2019—2020年最新苏教版高中数学必修二模块综合检测(B)及答案解析.docx

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二章末质量评估(一)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．直线l与平面α所成角为30°，l∩α＝A，m⊂α，A∉m，则m与l所成角的取值范围是________．解析直线l与平面α所成的30°的角为m与l所成角的最小值，当m在α内适当旋转就可以得到l⊥m，即m与l所成角的最大值为90°.答案[30°，90°]2．以△ABC的三条中位线DE，EF，FD为折痕将△ADF，△BDE，△CEF 折起，使A，B，C三点重合并记为P，构成三棱锥P－DEF，则在下列给出的图形中：①等腰三角形；②等边三角形；③锐角三角形；④直角三角形；⑤钝角三角形．△ABC不可能是________．解析∵等边三角形折叠起来是一个正三棱锥，∴等腰三角形、等边三角形、锐角三角形都可能按照上述方法折成三棱锥，而直角三角形、钝角三角形折叠的时候不能使得短边与长边同时重合，不能实现上述折叠．答案④⑤3．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是__________．解析 若题中所指两直线是相交直线则平面平行，若两直线是平行直线，则两平面相交或平行．答案 平行或相交4．如图，正方体的棱长为1，C 、D 是两棱中点，A 、B 、M 是顶点，则点M 到截面ABCD 的距离是________．解析 作MN ⊥AB 于点N ，取DC 的中点P ，则AB ⊥平面MNP .作MH ⊥NP 于点H ，则MH ⊥平面ABCD ，即MH 为所求．由V M －ABC ＝V A －BCM ，得d ＝23.答案 235．在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形)．解析 ∵AC ⊥BD ，∴A 1C 1⊥B 1D 1.又∵CC 1⊥B 1D 1，A 1C 1∩CC 1＝C 1，∴B 1D 1⊥平面A 1C 1C ，∴B 1D 1⊥A 1C .答案 AC ⊥BD (答案不唯一)6．轴截面是正方形的圆柱的侧面积为S ，那么圆柱的体积为________． 解析 设圆柱底面直径为x ，则高为x ，因此有πx ·x ＝S .而V 圆柱＝π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 22·x＝π4x 3＝S 4Sπ.答案S 4S π7．如图，P 点是四边形ABCD 所在平面外一点，O 是AC 与BD 的交点，且PO ⊥平面ABCD ，当四边形ABCD 具有条件________时，点P 到四边形ABCD 四条边的距离相等．(填上你认为正确的一种情况即可)解析 只需考虑O 到四边形四边的距离相等即可． 答案 正方形(或圆的外切四边形等)8．圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为________．解析 圆柱的侧面积S 侧＝6π×4π＝24π2.(1)以边长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面圆周长，所以2πr ＝4π，即r ＝2.所以S 底＝4π，所以S 表＝24π2＋8π.(2)以4π所在边为轴时，6π为圆柱底面圆周长，所以2πr ＝6，即r ＝3.所以S 底＝9π，所以S 表＝24π2＋18π.答案 24π2＋8π或24π2＋18π9．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，P 为△ABC 所在平面外一点，且PA ＝PB ＝PC ，则平面PBC 与平面ABC 的关系是________．解析 如右图所示，取BC 的中点O ，连接AO ，PO . ∵PB ＝PC ，∴PO ⊥BC .又△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形， ∴OA ＝OB ，且PA ＝PB ， ∴Rt △POB ≌Rt △POA ，∴∠POA ＝∠POB ＝90°，即PO ⊥OA ， 而OA ∩BC ＝O ，∴PO ⊥平面ABC ，而PO ⊂平面PBC ， ∴平面PBC ⊥平面ABC . 答案 垂直10．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的的表面积为12π，则这个正四棱柱的体积为________．解析 设正四棱柱的底面边长为a ，则球的直径2R ＝22＋2a 2，所以S 表＝4πR 2＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22＋2a 24＝12π， 解得a ＝2，所以正四棱柱的体积V ＝2a 2＝8. 答案 811．考察下列三个命题，在“________”处都缺少一个条件，补上这个条件使其成为真命题(其中l 、m 为直线，α、β为平面)，则此条件为________．⎭⎪⎬⎪⎫①m ⊂α l ∥m⇒l ∥α⎭⎪⎬⎪⎫②l ∥m m ∥α⇒l ∥α；⎭⎪⎬⎪⎫③l ⊥β α⊥β⇒l ∥α. 解析 ①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“l ⊄α”，它同样适合②和③.答案 l ⊄α12．棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各面引垂线，垂线段长度分别为d 1，d 2，d 3，d 4，则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为________．解析 作等体积变换：13×34×(d 1＋d 2＋d 3＋d 4)＝13×34×h ，而h ＝63.答案 6313．设平面α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且AS ＝8，BS ＝9，CD ＝34，则CS ＝________.解析 根据题意易得AS SB ＝SC SD .当点S 在α，β之间时，有89＝CS34－CS，即CS＝16；当点S 在α，β之外时，有817＝SCSC ＋34，即SC ＝2729.答案 16或272914．设正三角形ABC 的边长为a ，PA ⊥平面ABC ，PA ＝AB ，E 为BC 中点，在平面PAE 内过点A 作AF ⊥PE ，垂足为F ，则AF 的长为________．解析 如右图所示，知AE ⊥BC ，又∵BC ⊥PA ，∴BC ⊥平面PAE . ∴平面PAE ⊥平面PBC .∵AF ⊥PE ，垂足为F ，∴AF ⊥平面PBC .则AF ＝PA ·AE PE ＝217a .答案 217a二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(本小题满分14分)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 中，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，C 1D 1的中点．求证：平面D 1EF ∥平面BDG . 解 ∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点，∴EF∥BD.又∵EF⊄平面BDG，BD⊂平面BDG，∴EF∥平面BDG.∵D1G綉EB，∴四边形D1GBE为平行四边形，∴D1E∥GB.又∵D1E⊄平面BDG，GB⊂平面BDG，∴D1E∥平面BDG.又∵EF∩D1E＝E，∴平面D1EF∥平面BDG.16．(本小题满分14分)如图(1)，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．(1)证明：AD⊥D1F；(2)求AE与D1F所成的角；(3)证明平面AED⊥平面A1FD1.(1)证明由正方体ABCD－A1B1C1D1，可得AD⊥面D1DCC1.∵D1F⊂面D1DCC1，∴AD⊥D1F.(2)解如图(2)，取AB的中点G，则易证得A1G∥D1F.又正方形A1ABB1中，E、G分别是对应边的中点，∴A1G⊥AE.∴D1F⊥AE.∴AE与D1F所成的角为90°.(3)证明由正方体可知A1D1⊥面A1ABB1，∴A1D1⊥AE.又由(2)已证D1F⊥AE.∵A1D1∩D1F＝D1，∴AE⊥平面A1FD1.又AE⊂平面AED，∴平面AED⊥平面A1FD1.17．(本小题满分14分)已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，PA＝AD＝4，E为BC的中点．(1)求证：DE⊥平面PAE；(2)求直线DP与平面PAE所成的角的大小．(1)证明取AD中点F，连结EF，则ABEF与EFDC都是正方形，∴∠EAD＝∠ADE＝45°，∴AE⊥DE.∵PA⊥平面ABCD，DE⊂平面ABCD，∴PA⊥DE.又∵PA∩AE＝A，∴DE⊥平面PAE.(2)解由(1)知∠DPE即为DP与平面PAE所成的角．在Rt△PAD中，PD＝4 2.在Rt△DCE中，DE＝2 2.则在Rt△DEP中，PD＝2DE，∴∠DPE＝30°.即直线DP与平面PAE所成的角为30°.18．(本小题满分16分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB ＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，G为AD的中点．(1)求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB；(3)求二面角A­BC­P的大小．(1)证明连结BD，则△ABD为等边三角形．∵G为AD的中点，∴BG⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.(2)证明：连结PG.∵△PAD是等边三角形且G为AD的中点，∴AD⊥PG.又∵AD⊥BG，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PBG.∵PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.(3)解∵AD⊥PB，AD∥BC，∴BC⊥PB.又∵BG⊥AD，AD∥BC，∴BG⊥BC，∴∠PBG为二面角A­BC­P的平面角．在Rt△PBG中，PG＝BG，∴∠PBG＝45°.19．(本小题满分16分)如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝23，沿对角线BD将△ABD折起，使点A移至点P，且P在平面BCD内的射影为O，且O 在DC上．(1)求证：PD⊥PC；(2)求二面角P－DB－C的平面角的余弦值．(1)证明∵PO⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴PO⊥BC.∵BC⊥CD，CD∩PO＝O，∴BC⊥平面PCD.∵DP⊂平面PCD，∴BC⊥DP.又∵DP⊥PB，PB∩BC＝B，∴DP⊥平面PBC.而PC⊂平面PBC，∴PD⊥PC.(2)解 △PBD 在平面BCD 内的射影为△OBD ，且S △PBD ＝12×6×23＝63，S △OBD ＝S △CBD －S △BOC ＝63－12×23×OC .在Rt △DPC 中，PC 2＝24.设OC ＝x ，则OD ＝6－x ，∴PC 2－OC 2＝DP 2－DO 2，即24－x 2＝12－(6－x )2.解得x ＝4.∴S △BOD ＝63－43＝2 3.过点P 作PQ ⊥DB ，连结OQ ，则DB ⊥平面OPQ ，∴∠OQP 即为二面角P －DB －C 的平面角，∴cos ∠OQP ＝S △BOD S △PBD ＝2363＝13.20．(本小题满分16分)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA .(1)求证：平面EFG ⊥平面PDC ；(2)求三棱锥P －MAB 与四棱锥P －ABCD 的体积之比．解 (1)由已知MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，所以PD ⊥平面ABCD .又BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC .因为四边形ABCD 为正方形，所以BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，因此BC ⊥平面PDC .在△PBC 中，因为G 、F 分别为PB 、PC 的中点，所以GF ∥BC ，因此GF ⊥平面PDC .又GF ⊂平面EFG ，所以平面EFG ⊥平面PDC .(2)因为PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，不妨设MA ＝1，则PD ＝AD ＝2，所以V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PD ＝83. 由于DA ⊥平面MAB ，且PD ∥MA ，所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离，三棱锥V P －MAB ＝13S △MAB ·DA ＝13×12×1×2×2＝23， 所以V P －MAB ∶V P －ABCD ＝1∶4.。

1 2019-2020数学必修二综合检测试卷 （总分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、已知直线经过点A (0,4)和点B (1,2)，则直线AB 的斜率为 ( ) A ．3 B ．－2 C ．2 D ．不存在 2、下列命题正确的是( ) A ．四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形 B ．一条直线和两条平行直线都相交，则三条直线共面 C ．两两平行的三条直线一定确定三个平面 D ．和两条异面直线都相交的直线一定是异面直线 3、已知直线(a －2)x ＋ay －1＝0与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，则a 的值为( ) A ．－6 B ．6 C ．－45 D.45 4、下列四个说法(其中a ，b ，c 为三条不同直线，α，β，γ为三个不同的平面)： ①若a ⊥b ，c ⊥b ，则a ∥c ；②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；③若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ； ④若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 其中正确的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5、已知圆C 方程为(x －2)2＋(y －1)2＝9，直线l 的方程为3x －4y －12＝0，在圆C 上到直线l 的距离为1的点有几个 ( )A ．4B ．3C ．2D ．16、已知点A (1,2,2)、B (1，－3,1)，点C 在yOz 平面上，且点C 到点A 、B 的距离相等，则点C 的坐标可以为 ( ) A ．(0,1，－1) B ．(0，－1,6) C ．(0,1，－6) D ．(0,1,6)7、过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( ) A. 3 B ．2 C. 6 D ．238、圆台侧面的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的面积之和是( ) A ．3πa 2 B ．4πa 2 C ．5πa 2 D ．6πa 29、点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ，则PA 与BD 所成角的度数为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 10、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 ( )班级姓名考号密封线内不要答题。

（新课标）2019—2020学年苏教版高中数学必修二综合测试（二）1．直线10x y ++=的倾斜角与在y 轴上的截距分别是 ；2．若图中直线1l 、2l 、3l 的斜率分别为1k 、2k 、3k ，则1k 、2k 、3k 从小到大的排列顺序为 ；3．已知直线l 过点(3,4)-，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为 ； 4．经过点(2,1)-,且与直线2350x y -+=垂直的直线方程是 5．圆1)3()2(22=-+-y x 关于直线x ＋y －1＝0对称的圆方程是6．若直线1ax by +=与圆122=+y x 相交，则点P (,)a b 与圆的位置关系是 7．若方程21x x m -=+无实数解，则实数m 的取值范围是8．已知直线1ax by +=与圆221x y +=相切，则ab 的取值范围是 9．如图所示的直观图，其平面图形的面积是10．将一个正方体的表面沿着几条棱裁开后，放平，得到 一个如图所示的展开图，则在原正方体中有如下四个结论：①AB//CD ；②AB//EF ；③CD//GH ；④AB//GH. 其中正确结论的序号是11．已知m n 、是不重合的直线，αβ、是不重合的平面，有下列命题： ⑴ 若,//n m n αβ=，则//,//m m αβ；D 1C 1B 1A 1FEDCBA⑵ 若,m m αβ⊥⊥，则//αβ； ⑶ 若//,m m n α⊥，则n α⊥； ⑷ 若,m n αα⊥⊂，则.m n ⊥ 其中所有真命题的序号是 ．12．如图，PA ⊥面ABC ，△ABC 中，BC ⊥AC ，则图中直角 三角形的个数为13．如图，E 、F 分别为正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心， 则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是14．给出下列四个命题：⑴分别与异面直线a ，b 都相交的两条直线c ，d 一定异面；⑵若直线a 与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a 垂直的直线只有一条；⑶在三棱锥P-ABC 中，若PA=PB=PC ，则点P 在面ABC 内的射影O 一定是三角形ABC 的外心；⑷在三棱锥P-ABC 中，若侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，则点P 在面ABC 内的射影O 一定是三角形ABC 的垂心。

12019-2020数学必修二综合检测试卷（总分：150分 时间：120分钟）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、直线y ＝kx 与直线y ＝2x ＋1垂直，则k 等于 ( )A ．－2B ．2C ．－12D ．132、若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆C 的方程是 ( )A ．(x －5)2＋y 2＝5B ．(x ＋5)2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝53、下列四个说法(其中a ，b ，c 为三条不同直线，α，β，γ为三个不同的平面)：①若a ⊥b ，c ⊥b ，则a ∥c ；②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；③若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ； ④若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 其中正确的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．46、若点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝1的外部，则有直线ax ＋by ＋1＝0与圆C 的位置关系是 ( )A ．相切B ．相离C ．相交D ．相交或相切7、圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0上的动点P 到直线y ＝－x 的最小距离为 ( )A ．22－1B ．2 2C ． 2D ．18、如图，在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是 ( )9、若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的体积为 ( )A ．3πB ．3π3C ．3πD ．3π211、光线沿着直线y ＝－3x ＋b 射到直线x ＋y ＝0上，经反射后沿着直线y ＝ax ＋2射出，则有 ( )A ．a ＝13，b ＝6 B ．a ＝－13，b ＝－6 C ．a ＝3，b ＝－16 D ．a ＝－3，b ＝16班级 姓名 考号密封线内不要答题。

yxz O（新课标）2019—2020学年苏教版高中数学必修二高一数学单元过关检测题（苏教版·必修2·解析几何初步）（满分100分，检测时间100分钟）一．选择题1. 如果直线0=++C By Ax 的倾斜角为 45，则有关系式Ａ．B A = Ｂ．0=+B A Ｃ．1=AB Ｄ．以上均不可能 2. 直线122=-by a x 在y 轴上的截距是 A. b B. 2b C. 2b - D. b ± 3. 下列命题中正确的是A ．平行的两条直线的斜率一定相等 B.平行的两条直线的倾斜角一定相等 C ． 垂直的两直线的斜率之积为-1 D.斜率相等的两条直线一定平行 4. 圆2)3()2(22=++-y x 的圆心和半径分别是A ．)3,2(-，1B ．)3,2(-，3C ．)3,2(-，2D ．)3,2(-，2 5. 如果直线l 上的一点A 沿x 轴负方向平移３个单位，再沿y 轴正方向平移１个单位后，又回到直线l 上，则l 的斜率是A ．3B ．13 C ．－3 D ．－136. 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图。

