2015高中数学 第1部分 4.3空间直角坐标系课时达标检测 新人教A版必修2

第一章 1.3 1.3.1A级——基础过关练1．已知点A(－3,1,4),则点A关于x轴对称的点的坐标为( )A．(－3,－1,－4) B．(－3,－1,4)C．(3,1,4) D．(3,－1,－4)【答案】A【解析】关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标、竖坐标均互为相反数,所以A(－3,1,4)关于x轴的对称点坐标为(－3,－1,－4)．2．在空间直角坐标系中,已知点P(1,2,3),过点P作平面Oyz的垂线PQ,则垂足Q 的坐标为( )A．(0,2,0) B．(0,2,3)C．(1,0,3) D．(1,2,0)【答案】B【解析】由于垂足Q在Oyz平面内,可设Q(0,y,z),因为直线PQ⊥Oyz平面,所以P,Q两点的纵坐标、竖坐标都相等．因为点P的坐标为(1,2,3),所以y＝2,z＝3,可得Q(0,2,3)．3．在如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中,已知点B1(1,0,3),D(0,2,0),则点C1的坐标为( )A．(1,2,3) B．(1,3,2)C．(2,3,1) D．(3,2,1)【答案】A【解析】观察图形可知点C1的坐标为(1,2,3)．4．在如图所示的空间直角坐标系中,单位正方体顶点A的坐标是( )A ．(－1,－1,－1)B ．(1,－1,1)C ．(1,－1,－1)D ．(－1,1,－1)【答案】C【解析】依据空间点的坐标定义可知,点A 的坐标是(1,－1,－1)．5．如图,在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中,棱长为2,E 是B 1B 上的点,且|EB |＝2|EB 1|,则点E 的坐标为( )A ．(2,2,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，13D ．⎝⎛⎭⎪⎫2，2，43 【答案】D【解析】因为EB ⊥Oxy 平面,而B (2,2,0),故设E (2,2,z )．又因为|EB |＝2|EB 1|,所以|BE |＝23|BB 1|＝43,故点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，2，43．6．(2021年绵阳月考)在空间直角坐标系中,已知点A (－1,1,3),则点A 关于xOz 平面的对称点的坐标为( )A ．(1,1,－3)B ．(－1,－1,－3)C ．(－1,1,－3)D ．(－1,－1,3)【答案】D【解析】根据空间直角坐标系的对称性可得点A (－1,1,3)关于xOz 平面的对称点的坐标为(－1,－1,3)．故选D ．7．(多选)如图,在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AB ＝5,AD ＝4,AA 1＝3,以直线DA ,DC ,DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,则( )A ．点B 1的坐标为(4,5,3)B ．点C 1关于点B 对称的点为(5,8,－3) C ．点A 关于直线BD 1对称的点为(0,5,3) D ．点C 关于平面ABB 1A 1对称的点为(8,5,0) 【答案】ACD【解析】根据题意知,点B 1(4,5,3),A 正确；B (4,5,0),C 1(0,5,3),故点C 1关于点B 对称的点为(8,5,－3),B 错误；点A 关于直线BD 1对称的点为C 1(0,5,3),C 正确；点C (0,5,0)关于平面ABB 1A 1对称的点为(8,5,0),D 正确．故选ACD ．8．如图,在长方体OABC －O 1A 1B 1C 1中,OA ＝2,AB ＝3,AA 1＝2,M 是OB 1与BO 1的交点,则点M 的坐标是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，1 【解析】因为OA ＝2,AB ＝3,AA 1＝2,所以A (2,0,0),A 1(2,0,2),B (2,3,0),故B 1(2,3,2)．所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，32，22,即点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，32，1． 9．在空间直角坐标系中,点M (－2,4,－3)在Ozx 平面上的射影为点M ′,则点M ′关于原点对称点的坐标是________．【答案】(2,0,3)【解析】点M 在Oxz 平面上的射影为点M ′(－2,0,－3),所以点M ′关于原点对称点的坐标为(2,0,3)．10．已知点P 的坐标为(3,4,5),试在空间直角坐标系中作出点P ,并写出求解过程． 解：如图,由P (3,4,5)可知点P 在x 轴上的射影为点A (3,0,0),在y 轴上的射影为点B (0,4,0),以OA ,OB 为邻边的矩形OACB 的顶点C 是点P 在Oxy 坐标平面上的射影C (3,4,0)．过点C 作直线垂直于Oxy 坐标平面,并在此直线的Oxy 平面上方截取5个单位长度,得到的点就是P．B级——能力提升练11．在空间直角坐标系中,点M的坐标是(4,7,6),则点M关于y轴对称的点在Ozx平面上的射影的坐标为( )A．(4,0,6) B．(－4,7,－6)C．(－4,0,－6) D．(－4,7,0)【答案】C【解析】点M关于y轴对称的点是M′(－4,7,－6),点M′在Ozx平面上的射影的坐标为(－4,0,－6)．12．(多选)已知点M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点,则( )A．与点M关于x轴对称的点是(x,－y,－z)B．与点M关于原点对称的点是(－x,－y,－z)C．与点M关于xOy平面对称的点是(x,y,－z)D．与点M关于yOz平面对称的点是(x,－y,z)【答案】ABC【解析】与点M关于yOz平面对称的点是(－x,y,z),D错误,A,B,C均正确．故选ABC．13．直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都是2,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则顶点B1关于平面xAz对称的点的坐标是________．【答案】(3,－1,2)【解析】∵直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都是2,∴B(3,1,0),∴顶点B1的坐标是(3,1,2),则其关于平面xAz的对称点为(3,－1,2)．14．在空间直角坐标系Oxyz中,z＝1的所有点构成的图形是________________；点P(2,3,5)到平面xOy的距离为________．【答案】过点(0,0,1)且与z轴垂直的平面 5【解析】z ＝1表示一个平面,其与平面Oxy 平行且距离为1,故z ＝1的所有点构成的图形是过点(0,0,1)且与z 轴垂直的平面．点P (2,3,5)到平面Oxy 的距离与其横纵坐标无关,只与其竖坐标有关．由于平面Oxy 的方程为z ＝0,故点P (2,3,5)到平面Oxy 的距离为|5－0|＝5．15．在空间直角坐标系中有一个点P (1,3,－2),求： (1)点P 关于坐标原点O 的对称点P 1的坐标； (2)点P 关于x 轴的对称点P 2的坐标； (3)点P 关于坐标平面Oyz 的对称点P 3的坐标．解：(1)设点P 1的坐标为(x 1,y 1,z 1),因为点P 和P 1关于坐标原点O 对称, 所以O 为线段PP 1的中点．由中点坐标公式,得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝－3，z 1＝2，所以点P 1的坐标为(－1,－3,2)． (2)设点P 2的坐标为(x 2,y 2,z 2), 因为点P 和P 2关于x 轴对称,所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，3＋y 22＝0，－2＋z 22＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝－3，z 2＝2，则点P 2的坐标为(1,－3,2)． (3)设点P 3的坐标为(x 3,y 3,z 3), 因为点P 和P 3关于平面yOz 对称,所以⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋12＝0，y 3＝3，z 3＝－2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝－1，y 3＝3，z 3＝－2，故点P 3的坐标为(－1,3,－2)．。

空间直角坐标系练习题班级姓名一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内。

1、在空间直角坐标系中,有( )坐标轴A:一个 B:两个 C:三个 D:四个2、在空间直角坐标系中,有( )张坐标平面.A:一个 B:两个 C:三个 D:四个3、坐标平面将空间分成( )个空间区域-卦限A: 两个 B:四个 C:六个 D:八个。

4、有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在ox轴上的点的坐标一定是（0，b，c）；②在空间直角坐标系中，在yoz平面上的点的坐标一定是（0，b，c）；③在空间直角坐标系中，在oz轴上的点的坐标可记作（0，0，c）；④在空间直角坐标系中，在xoz平面上的点的坐标是（a，0，c）。

其中正确的个数是（）A、1B、2C、3D、45、以正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1中点坐标为（）A、（12，1，1） B、（1，12，1） C、（1，1，12） D、（12，12，1）6、点M（0，0，6）的位置是（）A、在ox轴上B、在oy轴上C、在oz轴上D、在面xoy上7、已知M（-2，2，5）,N（0，-2，3）,则线段MN的中点坐标为（）A、 (-1,0,4)B、 (-2,0,4)C、 (-1,2,4)D、 (-1,0,5)8、过点A(-2,1,3),且与面xoy垂直的直线上点的坐标满足（）A、 x=-2 B 、 y=1 C、 x=-2或y=1 D、x=-2且y=1 9、在空间直角坐标系中,点P(-1,-2,-3)到平面yOz的距离是( )A. 1B. 2C. 3D. √1410、设y∈R,则点P(1,y,2)的集合为( )A.垂直于xOz平面的一条直线B.平行于xOz平面的一条直线C.垂直于y轴的一个平面D.平行于y轴的一个平面二、填空题：11、将空间直角坐标系画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z轴均成，而z轴垂直于y轴，，y轴和z轴的长度单位，x轴上的单位长度为y轴（或z轴）的长度的。

