人教A版高中数学专题36基本不等式 名师精编单元测试

一、选择题1．(2016·青岛模拟)设a ，b ∈R ，已知命题p ：a 2＋b 2≤2ab ；命题q ：⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22，则p是q 成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若正实数x ，y 满足x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是( )A ．2B ．3C ．4D ．53．(2016·泰安模拟)若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B.1a ＋1b ＞2ab C.b a ＋ab≥2D ．a 2＋b 2＞2ab4．(2016·浙江镇海中学测试三)已知2a ＋b ＋2ab ＝3，a >0，b >0，则2a ＋b 的( ) A ．最大值为2 B ．最大值为3－ 2 C ．最小值为2D ．最小值为3－ 25．若a ＞b ＞0，则a 2＋1b (a －b )的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．56．已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2，若对任意x ∈[1,2]及y ∈[2,3]，该不等式恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．－359≤a ≤－1B ．－3≤a ≤－1C ．a ≥－3D ．a ≥－17．若直线ax ＋by －1＝0(a ＞0，b ＞0)过曲线y ＝1＋sin πx (0＜x ＜2)的对称中心，则1a ＋2b 的最小值为( ) A.2＋1B ．4 2C ．3＋2 2D ．68．(2016·郑州第一次质量预测)已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且a·c ＝b·c ＝1，则对任意的正实数t ，|c ＋t a ＋1t b |的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2二、填空题9．(2016·绍兴质检)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则x －y 的取值范围为________，1x ＋xy 的最小值为________．10．(2016·浙江镇海中学测试七)已知正数x ，y 满足2x ＋y 2＋12x ＋2y ＝5，则4x ＋y 的最小值是________．11．设正实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋a8b的最小值为________．12．(2016·嘉兴高三期末)已知实数x ，y 满足x >y >0且x ＋y ＝1，则2x ＋3y ＋1x －y 的最小值是________．答案解析1．B [当p 成立的时候，q 一定成立，但当q 成立的时候，p 不一定成立，所以p 是q 的充分不必要条件．]2．C [因为xy ≤(x ＋y )24，x ＞0，y ＞0，所以1xy ≥4(x ＋y )2，x ＋y xy ≥4x ＋y ，所以x ＋y ＋4x ＋y ≤5.设x ＋y ＝t ，即t ＋4t ≤5，得到t 2－5t ＋4≤0，解得1≤t ≤4，所以x ＋y 的最大值是4.]3．C [因为ab ＞0，所以b a ＞0，a b ＞0，即b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2(当且仅当a ＝b 时等号成立)，所以选C.]4．C [∵a >0，b >0，∴3－(2a ＋b )＝2ab ≤(2a ＋b 2)2，即(2a ＋b )2＋4(2a ＋b )－12≥0，∴2a ＋b ≥2，故选C.] 5．C [原式＝[(a －b )＋b ]2＋1b (a －b )≥[2(a －b )b ]2＋1b (a －b )＝4(a －b )b ＋1b (a －b )≥24(a －b )b ·1b (a －b )＝4(当且仅当a ＝2，b ＝22时取等号)．]6．D [由xy ≤ax 2＋2y 2，得a ≥y x －2(y x )2对任意x ∈[1,2]及y ∈[2,3]恒成立．设yx ＝t ，f (t )＝－2t 2＋t,1≤t ≤3，当t ＝1时，－2t 2＋t 取得最大值－1，所以a ≥－1.] 7．C [画出y ＝1＋sin πx (0＜x ＜2)的图象(图略)， 知此曲线的对称中心为(1,1)， 则直线ax ＋by －1＝0过点(1,1)， 所以a ＋b ＝1， 又a ＞0，b ＞0， 所以1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝1＋b a ＋2ab＋2≥3＋22，当且仅当b a ＝2ab，即a ＝2－1，b ＝2－2时取等号． 即(1a ＋2b)min ＝3＋2 2.故选C.] 8．B [∵a ，b 是互相垂直的单位向量， 设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )． 由a·c ＝b·c ＝1，得x ＝y ＝1， 即c ＝(1,1)，∴c ＋t a ＋1t b ＝(1,1)＋(t,0)＋(0，1t )＝(1＋t,1＋1t )，∴|c ＋t a ＋1t b |＝ (1＋t )2＋(1＋1t )2＝2＋2(t ＋1t )＋t 2＋1t2，∵t ＞0，∴t ＋1t ≥2，t 2＋1t 2≥2，当且仅当t ＝1时取等号， ∴|c ＋t a ＋1t b |≥2＋4＋2＝22，故|c ＋t a ＋1t b |的最小值为2 2.]9．