其中实点 代表钠原子，黑点·代表氯原子。

建立空间直角坐标系O —xyz 后，图中最上层中间的钠 原子所在位置的坐标是A ．（12，12，1） B ．（0，0，1） C ．（1，12，1） D ．（1，12，12）7. 已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为31，则m ，n 的值分别为A.4和3B.-4和3C.- 4和-3D.4和-38. 已知点P （0，-1），点Q 在直线x-y+1=0上，若直线PQ 垂直于直线x+2y-5=0，则点Q 的坐标是A ．（-2，1）B ．（2，1）C ．（2，3）D ．（-2，-1）9. 已知三角形ABC 的顶点A （2，2，0），B （0，2，0），C(0，1，4)，则三角形ABC是A ．直角三角形；B ．锐角三角形；C ．钝角三角形；D ．等腰三角形； 10. 平行于直线2x-y+1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是A ．2x －y+5=0B ．2x －y －5=0C ．2x ＋y+5=0或2x ＋y －5=0D ．2x －y+5=0或2x －y －5=0 二．填空题11. 如图，直线12,l l 的斜率分别为k 1、k 2，则k 1、k 2的大小关系是； .12. 如果直线l 与直线x+y －1＝0关于y 轴对称，则直线l的方程是 .13. 已知两点A （1，－1）、B （3，3），点C （5，a ）在直线AB 上，则实数a 的值是 . 14. 直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是.15. 直线0323=-+y x 截圆422=+y x 所得的劣弧所对的圆心角为 . 16. 连接平面上两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的线段12P P 的中点M 的坐标为1212(,)22x x y y ++，那么，已知空间中两点1111(,,)P x y z 、2222(,,)P x y z ，线段12P P 的中点M 的坐标为 .三．解答题17. 已知一条直线经过两条直线0432:1=--y x l 和0113:2=-+y x l 的交点，并且垂直于这个交点和原点的连线，求此直线方程。

（新课标）2019—2020学年苏教版高中数学必修二高二数学阶段检测试卷一、填空题:(本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．)1．A,B,C 为空间三点,经过这三点的平面有 个.2.两个球的半径之比为1∶2，那么两个球的表面积之比为________． 3．已知a,b 是两条异面直线，直线c 平行于直线a,那么直线c 与直线b 的位置关系是____________．4. 空间中直线l 和三角形的两边AC ，BC 同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB 的位置关系是________．5. 以下角：①异面直线所成角；②直线和平面所成角；③二面角的平面角，可能为钝角的有________个．6．过平面外一点能作 条直线与这个平面平行． 7. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为916， 则正方体的棱长为________． 8.如右图所示的水平放置的平面图形的直观图，它所表示的平面图形ABCD 是9.如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，y C BD A x若PA′∶AA′＝3∶4，则S△A′B′C′∶S△ABC＝________.10.已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别是3和5，则A，B的中点P到平面α的距离是________．11.若圆锥的全面积是底面积的3倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为________度．12. 已知高为3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为2的正三角形(如图)，则三棱锥B1—ABC的体积为________．13. 在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是________．①BC∥面PDF；②面PDF⊥面ABC；③DF⊥面PAE；④面PAE⊥面ABC.AB D C14. 设α∥β，A ∈α，C ∈α，B ∈β，D ∈β，直线AB 与CD 交于O ， 若AO ＝8，BO ＝9，CD ＝51，则CO ＝________．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.(本题14分)已知：平面α∩平面β=b ，直线a ∥α，a ∥β，求证：a ∥b 。

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二高一数学必修2综合练习题一.选择题1、若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是（ ）A 、 相交B 、 异面C 、 平行D 、异面或相交2、如图：直线L 1 的倾斜角α1=30０，直线 L 1⊥L 2 ，则L 2的斜率为（ ） Ａ、33- Ｂ、 33 Ｃ、3- Ｄ、3 ３、三个平面把空间分成７部分时，它们的交线有（ ）Ａ、１条 Ｂ、２条 Ｃ、３条 Ｄ、１或２条４、若Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（21，ｍ）三点共线 则ｍ的值为（ ） Ａ、21 Ｂ、21- Ｃ、－２ Ｄ、２ 5、直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于Ｅ、F 两点，则∆EOF （O 为原点）的面积为（ ）A 、 23B 、 43C 、 52D 、 5566、下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。

⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。

⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。

⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。

其中正确的个数为（ ）A 、 0B 、 1C 、 2D 、 37、棱台上、下底面面积之比为1∶9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是( )A 、 1∶7B 、2∶7C 、 7∶19D 、 5∶ 168、直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于E 、F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为（ ） Ａ、23 Ｂ、43 Ｃ、52 Ｄ、556 9、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2ｃｍ，则球的表面积是（ ）Ａ、8Лｃｍ２ Ｂ、12Лｃｍ２ Ｃ、16Лｃｍ２ Ｄ、20Лｃｍ２10、已知在四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，若CD=2AB=4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角为（ ）Ａ、90０Ｂ、45０ Ｃ、60０ Ｄ、30０ 11、圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ）A. x+y+3=0 B 、2x-y-5=0 C 、 3x-y-9=0 D 、4x-3y+7=012、圆：012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A 、 2 B 、21+ C 、221+ D 、221+ 二.填空题13、与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是14、已知：A （1，2，1），B （-1，3，4，），C （1，1，1，），PB AP 2=，则PC 长为15、四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V-AB-C 的平面角为 度16、已知点M （a ，b ）在直线1543=+y x 上，则22b a +的最小值为三.解答题17、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点。

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．下列叙述中不正确的序号是________．①若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；②每一条直线都有唯一对应的倾斜角；③与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°；④若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α.【解析】当α＝90°时，tan α不存在，所以④错误，由直线斜率和倾斜角的知识知①②③正确．【答案】④2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________．【解析】如图所示，由V＝Sh得，S＝4，即正四棱柱底面边长为2.∴A1O1＝2，A1O＝R＝ 6.∴S 球＝4πR 2＝24π. 【答案】 24π3．已知直线l 1：ax ＋4y －2＝0与直线l 2：2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c 的值为________．【解析】 垂足(1，c )是两直线的交点，且l 1⊥l 2，故－a 4·25＝－1，∴a ＝10.l 1：10x ＋4y －2＝0.将(1，c )代入l 1，得c ＝－2；将(1，－2)代入l 2，得b ＝－12.则a ＋b ＋c ＝10＋(－12)＋(－2)＝－4. 【答案】 －44．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的度数为________．【解析】 S 底＋S 侧＝3S 底，2S 底＝S 侧，即2πr 2＝πrl ，得2r ＝1. 设侧面展开图的圆心角为θ，则θπl180°＝2πr ，∴θ＝180°.【答案】 180°5．过点(3，－4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是________. 【导学号：60420098】【解析】 当截距均为0时，设方程为y ＝kx ，将点(3，－4)，代入得k ＝－43，即直线方程为4x ＋3y ＝0；当截距不为0时，设方程为x a ＋ya ＝1，将点(3，－4)代入得a ＝－1，即直线方程为x ＋y ＋1＝0.【答案】 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝06．若x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值为________．【解析】配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝25，圆心坐标为(1，－2)，半径r＝5，所以x2＋y2的最小值为半径减去原点到圆心的距离，即5－5，故可求x2＋y2的最小值为30－10 5.【答案】30－10 57．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是________．(填序号)①若l⊥α，α⊥β，则l⊂β；②若l∥α，α∥β，则l⊂β；③若l⊥α，α∥β，则l⊥β；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β.【解析】当l⊥α，α⊥β时不一定有l⊂β，还有可能l∥β，故①不对；当l∥α，α∥β时，l⊂β或l∥β，故②不对；若α∥β，α内必有两条相交直线m，n与平面β内的两条相交直线m′，n′平行，又l⊥α，则l⊥m，l⊥n，即l⊥m′，l⊥n′，故l⊥β，因此③正确；若l∥α，α⊥β，则l与β相交或l∥β或l⊂β，故④不对．【答案】③8．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线BD1与平面A1B1CD所成角的正切值是________．【解析】连结B1C交BC1于O，则B1C⊥BC1，又A1B1⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1CD，取D1B的中点O1，连结O1O，则∠BO1O就是直线BD1与平面A1B1CD所成的角．不妨设正方体棱长为1，则BD1＝3，BO＝22，O1O＝12，在Rt△BOO1中，tan∠BO1O＝BOO1O＝ 2.【答案】 29．已知直线l：y＝x＋m(m∈R)，若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，则该圆的方程为__________．【解析】由题意知P(0，m)，又直线l与圆相切于点P，则MP⊥l，且直线l的倾斜角为45°，所以点P的坐标为(0,2)，|MP|＝22，于是所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.【答案】(x－2)2＋y2＝810．从直线3x＋4y＋8＝0上一点P向圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0引切线PA，PB，A，B为切点，则四边形PACB的周长的最小值为__________．【解析】圆心到直线的距离为d＝|3＋4＋8|5＝3，圆的半径为1，所以四边形PACB的周长的最小值为232－12＋2＝42＋2.【答案】42＋211.图1如图1，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________．【解析】如图，取A1B1的中点M，连结GM，HM.由题意易知EF∥GM，且△GMH为正三角形．∴异面直线EF与GH所成的角即为GM与GH的夹角∠HGM.而在正三角形GMH中，∠HGM＝60°.【答案】60°12．侧棱长为a的正三棱锥P­ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________．【解析】侧棱长为a的正三棱锥P­ABC其实就是棱长为a的正方体的一角，所以球的直径就是正方体的对角线，所以球的半径为3a2，该球的表面积为3πa2.【答案】3πa213．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为23，则a＝________.【解析】两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4⇒y＝1a，又a>0，结合图象(略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a＝22－(3)2＝1⇒a＝1.【答案】 114．(2014·全国卷Ⅱ改编)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．【解析】如图，过点M 作⊙O 的切线，切点为N ，连接ON .M 点的纵坐标为1，MN 与⊙O 相切于点N .设∠OMN ＝θ，则θ≥45°，即sin θ≥22，即ONOM ≥22.而ON ＝1，∴OM ≤2.∵M 为(x 0,1)，∴x 20＋1≤2，∴x 20≤1，∴－1≤x 0≤1，∴x 0的取值范围为[－1,1]． 【答案】 [－1,1]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0.试确定m ，n 的值，使(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.【解】 (1)∵l 1∥l 2，∴A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m ·m －2×8＝0，8×(－1)－m ×n ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.(2)由l 1在y 轴上的截距为－1，得m ·0＋8×(－1)＋n ＝0，∴n ＝8. 又l 1⊥l 2，∴A 1A 2＋B 1B 2＝0， 即m ×2＋8m ＝0，∴m ＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝8.16．(本小题满分14分)在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，已知平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，且B 1D ⊥BC 1.(1)求证：A 1C ∥平面B 1AD ； (2)求证：BC 1⊥平面B 1AD .图2【证明】 (1)如图，连结BA 1交AB 1于点O ，连结OD .由棱柱知侧面AA 1B 1B 为平行四边形，所以O 为BA 1的中点．又D 是BC 的中点，所以OD ∥A 1C .因为A 1C ⊄平面B 1AD ，OD ⊂平面B 1AD ，所以A 1C ∥平面B 1AD . (2)因为D 是BC 的中点，AB ＝AC ，所以AD ⊥BC .因为平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，平面BB 1C 1C ∩平面ABC ＝BC ，AD ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面BB 1C 1C .因为BC 1⊂平面BB 1C 1C ，所以AD ⊥BC 1.又BC 1⊥B 1D ，且AD ∩B 1D ＝D ，所以BC 1⊥平面B 1AD .图317．(本小题满分14分)如图3所示，圆x 2＋y 2＝8内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦．(1)当α＝135°时，求|AB |；(2)当弦AB 被点P 平分时，求直线AB 的方程．【解】 (1)过点O 作OG ⊥AB 于G ，连接OA ，当α＝135°时，直线AB 的斜率为－1，故直线AB 的方程为x ＋y －1＝0，∴|OG |＝|0＋0－1|2＝22，∴|GA |＝8－12＝152＝302， ∴|AB |＝2|GA |＝30.(2)连结OP .当弦AB 被P 平分时，OP ⊥AB ，此时k OP ＝－2，∴k AB ＝12，∴直线AB 的方程为y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.图418．(本小题满分16分)(2015·安徽高考)如图4，三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P ­ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PM MC的值．【解】 (1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由PA ⊥平面ABC ，可知PA 是三棱锥P ­ABC 的高．又PA ＝1， 所以三棱锥P ­ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·PA ＝36.(2)证明：在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面PAC 内，过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ，连接BM .由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ，所以MN ⊥AC . 由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN . 又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM .在直角△BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC＝AC－AN＝32.由MN∥PA，得PMMC＝ANNC＝13.19．(本小题满分16分)(2014·全国卷Ⅰ)已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．【解】(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x，y)，则CM→＝(x，y－4)，MP→＝(2－x,2－y)．由题设知CM→·MP→＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．又P在圆N上，从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－1 3，故l的方程为y＝－13x＋83.又|OM|＝|OP|＝22，O到l的距离为4105，|PM|＝4105，所以△POM的面积为165. 20．(本小题满分16分)如图5(1)，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G .将△ABF 沿AF 折起，得到如图5(2)所示的三棱锥A ­BCF ，其中BC ＝22.(1) (2)图5(1)证明：DE ∥平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F ­DEG 的体积V F ­DEG . 【解】 (1)证法一：在折叠后的图形中，因为AB ＝AC ，AD ＝AE ，所以ADAB ＝AEAC ，所以DE ∥BC .因为DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，所以DE ∥平面BCF .证法二：在折叠前的图形中，因为AB ＝AC ，AD ＝AE ， 所以AD AB ＝AE AC ，所以DE ∥BC ，即DG ∥BF ，EG ∥CF .在折叠后的图形中，仍有DG ∥BF ，EG ∥CF .又因为DG ⊄平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，所以DG ∥平面BCF ，同理可证EG ∥平面BCF .又DG ∩EG ＝G ，DG ⊂平面DEG ，EG ⊂平面DEG ，故平面DEG ∥平面BCF .又DE ⊂平面DEG ，所以DE ∥平面BCF .(2)证明：在折叠前的图形中，因为△ABC 为等边三角形，BF ＝CF ， 所以AF ⊥BC ，则在折叠后的图形中，AF ⊥BF ，AF ⊥CF .又BF ＝CF ＝12，BC ＝22， 所以BC 2＝BF 2＋CF 2，所以BF ⊥CF .又BF ∩AF ＝F ，BF ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，所以CF ⊥平面ABF .(3)由(1)知，平面DEG ∥平面BCF ，由(2)知AF ⊥BF ，AF ⊥CF ，又BF ∩CF ＝F ，所以AF ⊥平面BCF ，所以AF ⊥平面DEG ，即GF ⊥平面DEG .在折叠前的图形中，AB ＝1，BF ＝CF ＝12，AF ＝32. 由AD ＝23知AD AB ＝23，又DG ∥BF ， 所以DG BF ＝AG AF ＝AD AB ＝23，所以DG＝EG＝23×12＝13，AG＝23×32＝33，所以FG＝AF－AG＝3 6.故三棱锥F­DEG的体积为V三棱锥F－DEG＝13S△DEG·FG＝13×12×⎝⎛⎭⎪⎪⎫132×36＝3 324.。