空间直角坐标系复习课教学设计1．教学内容解析《空间直角坐标系》是人教A版必修2第四章《圆与方程》中第三节的内容．是“坐标法”在空间中的推广，又是学生以后学习“空间向量”的基础．重点：进一步学习建立空间直角坐标系的方法，深化建系的关键：垂直关系；进一步探究复杂空间几何体中点的坐标表示；使学生形成系统的知识结构．难点：复杂空间几何体中点的坐标表示；“坐标法”的应用．2．教学目标设置（1）知识与技能：掌握各种常用空间几何体的建系方法，能解决较复杂空间图形的建系问题；能写出某些复杂空间几何体中点的坐标；能用空间中两点间的距离公式，解决某些具体问题．（2）过程与方法：运用类比与转化，建立空间直角坐标系与平面直角坐标系之间的联系；运用归纳，从特殊到一般，总结出建系的方法与表示点坐标的方法．（3）情感、态度与价值观：体会二维空间到三维空间的推广；体会“坐标法”在空间图形中的应用，数与形的统一，用代数方法解决几何问题的思想．3．学生学情分析学生刚刚学习了“空间直角坐标系”与“空间中两点间的距离公式”这两个内容，对建系、点的坐标表示有一定的基础．同时也学习了“空间几何体”与“直线、圆的方程”，对柱、锥、球体有一定的认识与了解，对“坐标法”解决几何问题的思想也有一定的了解．但学生在前两节课中，更多地是在立方体、长方体等较简单的空间几何体中建立直角坐标系，在坐标系概念、点与坐标的对应上研究得更多．对各种空间几何体建系方法尚未总结．对具体的空间图形中的点（如斜棱柱的某些顶点、几何图形翻折后的点）的坐标，认识不够清晰．4．教学策略分析本节课运用探究式教学．第一环节是知识回顾，由教师引导，对前两节课的知识点进行简单的梳理．第二环节通过变式教学，对各种空间几何体进行分类：直棱柱、有线面垂直的棱锥、有面面垂直的棱锥或棱柱、正棱锥……由易到难，层层递进，使学生对建立空间直角坐标系的方法有一个更深的认识．同时，通过对具体问题（斜四棱柱）的探究，使学生对点的表示形成一个更清晰的认识．第三环节通过对几个不同的实例：确定外接球球心问题、翻折问题的探究，深化用代数方法解决几何问题的思想．本节课采用PPT 教学．同时，教师把要研究的几何体图形印成讲义，课前发给学生，免去了学生作图的环节，节约上课时间．5．教学过程第一环节：知识点的回顾．（结合课件，教师引导，学生回答．） 建立空间直角坐标系的意义：用代数方法解决几何问题．①空间直角坐标系的构成，三要素：原点、坐标轴、单位长度；与平面直角坐标系的联系；右手系建系；②空间中点的坐标名称及表示方法：找到空间中点在平面xOy 上的射影，求出射影点的横、纵坐标，即为该点的横、纵坐标，该点在z 轴上的投影，即为竖坐标；③空间中两点的距离公式．第二环节：深化并归纳较复杂空间图形的建系方法；探究空间图形中某些特定的点的坐标表示． 例1．为下列空间几何体建立恰当的空间直角坐标系，并写出各顶点的坐标． （1）直四棱柱 ①正方体1111ABCD A BC D -，棱长为1；②长方体111112,3ABCD A B C D AB AA BC -===,；（学生较熟悉，课件直接展示建系结果，使仅量多的顶点在坐标轴上，轴上点的坐标表示更简单．）③所有棱长都为1，底面是菱形，60ABC ∠=；zx yz x yAC（让学生探究不同的建系方式，体会直棱柱中侧棱垂直底面的作用．）（2）棱锥，①侧棱PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是菱形，1,60PA AB ABC ==∠=；②侧棱PA ⊥底面ABC ，1,PA AB ABC ==∆是正三角形； ③正四棱锥,P ABCD PO -⊥面,1ABCD PO AB ==；，（四棱柱变为四棱锥，四棱锥变为三棱锥；侧棱PA 垂直底面变为高PO 垂直底面，建系类型与（1）相同，关键是“线面垂直”．底面还可以变为其它形状，如直角三角形、梯形等等．在②中可能会有学生取AC 中点或BC 中点做为坐标原点，可以引导学生比较几种不同建系方式的特点，如以A 点为坐标原点，可使其余各点的坐标为正数；若以线段BC 中点为坐标原点，可使,B C 点的坐标体现出对称性；若以AC 中点做为坐标原点，则可以自然过渡到下一类型：“面面垂直”……这部分对学生来说不难，因此只要提炼出方法，PPT 演示，不需要每个题都详细解答．）例2．（1）四棱锥P ABCD -，面PAB ⊥面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形， PAB ∆是正三角形，30,3,ABC AB BC ∠===（2）四棱柱1111ABCD A B C D -，面11AA D D ⊥面ABCD ．底面ABCD 是等腰梯形，zyx//,22,60AD BC AD BC BAD ==∠=．侧面11AA D D 是菱形，160A AD ∠=，建立恰当的空间直角坐标系，并写出相应各顶点的坐标．（利用转化思想，引导学生把面面垂直转化为线面垂直，建立空间直角坐标系．有面面垂直的柱及棱锥的建系都是同一类型．提醒学生，xOy 平面上点坐标的表示，可单独把该面画成平面直角坐标系，就能更清楚地体现各点的坐标．其它坐标平面内的点可类似得到，（2）中的1D 点的坐标就容易表示了．而对（2）中11,B C 点的坐标表示，部分学生会略感困难．引导学生利用面面垂直，找出这几点在平面xOy 上的射影就在直线BC 上，进而求出它们的坐标．通过该题使学生在具体实例中进一步体会复杂图形中点的坐标表示方法，关键点为：找射影．）通过以上图形的变化，引导学生归纳出建立空间直角坐标系的方法： 1． 利用线面垂直建立空间直角坐标系；2． 把面面垂直转化为线面垂直，进而建立空间直角坐标系．第三环节：用空间中两点间的距离公式解决实际问题．例3．正三棱锥,2P ABC AB -=，高3PO =．（1）建立恰当的空间直角坐标系，并写出各顶点对应的坐标； （2）试确定其外接球球心O '的位置．（类比正四棱锥的建系方式，学生容易想到利用高OP 来建立z 轴，这样坐标原点就确定下来了．那么学生也会自然地利用底面三角形的高，来建立x 轴或y 轴．当然也可能有学生会利用A 点或底面棱中点来作为坐标原点，可引导学生比较各种建系方式的不同．）（对第（2）小题，学生容易想到球心就在高OP 上，这样确定了球心的横、纵坐标．接下来只要设一个竖坐标．只有一个未知数，再找一个条件即可求解．如上图建立空间直角坐标系，设(0,0,)O h '，由O P O B ''=，得224(3)3h h -=+，解之，得2318h =．即O '坐标为23(0,0,)18．举一反三，教师引导学生推广求其它几何体的外接球球心的方法：设球心(,,)x y z ，三个未知数，只要找到三个条件，即球心到球面上三个点的距离都相等，列出三元一次方程组，解方程既可．）y例4．如图， 在矩形A B C D 中，点,E F 分别在线段,AB AD 243A E EB A F F D ====.沿直线EF 将AEF V 翻折成1A EF ∆1A EF C --是直二面角.（1）建立恰当的空间直角坐标系，求1A 点的坐标；（2）点N 在线段BC 上，沿直线DN 将CDN ∆翻折成1C DN ∆，当二面角1C DN C --为120时，1C 到底面ABCD 的距离恰为1A 与1C 之间的距离；（可引导学生比较不同的建系方式，如坐标原点在A 点时，各点的坐标较简单．对于1A 点和1C 点的坐标表示，学生会直接过1A 点和1C 点作底面的垂线，1A 点射影的具体位置可以确定，但1C 点的则不能．教师引导学生从翻折图形的重要特征，即翻折前与翻折后哪些量保持不变入手．不妨让学生拿一张纸，实际翻折一下，学生会更直观地体验到，1C 的射影位置，其实是在过C 点，且垂直于DN 的直线上，这条垂直于DN 的直线经翻折后，恰构成了二面角1C DN C --的平面角，问题迎刃而解．同时，教师提醒学生注意翻折前的CD 与翻折后的1C D 为同一线段，或者翻折前后的CDN ∆与1C DN ∆全等，因此CD 与1C D 长度相同，为接下来的计算，以及下一小题的解决做个铺垫．） （3）点,M N 分别在线段,FD BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C与1A 重合，求线段FM 长．（本题是2010年浙江省的高考题．本题的难点在直线MN 的位 置不确定，需要学生有一定的空间想象能力，画出翻折后的空间 图形，并牢牢抓住翻折前后不变的量这一关键．利用线段相等， 来求出点M 的坐标．如图建立空间直角坐标系，则M 点的坐标可设为(4,0,0)x +，这里只有一个未知量，因此只要再找一个条件即可．注意到1A M CM =，而C 与1A 坐标已知，1(10,8,0)A C ，可列出方程22(42)48(410)64x x +-++=+-+，解出214x =，即FM 长．）第四环节：小结．本节课继续学习了空间直角坐标系在各种空间图形中的建法；复杂空间图形中点坐标的表示方法；特殊问题，如翻折问题中点坐标的表示法；空间两点间距离公式在解决实际问题中的应用……以上可让学生各抒己见． 作业：略．。

空间直角坐标系学习目标 1.了解空间直角坐标系.2.能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标．知识点一 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O 和一个单位正交基底{}i ，j ，k ，以O 为原点，分别以i ，j ，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz .(2)相关概念：O 叫做原点，i ，j ，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy 平面、Oyz 平面、Ozx 平面，它们把空间分成八个部分． 2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 思考 空间直角坐标系有什么作用？答案 可以通过空间直角坐标系将空间点、直线、平面数量化，将空间位置关系解析化． 知识点二 空间一点的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中，i ，j ，k 为坐标向量，对空间任意一点A ，对应一个向量OA →，且点A 的位置由向量OA →唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使OA →＝x i ＋y j ＋z k .在单位正交基底 {i ，j ，k }下与向量 OA →对应的有序实数组(x ，y ，z )叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记作A (x ，y ，z )，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标．思考 空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？ 答案 x 轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x ，0,0)．y 轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y ，0)． z 轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z )．知识点三 空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中，给定向量a ，作OA →＝a .由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使a ＝x i ＋y j ＋z k .有序实数组(x ，y ，z )叫做a 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，上式可简记作a ＝(x ，y ，z )． 思考 空间向量的坐标和点的坐标有什么关系？答案 点A 在空间直角坐标系中的坐标为(x ，y ，z )，那么向量 OA →的坐标也为(x ，y ，z )．1．空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )的形式．( × ) 2．空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点的坐标一定是(a ，0，c )的形式．( √ ) 3．关于坐标平面yOz 对称的点其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反．( √ )一、求空间点的坐标例1 (1)画一个正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，若以A 为坐标原点，以棱AB ，AD ，AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则 ①顶点A ，C 的坐标分别为________________； ②棱C 1C 中点的坐标为________；③正方形AA 1B 1B 对角线的交点的坐标为________． 答案 ①(0,0,0)，(1,1,0) ②⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12 ③⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12(2)已知正四棱锥P －ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．解 ∵正四棱锥P －ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10， ∴正四棱锥的高为223.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC ，AB 所在的直线分别为x 轴、y 轴，垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A (2，－2,0)，B (2,2,0)，C (－2,2,0)，D (－2，－2,0)，P (0,0,223)．答案不唯一．反思感悟 (1)建立空间直角坐标系的原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面． ②充分利用几何图形的对称性． (2)求某点M 的坐标的方法作MM ′垂直平面xOy ，垂足M ′，求M ′的横坐标x ，纵坐标y ，即点M 的横坐标x ，纵坐标y ，再求M 点在z 轴上射影的竖坐标z ，即为M 点的竖坐标z ，于是得到M 点的坐标(x ，y ，z )． 跟踪训练1 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的坐标系，写出E ，F ，G ，H 的坐标．解 建立如图所示的空间直角坐标系．点E 在z 轴上，它的横坐标、纵坐标均为0， 而E 为DD 1的中点， 故其坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12. 由F 作FM ⊥AD ，FN ⊥CD ，垂足分别为M ，N ， 由平面几何知识知FM ＝12，FN ＝12，故F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.因为CG ＝14CD ，G ，C 均在y 轴上，故G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0. 由H 作HK ⊥CG ，可得DK ＝78，HK ＝12，故H 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.(答案不唯一) 二、空间点的对称问题例2 在空间直角坐标系中，已知点P (－2,1,4)． (1)求点P 关于x 轴对称的点的坐标； (2)求点P 关于xOy 平面对称的点的坐标；(3)求点P 关于点M (2，－1，－4)对称的点的坐标．解 (1)由于点P 关于x 轴对称后，它在x 轴的分量不变，在y 轴，z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P 1(－2，－1，－4)．(2)由点P 关于xOy 平面对称后，它在x 轴，y 轴的分量不变，在z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P 2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P 3(x ，y ，z )，则点M 为线段PP 3的中点， 由中点坐标公式，可得x ＝2×2－(－2)＝6，y ＝2×(－1)－1＝－3，z ＝2×(－4)－4＝－12，所以P 3的坐标为(6，－3，－12)． 反思感悟 空间点对称问题的解题策略(1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论． 跟踪训练2 已知点P (2,3，－1)关于坐标平面xOy 的对称点为P 1，点P 1关于坐标平面yOz 的对称点为P 2，点P 2关于z 轴的对称点为P 3，则点P 3的坐标为________． 答案 (2，－3,1)解析 点P (2,3，－1)关于坐标平面xOy 的对称点P 1的坐标为(2,3,1)，点P 1关于坐标平面yOz 的对称点P 2的坐标为(－2,3,1)，点P 2关于z 轴的对称点P 3的坐标是(2，－3,1)．三、空间向量的坐标例3 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝4，M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求向量AB →，AC 1—→，BC 1—→的坐标．解 建立如图所示的空间直角坐标系，设14AB →＝i ，14AC →＝j ，14AA 1→＝k ，AB →＝4i ＋0j ＋0k ＝(4,0,0)，AC 1—→＝AA 1—→＋AC →＝0i ＋4j ＋4k ＝(0,4,4)， ∴BC 1—→＝BC →＋CC 1—→ ＝BA →＋AC →＋CC 1—→ ＝－4i ＋4j ＋4k ＝(－4,4,4)．反思感悟 向量坐标的求法(1)点A 的坐标和向量 OA →的坐标形式完全相同； (2)起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得．跟踪训练3 已知A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，设点A ，B 在yOz 平面上的射影分别为A 1，B 1 ，则向量A 1B 1—→的坐标为__________． 答案 (0，－1,10)解析 点A (3,5，－7)，B (－2,4,3)在yOz 平面上的射影分别为 A 1 (0,5，－7), B 1 (0,4,3)， ∴向量A 1B 1—→的坐标为(0，－1,10)．1．点P (2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在( ) A ．y 轴上 B ．xOy 面上 C ．xOz 面上 D ．yOz 面上答案 C2．在空间直角坐标系中，点P (1,3，－5)关于平面xOy 对称的点的坐标是( ) A ．(－1,3，－5) B ．(1,3,5) C ．(1，－3,5) D ．(－1，－3,5) 答案 B3．在空间直角坐标系中，点P (－1，－2，－3)到平面yOz 的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D.14 答案 A4．点P (1,1,1)关于xOy 平面的对称点P 1的坐标为______；点P 关于z 轴的对称点P 2的坐标为________．答案 (1,1，－1) (－1，－1,1)解析 点P (1,1,1)关于xOy 平面的对称点P 1的坐标为(1,1，－1)，点P 关于z 轴的对称点P 2的坐标为(－1，－1,1)．5．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)，A (4,0,0)，B (4,2,0)，A 1(4,0,3)，则向量AC 1—→的坐标为________． 答案 (－4,2,3)解析 AC 1—→＝AD →＋DC 1—→＝AD →＋DC →＋CC 1—→＝－4i ＋2j ＋3k ＝(－4,2,3)．1．知识清单：(1)空间直角坐标系的概念． (2)点的坐标． (3)向量的坐标．2．方法归纳：数形结合、类比联想．3．常见误区：混淆空间点的坐标和向量坐标的概念，只有起点在原点的向量的坐标才和终点的坐标相同．1.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是( )A．(1,0,0)B．(1,0,1)C．(1,1,1)D．(1,1,0)答案 C解析点B1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为(1,1,1)，故选C.2．点A(0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( )A．在x轴上B．在xOy平面内C．在yOz平面内D．在xOz平面内答案 C解析∵点A的横坐标为0，∴点A(0，－2,3)在yOz平面内．3．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是( )A．关于x轴对称B．关于yOz平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对答案 C解析当三个坐标均相反时，两点关于原点对称．4．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q 的坐标为( )A．(0，2，0) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)答案 B解析 由于垂足在平面yOz 上，所以纵坐标，竖坐标不变，横坐标为0.5．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E ＝14A 1B 1，则BE →等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，－1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，－1 答案 C解析 BE →＝BB 1—→＋B 1E —→＝k －14j ＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－14，1.6．点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝________. 答案 0解析 点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (1,0，－1)，∴x ＝1，y ＝0，z ＝－1， ∴x ＋y ＋z ＝1＋0－1＝0.7．已知A (3,2，－4)，B (5，－2,2)，则线段AB 中点的坐标为________． 答案 (4,0，－1)解析 设中点坐标为(x 0，y 0，z 0)，则x 0＝3＋52＝4，y 0＝2－22＝0，z 0＝－4＋22＝－1，∴中点坐标为(4,0，－1)．8．已知空间直角坐标系中三点A ，B ，M ，点A 与点B 关于点M 对称，且已知A 点的坐标为(3,2,1)，M 点的坐标为(4,3,1)，则B 点的坐标为________．答案 (5,4,1)解析 设B 点的坐标为(x ，y ，z )，则有x ＋32＝4，y ＋22＝3，z ＋12＝1，解得x ＝5，y ＝4，z＝1，故B 点的坐标为(5,4,1)．9.建立空间直角坐标系如图所示，正方体DABC －D ′A ′B ′C ′的棱长为a ，E ，F ，G ，H ，I ，J 分别是棱C ′D ′，D ′A ′，A ′A ，AB ，BC ，CC ′的中点，写出正六边形EFGHIJ 各顶点的坐标．解 正方体DABC －D ′A ′B ′C ′的棱长为a ，且E ，F ，G ，H ，I ，J 分别是棱C ′D ′，D ′A ′，A ′A ，AB ，BC ，CC ′的中点，∴正六边形EFGHIJ 各顶点的坐标为E ⎝⎛⎭⎪⎫0，a 2，a ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，a ，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，0，a 2，H ⎝⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0，I ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a ，0，J ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，a 2.10.如图所示，过正方形ABCD 的中心O 作OP ⊥平面ABCD ，已知正方形的边长为2，OP ＝2，连接AP ，BP ，CP ，DP ，M ，N 分别是AB ，BC 的中点，以O 为原点，⎩⎨⎧⎭⎬⎫OM →，ON →，12OP →为单位正交基底建立空间直角坐标系．若E ，F 分别为PA ，PB 的中点，求点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标．解 由题意知，点B 的坐标为(1,1,0)． 由点A 与点B 关于x 轴对称，得A (1，－1,0)， 由点C 与点B 关于y 轴对称，得C (－1,1,0)， 由点D 与点C 关于x 轴对称，得D (－1，－1,0)． 又P (0,0,2)，E 为AP 的中点，F 为PB 的中点， 所以由中点坐标公式可得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1.11．已知空间中点A (1,3,5)，点A 与点B 关于x 轴对称，则向量点B 的坐标为________． 答案 (1，－3，－5)12．在空间直角坐标系中，点M (－2,4，－3)在xOz 平面上的射影为点M 1，则点M 1关于原点对称的点的坐标是________． 答案 (2,0,3)解析 由题意，知点M 1的坐标为(－2,0, －3)， 所以点M 1关于原点对称的点的坐标是(2,0,3)．13．如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为2，则图中的点M 关于y 轴的对称点的坐标为________．答案 (－1，－2，－1)解析 因为D (2，－2,0)，C ′(0，－2,2)，所以线段DC ′的中点M 的坐标为(1，－2,1)， 所以点M 关于y 轴的对称点的坐标为(－1，－2，－1)．14.如图是一个正方体截下的一角P －ABC ，其中PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c .建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC 的重心G 的坐标是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，c3 解析 由题意知A (a ，0,0)，B (0，b ，0)，C (0,0，c )．由重心坐标公式得点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，c3.15．已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(2,1，－1)，则p 在基底{2a ，b ，－c }下的坐标为________；在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为________．答案 (1,1,1) ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，－1 解析 由题意知p ＝2a ＋b －c ，则向量p 在基底{2a ，b ，－c }下的坐标为(1,1,1)． 设向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为(x ，y ，z )，则p ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z c ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋z c ，又∵p ＝2a ＋b －c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝1，z ＝－1，解得x ＝32，y ＝12，z ＝－1，∴p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，－1. 16．如图，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求点D 的坐标．解 过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E .在Rt△BDC 中，∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得|BD →|＝1，|CD →|＝3， ∴|DE →|＝|CD →|sin 30°＝32，|OE →|＝|OB →|－|BE →|＝|OB →|－|BD →|cos 60°＝1－12＝12，∴点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，32.。

