC的三条中位线DE，EF，FD为折痕将△ADF，△BDE，△CEF 折起，使A，B，C三点重合并记为P，构成三棱锥P－DEF，则在下列给出的图形中：①等腰三角形；②等边三角形；③锐角三角形；④直角三角形；⑤钝角三角形．△ABC不可能是________．解析∵等边三角形折叠起来是一个正三棱锥，∴等腰三角形、等边三角形、锐角三角形都可能按照上述方法折成三棱锥，而直角三角形、钝角三角形折叠的时候不能使得短边与长边同时重合，不能实现上述折叠．答案④⑤3．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是__________．解析 若题中所指两直线是相交直线则平面平行，若两直线是平行直线，则两平面相交或平行．答案 平行或相交4．如图，正方体的棱长为1，C 、D 是两棱中点，A 、B 、M 是顶点，则点M 到截面ABCD 的距离是________．解析 作MN ⊥AB 于点N ，取DC 的中点P ，则AB ⊥平面MNP .作MH ⊥NP 于点H ，则MH ⊥平面ABCD ，即MH 为所求．由V M －ABC ＝V A －BCM ，得d ＝23.答案 235．在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形)．解析 ∵AC ⊥BD ，∴A 1C 1⊥B 1D 1.又∵CC 1⊥B 1D 1，A 1C 1∩CC 1＝C 1，∴B 1D 1⊥平面A 1C 1C ，∴B 1D 1⊥A 1C .答案 AC ⊥BD (答案不唯一)6．轴截面是正方形的圆柱的侧面积为S ，那么圆柱的体积为________． 解析 设圆柱底面直径为x ，则高为x ，因此有πx ·x ＝S .而V 圆柱＝π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 22·x＝π4x 3＝S 4Sπ.答案S 4S π7．如图，P 点是四边形ABCD 所在平面外一点，O 是AC 与BD 的交点，且PO ⊥平面ABCD ，当四边形ABCD 具有条件________时，点P 到四边形ABCD 四条边的距离相等．(填上你认为正确的一种情况即可)解析 只需考虑O 到四边形四边的距离相等即可． 答案 正方形(或圆的外切四边形等)8．圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为________．解析 圆柱的侧面积S 侧＝6π×4π＝24π2.(1)以边长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面圆周长，所以2πr ＝4π，即r ＝2.所以S 底＝4π，所以S 表＝24π2＋8π.(2)以4π所在边为轴时，6π为圆柱底面圆周长，所以2πr ＝6，即r ＝3.所以S 底＝9π，所以S 表＝24π2＋18π.答案 24π2＋8π或24π2＋18π9．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，P 为△ABC 所在平面外一点，且PA ＝PB ＝PC ，则平面PBC 与平面ABC 的关系是________．解析 如右图所示，取BC 的中点O ，连接AO ，PO . ∵PB ＝PC ，∴PO ⊥BC .又△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形， ∴OA ＝OB ，且PA ＝PB ， ∴Rt △POB ≌Rt △POA ，∴∠POA ＝∠POB ＝90°，即PO ⊥OA ， 而OA ∩BC ＝O ，∴PO ⊥平面ABC ，而PO ⊂平面PBC ， ∴平面PBC ⊥平面ABC . 答案 垂直10．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的的表面积为12π，则这个正四棱柱的体积为________．解析 设正四棱柱的底面边长为a ，则球的直径2R ＝22＋2a 2，所以S 表＝4πR 2＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22＋2a 24＝12π， 解得a ＝2，所以正四棱柱的体积V ＝2a 2＝8. 答案 811．考察下列三个命题，在“________”处都缺少一个条件，补上这个条件使其成为真命题(其中l 、m 为直线，α、β为平面)，则此条件为________．⎭⎪⎬⎪⎫①m ⊂α l ∥m⇒l ∥α⎭⎪⎬⎪⎫②l ∥m m ∥α⇒l ∥α；⎭⎪⎬⎪⎫③l ⊥β α⊥β⇒l ∥α. 解析 ①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“l ⊄α”，它同样适合②和③.答案 l ⊄α12．棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各面引垂线，垂线段长度分别为d 1，d 2，d 3，d 4，则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为________．解析 作等体积变换：13×34×(d 1＋d 2＋d 3＋d 4)＝13×34×h ，而h ＝63.答案 6313．设平面α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且AS ＝8，BS ＝9，CD ＝34，则CS ＝________.解析 根据题意易得AS SB ＝SC SD .当点S 在α，β之间时，有89＝CS34－CS，即CS＝16；当点S 在α，β之外时，有817＝SCSC ＋34，即SC ＝2729.答案 16或272914．设正三角形ABC 的边长为a ，PA ⊥平面ABC ，PA ＝AB ，E 为BC 中点，在平面PAE 内过点A 作AF ⊥PE ，垂足为F ，则AF 的长为________．解析 如右图所示，知AE ⊥BC ，又∵BC ⊥PA ，∴BC ⊥平面PAE . ∴平面PAE ⊥平面PBC .∵AF ⊥PE ，垂足为F ，∴AF ⊥平面PBC .则AF ＝PA ·AE PE ＝217a .答案 217a二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(本小题满分14分)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 中，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，C 1D 1的中点．求证：平面D 1EF ∥平面BDG . 解 ∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点，∴EF∥BD.又∵EF⊄平面BDG，BD⊂平面BDG，∴EF∥平面BDG.∵D1G綉EB，∴四边形D1GBE为平行四边形，∴D1E∥GB.又∵D1E⊄平面BDG，GB⊂平面BDG，∴D1E∥平面BDG.又∵EF∩D1E＝E，∴平面D1EF∥平面BDG.16．(本小题满分14分)如图(1)，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．(1)证明：AD⊥D1F；(2)求AE与D1F所成的角；(3)证明平面AED⊥平面A1FD1.(1)证明由正方体ABCD－A1B1C1D1，可得AD⊥面D1DCC1.∵D1F⊂面D1DCC1，∴AD⊥D1F.(2)解如图(2)，取AB的中点G，则易证得A1G∥D1F.又正方形A1ABB1中，E、G分别是对应边的中点，∴A1G⊥AE.∴D1F⊥AE.∴AE与D1F所成的角为90°.(3)证明由正方体可知A1D1⊥面A1ABB1，∴A1D1⊥AE.又由(2)已证D1F⊥AE.∵A1D1∩D1F＝D1，∴AE⊥平面A1FD1.又AE⊂平面AED，∴平面AED⊥平面A1FD1.17．(本小题满分14分)已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，PA＝AD＝4，E为BC的中点．(1)求证：DE⊥平面PAE；(2)求直线DP与平面PAE所成的角的大小．(1)证明取AD中点F，连结EF，则ABEF与EFDC都是正方形，∴∠EAD＝∠ADE＝45°，∴AE⊥DE.∵PA⊥平面ABCD，DE⊂平面ABCD，∴PA⊥DE.又∵PA∩AE＝A，∴DE⊥平面PAE.(2)解由(1)知∠DPE即为DP与平面PAE所成的角．在Rt△PAD中，PD＝4 2.在Rt△DCE中，DE＝2 2.则在Rt△DEP中，PD＝2DE，∴∠DPE＝30°.即直线DP与平面PAE所成的角为30°.18．(本小题满分16分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB ＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，G为AD的中点．(1)求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB；(3)求二面角A­BC­P的大小．(1)证明连结BD，则△ABD为等边三角形．∵G为AD的中点，∴BG⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.(2)证明：连结PG.∵△PAD是等边三角形且G为AD的中点，∴AD⊥PG.又∵AD⊥BG，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PBG.∵PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.(3)解∵AD⊥PB，AD∥BC，∴BC⊥PB.又∵BG⊥AD，AD∥BC，∴BG⊥BC，∴∠PBG为二面角A­BC­P的平面角．在Rt△PBG中，PG＝BG，∴∠PBG＝45°.19．(本小题满分16分)如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝23，沿对角线BD将△ABD折起，使点A移至点P，且P在平面BCD内的射影为O，且O 在DC上．(1)求证：PD⊥PC；(2)求二面角P－DB－C的平面角的余弦值．(1)证明∵PO⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴PO⊥BC.∵BC⊥CD，CD∩PO＝O，∴BC⊥平面PCD.∵DP⊂平面PCD，∴BC⊥DP.又∵DP⊥PB，PB∩BC＝B，∴DP⊥平面PBC.而PC⊂平面PBC，∴PD⊥PC.(2)解 △PBD 在平面BCD 内的射影为△OBD ，且S △PBD ＝12×6×23＝63，S △OBD ＝S △CBD －S △BOC ＝63－12×23×OC .在Rt △DPC 中，PC 2＝24.设OC ＝x ，则OD ＝6－x ，∴PC 2－OC 2＝DP 2－DO 2，即24－x 2＝12－(6－x )2.解得x ＝4.∴S △BOD ＝63－43＝2 3.过点P 作PQ ⊥DB ，连结OQ ，则DB ⊥平面OPQ ，∴∠OQP 即为二面角P －DB －C 的平面角，∴cos ∠OQP ＝S △BOD S △PBD ＝2363＝13.20．(本小题满分16分)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA .(1)求证：平面EFG ⊥平面PDC ；(2)求三棱锥P －MAB 与四棱锥P －ABCD 的体积之比．解 (1)由已知MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，所以PD ⊥平面ABCD .又BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC .因为四边形ABCD 为正方形，所以BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，因此BC ⊥平面PDC .在△PBC 中，因为G 、F 分别为PB 、PC 的中点，所以GF ∥BC ，因此GF ⊥平面PDC .又GF ⊂平面EFG ，所以平面EFG ⊥平面PDC .(2)因为PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，不妨设MA ＝1，则PD ＝AD ＝2，所以V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PD ＝83. 由于DA ⊥平面MAB ，且PD ∥MA ，所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离，三棱锥V P －MAB ＝13S △MAB ·DA ＝13×12×1×2×2＝23， 所以V P －MAB ∶V P －ABCD ＝1∶4.。

