高二数学学案(必修5第三章不等式)20120903

①a>b，ab>0⇒1a< 1 b.②a<0<b⇒1a< 1 b.③a>b>0,0<c<d⇒a c> b d.④0<a<x<b或a<x<b<0⇒1b<1x<1a.(2)有关分数的性质若a>b>0，m>0，则①ba<b＋ma＋m；ba>b－ma－m(b－m>0)．②ab>a＋mb＋m；ab<a－mb－m(b－m>0)．7.2一元二次不等式及其解法1．“三个二次”的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0 Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}{x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1< x<x2} ∅∅2.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法不等式解集a<b a＝b a>b一元二次不等式及其解法1.在求解一元二次不等式的时候，往往需要做出相应的图像，根据图像寻找解集，需要充分利用素形结合的思想。

2.含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．3.恒成立问题往往转化为求最值问题(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．2.线性规划问题的解题步骤：(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．3.常见目标函数类型有：(1)x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；(2)x－a2＋y－b2表示点(x，y)与点(a，b)之间的距离；(3)yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；答案 (1)32 (2)322解析 (1)y x 表示点(x ，y)与原点(0,0)连线的斜率，在点(1，32)处取到最大值． (2)依题意得，OA→＋OM →＝(x ＋1，y)，|OA →＋OM →|＝x ＋12＋y2可视为点(x ，y)与点(－1,0)间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点(－1,0)向直线x ＋y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点(－1,0)的距离最小，因此|OA →＋OM →|的最小值是|－1＋0－2|2＝322. 思维升华 常见代数式的几何意义有 (1)x2＋y2表示点(x ，y)与原点(0,0)的距离； (2)x －a 2＋y －b2表示点(x ，y)与点(a ，b)之间的距离；(3)yx 表示点(x ，y)与原点(0,0)连线的斜率； (4)y －b x －a 表示点(x ，y)与点(a ，b)连线的斜率．例4 (1)已知x<54，求f(x)＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知x 为正实数且x2＋y22＝1，求x 1＋y2的最大值； (3)求函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值．解 (1)因为x<54，所以5－4x>0，则f(x)＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x )＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f(x)＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(2)因为x>0，所以x 1＋y2＝ 2x212＋y22≤2[x2＋12＋y22]2，。

