平抛运动与斜面、曲面结合的问题

第二讲：平抛运动一、平抛运动1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动．2．性质：平抛运动是加速度为g 的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．3．研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：自由落体运动． 4.基本规律如图，以抛出点O 为坐标原点，以初速度v 0方向(水平方向)为x 轴正方向，竖直向下为y 轴正方向．(1)位移关系(2)速度关系(3)轨迹方程：h =g2v 02x 25.基本应用例题、如图所示，x 轴在水平地面上，y 轴在竖直方向．图中画出了从y 轴上沿x 轴正方向水平抛出的三个小球a 、b 和c 的运动轨迹．不计空气阻力，下列说法正确的是( )A ．a 和b 的初速度大小之比为2∶1B ．a 和b 在空中运动的时间之比为(1)飞行时间由t ＝2hg知，时间取决于下落高度h ，与初速度v 0无关．(2)水平射程x ＝v 0t ＝v 02hg，即水平射程由初速度v 0和下落高度h 共同决定，与其他因素无关． (3)落地速度v ＝v x 2＋v y 2＝v 02＋2gh ，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有tan θ＝v y v x＝2ghv 0，落地速度与初速度v 0和下落高度h 有关． (4)速度改变量因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g ，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt 内的速度改变量Δv ＝g Δt 是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示．(5)两个重要推论①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一例题、如图甲所示是网球发球机，某次室内训练时将发球机放在距地面一定的高度，然后向竖直墙面发射网球.假定网球均水平射出，某两次射出的网球碰到墙面时速度与水平方向夹角分别为30°和60°，若不考虑空气阻力，则( )A.两次发射的初速度大小之比为3∶1定通过此时水平位移的中点，如图所示，即x B ＝x A2.推导：⎭⎪⎬⎪⎫tan θ＝y Ax A －x Btan θ＝v yv 0＝2y Ax A→x B＝x A2①做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α. 推导：⎭⎪⎬⎪⎫tan θ＝v y v 0＝gtv 0tan α＝y x ＝gt 2v 0→tan θ＝2tan α二、与斜面结合的平抛运动1．顺着斜面平抛(如图)方法：分解位移．x ＝v 0t ，y ＝12gt 2，tan θ＝y x，可求得t ＝2v 0tan θg.2．对着斜面平抛(垂直打到斜面，如图) 方法：分解速度．v x ＝v 0， v y ＝gt ，tan θ＝v x v y ＝v 0gt，可求得t ＝v 0g tan θ.三、斜抛运动1．定义：将物体以初速度v 0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．2．性质：斜抛运动是加速度为g 的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．3．研究方法：运动的合成与分解(1)水平方向：匀速直线运动；(2)竖直方向：匀变速直线运动．例题、某同学在练习投篮时将篮球从同一位置斜向上抛出，其中有两次篮球垂直撞在竖直放置的篮板上，运动轨迹如图所示，不计空气阻力，关于这两次篮球从抛出到撞击篮板的过程( )4.基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示)(1)水平方向：v 0x ＝v 0cos θ，F 合x ＝0；做匀速直线运动，v 0x ＝v 0cos θ，x ＝v 0tcos θ. (2)竖直方向：v 0y ＝v 0sin θ，F 合y ＝mg .做竖直上抛运动，v 0y ＝v 0sin θ，y ＝v 0tsin θ－12gt2四、类平抛运动1．类平抛运动物体受到与初速度垂直的恒定的合外力作用时，其轨迹与平抛运动相似，称为类平抛运动．类平抛运动的受力特点是物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直．2.类平抛运动问题的求解技巧(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性．(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a 分解为a x 、a y ，初速度v 0分解为v x 、v y ，然后分别在x 、y 方向上列方程求解．针对训练题型1：平抛运动性质例题、如图所示的光滑斜面ABCD 是边长为l 的正方形，倾角为30°，一物块（视为质点）沿斜面左上方顶点A 以平行于AB 边的初速度v 0水平射入，到达底边CD 中点E ，则（ ）A ．初速度2glB ．初速度4glC ．物块由A 点运动到E 点所用的时间2lt g= D ．物块由A 点运动到E 点所用的时间lt g=1．关于平抛运动的性质，以下说法中正确的是（）A．变加速运动B．匀变速运动C．匀速率曲线运动D．不可能是两个直线运动的合运动2．人站在平台上平抛一小球，球离手时的速度为v1，落地时速度为v2，不计空气阻力，下列图中能表示出速度矢量的演变过程的是（）A．B．C．D．题型2：平抛运动规律3．如图所示，从A、B、C三个不同的位置向右分别以v A、v B、v C的水平初速度抛出三个小球A、B、C，其中A、B在同一竖直线上，B、C在同一水平线上，三个小球均同时落在地面上的D点，不计空气阻力。