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二综合检测一、填空题1． 已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题：①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；②若m ∥α，n ⊥α，则n ⊥m ；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β.其中正确命题的个数是________．2． 已知点A (1,2，－1)，点C 与点A 关于平面xOy 对称，点B 与点A 关于x 轴对称，则线段BC 的长为________．3． 垂直于梯形两腰的直线与梯形两底所在平面的位置关系是________．4． 直线3ax －y －1＝0与直线(a －23)x ＋y ＋1＝0垂直，则a 的值是________． 5． 在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于________．6． 若经过点(3，a )、(－2,0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为12的直线垂直，则a 的值为_______．7． 圆C 1：(x －3)2＋(y －4)2＝16与圆C 2：x 2＋y 2＝m 内切，则实数m ＝________.8． 如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 1、BC 1的中点，则下列结论不成立的是________．①EF 与BB 1垂直； ②EF 与BD 垂直；③EF 与CD 异面； ④EF 与A 1C 1异面．9．已知点P在z轴上，且满足PO＝1(O是坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离是________．10．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是________．11．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．12．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1，3)，B(－2，－23)，则直线l1，l2的位置关系是________．13．过直线x＋y－22＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．14．已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．二、解答题15．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：(1)d的变化范围；(2)当d取最大值时，两条直线的方程．16．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过E点作EF⊥PB交PB于点F.求证：(1)PA∥平面EDB；(2)PB⊥平面EFD.17．已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)．(1)求过点A的圆的切线方程；(2)O点是坐标原点，连结OA，OC，求△AOC的面积S.18．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.(1)证明：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值．19．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PM＝PO，求使得PM取得最小值的点P的坐标．20．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．(1)证明：CD⊥平面PAE；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．答案1．22．43．垂直4．－13或15．2 36．－107．818．④ 9.6或 210．(0，2)11．90°12．平行或重合13．(2，2) 14.3315．解 (1)如图所示，显然有0<d ≤AB .而AB ＝(6＋3)2＋(2＋1)2＝310.故所求的d 的变化范围为(0,310]．(2)由图可知，当d 最大时，两直线垂直于AB .而k AB ＝2－(－1)6－(－3)＝13，∴所求的直线的斜率为－3.故所求的直线方程分别为y －2＝－3(x －6)和y ＋1＝－3(x ＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.16．证明(1)如图所示，连结AC，AC交BD于点O，连结EO.∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO.而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB.(2)∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂平面ABCD，∴PD⊥DC.∵PD＝DC，∴△PDC是等腰直角三角形．又DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.①由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC.又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.又DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.②由①和②推得DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB.又EF⊥PB，且DE∩EF＝E，∴PB⊥平面EFD.17．解(1)⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝1.①当切线的斜率不存在时，有直线x＝3，C(2,3)到直线的距离为1，满足条件．②当k存在时，设直线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0，故|－k＋2|k2＋1＝1，得k＝34.∴方程为y －5＝34(x －3)，即3x －4y ＋11＝0.综上，所求直线方程为x ＝3或3x －4y ＋11＝0.(2)AO ＝9＋25＝34，l AO ：5x －3y ＝0，点C 到直线OA 的距离d ＝134，S ＝12d ·AO ＝12.18．(1)证明 ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BD .同理由PC ⊥平面BDE 可证得PC ⊥BD .又PA ∩PC ＝P ，∴BD ⊥平面PAC .(2)解 如图，设BD 与AC 交于点O ，连结OE .∵PC ⊥平面BDE ，BE 、OE ⊂平面BDE .∴PC ⊥BE ，PC ⊥OE .∴∠BEO 即为二面角B －PC －A 的平面角．由(1)知BD ⊥平面PAC .又OE 、AC ⊂平面PAC ，∴BD ⊥OE ，BD ⊥AC .故矩形ABCD 为正方形，∴BD ＝AC ＝22，BO ＝12BD ＝ 2.由PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD 得PA ⊥BC .又BC ⊥AB ，PA ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面PAB .而PB ⊂平面PAB ，∴BC ⊥PB .在Rt △PAB 中，PB ＝PA 2＋AB 2＝5，在Rt △PAC 中，PC ＝PA 2＋AC 2＝3.在Rt △PBC 中，由PB ·BC ＝PC ·BE 得BE ＝253. 在Rt △BOE 中，OE ＝BE 2－BO 2＝23. ∴tan ∠BEO ＝BOOE ＝3，即二面角B －PC －A 的正切值为3.19．解 (1)∵切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，∴设切线方程为x ＋y ＝a (a ≠0)，又∵圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，∴圆心C (－1,2)到切线的距离等于圆的半径2， ∴|－1＋2－a |2＝2⇒a ＝－1，或a ＝3，则所求切线的方程为：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.(2)∵切线PM 与半径CM 垂直，∴PM 2＝PC 2－CM 2，∴(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2＝x 21＋y 21， ∴2x 1－4y 1＋3＝0，∴动点P 的轨迹是直线2x －4y ＋3＝0.PM 的最小值就是PO 的最小值，而PO 的最小值为O 到直线2x －4y ＋3＝0的距离d＝3510，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35.20．(1)证明 如图，连结AC .由AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°得AC ＝5.又AD ＝5，E 是CD 的中点，所以CD ⊥AE .因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD .而PA ，AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE .(2)解 过点B 作BG ∥CD ，分别与AE ，AD 相交于点F ，G ，连结PF .由(1)CD ⊥平面PAE 知，BG ⊥平面PAE .于是∠BPF 为直线PB 与平面PAE 所成的角，且BG ⊥AE .由PA ⊥平面ABCD 知，∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成的角． 由题意得∠PBA ＝∠BPF ，因为sin ∠PBA ＝PA PB ，sin ∠BPF ＝BF PB ， 所以PA ＝BF .由∠DAB ＝∠ABC ＝90°知，AD ∥BC .又BG ∥CD ，所以四边形BCDG 是平行四边形．故GD ＝BC ＝3.于是AG ＝2.在Rt △BAG 中，AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，所以BG ＝AB 2＋AG 2＝25，BF ＝AB 2BG ＝1625＝855. 于是PA ＝BF ＝855.又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16， 所以四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13×S ×PA ＝13×16×855＝128515.。

模块综合测评(B卷)(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0A[设直线方程为x－2y＋c＝0，∵直线经过点(1，0)，∴1－0＋c＝0，故c＝－1，∴所求直线方程为x－2y－1＝0.]2．设一球的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上有两个点A，B的坐标分别为(1，2，2)，(2，－2，1)，则|AB|＝()A．18 B．12C．3 2 D．2 3C[由空间两点间的距离公式可知，|AB|＝（1－2）2＋（2＋2）2＋（2－1）2＝3 2.故选C.]3．直线x－3y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得弦的长为()A.30B.53 2C．4 2 D．3 3A[由题知，题中圆的圆心坐标为(1，3)，半径长r＝10，则圆心到直线的距离d＝|1－9＋3|12＋（－3）2＝102，所以弦长为2r2－d2＝210－104＝30.]4．圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆x2＋y2－4x－10y－7＝0的位置关系是() A．外切B．内切C．相交D．相离B[圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0的圆心是C1(－2，2)，半径长r1＝1.圆x2＋y2－4x－10y－7＝0的圆心是C2(2，5)，半径长r2＝6，则|C1C2|＝（2＋2）2＋（5－2）2＝5＝r2－r1，故两圆内切．]5．将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向右平移1个单位长度所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为()A．1或11 B．－3或7C．0或10 D．－2或8A[将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向右平衡1个单位长度得到直线2(x－1)－y＋λ＝0，即2x－y－2＋λ＝0，此直线与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5相切，即圆心(－1，2)到直线的距离d＝|－2－2－2＋λ|5＝5，∴|λ－6|＝5，解得λ＝1或λ＝11.故选A.]6．平面α截球O所得截面圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为()A.6πB．43πC．46πD．63πB[球的半径R＝12＋（2）2＝3，所以球的体积V＝43π×(3)3＝43π.]7．点P(2，3)到直线l：ax＋y－2a＝0的距离为d，则d的最大值为() A．3 B．4C．5 D．7A[直线ax＋y－2a＝0即a(x－2)＋y＝0，易得直线经过定点Q(2，0)，则当PQ⊥l时，d取得最大值|PQ|，|PQ|＝（2－2）2＋32＝3.]8．已知a，b为直线，α，β为平面，给出下列四个命题：①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若α∥b，β∥b，则α∥β.其中正确命题的个数是()A．1 B．3C．2 D．0C[由“垂直于同一平面的两直线平行”知①正确；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②不正确；由“垂直于同一直线的两平面平行”知③正确；在长方体中可以找到满足要求的平面α，β和直线b ，易知α，β不一定平行，故④不正确．故选C.]9．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过点C ，则以C 为圆心，5为半径长的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0C [直线方程可化为(x ＋1)a －(x ＋y －1)＝0，直线过定点，即对任意实数a ，方程恒成立，故有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，即直线过定点C (－1，2)，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.]10．如果圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3，－1)∪(1，3)B ．(－3，3)C ．[－1，1]D ．[－3，－1]∪[1，3]D [圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为2的点，可转化为圆(x －a )2＋(y －a )2＝8和圆x 2＋y 2＝2有交点．大圆半径长为22，小圆半径长为2，圆心距为（a －0）2＋（a －0）2＝2|a |，所以22－2≤2|a |≤22＋2，所以1≤|a |≤3，所以－3≤a ≤－1或1≤a ≤3，即a ∈[－3，－1]∪[1，3]．]11．三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1，P A ＝3，则该三棱锥外接球的表面积为 ( )A ．5π B.2π C ．20π D ．4πA [如图，取PC的中点O，连接OA，OB，∵P A⊥平面ABC，AC平面ABC，∴P A⊥AC.在Rt△P AC中，∵O为PC的中点，∴OA＝12PC，又∵P A⊥BC，AB⊥BC，P A，AB是平面P AB内的两条相交直线，∴BC⊥平面P AB，∴BC⊥PB，在Rt△PBC中，可得OB＝12PC，∴O是三棱锥P-ABC的外接球的球心．∵Rt△P AC中，AC＝2，P A＝3，∴PC＝5，∴三棱锥P-ABC的外接球的半径长R＝12PC＝5 2，∴该三棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝5π.故选A.]12．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成三棱锥A′­BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是()A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．直线CA′与平面A′BD所成的角为30°D ．三棱锥A ′­BCD 的体积为13B [如图所示，取BD 的中点O ，连接OA ′，OC ，∵A ′B ＝A ′D ，∴A ′O ⊥BD ，又平面A ′BD ⊥平面BCD ，平面A ′BD ∩平面BCD ＝BD ，∴A ′O ⊥平面BCD .∵CD ⊥BD ，∴OC 不垂直于BD .假设A ′C ⊥BD ，∵A ′O ⊥BD ，又A ′O ∩A ′C ＝A ′，∴BD ⊥平面A ′OC ，∴BD ⊥OC ，矛盾，∴A ′C 不垂直于BD ，故A 错误；∵CD ⊥BD ，平面A ′BD ⊥平面BCD ，平面A ′BD ∩平面BCD ＝BD ，∴CD ⊥平面A ′BD ，∴CD ⊥A ′B ，又A ′B ⊥A ′D ，CD ∩A ′D ＝D ，∴A ′B ⊥平面A ′CD ，∴A ′B ⊥A ′C ，故B 正确；易知∠CA ′D 为直线CA ′与平面A ′BD 所成的角，∠CA ′D ＝45°，故C 错误；V 三棱锥A ′­BCD ＝V 三棱锥C －A ′BD ＝13S△A ′BD ·CD ＝16，故D 错误．] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知点M (0，－1)，N (2，3)．如果直线MN 垂直于直线ax ＋2y －3＝0，那么a 等于________．1 [∵点M (0，－1)，N (2，3)，∴直线MN 的斜率k MN ＝3＋12－0＝2.∵直线MN垂直于直线ax ＋2y －3＝0，∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1，解得a ＝1.] 14．设圆C ：(x －3)2＋(y －5)2＝5，过圆心C 作直线l 交圆于A ，B 两点，交y 轴于点P ，若点A 恰好为线段BP 的中点，则直线l 的方程为________．2x －y －1＝0或2x ＋y －11＝0 [如图，因为点A为PB的中点，而点C为AB的中点，所以点C为PB的一个四等分点，而C(3，5)，点P的横坐标为0，因此A，B两点的横坐标分别为2，4，将点A的横坐标代入圆的方程，可得A(2，3)或A(2，7)，根据直线的两点式得到直线l的方程为2x－y－1＝0或2x＋y－11＝0.]15．已知四边形ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角P-AD-C为60°，则点C到平面P AB的距离为________．2217[由题易得∠PDC就是二面角P-AD-C的平面角，则△PDC为正三角形，且平面PDC与平面ABCD垂直．取CD的中点O，AB的中点M，连接OM，PM，过点O作OH⊥PM于点H，易证OH⊥平面P AB，故点C到平面P AB的距离即为OH的长．计算得PO＝3，又OM＝2，则PM＝7，故在Rt△POM中，由面积相等可得OH＝PO×OMPM ＝2217.]16．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱DD1，AB上的点．下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的序号)①A1C⊥平面B1EF；②在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线；③△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形；④当E，F为中点时，平面B1EF截该正方体所得的截面图形是五边形．②③④ [由正方体的性质可得A 1C ⊥平面AB 1D 1，所以显然有A 1C 与平面B 1EF 不垂直，故①错误；由题图可知，平面A 1B 1C 1D 1与平面B 1EF 相交，则一定有一条交线，所以在平面A 1B 1C 1D 1内一定存在直线与此交线平行，则此直线与平面B 1EF 平行，故②正确；点F 在侧面BCC 1B 1上的投影为点B ，点E 在侧面BCC 1B 1上的投影在棱CC 1上，所以投影三角形的面积为S ＝12BB 1·BC ＝12，为定值，故③正确；在D 1C 1上取点M ，使D 1M ＝14D 1C 1，在AD 上取点N ，使AN ＝23AD ，连接B 1M ，EM ，EN ，FN ，则五边形B 1MENF 即为截面，故④正确．所以正确命题的序号为②③④.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.(1)求过点A (3，2)，且与l 垂直的直线的方程；(2)求与l 平行，且到点P (3，0)的距离为5的直线的方程．[解] (1)∵直线l 的斜率为2，∴所求直线的斜率为－12.∵所求直线过点A (3，2)，∴所求直线的方程为y －2＝－12(x －3)，即x ＋2y －7＝0.(2)由题意可设所求直线的方程为2x －y ＋c ＝0(c ≠1)，∵点P (3，0)到该直线的距离为5， ∴|6＋c |22＋（－1）2＝5，解得c ＝－1或c ＝－11，故所求直线的方程为2x －y －1＝0或2x －y －11＝0.18．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，E 为AD 的中点，将△CDE 沿CE 折起，使得△CDE 所在平面与梯形ABCE 所在平面垂直(如图30)，M 是BD 的中点．(1)求证：AM ∥平面CDE ；(2)求三棱锥M -AED 的体积．[解] (1)取BC 的中点N ，连结MN ，AN ，(图略)∵AE ∥BC 且AE ＝NC ＝1，∴四边形ANCE 为平行四边形，∴AN ∥EC ，又M 为BD 的中点，∴MN ∥DC .∵AN ∩MN ＝N ，EC ∩DC ＝C ，AN ，MN 平面AMN ，EC ，DC 平面EDC ， ∴平面AMN ∥平面EDC ，∴AM ∥平面EDC .(2)连接BE ，S △ABE ＝12×AB ×AE ＝12×1×1＝12，三棱锥M -AED 的体积V ＝12V三棱锥B -AED ＝12V 三棱锥D -ABE ＝12×13×22×S △ABE ＝224.19．(本小题满分12分)如图所示，平行四边形ABCD ⊥平面CDE ，AD ＝DC ＝DE ＝4，∠ADC ＝60°，AD ⊥DE .(1)求证：DE ⊥平面ABCD ；(2)求二面角C -AE -D 的余弦值．[解] (1)证明：如图，过A 作AH ⊥DC 交DC 于点H .∵平行四边形ABCD⊥平面CDE，平行四边形ABCD∩平面CDE＝DC，AH 平面ABCD，∴AH⊥平面CDE.又DE平面CDE，∴AH⊥DE①.已知AD⊥DE②，AH∩AD＝A③，由①②③得，DE⊥平面ABCD.(2)如图，过点C作CM⊥AD交AD于点M，过点C作CN⊥AE交AE于点N，连接MN.由(1)得DE⊥平面ABCD，又DE平面ADE，∴平面ADE⊥平面ABCD，∴CM⊥AE，CM⊥MN.∵CN⊥AE，且CM∩CN＝C，∴AE⊥平面CMN，∴∠CNM就是所求二面角的一个平面角．在Rt△CMN中，CM＝23，MN＝2，∴CN＝14，∴所求二面角的余弦值为MNCN ＝214＝77.20．(本小题满分12分)已知圆O：x2＋y2＝4，直线l1：3x＋y－23＝0与圆O相交于A，B两点，且点A在第一象限．(1)求|AB|；(2)设P(x0，y0)(x0≠±1)是圆O上的一个动点，点P关于原点O的对称点为P1，点P关于x轴的对称点为P2，如果直线AP1，AP2与y轴分别交于(0，m)和(0，n)两点，问mn是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．[解](1)圆心O(0，0)到直线l1：3x＋y－23＝0的距离d＝3，圆O的半径长r＝2，所以|AB|＝2r2－d2＝2.(2)mn 是定值，且mn ＝4.理由如下：联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，3x ＋y －23＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝ 3.又点A 在第一象限，所以A (1，3)． 由P (x 0，y 0)(x 0≠±1)，得P 1(－x 0，－y 0)，P 2(x 0，－y 0)，又P 为圆O 上一点，所以x 20＋y 20＝4，所以直线AP 1的方程为y －3＝3＋y 01＋x 0(x －1)，令x ＝0，得m ＝3x 0－y 01＋x 0；直线AP 2的方程为y －3＝3＋y 01－x 0(x －1)，令x ＝0，得n ＝－3x 0－y 01－x 0，所以mn ＝3x 0－y 01＋x 0·－3x 0－y 01－x 0＝－4（x 20－1）1－x 20＝4. 21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝2BC ＝2，PB ＝PD ，P A ＝ 3.(1)求证：P A ⊥BD ；(2)若P A ⊥AB ，BD ＝22，E 为P A 的中点．(ⅰ)过点C 作一直线l 与BE 平行，在图中画出直线l 并说明理由； (ⅱ)求平面BEC 将三棱锥P -ACD 分成的两部分体积的比．[解](1)如图，取BD的中点O，连接AO，PO.∵AB＝AD，O为BD中点，∴AO⊥BD，又PB＝PD，O为BD中点，∴PO⊥BD，又AO∩PO＝O，∴BD⊥平面P AO，又P A平面P AO，∴P A⊥BD.(2)(ⅰ)如图，取PD的中点F，连接CF，EF，则DF∥BE，CF即所求作直线l.理由如下：∵在△P AD中，E，F分别为P A，PD的中点，∴EF∥AD，且EF＝12AD＝1，又AD∥BC，BC＝12AD＝1，∴EF∥BC且EF＝BC，∴四边形BCFE为平行四边形．∴CF∥BE.(ⅱ)∵P A⊥AB，P A⊥BD，AB∩BD＝B，∴P A⊥平面ABD，又在△ABD中，AB＝AD＝2，BD＝22，∴AB2＋AD2＝BD2，∴AB⊥AD.又P A⊥AB，P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD.法一：V三棱锥P-ACD＝13×12×2×2×3＝233，V四棱锥C-AEFD＝13×12×(1＋2)×32×2＝32.∵V 三棱锥P -ECF ＝233－32＝36，∴V 三棱锥P -ECF V 四棱锥C -AEFD ＝3632＝13. 法二：∵在△P AD 中，EF 为中位线，∴S △PEF S △P AD＝14， ∴V 三棱锥C -PEF V 三棱锥C -P AD ＝13×S △PEF ×AB 13×S △P AD ×AB＝14， ∴V 三棱锥P -ECF V 四棱锥C -AEFD＝13. 法三：设三棱锥F -PEC 的高为h ，则易知三棱锥D -P AC 的高为2h ，则V 三棱锥F -PEC V 三棱锥D -P AC ＝13×S △PCE ×h 13×S △P AC ×2h＝14.∴V 三棱锥P -ECF V 四棱锥C -AEFD＝13. 22．(本小题满分12分)如图，已知圆心坐标为M (3，1)的圆M 与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于A ，B 两点，另一圆N 与圆M 外切，且与x 轴及直线y＝3x 分别相切于C ，D 两点．(1)求圆M 与圆N 的方程；(2)过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦长．[解](1)因为点M的坐标为(3，1)，所以点M到x轴的距离为1，即圆M的半径长为1，所以圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝1.设圆N的半径长为r，连接MA，NC，OM，如图所示，则MA⊥x轴，NC⊥x轴．由题意知，点M，N都在∠COD的平分线上，所以O，M，N三点共线．又MA∥NC，所以Rt△OAM∽Rt△OCN，所以|OM||ON|＝|MA||NC|，即23＋r＝1r，解得r＝3，所以|OC|＝33，N(33，3)，故圆N的方程为(x－33)2＋(y－3)2＝9.(2)由对称性可知，所求的弦长等于过点A与MN平行的直线被圆N截得的弦长．设过点A与MN平行的直线为l′，则直线l′的方程是y＝3－133－3(x－3)＝33(x－3)，即x－3y－3＝0，圆心N到直线l′的距离d＝|33－3×3－3|1＋（－3）2＝32.则所求弦长为2r2－d2＝33.。