题型一“三个二次”之间的关系对于一元二次不等式的求解，要善于联想两个方面的问题：①相应的二次函数图象及与x轴的交点，②相应的一元二次方程的实根；反之，对于二次函数(二次方程)的问题的求解，也要善于联想相应的一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的实根(相应的二次函数的图象及与x轴的交点)．例1设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M⊆[1,4]，求实数a的取值范围．解M⊆[1,4]有两种情况：其一是M＝∅，此时Δ<0；其二是M≠∅，此时Δ＝0或Δ>0，下面分三种情况计算a的取值范围．设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，则有Δ＝(－2a)2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)，(1)当Δ<0时，－1<a<2，M＝∅⊆[1,4]；(2)当Δ＝0时，a＝－1或2；当a＝－1时，M＝{－1}⃘[1,4]；当a＝2时，M＝{2}⊆[1,4]．(3)当Δ>0时，a <－1或a >2.设方程f (x )＝0的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2，那么M ＝[x 1，x 2]，M ⊆[1,4]⇔1≤x 1≤x 2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)>0，且f (4)>0，1≤a ≤4，且Δ>0.即⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋3>0，18－7a >0，1≤a ≤4，a <－1或a >2.解得2<a <187， ∴M ⊆[1,4]时，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，187. 跟踪训练1 若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m ＝________.答案 2解析 因为ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，所以1，m 是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的根，且m >1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，1＋m ＝6a ，1·m ＝a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，a ＝2. 题型二 恒成立问题的解法对于恒成立不等式求参数范围问题常见类型及解法有以下几种(1)变更主元法：根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元．(2)分离参数法：若f (a )<g (x )恒成立，则f (a )<g (x )min .若f (a )>g (x )恒成立，则f (a )>g (x )max .(3)数形结合法：利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化．例2 设不等式2x －1>p (x 2－1)对满足|p |≤2的一切实数p 的取值都成立，求x 的取值范围．解 令f (p )＝2x －1－p (x 2－1)＝(1－x 2)p ＋2x －1，p ∈[－2,2]，可看成是一条线段，且使f (p )>0对|p |≤2的一切实数恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)>0，f (－2)>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－2x －1<0，2x 2＋2x －3>0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 1－32<x <1＋32，x <－1－72或x >－1＋72.所以7－12<x <3＋12. 跟踪训练2 f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上满足f (x )<0，则a 的取值范围是________．答案 (－4,0]解析 (1)当a ＝0时，f (x )<0恒成立，故a ＝0符合题意；(2)当a ≠0时，由题意得：⎩⎨⎧ a <0Δ＝a 2＋4a <0⇔⎩⎨⎧a <0－4<a <0⇔－4<a <0， 综上所述：－4<a ≤0.题型三 简单的线性规划问题关注“线性规划”问题的各种“变式”：诸如求面积、距离、参数取值的问题经常出现，①“可行域”由不等式和方程共同确定(为线段或射线)，②“约束条件”由二次方程的“区间根”间接提供，③“约束条件”非线性，④目标函数非线性，如：x －a y －b(斜率)，(x －a )2＋(y －b )2(距离)等．求目标函数z ＝ax ＋by ＋c 的最大值或最小值时，只需把直线ax ＋by ＝0向上(或向下)平行移动，所对应的z 随之增大(或减少)(b >0)，找出最优解即可．在线性约束条件下，求目标函数z ＝ax ＋by ＋c 的最小值或最大值的求解步骤为①作出可行域；②作出直线l 0：ax ＋by ＝0；③确定l 0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；④解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最小值或最大值．例3 已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －4y ≤－33x ＋5y ≤25x ≥1，求z ＝2x ＋y 的最大值和最小值．解 如图，阴影部分为不等式组所表示的可行域．设l 0：2x ＋y ＝0，l ：2x ＋y ＝z ，则z 的几何意义是直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，显然，当直线越往上移动时，对应在y 轴上的截距越大，即z 越大；当直线越往下移动时，对应在y 轴上的截距越小，即z 越小．作一组与l 0平等的直线系l ，经上下平移，可得：当l 移动到l 1，即过点A (5,2)时，z max ＝2×5＋2＝12；当l 移动到l 2，即过点B (1,1)时，z min ＝2×1＋1＝3.跟踪训练3 某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m 2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m 2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张？才能使得总用料面积最小．解 设需要甲种原料x 张，乙种原料y 张，则可做文字标牌(x ＋2y )个，绘画标牌(2x ＋y )个，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y≥5，x＋2y≥4，x≥0，y≥0，x，y∈N.所用原料的总面积为z＝3x＋2y，作出可行域如图．在一族平行直线3x＋2y＝z中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线，过直线2x ＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点(2,1)，∴最优解为x＝2，y＝1.∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．题型四利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”缺一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形．如不能取到最值，可以考虑用函数的单调性求解．例4设f(x)＝50xx2＋1.(1)求f(x)在[0，＋∞)上的最大值；(2)求f(x)在[2，＋∞)上的最大值；解(1)当x>0时，有x＋1x≥2，∴f(x)＝50xx2＋1＝50x＋1x≤25.当且仅当x＝1x，即x＝1时等号成立，所以f(x)在[0，＋∞)上的最大值是25.(2)∵函数y＝x＋1x在[2，＋∞)上是增函数且恒为正，∴f(x)＝50x＋1x在[2，＋∞)上是减函数，且f(2)＝20.所以f(x)在[2，＋∞)上的最大值为20.跟踪训练4设x，y都是正数，且1x＋2y＝3，求2x＋y的最小值．解∵1x＋2y＝3，∴13⎝⎛⎭⎫1x＋2y＝1.∴2x＋y＝(2x＋y)×1＝(2x＋y)×13⎝⎛⎭⎫1x＋2y＝13⎝⎛⎭⎫4＋yx＋4xy≥13⎝⎛⎭⎫4＋2 y x ·4x y ＝43＋43＝83. 当且仅当y x ＝4x y，即y ＝2x 时，取“＝”． 又∵1x ＋2y ＝3，∴x ＝23，y ＝43. ∴2x ＋y 的最小值为83. [呈重点、现规律]1．不等式的基本性质不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质．2．一元二次不等式的求解方法对于一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或≥0，<0，≤0)(其中a ≠0)的求解，要联想两个方面的问题：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点；方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根．按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或≥0，<0，≤0)(a >0)的解集．3．二元一次不等式表示的平面区域的判定对于在直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x ，y )，实数Ax ＋By ＋C 的符号相同，取一个特殊点(x 0，y 0)，根据实数Ax 0＋By 0＋C 的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”．特别地，当C ≠0时，常取原点作为特殊点．4．求目标函数最优解的方法通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点．5．运用基本不等式求最值把握三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．。