(－1,1) 3解析 设y ＝1－x ，则x －y ＝x －(1－x )＝2x －1,0<x <1，所以x －y ∈(－1,1)；1x ＋x y ＝x ＋y x ＋xy ＝y x ＋x y ＋1≥3，当且仅当y x ＝x y ，即x ＝y ＝12时取得等号． 10．2解析 由题意知，5＝2x ＋y 2＋12x ＋2y ＝4x ＋y 2＋(12x ＋2y)·(4x ＋y )4x ＋y ＝4x ＋y 2＋4＋y 2x ＋8xy 4x ＋y ≥4x ＋y 2＋84x ＋y(当且仅当y ＝4x 时取“＝”)，所以(4x ＋y )2－10(4x ＋y )＋16≤0，即(4x ＋y －8)·(4x ＋y －2)≤0，所以2≤4x ＋y ≤8，故4x ＋y 的最小值为2. 11．1解析 依题意得1a ＋a 8b ＝a ＋b 2a ＋a 8b ＝12＋b 2a ＋a 8b ≥12＋2b 2a ×a8b＝1，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b 2a ＝a 8b ，a ＋b ＝2，即a ＝2b ＝43时取等号，因此1a ＋a8b 的最小值是1.12.3＋222解析 因为x >y >0，x ＋y ＝1， 所以2x ＋3y ＋1x －y ＝12(2x ＋3y ＋1x －y )·[(x ＋3y )＋(x －y )]＝12×[3＋2(x －y )x ＋3y ＋x ＋3y x －y]≥12[3＋22(x －y )x ＋3y ·x ＋3y x －y]＝3＋222，当且仅当2(x －y )x ＋3y ＝x ＋3yx －y，即x ＝22－12，y ＝3－222时取等号，故2x ＋3y ＋1x －y 的最小值是3＋222.。

高中数学第三章不等式3.4.1基本不等式练习（含解析）新人教A版必修5知识点一 利用基本不等式比较大小1．下列不等式中正确的是( ) A ．a ＋4a≥4 B．a 2＋b 2≥4abC ．ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 3答案 D解析 当a ＜0时，则a ＋4a≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2＜4ab ，故B 错；a＝4，b ＝16，则ab ＜a ＋b2，故C 错；由基本不等式可知D 正确．2．已知两个不相等的正数a ，b ，设P ＝a ＋b2，Q ＝ab ，M ＝a 2＋b 22，则有( )A ．P ＞Q ＞MB ．Q ＞P ＞MC ．P ＞M ＞QD ．M ＞P ＞Q 答案 D解析 由基本不等式得P ＞Q ，又M 2－P 2＝a －b24＞0，得M ＞P ，故M ＞P ＞Q ．故选D ．3．已知正数x ，y 满足xy ＝36，则x ＋y 与12的大小关系是________． 答案 x ＋y ≥12解析 由x ，y 为正数，得x ＋y ≥2xy ＝12．知识点二 利用基本不等式证明不等式4．(1)已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c ．(2)已知a ，b ，c 为不全相等的正实数．求证：a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca ．证明 (1)∵a ，b ，c ∈R ＋，a 2b ，b 2c ，c 2a均大于0，又a 2b ＋b ≥2a 2b ·b ＝2a ， b 2c ＋c ≥2b 2c·c ＝2b ， c 2a＋a ≥2c 2a·a ＝2c ， 三式相加得a 2b ＋b ＋b 2c ＋c ＋c 2a ＋a ≥2a ＋2b ＋2c ，∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c ． (2)∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴a ＋b ≥2ab ＞0，b ＋c ≥2bc ＞0，c ＋a ≥2ca ＞0． ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )， 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca ．由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故三个等号不能同时成立． ∴a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca ．5．已知a ，b ，c ∈R ，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )． 证明 ∵a ＋b2≤a 2＋b 22，∴a 2＋b 2≥a ＋b2＝22(a ＋b )(a ，b ∈R ，等号在a ＝b 时成立)． 同理，b 2＋c 2≥22(b ＋c )(等号在b ＝c 时成立)． a 2＋c 2≥22(a ＋c )(等号在a ＝c 时成立)． 三式相加得a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2≥22(a ＋b )＋22(b ＋c )＋22(a ＋c ) ＝2(a ＋b ＋c )(等号在a ＝b ＝c 时成立)．易错点一 忽视基本不等式适用条件6．给出下列结论： (1)若a ＞0，则a 2＋1＞a ．(2)若a ＞0，b ＞0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＋a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4．