1 2019-2020数学必修二综合检测试卷 （总分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、已知直线经过点A (0,4)和点B (1,2)，则直线AB 的斜率为 ( ) A ．3 B ．－2 C ．2 D ．不存在 2、下列命题正确的是( ) A ．四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形 B ．一条直线和两条平行直线都相交，则三条直线共面 C ．两两平行的三条直线一定确定三个平面 D ．和两条异面直线都相交的直线一定是异面直线 3、已知直线(a －2)x ＋ay －1＝0与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，则a 的值为( ) A ．－6 B ．6 C ．－45 D.45 4、下列四个说法(其中a ，b ，c 为三条不同直线，α，β，γ为三个不同的平面)： ①若a ⊥b ，c ⊥b ，则a ∥c ；②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；③若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ； ④若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 其中正确的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5、已知圆C 方程为(x －2)2＋(y －1)2＝9，直线l 的方程为3x －4y －12＝0，在圆C 上到直线l 的距离为1的点有几个 ( )A ．4B ．3C ．2D ．16、已知点A (1,2,2)、B (1，－3,1)，点C 在yOz 平面上，且点C 到点A 、B 的距离相等，则点C 的坐标可以为 ( ) A ．(0,1，－1) B ．(0，－1,6) C ．(0,1，－6) D ．(0,1,6)7、过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( ) A. 3 B ．2 C. 6 D ．238、圆台侧面的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的面积之和是( ) A ．3πa 2 B ．4πa 2 C ．5πa 2 D ．6πa 29、点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ，则PA 与BD 所成角的度数为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 10、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 ( )班级姓名考号密封线内不要答题。

（新课标）2019—2020学年苏教版高中数学必修二综合测试（二）1．直线10x y ++=的倾斜角与在y 轴上的截距分别是 ；2．若图中直线1l 、2l 、3l 的斜率分别为1k 、2k 、3k ，则1k 、2k 、3k 从小到大的排列顺序为 ；3．已知直线l 过点(3,4)-，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为 ； 4．经过点(2,1)-,且与直线2350x y -+=垂直的直线方程是 5．圆1)3()2(22=-+-y x 关于直线x ＋y －1＝0对称的圆方程是6．若直线1ax by +=与圆122=+y x 相交，则点P (,)a b 与圆的位置关系是 7．若方程21x x m -=+无实数解，则实数m 的取值范围是8．已知直线1ax by +=与圆221x y +=相切，则ab 的取值范围是 9．如图所示的直观图，其平面图形的面积是10．将一个正方体的表面沿着几条棱裁开后，放平，得到 一个如图所示的展开图，则在原正方体中有如下四个结论：①AB//CD ；②AB//EF ；③CD//GH ；④AB//GH. 其中正确结论的序号是11．已知m n 、是不重合的直线，αβ、是不重合的平面，有下列命题： ⑴ 若,//n m n αβ=，则//,//m m αβ；D 1C 1B 1A 1FEDCBA⑵ 若,m m αβ⊥⊥，则//αβ； ⑶ 若//,m m n α⊥，则n α⊥； ⑷ 若,m n αα⊥⊂，则.m n ⊥ 其中所有真命题的序号是 ．12．如图，PA ⊥面ABC ，△ABC 中，BC ⊥AC ，则图中直角 三角形的个数为13．如图，E 、F 分别为正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心， 则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是14．给出下列四个命题：⑴分别与异面直线a ，b 都相交的两条直线c ，d 一定异面；⑵若直线a 与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a 垂直的直线只有一条；⑶在三棱锥P-ABC 中，若PA=PB=PC ，则点P 在面ABC 内的射影O 一定是三角形ABC 的外心；⑷在三棱锥P-ABC 中，若侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，则点P 在面ABC 内的射影O 一定是三角形ABC 的垂心。