课时作业29 空间直角坐标系 空间两点间的距离公式1．在空间直角坐标系中，点P (1,2,3)关于x 轴对称的点的坐标为( )A ．(－1,2,3)B ．(1，－2，－3)C ．(－1，－2,3)D ．(－1,2，－3) 2．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)关于yOz 平面对称的点的坐标为( ) A ．(－3,4,5)B ．(－3，－4,5)C ．(3，－4，－5)D ．(－3,4，－5) 3．如图，在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为( )A ．(2,2,1)B ．(2,2，23)C ．(2,2，13) D ．(2,2，43) 4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)、A (4,0,0)、B (4,2,0)、A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( ) A ．9 B.29 C ．5D ．2 6 5．已知点A (1，a ，－5)，B (2a ，－7，－2)(a ∈R )，则|AB |的最小值是( ) A ．3 3B ．3 6C ．2 3D ．2 6 6．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 7．点B 是点A (2，－3,5)关于xOy 平面的对称点，则|AB |＝10.8．已知A (1，－2,1)，B (2,2,2)，点P 在z 轴上，且|P A |＝|PB |，则点P 的坐标为．9．已知空间点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则点A 到平面yOz 的距离是.10.如图所示，在长方体ABCO －A 1B 1C 1O 1中，OA ＝1，OC ＝2，OO 1＝3，A 1C 1与B 1O 1交于P ，分别写出A ，B ，C ，O ，A 1，B 1，C 1，O 1，P 的坐标．11．(1)已知A (1,2，－1)，B (2,0,2)，①在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |；②在xOz 平面内的点M 到A 点与到B 点等距离，求M 点轨迹．(2)在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N (6,5,1)的距离最小．12．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( ) A.62 B. 3 C.32 D.6313．点P (x ，y ，z )满足(x －1)2＋(y －1)2＋(z ＋1)2＝2，则点P 在( )A ．以点(1,1，－1)为圆心，以2为半径的圆上B ．以点(1,1，－1)为中心，以2为棱长的正方体上C ．以点(1,1，－1)为球心，以2为半径的球面上D ．无法确定14．在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 的坐标为(3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长等于2393. 15．在空间直角坐标系中，已知点A (3,0,1)和B (1,0，－3)，试问：(1)在y 轴上是否存在点M 满足|MA |＝|MB |?(2)在y 轴上是否存在点M ，使得△MAB 为等边三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．|AB |＝(1－3)2＋(0－0)2＋(－3－1)2＝20，课时作业29 空间直角坐标系 空间两点间的距离公式1．在空间直角坐标系中，点P (1,2,3)关于x 轴对称的点的坐标为( B )A ．(－1,2,3)B ．(1，－2，－3)C ．(－1，－2,3)D ．(－1,2，－3)解析：关于x 轴对称，横坐标不变． 2．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)关于yOz 平面对称的点的坐标为( A )A ．(－3,4,5)B ．(－3，－4,5)C ．(3，－4，－5)D ．(－3,4，－5)解析：关于yOz 平面对称，y ，z 不变．3．如图，在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为( D )A ．(2,2,1)B ．(2,2，23)C ．(2,2，13) D ．(2,2，43) 解析：∵EB ⊥xOy 平面，而B (2,2,0)，故设E (2,2，z )，又因|EB |＝2|EB 1|， 所以|BE |＝23|BB 1|＝43， 故E (2,2，43)． 4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)、A (4,0,0)、B (4,2,0)、A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( B )A ．9 B.29 C ．5D ．2 6 解析：由已知求得C 1(0,2,3)，∴|AC 1|＝29.5．已知点A (1，a ，－5)，B (2a ，－7，－2)(a ∈R )，则|AB |的最小值是( B )A ．3 3B ．3 6C ．2 3D ．2 6 解析：|AB |2＝(2a －1)2＋(－7－a )2＋(－2＋5)2＝5a 2＋10a ＋59＝5(a ＋1)2＋54.∴a ＝－1时，|AB |2的最小值为54.∴|AB |min ＝54＝3 6.6．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( C )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：由两点间的距离公式得|AB |＝89，|BC |＝14，|AC |＝75，满足|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，故选C.7．点B 是点A (2，－3,5)关于xOy 平面的对称点，则|AB |＝10.解析：∵点B 的坐标为B (2，－3，－5)，∴|AB |＝(2－2)2＋(－3＋3)2＋(5＋5)2＝10.8．已知A (1，－2,1)，B (2,2,2)，点P 在z 轴上，且|P A |＝|PB |，则点P 的坐标为(0,0,3)．解析：设P (0,0，c )，由题意得(0－1)2＋(0＋2)2＋(c －1)2 ＝(0－2)2＋(0－2)2＋(c －2)2解之得c ＝3，∴点P 的坐标为(0,0,3)．9．已知空间点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则点A 到平面yOz 的距离是2或6.解析：∵|AB |＝26，∴(x －2)2＋(1－3)2＋(2－4)2＝24，即(x －2)2＝16，∴x ＝－2或x ＝6，∴点A 到平面yOz 的距离为2或6.10.如图所示，在长方体ABCO －A 1B 1C 1O 1中，OA ＝1，OC ＝2，OO 1＝3，A 1C 1与B 1O 1交于P ，分别写出A ，B ，C ，O ，A 1，B 1，C 1，O 1，P 的坐标．解：点A 在x 轴上，且OA ＝1，∴A (1,0,0)．同理，O (0,0,0)，C (0,2,0)，O 1(0,0,3)．B 在xOy 平面内，且OA ＝1，OC ＝2，∴B (1,2,0)．同理，C 1(0,2,3)，A 1(1,0,3)，B 1(1,2,3)．∴O 1B 1的中点P 的坐标为(12，1,3)． 11．(1)已知A (1,2，－1)，B (2,0,2)，①在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |；②在xOz 平面内的点M 到A 点与到B 点等距离，求M 点轨迹．(2)在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N (6,5,1)的距离最小．解：(1)①设P (a,0,0)，则由已知得(a －1)2＋(－2)2＋12＝(a －2)2＋4，即a 2－2a ＋6＝a 2－4a ＋8，解得a ＝1，所以P 点坐标为(1,0,0)．②设M (x,0，z )，则有(x －1)2＋(－2)2＋(z ＋1)2 ＝(x －2)2＋(z －2)2，整理得2x ＋6z －2＝0，即x ＋3z －1＝0.故M 点的轨迹是xOz 平面内的一条直线．(2)由已知，可设M (x,1－x,0)，则|MN |＝(x －6)2＋(1－x －5)2＋(0－1)2 ＝2(x －1)2＋51.所以当x ＝1时，|MN |min ＝51，此时点M (1,0,0)．12．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( A ) A.62 B. 3 C.32 D.63解析：设P (x ，y ，z )，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝1，y 2＋z 2＝1，x 2＋z 2＝1，∴x 2＋y 2＋z 2＝32.∴x 2＋y 2＋z 2＝62. 13．点P (x ，y ，z )满足(x －1)2＋(y －1)2＋(z ＋1)2＝2，则点P 在( C )A ．以点(1,1，－1)为圆心，以2为半径的圆上B ．以点(1,1，－1)为中心，以2为棱长的正方体上C ．以点(1,1，－1)为球心，以2为半径的球面上D ．无法确定解析：(x －1)2＋(y －1)2＋(z ＋1)2＝2的几何意义是动点P (x ，y ，z )到定点(1,1，－1)的距离为2的点的集合．故选C.14．在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 的坐标为(3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长等于2393. 解析：设正方体的棱长为a ，由|AM |＝9＋4＋0＝13可知，正方体的体对角线长为3a ＝213，故a ＝2133＝2393. 15．在空间直角坐标系中，已知点A (3,0,1)和B (1,0，－3)，试问：(1)在y 轴上是否存在点M 满足|MA |＝|MB |?(2)在y 轴上是否存在点M ，使得△MAB 为等边三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)假设在y 轴上存在点M 满足|MA |＝|MB |.由点M在y轴上，可设M(0，y,0)，由|MA|＝|MB|，可得32＋y2＋12＝12＋y2＋32，显然此式对任意y∈R恒成立，故y轴上所有的点都满足|MA|＝|MB|.(2)假设在y轴上存在点M，使得△MAB为等边三角形．由(1)可知，y轴上任意一点都满足|MA|＝|MB|，所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB为等边三角形．因为|MA|＝(3－0)2＋(0－y)2＋(1－0)2＝10＋y2，|AB|＝(1－3)2＋(0－0)2＋(－3－1)2＝20，所以10＋y2＝20，解得y＝±10.故在y轴上存在点M使得△MAB为等边三角形，点M的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0)．。