专题平抛运动与斜面曲面相结合的模型特训目标特训内容目标2斜面内平抛模型(1T -5T )目标3斜面外平抛模型(6T -10T )目标4与曲面相结合模型(11T -15T )【特训典例】一、斜面内平抛模型1如图所示，倾角为θ的斜面上有A 、B 、C 三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的D 点，今测得AB :BC :CD =5:3:1，由此可判断(不计空气阻力)()A.A 、B 、C 处三个小球的初速度大小之比为3∶2∶1B.A 、B 、C 处三个小球的运动轨迹可能在空中相交C.A 、B 、C 处三个小球运动时间之比为1∶2∶3D.A 、B 、C 处三个小球落在斜面上时速度与初速度间的夹角之比为1∶1∶12某旅展开的实兵实弹演练中，某火箭炮在山坡上发射炮弹，所有炮弹均落在山坡上，炮弹的运动可简化为斜面上的平抛运动，如图所示，重力加速度为g 。

则下列说法正确的是()A.若将炮弹初速度由v 0变为v 02，炮弹落在斜面上的速度方向与斜面的夹角不变B.若将炮弹初速度由v 0变为v 04，则炮弹下落的竖直高度变为原来的12C.若炮弹初速度为v 0，则炮弹运动到距斜面最大距离L 时所需要的时间为v 0tan θgD.若炮弹初速度为v 0，则运动过程中炮弹距斜面的最大距离L =v 20sin 2θ2g cos θ3如图甲是研究小球在长为L 的斜面上做平抛运动的实验装置，每次将小球从弧形轨道同一位置静止释放，并逐渐改变斜面与水平地面之间的夹角θ，获得不同的水平位移x ，最后作出了如图乙所示的x -tan θ图像，当0<tan θ<1时，图像为直线，当tan θ>1时图像为曲线，g =10m/s 2。

则下列判断正确的是()A.小球在斜面顶端水平抛出时的初速度v0=2m/sB.θ超过45°后，小球将不会掉落在斜面上mC.斜面的长度为L=25D.斜面的长度为L=4m54如图所示，倾角为θ的斜面体固定在水平面上，一个小球在斜面上某一点第一次垂直斜面抛出，第二次水平抛出，两次抛出的初速度大小相同，两次小球均落在斜面上，第一次小球在空中运动时间为t1，落在斜面上的位置离抛出点的距离为s1，第二次小球在空中运动时间为t2，落在斜面上的位置离抛出点的距离为s2，则下列关系正确的是()A.t2=t1sinθB.t2=t1C.s2=s1tanθD.s2=s15如图所示为滑雪运动赛道的简化示意图，甲、乙两运动员分别从AB曲面(可视为光滑)上的M、N两点(图中未画出)由静止滑下，到达B点后，分别以速度v1、v2水平飞出。

4.抛体运动的规律【课标解读】1.理解平抛运动、抛体运动的特点和规律。

2.让学生能根据运动合成与分解的方法探究出平抛运动和斜抛运动的一般规律。

3.能用平抛运动的规律解决实际问题，在得出平抛运动规律的基础上进而分析斜抛运动。

【核心素养】物理观念：用“演绎推理”的方法生成平抛运动的规律，使学生亲历物理观念建立的过程。

科学思维：利用已知的直线运动的规律来研究复杂的曲线运动，渗透“化曲为直”“化繁为简”“等效替换”等重要的物理思想。

科学探究：通过实例分析再次体会平抛运动的规律。

科学态度与责任：通过对平抛运动的规律的建立，增强学生学习物理的兴趣，感受学习成功的快乐。

一 平抛运动的速度1．平抛运动的特点：平抛运动可以看作是水平方向的□01匀速直线运动和竖直方向的□02自由落体运动的合运动。

2．平抛运动的速度(1)水平方向：v x ＝□03v 0。

(2)竖直方向：v y ＝□04gt 。

(3)合速度⎩⎨⎧大小：v ＝ v 2x ＋v 2y ＝□05v 20＋g 2t 2方向：tan θ＝v y v x＝□06gtv二 平抛运动的位移与轨迹 1．平抛运动的位移(1)水平方向：x ＝□01v 0t 。

(2)竖直方向：y ＝□0212gt 2。

(3)合位移⎩⎨⎧大小：s ＝□03x 2＋y 2方向：tan α＝y x ＝□04gt2v 0（α是s 与水平方向的夹角）2．平抛运动的轨迹：由x ＝v 0t ，y ＝12gt 2，得y ＝□05g 2v 20x 2，所以平抛运动的轨迹是一条□06抛物线。

三 一般的抛体运动1．定义：如果物体被抛出时的速度v 0不沿水平方向，而是斜向□01上方或斜向□02下方，且只受□03重力的作用，这样的抛体运动称为斜抛运动。

2．性质由于做斜抛运动的物体只受重力，且初速度与合力不在同一直线上，故斜抛运动是□04匀变速曲线运动。

斜抛运动可以看成是水平方向的□05匀速直线运动和竖直方向的□06竖直上抛或□07竖直下抛运动的合运动。

【平抛与斜面结合】1、如图所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的初速v同时水平向左与水平向右抛出两个小球A 和B，两侧斜坡的倾角分别为30°和60°，小球均落在坡面上，若不计空气阻力，则A和B两小球的运动时间之比为（）A．3：4 B．4：3 C．1：3 D．3：1【来源】广东省深圳市第二高级中学2019-2020学年高一（下）第四学段物理试题【答案】C【解析】ABCD．A球在空中做平抛运动，落在斜面上时，有解得同理对B有由此解得ABD错误C正确。