第三章 不等式 3.1.1 不等关系教学目标 1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；2.了解不等式或不等式组的实际背景；3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题.教学重点 1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性；2.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系；教学难点 1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系；2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题.教学过程导入新课日常生活中,同学们发现了哪些数量关系.你能举出一些例子吗？1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温26℃.则当天的气温t 应该满足： 2：对于数轴上任意不同的两点A 、B ，若点A 在点B 的左边，则x a x b .3:若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.则这个数x 可表示为 .4.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.可以表示为 推进新课实例5:当我们在路上看到这个路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 满足实例6:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%,蛋白质的含量p 应不少于2.3%. 可以表示为 ［合作探究］1、2、3、4、及实例5、实例6的答案［过程引导］一、 什么是不等式呢?用不等号“≠，>，<，≥ ，≤ ”表示不等关系的式子叫不等式. 如：-7＜-5；3+4＞1+4；2x≤6；a +2≥0;3≠4.问题1： 设点A 与平面α的距离为d, B 为平面α上的任意一点.用不等式或不等式组来表示出此问题中的不等量关系借助图形来表示不等量关系,过点A 作AC ⊥平面α于点C ，则d=|AC |≤|AB |.问题2： 某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢? 答案：表示为)2.01.05.28(⨯--x x≥20或者表示为(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20. 问题3： 某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种,按照生产的要求,600mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式?解 假设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根.根据题意，可以用下面的不等式组来表示：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥≥≤+.,,0,0,3,40000600500N y x y x y x y x反馈练习1.若需在长为4 000 mm 的圆钢上，截出长为698 mm 和518 mm 两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组?2.锐角 ABC 中，B=2A,为了求A 的范围，应该怎样列出相应的不等式（组）？3.某种植物适宜生长在温度为1820oo CC 的山区。

必修五目录第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.2使用举例1.3实习作业解三角形实际使用举例习题第二章数列2.1数列的概念和简单表示法2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系和不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）和简单的线性3.4基本不等式：2a bab+≤不等式练习题第一章 解三角形1.1.1 正弦定理1.在ABC △中，已知3b =，33c =，30B ∠=，解此三角形。

2.在ABC △中，已知∠A =4530B ∠=，C=10,解此三角形。

3．在三角形ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且A,B 为锐角，sin A = 5sin B = 10（1） 求A+B 的值：（2） 若a-b= 2，求a,b,c 得值1. 在ABC △中，已知222sin sin sin A B C +=，求证：ABC △为直角三角形2． 已知ABC △中，60A ∠=，45B ∠=，且三角形一边的长为m ，解此三角1． 正弦定理反映了三角形中各边和它的对角正弦值的比例关系，表示形式为2sin sin sin a b c R A B C===，其中R 是三角形外接圆的半径。

2． 正弦定理的使用（1）如果已知三角形的任意两角和一边，由三角形的内角和定理可以计算出另外一个角，并由三角形的正弦定理计算书另外两边。

（2）如果已知三角形的任意两边和其中一边的对角，使用正弦定理可以计算出另外一边对角的正弦值，进而可以确定这个角（此时特别注意：一定要先判断这个三角形是锐角还是钝角）和三角形其它的边和角。

1．在ABC △中，若2sin sin cos 2A C =，B 则ABC △是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ． 等腰直角三角形3. 在ABC △中，已知30B =，503b =，150c =，那么这个三角形是（ ） Ａ．等边三角形Ｂ．直角三角形 Ｃ．等腰三角形 Ｄ．等腰三角形或直角三角形4. 在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（ ）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．32D ．236.ABC △若26120c b B ===，，，则a 等于 （ ）A 6B ．2C 3D 2 7. ．在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于 （ ）A ．A b sin 2B ．A b cos 2C ．B b sin 2D ．B b cos 28.若12057A AB BC ∠===，，，则ABC △的面积S = ．9. 在ABC △中，若此三角形有一解，则a b A ，，满足的条件为________1.1.2 余弦定理1.在三角形ABC 中，已知下列条件，解三角形。