人教新课标A版必修2数学4.3空间直角坐标系同步检测（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分） (2016高二下·芒市期中) 已知点A（﹣3，5，2），则点A关于yOz面对称的点的坐标为（）A . （3，5，2）B . （3，﹣5，2）C . （3，﹣5，﹣2）D . （﹣3，﹣5，﹣2）2. （2分） (2017高一下·定州期末) 关于空间直角坐标系O﹣xyz中的一点P（1，2，3），有下列说法：①点P到坐标原点的距离为；②OP的中点坐标为（）；③点P关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2，﹣3）；④点P关于坐标原点对称的点的坐标为（1，2，﹣3）；⑤点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为（1，2，﹣3）．其中正确的个数是（）A . 2B . 3C . 4D . 53. （2分） (2018高一下·三明期末) 在空间直角坐标系中，若点，，点是点关于平面的对称点，则（）A .B .C .D .4. （2分）空间直角坐标系中，已知A（1，﹣2，1），B（2，2，2），点P在z轴上，且满足|PA|=|PB|，则P 点的坐标为（）A . （3，0，0）B . （0，3，0）C . （0，0，3）D . （0，0，﹣3）5. （2分） (2018高一上·寻乌期末) 在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标是（）A .B .C .D .6. （2分）如右图，在正方体OABC－O1A1B1C1中，棱长为2，E是B1B的中点，则点E的坐标为（）A . (2,2,1)B .C .D .7. （2分）空间直角坐标系中，点A（﹣2，1，3）关于点B（1，﹣1，2）的对称点C的坐标为（）A . （4，1，1）B . （﹣1，0，5）C . （4，﹣3，1）D . （﹣5，3，4）8. （2分）已知A点坐标为(1,1,1)，B(3,3,3)，点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则P点坐标为（）A . (0,0,6)B . (6,0,1)C . (6,0,0)D . (0,6,0)9. （2分）已知A（1，2，3），B（3，3，m），C（0，－1，0），D（2，-1，-1），则（）A . |AB|>|CD|B . |AB|<|CD|C . |AB|≤|CD|D . |AB|≥|CD|10. （2分）在空间直角坐标系中，已知，则A，B两点间的距离是（）A .B .C .D .11. （2分）点P（1，2，3）到原点的距离是（）A .B .C .D . 212. （2分） (2017高一下·东丰期末) 已知点则（）A .B .C .D .13. （2分）已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A . 2B . 3C . 4D . 514. （2分）点P（x，y，z）关于坐标平面xOy对称的点的坐标是（）A . （﹣x，﹣y，z）B . （﹣x，y，z）C . （x，﹣y，z）D . （x，y，﹣z）15. （2分） (2015高一上·福建期末) 一束光线自点P（﹣1，1，1）发出，被yOz平面反射到达点Q（﹣6，3，3）被吸收，那么光线所走的距离是（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共6分)16. （2分） (2018高二上·慈溪期中) 在空间直角坐标系中，已知点与点，则________，若在轴上有一点满足，则点坐标为________．17. （1分）已知空间两点的坐标分别为A（1，0，﹣3），B（4，﹣2，1），则|AB|=________．18. （1分）在△ABC中，已知A(－1,2,3)、B(2，－2,3)、，则AB边上的中线CD的长是________.19. （1分）如图所示为一个正方体裁下的一角P－ABC.|PA|＝a，|PB|＝b，|PC|＝c，则△ABC的重心G的坐标为________.20. （1分） (2018高二上·长治月考) 若A（1，3，-2）、B（-2，3，2），则A、B两点间的距离为________．三、解答题 (共5题；共30分)21. （5分）如图，正四棱锥P－ABCD中，底面边长为2，侧棱长为，M ， N分别为AB ， BC的中点，以O为原点，射线OM ， ON ， OP分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．若E ， F分别为PA ，PB的中点，求A ， B ， C ， D ， E ， F的坐标．22. （5分）如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP=2，连接AP、BP、CP、DP，M、N分别是AB、BC的中点，以O为原点，射线OM、ON、OP分别为Ox轴、Oy轴、Oz轴的正方向建立空间直角坐标系．若E、F分别为PA、PB的中点，求A、B、C、D、E、F的坐标．23. （5分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1 ，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．（1）求的长；（2）求cos（•）的值；（3）求证A1B⊥C1M．24. （5分）已知三点A(－1,1,2)，B(1,2，－1)，C(a,0,3)，是否存在实数a ，使A、B、C共线？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．25. （10分）在空间直角坐标系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，－3），试问（1）在y轴上是否存在点M，满足 ?（2）在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标．参考答案一、选择题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共6分) 16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共5题；共30分) 21-1、22-1、23-1、24-1、25-1、25-2、第11 页共11 页。

【三维设计】2015高中数学第1部分 4.3空间直角坐标系课时达标检测新人教A版必修2一、选择题1．在空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，有下列叙述：①点P(a，b，c)关于横轴(x 轴)的对称点是P1(a，－b，c)；②点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a，－b，－c)；③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c)；④点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c)．其中正确叙述的个数为( )A．3 B．2C．1 D．0解析：选C 对于①，点P(a，b，c)关于横轴的对称点为P1(a，－b，－c)，故①错；对于②，点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(－a，b，c)，故②错；对于③，点P(a，b，c)关于纵轴的对称点是P3(－a，b，－c)，故③错；④正确．故选C.2．(2012·吉林高一检测)若点P(－4，－2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )A．7 B．－7C．－1 D．1解析：选D 点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(－4，－2，－3)，关于y轴的对称点坐标是(4，－2，－3)，从而知c＋e＝1.3．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过P点作平面xOy的垂线PQ，Q为垂足，则Q的坐标为( )A．(0，2，0) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)解析：选D 点P(1，2，3)关于平面xOy的对称点是P1(1，2，－3)，则垂足Q 是PP1的中点，所以点Q的坐标为(1，2，0)，故选D.4．点A(1,2，－1)，点C与点A关于面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则|BC|的值为( )A．2 5 B．4C．2 2 D．27解析：选B 点A关于面xOy对称的点C的坐标是(1,2,1)，点A关于x轴对称的点B 的坐标是(1，－2,1)，故|BC|＝ 1－1 2＋ 2＋2 2＋ 1－1 2＝4.5．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝26，则实数x的值是( )A ．－3或4B ．6或2C ．3或－4D ．6或－2 解析：选D ∵|AB |＝ x －2 2＋ 1－3 2＋ 2－4 2＝ x －2 2＋8＝26，∴x ＝6或－2.二、填空题6．已知A (4,3,1)，B (7,1,2)，C (5,2,3)，则△ABC 是________三角形．(填三角形的形状)解析：|AB |＝ 4－7 2＋ 3－1 2＋ 1－2 2＝14.|AC |＝ 4－5 2＋ 3－2 2＋ 1－3 2＝ 6，|BC |＝ 7－5 2＋ 1－2 2＋ 2－3 2＝ 6，所以|AC |＝|BC |，由三边长度关系知能构成三角形，所以△ABC 是等腰三角形．答案：等腰7． 已知A (1－t,1－t ，t )，B (2，t ，t )，则|AB |的最小值为________．解析：由两点间的距离公式可得|AB |＝ 1－t －2 2＋ 1－t －t 2＋ t －t 2＝ 5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95≥355. 答案：3558．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，F 是BD 的中点，G 在棱CD 上，且|CG |＝14|CD |，E 为C 1G 的中点，则EF 的长为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，D 为坐标原点，由题意，得F (12，12，0)，C 1(0,1,1)，C (0,1,0)，G (0，34，0)，则E (0，78，12)．所以|EF |＝0－12 2＋ 78－12 2＋ 12－0 2＝418. 答案：418三、解答题9．如图，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求点D 的坐标．解：过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E .在Rt △BDC 中，∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得|BD |＝1，|CD |＝3，∴|DE |＝|CD |sin 30°＝32，|OE |＝|OB |－|BE |＝|OB |－|BD |cos 60°＝1－12＝12， ∴点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，32. 10．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 中点，求M 、N 两点间的距离．解：如图所示，分别以AB 、AD 、AA1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)，∵|DD 1|＝|CC 1|＝|AA 1|＝2，∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)．∵N 为CD 1的中点，∴N (32，3,1)． M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点，∴M (1,1,2)．由两点间距离公式，得|MN |＝ 32－1 2＋ 3－1 2＋ 1－2 2＝212.。

4．3.1 空间直角坐标系 4．3.2 空间两点间的距离公式一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．若已知A (1，1，1)，B (－3，－3，－3)，则线段AB 的长为( ) A ．4 3 B ．2 3 C ．4 2 D ．3 22．在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)关于x 轴对称的点的坐标是( ) A ．(－1，2，3) B ．(1，－2，－3) C ．(－1，－2，3) D ．(－1，2，－3)3．若点P (x ，2，1)到M (1，1，2)，N (2，1，1)的距离相等，则x ＝( ) A.12 B ．1 C.32D ．2 4．以正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD ，AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为1，则棱CC 1的中点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，1，1B.⎝⎛⎭⎫1，12，1 C.⎝⎛⎭⎫1，1，12 D.⎝⎛⎭⎫12，12，1 5．在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)，过点P 作平面xOy 的垂线PQ ，则Q 的坐标为( ) A ．(0，2，0) B ．(0，2，3) C ．(1，0，3) D ．(1，2，0)6．已知点B 与点A (1，2，3)关于点M (0，－1，2)对称，则点B 的坐标是( ) A ．(－1，4，1) B ．(－1，4，－1) C ．(－1，－4，1) D ．(1，4，－1)7．在空间直角坐标系中，若以点A (4，1，9)，B (10，－1，6)，C (x ，4，3)为顶点的△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，则实数x 的值是( )A ．－2B ．2C ．6D ．2或6二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．已知点B 是A (2，－3，5)关于xOy 面的对称点，则|AB |等于 ______________．9．已知A (1，2，1)，B (2，2，2)．若点P 在z 轴上，且|PA |＝|PB |，则点P 的坐标为________．10．点B 是点A (3，－1，－4)关于y 轴的对称点，则线段AB 的长为____________．11．以原点为球心，5为半径的球面上的动点P 的坐标为P (x ，y ，z )，则x ，y ，z 满足关系式__________________．三、解答题(本大题共2小题，共25分)得分12．(12分)在yOz平面上求与点A(3，1，2)，B(4，－2，－2)，C(0，5，1)等距离的点P的坐标．13．(13分)如图L4­3­1所示，直三棱柱ABC -A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E，F分别是棱AB，B1C1，AC的中点，求DE，EF的长度．图L4­3­1得分14．(5分)图L4­3­2是一个正方体截下的一角P-ABC，其中|PA|＝a，|PB|＝b，|PC|＝c.建立如图L4­3­2所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是____________．图L4­3­215．(15分)在空间直角坐标系中，已知A(3，0，1)和B(1，0，－3)．试问：(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|?(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标；若不存在，请说明理由．4．3 空间直角坐标系4．3.1 空间直角坐标系 4．3.2 空间两点间的距离公式1．A [解析] 由公式得|AB |＝()－3－12＋()－3－12＋()－3－12＝ 4 3.2．B [解析] 点关于x 轴对称，横坐标不变，其他符号相反． 3．B [解析] 由空间两点间距离公式可得（x －1）2＋（2－1）2＋（1－2）2＝（x －2）2＋（2－1）2＋（1－1）2，解得x ＝1.4．C [解析] 画出图形(图略)即知CC 1的中点的坐标为⎝⎛⎭⎫1，1，12. 5．D [解析] 由于垂足在平面xOy 上，故横、纵坐标不变，竖坐标为0.6．C [解析] 设B (x ，y ，z )．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1＋x2＝0，2＋y2＝－1，3＋z 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－4，z ＝1，即B (－1，－4，1)．7．D [解析] 依题意有|AB |＝|AC |，即（10－4）2＋（－1－1）2＋（6－9）2＝（x －4）2＋（4－1）2＋（3－9）2， 即x 2－8x ＋12＝0，解得x ＝2或x ＝6.8．10 [解析] B 点坐标的(2，－3，－5)，∴|AB |＝（2－2）2＋（－3＋3）2＋（5＋5）2＝10.9．(0，0，3) [解析] 设点P (0，0，z )．由已知得12＋22＋（1－z ）2＝22＋22＋（2－z ）2，解得z ＝3，故点P 的坐标为(0，0，3)．10．10 [解析] 易知点B 的坐标为(－3，－1，4)．根据空间两点间距离公式，可得|AB |＝10. 11．x 2＋y 2＋z 2＝25 [解析] 由空间两点间距离公式可得x 2＋y 2＋z 2＝25.12．解：设P (0，y ，z )．由题意⎩⎪⎨⎪⎧|PA |＝|PC |，|PB |＝|PC |，所以⎩⎨⎧（0－3）2＋（y －1）2＋（z －2）2＝（0－0）2＋（y －5）2＋（z －1）2，（0－4）2＋（y ＋2）2＋（z ＋2）2＝（0－0）2＋（y －5）2＋（z －1）2，即⎩⎪⎨⎪⎧4y －z －6＝0，7y ＋3z －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，z ＝－2，所以点P 的坐标为(0，1，－2)． 13．解：以点C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．因为|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，所以C (0，0，0)，A (2，0，0)，B (0，2，0)，C 1(0，0，2)，B 1(0，2，2)． 由中点坐标公式，可得D (1，1，0)，E (0，1，2)，F (1，0，0)， 所以|DE |＝（1－0）2＋（1－1）2＋（0－2）2＝5， |EF |＝（0－1）2＋（1－0）2＋（2－0）2＝ 6.14.⎝⎛⎭⎫a 3，b 3，c 3 [解析] 由题知A (a ，0，0)，B (0，b ，0)，C (0，0，c )．由重心坐标公式得G 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 3，b 3，c 3.15．解：(1)假设在在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|.因为M在y轴上，所以可设M(0，y，0)．由|MA|＝|MB|，得32＋y2＋12＝12＋y2＋32，显然，此式对任意y∈R恒成立，即y轴上所有点都满足|MA|＝|MB|.(2)假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．由(1)可知，y轴上任一点都有|MA|＝|MB|，所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB是等边三角形．因为|MA|＝（3－0）2＋（0－y）2＋（1－02）＝10＋y2，|AB|＝（1－3）2＋（0－0）2＋（－3－1）2＝20，所以10＋y2＝20，解得y＝±10，故y轴上存在点M使△MAB等边，点M的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0)．。