故选C。

2、如图所示，从倾角为的斜面顶点A将一小球以初速度水平抛出，小球经过t落在斜面上B点，重力加速度为g，斜面足够长，不计空气阻力，则下列说法正确的有（）A ．从A 到B 的运动时间为B ．AB 的长度为C ．初速度变为2倍，抛出到落在斜面的时间t 变为2倍D ．改变初速度大小，小球落在斜面上时速度与斜面的夹角大小不变【来源】河北省唐山市开滦一中2019-2020学年高一（下）期末物理试题【答案】ACD【解析】AC.根据位移偏角的正切值小球在空中飞行的时间由于位移的偏角不变，若初速度变为2倍，则小球抛出到落在斜面的时间t 变为2倍，故AC 正确；B.小球的水平位移 0022tan v x v t g θ==所以AB 的长度为故B 错误；D.做平抛运动的小球，速度偏角的正切值是位移偏角正切值的2倍，而小球落在斜面上位移的偏角不变，则位移偏角正切值不变，速度偏角的正切值也不变，所以改变初速度大小，小球落在斜面上时速度与斜面的夹角大小不变，故D正确。

故选ACD。

3、如图所示，从斜面上的A点以速度水平抛出一个物体，飞行一段时间后，落到斜面上的B点；若仍从A点抛出物体，抛出速度为，不计空气阻力，下列说法正确的是（）A. 物体的飞行时间不变B. 物体的位移变为原来的C. 物体落到斜面上的速度变为原来的D. 物体落到斜面上时速度方向不变【答案】D【解析】【解答】根据可知，当初速度减半时，飞行的时间减半，A不符合题意；根据x=v0t可知，物体的水平位移变为原来的1/4，竖直位移也变为原来的1/4，则物体的位移变为原来的1/4，B不符合题意；水平初速度减半时，根据v y=gt可知，落到斜面上的竖直速度变为原来的一半，可知物体落到斜面上的速度变为原来的1/2，C不符合题意；根据为定值，则物体落到斜面上时速度方向不变，D符合题意；故答案为：D.4、如图，从斜面上的A点以速度v0水平抛出一个物体，飞行一段时间后，落到斜面上的B点，已知AB = 75 m， = 37°，不计空气阻力，下列说法正确的是（）A．物体的位移大小为60 m B．物体飞行的时间为6 sC．物体的初速度v0大小为20 m/s D．物体在B点的速度大小为30 m/s【来源】江西省南昌市八一中学2019-2020学年高一（下）期中物理试题【答案】C【解析】A ．物体的位移等于首末位置的距离，大小为75 m ，故A 错误；B ．平抛运动的竖直位移根据得，物体飞行的时间 2245s 3s 10h t g ⨯===故B 错误；C ．物体的初速度故C 正确；D ．物体落到B 点的竖直分速度根据平行四边形定则知，物体落在B 点的速率故D 错误。

第五章抛体运动专题4与斜面、曲面相结合的平抛运动课程标准核心素养1. 进一步掌握平抛运动规律，了解平抛运动与斜面、曲面相结合问题的特点.2. 熟练运用平抛运动规律解决相关问题．1、物理观念：平抛运动与斜面曲面的结合问题。