2019-2020年高中数学 模块综合检测卷 苏教版必修2一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x －3＝0的倾斜角是(C ) A ．45° B ．60° C ．90° D ．不存在2．已知点A (x ，1，2)和点B (2，3，4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是(D ) A ．－3或4 B ．－6或2 C ．3或－4 D ．6或－23．圆x 2＋y 2－2x ＝0与圆x 2＋y 2－2x －6y －6＝0的位置关系是(D ) A ．相交 B ．相离 C ．外切 D ．内切4．在同一个平面直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是(C ) 5．(xx·重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(C )A ．12B ．18C ．24D ．30解析：因为三个视图中直角较多，所以可以在长方体中对几何体进行分析还原，在长方体中计算其体积．由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和左视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的．在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示．在图(1)中，V 棱柱ABCA 1B 1C 1＝S △ABC ·AA 1＝12×4×3×5＝30，V 棱锥PA 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·PB 1＝13×12×4×3×3＝6.故几何体ABCPA 1C 1的体积为30－6＝24.故选C.6．(xx·重庆卷)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为(A )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17解析：先求出圆心坐标和半径，再结合对称性求解最小值，设P (x ，0)，C 1(2，3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C ′1C 2|＝（2－3）2＋（－3－4）2＝5 2. 而|PM |＝|PC 1|－1，|PN |＝|PC 2|－3， ∴|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.7．如图，已知AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，则图中互相垂直的平面有(B )A ．4对B ．3对C ．2对D ．1对8．(xx·辽宁卷)已知点O (0，0)、A (0，b )、B (a ，a 3)，若△AOB 为直角三角形，则必有(C )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0解析：根据直角三角形的直角的位置求解．若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意； 若∠A ＝π2，则b ＝a 3≠0.若∠B ＝π2，根据斜率关系可知a 2·a 3－b a ＝－1，所以a (a 3－b )＝－1，即b －a 3－1a ＝0.以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件．9．一个圆柱的轴截面为正方形，其体积与一个球的体积之比是3∶2，则这个圆柱的侧面积与这个球的表面积之比为(A )A ．1∶1B ．1∶ 2 C.2∶ 3 D ．3∶210．(xx·广东卷)若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是(D )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定 解析：在长方体模型中进行推理论证，利用排除法求解．如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，记l 1＝DD 1，l 2＝DC ，l 3＝DA ，若l 4＝AA 1，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，此时l 1∥l 4，可以排除选项A 和C.若l 4＝DC 1，也满足条件，可以排除选项B.故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上) 11．若M 、N 分别是△ABC 边AB 、AC 的中点，MN 与过直线BC 的平面β(不包括△ABC 所在平面)的位置关系是________．答案：平行12．(xx·重庆卷)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2－(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________．解析：根据“半径、弦长AB 的一半、圆心到直线的距离”满足勾股定理可建立关于a 的方程，解方程求a .圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|a 2＋1.因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝|BC |＝2.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋a －2|a 2＋12＋12＝22.解得a ＝4±15.答案：4±1513．两条平行线2x ＋3y －5＝0和x ＋32y ＝1间的距离是________．答案：3131314．(xx·大纲全国卷)已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，OK ＝32，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O 的表面积等于________．解析：根据球的截面性质以及二面角的平面角的定义确定平面角，把球的半径转化到直角三角形中计算，进而求得球的表面积．如图所示，公共弦为AB ，设球的半径为R ，则AB ＝R .取AB 中点M ，连接OM 、KM ，由圆的性质知OM ⊥AB ，KM ⊥AB ，所以∠KMO 为圆O 与圆K 所在平面所成的一个二面角的平面角，则∠KMO ＝60°.在Rt △KMO 中，OK ＝32，所以OM ＝OKsin 60°＝ 3.在Rt △OAM 中，因为OA 2＝OM 2＋AM 2，所以R 2＝3＋14R 2，解得R 2＝4.所以球O 的表面积为4πR 2＝16π.答案：16π三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)15．(本小题满分12分)已知两点A (－1，2)，B (m ，3)． (1)求直线AB 的斜率； (2)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的范围． 解析：(1)当m ＝－1时，直线AB 的斜率不存在；当m ≠－1时，k ＝1m ＋1. (2)当m ＝－1时，α＝π2；当m ≠－1时，k ＝1m ＋1∈(]－∞，－3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞， 则α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3.综上，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.16．(本小题满分12分)(xx·上海卷)如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1＝6，异面直线BC 1与AA 1所成角的大小为π6，求该三棱柱的体积．解析：因为CC 1∥AA 1，所以∠BC 1C 为异面直线BC 1与AA 1所成的角，即∠BC 1C ＝π6.在Rt △BC 1C 中，BC ＝CC 1·tan ∠BC 1C ＝6×33＝23，从而S △ABC ＝34BC 2＝33，因此该三棱柱的体积为V ＝S △ABC ·AA 1＝33·6＝18 3.17．(本小题满分14分)(xx·湖北卷)如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 、F 、P 、Q 、M 、N 分别是棱AB 、AD 、DD 1、BB 1、A 1B 1、A 1D 1的中点．求证：(1)直线BC 1∥平面EFPQ ； (2)直线AC 1⊥平面PQMN .分析：借助三角形中位线的性质、线面平行的判定及线面垂直的判定和性质证明．证明：(1)连接AD1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1.因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图，连接AC，BD，则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1.而AC1⊂平面ACC1，所以BD⊥AC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.18．(本小题满分14分)下图是某几何体的三视图，请你指出这个几何体的结构特征，并求出它的表面积与体积．解析：此几何体是一个组合体，下半部是长方体，上半部是半圆柱，其轴截面的大小与长方体的上底面大小一致．表面积为S，则S＝32＋96＋48＋4π＋16π＝176＋20π.体积为V，则V＝8×4×6＋12×22×8π＝192＋16π.所以几何体的表面积为(176＋20π)cm2，体积为(192＋16π)cm3.19．(本小题满分14分)如图，△ABC中，AC＝BC＝22AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．(1)求证：GF∥平面ABC；(2)求BD与平面EBC所成角的大小；(3)求几何体EFBC的体积．(1)证明：如图，连EA交BD于点F，∵F是正方形ABED对角线BD的中点，∴F是EA的中点．∴FG∥AC.又FG⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴FG∥平面ABC.(2)解析：∵平面ABED⊥平面ABC，BE⊥AB，∴BE⊥平面ABC.∴BE⊥AC.又∵AC＝BC＝22 AB，∴BC⊥AC.又∵BE∩BC＝B，∴AC ⊥平面EBC . 由(1)知，FG ∥AC ， ∴FG ⊥平面EBC .∴∠FBG 就是线BD 与平面EBC 所成的角． 又BF ＝12BD ＝2a 2，FG ＝12AC ＝2a4，sin ∠FBG ＝FG BF ＝12，∴∠FBG ＝30°.(3)VEFBC ＝VFEBC ＝13S △EBC ·FG ＝13·12·a ·2a 2·12·2a 2＝a 324.20．(本小题满分14分)(xx·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解析：(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3，2)，于是切线的斜率必存在，设过A (0，3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3.由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上， 设圆心C (a ，2(a －2))，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4.所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点， 则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋（2a －3）2≤3. 整理，得－8≤5a 2－12a ≤0. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作模块综合检测（B）(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知水平放置的△ABC是按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么△ABC的形状为__________三角形．2．已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．其中正确命题有________个．3．已知两点A(－1,3)，B(3,1)，当C在坐标轴上，若∠ACB＝90°，则这样的点C的个数为________．4．三视图如图所示的几何体的全面积是__________．5．已知圆心为(2，－3)，一条直径的两个端点恰好在两个坐标轴上，则圆的方程是______________．6．如右图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立．．．的是__________(填序号)．①EF与BB1垂直；②EF与BD垂直；③EF与CD异面；④EF与A1C1异面．7．过圆x2＋y2＝4上的一点(1，3)的圆的切线方程是__________．8．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于__________．9．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是____________．10．一个三棱锥S－ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为1，6，3，已知该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为__________．11．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角为________．12．如图所示，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面有________．13．已知直线5x＋12y＋a＝0与圆x2－2x＋y2＝0相切，则a的值为________．14．过点P(1，2)的直线l将圆C：(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k为________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知平行四边形两边所在直线的方程为x＋y＋2＝0和3x－y＋3＝0，对角线的交点是(3,4)，求其他两边的方程．16．(14分) 已知△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC．求证：AD⊥平面SBC．17．(14分)已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高线BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求(1)顶点C的坐标；(2)直线BC的方程．18．(16分)已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0，若直线l过点P且被圆C 截得的线段长为43，求l的方程．19．(16分) 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点．求证：(1)直线BD1∥平面P AC；(2)平面BDD1⊥平面P AC；(3)直线PB1⊥平面P AC．20．(16分)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0．(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．模块综合检测(B) 答案1．等边2．2解析①中m与n可能相交，也可能异面，∴①错误．3．3解析由题意，点C应该为以AB为直径的圆与坐标轴的交点．以AB为直径的方程是(x＋1)(x－3)＋(y－3)(y－1)＝0，令x＝0，解得y＝0或4；令y＝0，解得x＝0或2．所以该圆与坐标轴的交点有三个：(0,0)，(0,4)，(2,0)．4．2＋ 2解析由所给三视图可知该几何体为四棱锥，为正方体的一部分如图所示．故全面积S ＝2＋2．5．(x －2)2＋(y ＋3)2＝136．④解析 连结A 1B ，∵E 是AB 1中点，∴E ∈A 1B ，∴EF 是△A 1BC 1的中位线，∴EF ∥A 1C 1，故④不成立．7．x ＋3y －4＝0解析 过圆x 2＋y 2＝r 2上一点(x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2．∴过(1，3)点的切线方程为x ＋3y －4＝0．8．36解析如图所示，正三棱锥S —ABC 中，设底边长为a ，侧棱长为2a ，O 为底面中心，易知∠SAO即为所求．∵AO ＝33a ∴在Rt △SAO 中，cos ∠SAO ＝AO SA ＝36． 9．(x －2)2＋(y －1)2＝1解析 设圆心为(a ，b)，由题意知b ＝r ＝1,1＝|4a －3|32＋42， 又∵a>0，∴a ＝2，∴圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1．10．16π解析 以三棱锥的三条侧棱SA 、SB 、SC 为棱长构造长方体，则长方体的体对角线即为球的直径，长为4．∴球半径为2，S 球＝4πR 2＝16π．11．60°12．平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面ACD ． 13．8或－18解析|5×1＋12×0＋a|52＋122＝1，解得a ＝8或－18． 14．22 解析 当直线与PC 垂直时，劣弧所对的圆心角最小，故直线的斜率为22． 15．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，3x －y ＋3＝0， 解得一顶点为⎝⎛⎭⎫－54，－34． 又对角线交点为(3,4)，则其相对顶点为⎝⎛⎭⎫294，354．设与x ＋y ＋2＝0平行的对边为x ＋y ＋m ＝0．该直线过点⎝⎛⎭⎫294，354，∴m ＝－16．设与3x －y ＋3＝0平行的对边为3x －y ＋n ＝0．该直线过点⎝⎛⎭⎫294，354，∴n ＝－13，∴其他两边方程为x ＋y －16＝0,3x －y －13＝0．16．证明 ∵∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC ．又SA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴SA ⊥BC ．又SA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面SAC ．∵AD ⊂平面SAC ，∴BC ⊥AD ．又SC ⊥AD ，SC ∩BC ＝C ，SC ⊂平面SBC ，BC ⊂平面SBC ，∴AD ⊥平面SBC ．17．解 (1)由题意，得直线AC 的方程为2x ＋y －11＝0．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －5＝02x ＋y －11＝0， 得点C 的坐标为(4,3)．(2)设B(m ，n)，M ⎝⎛⎭⎫m ＋52，n ＋12．于是有m ＋5－n ＋12－5＝0， 即2m －n －1＝0与m －2n －5＝0联立，解得B 点坐标为(－1，－3)，于是有 l BC ：6x －5y －9＝0．18．解如图所示，AB ＝43，设D 是线段AB 的中点，则CD ⊥AB ，∴AD ＝23，AC ＝4．在Rt △ACD 中，可得CD ＝2．设所求直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为：y －5＝kx ， 即kx －y ＋5＝0．由点C 到直线AB 的距离公式： |－2k －6＋5|k 2＋1＝2，得k ＝34， 此时直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0．又直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0． ∴所求直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0．19．证明 (1)设AC ∩BD ＝O ，连结PO ，在△BDD 1中，∵P 、O 分别是DD 1、BD 的中点， ∴PO ∥BD 1，又PO ⊂平面PAC ，BD 1⊄平面PAC ，∴直线BD 1∥平面PAC ．(2)长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，∴底面ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ．又DD 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥DD 1．又BD ∩DD 1＝D ，BD ⊂平面BDD 1，DD 1⊂平面BDD 1， ∴AC ⊥平面BDD 1，∵AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面BDD 1．(3)∵PC 2＝2，PB 21＝3，B 1C 2＝5，∴PC 2＋PB 21＝B 1C 2，△PB 1C 是直角三角形，PB 1⊥PC ．同理PB 1⊥PA ，又PA ∩PC ＝P ，PA ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，∴直线PB 1⊥平面PAC ．20．解 (1)(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，∴m<5．(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＝4－2y 1，x 2＝4－2y 2，则x 1x 2＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2．∵OM ⊥ON ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0 ①由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2y x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0 得5y 2－16y ＋m ＋8＝0∴y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5代入①得，m ＝85． (3)以MN 为直径的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0即x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0∴所求圆的方程为x 2＋y 2－85x －165y ＝0．。