章末检测（一) 空间向量与立体几何本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．已知四面体ABCD ,G 是CD 的中点,连接AG ,则AB ―→＋12(BD ―→＋BC ―→)＝( )A ．AG ―→B ．CG ―→C ．BC ―→D.12BC ―→ 解析：选A 在△BCD 中,因为点G 是CD 的中点,所以BG ―→＝12(BD ―→＋BC ―→),从而AB ―→＋12(BD ―→＋BC ―→)＝AB ―→＋BG ―→＝AG ―→.2．已知a ＝(－3,2,5),b ＝(1,5,－1),则a ·(a ＋3b )＝( ) A ．(0,34,10) B ．(－3,19,7) C ．44D ．23解析：选 C a ＋3b ＝(－3,2,5)＋3(1,5,－1)＝(0,17,2),则a ·(a ＋3b )＝(－3,2,5)·(0,17,2)＝0＋34＋10＝44.3．已知直线l 过定点A (2,3,1),且n ＝(0,1,1)为直线l 的一个方向向量,则点P (4,3,2)到直线l 的距离为( )A.322 B.22C.102D. 2解析：选A PA ―→＝(－2,0,－1),|PA ―→|＝5,PA ―→·n|n |＝－22,则点P 到直线l 的距离为|PA ―→|2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪PA ―→·n |n |2＝5－12＝322. 4．已知a ＝(2,1,－3),b ＝(－1,2,3),c ＝(7,6,λ),若a ,b ,c 三向量共面,则λ＝( ) A ．9 B ．－9 C ．－3D ．3解析：选B 由题意知c ＝xa ＋yb ,即(7,6,λ)＝x (2,1,－3)＋y (－1,2,3),∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，解得λ＝－9.5．在棱长为1的正四面体ABCD 中,E ,F 分别是BC ,AD 的中点,则AE ―→·CF ―→＝( ) A ．0 B.12 C ．－34D ．－12解析：选D 设AB ―→＝a ,AC ―→＝b ,AD ―→＝c , 则|a |＝|b |＝|c |＝1, 且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12,又AE ―→＝12(a ＋b ),CF ―→＝12c －b ,因此AE ―→·CF ―→＝12(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －b＝14a ·c －12a ·b ＋14b ·c －12b 2＝－12, 故选D.6．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( )A.83B.38C.43D.34解析：选C 建立如图所示的空间直角坐标系．则A (2,0,0),B 1(2,2,4),D 1(0,0,4),A 1(2,0,4),AB 1―→＝(0,2,4),AD 1―→＝(－2,0,4),AA 1―→＝(0,0,4)．设平面AB 1D 1的法向量n ＝(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧AB 1―→·n ＝0，AD 1―→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋4z ＝0，－2x ＋4z ＝0，令x ＝2,得n ＝(2,－2,1)．所以A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝|AA 1―→·n ||n |＝43.7．已知OA ―→＝(1,2,3),OB ―→＝(2,1,2),OP ―→＝(1,1,2),点Q 在直线OP 上运动,则当QA ―→·QB ―→取得最小值时,点Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，73 解析：选C 设点Q (x ,y ,z )．因为点Q 在OP ―→上,所以OQ ―→∥OP ―→,可设x ＝λ,0≤λ≤1,则y ＝λ,z ＝2λ,则Q (λ,λ,2λ),QA ―→＝(1－λ,2－λ,3－2λ),QB ―→＝(2－λ,1－λ,2－2λ),所以QA ―→·QB ―→＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎪⎫λ－432－23.故当λ＝43时,QA ―→·QB ―→取得最小值,此时点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.故选C.8.如图,在四棱锥P ­ABCD 中,侧面PAD 为正三角形,底面ABCD 为正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,M 为底面ABCD 内的一个动点,且满足MP ＝MC .则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为( )解析：选A 如图,以D 为原点,DA ,DC 所在的直线分别为x 轴,y 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设正方形ABCD 的边长为a ,M (x ,y,0),则0≤x ≤a,0≤y ≤a ,P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，3a 2,C (0,a,0),则|MC ―→|＝x 2＋a －y2,|MP ―→|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 22.由|MP ―→|＝|MC ―→|,得x ＝2y ,所以点M 在正方形ABCD 内的轨迹为一条线段y ＝12x (0≤x ≤a ),故选A.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9．有下列四个命题,其中正确的命题有( )A ．已知A ,B ,C ,D 是空间任意四点,则AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＋DA ―→＝0 B ．若两个非零向量AB ―→与CD ―→满足AB ―→＋CD ―→＝0,则AB ―→∥CD ―→C ．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量可以是共面向量D ．对于空间的任意一点O 和不共线的三点A ,B ,C ,若OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→(x ,y ,z ∈R),则P ,A ,B ,C 四点共面解析：选BC 对于A,已知A ,B ,C ,D 是空间任意四点,则AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＋DA ―→＝0,错误；对于B,若两个非零向量AB ―→与CD ―→满足AB ―→＋CD ―→＝0,则AB ―→∥CD ―→,正确；对于C,分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量可以是共面向量,正确；对于D,对于空间的任意一点O 和不共线的三点A ,B ,C ,若OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→(x ,y ,z ∈R),仅当x ＋y ＋z ＝1时P ,A ,B ,C 四点共面,故错误．10.如图所示,在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中,E 为AC 的中点．则( ) A ．〈A 1B ―→,B 1D 1―→〉＝120° B ．BD 1⊥AC C ．BD 1⊥EB 1 D ．∠BB 1E ＝45°解析：选ABC 以D 为坐标原点,分别以DA ,DC ,DD 1所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D ­xyz .设正方体的棱长为1,则B (1,1,0),D 1(0,0,1),A (1,0,0),C (0,1,0),E ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0,B 1(1,1,1),A 1(1,0,1)．BD 1―→＝(－1,－1,1),AC ―→＝(－1,1,0),∵BD 1―→·AC ―→＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0, ∴BD 1―→⊥AC ―→,∴BD 1⊥AC ,B 正确． EB 1―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1,∵BD 1―→·EB 1―→＝(－1)×12＋(－1)×12＋1×1＝0,∴BD 1―→⊥EB 1―→,∴BD 1⊥EB 1,C 正确． A 1B ―→＝(0,1,－1),B 1D 1―→＝(－1,－1,0), cos 〈A 1B ―→,B 1D 1―→〉＝－12·2＝－12,∴〈A 1B ―→,B 1D 1―→〉＝120°,A 正确． B 1E ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，－1,B 1B ―→＝(0,0,－1),cos 〈B 1E ―→,B 1B ―→〉＝114＋14＋1＝63≠22,D 不正确,故A 、B 、C 正确． 11.如图,PA ⊥平面ABCD ,正方形ABCD 边长为1,E 是CD 的中点,F 是AD 上一点,当BF ⊥PE 时,则( )A ．AF ∶FD ＝2∶1B ．AF ∶FD ＝1∶1C ．若PA ＝1,则异面直线PE 与BC 所成角的余弦值为23D ．若PA ＝1,则直线PE 与平面ABCD 所成角为30°解析：选BC 建立如图所示的空间直角坐标系,PA ＝a ,则B (1,0,0),C (1,1,0),E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0,P (0,0,a )．设点F 的坐标为(0,y,0), 则BF ―→＝(－1,y,0), PE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－a ,∵BF ⊥PE ,∴BF ―→·PE ―→＝0,解得y ＝12,即点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0, ∴F 为AD 的中点,∴AF ∶FD ＝1∶1,B 正确,A 不正确．若PA ＝1,则P (0,0,1),PE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－1,BC ―→＝(0,1,0),cos 〈PE ―→,BC ―→〉＝114＋1＋1＝23,故C 正确． AP ―→＝(0,0,1), cos 〈AP ―→,PE ―→〉＝－114＋1＋1＝－23,故D 不正确．12．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中,若F ,G 分别是棱AB ,CC 1的中点,则( ) A ．二面角A 1­AC 1­B 的大小为90° B ．FG ―→·AC ―→＝32C ．直线FG 与平面A 1ACC 1所成角的正弦值等于36D ．FG ⊥BC 1解析：选BC 如图,以D 为坐标原点,分别以DA ,DC ,DD 1所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系D ­xyz .设正方体的棱长为1,则易知平面ACC 1A 1的一个法向量为n ＝(1,1,0)．A (1,0,0),B (1,1,0),C (0,1,0),C 1(0,1,1),A 1(1,0,1)．∵F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0,G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12,∴FG ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，12, 设直线FG 与平面A 1ACC 1所成角为θ,则sin θ＝|cos 〈n ,FG ―→〉|＝|n ·FG ―→||n |·|FG ―→|＝122×62＝36,故C 正确；AB ―→＝(0,1,0),AC 1―→＝(－1,1,1),AA 1―→＝(0,0,1)． 设平面ABC 1的法向量u ＝(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧u ·AB ―→＝0，u ·AC 1―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，－x ＋y ＋z ＝0.令z ＝1,则u ＝(1,0,1)．同理可得平面A 1AC 1的一个法向量v ＝(－1,－1,0),cos 〈u ,v 〉＝u ·v |u ||v |＝－12,故A 错误；BC 1―→＝(－1,0,1),∴FG ―→·BC 1―→＝1＋12≠0.故D 错误；∵AC ―→＝(－1,1,0),∴FG ―→·AC ―→＝1＋12＝32,故B 正确．第Ⅱ卷(非选择题,共90分)三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分．把答案填在题中横线上) 13．若A (－1,2,3),B (2,－4,1),C (x ,－1,－3)是以BC 为斜边的直角三角形的三个顶点,则x ＝________.解析：由题意得AB ―→＝(3,－6,－2),AC ―→＝(x ＋1,－3,－6),∴AB ―→·AC ―→＝3(x ＋1)＋18＋12＝0,解得x ＝－11.答案：－1114.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1,CA ＝CC 1＝2CB ,则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为________．解析：不妨设CB ＝1,则B (0,0,1),A (2,0,0),C 1(0,2,0),B 1(0,2,1)．∴BC 1―→＝(0,2,－1),AB 1―→＝(－2,2,1)．cos 〈BC 1―→,AB 1―→〉＝BC 1―→·AB 1―→|BC 1―→|·|AB 1―→|＝0＋4－15×3＝55.答案：5515.如图,已知矩形ABCD ,AB ＝1,BC ＝a ,PA ⊥平面ABCD ,若在BC 上只有一个点Q 满足PQ ⊥QD ,则a 的值等于________．解析：如图,建立空间直角坐标系A ­xyz ,则D (0,a,0)． 设Q (1,t,0)(0≤t ≤a ),P (0,0,z )． 则PQ ―→＝(1,t ,－z ),QD ―→＝(－1,a －t,0)． 由PQ ⊥QD ,得－1＋t (a －t )＝0, 即t 2－at ＋1＝0.由题意知方程t 2－at ＋1＝0只一解． ∴Δ＝a 2－4＝0,a ＝2,这时t ＝1∈[0,a ]． 答案：216.如图,四面体ABCD 中,E ,F 分别为AB ,DC 上的点,且AE ＝BE ,CF ＝2DF ,设DA ―→＝a ,DB ―→＝b ,DC ―→＝c .(1)以{a ,b ,c }为基底表示FE ―→,则FE ―→＝________；(2)若∠ADB ＝∠BDC ＝∠ADC ＝60°,且|DA ―→|＝4,|DB ―→|＝3,|DC ―→|＝3,则|FE ―→|＝________.解析：(1)如图所示,连接DE .因为FE ―→＝FD ―→＋DE ―→,FD ―→＝－DF ―→＝－13DC ―→,DE ―→＝12(DA ―→＋DB ―→),所以FE ―→＝12a ＋12b －13c .(2)|FE ―→|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b －13c 2＝14a 2＋14b 2＋19c 2＋12a ·b －13a ·c －13b ·c ＝14×42＋14×32＋19×32＋12×4×3×12－13×4×3×12－13×3×3×12＝274.所以|FE ―→|＝332.答案：(1)12a ＋12b －13c (2)332四、解答题(本大题共6小题,共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a ＝(x,4,1),b ＝(－2,y ,－1),c ＝(3,－2,z ),a ∥b ,b ⊥c ,求：(1)a ,b ,c ；(2)a ＋c 与b ＋c 夹角的余弦值．解：(1)因为a ∥b ,所以x －2＝4y ＝1－1,解得x ＝2,y ＝－4,则a ＝(2,4,1),b ＝(－2,－4,－1)． 又b ⊥c ,所以b ·c ＝0,即－6＋8－z ＝0, 解得z ＝2,于是c ＝(3,－2,2)．(2)由(1)得a ＋c ＝(5,2,3),b ＋c ＝(1,－6,1), 设a ＋c 与b ＋c 夹角为θ, 因此cos θ＝5－12＋338×38＝－219.18．(本小题满分12分)在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中,AB ＝2,BC ＝AA 1＝1,求D 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值．解：建立如图所示的空间直角坐标系D ­xyz ,由于AB ＝2,BC ＝AA 1＝1,所以A 1(1,0,1),B (1,2,0),C 1(0,2,1),D 1(0,0,1),所以A 1C 1―→＝(－1,2,0),BC 1―→＝(－1,0,1),D 1C 1―→＝(0,2,0)．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ,y ,z ),则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1C 1―→·n ＝0，BC 1―→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，－x ＋z ＝0，令x ＝2,得y ＝1,z ＝2,则n ＝(2,1,2)．设D 1C 1与平面A 1BC 1所成角为θ,则sin θ＝|cos 〈D 1C 1―→,n 〉|＝|D 1C 1―→·n ||D 1C 1―→||n |＝22×3＝13,即D 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值为13. 19．(本小题满分12分)如图所示,已知四面体OABC 各边及对角线长都是1,D ,E 分别是OA ,BC 的中点,连接DE .(1)求证：DE 是OA 和BC 的公垂线； (2)求OA 和BC 间的距离． 解：(1)证明：∵E 为BC 的中点．∴DE ―→＝12(DB ―→＋DC ―→),DB ⊥OA ,得DB ―→·OA ―→＝0.同理可得DC ―→·OA ―→＝0.∴DE ―→·OA ―→＝12(DB ―→＋DC ―→)·OA ―→＝12DB ―→·OA ―→＋12DC ―→·OA ―→＝0,∴DE ⊥OA .同理可证DE ⊥BC .∴DE 是OA 和BC 的公垂线．(2)∵DE ―→＝OE ―→－OD ―→＝12OB ―→＋12OC ―→－12OA ―→,∴|DE ―→|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12OB ―→＋12OC ―→－12OA ―→2＝14(OB ―→2＋OC ―→2＋OA ―→2＋2OB ―→·OC ―→－2OB ―→·OA ―→－2OC ―→·OA ―→) ＝14×(12＋12＋12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°) ＝12, ∴|DE ―→|＝22,即OA 和BC 间的距离为22.20．(本小题满分12分)如图,在四棱锥P ­ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,PG ⊥平面ABCD ,垂足为G ,G 在AD 上,且PG ＝4,AG ＝13GD ,BG ⊥GC ,GB ＝GC ＝2,E 是BC 的中点．(1)求异面直线GE 与PC 所成角的余弦值； (2)若F 是棱PC 上一点,且DF ⊥GC ,求PF FC的值．解：(1)以G 点为原点,GB ,GC ,GP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B (2,0,0),C (0,2,0),P (0,0,4),故E (1,1,0),GE ―→＝(1,1,0),PC ―→＝(0,2,－4)．∵cos 〈GE ―→,PC ―→〉＝GE ―→·PC ―→|GE ―→||PC ―→|＝22×20＝1010,∴GE 与PC 所成角的余弦值为1010. (2)∵GD ―→＝34BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32，0,∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32，0.设F (0,y ,z ),则DF ―→＝(0,y ,z )－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，y －32，z .∵DF ―→⊥GC ―→,∴DF ―→·GC ―→＝0,即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，y －32，z ·(0,2,0)＝2y －3＝0,∴y ＝32.又点F 在PC 上,∴PF ―→＝λPC ―→,即⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，z －4＝λ(0,2,－4),∴z ＝1,故F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，1, ∴PF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，－3,FC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1,∴PFFC ＝35252＝3. 21．(本小题满分12分)如图,边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面,BC ＝22,M 为BC 的中点．(1)证明：AM ⊥PM ；(2)求二面角P ­AM ­D 的大小； (3)求点D 到平面AMP 的距离．解：(1)证明：以D 点为原点,分别以直线DA ,DC 为x 轴、y 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,依题意,可得D (0,0,0),P (0,1,3),C (0,2,0),A (22,0,0),M (2,2,0)．PM ―→＝(2,1,－3),AM ―→＝(－2,2,0), ∴PM ―→·AM ―→＝(2,1,－3)·(－2,2,0)＝0, 即PM ―→⊥AM ―→,∴AM ⊥PM .(2)设n ＝(x ,y ,z )为平面PAM 的法向量, 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PM ―→＝0，n ·AM ―→＝0，即⎩⎨⎧2x ＋y －3z ＝0，－2x ＋2y ＝0，取y ＝1,得n ＝(2,1,3)．取p ＝(0,0,1),显然p 为平面ABCD 的一个法向量,∴cos 〈n ,p 〉＝n ·p |n ||p |＝36＝22.结合图形可知,二面角P ­AM ­D 为45°.(3)设点D 到平面AMP 的距离为d ,由(2)可知n ＝(2,1,3)与平面PAM 垂直,则 d ＝|DA ―→·n ||n |＝|22，0，0·2，1，3|22＋12＋32＝263, 即点D 到平面AMP 的距离为263. 22．(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中,四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形,平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ,AB ＝3,BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；(2)求二面角A 1­BC 1­B 1的余弦值；(3)证明：在线段BC 1上存在点D ,使得AD ⊥A 1B ,并求BD BC 1的值． 解：(1)证明：因为四边形AA 1C 1C 为正方形,所以AA 1⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ,且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ,所以AA 1⊥平面ABC .(2)由(1)知AA 1⊥AC ,AA 1⊥AB .由题意知AB ＝3,BC ＝5,AC ＝4,所以AB ⊥AC .如图,以A 为坐标原点,建立空间直角坐标系,则B (0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4)．所以A 1B ―→＝(0,3,－4),A 1C 1―→＝(4,0,0),BB 1―→＝(0,0,4),BC 1―→＝(4,－3,4)．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ,y ,z ),则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B ―→＝0，n ·A 1C 1―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3y －4z ＝0，4x ＝0. 令z ＝3,则x ＝0,y ＝4, 所以平面A 1BC 1的一个法向量为n ＝(0,4,3)．设平面B 1BC 1的一个法向量为m ＝(a ,b ,c ),则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·BB 1―→＝0，m ·BC 1―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4c ＝0，4a －3b ＋4c ＝0.令a ＝3,得b ＝4,c ＝0,故平面B 1BC 1的一个法向量为m ＝(3,4,0)．所以cos 〈n ,m 〉＝n ·m |n ||m |＝1625. 由题意知二面角A 1­BC 1­B 1为锐角,所以二面角A 1­BC 1­B 1的余弦值为1625.(3)假设D (x 1,y 1,z 1)是线段BC 1上一点,且BD ―→＝λBC 1―→(λ∈[0,1]),所以(x 1,y 1－3,z 1)＝λ(4,－3,4)． 解得x 1＝4λ,y 1＝3－3λ,z 1＝4λ, 所以AD ―→＝(4λ,3－3λ,4λ)．由AD ―→·A 1B ―→＝0,得9－25λ＝0,解得λ＝925. 因为925∈[0,1],所以在线段BC 1上存在点D , 使得AD ⊥A 1B .此时BD BC 1＝925.。