2、科学思维：利用速度和位移分解的思想解决问题。

3、科学探究：探究平抛运动与斜面相结合的问题的解题突破口。

4、科学态度与责任：利用平抛运动的规律和几何关系解决实际问题。

知识点01 与斜面有关的平抛运动运动情形题干信息分析方法从空中水平抛出垂直落到斜面上速度方向分解速度，构建速度三角形v x＝v0v y＝gtθ与v0、t的关系：tan θ＝v xv y＝v0gt从斜面水平抛出又落到斜面上位移方向分解位移，构建位移三角形x＝v0ty＝12gt2θ与v0、t的关系：tan θ＝yx＝gt2v0目标导航知识精讲【即学即练1】如图所示，某物体(可视为质点)以水平初速度抛出，飞行一段时间t ＝ 3 s后，垂直地撞在倾角θ＝30°的斜面上(g取10 m/s2)，由此计算出物体的水平位移x和水平初速度v0正确的是()A．x＝25 m B．x＝521 mC．v0＝10 m/s D．v0＝20 m/s知识点02 与曲面相关的平抛运动已知速度方向情景示例解题策略从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，即已知速度方向沿该点圆弧的切线方向分解速度tan θ＝v yv0＝gtv0利用位移关系从圆心处抛出落到半径为R的圆弧上，如图所示，位移大小等于半径R⎩⎪⎨⎪⎧x＝v0ty＝12gt2x2＋y2＝R2从与圆心等高圆弧上抛出落到半径为R 的圆弧上，如图所示，水平位移x 与R 的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝R ＋R cos θx ＝v 0ty ＝R sin θ＝12gt2(x －R )2＋y 2＝R2【即学即练2】如图所示，B 为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O 的连线与竖直方向的夹角为α.一小球在圆轨道左侧的A 点以速度v 0平抛，恰好沿B 点的切线方向进入圆轨道．已知重力加速度为g ，不计空气阻力，则A 、B 之间的水平距离为( )A.v 02tan αgB.2v 02tan αgC.v 02g tan αD.2v 02g tan α【考法01 与斜面有关的平抛运动【典例1】如图所示，可视为质点的小球A 、B 分别同时从倾角为37°的光滑斜面顶端水平抛出和沿斜面下滑，平抛初速度大小为A 5m /s v =，下滑初速度B v 未知，两小球恰好在斜面底端相遇，重力加速度210m /s g =，sin 370.6=，cos370.8=，则（ ）A ．斜面长5m能力拓展B ．B 球初速度B 25m /s 4v =C ．相遇前，A 、B 两球始终在同一高度D ．相遇前两小球最远相距9m 16考法02与曲面相关的平抛运动【典例2】如图所示，科考队员站在半径为10 m 的半圆形陨石坑(直径水平)边，沿水平方向向坑中抛出一石子(视为质点)，石子在坑中的落点P 与圆心O 的连线与水平方向的夹角为37°，已知石子的抛出点在半圆形陨石坑左端的正上方，且到半圆形陨石坑左端的高度为1.2 m ．取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度大小g ＝10 m/s 2，不计空气阻力．则石子抛出时的速度大小为( )A ．9 m/sB ．12 m/sC ．15 m/sD ．18 m/s题组A 基础过关练1．如图所示，两个高度相同的斜面，倾角分别为30°和60°，小球A 、B 分别由斜面顶端以相同大小的水平速度v 0抛出，若两球均落在斜面上，不计空气阻力，则A 、B 两球平抛运动过程( )A ．飞行的时间之比为1∶3B ．水平位移大小之比为1∶9C ．竖直下落高度之比为1∶3D ．落至斜面时速度大小之比为1∶32．如图所示，以010m/s v =的速度水平抛出的小球，飞行一段时间撞在斜面上，速度方向与斜面方向成60︒，已知斜面倾角30θ=︒，以下结论中正确的是（ ）分层提分A ．物体飞行时间是3sB ．物体撞击斜面时的速度大小为20m/sC ．物体下降的高度是5m 3D ．物体飞行的水平位移为2033m3．如图，斜面上有a 、b 、c 、d 四个点，ab ＝bc ＝cd .从a 点正上方的O 点以速度v 0水平抛出一个小球，它落到斜面上b 点．若小球从O 点以速度2v 0水平抛出，则它落在斜面上的(不计空气阻力)( )A ．b 与c 之间某一点B ．c 点C ．c 与d 之间某一点D ．d 点4．如图所示，一小球以一定初速度水平抛出，忽略空气阻力。

2021高考物理鲁科版新课程一轮复习关键能力·题型突破4.2平抛运动的规律及应用温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

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关键能力·题型突破考点一平抛运动的规律单个物体的平抛运动【典例1】(多选)一位同学玩投掷飞镖游戏时，将飞镖水平抛出后击中目标。

当飞镖在飞行过程中速度的方向平行于抛出点与目标间的连线时，其大小为v。

不考虑空气阻力，已知连线与水平面间的夹角为θ，则飞镖（）世纪金榜导学号A。

初速度v0=vcos θB。

飞行时间t=C.飞行的水平距离x=D。

飞行的竖直距离y=【一题多解】选A、C。

方法一：将运动分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,飞镖的初速度v0=vcos θ，选项A正确；根据平抛运动的规律有x=v0t，y=gt2，tan θ=，解得t=,x=，y=，选项C正确，B、D错误.方法二:求飞行时间还可以沿抛出点与目标间的连线和垂直连线方向建立平面直角坐标系，则沿连线方向上，飞镖做初速度为v0cos θ，加速度为gsin θ的匀加速直线运动；垂直连线方向上做初速度为v0sin θ，加速度为-gcos θ的类竖直上抛运动,故由题意可知飞镖飞到速度为v时，垂直连线方向的速度减为0,所用时间为，再次回到连线所用的时间也为(竖直上抛运动的对称性），故飞行时间为.多个物体的平抛运动【典例2】（2019·潮州模拟）甲、乙两位同学在不同位置沿水平各射出一枝箭,箭落地时,插入泥土中的形状如图所示，已知两支箭的质量、水平射程均相等,若不计空气阻力及箭长对问题的影响，则甲、乙两支箭(）世纪金榜导学号A。

空中运动时间之比为1∶B。

射出的初速度大小之比为1∶C。

下降高度之比为1∶3D.落地时动能之比为3∶1【通型通法】1.题型特征：两个物体水平抛出.2。

思维导引：【解析】选B。

根据竖直方向的自由落体运动可得h=gt2水平射程:x=v0t可得:x=v0由于水平射程相等，则：v甲=v乙①末速度的方向与水平方向之间的夹角的正切值:tan θ==可得:2gh甲=3，6gh乙=②联立①②可得：h甲=3h乙，即下落的高度之比为3∶1；根据竖直方向的自由落体运动可得h=gt2，可知运动时间之比为∶1，故A、C错误;射出的初速度大小之比为1∶，故B正确；它们下落的高度之比为3∶1;但射出的初速度大小之比为1∶,所以落地的动能之比不等于3∶1，故D错误。

平抛运动的基本规律和与斜面曲面相结合问题特训目标特训内容目标1平抛运动基本规律(1T -4T )目标2平抛运动与斜面相结合的问题(5T -8T )目标3平抛运动与圆面相结合的问题(9T -12T )目标4平抛运动与任意曲面相结合的问题(13T -16T )【特训典例】一、平抛运动基本规律1如图，正在平直公路行驶的汽车紧急刹车，位于车厢前端、离地高度分别为H ≈3.2m 、h ≈2.4m 的两件物品，因没有固定而散落到路面，相距L ≈1m 。