(3)若a ＞0，b ＞0，则(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4．(4)若a ∈R 且a ≠0，则9a＋a ≥6．其中恒成立的是________．易错分析 易忽略不等式成立的前提是为正数而误认为(4)也正确． 答案 (1)(2)(3)解析 因为a >0，所以a 2＋1≥2a 2＝2a >a ，故(1)恒成立． 因为a ＞0，所以a ＋1a ≥2，因为b ＞0，所以b ＋1b≥2，所以当a ＞0，b ＞0时，⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4，故(2)恒成立．因为(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2＋b a ＋a b，又因为a ，b ∈(0，＋∞)，所以b a ＋a b≥2，所以(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，故(3)恒成立．因为a ∈R 且a ≠0，不符合基本不等式的条件， 故9a＋a ≥6是错误的．易错点二 忽视定值的条件7．求函数f (x )＝2x (5－3x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53的最大值． 易错分析 x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53，∴2x ＞0，5－3x ＞0， ∴f (x )＝2x (5－3x ) ＝2[x 5－3x ]2≤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5－3x 22＝5－2x 22．当且仅当x ＝5－3x ，即x ＝54∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53时，等号成立，此时5－2x22＝258．故f (x )的最大值为258．不符合基本不等式求最值的条件：和或积为定值．解 x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53，∴2x ＞0，5－3x ＞0， f (x )＝2x (5－3x )＝23[3x ·5－3x ]2≤23⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋5－3x 22＝256． 当且仅当3x ＝5－3x ，即x ＝56∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53时，等号成立，故所求函数的最大值为256．一、选择题1．设0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，在下列四个数中最大的是( ) A ．12 B ．b C ．2ab D ．a 2＋b 2答案 B 解析 ∵ab ＜a ＋b 22，∴ab ＜14，∴2ab ＜12．∵a 2＋b 22＞a ＋b2＞0，∴a 2＋b 22＞12，∴a 2＋b 2＞12．∵b －(a 2＋b 2)＝(b －b 2)－a 2＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a )＞0，∴b ＞a 2＋b 2，∴b 最大．2．下列不等式一定成立的是( ) A ．x ＋1x ≥2(x ≠0) B．x 2＋1x 2＋1≥1(x ∈R )C ．x 2＋1≤2x (x ∈R ) D ．x 2＋5x ＋6≥0(x ∈R ) 答案 B解析 对于A ，当x ＞0时成立； 对于B ，x 2＋1＋1x 2＋1≥2，当且仅当x ＝0时等号成立； 对于C ，应为x 2＋1≥2x (x ∈R )； 对于D ，x 2＋5x ＋6＝x ＋522－14≥－14；综上所述，故选B ．3．若a ＞b ＞0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a －b ＞1b －1a B ．c 2a ＜c2bC ．ab >2ab a ＋b D ．3a ＋b a ＋3b ＞ab答案 C解析 逐一考查所给的选项：当a ＝2，b ＝13时，a －b ＝123，1b －1a ＝212，不满足a －b ＞1b －1a ，A 错误；当c ＝0时，c2a＝c 2b ＝0，不满足c 2a ＜c 2b ，B 错误；当a ＝2，b ＝1时，3a ＋b a ＋3b ＝75，a b ＝2，不满足3a ＋b a ＋3b ＞ab，D 错误；若a ＞b ＞0，则a ＋b >2ab ，即a ＋b >2abab，整理可得ab >2aba ＋b，C 正确．故选C ． 4．设a ，b 是两个实数，且a ≠b ，①a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3，②a 2＋b 2≥2(a －b －1)，③a b ＋b a＞2．上述三个式子恒成立的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案 B解析 ①a 5＋b 5－(a 3b 2＋a 2b 3)＝a 3(a 2－b 2)＋b 3(b 2－a 2)＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a －b )2(a ＋b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )2(a 3＋b 3)＞0不恒成立；(a 2＋b 2)－2(a －b －1)＝a 2－2a ＋b 2＋2b ＋2＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0恒成立；a b ＋b a ＞2或a b ＋b a＜－2．