12019-2020数学必修二综合检测试卷（总分：150分 时间：120分钟）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、直线y ＝kx 与直线y ＝2x ＋1垂直，则k 等于 ( )A ．－2B ．2C ．－12D ．132、若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆C 的方程是 ( )A ．(x －5)2＋y 2＝5B ．(x ＋5)2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝53、下列四个说法(其中a ，b ，c 为三条不同直线，α，β，γ为三个不同的平面)：①若a ⊥b ，c ⊥b ，则a ∥c ；②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；③若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ； ④若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 其中正确的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．46、若点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝1的外部，则有直线ax ＋by ＋1＝0与圆C 的位置关系是 ( )A ．相切B ．相离C ．相交D ．相交或相切7、圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0上的动点P 到直线y ＝－x 的最小距离为 ( )A ．22－1B ．2 2C ． 2D ．18、如图，在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是 ( )9、若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的体积为 ( )A ．3πB ．3π3C ．3πD ．3π211、光线沿着直线y ＝－3x ＋b 射到直线x ＋y ＝0上，经反射后沿着直线y ＝ax ＋2射出，则有 ( )A ．a ＝13，b ＝6 B ．a ＝－13，b ＝－6 C ．a ＝3，b ＝－16 D ．a ＝－3，b ＝16班级 姓名 考号密封线内不要答题。

yxz O（新课标）2019—2020学年苏教版高中数学必修二高一数学单元过关检测题（苏教版·必修2·解析几何初步）（满分100分，检测时间100分钟）一．选择题1. 如果直线0=++C By Ax 的倾斜角为 45，则有关系式Ａ．B A = Ｂ．0=+B A Ｃ．1=AB Ｄ．以上均不可能 2. 直线122=-by a x 在y 轴上的截距是 A. b B. 2b C. 2b - D. b ± 3. 下列命题中正确的是A ．平行的两条直线的斜率一定相等 B.平行的两条直线的倾斜角一定相等 C ． 垂直的两直线的斜率之积为-1 D.斜率相等的两条直线一定平行 4. 圆2)3()2(22=++-y x 的圆心和半径分别是A ．)3,2(-，1B ．)3,2(-，3C ．)3,2(-，2D ．)3,2(-，2 5. 如果直线l 上的一点A 沿x 轴负方向平移３个单位，再沿y 轴正方向平移１个单位后，又回到直线l 上，则l 的斜率是A ．3B ．13 C ．－3 D ．－136. 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图。

其中实点 代表钠原子，黑点·代表氯原子。

建立空间直角坐标系O —xyz 后，图中最上层中间的钠 原子所在位置的坐标是A ．（12，12，1） B ．（0，0，1） C ．（1，12，1） D ．（1，12，12）7. 已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为31，则m ，n 的值分别为A.4和3B.-4和3C.- 4和-3D.4和-38. 已知点P （0，-1），点Q 在直线x-y+1=0上，若直线PQ 垂直于直线x+2y-5=0，则点Q 的坐标是A ．（-2，1）B ．（2，1）C ．（2，3）D ．（-2，-1）9. 已知三角形ABC 的顶点A （2，2，0），B （0，2，0），C(0，1，4)，则三角形ABC是A ．直角三角形；B ．锐角三角形；C ．钝角三角形；D ．等腰三角形； 10. 平行于直线2x-y+1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是A ．2x －y+5=0B ．2x －y －5=0C ．2x ＋y+5=0或2x ＋y －5=0D ．2x －y+5=0或2x －y －5=0 二．填空题11. 如图，直线12,l l 的斜率分别为k 1、k 2，则k 1、k 2的大小关系是； .12. 如果直线l 与直线x+y －1＝0关于y 轴对称，则直线l的方程是 .13. 已知两点A （1，－1）、B （3，3），点C （5，a ）在直线AB 上，则实数a 的值是 . 14. 直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是.15. 直线0323=-+y x 截圆422=+y x 所得的劣弧所对的圆心角为 . 16. 连接平面上两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的线段12P P 的中点M 的坐标为1212(,)22x x y y ++，那么，已知空间中两点1111(,,)P x y z 、2222(,,)P x y z ，线段12P P 的中点M 的坐标为 .三．解答题17. 已知一条直线经过两条直线0432:1=--y x l 和0113:2=-+y x l 的交点，并且垂直于这个交点和原点的连线，求此直线方程。

（新课标）2019—2020学年苏教版高中数学必修二高二数学阶段检测试卷一、填空题:(本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．)1．A,B,C 为空间三点,经过这三点的平面有 个.2.两个球的半径之比为1∶2，那么两个球的表面积之比为________． 3．已知a,b 是两条异面直线，直线c 平行于直线a,那么直线c 与直线b 的位置关系是____________．4. 空间中直线l 和三角形的两边AC ，BC 同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB 的位置关系是________．5. 以下角：①异面直线所成角；②直线和平面所成角；③二面角的平面角，可能为钝角的有________个．6．过平面外一点能作 条直线与这个平面平行． 7. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为916， 则正方体的棱长为________． 8.如右图所示的水平放置的平面图形的直观图，它所表示的平面图形ABCD 是9.如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，y C BD A x若PA′∶AA′＝3∶4，则S△A′B′C′∶S△ABC＝________.10.已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别是3和5，则A，B的中点P到平面α的距离是________．11.若圆锥的全面积是底面积的3倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为________度．12. 已知高为3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为2的正三角形(如图)，则三棱锥B1—ABC的体积为________．13. 在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是________．①BC∥面PDF；②面PDF⊥面ABC；③DF⊥面PAE；④面PAE⊥面ABC.AB D C14. 设α∥β，A ∈α，C ∈α，B ∈β，D ∈β，直线AB 与CD 交于O ， 若AO ＝8，BO ＝9，CD ＝51，则CO ＝________．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.(本题14分)已知：平面α∩平面β=b ，直线a ∥α，a ∥β，求证：a ∥b 。

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二高一数学必修2综合练习题一.选择题1、若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是（ ）A 、 相交B 、 异面C 、 平行D 、异面或相交2、如图：直线L 1 的倾斜角α1=30０，直线 L 1⊥L 2 ，则L 2的斜率为（ ） Ａ、33- Ｂ、 33 Ｃ、3- Ｄ、3 ３、三个平面把空间分成７部分时，它们的交线有（ ）Ａ、１条 Ｂ、２条 Ｃ、３条 Ｄ、１或２条４、若Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（21，ｍ）三点共线 则ｍ的值为（ ） Ａ、21 Ｂ、21- Ｃ、－２ Ｄ、２ 5、直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于Ｅ、F 两点，则∆EOF （O 为原点）的面积为（ ）A 、 23B 、 43C 、 52D 、 5566、下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。

⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。

⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。

⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。

其中正确的个数为（ ）A 、 0B 、 1C 、 2D 、 37、棱台上、下底面面积之比为1∶9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是( )A 、 1∶7B 、2∶7C 、 7∶19D 、 5∶ 168、直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于E 、F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为（ ） Ａ、23 Ｂ、43 Ｃ、52 Ｄ、556 9、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2ｃｍ，则球的表面积是（ ）Ａ、8Лｃｍ２ Ｂ、12Лｃｍ２ Ｃ、16Лｃｍ２ Ｄ、20Лｃｍ２10、已知在四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，若CD=2AB=4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角为（ ）Ａ、90０Ｂ、45０ Ｃ、60０ Ｄ、30０ 11、圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ）A. x+y+3=0 B 、2x-y-5=0 C 、 3x-y-9=0 D 、4x-3y+7=012、圆：012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A 、 2 B 、21+ C 、221+ D 、221+ 二.填空题13、与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是14、已知：A （1，2，1），B （-1，3，4，），C （1，1，1，），PB AP 2=，则PC 长为15、四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V-AB-C 的平面角为 度16、已知点M （a ，b ）在直线1543=+y x 上，则22b a +的最小值为三.解答题17、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点。

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．下列叙述中不正确的序号是________．①若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；②每一条直线都有唯一对应的倾斜角；③与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°；④若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α.【解析】当α＝90°时，tan α不存在，所以④错误，由直线斜率和倾斜角的知识知①②③正确．【答案】④2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________．【解析】如图所示，由V＝Sh得，S＝4，即正四棱柱底面边长为2.∴A1O1＝2，A1O＝R＝ 6.∴S 球＝4πR 2＝24π. 【答案】 24π3．已知直线l 1：ax ＋4y －2＝0与直线l 2：2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c 的值为________．【解析】 垂足(1，c )是两直线的交点，且l 1⊥l 2，故－a 4·25＝－1，∴a ＝10.l 1：10x ＋4y －2＝0.将(1，c )代入l 1，得c ＝－2；将(1，－2)代入l 2，得b ＝－12.则a ＋b ＋c ＝10＋(－12)＋(－2)＝－4. 【答案】 －44．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的度数为________．【解析】 S 底＋S 侧＝3S 底，2S 底＝S 侧，即2πr 2＝πrl ，得2r ＝1. 设侧面展开图的圆心角为θ，则θπl180°＝2πr ，∴θ＝180°.【答案】 180°5．过点(3，－4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是________. 【导学号：60420098】【解析】 当截距均为0时，设方程为y ＝kx ，将点(3，－4)，代入得k ＝－43，即直线方程为4x ＋3y ＝0；当截距不为0时，设方程为x a ＋ya ＝1，将点(3，－4)代入得a ＝－1，即直线方程为x ＋y ＋1＝0.【答案】 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝06．若x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值为________．【解析】配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝25，圆心坐标为(1，－2)，半径r＝5，所以x2＋y2的最小值为半径减去原点到圆心的距离，即5－5，故可求x2＋y2的最小值为30－10 5.【答案】30－10 57．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是________．(填序号)①若l⊥α，α⊥β，则l⊂β；②若l∥α，α∥β，则l⊂β；③若l⊥α，α∥β，则l⊥β；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β.【解析】当l⊥α，α⊥β时不一定有l⊂β，还有可能l∥β，故①不对；当l∥α，α∥β时，l⊂β或l∥β，故②不对；若α∥β，α内必有两条相交直线m，n与平面β内的两条相交直线m′，n′平行，又l⊥α，则l⊥m，l⊥n，即l⊥m′，l⊥n′，故l⊥β，因此③正确；若l∥α，α⊥β，则l与β相交或l∥β或l⊂β，故④不对．【答案】③8．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线BD1与平面A1B1CD所成角的正切值是________．【解析】连结B1C交BC1于O，则B1C⊥BC1，又A1B1⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1CD，取D1B的中点O1，连结O1O，则∠BO1O就是直线BD1与平面A1B1CD所成的角．不妨设正方体棱长为1，则BD1＝3，BO＝22，O1O＝12，在Rt△BOO1中，tan∠BO1O＝BOO1O＝ 2.【答案】 29．已知直线l：y＝x＋m(m∈R)，若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，则该圆的方程为__________．【解析】由题意知P(0，m)，又直线l与圆相切于点P，则MP⊥l，且直线l的倾斜角为45°，所以点P的坐标为(0,2)，|MP|＝22，于是所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.【答案】(x－2)2＋y2＝810．从直线3x＋4y＋8＝0上一点P向圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0引切线PA，PB，A，B为切点，则四边形PACB的周长的最小值为__________．【解析】圆心到直线的距离为d＝|3＋4＋8|5＝3，圆的半径为1，所以四边形PACB的周长的最小值为232－12＋2＝42＋2.【答案】42＋211.图1如图1，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________．【解析】如图，取A1B1的中点M，连结GM，HM.由题意易知EF∥GM，且△GMH为正三角形．∴异面直线EF与GH所成的角即为GM与GH的夹角∠HGM.而在正三角形GMH中，∠HGM＝60°.【答案】60°12．侧棱长为a的正三棱锥P­ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________．【解析】侧棱长为a的正三棱锥P­ABC其实就是棱长为a的正方体的一角，所以球的直径就是正方体的对角线，所以球的半径为3a2，该球的表面积为3πa2.【答案】3πa213．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为23，则a＝________.