由此估算刹车时的车速最接近()A.40km /hB.50km /hC.70km /hD.90km/h【答案】A【详解】汽车紧急刹车后物品做平抛运动，平抛初速度等于汽车碰撞瞬间的行驶速度，设为v 。

对于物品A ，水平方向上，有x A =vt 1竖直方式上，有h =12gt 21对于物品B ，水平方向上，有x B =vt 2竖直方式上，有H =12gt 22根据题图分析可知L =x B -x A 解得汽车的行驶速度v =9.33m/s =33.6km/h所以刹车时的车速最接近40km/h 故选A 。

2如图所示，空间有一底面处于水平地面上的长方体框架ABCD -A 1B 1C 1D 1，已知：AB :AD :AA 1=1:1:2，从顶点A 沿不同方向平抛小球(可视为质点)。

关于小球的运动，则()A.所有小球单位时间内的速率变化量均相同B.落在平面A 1B 1C 1D 1上的小球，末动能都相等C.所有击中线段CC 1的小球，击中CC 1中点处的小球末动能最小D.当运动轨迹与线段AC 1相交时，在交点处的速度偏转角均为60°【答案】C【详解】A ．所有小球都是做平抛运动，只受重力，加速度为重力加速度g ，所有小球单位时间内的速度变化率相同，故A 错误；B ．所有落在平面A 1B 1C 1D 1上的小球，下落高度相同，由t =2h g可知下落时间相同，而落到C 1点的小球水平位移最大，所以落到C 1点的小球的抛出初速度v 0最大，所以落到C 1点的小球的末速度最大，即落到C 1点的小球的末动能最大，故B 错误；C ．所有击中线段CC 1的小球水平位移相同，设为x ，击中线段CC 1某点的小球的位移偏转角为θ，那么下落到该点的高度h 为h =x tan θ又由平抛规律和动能定理有h =12gt 2；x =v 0t ；mgh =E k -12mv 20联立上式得E k =mgx tan θ+14tan θ可知当tan θ=12时，E k 有最小值，再结合题目的几何关系知该点应为线段CC 1的中点，故C 正确；D ．当运动轨迹与线段AC 1相交时，所有小球的位移偏转角相同，其正切值为tan θ=1再根据平抛推论知，所有小球速度偏转角相同，其正切值为tan ∂=2tan θ=2由此可知在交点处的速度偏转角均不为60°，故D 错误；故选C 。