第一章 1.4 1.4.1 第2课时A 级——基础过关练1．若直线l 的方向向量为(2,1,m ),平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2,且l ⊥α,则m 的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．－4【答案】C【解析】因为l ⊥α,所以直线l 的方向向量与平面α的法向量是共线向量,所以21＝112＝m2,解得m ＝4．2．若平面α,β的法向量分别为n 1＝(2,－3,5),n 2＝(－3,1,－4),则( ) A ．α∥βB ．α⊥βC ．α,β相交但不垂直D ．以上均不正确【答案】C【解析】因为n 1·n 2＝(2,－3,5)·(－3,1,－4)＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)＝－29≠0,所以n 1与n 2不垂直,显然n 1与n 2不平行,所以α,β相交但不垂直．3．已知点A (0,0,0),B (－1,0,－1),C (1,2,1),P (x ,y ,1),若PA ⊥平面ABC ,则点P 的坐标为( )A ．(1,0,－1)B ．(－1,0,1)C ．(1,－1,1)D ．(－1,0,0)【答案】B【解析】由已知得PA →＝(－x ,－y ,－1),AB →＝(－1,0,－1),AC →＝(1,2,1)．若PA ⊥平面ABC ,则⎩⎪⎨⎪⎧PA →·AB →＝0，PA →·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，－x －2y －1＝0，解得x ＝－1,y ＝0．故点P 的坐标为(－1,0,1)．故选B ． 4．在四棱锥P －ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,AB →＝(2,－1,－4),AD →＝(4,2,0),AP →＝(－1,2,－1),则直线PA 与底面ABCD 的关系是( )A ．平行B ．垂直C ．在平面内D ．成60°角【答案】B【解析】因为AB →＝(2,－1,－4),AD →＝(4,2,0),AP →＝(－1,2,－1),所以AP →·AB →＝(－1)×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0,AP →·AD →＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0．所以AP →⊥AB →,AP →⊥AD →,即AP ⊥AB ,AP ⊥AD ．又因为AB ∩AD ＝A ,所以直线PA ⊥平面ABCD ．5．已知直线l 1的方向向量a ＝(2,－2,x ),直线l 2的方向向量b ＝(2,y ,－2),若|a |＝3,且l 1⊥l 2,则x －y 的值是( )A ．－4或0B ．4或1C ．－4D ．0【答案】A【解析】因为|a |＝22＋（－2）2＋x 2＝3,所以x ＝±1．又因为l 1⊥l 2,所以a ⊥b,所以a ·b ＝2×2－2y －2x ＝0,所以y ＝2－x ．当x ＝1时,y ＝1；当x ＝－1时,y ＝3．所以x －y＝0或x －y ＝－4．6．设u ＝(－2,2,t ),v ＝(6,－4,5)分别是平面α,β的法向量,若α⊥β,则实数t 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】因为α⊥β,所以u ⊥v ,则u ·v ＝－12－8＋5t ＝0,解得t ＝4．故选D ． 7．(多选)四边形ABCD 是菱形,PA ⊥平面ABCD ,则下列等式成立的是( ) A ．PA →·AB →＝0 B ．PC →·BD →＝0 C ．PA →·CD →＝0 D ．PC →·AB →＝0 【答案】ABC【解析】因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA →·AB →＝0,PA →·CD →＝0成立．又因为PC →·BD →＝(PA →＋AB →＋AD →)·(AD →－AB →)＝PA →·(AD →－AB →)＋AD →2－AB →2＝0成立,PC →·AB →＝(PA →＋AB →＋AD →)·AB →＝PA →·AB →＋AB →2＋AD →·AB →≠0．故选项ABC 成立．8．已知单位向量a,b 的夹角为45°,k a －b 与a 垂直,则k ＝____________． 【答案】22【解析】由题意可得a ·b ＝1×1×cos45°＝22,由向量垂直的充分必要条件可得(k a －b )·a ＝0,即k ×a 2－a ·b ＝k －22＝0,解得k ＝22． 9．平面α与平面β的法向量分别是m,n ,直线l 的方向向量是a ,给出下列论断： ①m ∥n ⇒α∥β；②m ⊥n ⇒α⊥β； ③a ⊥m ⇒l ∥α；④a ∥m ⇒l ⊥α．其中正确的论断为________(把正确论断的序号填在横线上)． 【答案】①②④【解析】法向量平行的两个平面互相平行,①正确；法向量垂直的两个平面互相垂直,②正确；直线的方向向量与平面的法向量垂直时,直线与平面平行或在平面内,③错误；直线的方向向量与平面的法向量共线,则直线与平面垂直,④正确．10．如图,在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,M 为棱BB 1的中点,在棱DD 1上是否存在点P 使MD ⊥平面PAC?解：如图,建立空间直角坐标系,则A (1,0,0),C (0,1,0),D (0,0,0),M ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12．假设存在P (0,0,a )满足条件, 则PA →＝(1,0,－a ),AC →＝(－1,1,0), 设平面PAC 的法向量n ＝(x 1,y 1,z 1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧PA →·n ＝0，AC →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－az 1＝0，－x 1＋y 1＝0，令x 1＝1,得y 1＝1,z 1＝1a,所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，1a ．若MD ⊥平面PAC ,则MD →∥n ．因为MD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1，－12,所以a ＝2．又因为0≤a ≤1,所以不存在点P 使MD ⊥平面PAC ．B 级——能力提升练11．如图,在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AB ＝2,AA 1＝3,AD ＝22,P 为C 1D 1的中点,M 为BC 的中点,则△APM 的面积为( )A ． 2B ．3C ．2 2D ．2 3【答案】B【解析】以D 为原点,分别以DA ,DC ,DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ．依题意得D (0,0,0),P (0,1,3),C (0,2,0),A (22,0,0),M (2,2,0),所以PM →＝(2,1,－3),AM →＝(－2,2,0)．所以PM →·AM →＝(2,1,－3)·(－2,2,0)＝0,即PM →⊥AM →,所以AM ⊥PM ．又因为|AM →|＝（－2）2＋22＋02＝6,|PM →|＝22＋12＋（－3）2＝6．所以S △APM ＝12|AM →|·|PM →|＝12×6×6＝3．12．(多选)(2022年淄博期末)在空间直角坐标系Oxyz 中,平面α的法向量为n ＝(1,1,1),直线l 的方向向量为m ,则下列说法错误的是( )A ．若m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，1,则l ∥αB ．若m ＝(1,0,－1),则l ⊥αC ．平面α与所有坐标轴相交D ．原点O 一定不在平面α内 【答案】ABD【解析】对于A 选项,m ·n ＝－12－12＋1＝0,所以m ⊥n ,故l ∥α或l ⊂α,故A 错误；对于B 选项,m ·n ＝1＋0－1＝0,所以m ⊥n ,故l ∥α或l ⊂α,故B 错误；对于C 选项,由于法向量的横、纵、竖坐标均不取零,故平面不与坐标轴确定的平面平行,所以平面α与所有坐标轴相交,故C 正确；对于D 选项,由于法向量不能确定平面的具体位置,故不能确定原点O 与平面α的关系,故D 错误．故选ABD ．13．已知AB →＝(1,5,－2),BC →＝(3,1,z ),若AB →⊥BC →,BP →＝(x －1,y ,－3),且BP ⊥平面ABC ,则实数x ,y ,z 分别为________．【答案】407,－157,4【解析】由题意可知BP →⊥AB →,BP →⊥BC →,所以⎩⎪⎨⎪⎧AB →·BC →＝0，BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1×3＋5×1＋（－2）×z ＝0，（x －1）＋5y ＋（－3）×（－2）＝0，3（x －1）＋y －3z ＝0，解得x ＝407,y ＝－157,z ＝4．14．(2021年北京期中)如图,平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形,且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°．CD ＝CC 1＝1,则A 1C 与平面C 1BD ________(填“垂直”或“不垂直”)；A 1C 的长为________．【答案】垂直6【解析】设CB →＝a ,CD →＝b ,CC 1→＝c ,由题意可得CA 1→＝a ＋b ＋c ,则CA 1→·BD →＝CA 1→·(CD →－CB →)＝(a ＋b ＋c )·(b －a )＝b 2－a 2＋c ·b －c ·a ＝||c ·||b cos60°－||c ·||a cos60°＝0,∴CA 1⊥BD ,同理可证CA 1⊥BC 1,∵BD ∩BC 1＝B ,故CA 1⊥平面C 1BD ．∵∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°,CD ＝CC 1＝1,∴CD ＝CB ＝CC 1＝1,∴CA 1→2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋a ·c )＝1＋1＋1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋12＝6,∴CA 1→＝6,即A 1C 的长为6．15．如图,四边形ABCD 是边长为1的正方形,MD ⊥平面ABCD ,NB ⊥平面ABCD ,且MD ＝NB ＝1,E 为BC 的中点．在线段AN 上是否存在点S ,使得ES ⊥平面AMN?解：如图,以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系．依题意,易得A (1,0,0),M (0,0,1),N (1,1,1),E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0． 假设在线段AN 上存在点S ,使得ES ⊥平面AMN ． 因为AN →＝(0,1,1),可设AS →＝λAN →＝(0,λ,λ)． 又因为EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，0,所以ES →＝EA →＋AS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，λ－1，λ．由ES ⊥平面AMN ,得⎩⎪⎨⎪⎧ES →·AM →＝0，ES →·AN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12＋λ＝0，（λ－1）＋λ＝0，故λ＝12,此时AS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12,|AS →|＝22．经检验,当AS ＝22时,ES ⊥平面AMN ． 故线段AN 上存在点S ,使得ES ⊥平面AMN ．。