人教版高中必修5第三章不等式课程设计一、课程目标本课程设计的学习目标是帮助学生：1.了解不等式的基本概念、符号及其性质；2.掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法和应用；3.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

二、教学内容1.不等式的基本概念、符号及其性质；2.一元一次不等式的解法和应用；3.一元二次不等式的解法和应用；4.不等式组的解法和应用。

三、教学方法根据教学内容，本课程设计采用以下教学方法：1.讲授法：对不等式的基本概念、符号及其性质进行讲解；2.演示法：通过例题演示一元一次不等式和一元二次不等式的解法和应用；3.练习法：通过练习巩固学生对一元一次不等式和一元二次不等式的掌握程度；4.合作学习法：学生分组进行不等式组的解法和应用的探究。

四、教学过程1. 不等式的基本概念、符号及其性质（1课时）教学目标：了解不等式的基本概念、符号及其性质教学内容：不等式的基本概念、符号及其性质教学方法：讲授法教学步骤：1.引入不等式的概念；2.讲解不等式的符号和基本性质；3.练习不等式的符号及其性质。

2. 一元一次不等式的解法和应用（2课时）教学目标：掌握一元一次不等式的解法和应用教学内容：一元一次不等式的解法和应用教学方法：演示法、练习法教学步骤：1.讲解一元一次不等式的基本概念；2.通过例题演示一元一次不等式的解法和应用；3.练习一元一次不等式的解法和应用。

3. 一元二次不等式的解法和应用（2课时）教学目标：掌握一元二次不等式的解法和应用教学内容：一元二次不等式的解法和应用教学方法：演示法、练习法教学步骤：1.讲解一元二次不等式的基本概念；2.通过例题演示一元二次不等式的解法和应用；3.练习一元二次不等式的解法和应用。

4. 不等式组的解法和应用（2课时）教学目标：掌握不等式组的解法和应用教学内容：不等式组的解法和应用教学方法：合作学习法、练习法教学步骤：1.讲解不等式组的基本概念；2.学生分组进行不等式组的解法和应用的探究；3.练习不等式组的解法和应用。

人教版高中必修5(B版)第三章不等式教学设计一、教学目标本节课主要教授高中数学必修课5(B版)第三章——不等式。

通过本次课程的教学，学生应该能够：•理解不等式的基本概念，掌握不等式的基本性质和解不等式的方法；•能够运用已掌握的知识，解决简单的等式和不等式的应用问题；•能够培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二、教学重点•不等式的基本概念和性质；•不等式解法；•一元一次不等式和二元一次不等式的解法。