章末综合测评(二) 平面解析几何初步(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上) 1．直线l：x－3y＋1＝0的倾斜角为________．【解析】l：y＝33x＋33，k＝33，∴α＝30°.【答案】30°2．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________．【解析】直线方程为y＝3x, 圆的方程化为x2＋(y－2)2＝22，∴r＝2，圆心(0,2)到直线y＝3x的距离为d＝1，∴半弦长为22－1＝3，∴弦长为23.【答案】233．(2016·常州高一检测)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝1的位置关系是__________．【解析】圆心(0,1)到直线l的距离d＝|－1－m＋1|m2＋1＝|m|m2＋1<1＝r.故直线l与圆C相交．【答案】相交4．关于x的方程4－x2＝12(x－2)＋3解的个数为________个. 【导学号：60420097】【解析】作出y＝4－x2和y＝12(x－2)＋3＝12x＋2的图象．可看出直线与半圆有两个公共点．【答案】 25．若直线l与直线3x＋y－1＝0垂直，且它在x轴上的截距为－2，则直线l的方程为_______ _．【解析】因为直线3x＋y－1＝0的斜率为－3，所以直线l的斜率为13.又直线在x轴上的截距为－2，即直线l与x轴的交点为(－2,0)，所以直线l的方程为y－0＝13(x＋2)，即x－3y＋2＝0.【答案】x－3y＋2＝06．(2016·南京高一检测)若曲线(x－1)2＋(y－2)2＝4上相异两点P，Q关于直线kx－y－2＝0对称，则k的值为________ __．【解析】依题意得，圆心(1,2)在直线kx－y－2＝0上，于是有k－4＝0，解得k＝4.【答案】 47．已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则a2＋b2的最小值为________．【解析】a2＋b2的最小值为原点到直线3x＋4y＝15的距离：d＝|0＋0－15|32＋42＝3.【答案】 38．空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和B(x，－1,6)的距离为86，则x的值为________．【解析】(x＋3)2＋(－1－4)2＋(6－0)2＝86，解得x＝2或－8.【答案】2或－89．直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.【解析】依题意，不妨设直线y＝x＋a与单位圆相交于A，B两点，则∠AOB＝90°.如图，此时a＝1，b＝－1.满足题意，所以a2＋b2＝2.【答案】 210．在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．【解析】设平面上的点为P，易知ABCD为凸四边形，设对角线AC与BD的交点为P′，则|P A|＋|PC|≥|AC|＝|AP′|＋|P′C|，|PB|＋|PD|≥|BD|＝|BP′|＋|P′D|，当且仅当P与P′重合时，上面两式等号同时成立，由AC和BD的方程解得P′(2,4)．【答案】 (2,4)11．若直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0与l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0平行，则l 1与l 2距离为________． 【解析】 由l 1∥l 2可知a2＝3a ＋1≠11，解得a ＝－3或a ＝2(舍)， ∴a ＝－3.∴l 1：－3x ＋3y ＋1＝0，即x －y －13＝0，l 2：2x －2y ＋1＝0，即x －y ＋12＝0，∴l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－13－122＝5212.【答案】521212．若圆O ：x 2＋y 2＝4与圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是__________．【解析】 由圆C 的方程x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0可得圆心C (－2,2)，由题意知直线l 过OC 的中点(－1,1)，又直线OC 的斜率为－1，故直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0.【答案】 x －y ＋2＝013．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为________．【解析】 设P (3,1)，圆心C (1,0)，切点为A 、B ，则P 、A 、C 、B 四点共圆，且PC 为圆的直径，∴四边形P ACB 的外接圆方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －122＝54，①圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，②①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程． 【答案】 2x ＋y －3＝014．设集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤r 2(r >0)}，当A ∩B ＝B 时，r 的取值范围是________．【解析】 ∵A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤r 2(r >0)}均表示圆及其内部的点，由A ∩B ＝B 可知两圆内含或内切．∴2≤2－r ，即0<r ≤2－2.【答案】 (0,2－2]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)已知圆C 的方程为：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0， (1)求m 的取值范围；(2)若直线x －2y －1＝0与圆C 相切，求m 的值．【解】 (1)由圆的方程的要求可得，22＋42－4m ＞0，∴m ＜5. (2)圆心(1,2)，半径r ＝5－m ，因为圆和直线相切，所以有错误!＝错误!， 所以m ＝95.16．(本小题满分14分)直线l 在两坐标轴上的截距相等，且P (4,3)到直线l 的距离为32，求直线l 的方程．【解】 若l 在两坐标轴上截距为0， 设l ：y ＝kx ，即kx －y ＝0，则|4k －3|1＋k2＝32.解得k ＝－6±3214.此时l 的方程为y ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－6±3214x ； 若l 在两坐标轴上截距不为0， 设l ：xa ＋ya＝1，即x ＋y －a ＝0，则|4＋3－a|12＋12＝32.解得a ＝1或13.此时l 的方程为x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0.综上，直线l 的方程为y ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－6±3214x 或x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0. 17．(本小题满分14分)一个长方体的8个顶点坐标分别为(0,0,0)，(0,1,0)，(3,0,0)，(3,1,0)，(3,1,9)，(3,0,9)，(0,0,9)，(0,1,9)．(1)在空间直角坐标系中画出这个长方体； (2)求这个长方体外接球的球心坐标； (3)求这个长方体外接球的体积． 【解】 (1)如图．(2)因为长方体的体对角线长是其外接球的直径， 所以球心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3＋02，0＋12，0＋92，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，12，92. (3)因为长方体的体对角线长d ＝错误!＝错误!， 所以其外接球的半径r ＝d2＝912. 所以其外接球的体积V 球＝43πr 3＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫9123＝91π691.18．(本小题满分16分)已知圆C 的圆心与P (0,1)关于直线y ＝x ＋1对称，直线3x ＋4y ＋1＝0与圆C 相交于E ，F 两点，且|AB |＝4.(1)求圆C 的标准方程；(2)设直线l ：mx －y ＋1－m ＝0(m ∈R )与圆C 的交点A ，B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程． 【解】 (1)点P (0,1)是关于直线y ＝x ＋1的对称点，即圆心C 的坐标为(0,1)， 圆心C 到直线3x ＋4y ＋1＝0的距离为d ＝|0＋4＋1|5＝1.所以r 2＝12＋22＝5，得圆C 的方程为x 2＋(y －1)2＝5. (2)联立得错误!消去y ，得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0.由于Δ＝4m 4－4(1＋m 2)(m 2－5)＝16m 2＋20>0，故l 与圆C 必交于两点．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则错误!消去m ，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x0－122＋(y 0－1)2＝14.∴M 点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －122＋(y －1)2＝14.19．(本小题满分16分)(2016·盐城月考)已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值； (2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值．【解】 (1)由题意知，圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝22.又|QC |＝错误!＝4错误!>2错误!， ∴|MQ |max ＝42＋22＝62，|MQ |min ＝42－22＝22.(2)因为n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，所以设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k ＝n －3m ＋2， 即kx －y ＋2k ＋3＝0.由题意知直线MQ 与圆C 有交点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤22，解得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－3.20．(本小题满分16分)如图1，已知△ABC 中A (－8,2)，AB 边上的中线CE 所在直线的方程为x ＋2y －5＝0，AC 边上的中线BD 所在直线的方程为2x －5y ＋8＝0，求直线BC 的方程．图1【解】 设B (x 0，y 0)，则AB 中点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x0－82，y0＋22，由条件可得： ⎩⎪⎨⎪⎧2x0－5y0＋8＝0，x0－82＋2·y0＋22－5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x0－5y0＋8＝0，x0＋2y0－14＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝6，y0＝4，即B (6,4)，同理可求得C 点的坐标为(5,0)． 故所求直线BC 的方程为y －04－0＝x －56－5，即4x －y －20＝0.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．下列叙述中不正确的序号是________．①若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；②每一条直线都有唯一对应的倾斜角；③与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°；④若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α.【解析】当α＝90°时，tan α不存在，所以④错误，由直线斜率和倾斜角的知识知①②③正确．【答案】④2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________．【解析】如图所示，由V＝Sh得，S＝4，即正四棱柱底面边长为2.∴A1O1＝2，A1O＝R＝ 6.＝4πR2＝24π.∴S球【答案】24π3．已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为________．【解析】垂足(1，c)是两直线的交点，且l1⊥l2，故－a4·25＝－1，∴a＝10.l1：10x＋4y－2＝0.将(1，c)代入l1，得c＝－2；将(1，－2)代入l2，得b＝－12.则a＋b＋c＝10＋(－12)＋(－2)＝－4.【答案】－44．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的度数为________．【解析】S底＋S侧＝3S底，2S底＝S侧，即2πr2＝πrl，得2r＝1.设侧面展开图的圆心角为θ，则θπl180°＝2πr，∴θ＝180°.【答案】180°5．过点(3，－4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是________. 【导学号：60420098】【解析】当截距均为0时，设方程为y＝kx，将点(3，－4)，代入得k＝－43，即直线方程为4x＋3y＝0；当截距不为0时，设方程为xa＋ya＝1，将点(3，－4)代入得a＝－1，即直线方程为x＋y＋1＝0.【答案】4x＋3y＝0或x＋y＋1＝06．若x，y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值为________．【解析】配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝25，圆心坐标为(1，－2)，半径r＝5，所以x2＋y2的最小值为半径减去原点到圆心的距离，即5－5，故可求x2＋y2的最小值为30－10 5.【答案】30－10 57．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是________．(填序号)①若l⊥α，α⊥β，则l⊂β；②若l∥α，α∥β，则l⊂β；③若l⊥α，α∥β，则l⊥β；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β.【解析】当l⊥α，α⊥β时不一定有l⊂β，还有可能l∥β，故①不对；当l∥α，α∥β时，l⊂β或l∥β，故②不对；若α∥β，α内必有两条相交直线m，n 与平面β内的两条相交直线m′，n′平行，又l⊥α，则l⊥m，l⊥n，即l⊥m′，l⊥n′，故l⊥β，因此③正确；若l∥α，α⊥β，则l与β相交或l∥β或l⊂β，故④不对．【答案】③8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BD1与平面A1B1CD所成角的正切值是________．【解析】连结B1C交BC1于O，则B1C⊥BC1，又A1B1⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1CD，取D1B的中点O1，连结O1O，则∠BO1O就是直线BD1与平面A1B1CD所成的角．不妨设正方体棱长为1，则BD1＝3，BO＝22，O1O＝12，在Rt△BOO1中，tan∠BO1O＝BOO1O＝ 2.【答案】 29．已知直线l：y＝x＋m(m∈R)，若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，则该圆的方程为__________．【解析】由题意知P(0，m)，又直线l与圆相切于点P，则MP⊥l，且直线l的倾斜角为45°，所以点P的坐标为(0,2)，|MP|＝22，于是所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.【答案】(x－2)2＋y2＝810．从直线3x＋4y＋8＝0上一点P向圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0引切线P A，PB，A，B为切点，则四边形P ACB的周长的最小值为__________．【解析】圆心到直线的距离为d＝|3＋4＋8|5＝3，圆的半径为1，所以四边形P ACB的周长的最小值为232－12＋2＝42＋2.【答案】42＋211.图1如图1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________．【解析】如图，取A1B1的中点M，连结GM，HM.由题意易知EF∥GM，且△GMH为正三角形．∴异面直线EF与GH所成的角即为GM与GH的夹角∠HGM.而在正三角形GMH中，∠HGM＝60°.【答案】60°12．侧棱长为a的正三棱锥P-ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________．【解析】侧棱长为a的正三棱锥P-ABC其实就是棱长为a的正方体的一角，所以球的直径就是正方体的对角线，所以球的半径为3a2，该球的表面积为3πa2.【答案】3πa213．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为23，则a ＝________.【解析】两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4⇒y＝1a，又a>0，结合图象(略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a＝22－(3)2＝1⇒a＝1.【答案】 114．(2014·全国卷Ⅱ改编)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．【解析】如图，过点M 作⊙O 的切线，切点为N ，连接ON .M 点的纵坐标为1，MN 与⊙O 相切于点N .设∠OMN ＝θ，则θ≥45°，即sin θ≥22，即ON OM ≥22.而ON ＝1， ∴OM ≤ 2.∵M 为(x 0,1)，∴x 20＋1≤2，∴x 20≤1，∴－1≤x 0≤1，∴x 0的取值范围为[－1,1]．【答案】 [－1,1]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0.试确定m ，n 的值，使(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.【解】 (1)∵l 1∥l 2，∴A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0， 即⎩⎨⎧m ·m －2×8＝0，8×(－1)－m ×n ≠0， ∴⎩⎨⎧ m ＝4，n ≠－2，或⎩⎨⎧m ＝－4，n ≠2. (2)由l 1在y 轴上的截距为－1，得 m ·0＋8×(－1)＋n ＝0，∴n ＝8. 又l 1⊥l 2，∴A 1A 2＋B 1B 2＝0， 即m ×2＋8m ＝0，∴m ＝0. ∴⎩⎨⎧m ＝0，n ＝8.16．(本小题满分14分)在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知平面BB1C1C⊥平面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，且B1D⊥BC1.(1)求证：A1C∥平面B1AD；(2)求证：BC1⊥平面B1AD.图2【证明】(1)如图，连结BA1交AB1于点O，连结OD.由棱柱知侧面AA1B1B 为平行四边形，所以O为BA1的中点．又D是BC的中点，所以OD∥A1C.因为A1C⊄平面B1AD，OD⊂平面B1AD，所以A1C∥平面B1AD.(2)因为D是BC的中点，AB＝AC，所以AD⊥BC.因为平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1C∩平面ABC＝BC，AD⊂平面ABC，所以AD⊥平面BB1C1C.因为BC1⊂平面BB1C1C，所以AD⊥BC1.又BC1⊥B1D，且AD∩B1D＝D，所以BC1⊥平面B1AD.图317．(本小题满分14分)如图3所示，圆x2＋y2＝8内有一点P(－1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．(1)当α＝135°时，求|AB|；(2)当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程．【解】(1)过点O作OG⊥AB于G，连接OA，当α＝135°时，直线AB的斜率为－1，故直线AB 的方程为x ＋y －1＝0，∴|OG |＝|0＋0－1|2＝22， ∴|GA |＝8－12＝152＝302，∴|AB |＝2|GA |＝30.(2)连结OP .当弦AB 被P 平分时，OP ⊥AB ，此时k OP ＝－2，∴k AB ＝12， ∴直线AB 的方程为y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.图418．(本小题满分16分)(2015·安徽高考)如图4，三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P -ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PMMC的值． 【解】 (1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P -ABC 的高．又P A ＝1， 所以三棱锥P -ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝36.(2)证明：在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连接BM .由P A ⊥平面ABC 知P A ⊥AC ，所以MN ⊥AC . 由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN . 又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM . 在直角△BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32.由MN ∥P A ，得PM MC ＝AN NC ＝13.19．(本小题满分16分)(2014·全国卷Ⅰ)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．【解】 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM→＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )． 由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆． 由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上． 又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13， 故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.20．(本小题满分16分)如图5(1)，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G .将△ABF 沿AF 折起，得到如图5(2)所示的三棱锥A -BCF ，其中BC ＝22.(1) (2)图5(1)证明：DE∥平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF；(3)当AD＝23时，求三棱锥F-DEG的体积V F-DEG.【解】(1)证法一：在折叠后的图形中，因为AB＝AC，AD＝AE，所以AD AB＝AEAC，所以DE∥BC.因为DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，所以DE∥平面BCF.证法二：在折叠前的图形中，因为AB＝AC，AD＝AE，所以ADAB＝AEAC，所以DE∥BC，即DG∥BF，EG∥CF.在折叠后的图形中，仍有DG∥BF，EG∥CF.又因为DG⊄平面BCF，BF⊂平面BCF，所以DG∥平面BCF，同理可证EG∥平面BCF.又DG∩EG＝G，DG⊂平面DEG，EG⊂平面DEG，故平面DEG∥平面BCF.又DE⊂平面DEG，所以DE∥平面BCF.(2)证明：在折叠前的图形中，因为△ABC为等边三角形，BF＝CF，所以AF⊥BC，则在折叠后的图形中，AF⊥BF，AF⊥CF.又BF＝CF＝12，BC＝22，所以BC2＝BF2＋CF2，所以BF⊥CF.又BF∩AF＝F，BF⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，所以CF⊥平面ABF.(3)由(1)知，平面DEG∥平面BCF，由(2)知AF⊥BF，AF⊥CF，又BF∩CF＝F，所以AF⊥平面BCF，所以AF⊥平面DEG，即GF⊥平面DEG.在折叠前的图形中，AB ＝1，BF ＝CF ＝12，AF ＝32. 由AD ＝23知AD AB ＝23，又DG ∥BF ， 所以DG BF ＝AG AF ＝AD AB ＝23，所以DG ＝EG ＝23×12＝13，AG ＝23×32＝33， 所以FG ＝AF －AG ＝36.故三棱锥F -DEG 的体积为V 三棱锥F －DEG ＝13S △DEG ·FG ＝13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×36＝3324.。