ʏ江苏省镇江第一中学 白利燕 李更磊将物体沿水平方向以一定的初速度(不为零)抛出,在忽略空气阻力的理想状况下,物体仅受自身重力作用,做平抛运动㊂平抛运动是初速度沿水平方向,加速度等于重力加速度g 的匀变速曲线运动㊂深入研究平抛运动的运动规律和重要推论,掌握平抛运动常见题型的分析与求解方法是同学们在高三一轮复习过程中应该完成的主要任务㊂一㊁平抛运动的特点利用频闪照相㊁录制视频㊁传感器和计算机测绘等方法得到的做平抛运动的物体的轨迹如图1所示,其运动轨迹是抛物线的一部分㊂根据研究平抛运动水平分运动和竖直分运动特点的实验可知,平抛运动可以分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动㊂做平抛运动的物体到达任意位置时,水平分位移x =v 0t ,竖直分位移y =12g t 2,水平分速度v x =v 0,竖直分速度v y =g t ,合位移的大小s =x 2+y 2,合位移与水平方向间的夹角φ的正切值t a n φ=yx=g t 2v 0,合速度的大小v t =v 2x +v 2y,合速度与水平方向间的夹角α的正切值t a n α=v y v x =g t v 0㊂图1二㊁平抛运动的推论推论一:设做平抛运动的物体到达任意位置时的末速度与水平方向间的夹角为α,位移与水平方向间的夹角为φ,则总有t a n α=2t a n φ㊂证明:做平抛运动的物体到达任意位置时,有t a n α=v y v x =g t v 0,t a n φ=y x =g t 2v 0,因此t a n α=2t a n φ㊂推论二:做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点㊂证明:做平抛运动的物体到达任意位置时,末速度与水平方向间的夹角α的正切值t a n α=v yv x =y t x t -x ',其中x '是末速度的反向延长线与x 轴的交点到坐标原点的距离,即g t v 0=12g t 2v 0t -x ',解得x '=12v 0t ,即x '=x t 2㊂推论三:做平抛运动的物体在任意相等的时间间隔Δt 内的速度变化量Δv =g Δt 大小相等,方向恒为竖直向下㊂证明:因为做平抛运动的物体在任意时刻的水平分速度v x =v 0,竖直分速度v y =g t ,经过时间Δt ,物体的水平分速度v x '=v 0,竖直分速度v y'=g (t +Δt ),所以物体的水平分速度变化量Δv x =0,竖直分速度变化量Δv y =g Δt ,即物体在任意相等的时间间隔Δt 内的速度变化量Δv =g Δt 大小相等,方向恒为竖直向下㊂推论四:在某一固定斜面上,将物体沿水平方向抛出,当其再次落到斜面上时,物体在51知识篇 知识结构与拓展 高考理化 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.空中运动的时间只与初速度大小有关,且初速度越大,运动时间越长㊂图2证明:如图2所示,设将物体从倾角为θ的斜面顶端以初速度v 0水平抛出,在不计空气阻力的情况下,物体经过时间t落回到斜面上时的水平分位移与竖直分位移分别为x ㊁y ,根据几何关系得t a n θ=y x =12g t 2v 0t =g t 2v 0,解得t =2v 0t a n θg ,因为斜面倾角θ和重力加速度g 保持不变,所以物体在空中运动的时间t 只与初速度v 0的大小有关,且初速度v 0越大,运动时间t 越长㊂三、平抛运动的常见题型归类剖析题型一:求平抛运动的初速度v 0㊂若已知平抛运动轨迹上某点的位置坐标(非原点),则根据平抛运动轨迹方程y =g 2v 2㊃x 2得v 0=g 2y㊃x ;若已知平抛运动轨迹上某点位移s 的大小和方向,则根据x =s c o s φ,y =s s i n φ得v 0=g 2s ㊃s i n φ㊃s ㊃c o s φ㊂例1 如图3所示,将一支飞镖从倾角θ=45ʎ的斜面底端正上方高H =1.6m 处以一定的初速度水平抛出,取重力加速度g =10m /s 2,若飞镖打到斜面上发生的位移最小,则下列说法中正确的是( )㊂图3A.飞镖打到斜面上发生的位移与斜面成45ʎ角B .飞镖打到斜面上发生的位移与斜面垂直C .飞镖的初速度大小为2m /sD .飞镖的初速度大小为4m /s解析:要使飞镖打到斜面上发生的位移最小,飞镖的位移应与斜面垂直,选项A 错误,B 正确㊂设飞镖打到斜面上发生的水平分位移为x ㊁竖直分位移为y ,根据几何关系得x =y =12H ,根据平抛运动轨迹方程得y =g 2v 20㊃x 2,解得v 0=2m /s ,选项C 正确,D 错误㊂答案:B C题型二:求平抛运动的运动时间t ㊂若已知抛出点的高度h ,则根据h =12g t 2得t =2hg;若已知平抛运动轨迹上某点速度v 的大小和方向,则根据s i n α=v yv =g t v 得t =v s i n αg;若已知平抛运动轨迹上某点位移s 的大小和方向,则根据s i n φ=ys=12g t 2s得t =2s s i n φg㊂例2 如图4所示,无人机携带石块朝向倾角θ=30ʎ的斜坡飞行㊂已知无人机以速度v 0=3m/s 沿水平方向匀速飞行,某时刻无人机释放石块,之后无人机的飞行速度和飞行方向均保持不变,石块被释放后经过一段时间落在斜坡上㊂若石块落在斜坡上时的速度方向与斜面垂直,取重力加速度g =10m /s 2,则下列说法中正确的是( )㊂图4A.在石块离开无人机至落到斜坡上的过程中,石块始终位于无人机的正下方B .在石块离开无人机至落到斜坡上的过程中,石块与无人机间的水平距离越来越大C .石块从离开无人机至落到斜坡上所用61 知识篇 知识结构与拓展 高考理化 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.的时间为0.1sD.石块从离开无人机至落到斜坡上所用的时间为0.3s解析:无人机始终沿水平方向做匀速直线运动,石块离开无人机后做平抛运动,根据平抛运动特点可知,石块和无人机在水平方向上做速度大小相等的匀速直线运动,因此在石块离开无人机至落到斜坡上的过程中,石块始终位于无人机的正下方,选项A正确,B错误㊂当石块落在斜坡上时的速度方向与斜面垂直时,根据几何关系得t a nθ=v0v y =v0g t,解得t=0.3s,选项C错误,D正确㊂答案:A D题型三:求平抛运动的水平射程x㊂根据x=v0t可知,要想求出平抛运动的水平射程x,需要先求出平抛运动的初速度v0和运动时间t㊂例3取水平地面为零重力势能平面,不计空气阻力㊂将一质量为m的物块从离地h高度沿水平方向抛出,若物块在抛出点时的动能与重力势能恰好相等,则物块的落地点到抛出点的水平距离为()㊂A.2hB.hC.h2D.h4解析:设物块的初速度为v0,根据物块在抛出点时的动能与重力势能相等得m g h= 12m v20,解得v0=2g h㊂设物块做平抛运动的时间为t,则h=12g t2,解得t=2h g㊂因此物块的落地点到抛出点的水平距离x= v0t=2h㊂答案:A题型四:求平抛运动的末速度v t㊂根据v t=v2x+v2y=v20+2g h可知,要想求出平抛运动的末速度v t,需要先求出平抛运动的初速度v0和下落高度h㊂例4将甲㊁乙两小球从同一斜面顶端沿同一水平方向抛出,小球甲落在斜面的中点处,小球乙落在斜面的底端,不计空气阻力,则下列说法中正确的是()㊂A.甲㊁乙两小球的初速度大小之比为1ʒ2B.甲㊁乙两小球的位移方向相同C.甲㊁乙两小球的末速度方向不同D.甲㊁乙两小球的末速度大小之比为1ʒ2解析:甲㊁乙两小球落在同一斜面上,则甲㊁乙两小球的位移方向相同,选项B正确㊂根据做平抛运动的物体的末速度与水平方向间夹角的正切值总是位移与水平方向间夹角正切值的2倍可知,甲㊁乙两小球的末速度方向也相同,选项C错误㊂设斜面的高度为h,斜面沿水平方向的长度为l,根据平抛运动规律得h2=12g t2甲,h=12g t2乙,l2=v0甲t甲,l= v0乙t乙,解得v0甲=l2g h,v0乙=l g2h,即甲㊁乙两小球的初速度大小之比v0甲ʒv0乙= 1ʒ2,选项A错误㊂设甲㊁乙两小球的末速度与水平方向间的夹角为α,根据几何关系得c o sα=v0甲v甲=v0乙v乙,变形得v甲v乙=v0甲v0乙,即甲㊁乙两小球的末速度大小之比v甲ʒv乙=1ʒ2,选项D正确㊂答案:B D总结:平抛运动四个重要推论的推导,平抛运动常见题型的分析与求解都是基于平抛运动的特点,结合数学知识得出的㊂另外,物体做平抛运动的时间由抛出点的高度决定,抛出点离地面越高,物体的运动时间越长;物体做平抛运动的水平射程由抛出点的高度和初速度共同决定,抛出点离地面越高㊁初速度越大,水平射程越大㊂同学们在高三一轮复习的过程中,应该在理解的前提下,熟练掌握平抛运动的特点㊁推论,灵活选用平抛运动规律,结合动力学知识和数学方法求解各种类型的问题㊂(责任编辑张巧)71知识篇知识结构与拓展高考理化2023年9月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。