第四章 4.3 空间直角坐标系A 级 基础巩固一、选择题1．下列命题中错误的是( A )A ．在空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )B ．在空间直角坐标系中，在yOz 平面上的点的坐标一定是(0，b ，c )C ．在空间直角坐标系中，在z 轴上的点的坐标可记作(0,0，c )D ．在空间直角坐标系中，在xOz 平面上的点的坐标是(a,0，c ) [解析] 空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标是(a,0,0)． 2．在空间直角坐标系中，点M (3,0,2)位于( C ) A ．y 轴上B ．x 轴上C ．xOz 平面内D ．yOz 平面内[解析] 由x ＝3，y ＝0，z ＝2可知点M 位于xOz 平面内．3．(2016～2017·襄阳高一检测)若已知点M (3,4,1)，点N (0,0,1)，则线段MN 的长为( A )A ．5B ．0C ．3D ．1[解析] |MN |＝3－02＋4－02＋1－12＝5.4．在空间直角坐标系中，已知A (1，－2,1)，B (2,2,2)，点P 在z 轴上，且满足|PA |＝|PB |，则P 点坐标为( C )A ．(3,0,0)B ．(0,3,0)C ．(0,0,3)D ．(0,0，－3)[解析] 设P (0,0，z )，则有12＋－22＋z －12＝22＋22＋z －22，解得z＝3.5．点P (－1,2,3)关于xOz 平面对称的点的坐标是( B ) A ．(1,2,3)B ．(－1，－2,3)C ．(－1,2，－3)D ．(1，－2，－3)[解析] 点P (－1,2,3)关于xOz 平面对称的点的坐标是(－1，－2,3)，故选B ． 6．已知点A (－3,1,5)与点B (4,3,1)，则AB 的中点坐标是( B ) A ．(72，1，－2) B ．(12，2,3)C ．(－12,3,5)D ．(13，43，2)二、填空题7．如图所示，在长方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，|OA |＝2，|AB |＝3，|AA 1|＝2，M 是OB 1与BO 1的交点，则M 点的坐标是__ (1，32，1) __.[解析] 由长方体性质可知，M 为OB 1中点，而B 1(2,3,2)，故M (1，32，1)．8．在△ABC 中，已知A (－1,2,3)、B (2，－2,3)、C (12，52，3)，则AB 边上的中线CD的长是__52__.[解析] AB 中点D 坐标为(12，0,3)，|CD |＝12－122＋52－02＋3－32＝52. 三、解答题9．已知点A (x,5－x,2x －1)、B (1，x ＋2,2－x )，求|AB |的最小值. [解析] ∵|AB |＝x －12＋3－2x2＋3x －32＝14x 2－32x ＋19＝14x －872＋57≥357， 当x ＝87时，|AB |取最小值357.10．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，D 1D ＝3，点M 是B 1C 1的中点，点N 是AB 的中点．建立如图所示的空间直角坐标系.(1)写出点D 、N 、M 的坐标； (2)求线段MD 、MN 的长度．[解析] (1)因为D 是原点，则D (0,0,0)．由AB ＝BC ＝2，D 1D ＝3，得A (2,0,0)、B (2,2,0)、C (0,2,0)、B 1(2,2,3)、C 1(0,2,3)． ∵N 是AB 的中点，∴N (2,1,0)． 同理可得M (1,2,3)． (2)由两点间距离公式，得 |MD |＝1－02＋2－02＋3－02＝14， |MN |＝1－22＋2－12＋3－02＝11.B 级 素养提升一、选择题1．(2016·某某高一检测)空间直角坐标系中，x 轴上到点P (4,1,2)的距离为30的点有( A )A ．2个B ．1个C ．0个D ．无数个[解析] 设x 轴上满足条件的点为B (x,0,0)，则由|PB |＝30， 得x －42＋0－12＋0－22＝30.解之得x ＝－1或9. 故选A ．2．正方体不在同一面上的两顶点A (－1,2，－1)、B (3，－2,3)，则正方体的体积是( C )A ．16B ．192C ．64D ．48[解析] |AB |＝3＋12＋－2－22＋3＋12＝43，∴正方体的棱长为433＝4.∴正方体的体积为43＝64.3．已知△ABC 的顶点坐标分别为A (1，－2,11)、B (4,2,3)、C (6，－1,4)，则△ABC 是( A )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形[解析] 由两点间距离公式得|AB |＝89，|AC |＝75，|BC |＝14，满足|AB |2＝|AC |2＋|BC |2.4．△ABC 的顶点坐标是A (3,1,1)，B (－5,2,1)，C (－83，2,3)，则它在yOz 平面上射影图形的面积是( D )A ．4B ．3C ．2D ．1[解析] △ABC 的顶点在yOz 平面上的射影点的坐标分别为A ′(0,1,1)、B ′(0,2,1)、C ′(0,2,3)，△ABC 在yOz 平面上的射影是一个直角三角形A ′B ′C ′，容易求出它的面积为1.二、填空题5．已知P (32，52，z )到直线AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)、B (－2,4,3)，则z＝__0或－4__.[解析] 利用中点坐标公式可得AB 中点C (12，92，－2)，因为|PC |＝3，所以32－122＋52－922＋[z －－2]2＝3，解得z ＝0或z ＝－4.6．在空间直角坐标系中，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A (3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为__2393__.[解析] |AM |＝3－02＋－1－12＋2－22＝13，∴对角线|AC 1|＝213， 设棱长x ，则3x 2＝(213)2，∴x ＝2393.C 级 能力拔高1.如图所示，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，过点B 1作B 1E ⊥BD 1于点E ，求A 、E 两点之间的距离.[解析] 根据题意，可得A (a,0,0)、B (a ，a,0)、D 1(0,0，a )、B 1(a ，a ，a )． 过点E 作EF ⊥BD 于F ，如图所示， 则在Rt △BB 1D 1中，|BB 1|＝a ，|BD 1|＝3a ，|B 1D 1|＝2a ， 所以|B 1E |＝a ·2a 3a＝6a3，所以Rt △BEB 1中，|BE |＝33a 由Rt △BEF ∽Rt △BD 1D ，得|BF |＝23a ，|EF |＝a 3，所以点F 的坐标为(2a 3，2a3，0)， 则点E 的坐标为(2a 3，2a 3，a3)．由两点间的距离公式，得 |AE |＝a －2a 32＋0－2a32＋0－a32＝63a ， 所以A 、E 两点之间的距离是63a . 2．如图所示，V －ABCD 是正棱锥，O 为底面中心，E 、F 分别为BC 、CD 的中点．已知|AB |＝2，|VO |＝3，建立如右所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标.[解析] ∵底面是边长为2的正方形， ∴|CE |＝|CF |＝1. ∵O 点是坐标原点，∴C (1,1,0)，同样的方法可以确定B (1，－1,0)、A (－1，－1，0)、D (－1,1,0)． ∵V 在z 轴上，∴V (0,0,3)．。