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求)1．复数z 满足(3－2i)z ＝4＋3i(i 为虚数单位)，则复数在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限A [由题意得，z ＝4＋3i 3－2i ＝(4＋3i )(3＋2i )(3－2i )(3＋2i )＝613＋17i 13，则复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.]2．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率为( )A.112B.19C.16D.14B [将先后两次的点数记为有序实数对(x ，y )，则共有6×6＝36(个)基本事件，其中点数之和为大于8的偶数有(4,6)，(6,4)，(5,5)，(6,6)，共4种，则满足条件的概率为436＝19.故选B. ]3．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的恰有一名女同学的概率为( )A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.6D [设2名男生为a ，b,3名女生为A ，B ，C, 则任选2人的种数为ab ，aA ，aB ，aC ，bA ，bB ，bC ，AB ，AC ，BC 共10种，其中恰有一名女生为aA ，aB ，aC ，bA ，bB ，bC 共6种， 故恰有一名女同学的概率P ＝610＝0.6 .故选D.]4．已知△ABC 为等腰三角形，满足AB ＝AC ＝3，BC ＝2，若P 为底边BC上的动点，则AP→(AB →＋AC →)( ) A ．有最大值8B ．是定值2C ．有最小值1D ．是定值4D [如图，设AD 是等腰三角形底边BC 上的高，长度为3－1＝ 2.故AP →·(AB →＋AC →)＝(AD →＋DP →)·2AD→＝2AD →2＋2DP →·AD→＝2AD →2＝2×(2)2＝4.故选D.] 5．在△ABC 中，若lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形A [因为lg sin A －lg cosB －lg sinC ＝lg 2，所以lg sin A cos B sin C＝lg 2. 所以sin A ＝2cos B sin C .因为∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以sin(B ＋C )＝2cos B sin C ，所以sin(B －C )＝0.所以∠B ＝∠C ，所以△ABC 为等腰三角形．]6．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑．在鳌臑P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝4，AB ＝BC ＝2，鳌臑P -ABC 的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是( )A ．16πB ．20πC ．24πD ．64πC [四棱锥P -ABC 的四个面都是直角三角形，∵AB ＝BC ＝2，∴AB ⊥BC ，又P A ⊥平面ABC ，∴AB 是PB 在平面ABC上的射影，P A ⊥CA ，∴BC ⊥PB ，取PC 中点O ，则O 是P -ABC外接球球心．由AB ＝BC ＝2得AC ＝22，又P A ＝4，则PC ＝8＋16＝26，OP ＝6， 所以球表面积为S ＝4π(OP )2＝4π×(6)2＝24π.故选C.]7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知三个向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，cos A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，cos B 2，p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，cos C 2共线，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 A [∵向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，cos A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，cos B 2共线， ∴a cos B 2＝b cos A 2.由正弦定理得sin A cos B 2＝sin B cos A 2.∴2sin A 2cos A 2 cos B 2＝2sin B 2cos B 2cos A 2.则sin A 2＝sin B 2.∵0<A 2<π2，0<B 2<π2，∴A 2＝B 2，即A ＝B .同理可得B ＝C .∴△ABC 的形状为等边三角形．故选A.]8．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别为棱BB 1，CC 1的中点，点O 为上底面的中心，过E ，F ，O 三点的平面把正方体分为两部分，其中含A 1的部分为V 1，不含A 1的部分为V 2，连接A 1和V 2的任一点M ，设A 1M 与平面A 1B 1C 1D 1所成角为α，则sin α的最大值为( )A.22B.255C.265D.266B [连接EF ，因为EF ∥平面ABCD ，所以过EFO 的平面与平面ABCD 的交线一定是过点O且与EF 平行的直线，过点O 作GH ∥BC 交CD 于点G ，交AB 于H 点，则GH ∥EF ，连接EH ，FG ，则平行四边形EFGH 即为截面，则五棱柱A 1B 1EHA -D 1C 1FGD 为V 1，三棱柱EBH -FCG 为V 2，设M 点为V 2的任一点，过M 点作底面A 1B 1C 1D 1的垂线，垂足为N ，连接A 1N ， 则∠MA 1N 即为A 1M 与平面A 1B 1C 1D 1所成的角，所以∠MA 1N ＝α.因为sin α＝MN A 1M ，要使α的正弦值最大，必须MN 最大，A 1M 最小，当点M 与点H 重合时符合题意．故(sin α)max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫MN A 1M max ＝HN A 1H ＝255.故选B.] 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．如图是2020年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图，给出下列4个结论其中结论正确的是( )A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高；B ．深圳和厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降；C ．平均价格从高到低位于前三位的城市为北京，深圳，广州；D ．平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津，西安，上海．ABC [对于A.由图可知深圳对应的小黑点最接近0%，故变化幅度最小，北京对应的条形图最高，则北京的平均价格最高，故A 正确；对于B.由图可知深圳和厦门对应的小黑点在0%以下，故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降，故B 正确； 对于C 由图可知条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州，故C 正确；对于D 由图可知平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京，故D 错误．故选ABC.]10．已知圆锥的顶点为P ，母线长为2，底面半径为3，A ，B 为底面圆周上两个动点，则下列说法正确的是( )A ．圆锥的高为1B ．三角形P AB 为等腰三角形C．三角形P AB面积的最大值为3D．直线P A与圆锥底面所成角的大小为π6ABD[如图所示：PO＝22－()32＝1，A正确；P A＝PB＝2，B正确；易知直线P A与圆锥底面所成的角为∠P AO＝π6，D正确；取AB中点为C，设∠P AC＝θ，则θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2，S△P AB＝2sin θ·2cos θ＝2sin 2θ，当θ＝π4时，面积有最大值为2，C错误．故选ABD.]11．以下对各事件发生的概率判断正确的是()A．连续抛两枚质地均匀的硬币，有3个基本事件，出现一正一反的概率为1 3B．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如12＝5＋7，在不超过15的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为1 15C．将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，记下两次向上的点数，则点数之和为6的概率是5 36D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是12BCD[对于A，连续抛两枚质地均匀的硬币，其样本区间为Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}；有4个基本事件，出现一正一反事件A包含的样本点为(正，反)，(反，正)，所以A错误；对于B，从集合{2,3,5,7, 11,13}中取出两个数，其样本空间Ω＝{(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(2,13)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(3,13)，(5,7)，(5,11)，(5,13)，(7,11)，(7,13)，(11,13)}，即包含15个基本等可能事件，“两个数的和为14”的事件B仅包含一个样本点(3,11)，所以P(B)＝115，所以B正确；对于C，样本空间有36个样本点，“点数和为6”的事件C包含5个样本点(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，即P(C)＝536，所以C正确；对于D，从四件产品中取出两件，其样本空间为Ω＝{(正1，正2)，(正2，正3)，(正1，正3)，(正1，次)，(正2，次)，(正3，次)}，故共有6个基本等可能事件，“全是正品”的事件的样本点为3个，所以P(D)＝12，所以故选BCD.]12．已知复数z对应复平面内点A，则下列关于复数z，z1，z2结论正确的是()A. |z＋2i|表示点A到点(0,2)的距离B. 若|z－1|＝|z＋2i|，则点A的轨迹是直线C. ||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|D. |z1z2|＝|z1||z2|BCD[对于A，|z＋2i|表示点A到点(0，－2)的距离，所以A错误；对于B, |z－1|＝|z＋2i|表示A点到M(1,0)和N(0，－2)的距离相等，所以A的轨迹是MN的垂直平分线，是一条直线，所以B正确；由复数模的性质知，C、D均正确，故选BCD.]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．2019年国际山地旅游大会于8月29日在贵州黔西南州召开，据统计有来自全世界的4 000名女性和6 000名男性徒步爱好者参与徒步运动，其中抵达终点的女性与男性徒步爱好者分别为1 000名和2 000名，抵达终点的徒步爱好者可获得纪念品一份．若记者随机电话采访参与本次徒步运动的1名女性和1名男性徒步爱好者，其中恰好有1名徒步爱好者获得纪念品的概率是________．512[“男性获得纪念品，女性没有获得纪念品”的概率为2 0006 000×3 0004 000＝14，“男性没有获得纪念品，女性获得纪念品”的概率为4 0006 000×1 0004 000＝16，故“恰好有1名徒步爱好者获得纪念品”的概率为14＋16＝512.]14．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x,3y－5)，且a∥b，若x，y均为正数，则xy 的最大值是________．2524[∵a∥b，∴(3y－5)×1＋2x＝0，即2x＋3y＝5.∵x＞0，y＞0，∴5＝2x＋3y≥26xy，∴xy≤2524，当且仅当3y＝2x时取等号．]15．掷红、白两颗骰子，事件A＝{红骰子点数小于3}，事件B＝{白骰子点数小于3}，则事件P(AB)＝__________，P(A＋B)＝________.1 959[由掷红、白两颗骰子，向上的点数共6×6＝36种可能，红色骰子的点数分别记为红1，红2，…，白色骰子的点数分别记为白1，白2，…其中红骰子点数小于3的有1,2二种可能，其中白骰子点数小于3的有1,2二种可能，事件A＝{红1，白1}，{红1，白2}，{红1，白3}，{红1，白4}，{红1，白5}，{红1，白6}，{红2，白1}，{红2，白2}，{红2，白3}，{红2，白4}，{红2，白5}，{红2，白6}，共12种事件B＝{白1，红1}，{白1，红2}，{白1，红3}，{白1，红4}，{白1，红5}，{白1，红6}，{白2，红1}，{白2，红2}，{白2，红3}，{白2，红4}，{白2，红5}，{白2，红6}，共12种，事件AB＝{红1，白1}，{红1，白2}，{红2，白1}，{红2，白2}，共4种，故P(AB)＝436＝19，事件A＋B共有12＋12－4＝20种，故P(A＋B)＝2036＝59.]16．如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AB＝1，BC＝2，四棱锥外接球的球心为O，点E是棱AD上的一个动点．给出如下命题：①直线PB与直线CE是异面直线；②BE与PC一定不垂直；③三棱锥E-BCO的体积为定值；④CE＋PE的最小值为2 2.其中正确命题的序号是________．(将你认为正确的命题序号都填上)①③④[对于①，∵直线PB经过平面ABCD内的点B，而直线CE在平面ABCD内不过B，∴直线PB与直线CE是异面直线，故①正确；对于②，当E在线AD上且AE＝14AD位置时，BE⊥AC，因为P A⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以P A⊥BE，又P A∩AC＝A，P A⊂平面P AC，AC⊂平面P AC，∴BE⊥平面P AC，则BE垂直PC，故②错误；对于③，由题意知，四棱锥P-ABCD的外接球的球心为O是PC的中点，则△BCE的面积为定值，且O到平面ABCD的距离为定值，∴三棱锥E-BCO的体积为定值，故③正确；对于④，设AE＝x，则DE＝2－x，∴PE＋EC＝1＋x2＋1＋(2－x)2.由其几何意义，即平面内动点(x,1)与两定点(0,0)，(2,0)距离和的最小值知，其最小值为22，故④正确．故答案为①③④.]四、解答题(本大题共6小题，共10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算)17．(本小题满分10分)benti从青岛市统考的学生数学考试试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图．(1)求这100份数学试卷成绩的中位数；(2)从总分在[55,65)和[135,145)的试卷中随机抽取2份试卷，求抽取的2份试卷中至少有一份总分少于65分的概率．[解](1)记这100份数学试卷成绩的中位数为x(95<x<105)，则0.002×10＋0.008×10＋0.013×10＋0.015×10＋(x－95)×0.024＝0.5，解得x＝100，所以中位数为100.(2)总分在[55,65)的试卷共有0.002×10×100＝2(份)，记为A，B，总分在[135,145)的试卷共有0.004×10×100＝4(份)，记为a，b，c，d，则从上述6份试卷中随机抽取2份的结果为{A，B}，{A，a}，{A，b}，{A，c}，{A，d}，{B，a}，{B，b}，{B，c}，{B，d}，{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{b ，c }，{b ，d }，{c ，d }，共计15个样本点，且是等可能的．至少有一份总分少于65分的有：{A ，B }，{A ，a }，{A ，b }，{A ，c }，{A ，d }，{B ，a }，{B ，b }，{B ，c }，{B ，d }，共计9个样本点，所以抽取的2份至少有一份总分少于65分的概率P ＝915＝35.18．(本小题满分12分)已知向量m ＝(cos α，sin α)，n ＝(－1,2)．(1)若m ∥n ，求sin α－2cos αsin α＋cos α的值； (2)若|m －n |＝2，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值． [解] (1)因为m ∥n ，所以sin α＝－2cos α.所以原式＝－2cos α－2cos α－2cos α＋cos α＝－4cos α－cos α＝4. (2)因为 |m －n |＝2，所以2sin α－cos α＝2.所以cos 2α＝4(sin α－1)2，所以1－sin 2α＝4(sin α－1)2，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以sin α＝35，cos α＝－45. 所以原式＝－7210.19．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A .(1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C .[解] (1)证明：由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，∴a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，代入a ＝b tan A 得sin A ＝sin B ·sin A cos A ，又∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴1＝sin B cos A ，即sin B ＝cos A .(2)由sin C －sin A cos B ＝34知，sin(A ＋B )－sin A cos B ＝34，∴cos A sin B ＝34.由(1)知，sin B ＝cos A ，∴cos 2A ＝34，由于B 是钝角，故A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos A ＝32，A ＝π6. sin B ＝32，B ＝2π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝π6.20．(本小题满分12分)如图，E 是以AB 为直径的半圆上异于A ，B 的点，矩形ABCD 所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且AB ＝2AD ＝2.(1)求证：EA ⊥EC ；(2)设平面ECD 与半圆弧的另一个交点为F .①证明：EF ∥AB ；②若EF ＝1，求三棱锥E -ADF 的体积．[解] (1)证明：∵平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，BC ⊥AB ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面ABE .又∵AE ⊂平面ABE ，∴BC ⊥AE .∵E 在以AB 为直径的半圆上，∴AE ⊥BE ，又∵BE ∩BC ＝B ，BC ，BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥平面BCE .又∵CE ⊂平面BCE ，∴EA ⊥EC .(2)①证明：∵AB ∥CD ，AB ⊄平面CED ，CD ⊂平面CED ，∴AB ∥平面CED .又∵AB ⊂平面ABE ，平面ABE ∩平面CED ＝EF ，∴AB ∥EF .②取AB 的中点O ，EF 的中点O ′，在Rt △OO ′F 中，OF ＝1，O ′F ＝12，∴OO ′＝32.由(1)得BC ⊥平面ABE ，又已知AD ∥BC ，∴AD ⊥平面ABE .故V E -ADF ＝V D -AEF ＝13·S △AEF ·AD ＝13·12·EF ·OO ′·AD ＝312.21．(本小题满分12分)已知△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .(1)证明：a cos B ＋b cos A ＝c ；(2)在①2c －b cos B ＝a cos A ，②c cos A ＝2b cos A －a cos C ，③2a －b cos C cos A ＝c cos B cos A 这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答若a ＝7，b ＝5，________，求△ABC 的周长．[解] (1)根据余弦定理：a cos B ＋b cos A ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc＝a 2＋c 2－b 2＋b 2＋c 2－a 22c＝c ，所以a cos B ＋b cos A ＝c . (2)选①：因为2c －b cos B ＝a cos A ，所以2c ·cos A ＝b cos A ＋a cos B ，所以由(1)中所证结论可知，2c cos A ＝c ，即cos A ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3；选②：因为c cos A ＝2b cos A －a cos C ，所以2b cos A ＝a cos C ＋c cos A ， 由(1)中的证明过程同理可得，a cos C ＋c cos A ＝b ，所以2b cos A ＝b ，即cos A ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3；选③：因为2a －b ·cos C cos A ＝c ·cos B cos A ，所以2a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，由(1)中的证明过程同理可得，b cos C ＋c cos B ＝a ，所以2a cos A ＝a ，即cos A ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.在△ABC 中，由余弦定理知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋c 2－10c ·12＝49，即c 2－5c －24＝0，解得c ＝8或c ＝－3(舍)，所以a ＋b ＋c ＝7＋5＋8＝20，即△ABC 的周长为20.22. (本小题满分12分)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，小区的两个出入口设置在点 A 及点 C 处，且小区里有一条平行于 BO 的小路CD .(1)已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了10分钟，从D 沿DA 走到 A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长(精确到1米)(2)若该扇形的半径为OA ＝a ，已知某老人散步，从 C 沿CD 走到D ，再从D 沿DO 走到O ，试确定C 的位置，使老人散步路线最长．[解] (1)法一：设该扇形的半径为r 米，连接CO . 由题意，得CD ＝500(米)，DA ＝300(米)，∠CDO ＝60°，在△CDO 中，CD 2＋OD 2－2CD ·OD ·cos 60 °＝OC 2，即5002＋()r －3002－2×500×()r －300×12＝r 2， 解得r ＝4 90011≈445(米)．法二：连接AC ，作OH ⊥AC ，交AC 于H ，由题意，得CD ＝500(米)， AD ＝300(米)，∠CDA ＝120° ，在△CDA 中，AC 2＝CD 2＋AD 2－2·CD ·AD ·cos 120°＝5002＋3002＋2×500×300×12＝7002.AC ＝700(米). cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22·AC ·AD＝1114. 在直角△HAO 中，AH ＝350(米)，cos ∠HAO ＝1114，OA ＝AH cos ∠HAO＝4 90011≈445(米)． (2)连接OC ，设∠DOC ＝θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3， 在△DOC 中，由正弦定理得CD sin θ＝DO sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝OC sin π3＝2a 3， 于是CD ＝2a 3sin θ，DO ＝2a 3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ，则 DC ＋DO ＝2a 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6 ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3 所以当θ＝π3时，DC ＋DO 最大为2a ，此时C 在弧AB 的中点处．。