三、教学难点•不等式解法的灵活运用；•二元一次不等式的解法。

四、教学过程4.1 导入1.通过白板或幻灯片展示一组简单的不等式，比如x+4<10，让学生回顾并思考之前学过的等式。

2.引导学生讲述等式和不等式的联系和区别，并引导学生从生活实际中思考不等式的应用。

4.2 讲授1.教师讲解不等式的基本概念和性质，以及不等式解法，引导学生深入理解学习内容。

2.引导学生先从一元一次不等式入手，讲解一元一次不等式的解法，并让学生进行多组练习。

3.引导学生学习二元一次不等式的解法，引导学生重点思考如何用图示法求解。

4.让学生通过练习，掌握不等式解法的具体技巧和应用方法。

4.3 拓展本节课结束后，学生可以自行探索如何用不等式来解决实际问题，例如分部门开支问题、生产效益提升问题等。

4.4 总结1.教师对本节课所学内容进行总结，并提醒学生留意其中易误解的点，引导学生归纳总结学习体会。

2.对于存在误解的同学，教师要及时纠正并逐一解决疑问。

五、课堂互动1.在讲解过程中穿插抛出简单问题，引导学生积极参与答题，加深对知识点的记忆和理解。

对于答对或答错的同学，教师进行不同程度的点评。

2.在教学中多与学生互动交流，让课堂变得更加生动有趣。

例如请学生发表自己的观点、听取学生分享自己的解题心得、讨论解题思路等。

六、板书设计1.不等式的基本概念和性质；2.不等式解法；3.一元一次不等式和二元一次不等式的解法。

七、教学评价本次课程的教学效果通过考试和家庭作业来进行评价，同时可以通过学生反馈、课堂测验和讨论等方式来了解教学效果。

数学必修五第三章不等式教案第一节一元二次不等式的解法知识梳理一、一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的求根公式：2、十字相乘法3.求解一个变量的二次不等式的步骤：基础回顾例1：找到以下方程的解：（1）x2?2x?3?0（2）3x2?5x?2?0（3）2x2?x?2?0[答案]：（1）x?3或x??1（2）x??13或x?2（3）x??12或x?2（4）x2?8x?0（5）x2?25?0[答案]：（4）x?0或x?8（5）x??5或x?5（6）4x2?4x?1?0（7）2x2?x?5?0[答案]：（6）x?12（7）原方程无实根。

例2：求下列不等式的解集：（1） x2？3倍？10? 0（2）3x2？5倍？0[答]：（1）{x×x×2或x×5}（2）{x×53×0}（3）？2x2？十、3（4）13? 4x2？0（5）x（9？x）？0[答]：（3）{x |x×1或x×32}（4）{x | x×132}（5）{x | x×0或x×9}能力提升例3：求下列不等式的解集：（1）4x2?4x?1?0；（2）4x2?4x?1?0[答：：（1）{x | x？12}（2）r（3）4x2？4x？1.0（4）个4x2？4x？1.0[回答]：（3）？（4） {x | x？12}1（5）? 2x2？十、5.0（如果符号更改为：？，？，？，解决方案集是什么？）[答]：（5）r例4：求下列函数的定义域：（1）y?x2?4x?9（2）y??2x2?12x?18[答]：（1）r（2）{x | x？3}课后作业1.必修课5第80页练习题2，A组问题3和4。

2、解不等式：?x2?2x?3?0（若符号改成：?，?，?，解集又是多少？）[答案]：2、{x|x??1或x?3}二第二节实例分析cx?d?0型线性分式不等式的解法ax?b例1：求下列不等式的解集：十、3倍？2.0（2）? 02x？14x？111[答]：（1）{x | 3 | x}（2）{x | x}或x | 2}（1）2（3）x?32x?1?0[答案]：（3）{x|?3?x?12}例2：求下列不等式的解集：（1）1?2x3x?1?0[答案]：（1）{x|x??113或x?2}例3：求下列不等式的解集：x？52x？4.二[答案]：{x|?2?x??1}4（4）x？24倍？1.0（4）{x×x×14或x×2}（2）5?2x4?x?0（2）{x|52?x?4}三第三节二元一次不等式（组）与平面区域实例分析例1：（1）画出不等式x?4y?4表示的平面区域。

课题: §3.42a b +≤第3课时授课类型：习题课【教学目标】1．知识与技能：2a b +≤；会用此不等式证明不等式,会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；22a b +≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。

3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【教学重点】2a b +≤，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值 【教学难点】利用此不等式求函数的最大、最小值。

【教学过程】1.课题导入1．基本不等式：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a22a b +≤求最大（小）值的步骤。

2.讲授新课1）利用基本不等式证明不等式例1 已知m>0,求证24624m m+≥。

[思维切入]因为m>0,所以可把24m 和6m 分别看作基本不等式中的a 和b, 直接利用基本不等式。

[证明]因为 m>0,，由基本不等式得246221224m m +≥==⨯= 当且仅当24m=6m ，即m=2时，取等号。

规律技巧总结 注意：m>0这一前提条件和246m m ⨯=144为定值的前提条件。

3.随堂练习1[思维拓展1] 已知a,b,c,d 都是正数，求证()()4ab cd ac bd abcd ++≥.[思维拓展2] 求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+.例2 求证:473a a +≥-. [思维切入] 由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边44(3)333a a a a +=+-+--.这样变形后,在用基本不等式即可得证.[证明]443(3)333733a a a +=+-+≥==-- 当且仅当43a -=a-3即a=5时,等号成立. 规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.2)利用不等式求最值例3 (1) 若x>0,求9()4f x x x=+的最小值; (2)若x<0,求9()4f x x x=+的最大值. [思维切入]本题(1)x>0和94x x ⨯=36两个前提条件;(2)中x<0,可以用-x>0来转化. 解 1) 因为 x>0 由基本不等式得9()412f x x x =+≥==,当且仅当94x x =即x=32时, 9()4f x x x =+取最小值12.(2)因为 x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得:99()(4)(4)()12f x x x x x -=-+=-+-≥==, 所以 ()12f x ≤. 当且仅当94x x -=-即x=-32时, 9()4f x x x =+取得最大-12.规律技巧总结 利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正. 随堂练习2[思维拓展1] 求9()45f x x x =+-(x>5)的最小值.[思维拓展2] 若x>0,y>0,且281x y+=,求xy 的最小值.4.课时小结2a b +≤证明不等式和求函数的最大、最小值。