与斜面、曲面相结合的平抛运动[学习目标] 1.进一步掌握平抛运动规律，了解平抛运动与斜面、曲面相结合问题的特点.2.熟练运用平抛运动规律解决相关问题．一、与斜面有关的平抛运动运动情形题干信息分析方法从空中水平抛出垂直落到斜面上速度方向分解速度，构建速度三角形v x＝v 0v y＝gtθ与v0、t的关系：tan θ＝v xv y＝v0gt从斜面水平抛出又落到斜面上位移方向分解位移，构建位移三角形x＝v0ty＝12gt2θ与v0、t的关系：tan θ＝yx＝gt2v0例1(2022·江苏南京高一期末)跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞出一段距离后着陆，如图所示，某运动员从跳台A处沿水平方向飞出，在斜坡B处着陆，测得AB间的距离是75 m，斜坡与水平方向的夹角为37 °，不计空气阻力，取sin 37 °＝0.6，cos 37 °＝0.8，g＝10 m/s2，求：(1)运动员在空中飞行的时间；(2)运动员从A处水平飞出的速度大小．思考：运动员何时离斜面最远？例2 如图所示，小球以v 0＝15 m/s 的水平初速度向一倾角为37°的斜面抛出，飞行一段时间后，恰好垂直撞在斜面上．求这一过程中：(不计空气阻力，g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(1)小球在空中的飞行时间t ； (2)抛出点距撞击点的高度h .例3 如图所示，若质点以初速度v 0正对倾角为θ＝37°的斜面水平抛出，要求质点到达斜面时位移最小，则质点的飞行时间为(重力加速度为g ，tan 37°＝34)( )A.3v 04gB.3v 08gC.8v 03gD.4v 03g1．在分析与斜面有关的平抛运动问题时，注意分析题干信息，强调的是速度方向还是位移方向，然后进行分解并利用两分量与已知角的关系求解． 2．与斜面有关的平抛运动拓展运动情形题干信息 分析方法 斜面外开始，要求以最短位移打到斜面位移方向分解位移x ＝v 0t y ＝12gt 2tan α＝x y＝2v 0gt斜面外开始，沿斜面方向落入斜面速度方向分解速度v x ＝v 0 v y ＝gt tan α＝v yv x＝gt v 0二、平抛运动与曲面相结合例4 如图所示为竖直截面为半圆形的容器，O 为圆心，且AB 为沿水平方向的直径．一物体在A 点以水平向右的初速度v A 抛出，与此同时另一物体在B 点以向左的水平初速度v B 抛出，两物体都落到容器的同一点P .已知∠BAP ＝37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.下列说法正确的是( )A ．物体B 比A 先到达P 点 B ．物体A 比B 先到达P 点C ．抛出时，两物体的速度大小之比为v A ∶v B ＝16∶9D ．抛出时，两物体的速度大小之比为v A ∶v B ＝4∶3例5 (2022·南通中学高一检测)如图所示，一小球从一半圆轨道左端A 点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，运动过程中恰好与半圆轨道相切于B 点．O 为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R ，OB 与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g ，则小球抛出时的初速度为( )A.3gR2 B.33gR2C.3gR2 D.3gR3。

2023届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练专题22 平抛运动规律、平抛运动与约束面相结合问题导练目标导练内容目标1平抛运动的基本规律与推论目标2平抛运动与斜面相结合目标3平抛运动与圆面相结合目标4平抛运动与竖直面相结合一、平抛运动的基本规律与推论1．四个基本规律飞行时间由t＝2hg知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关水平射程x＝v02hg，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关落地速度v＝v x2＋v y2＝v02＋2gh，落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关速度改变量任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示．两个重要推论(1)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。