故选B ．5．如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( ) A ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一 B ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一 C ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一 D ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一 答案 A解析 因为a ＋b ＝cd ＝4，所以由基本不等式得a ＋b ≥2ab ，故ab ≤4． 又因为cd ≤c ＋d24，所以c ＋d ≥4，所以ab ≤c ＋d ，当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝2时，等号成立．故选A ． 二、填空题6．若a ＞b ＞c ，则a －c2与a －b b －c 的大小关系是________．答案a －c2≥a －bb －c解析 因为a ＞b ＞c ， 所以a －c2＝a －b ＋b －c2≥a －b b －c ，当且仅当a －b ＝b －c ，即2b ＝a ＋c 时，等号成立．7．若四个正数a ，b ，c ，d 成等差数列，x 是a 和d 的等差中项，y 是b 和c 的等比中项，则x 和y 的大小关系是________．答案 x ≥y 解析 ∵x ＝a ＋d 2＝b ＋c2，y ＝bc ，又∵b ，c 都是正数， ∴b ＋c2≥bc (当且仅当b ＝c 时取“＝”)，∴x ≥y ．8．设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________． 答案 3 2解析 (a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1·b ＋3≤9＋a ＋1＋b ＋3＝9＋a ＋b ＋4＝18，当且仅当a ＋1＝b ＋3且a ＋b ＝5，即a ＝72，b ＝32时等号成立，所以a ＋1＋b ＋3≤32． 三、解答题9．已知a ，b ，c 均为正数，a ，b ，c 不全相等．求证：bc a ＋ac b ＋abc＞a ＋b ＋c ． 证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ac b ≥2abc 2ab ＝2c ，ac b ＋abc ≥2a 2bcbc＝2a ， bc a ＋ab c≥2acb 2ac＝2b ． 又a ，b ，c 不全相等， 故上述等号至少有一个不成立． ∴bc a ＋ac b ＋abc＞a ＋b ＋c ． 10．(1)已知m ，n >0，且m ＋n ＝16，求12mn 的最大值；(2)已知x >3，求f (x )＝x ＋4x －3的最小值． 解 (1)∵m ，n >0且m ＋n ＝16， ∴由基本不等式可得mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1622＝64，当且仅当m ＝n ＝8时，mn 取到最大值64． ∴12mn 的最大值为32． (2)∵x >3，∴x －3>0，4x －3>0， 于是f (x )＝x ＋4x －3＝x －3＋4x －3＋3 ≥2x －3·4x －3＋3＝7， 当且仅当x －3＝4x －3，即x ＝5时，f (x )取到最小值7．。

高中数学第三章不等式3.4.1基本不等式练习含解析新人教A 版必修50819315知识点一 利用基本不等式比较大小1．下列不等式中正确的是( ) A ．a ＋4a≥4 B．a 2＋b 2≥4abC ．ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 3答案 D解析 当a ＜0时，则a ＋4a≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2＜4ab ，故B 错；a＝4，b ＝16，则ab ＜a ＋b2，故C 错；由基本不等式可知D 正确．2．已知两个不相等的正数a ，b ，设P ＝a ＋b2，Q ＝ab ，M ＝a 2＋b 22，则有( )A ．P ＞Q ＞MB ．Q ＞P ＞MC ．P ＞M ＞QD ．M ＞P ＞Q 答案 D解析 由基本不等式得P ＞Q ，又M 2－P 2＝a －b24＞0，得M ＞P ，故M ＞P ＞Q ．故选D ．3．已知正数x ，y 满足xy ＝36，则x ＋y 与12的大小关系是________． 答案 x ＋y ≥12解析 由x ，y 为正数，得x ＋y ≥2xy ＝12．知识点二 利用基本不等式证明不等式4．(1)已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c ．(2)已知a ，b ，c 为不全相等的正实数．求证：a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca ．证明 (1)∵a ，b ，c ∈R ＋，a 2b ，b 2c ，c 2a均大于0，又a 2b ＋b ≥2a 2b ·b ＝2a ， b 2c ＋c ≥2b 2c·c ＝2b ， c 2a＋a ≥2c 2a·a ＝2c ， 三式相加得a 2b ＋b ＋b 2c ＋c ＋c 2a ＋a ≥2a ＋2b ＋2c ，∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c ． (2)∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴a ＋b ≥2ab ＞0，b ＋c ≥2bc ＞0，c ＋a ≥2ca ＞0． ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )， 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca ．由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故三个等号不能同时成立． ∴a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca ．5．已知a ，b ，c ∈R ，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )． 证明 ∵a ＋b2≤a 2＋b 22，∴a 2＋b 2≥a ＋b2＝22(a ＋b )(a ，b ∈R ，等号在a ＝b 时成立)． 同理，b 2＋c 2≥22(b ＋c )(等号在b ＝c 时成立)． a 2＋c 2≥22(a ＋c )(等号在a ＝c 时成立)． 三式相加得a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2≥22(a ＋b )＋22(b ＋c )＋22(a ＋c ) ＝2(a ＋b ＋c )(等号在a ＝b ＝c 时成立)．易错点一 忽视基本不等式适用条件6．给出下列结论： (1)若a ＞0，则a 2＋1＞a ．(2)若a ＞0，b ＞0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＋a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4．(3)若a ＞0，b ＞0，则(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4．(4)若a ∈R 且a ≠0，则9a＋a ≥6．其中恒成立的是________．易错分析 易忽略不等式成立的前提是为正数而误认为(4)也正确． 答案 (1)(2)(3)解析 因为a >0，所以a 2＋1≥2a 2＝2a >a ，故(1)恒成立． 因为a ＞0，所以a ＋1a ≥2，因为b ＞0，所以b ＋1b≥2，所以当a ＞0，b ＞0时，⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4，故(2)恒成立．因为(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2＋b a ＋a b，又因为a ，b ∈(0，＋∞)，所以b a ＋a b≥2，所以(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，故(3)恒成立．因为a ∈R 且a ≠0，不符合基本不等式的条件， 故9a＋a ≥6是错误的．易错点二 忽视定值的条件7．求函数f (x )＝2x (5－3x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53的最大值． 易错分析 x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53，∴2x ＞0，5－3x ＞0， ∴f (x )＝2x (5－3x ) ＝2[x 5－3x ]2≤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5－3x 22＝5－2x 22．当且仅当x ＝5－3x ，即x ＝54∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53时，等号成立，此时5－2x22＝258．故f (x )的最大值为258．不符合基本不等式求最值的条件：和或积为定值．解 x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53，∴2x ＞0，5－3x ＞0， f (x )＝2x (5－3x )＝23[3x ·5－3x ]2≤23⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋5－3x 22＝256． 当且仅当3x ＝5－3x ，即x ＝56∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53时，等号成立，故所求函数的最大值为256．一、选择题1．设0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，在下列四个数中最大的是( ) A ．12 B ．b C ．2ab D ．a 2＋b 2答案 B 解析 ∵ab ＜a ＋b 22，∴ab ＜14，∴2ab ＜12．∵a 2＋b 22＞a ＋b2＞0，∴a 2＋b 22＞12，∴a 2＋b 2＞12．∵b －(a 2＋b 2)＝(b －b 2)－a 2＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a )＞0，∴b ＞a 2＋b 2，∴b 最大．2．下列不等式一定成立的是( ) A ．x ＋1x ≥2(x ≠0) B．x 2＋1x 2＋1≥1(x ∈R )C ．x 2＋1≤2x (x ∈R ) D ．