【关键字】数学4.3空间直角坐标系第1题. 在空间直角坐标系中，点，过点作平面的垂线，则的坐标为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｄ．第2题. 已知点，则点关于原点的对称点的坐标为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｃ．第3题. 在平面内的直线上确定一点，使到点的距离最小．答案：解：由已知，可设，则．．第4题. 求到两定点，距离相等的点的坐标满足的条件．答案：解：设为满足条件的任一点，则由题意，得，．，即为所求点所满足的条件．第5题. 在轴上与点和点等距离的点的坐标为．答案：第6题. 已知，，则的最小值为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｃ．第7题. 已知三角形的三个顶点，，．则（1）过点的中线长为；（2）过点的中线长为；（3）过点的中线长为．答案：；；第8题. 已知，，，，则长为．答案：．第9题. 给定空间直角坐标系，在轴上找一点，使它与点的距离为．答案：解：设点的坐标是，由题意，，即，．解得或．点坐标为或第10题. 下列各点不在曲线上的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｄ．第11题. 坐标原点到下列各点的距离最小的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ａ．第12题. 已知点坐标为，，点在轴上，且，则点坐标为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ａ．第13题. 在空间直角坐标系中，的所有点构成的图形是．答案：过点且与轴笔直的平面第14题. 点到平面的距离为 ．答案：第15题. 求证：以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形．答案：证明：，，，且．为等腰直角三角形．第16题. 已知，，，，则 PC 长为 ． 答案：773． 第17题. 如图，长方体OABC DABC -''''中，3OA =，4OC =，3OD ='，AC ''于BD ''相交于点P ．分别写出C ，B '，P 的坐标．答案：C ，B '，P 各点的坐标分别是(0,4,0)，(3,4,3)，3(,2,3)2．第18题. 在xOy 平面内的直线1x y +=上确定一点M ；使M 到点(6,5,1)N 的距离最小． 答案：解：设点(,1,0)M x x -则 min 51MN =∴．第19题. 试解释方程222(12)(3)(5)36x y z -+++-=的几何意义．答案：该方程几何意义是：在空间中以点(12,3,5)-为球心，球半径长为６的球面． 第20题. 点(203)，，在空间直角坐标系中的位置是在（ ）Ａ．y 轴上 Ｂ．xOy 平面上 Ｃ．xOz 平面上 Ｄ．第一卦限内答案：Ｃ．第21题. 点(321)P --，，关于平面xOy 的对称点是 ，关于平面yOz 的对称点是 ，关于平面zOx 的对称点是 ，关于x 轴的对称点是 ，关于y 轴的对称点是 ，关于z 轴的对称点是 ．答案：(321)-，，，(321)-，，，(321)---，，，(321)-，，，(321)，，，(321)--，，． 第22题. 点(435)M -，，到原点的距离d = ，到z 轴的距离d = ． 答案：52，5．第23题. 已知两点1(102)M -，，，2(031)M -，，，此两点间的距离为（ ） Ａ．19 Ｂ．11 Ｃ．19 Ｄ．11答案：Ａ．第24题. 若向量a 在y 轴上的坐标为0，其他坐标不为0，那么与向量a 平行的坐标平面是（ ）Ａ．xOy 平面Ｂ．xOz 平面 Ｃ．yOz 平面 Ｄ．以上都有可能 答案：Ｂ．第25题. 在空间直角坐标系中，在Ox 轴上的点1P 的坐标特点为 ，在Oy 轴上的点2P 的坐标特点为 ，在Oz 轴上的点3P 的坐标特点为 ，在xOy 平面上的点4P 的坐标特点为 ，在yOz 平面上的点5P 的坐标特点为 ，在xOz 平面上的点6P 的坐标特点为 ．答案：1(00)P x，，，2(00)P y ，，，3(00)P z ，，，4(0)P x y ，，，5(0)P y z ，，，6(0)P x z ，，． 第26题. 已知空间三点的坐标为(152)A -，，，(241)B ，，，(32)C p q +，，，若AB C ，，三点共线，则p = ，q = ．答案：3，2第27题. 已知点P 的坐标为(345)，，，试在空间直角坐标系中作出点P ．答案：解：由(345)P ，，可知点P 在Ox 轴上的射影为(300)A ，，，在Oy 轴上射影为(040)B ，，，以OA OB ，为邻边的矩形OACB 的顶点C 是点P 在xOy 坐标平面上的射影，(340)C ，，． 过C 作直线垂直于xOy 坐标平面，并在此直线的xOy 平面上方截取5个单位，得到的就是点P ．4.3空间直角坐标系第1题. 在空间直角坐标系中，点23)P ，，，过点P 作平面xOy 的垂线PQ ，则Q 的坐标为（ ）Ａ．(02，， Ｂ．(023)，， Ｃ．(103)， Ｄ．(12，，答案：Ｄ．第2题. 已知点(314)A -，，，则点A 关于原点的对称点的坐标为（ ）Ａ．(134)--，，Ｂ．(413)--，， Ｃ．(314)--，，Ｄ．(413)-，， 答案：Ｃ．第3题. 在xOy 平面内的直线1x y +=上确定一点M ，使M 到点(651)N ，，的距离最小． 答案：解：由已知，可设(10)M x x -，，， 则222(6)(15)(01)MN x x =-+--+-22(1)51x =-+．min 51MN =∴．第4题. 求到两定点(230)A ，，，(510)B ，，距离相等的点的坐标()x y z ，，满足的条件． 答案：解：设()P x y z ，，为满足条件的任一点，则由题意，得222(2)(3)(0)PA x y z =-+-+-，222(5)(1)(0)PB x y z =-+-+-． PA PB =∵，64130x y --=∴即为所求点所满足的条件．第5题. 在z 轴上与点(417)A -，，和点(352)B -，，等距离的点C 的坐标为 ． 答案：14(00)9，，第6题. 已知(11)A t t t --，，，(2)B t t ，，，则AB 的最小值为（ ） Ａ．55 Ｂ．555 Ｃ．355 Ｄ．115答案：Ｃ．第7题. 已知三角形的三个顶点(214)A -，，，(326)B -，，，(502)C ，，．则（1）过A 点的中线长为 ；（2）过B 点的中线长为 ；（3）过C 点的中线长为答案：211；5142；622第8题. 已知(121)A ，，，(134)B -，，，(111)C ，，，2AP PB =，则PC 长为 ．答案：773． 第9题. 给定空间直角坐标系，在x 轴上找一点P ，使它与点0(412)P ，，的距离为30． 答案：解：设点P 的坐标是(00)x ，，，由题意，030P P =，即222(4)1230x -++=， 2(4)25x -=∴．解得9x =或1x =-．∴点P 坐标为(900)，，或(100)-，，． 第10题. 下列各点不在曲线22212x y z ++=上的是（ ）Ａ．(222)-，， Ｂ．(0222)，， Ｃ．(222)-，， Ｄ．(134)，， 答案：Ｄ．第11题. 坐标原点到下列各点的距离最小的是（ ）Ａ．(111)，，Ｂ．(122)，， Ｃ．(235)-，， Ｄ．(304)，，答案：Ａ．第12题. 已知A 点坐标为(111)，，，(333)B ，，，点P 在x 轴上，且PA PB =，则P 点坐标为（ ）Ａ．(600)，，Ｂ．(601)，， Ｃ．(006)，， Ｄ．(060)，， 答案：Ａ．第13题. 在空间直角坐标系O xyz -中，1z =的所有点构成的图形是 ． 答案：过点(001)，，且与z 轴垂直的平面第14题. 点(235)P ，，到平面xOy 的距离为 ．答案：5第15题. 求证：以(419)A ---，，，(1016)B --，，，(243)C ---，，为顶点的三角形是等腰直角三角形．答案：证明：222()(410)(11)(96)7d A B =-++--+-+=，， 222()(42)(14)(93)7d A C =-++-++-+=，，222()(102)(14)(63)72d B C =-++++-+=，，∵222()()()d A B d A C d B C +=，，，且()()d A B d A C =，，．ABC ∴△为等腰直角三角形第16题. 已知(1,2,1)A ，(1,3,4)B -，(1,1,1)C ，2AP PB =，则 PC 长为 ． 答案：773． 第17题. 如图，长方体OABC DABC -''''中，3OA =，4OC =，3OD ='，AC ''于BD ''相交于点P ．分别写出C ，B '，P 的坐标．答案：C ，B '，P 各点的坐标分别是(0,4,0)，(3,4,3)，3(,2,3)2．第18题. 在xOy 平面内的直线1x y +=上确定一点M ；使M 到点(6,5,1)N 的距离最小． 答案：解：设点(,1,0)M x x -则 min 51MN =∴．第19题. 试解释方程222(12)(3)(5)36x y z -+++-=的几何意义．答案：该方程几何意义是：在空间中以点(12,3,5)-为球心，球半径长为６的球面． 第20题. 点(203)，，在空间直角坐标系中的位置是在（ ）Ａ．y 轴上 Ｂ．xOy 平面上 Ｃ．xOz 平面上 Ｄ．第一卦限内 答案：Ｃ．第21题. 点(321)P --，，关于平面xOy 的对称点是 ，关于平面yOz 的对称点是 ，关于平面zOx 的对称点是 ，关于x 轴的对称点是 ，关于y 轴的对称点是 ，关于z 轴的对称点是 ．答案：(321)-，，，(321)-，，，(321)---，，，(321)-，，，(321)，，，(321)--，，． 第22题. 点(435)M -，，到原点的距离d = ，到z 轴的距离d = ．答案：525．第23题. 已知两点1(102)M -，，，2(031)M -，，，此两点间的距离为（ ） 19 11 Ｃ．19 Ｄ．11答案：Ａ．第24题. 若向量a 在y 轴上的坐标为0，其他坐标不为0，那么与向量a 平行的坐标平面是（ ）Ａ．xOy 平面Ｂ．xOz 平面 Ｃ．yOz 平面 Ｄ．以上都有可能 答案：Ｂ．第25题. 在空间直角坐标系中，在Ox 轴上的点1P 的坐标特点为 ，在Oy 轴上的点2P 的坐标特点为 ，在Oz 轴上的点3P 的坐标特点为 ，在xOy 平面上的点4P 的坐标特点为 ，在yOz 平面上的点5P 的坐标特点为 ，在xOz 平面上的点6P 的坐标特点为 ．答案：1(00)P x，，，2(00)P y ，，，3(00)P z ，，，4(0)P x y ，，，5(0)P y z ，，，6(0)P x z ，，． 第26题. 已知空间三点的坐标为(152)A -，，，(241)B ，，，(32)C p q +，，，若A B C ，，三点共线，则p = ，q =答案：3，2第27题. 已知点P 的坐标为(345)，，，试在空间直角坐标系中作出点P ．答案：解：由(345)P ，，可知点P 在Ox 轴上的射影为(300)A ，，，在Oy 轴上射影为(040)B ，，，以OA OB ，为邻边的矩形OACB 的顶点C 是点P 在xOy 坐标平面上的射影，(340)C ，，． 过C 作直线垂直于xOy 坐标平面，并在此直线的xOy 平面上方截取5个单位， 得到的就是点P ．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

心尺引州丑巴孔市中潭学校22空间直角坐标系 课后训练
1．点)432( ，，P 在坐标平面xOz 内的射影的坐标是 ．
2．在空间直角坐标系中，点)534(- ，，M 到坐标平面xOy ，xOz ，
yOz 的距离 分别为 ．
3．点)521( - ，，P 关于坐标平面xOy 的对称点的坐标为 ； 点)312( -，，M 关于坐标原点的对称点的坐标为 ；
4．在空间直角坐标系xyz O -中，有不共线的三点坐标)120( ，，M ，)023( -，，N ，
)321( ，，P ，由这三点确定的平面内的点坐标满足的条件是
； 5．在长方体////D C B A ABCD -中，6=AB ，4=AD ，7/=AA ，以这个长方体的顶点B 为
坐标原点，射线BA ，BC ，/BB 分别为x 轴，
y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求
长方体各个顶点的坐标．
6．在空间直角坐标系中标出以下各点： )420( ，，A ； )501( ，，B ；
)020( ，，C ； )431( ，，D ． 7．如图：在长方体////C B A D
OABC -中，3=OA ，4=OC ，3/=OD ，//C A 和//D B 交于点P ，分别写出点C ，/B ，P 的坐标．。

§4.3 空间直角坐标系 4.3.1 空间直角坐标系一、基础过关1．点P (5,0，－2)在空间直角坐标系中的位置是( )A ．y 轴上B ．xOy 平面上C ．xOz 平面上D ．x 轴上2．设y ∈R ，则点P (1，y,2)的集合为( )A ．垂直于xOz 平面的一条直线B ．平行于xOz 平面的一条直线C ．垂直于y 轴的一个平面D ．平行于y 轴的一个平面3．已知空间直角坐标系中有一点M (x ，y ，z )满足x >y >z ，且x ＋y ＋z ＝0，则M 点的位置是( )A ．一定在xOy 平面上B ．一定在yOz 平面上C ．一定在xOz 平面上D ．可能在xOz 平面上4．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)关于yOz 平面的对称点的坐标为( )A ．(－3,4,5)B ．(－3，－4,5)C ．(3，－4，－5)D ．(－3,4，－5)5．在空间直角坐标系中，点A (1,2，－3)关于x 轴的对称点为________． 6．点P (－3,2,1)关于Q (1,2，－3)的对称点M 的坐标是________．7．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E 、F 、G 分别是DD 1、BD 、BB 1的中点，且正方体棱长为1.请建立适当坐标系，写出正方体各顶点及E 、F 、G 的坐标． 8. 如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对称中心为坐标原点O ，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A (－2，－3， －1)，求其它7个顶点的坐标． 二、能力提升9．在空间直角坐标系中，P (2,3,4)、Q (－2，－3，－4)两点的位置关系是 ( )A ．关于x 轴对称B ．关于yOz 平面对称C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对10．如图，在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，|BP |＝13|BD ′|，则P 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，13 11．连接平面上两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的线段P 1P 2的中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，那么，已知空间中两点P 1(x 1，y 1，z 1)、P 2(x 2，y 2，z 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为_________． 12. 如图所示，AF 、DE 分别是⊙O 、⊙O 1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8.BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE ∥AD ，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A 、B 、C 、D 、E 、F 的坐标．三、探究与拓展13. 如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2.试建立适当的空间直角坐标系，求出A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标．答案1．C 2．A 3．D 4．A 5.(1，－2,3) 6.(5,2，－7)7．解 如图所示，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，F ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，G ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12.8．解 长方体的对称中心为坐标原点O ，因为顶点坐标A (－2，－3，－1)，所以A 关于原点的对称点C 1的坐标为(2,3,1)． 又因为C 与C 1关于坐标平面xOy 对称， 所以C (2,3，－1)．而A 1与C 关于原点对称，所以A 1(－2，－3,1)．又因为C 与D 关于坐标平面xOz 对称，所以D (2，－3，－1)． 因为B 与C 关于坐标平面yOz 对称，所以B (－2,3，－1)．B 1与B 关于坐标平面xOy 对称，所以B 1(－2,3,1)．同理D 1(2，－3,1)．综上可知长方体的其它7个顶点坐标分别为：C 1(2,3,1)，C (2,3，－1)，A 1(－2，－3,1)，B (－2,3，－1)，B 1(－2,3,1)，D (2，－3，－1)，D 1(2，－3,1)．9．C 10．D11.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22 12．解 因为AD 与两圆所在的平面均垂直，OE ∥AD ，所以OE 与两圆所在的平面也都垂直．又因为AB ＝AC ＝6，BC 是圆O 的直径，所以△BAC 为等腰直角三角形且AF ⊥BC ，BC ＝6 2. 以O 为原点，OB 、OF 、OE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则原点O 及A 、B 、C 、D 、E 、F 各个点的坐标分别为O (0,0,0)、A (0，－32，0)、B (32，0,0)、C (－32，0,0)、D (0，－32，8)、E (0,0,8)、F (0,32，0)．13．解 如图所示，以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，AP 所在直线为z 轴，过点A 与xAz 平面垂直的直线为y 轴，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是A (0,0,0)，B (1,0,0)， C (32，32，0)，D (12，32，0)，P (0,0,2)，3 2，0)．E(1，。