3.2.2 一元二次不等式及其解法【学习目标】巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法；培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力； 【学习重点】熟练掌握一元二次不等式的解法； 【学习难点】理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系. 【学习过程】一、自主学习：1.一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系：2.一元二次不等式的解法步骤：3.求一元二次不等式解集的结论：二、合作探究 1. 解不等式(1) 0)1)(2(>-+x x(2) x －3x ＋7＜0（3）x －3x ＋7≤0（4）4x －3 ＞2－x 3－x－32.设22{|430},{|280}A x x x B x x x a =-+<=-+-≤，且A B ⊆，求a 的取值范围.三、课堂练习1. 看下面有关的命题： （1）若031>++x x ，则1-<x 或3->x ；（2）若012<+-x x ，则不等式无解； （3）若012222<+-x x ，则R x ∈；（4）若0652≤+-x x ，则.32<<x其中正确命题的个数有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 若10<<a ，则不等式0)1)((>--ax x a 的解是（ ） A. ax a 1<<B.a x a<<1C. a x 1>或a x <D. ax 1<或a x >3. 不等式0)1)(2(>-+x x 的解集是（ ）A. }12|{>-<x x x 或B. }12|{<<-x xC. 21|{>-<x x x 或D. }21|{<<-x x4 不等式9)12(2≤-x 的解集为___________________________。