x 2＋5x ＋6≥0(x ∈R ) 答案 B解析 对于A ，当x ＞0时成立； 对于B ，x 2＋1＋1x 2＋1≥2，当且仅当x ＝0时等号成立； 对于C ，应为x 2＋1≥2x (x ∈R )； 对于D ，x 2＋5x ＋6＝x ＋522－14≥－14；综上所述，故选B ．3．若a ＞b ＞0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a －b ＞1b －1a B ．c 2a ＜c2bC ．ab >2ab a ＋b D ．3a ＋b a ＋3b ＞ab答案 C解析 逐一考查所给的选项：当a ＝2，b ＝13时，a －b ＝123，1b －1a ＝212，不满足a －b ＞1b －1a ，A 错误；当c ＝0时，c2a＝c 2b ＝0，不满足c 2a ＜c 2b ，B 错误；当a ＝2，b ＝1时，3a ＋b a ＋3b ＝75，a b ＝2，不满足3a ＋b a ＋3b ＞ab，D 错误；若a ＞b ＞0，则a ＋b >2ab ，即a ＋b >2abab，整理可得ab >2aba ＋b，C 正确．故选C ． 4．设a ，b 是两个实数，且a ≠b ，①a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3，②a 2＋b 2≥2(a －b －1)，③a b ＋b a＞2．上述三个式子恒成立的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案 B解析 ①a 5＋b 5－(a 3b 2＋a 2b 3)＝a 3(a 2－b 2)＋b 3(b 2－a 2)＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a －b )2(a ＋b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )2(a 3＋b 3)＞0不恒成立；(a 2＋b 2)－2(a －b －1)＝a 2－2a ＋b 2＋2b ＋2＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0恒成立；a b ＋b a ＞2或a b ＋b a＜－2．故选B ．5．如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( ) A ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一 B ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一 C ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一 D ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一 答案 A解析 因为a ＋b ＝cd ＝4，所以由基本不等式得a ＋b ≥2ab ，故ab ≤4． 又因为cd ≤c ＋d24，所以c ＋d ≥4，所以ab ≤c ＋d ，当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝2时，等号成立．故选A ． 二、填空题 6．若a ＞b ＞c ，则a －c2与a －b b －c 的大小关系是________．答案a －c2≥a －b b －c解析 因为a ＞b ＞c ， 所以a －c2＝a －b ＋b －c2≥a －b b －c ，当且仅当a －b ＝b －c ，即2b ＝a ＋c 时，等号成立．7．若四个正数a ，b ，c ，d 成等差数列，x 是a 和d 的等差中项，y 是b 和c 的等比中项，则x 和y 的大小关系是________．答案 x ≥y 解析 ∵x ＝a ＋d 2＝b ＋c2，y ＝bc ，又∵b ，c 都是正数， ∴b ＋c2≥bc (当且仅当b ＝c 时取“＝”)，∴x ≥y ．8．设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________． 答案 3 2解析 (a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1·b ＋3≤9＋a ＋1＋b ＋3＝9＋a ＋b ＋4＝18，当且仅当a ＋1＝b ＋3且a ＋b ＝5，即a ＝72，b ＝32时等号成立，所以a ＋1＋b ＋3≤32． 三、解答题9．已知a ，b ，c 均为正数，a ，b ，c 不全相等．求证：bc a ＋ac b ＋abc＞a ＋b ＋c ． 证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ac b ≥2abc 2ab ＝2c ，ac b ＋abc ≥2a 2bcbc＝2a ， bc a ＋ab c≥2acb 2ac＝2b ． 又a ，b ，c 不全相等， 故上述等号至少有一个不成立． ∴bc a ＋ac b ＋abc＞a ＋b ＋c ． 10．(1)已知m ，n >0，且m ＋n ＝16，求12mn 的最大值；(2)已知x >3，求f (x )＝x ＋4x －3的最小值．解 (1)∵m ，n >0且m ＋n ＝16， ∴由基本不等式可得mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1622＝64，当且仅当m ＝n ＝8时，mn 取到最大值64． ∴12mn 的最大值为32． (2)∵x >3，∴x －3>0，4x －3>0， 于是f (x )＝x ＋4x －3＝x －3＋4x －3＋3 ≥2x －3·4x －3＋3＝7， 当且仅当x －3＝4x －3，即x ＝5时，f (x )取到最小值7．。