模块综合测评(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数z ＝a ＋i 的实部与虚部相等，则实数a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－2D ．2B [z ＝a ＋i 的虚部为1， 故a ＝1，选B.]2．5人站成一排照相，甲不站在两端的站法有( ) A ．24种 B ．72种 C ．96种D ．120种 B [5人站成一排照相，甲不站在两端，因此有3A 44＝3×4×3×2×1＝72(种)站法．]3．随机变量X 的分布列如下表，则E (5X ＋4)等于( )A.16 C ．2.2D ．2.3A [由表格可求E (X )＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E (5X ＋4)＝5E (X )＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A.]4．已知⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式中含x 32的项的系数为30，则a ＝( ) A. 3 B ．－ 3 C ．6D ．－6D [T r ＋1＝C r 5(－1)r a r x 5－2r 2，令5－2r 2＝32，得r ＝1，可得－5a ＝30，得a ＝－6.]5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋l n x ，则f ′(1)＝( )A ．－eB ．－1C．1 D．e B[∵f(x)＝2xf′(1)＋l n x，∴f′(x)＝2f′(1)＋1 x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，∴f′(1)＝－1.]6．若曲线f(x)＝a e x＋bx在(1，f(1))处的切线方程为y＝2e(x＋1)，则ab＝()A．1 B．3 C．e D．3eD[因为f′(x)＝a e x－bx2，所以f′(1)＝a e－b＝2e，a e＋b＝4e，所以a＝3，b＝e，ab＝3e.]7．函数f(x)＝(x－3)e x的递增区间为()A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)D[由f(x)＝(x－3)·e x，得f′(x)＝e x＋(x－3)·e x＝(x－2)·e x，由f′(x)>0得x>2，故f(x)的递增区间为(2，＋∞)．]8．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它恰是甲击中的概率为()A．0.45 B．0.6C．0.65 D．0.75D[目标被击中的概率为0.6×0.5＋0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.8，设甲击中为事件A，目标被射中为事件B，则P(A|B)＝P(AB)P(B)＝P(A)P(B)＝0.60.8＝0.75.]9．设曲线y＝si n x上任一点(x，y)处切线的斜率为g(x)，则函数y＝x2g(x)的部分图象可以为()C [根据题意得g (x )＝cos x ，∴y ＝x 2g (x )＝x 2cos x 为偶函数．又x ＝0时，y ＝0，故选C.]10．设函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2f ′(2)－3x ，则f (－1)与f (1)的大小关系是( )A ．f (－1)＝f (1)B ．f (－1)>f (1)C ．f (－1)<f (1)D ．不确定B [因为f (x )＝x 2f ′(2)－3x ，所以f ′(x )＝2xf ′(2)－3，则f ′(2)＝4f ′(2)－3，解得f ′(2)＝1，所以f (x )＝x 2－3x ，所以f (1)＝－2，f (－1)＝4，故f (－1)>f (1)．]11．若不等式2x l n x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，4]C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)B [由2x l n x ≥－x 2＋ax －3，得a ≤2l n x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2l n x ＋x ＋3x (x >0)，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2.当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增，所以h (x )m i n ＝h (1)＝4.所以a ≤h (x )m i n ＝4.故a 的取值范围是(－∞，4]．]12．设0<p <1，随机变量ξ的分布列是则当A ．D (ξ)减小 B ．D (ξ)增大C ．D (ξ)先减小后增大D ．D (ξ)先增大后减小D [由题意知E (ξ)＝0×1－p 2＋1×12＋2×p 2＝p ＋12，D (ξ)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋122×1－p 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋122×12＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋122×p 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋122×1－p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p －122×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－p 2×p 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫p －122－p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋122＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32－p 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2＋12－p 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫p －322＝p 2＋14－p (2p －1)＝－p 2＋p ＋14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫p －122＋12，∴D (ξ)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上递减，即当p 在(0,1)内增大时，D (ξ)靠增大后减小．故选D.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)·(1＋i)＝b i ，则|a ＋b i|＝________. 5 [由(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，得⎩⎨⎧a －1＝0，a ＋1＝b ，解方程组，得a ＝1，b ＝2，则a ＋b i ＝1＋2i.∴|a ＋b i|＝1＋4＝ 5.]14．已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为________．29 [由C 3n ＝C 7n ，得n ＝10，故奇数项的二项式系数和为29.]15．设随机变量ξ～B (2，p )，η～B (4，p )，若P (ξ≥1)＝59，则P (η≥1)＝________. 6581[由ξ～B (2，p )， 可知1－P (ξ≥1)＝C 02p 0(1－p )2＝49， ∴p ＝13.故η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13.∴P (η≥1)＝1－P (η＝0)＝1－C 04(1－p )4＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝6581.]16．已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )<－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)>(x －1)f (x 2－1)的解集是__________．{x |x >2} [设g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )<0， 所以函数g (x )在(0，＋∞)上是减函数， 因为f (x ＋1)>(x －1)f (x 2－1)，x ∈(0，＋∞)， 所以(x ＋1)f (x ＋1)>(x ＋1)(x －1)f (x 2－1)， 所以(x ＋1)f (x ＋1)>(x 2－1)f (x 2－1)，所以g (x ＋1)>g (x 2－1)， 所以x ＋1<x 2－1， 解得x >2.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)计算：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3；(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i.[解] (1)(－1＋i )(2＋i )i 3＝－3＋i－i ＝－1－3i.(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i2＋i＝i2＋i ＝i (2－i )(2＋i )(2－i )＝2i ＋15＝15＋25i. 18．(本小题满分12分)已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 10的展开式中，(1)求展开式中含x 4项的系数；(2)如果第3r 项和第r ＋2项的二项式系数相等，试求r 的值． [解] (1)设第r ＋1项为T r ＋1＝C r 10x 10－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r＝(－2)r C r 10x 10－32r ， 令10－32r ＝4，解得r ＝4，∴展开式中含x 4项的系数为(－2)4C 410＝3 360.(2)∵第3r 项的二项式系数为C 3r －110，第r ＋2项的二项式系数为C r ＋110， ∴C 3r －110＝C r ＋110，故3r －1＝r ＋1或3r －1＋r ＋1＝10，解得r ＝1或r ＝2.5(舍去)．∴r 的值为1.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1. (1)当a ＝－2时，讨论f (x )的单调性；(2)若x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 3－32x 2＋3x ＋1，f ′(x )＝3x 2－62x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝2－1，x 2＝2＋1.当x ∈(－∞， 2－1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，2－1)上是增函数； 当x ∈(2－1，2＋1)时，f ′(x )＜0，f (x )在(2－1, 2＋1)上是减函数； 当x ∈(2＋1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(2＋1，＋∞)上是增函数． (2)由f (2)≥0，得a ≥－54. 当a ≥－54，x ∈(2，＋∞)时， f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0，所以f (x )在(2，＋∞)上是增函数，于是当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0. 综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，＋∞.20．(本小题满分12分)保险公司统计的资料表明：居民住宅区到最近消防站的距离x (单位：千米)和火灾所造成的损失数额y (单位：千元)有如下的统计资料：(1)用计算器计算线性回归方程及相关系数r ；(2)若发生火灾的某居民区与最近的消防站相距7.8千米，评估一下火灾的损失．[解] (1)b ＝∑i ＝16 (x i －x )(y i －y )∑i ＝16(x i －x )2＝∑i ＝16x i y i －6x y∑i ＝16x 2i －6x2≈5.615 4，a ＝y －b x ≈7.333 3，∴线性回归方程为y ^＝5.615 4x ＋7.333 3.∵r ＝0.977 8接近于1，∴y 与x 有很强的相关关系．(2)当x＝7.8，代入回归方程有y＝5.615 4×7.8＋7.333 3≈51.133 4(千元)．21．(本小题满分12分)预计某地区明年从年初开始的前x个月内，对某种商品的需求总量f(x)(万件)近似满足：f(x)＝x(x＋1)(35－2x)(x∈N*且x≤12)．(1)写出明年第x个月的需求量g(x)(万件)与月份x的函数关系式，并求出哪个月份的需求量超过192万件；(2)如果将该商品每月都投放到该地区p万件(不包含积压商品)，要保证每月都满足供应，p应至少为多少万件？(积压商品转入下月继续销售) [解](1)x＝1时，g(1)＝f(1)＝66(万件)，当x≥2时，g(x)＝f(x)－f(x－1)＝x(x＋1)(35－2x)－(x－1)x(37－2x)＝－6x2＋72x，所以g(x)＝－6(x2－12x)(x∈N*且x≤12)．x＝1也满足．由g(x)>192，即－6(x2－12x)>192，化简得x2－12x＋32<0，解得4<x<8.又x∈N*，所以x＝5,6,7.综上，g(x)＝－6x2＋72x(x∈N*且x≤12)，第5,6,7月份的需求量超过192万件．(2)保证每月都满足供应，则p≥f(x)x对于x∈N*，x≤12恒成立，f(x)x＝(x＋1)(35－2x)＝－2x2＋33x＋35，所以x＝8时，f(x)x取最大值171，所以p≥171.答：每月至少应投放171万件．22．(本小题满分12分)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列． (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．[解] (1)X 可能的取值为10,20,100，－200.根据题意，有 P (X ＝10)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫121×⎝⎛⎭⎪⎫1－122＝38，P (X ＝20)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－121＝38，P (X ＝100)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝⎛⎭⎪⎫1－120＝18，P (X ＝－200)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫120×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝18. 所以X 的分布列为：i P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫183＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(3)由(1)知，X 的数学期望为E (X )＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54. 这表明，获得分数X 的均值为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．。