(2)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A 点为OB 的中点。

【例1】如图所示，某一小球以020m /s v =的速度水平抛出，在落地之前经过空中A 、B 两点。

在A 点小球速度方向与水平方向的夹角为45，在B 点小球速度方向与水平方向的夹角为60（空气阻力忽略不计，g 取10m/2s ）。

以下判断中正确的是（ ）A ．小球经过A 点时竖直方向的速度为3B ．小球经过A 、B 两点间的时间为231s t =（）C ．A 、B 两点间的高度差45m h =D ．A 、B 两点间的水平位移相差320m 【答案】B【详解】AB ．根据平行四边形定则知020m/s Ay v v ==；0tan 60203m/s By v v ==则小球由A 到B 的时间间隔203202(31)s By Ayv v t g--∆==故A 错误，B 正确； C ．A 、B 的高度差221200400m 40m 2210By Ayv v h g--===⨯故C 错误；D ．A 、B 两点间的水平位移相差0202(31)m=40(31)m x v t ∆=∆=⨯故D 错误。

1平抛运动与斜面、曲面结合的问题模型概述1．模型概述：在分析与斜面有关的平抛运动问题时，注意分析题干信息，强调的是速度方向还是位移方向，然后进行分解并利用两分量与已知角关系求解．2.各种类别：1)平抛与竖直面结合水平：d =v 0t竖直：h =12gt 22)平抛与斜面结合①顺着斜面平抛情形一：落到斜面上，已知位移方向沿斜面向下处理方法：分解位移．x =v 0t y =12gt 2tan θ=yx可求得t =2v 0tan θg .情形二：物体离斜面距离最大，已知速度方向沿斜面向下处理方法：分解速度v x =v 0v y =gt tan θ=v y vx可求得t =v 0tan θg .②对着斜面平抛：垂直打在斜面上，已知速度方向垂直斜面向下处理方法：分解速度．v x =v 0v y =gt tan θ=v x v y=v 0gt可求得t =v 0g tan θ.3)平抛与圆面结合①小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置．处理方法：由半径和几何关系制约时间t ：h =12gt2R ±R 2-h 2=v 0t联立两方程可求t .②小球恰好沿B 点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB 垂直于速度方向，圆心角α与速度的偏向角相等．处理方法：分解速度．v x =v 0v y =gt tan θ=v y v x=gt v可求得t =v 0tan θg .③小球恰好从圆柱体Q 点沿切线飞过，此时半径OQ 垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等．处理方法：分解速度．v x =v 0v y =gt tan θ=v y v x=gt v可求得t =v 0tan θg .4)与圆弧面有关的平抛运动：题中常出现一个圆心角，通过这个圆心角，就可找出速度的方向及水平位移和竖直位移的大小，再用平抛运动的规律列方程求解．典题攻破1.平抛运动与斜面结合的问题1.(2024·辽宁·模拟预测)如图所示，斜面的倾角为θ，斜面的长度为L 。

与斜面（曲面）结合的平抛运动题型一顺着斜面平抛宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P 点，沿水平方向以初速度0v 抛出一个小球，测得小球经时间t 落到斜坡另一点Q 上，斜坡的倾角为α，已知该星球的半径为R ，引力常量为G ，球的体积公式是34π3V R 。

求：（1）该星球表面的重力加速度g ；（2）该星球的密度；（3）该星球的第一宇宙速度。

【解题技巧提炼】（1）落到斜面上，已知位移方向沿斜面向下（如图）处理方法：分解位移．x ＝v 0ty ＝12gt 2tan θ＝y x可求得t ＝2v 0tan θg.（2）物体离斜面距离最大，已知速度方向沿斜面向下（如图）处理方法：分解速度v x＝v0，v y＝gttanθ＝v yv0.t＝v0tanθg从斜面上某点水平抛出，又落到斜面上的平抛运动的五个规律（推论）（1）位移方向相同，竖直位移与水平位移之比等于斜面倾斜角的正切值。

（2）刚落到侧面时的末速度方向都平行，竖直分速度与水平分速度（初速度）之比等于斜面倾斜角正切值的2倍。

（3（4（5）当速度与斜面平行时，物体到斜面的距离最远，且从抛出到距斜面最远所用的时间为平抛运动时间的一半。

题型二对着斜面平抛如图所示，倾角为37°的斜面长l＝1.9m，在斜面底端正上方的O点将一小球以v0＝3m/s的速度水平抛出，与此同时由静止释放斜面顶端的滑块，经过一段时间后，小球恰好能够以垂直于斜面的速度在斜面P点处击中滑块。

（小球和滑块均可视为质点，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），求：（1）抛出点O离斜面底端的高度；（2）滑块与斜面间的动摩擦因数μ。

【解题技巧提炼】垂直撞在斜面上，已知速度方向垂直斜面向下（如图）处理方法：分解速度．v x ＝v 0v y ＝gttan θ＝v x v y ＝v 0gt可求得t ＝v 0g tan θ.题型三与圆弧面有关的平抛运动（多选）如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M 、N 与圆心等高且在同一竖直面内。