专题36 基本不等式1．设x >0，y >0，且2x ＋y ＝6，则9x ＋3y有( )A ．最大值27B ．最小值27C ．最大值54D ．最小值54答案：D2．已知a ，b 为正实数，函数y ＝2ae x ＋b 的图象过点(0,1)，则1a ＋1b的最小值是( ) A ．3＋2 2 B ．3－2 2C ．4D ．2解析：因为函数y ＝2ae x ＋b 的图象过(0,1)点，所以2a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝2a ＋b a ＋2a ＋b b＝3＋b a ＋2a b ≥3＋22，当且仅当b a ＝2a b ，即b ＝2a 时，取等号，所以1a ＋1b的最小值是3＋22。

答案：A3．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( ) A ．1 B ．6C ．9D ．16解析：方法一：因为1a ＋1b＝1，所以a ＋b ＝ab ⇒(a －1)(b －1)＝1， 所以1a －1＋9b －1≥21a －1×9b －1＝2×3＝6。

方法二：因为1a ＋1b＝1，所以a ＋b ＝ab ， 所以1a －1＋9b －1＝b －1＋9a －9ab －a －b ＋1＝b ＋9a －10＝(b ＋9a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b －10≥16－10＝6。

方法三：因为1a ＋1b ＝1，所以a －1＝1b －1，所以1a －1＋9b －1＝(b －1)＋9b －1≥29＝2×3＝6。

答案：B4．设a ＞1，b ＞0，若a ＋b ＝2，则1a －1＋2b的最小值为( ) A ．3＋2 2 B ．6C ．4 2D ．2 2答案：A5．已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( ) A.32 B.53C.94D.256解析：由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，所以q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)。

选择题1．已知c d <，0a b >>，下列不等式中必成立的一个是 （ ）()A a c b d +>+()B a c b d ->-()C ad bc <()D a bc d> 2．设,x y 满足220x y +=的正数，则lg lg x y +的最大值是（）()A 50 ()B 2 ()C 1lg5+ ()D 13．设,x y R ∈，221x y +=，(1)(1)m xy xy =-+，则m 的取值范围是 （ ）()A 1[,1]2 ()B (0,1] ()C 3[,1]4 ()D 3[,1)44．已知0,0a b >>，则不等式1b a x-<<等价于 （ ）()A 1x a <-或1x b > ()B 1x b <-或1x a >()C 10x a -<<或10x b << ()D 10x b -<<或10x a<<5．一批货物随17列火车从A 市以 /v km h 的速度匀速直达B 市，已知两地铁路线长为400km ，为了安全，两列货车的距离不得小于2() 20vkm （货车的长度忽略不计），那么这批货物全部运到B 市，最快需要 （ ）()A 6h ()B 8h()C 10h ()D 12h填空题6．设12x >，则函数821y x x =+-的最小值是 ，此时x = ． 7．关于x 的不等式260x ax a --<的解集不是空集，且区间长度不超过5，则实数a 的取值范围是 ．8．使2log ()1x x -<+成立的x 的取值范围是 ．9．锐角三角形ABC 中，已知边1,2a b ==，则边c 的取值范围是 ． 10．若,a b 是实数，且a b >，则在下面三个不等式：①11a ab b ->-；②22()(1)a b b +>+；③22(1)(1)a b ->-，其中不成立的有 个． 11．设,a b 都是大于0的常数，则当0x >时，函数()()()x a x b f x x++=的最小值是 ．12．已知()21f x ax a =++，当[1,1]x ∈-时，()f x 的值有正有负，则a 的取值范围为 ．13．已知,x y R ∈，且22222x xy y -+=，则||x y +的最大值是 ． 解答题14.（1）已知0x y >>，且1xy =，求22x y x y+-的最小值及相应的,x y 的值；（2）已知0x y >>，且3412x y +=，求lg lg x y +的最大值及相应的,x y 的值．15.设绝对值小于1的全体实数的集合为S ，在S 中定义一种运算*，使得*1a ba b ab+=+， 求证：如果a 与b 属于S ，那么*a b 也属于S ．16.证明：1)1n<+++<*()n N ∈．17.某种商品原来定价每件p 元，每月将卖出n 件．若定价上涨x 成（注：x 成即10x ，010x <≤），每月卖出数量将减少y 成，而售货金额变成原来的z 倍． （1）若y ax =，其中a 是满足113a ≤<的常数，用a 来表示当售货金额最大时的x 值；（2）若23y x =，求使售货金额比原来有所增加的x 的取值范围．18．设2()13f x x x =-+，实数a 满足||1x a -<，求证：|()()|2(||1)f x f a a -<+．19．已知,,a b c 都是正数，求证：111111222a b c b c c a a b++≥+++++．20．某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台，每批都购入x 台*()x N ∈，且每批均需付运费400元，贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，若每批购入400台，则全年需用运输和保管费用总计43600元，现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用，请问：能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用？求出结论，并说明理由．。