【解析】两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4⇒y＝1a，又a>0，结合图象(略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a＝22－(3)2＝1⇒a＝1.【答案】 114．(2014·全国卷Ⅱ改编)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．【解析】如图，过点M 作⊙O 的切线，切点为N ，连接ON .M 点的纵坐标为1，MN 与⊙O 相切于点N .设∠OMN ＝θ，则θ≥45°，即sin θ≥22，即ONOM ≥22.而ON ＝1，∴OM ≤2.∵M 为(x 0,1)，∴x 20＋1≤2，∴x 20≤1，∴－1≤x 0≤1，∴x 0的取值范围为[－1,1]． 【答案】 [－1,1]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0.试确定m ，n 的值，使(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.【解】 (1)∵l 1∥l 2，∴A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m ·m －2×8＝0，8×(－1)－m ×n ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.(2)由l 1在y 轴上的截距为－1，得m ·0＋8×(－1)＋n ＝0，∴n ＝8. 又l 1⊥l 2，∴A 1A 2＋B 1B 2＝0， 即m ×2＋8m ＝0，∴m ＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝8.16．(本小题满分14分)在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，已知平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，且B 1D ⊥BC 1.(1)求证：A 1C ∥平面B 1AD ； (2)求证：BC 1⊥平面B 1AD .图2【证明】 (1)如图，连结BA 1交AB 1于点O ，连结OD .由棱柱知侧面AA 1B 1B 为平行四边形，所以O 为BA 1的中点．又D 是BC 的中点，所以OD ∥A 1C .因为A 1C ⊄平面B 1AD ，OD ⊂平面B 1AD ，所以A 1C ∥平面B 1AD . (2)因为D 是BC 的中点，AB ＝AC ，所以AD ⊥BC .因为平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，平面BB 1C 1C ∩平面ABC ＝BC ，AD ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面BB 1C 1C .因为BC 1⊂平面BB 1C 1C ，所以AD ⊥BC 1.又BC 1⊥B 1D ，且AD ∩B 1D ＝D ，所以BC 1⊥平面B 1AD .图317．(本小题满分14分)如图3所示，圆x 2＋y 2＝8内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦．(1)当α＝135°时，求|AB |；(2)当弦AB 被点P 平分时，求直线AB 的方程．【解】 (1)过点O 作OG ⊥AB 于G ，连接OA ，当α＝135°时，直线AB 的斜率为－1，故直线AB 的方程为x ＋y －1＝0，∴|OG |＝|0＋0－1|2＝22，∴|GA |＝8－12＝152＝302， ∴|AB |＝2|GA |＝30.(2)连结OP .当弦AB 被P 平分时，OP ⊥AB ，此时k OP ＝－2，∴k AB ＝12，∴直线AB 的方程为y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.图418．(本小题满分16分)(2015·安徽高考)如图4，三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P ­ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PM MC的值．【解】 (1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由PA ⊥平面ABC ，可知PA 是三棱锥P ­ABC 的高．又PA ＝1， 所以三棱锥P ­ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·PA ＝36.(2)证明：在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面PAC 内，过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ，连接BM .由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ，所以MN ⊥AC . 由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN . 又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM .在直角△BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC＝AC－AN＝32.由MN∥PA，得PMMC＝ANNC＝13.19．(本小题满分16分)(2014·全国卷Ⅰ)已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．【解】(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x，y)，则CM→＝(x，y－4)，MP→＝(2－x,2－y)．由题设知CM→·MP→＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．又P在圆N上，从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－1 3，故l的方程为y＝－13x＋83.又|OM|＝|OP|＝22，O到l的距离为4105，|PM|＝4105，所以△POM的面积为165. 20．(本小题满分16分)如图5(1)，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G .将△ABF 沿AF 折起，得到如图5(2)所示的三棱锥A ­BCF ，其中BC ＝22.(1) (2)图5(1)证明：DE ∥平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F ­DEG 的体积V F ­DEG . 【解】 (1)证法一：在折叠后的图形中，因为AB ＝AC ，AD ＝AE ，所以ADAB ＝AEAC ，所以DE ∥BC .因为DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，所以DE ∥平面BCF .证法二：在折叠前的图形中，因为AB ＝AC ，AD ＝AE ， 所以AD AB ＝AE AC ，所以DE ∥BC ，即DG ∥BF ，EG ∥CF .在折叠后的图形中，仍有DG ∥BF ，EG ∥CF .又因为DG ⊄平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，所以DG ∥平面BCF ，同理可证EG ∥平面BCF .又DG ∩EG ＝G ，DG ⊂平面DEG ，EG ⊂平面DEG ，故平面DEG ∥平面BCF .又DE ⊂平面DEG ，所以DE ∥平面BCF .(2)证明：在折叠前的图形中，因为△ABC 为等边三角形，BF ＝CF ， 所以AF ⊥BC ，则在折叠后的图形中，AF ⊥BF ，AF ⊥CF .又BF ＝CF ＝12，BC ＝22， 所以BC 2＝BF 2＋CF 2，所以BF ⊥CF .又BF ∩AF ＝F ，BF ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，所以CF ⊥平面ABF .(3)由(1)知，平面DEG ∥平面BCF ，由(2)知AF ⊥BF ，AF ⊥CF ，又BF ∩CF ＝F ，所以AF ⊥平面BCF ，所以AF ⊥平面DEG ，即GF ⊥平面DEG .在折叠前的图形中，AB ＝1，BF ＝CF ＝12，AF ＝32. 由AD ＝23知AD AB ＝23，又DG ∥BF ， 所以DG BF ＝AG AF ＝AD AB ＝23，所以DG＝EG＝23×12＝13，AG＝23×32＝33，所以FG＝AF－AG＝3 6.故三棱锥F­DEG的体积为V三棱锥F－DEG＝13S△DEG·FG＝13×12×⎝⎛⎭⎪⎪⎫132×36＝3 324.。