第三章 不等式本章知识体系专题一 不等式解法及应用1．不等式的性质及应用【例1】 已知三个不等式：①ab >0；②c a >db ；③bc >ad .以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，写出所有能成立的不等式命题，并证明．【思路探究】 先写出所有可能的命题，然后再证明每个命题是否正确．【解答】 以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，共有三个命题，依次是①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②.(1)c a －d b ＝bc －ad ab ， ∵ab >0，c a >d b ，∴bc －ad >0，即bc >ad . 故命题①②⇒③是正确的． (2)∵c a －d b ＝bc －ad ab >0，且bc >ad ，∴ab >0.故命题②③⇒①是正确的． (3)∵c a －d b ＝bc －ad ab ，且ab >0，bc >ad ，∴bc －ad ab >0，即c a －d b >0，故命题①③⇒②是正确的．综上所述，命题①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②都是正确的．规律方法 本题是一道开放性问题，需要将所有可能的命题都写出，然后探求每个命题是否为真，其中关键是将c a 与db作差，其分子、分母分别为bc －ad 和ab .【例2】 已知a >0，a 2－2ab ＋c 2＝0，bc >a 2，试比较a ，b ，c 的大小．【思路探究】 条件中含有等式与不等式两种结构，可考虑从等式出发，求得某些量，代入不等式运算．【解答】 由a 2－2ab ＋c 2＝0， 得b ＝a 2＋c 22a ，a 2＋c 2＝2ab .∵a >0，∴b >0.又bc >a 2>0，∴c >0. ∵(a －c )2≥0，即a 2＋c 2－2ac ≥0，∴2ab －2ac ≥0， 即2a (b －c )≥0，∴b －c ≥0. 若b －c ＝0，即b ＝c ，则由a 2－2ab ＋c 2＝0，得a ＝b ＝c ，∴bc ＝a 2，这与bc >a 2矛盾， ∴b －c >0，即b >c .由b ＝a 2＋c 22a 及bc >a 2，得a 2＋c 22a ·c >a 2，∴(a －c )(2a 2＋ac ＋c 2)<0. ∵a >0，b >0，c >0，∴a －c <0， 即a <c ，∴a <c <b .规律方法 本例应用了不等式的性质，可见不等式性质在比较大小和判断不等关系中的重要性．2．一元二次不等式的解法【例3】 p 为何值时，对于任意实数x ，不等式－9<3x 2＋px ＋6x 2－x ＋1≤6恒成立？【思路探究】 因为x 2－x ＋1>0恒成立，所以可把原不等式化为一元二次不等式来解，进而转化为解集为R 的情形．令y 1＝12x 2＋(p －9)x ＋15>0，y 2＝3x 2－(6＋p )x ≥0，y 1，y 2对x ∈R 恒成立，只需y 1的最小值大于0，y 2的最小值大于或等于0，由此求出p 的值．【解答】 解法一：∵x 2－x ＋1>0恒成立，∴原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋px ＋6>－9(x 2－x ＋1)3x 2＋px ＋6≤6(x 2－x ＋1)，即⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋(p －9)x ＋15>03x 2－(6＋p )x ≥0. ①②∵①，②对x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝(p －9)2－4×12×15<0 ③Δ2＝[－(6＋p )]2－4×3×0≤0 ④，由④得p ＝－6，代入③也成立，∴p ＝－6.解法二：由解法一，知令y 1＝12x 2＋(p －9)x ＋15，即y 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋p －9242－(p －9)248＋15.y 2＝3x 2－(6＋p )x ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －6＋p 62－(6＋p )212，即有⎩⎪⎨⎪⎧15－(p －9)248>0－(6＋p )212≥0， ①②由②得p ＝－6，代入①也成立，∴p ＝－6.【例4】 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的整数解只有－2，求k 的取值范围．【思路探究】 不等式组的解集是各个不等式解集的交集，因此，分别求解两个不等式，由其交集中只有整数－2，求k 的值．【解答】 由x 2－x －2>0，得x <－1或x >2.方程2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0有两个实数解x 1＝－52，x 2＝－k .当－52>－k ，即k >52时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－k <x <－52，显然－2∉⎝⎛⎭⎫－k ，－52. 当－k ＝－52，即k ＝52时，不等式2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的解集为∅.当－52<－k ，即k <52时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－52<x <－k . ∴不等式组的解集由⎩⎪⎨⎪⎧x <－1－52<x <－k，或⎩⎪⎨⎪⎧x >2－52<x <－k 确定．∵原不等式组只有整数解－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k <52－k >－2－k ≤3，∴－3≤k <2.故所求k 的取值范围是－3≤k <2.规律方法 解含有参数的一元二次不等式时，要注意分类讨论． 3．由平面区域确定不等式组【例5】 用不等式组表示以(1,2)，(4,3)和(3,5)为顶点的三角形区域．【思路探究】 首先确定出三角形的三条边所在的直线方程，再根据区域在直线的哪一侧确定出不等式．【解答】 如图所示，由直线的两点式方程分别求得三边所在的直线方程为x －3y ＋5＝0,2x ＋y －11＝0,3x －2y ＋1＝0，在三角形内取点(3,3)，分别代入x －3y ＋5,2x ＋y －11,3x －2y ＋1，则不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋5≤02x ＋y －11≤03x －2y ＋1≥0.4．基本不等式与最值【例6】 求函数y ＝x 2＋8x －1(x >1)的最小值．【解答】 y ＝(x －1)2＋2(x －1)＋9x －1＝(x －1)＋9x －1＋2.