模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把正确答案填在题中的横线上) 1.已知复数z ＝5i1＋2i (i 是虚数单位)，则|z |＝________. 【解析】 |z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪5i 1＋2i ＝错误!＝|i ＋2|＝错误!. 【答案】52.若f (x )＝sin α－cos x (α是常数)，则f ′(α)＝________. 【解析】 f ′(x )＝(sin α－cos x )′＝sin x ， ∴f ′(α)＝sin α. 【答案】 sin α3.(2016·重庆一中高二期末)复数z 满足z i －2i ＋1＝0(其中i 为虚数单位)，则z ＝________. 【解析】 由z i －2i ＋1＝0得z ＝－1＋2i i ＝错误!＝2＋i.【答案】 2＋i4.若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的 解集为________. 【解析】 f ′(x )＝2x －2－4x >0，x2－x －2x >0.∵x >0，∴(x －2)(x ＋1)>0. ∴x >2.【答案】 (2，＋∞) 5.(2016·淄博质检)设复数z ＝1m ＋5＋(m 2＋2m －15)i 为实数，则实数m 的值是________. 【解析】 由题意知m 2＋2m －15＝0，解之得m ＝3或m ＝－5.当m ＝－5时，1m ＋5无意义，所以m ＝3.【答案】 36.函数y ＝ln x (x >0)的图象与直线y ＝12x ＋a 相切，则a 等于________.【导学号：01580074】【解析】 y ′＝(ln x )′＝1x(x >0)，又y ＝ln x 的图象与直线y ＝12x ＋a 相切，∴1x ＝12，∴x ＝2， 因此，切点P (2，ln 2)在直线y ＝12x ＋a 上，∴ln 2＝1＋a ，∴a ＝ln 2－1. 【答案】 ln 2－17.观察下列的图形中小正方形的个数，则第10个图形中有________个小正方形.图1【解析】 第n 个图形中有小正方形1＋2＋…＋(n ＋1)＝错误!(个)，故第10个图形中有66个小正方形.【答案】 668.用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)”时，由n ＝k (k >1，k ∈N *)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是________.【解析】 令f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1，∴f (k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋…＋12k ＋1－1，因此应增加的项为12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，共2k 项.【答案】 2k9.(2016·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab 的值为________.【解析】 因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，所以1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，所以ab＝2.【答案】 2 10.(2016·咸阳模拟)[n ]表示不超过n 的最大整数.S 1＝[1]＋[2]＋[3]＝3， S 2＝[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝10，S 3＝[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝21，……那么S n ＝________. 【解析】 S 1＝[12]＋[12＋1]＋[12＋2]＝1×3， S 2＝[22]＋[22＋1]＋[22＋2]＋[22＋3]＋[22＋4]＝2×5， S 3＝[32]＋[32＋1]＋[32＋2]＋[32＋3]＋[32＋4]＋[32＋5]＋[32＋6]＝3×7，观察式子规律，可以得出S n ＝[n2]＋[n2＋1]＋[n2＋2]＋…＋[n2＋2n ]＝n (2n ＋1).【答案】 n (2n ＋1)11.(2014·湖南高考改编)若0<x 1<x 2<1，则下列四个结论正确的是________(填序号) ①e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1； ②e x 2－e x 1<ln x 2－ln x 1； ③x 2e x 1>x 1e x 2； ④x 2e x 1<x 1e x 2.【导学号：01580075】【解析】设f(x)＝e x－ln x(0<x<1)，则f′(x)＝e x－1x＝xex－1x.令f′(x)＝0，得x e x－1＝0，根据函数y＝e x与y＝1x的图象可知两函数图象交点x0∈(0,1)，因此函数f(x)在(0,1)上不是单调函数，故①②不正确.令g(x)＝exx(0<x<1)，则g′(x)＝xex－exx2＝错误!.当0<x<1时，g′(x)<0，即g(x)在(0,1)上单调递减，∵0<x1<x2<1，∴g(x2)<g(x1)，即错误!< ex1x1，∴x2e x1>x1e x2.即③正确.【答案】③12.函数y＝12x2－ln x的单调递减区间是________.【解析】y′＝x－1x＝x2－1x＝错误!(x>0)令y′<0，∵x>0，∴0<x<1，即函数y＝错误!x2－ln x的单调递减区间是(0,1).【答案】(0,1)13.(2016·大连测试)已知函数f(x)＝e x－2x－1(其中e为自然对数的底数)，则y＝f(x)的图象大致为________(填序号).图2【解析】依题意得f′(x)＝e x－2.当x<ln 2时，f′(x)<0，f(x)是减函数，f(x)>f(ln 2)＝1－2ln 2；当x>ln 2时，f′(x)>0，f(x)是增函数，因此对照图象知③正确.【答案】③14.观察下列推理过程：∵tan2 α－1tan α＝2tan2α－12tan α＝－2tan 2α，∴tan α－1tan α＝－2tan 2α， ∴tan 2α－1tan 2α＝－2tan 4α， ∴tan 4α－1tan 4α＝－2tan 8α， …由此可化简：tan π31＋2tan 2π31＋4tan 4π31＋8tan 8π31＋16tan 16π31＝________.【解析】 由推理过程得tan α＝1tan α－2tan 2α，2tan 2α＝2tan 2α－4tan 4α，4tan 4α＝4tan 4α－8tan 8α，8tan 8α＝8tan 8α－16tan 16α，16tan 16α＝16tan 16α－32tan 32α，将这五个等式相加，得 tan α＋2tan 2α＋4tan 4α＋8tan 8α＋16tan 16α＝1tan α－32tan 32α，令α＝π31，可得原式＝－31tanπ31.【答案】 －31tan π31二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.复数z 1＝3a ＋5＋(a 2－10)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值.【解】 z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝错误!＋(a 2＋2a －15)i. ∵z 1＋z 2是实数， ∴a 2＋2a －15＝0， 解得a ＝－5或a ＝3.∵a ＋5≠0，∴a ≠－5，故a ＝3.16.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1. (1)当a ＝－2时，讨论f (x )的单调性；(2)若x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围. 【解】 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 3－32x 2＋3x ＋1，f ′(x )＝3x 2－62x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝2－1，x 2＝2＋1.当x ∈(－∞， 2－1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，2－1)上是增函数； 当x ∈(2－1，2＋1)时，f ′(x )＜0，f (x )在(2－1,2＋1)上是减函数；当x ∈(2＋1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(2＋1，＋∞)上是增函数.(2)由f (2)≥0，得a ≥－54.当a ≥－54，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2－52x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12(x －2)＞0， 所以f (x )在(2，＋∞)上是增函数，于是当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－54，＋∞.17.(本小题满分14分)设等差数列{a n }的公差为d ，S n 是{a n }中从第2n －1项开始的连续2n －1项的和，即S 1＝a 1， S 2＝a 2＋a 3， S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7， ……S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋…＋a 2n －1， ……若S 1，S 2，S 3成等比数列，问：数列{S n }是否成等比数列？请说明你的理由. 【解】 ∵S 1，S 2，S 3成等比数列， ∴S 1＝a 1≠0，且S 1·S 3＝S 2，由S 1·S 3＝S 2，得a 1(a 4＋a 5＋a 6＋a 7)＝(a 2＋a 3)2， 即a 1(4a 1＋18d )＝(2a 1＋3d )2,2a 1d ＝3d 2.∴d ＝0或a 1＝32d .当d ＝0时，S n ＝2n －1a 1≠0，Sn ＋1Sn ＝2na12n －1a1＝2(常数)，n ∈N *，{S n }成等比数列； 当a 1＝32d 时，S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋a 2n －1＝2n －1a 2n －1＋错误!d ＝2n －1[a 1＋(2n －1－1)d ]＋错误!d ＝2n －1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32d·2n－1＋a1－32d ＝32d ·4n －1≠0， Sn ＋1Sn ＝32d·4n 32d·4n－1＝4(常数)，n ∈N *，{S n }成等比数列. 综上所述，若S 1，S 2，S 3成等比数列，则{S n }成等比数列.18.(本小题满分16分)已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数.(1)求函数f (x )的解析式； (2)设函数g (x )＝14f (x )＋ax 3＋92x 2－b (x∈R )，其中a ，b ∈R ，若函数g (x )仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围.【解】 (1)因为f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数， 所以－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0， 所以－1<m <3，又m ∈Z ，所以m ＝0,1,2. 而m ＝0,2时，f (x )＝x 3不是偶函数，m ＝1时， f (x )＝x 4是偶函数， 所以f (x )＝x 4.(2)由(1)知g (x )＝14x 4＋ax 3＋92x 2－b ，则g ′(x )＝x (x 2＋3ax ＋9)，显然x ＝0不是方程x 2＋3ax ＋9＝0的根. 为使g (x )仅在x ＝0处有极值， 必须x 2＋3ax ＋9≥0恒成立，即有Δ＝9a 2－36≤0，解不等式得a ∈[－2,2]. 这时，g (0)＝－b 是唯一极值，所以a ∈[－2,2].19.(本小题满分16分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫an ＋1an .(1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想. 【解】 (1)由S 1＝a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a1＋1a1，得a 21＝1，因为a n >0，所以a 1＝1.由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a2＋1a2，得a 2＋2a 2－1＝0，所以a 2＝2－1，由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝⎛⎭⎪⎪⎫a3＋1a3，得a23＋22a3－1＝0，所以a3＝3－2.(2)猜想a n＝n－n－1(n∈N*).证明：①当n＝1时，a1＝1－0＝1，命题成立；②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，a k＝k－k－1成立，则n＝k＋1时，a k＋1＝S k＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎪⎪⎫ak＋1＋1ak＋1－12⎝⎛⎭⎪⎪⎫ak＋1ak，即a k＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎪⎫ak＋1＋1ak＋1－12⎝⎛⎭⎪⎪⎫k－k－1＋1k－k－1＝12⎝⎛⎭⎪⎪⎫ak＋1＋1ak＋1－k，所以a2k＋1＋2k a k＋1－1＝0.所以a k＋1＝k＋1－k，则n＝k＋1时，命题成立.则①②知，n∈N*，a n＝n－n－1.20.(本小题满分16分)设函数f(x)＝a e x lnx＋bex－1x，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.(1)求a，b；(2)证明：f(x)>1.【解】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e xln x ＋ax e x－bx2ex －1＋b xe x －1. 由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e.故a ＝1，b ＝2. (2)证明：由(1)知，f (x )＝e xln x ＋2xe x －1，从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x－2e .设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x . 所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0.故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e ＝－1e .设函数h (x )＝x e －x－2e ，则h ′(x )＝e －x (1－x ).所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e .综上，当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.。

2019-2020年高中数学必修二综合测试试卷
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)
1．直线3x＋3y－1＝0的倾斜角为()
A．60°B．30°
C．120°D．150°
答案C
2．设E、F、G分别为四面体ABCD的棱BC、CD、DA的中点，则此四面体中与过E、F、G的截面平行的棱有()
A．0条B．1条
C．2条D．3条
答案C
3．直线3x＋4y－13＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的位置关系是()
A．相离B．相交
C．相切D．无法判定
答案C
4．已知A(0，8)，B(－4，0)，C(m，－4)三点共线，则实数m的值是()
A．－6 B．－2
C．2 D．6
答案A
5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面．下列命题中正确的是() A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若m∥α，m∥β，则α∥β
答案B
6．下列说法中正确的个数有()
①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；
②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；
③两条直线被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例；
④如果夹在两平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面平行．
A．1个B．2个
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