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二综合检测一、填空题1． 已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题：①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；②若m ∥α，n ⊥α，则n ⊥m ；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β.其中正确命题的个数是________．2． 已知点A (1,2，－1)，点C 与点A 关于平面xOy 对称，点B 与点A 关于x 轴对称，则线段BC 的长为________．3． 垂直于梯形两腰的直线与梯形两底所在平面的位置关系是________．4． 直线3ax －y －1＝0与直线(a －23)x ＋y ＋1＝0垂直，则a 的值是________． 5． 在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于________．6． 若经过点(3，a )、(－2,0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为12的直线垂直，则a 的值为_______．7． 圆C 1：(x －3)2＋(y －4)2＝16与圆C 2：x 2＋y 2＝m 内切，则实数m ＝________.8． 如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 1、BC 1的中点，则下列结论不成立的是________．①EF 与BB 1垂直； ②EF 与BD 垂直；③EF 与CD 异面； ④EF 与A 1C 1异面．9．已知点P在z轴上，且满足PO＝1(O是坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离是________．10．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是________．11．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．12．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1，3)，B(－2，－23)，则直线l1，l2的位置关系是________．13．过直线x＋y－22＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．14．已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．二、解答题15．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：(1)d的变化范围；(2)当d取最大值时，两条直线的方程．16．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过E点作EF⊥PB交PB于点F.求证：(1)PA∥平面EDB；(2)PB⊥平面EFD.17．已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)．(1)求过点A的圆的切线方程；(2)O点是坐标原点，连结OA，OC，求△AOC的面积S.18．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.(1)证明：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值．19．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PM＝PO，求使得PM取得最小值的点P的坐标．20．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．(1)证明：CD⊥平面PAE；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．答案1．22．43．垂直4．－13或15．2 36．－107．818．④ 9.6或 210．(0，2)11．90°12．平行或重合13．(2，2) 14.3315．解 (1)如图所示，显然有0<d ≤AB .而AB ＝(6＋3)2＋(2＋1)2＝310.故所求的d 的变化范围为(0,310]．(2)由图可知，当d 最大时，两直线垂直于AB .而k AB ＝2－(－1)6－(－3)＝13，∴所求的直线的斜率为－3.故所求的直线方程分别为y －2＝－3(x －6)和y ＋1＝－3(x ＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.16．证明(1)如图所示，连结AC，AC交BD于点O，连结EO.∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO.而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB.(2)∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂平面ABCD，∴PD⊥DC.∵PD＝DC，∴△PDC是等腰直角三角形．又DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.①由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC.又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.又DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.②由①和②推得DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB.又EF⊥PB，且DE∩EF＝E，∴PB⊥平面EFD.17．解(1)⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝1.①当切线的斜率不存在时，有直线x＝3，C(2,3)到直线的距离为1，满足条件．②当k存在时，设直线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0，故|－k＋2|k2＋1＝1，得k＝34.∴方程为y －5＝34(x －3)，即3x －4y ＋11＝0.综上，所求直线方程为x ＝3或3x －4y ＋11＝0.(2)AO ＝9＋25＝34，l AO ：5x －3y ＝0，点C 到直线OA 的距离d ＝134，S ＝12d ·AO ＝12.18．(1)证明 ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BD .同理由PC ⊥平面BDE 可证得PC ⊥BD .又PA ∩PC ＝P ，∴BD ⊥平面PAC .(2)解 如图，设BD 与AC 交于点O ，连结OE .∵PC ⊥平面BDE ，BE 、OE ⊂平面BDE .∴PC ⊥BE ，PC ⊥OE .∴∠BEO 即为二面角B －PC －A 的平面角．由(1)知BD ⊥平面PAC .又OE 、AC ⊂平面PAC ，∴BD ⊥OE ，BD ⊥AC .故矩形ABCD 为正方形，∴BD ＝AC ＝22，BO ＝12BD ＝ 2.由PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD 得PA ⊥BC .又BC ⊥AB ，PA ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面PAB .而PB ⊂平面PAB ，∴BC ⊥PB .在Rt △PAB 中，PB ＝PA 2＋AB 2＝5，在Rt △PAC 中，PC ＝PA 2＋AC 2＝3.在Rt △PBC 中，由PB ·BC ＝PC ·BE 得BE ＝253. 在Rt △BOE 中，OE ＝BE 2－BO 2＝23. ∴tan ∠BEO ＝BOOE ＝3，即二面角B －PC －A 的正切值为3.19．解 (1)∵切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，∴设切线方程为x ＋y ＝a (a ≠0)，又∵圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，∴圆心C (－1,2)到切线的距离等于圆的半径2， ∴|－1＋2－a |2＝2⇒a ＝－1，或a ＝3，则所求切线的方程为：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.(2)∵切线PM 与半径CM 垂直，∴PM 2＝PC 2－CM 2，∴(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2＝x 21＋y 21， ∴2x 1－4y 1＋3＝0，∴动点P 的轨迹是直线2x －4y ＋3＝0.PM 的最小值就是PO 的最小值，而PO 的最小值为O 到直线2x －4y ＋3＝0的距离d＝3510，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35.20．(1)证明 如图，连结AC .由AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°得AC ＝5.又AD ＝5，E 是CD 的中点，所以CD ⊥AE .因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD .而PA ，AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE .(2)解 过点B 作BG ∥CD ，分别与AE ，AD 相交于点F ，G ，连结PF .由(1)CD ⊥平面PAE 知，BG ⊥平面PAE .于是∠BPF 为直线PB 与平面PAE 所成的角，且BG ⊥AE .由PA ⊥平面ABCD 知，∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成的角． 由题意得∠PBA ＝∠BPF ，因为sin ∠PBA ＝PA PB ，sin ∠BPF ＝BF PB ， 所以PA ＝BF .由∠DAB ＝∠ABC ＝90°知，AD ∥BC .又BG ∥CD ，所以四边形BCDG 是平行四边形．故GD ＝BC ＝3.于是AG ＝2.在Rt △BAG 中，AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，所以BG ＝AB 2＋AG 2＝25，BF ＝AB 2BG ＝1625＝855. 于是PA ＝BF ＝855.又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16， 所以四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13×S ×PA ＝13×16×855＝128515.。