∵x >1，∴x －1>0， ∴y ≥2(x －1)·9x －1＋2＝8，当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时取等号，∴y min ＝8.5．简单线性规划在实际问题中的应用【例7】 某养鸡场有7万只鸡，用动物饲料和谷物饲料混合喂养．每天每只鸡平均吃混合饲料0.5千克，其中动物饲料不能少于谷物饲料的15.动物饲料每千克0.9元，谷物饲料每千克0.28元，若饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50 000千克，则饲料怎样混合，才能使成本最低？【思路探究】 设每周谷物饲料需x 千克，动物饲料需y 千克，每周总的饲料费用为z 元，根据题意先找出x ，y 的约束条件，再确定目标函数．【解答】 设每周需用谷物饲料x 千克，动物饲料y 千克，每周总的饲料费用为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥35 000，y ≥15x ，0≤x ≤50 000，y ≥0，目标函数z ＝0.28x ＋0.9y .作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域如图阴影部分所示．作一组平行直线0.28x ＋0.9y ＝t ，其中经过可行域内的点且和原点最近的直线经过直线x ＋y ＝35 000和直线y ＝15x 的交点A ⎝⎛⎭⎫87 5003，17 5003，即当x ＝87 5003，y ＝17 5003时，饲料费用最低．即谷物饲料和动物饲料按5∶1的比例混合时，可使成本最低．专题二 数学思想的考查1．函数与方程思想不等式与函数、方程密不可分，相互联系，相互转化，在解决求参数的取值范围及有关一元二次不等式的问题时，一般要考虑函数与方程思想．【例8】 设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为M ，如果M ⊆[1,4]，求实数a 的取值范围．【思路探究】 转化命题是解决此题的关键．由题意知M ⊆[1,4]，原问题等价于方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0无解或两根均在区间[1,4]内．令函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，则f (x )与x 轴无交点或交点在区间[1,4]内，如图所示．所以有Δ＝4a 2－4(a ＋2)<0，或者⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≥0，f (4)≥0，Δ≥0，1≤2a 2≤4.解这两个不等式(组)取并集求得答案．【解答】 (1)当M ＝∅时，满足M ⊆[1,4]，如图①所示，有Δ＝4a 2－4(a ＋2)<0，所以－1<a <2.(2)当M ≠∅时，因为M ⊆[1,4]，所以方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0的两根x 1，x 2(x 1<x 2)均在区间[1,4]内，如图②所示．则有⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≥0，f (4)≥0，Δ≥0，1≤2a 2≤4，⇒⎩⎪⎨⎪⎧3－a ≥0，18－7a ≥0，4a 2－4(a ＋2)≥0，1≤a ≤4，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3，a ≤187，a ≤－1或a ≥2，1≤a ≤4，⇒2≤a ≤187.综上可知－1<a ≤187.规律方法 一元二次不等式与一元二次方程以及二次函数图像三者之间有密切的联系，解题时要注意合理转化．2．数形结合思想数形结合思想是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它从形的直观和数的严谨两个方面考虑问题，拓展了解题思路，它是数学的规律性与灵活性的有机结合，在线性规划问题中有着广泛的应用．【例9】 若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤40x ＋2y ≤50x ≥0y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )A ．90B ．80C ．70D ．40【解答】图解法是解决线性规划问题的常规方法，首先要根据线性约束条件准确画出可行域，另外还应注意最优解问题以及移动直线的方向与所求线性目标函数的最值之间的关系，本题中y前面的系数是2>0，因此，当直线向上平行移动时，z的值增大，当直线向下平行移动时，z的值减小．作出可行域如图所示．由于直线2x＋y＝40和x＋2y＝50的斜率分别为－2，－12，而3x＋2y＝0的斜率为－32，故线性目标函数的倾斜角应大于2x＋y＝40的倾斜角而小于x＋2y＝50的倾斜角，由图知，3x＋2y＝z经过点A(10,20)时，z有最大值，z的最大值为70.【答案】 C规律方法本题难度不大，旨在考查线性规划等基本知识的理解和数形结合思想的应用．3．分类讨论思想应用分类讨论思想解决不等式问题时，关键是正确地进行分类，而分类一般有以下几个原则：1.要有明确的分类标准；2.对讨论对象分类时要不重复、不遗漏，即分成若干类，其并集为全集，两两的交集为空集．【例10】解关于x的不等式：ax－2>1－a.【思路探究】在处理含参的一元二次不等式的有关问题时，一般要对二次项系数的正负、二次函数的判别式及二次方程的两根的大小等进行讨论．将不等式变形为[(a－1)x＋(2－a)](x－2)>0，然后结合根的大小的情况分类讨论，画出图像，写出解集即可．【解答】原不等式可化为(a－1)x＋(2－a)x－2>0，即[(a－1)x＋(2－a)](x－2)>0.当a ＝1时，原不等式的解集为(2，＋∞)．当a >1时，原不等式与⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a －1(x －2)>0同解．若a －2a －1≥2，即0≤a <1时，原不等式无解；若a －2a －1<2， 即a <0或a >1，于是a >1时原不等式的解集为(－∞，a －2a －1)∪(2，＋∞)．当a <1时，若a <0，解集为⎝⎛⎭⎪⎫a －2a －1，2； 若0<a <1，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，a －2a －1.综上所述，当a ＝1时解集为(2，＋∞)；当a >1时解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a －2a －1∪(2，＋∞)；当0<a <1时，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，a －2a －1；当a ＝0时，解集为∅；当a <0时，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2a －1，2. 规律方法 处理含参不等式的有关问题时，往往需要分类讨论，要做到不重不漏．。