模块综合测评(B卷)(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0A[设直线方程为x－2y＋c＝0，∵直线经过点(1，0)，∴1－0＋c＝0，故c＝－1，∴所求直线方程为x－2y－1＝0.]2．设一球的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上有两个点A，B的坐标分别为(1，2，2)，(2，－2，1)，则|AB|＝()A．18 B．12C．3 2 D．2 3C[由空间两点间的距离公式可知，|AB|＝（1－2）2＋（2＋2）2＋（2－1）2＝3 2.故选C.]3．直线x－3y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得弦的长为()A.30B.53 2C．4 2 D．3 3A[由题知，题中圆的圆心坐标为(1，3)，半径长r＝10，则圆心到直线的距离d＝|1－9＋3|12＋（－3）2＝102，所以弦长为2r2－d2＝210－104＝30.]4．圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆x2＋y2－4x－10y－7＝0的位置关系是() A．外切B．内切C．相交D．相离B[圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0的圆心是C1(－2，2)，半径长r1＝1.圆x2＋y2－4x－10y－7＝0的圆心是C2(2，5)，半径长r2＝6，则|C1C2|＝（2＋2）2＋（5－2）2＝5＝r2－r1，故两圆内切．]5．将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向右平移1个单位长度所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为()A．1或11 B．－3或7C．0或10 D．－2或8A[将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向右平衡1个单位长度得到直线2(x－1)－y＋λ＝0，即2x－y－2＋λ＝0，此直线与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5相切，即圆心(－1，2)到直线的距离d＝|－2－2－2＋λ|5＝5，∴|λ－6|＝5，解得λ＝1或λ＝11.故选A.]6．平面α截球O所得截面圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为()A.6πB．43πC．46πD．63πB[球的半径R＝12＋（2）2＝3，所以球的体积V＝43π×(3)3＝43π.]7．点P(2，3)到直线l：ax＋y－2a＝0的距离为d，则d的最大值为() A．3 B．4C．5 D．7A[直线ax＋y－2a＝0即a(x－2)＋y＝0，易得直线经过定点Q(2，0)，则当PQ⊥l时，d取得最大值|PQ|，|PQ|＝（2－2）2＋32＝3.]8．已知a，b为直线，α，β为平面，给出下列四个命题：①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若α∥b，β∥b，则α∥β.其中正确命题的个数是()A．1 B．3C．2 D．0C[由“垂直于同一平面的两直线平行”知①正确；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②不正确；由“垂直于同一直线的两平面平行”知③正确；在长方体中可以找到满足要求的平面α，β和直线b ，易知α，β不一定平行，故④不正确．故选C.]9．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过点C ，则以C 为圆心，5为半径长的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0C [直线方程可化为(x ＋1)a －(x ＋y －1)＝0，直线过定点，即对任意实数a ，方程恒成立，故有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，即直线过定点C (－1，2)，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.]10．如果圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3，－1)∪(1，3)B ．(－3，3)C ．[－1，1]D ．[－3，－1]∪[1，3]D [圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为2的点，可转化为圆(x －a )2＋(y －a )2＝8和圆x 2＋y 2＝2有交点．大圆半径长为22，小圆半径长为2，圆心距为（a －0）2＋（a －0）2＝2|a |，所以22－2≤2|a |≤22＋2，所以1≤|a |≤3，所以－3≤a ≤－1或1≤a ≤3，即a ∈[－3，－1]∪[1，3]．]11．三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1，P A ＝3，则该三棱锥外接球的表面积为 ( )A ．5π B.2π C ．20π D ．4πA [如图，取PC的中点O，连接OA，OB，∵P A⊥平面ABC，AC平面ABC，∴P A⊥AC.在Rt△P AC中，∵O为PC的中点，∴OA＝12PC，又∵P A⊥BC，AB⊥BC，P A，AB是平面P AB内的两条相交直线，∴BC⊥平面P AB，∴BC⊥PB，在Rt△PBC中，可得OB＝12PC，∴O是三棱锥P-ABC的外接球的球心．∵Rt△P AC中，AC＝2，P A＝3，∴PC＝5，∴三棱锥P-ABC的外接球的半径长R＝12PC＝5 2，∴该三棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝5π.故选A.]12．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成三棱锥A′­BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是()A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．直线CA′与平面A′BD所成的角为30°D ．三棱锥A ′­BCD 的体积为13B [如图所示，取BD 的中点O ，连接OA ′，OC ，∵A ′B ＝A ′D ，∴A ′O ⊥BD ，又平面A ′BD ⊥平面BCD ，平面A ′BD ∩平面BCD ＝BD ，∴A ′O ⊥平面BCD .∵CD ⊥BD ，∴OC 不垂直于BD .假设A ′C ⊥BD ，∵A ′O ⊥BD ，又A ′O ∩A ′C ＝A ′，∴BD ⊥平面A ′OC ，∴BD ⊥OC ，矛盾，∴A ′C 不垂直于BD ，故A 错误；∵CD ⊥BD ，平面A ′BD ⊥平面BCD ，平面A ′BD ∩平面BCD ＝BD ，∴CD ⊥平面A ′BD ，∴CD ⊥A ′B ，又A ′B ⊥A ′D ，CD ∩A ′D ＝D ，∴A ′B ⊥平面A ′CD ，∴A ′B ⊥A ′C ，故B 正确；易知∠CA ′D 为直线CA ′与平面A ′BD 所成的角，∠CA ′D ＝45°，故C 错误；V 三棱锥A ′­BCD ＝V 三棱锥C －A ′BD ＝13S△A ′BD ·CD ＝16，故D 错误．] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知点M (0，－1)，N (2，3)．如果直线MN 垂直于直线ax ＋2y －3＝0，那么a 等于________．1 [∵点M (0，－1)，N (2，3)，∴直线MN 的斜率k MN ＝3＋12－0＝2.∵直线MN垂直于直线ax ＋2y －3＝0，∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1，解得a ＝1.] 14．设圆C ：(x －3)2＋(y －5)2＝5，过圆心C 作直线l 交圆于A ，B 两点，交y 轴于点P ，若点A 恰好为线段BP 的中点，则直线l 的方程为________．2x －y －1＝0或2x ＋y －11＝0 [如图，因为点A为PB的中点，而点C为AB的中点，所以点C为PB的一个四等分点，而C(3，5)，点P的横坐标为0，因此A，B两点的横坐标分别为2，4，将点A的横坐标代入圆的方程，可得A(2，3)或A(2，7)，根据直线的两点式得到直线l的方程为2x－y－1＝0或2x＋y－11＝0.]15．已知四边形ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角P-AD-C为60°，则点C到平面P AB的距离为________．2217[由题易得∠PDC就是二面角P-AD-C的平面角，则△PDC为正三角形，且平面PDC与平面ABCD垂直．取CD的中点O，AB的中点M，连接OM，PM，过点O作OH⊥PM于点H，易证OH⊥平面P AB，故点C到平面P AB的距离即为OH的长．计算得PO＝3，又OM＝2，则PM＝7，故在Rt△POM中，由面积相等可得OH＝PO×OMPM ＝2217.]16．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱DD1，AB上的点．下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的序号)①A1C⊥平面B1EF；②在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线；③△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形；④当E，F为中点时，平面B1EF截该正方体所得的截面图形是五边形．②③④ [由正方体的性质可得A 1C ⊥平面AB 1D 1，所以显然有A 1C 与平面B 1EF 不垂直，故①错误；由题图可知，平面A 1B 1C 1D 1与平面B 1EF 相交，则一定有一条交线，所以在平面A 1B 1C 1D 1内一定存在直线与此交线平行，则此直线与平面B 1EF 平行，故②正确；点F 在侧面BCC 1B 1上的投影为点B ，点E 在侧面BCC 1B 1上的投影在棱CC 1上，所以投影三角形的面积为S ＝12BB 1·BC ＝12，为定值，故③正确；在D 1C 1上取点M ，使D 1M ＝14D 1C 1，在AD 上取点N ，使AN ＝23AD ，连接B 1M ，EM ，EN ，FN ，则五边形B 1MENF 即为截面，故④正确．所以正确命题的序号为②③④.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.(1)求过点A (3，2)，且与l 垂直的直线的方程；(2)求与l 平行，且到点P (3，0)的距离为5的直线的方程．[解] (1)∵直线l 的斜率为2，∴所求直线的斜率为－12.∵所求直线过点A (3，2)，∴所求直线的方程为y －2＝－12(x －3)，即x ＋2y －7＝0.(2)由题意可设所求直线的方程为2x －y ＋c ＝0(c ≠1)，∵点P (3，0)到该直线的距离为5， ∴|6＋c |22＋（－1）2＝5，解得c ＝－1或c ＝－11，故所求直线的方程为2x －y －1＝0或2x －y －11＝0.18．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，E 为AD 的中点，将△CDE 沿CE 折起，使得△CDE 所在平面与梯形ABCE 所在平面垂直(如图30)，M 是BD 的中点．(1)求证：AM ∥平面CDE ；(2)求三棱锥M -AED 的体积．[解] (1)取BC 的中点N ，连结MN ，AN ，(图略)∵AE ∥BC 且AE ＝NC ＝1，∴四边形ANCE 为平行四边形，∴AN ∥EC ，又M 为BD 的中点，∴MN ∥DC .∵AN ∩MN ＝N ，EC ∩DC ＝C ，AN ，MN 平面AMN ，EC ，DC 平面EDC ， ∴平面AMN ∥平面EDC ，∴AM ∥平面EDC .(2)连接BE ，S △ABE ＝12×AB ×AE ＝12×1×1＝12，三棱锥M -AED 的体积V ＝12V三棱锥B -AED ＝12V 三棱锥D -ABE ＝12×13×22×S △ABE ＝224.19．(本小题满分12分)如图所示，平行四边形ABCD ⊥平面CDE ，AD ＝DC ＝DE ＝4，∠ADC ＝60°，AD ⊥DE .(1)求证：DE ⊥平面ABCD ；(2)求二面角C -AE -D 的余弦值．[解] (1)证明：如图，过A 作AH ⊥DC 交DC 于点H .∵平行四边形ABCD⊥平面CDE，平行四边形ABCD∩平面CDE＝DC，AH 平面ABCD，∴AH⊥平面CDE.又DE平面CDE，∴AH⊥DE①.已知AD⊥DE②，AH∩AD＝A③，由①②③得，DE⊥平面ABCD.(2)如图，过点C作CM⊥AD交AD于点M，过点C作CN⊥AE交AE于点N，连接MN.由(1)得DE⊥平面ABCD，又DE平面ADE，∴平面ADE⊥平面ABCD，∴CM⊥AE，CM⊥MN.∵CN⊥AE，且CM∩CN＝C，∴AE⊥平面CMN，∴∠CNM就是所求二面角的一个平面角．在Rt△CMN中，CM＝23，MN＝2，∴CN＝14，∴所求二面角的余弦值为MNCN ＝214＝77.20．(本小题满分12分)已知圆O：x2＋y2＝4，直线l1：3x＋y－23＝0与圆O相交于A，B两点，且点A在第一象限．(1)求|AB|；(2)设P(x0，y0)(x0≠±1)是圆O上的一个动点，点P关于原点O的对称点为P1，点P关于x轴的对称点为P2，如果直线AP1，AP2与y轴分别交于(0，m)和(0，n)两点，问mn是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．[解](1)圆心O(0，0)到直线l1：3x＋y－23＝0的距离d＝3，圆O的半径长r＝2，所以|AB|＝2r2－d2＝2.(2)mn 是定值，且mn ＝4.理由如下：联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，3x ＋y －23＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝ 3.又点A 在第一象限，所以A (1，3)． 由P (x 0，y 0)(x 0≠±1)，得P 1(－x 0，－y 0)，P 2(x 0，－y 0)，又P 为圆O 上一点，所以x 20＋y 20＝4，所以直线AP 1的方程为y －3＝3＋y 01＋x 0(x －1)，令x ＝0，得m ＝3x 0－y 01＋x 0；直线AP 2的方程为y －3＝3＋y 01－x 0(x －1)，令x ＝0，得n ＝－3x 0－y 01－x 0，所以mn ＝3x 0－y 01＋x 0·－3x 0－y 01－x 0＝－4（x 20－1）1－x 20＝4. 21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝2BC ＝2，PB ＝PD ，P A ＝ 3.(1)求证：P A ⊥BD ；(2)若P A ⊥AB ，BD ＝22，E 为P A 的中点．(ⅰ)过点C 作一直线l 与BE 平行，在图中画出直线l 并说明理由； (ⅱ)求平面BEC 将三棱锥P -ACD 分成的两部分体积的比．[解](1)如图，取BD的中点O，连接AO，PO.∵AB＝AD，O为BD中点，∴AO⊥BD，又PB＝PD，O为BD中点，∴PO⊥BD，又AO∩PO＝O，∴BD⊥平面P AO，又P A平面P AO，∴P A⊥BD.(2)(ⅰ)如图，取PD的中点F，连接CF，EF，则DF∥BE，CF即所求作直线l.理由如下：∵在△P AD中，E，F分别为P A，PD的中点，∴EF∥AD，且EF＝12AD＝1，又AD∥BC，BC＝12AD＝1，∴EF∥BC且EF＝BC，∴四边形BCFE为平行四边形．∴CF∥BE.(ⅱ)∵P A⊥AB，P A⊥BD，AB∩BD＝B，∴P A⊥平面ABD，又在△ABD中，AB＝AD＝2，BD＝22，∴AB2＋AD2＝BD2，∴AB⊥AD.又P A⊥AB，P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD.法一：V三棱锥P-ACD＝13×12×2×2×3＝233，V四棱锥C-AEFD＝13×12×(1＋2)×32×2＝32.∵V 三棱锥P -ECF ＝233－32＝36，∴V 三棱锥P -ECF V 四棱锥C -AEFD ＝3632＝13. 法二：∵在△P AD 中，EF 为中位线，∴S △PEF S △P AD＝14， ∴V 三棱锥C -PEF V 三棱锥C -P AD ＝13×S △PEF ×AB 13×S △P AD ×AB＝14， ∴V 三棱锥P -ECF V 四棱锥C -AEFD＝13. 法三：设三棱锥F -PEC 的高为h ，则易知三棱锥D -P AC 的高为2h ，则V 三棱锥F -PEC V 三棱锥D -P AC ＝13×S △PCE ×h 13×S △P AC ×2h＝14.∴V 三棱锥P -ECF V 四棱锥C -AEFD＝13. 22．(本小题满分12分)如图，已知圆心坐标为M (3，1)的圆M 与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于A ，B 两点，另一圆N 与圆M 外切，且与x 轴及直线y＝3x 分别相切于C ，D 两点．(1)求圆M 与圆N 的方程；(2)过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦长．[解](1)因为点M的坐标为(3，1)，所以点M到x轴的距离为1，即圆M的半径长为1，所以圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝1.设圆N的半径长为r，连接MA，NC，OM，如图所示，则MA⊥x轴，NC⊥x轴．由题意知，点M，N都在∠COD的平分线上，所以O，M，N三点共线．又MA∥NC，所以Rt△OAM∽Rt△OCN，所以|OM||ON|＝|MA||NC|，即23＋r＝1r，解得r＝3，所以|OC|＝33，N(33，3)，故圆N的方程为(x－33)2＋(y－3)2＝9.(2)由对称性可知，所求的弦长等于过点A与MN平行的直线被圆N截得的弦长．设过点A与MN平行的直线为l′，则直线l′的方程是y＝3－133－3(x－3)＝33(x－3)，即x－3y－3＝0，圆心N到直线l′的距离d＝|33－3×3－3|1＋（－3）2＝32.则所求弦长为2r2－d2＝33.。