人教A 版必修一基本不等式同步练习卷一 单选题1．函数y ＝2x （2﹣x ）（其中0＜x ＜2）的最大值是（ ）A ．41 B ．21C ．1D ．2 2．已知a ＞0，b ＞0，且2a+b ＝4，则ab1的最小值为（ ）A ．41 B ．21 C ．2D ．43．已知实数x 、y 满足x ＞0、y ＞0，且x 2+y1=1，则x+2y 的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．84．若正数x ，y 满足x+3y ＝5xy ，则4x+3y 的最小值为（ ）A ．524B ．527 C ．5 D ．65．若正实数x ，y 满足x+y ＝1，则1x 4++y1的最小值为（ ）A ．744B ．527C ．314D ．296．若a ＞0，b ＞0，且1a 1++2b a 1+=1，则2a+b 的最小值为（ ）A ．2B ．25C ．4+32D ．21+37．若正数a ，b 满足：a 1+b 2=1，则1-a 2+2-b 1的最小值为（ ）A ．2B ．2C ．22D ．18．已知x ＞0，y ＞0，x+2y+2xy ＝8，则x+2y 的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．29D ．2119．若两个正实数x ，y 满足x 1+y 4=1，且不等式x+4y＜m 2﹣3m 有解，则实数m 的取值范围（ ）A ．（﹣1，4）B ．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）C ．（﹣4，1）D ．（﹣∞，0）∪（3，+∞）10．若正数x ，y 满足x 2+xy ﹣2＝0，则3x+y 的最小值是（ ）A ．4B ．22C ．2D ．24 二 多选题11．下列说法正确的是（ ）A ．x+x 1(x ＞0)的最小值是2B ．2x 2x 22++的最小值是2C ．4x 5x 22++的最小值是2 D ．2-3x-x4的最大值是2-34 12．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，BC ＝b ，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连结OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ）A ．2ba +≥ab （a ＞0，b ＞0） B ．a 2+b 2≥2ab （a ＞0，b ＞0） C ．ab ≥b1a 12+（a ＞0，b ＞0） D ．2b a 22+≥2ba +（a ≥0，b ＞0）13．若a ＞0，b ＞0，a+b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的 a ，b 恒成立的是（ ）A ．ab ≤1B ．a +b ≤2C ．a 2+b 2≥2D ．a 1+b1≥214．若正实数a ，b 满足a+b ＝1，则下列说法正确的是（ ）A ．a 1+b 1有最小值2B ．a 2+b 2有最大值21C ．ab 有最大值41D ．a +b 有最大值15．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似表示为：y ＝21x 2﹣200x+80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．以下判断正确的是（ ）A ．该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低B ．该单位每月最低可获利20000元C ．该单位每月不获利也不亏损D ．每月需要国家至少补贴40000元才能使该单位不亏损 16．下列说法中正确的有（ ）A ．不等式a+b ≥ab 2恒成立B ．存在a ，使得不等式a+a1≤2成立C ．若a ，b ∈（0，+∞），则a b +b a ≥2D ．若正实数x ，y 满足x+2y ＝1，则x 2+y1≥8三 填空题17．已知实数x ＞0，y ＞0，且x 4+y1=2，则xy 的最小值为 ，x+y 的最小值为 ．18．若正数a ，b 满足ab ＝2a+2b+5，则ab 的最小值是 ，a+b 的最小值是 ．19．已知m ＞0，n ＞0，且2m 1++2n 1+=31，则m+2n 的最小值为 ．20．已知a ，b ，c 为正数，则acbc ab c b a 222++++的最小值为 ．21．如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形的面积的最大值等于 ．22．已知实数m ＞0，n ＞0，且满足2m+n ＝2，则m 1+n8的最小值是 ．四 解答题 23．（1）证明：5-10＞3-8（2）已知a ，b ，c ∈R+，且a+b+c ＝1，求证：(a 1-1)( b 1-1)( c1-1)≥8．24．（1）已知a ，b ，c ＞0，求证：b a 2+cb 2+ac 2≥a+b+c ；（2）已知a ＞0，b ＞0，a+b ＝1，求证：a 1+b 1+c1≥8．25．（1）设0＜x ＜2，求函数y ＝）（x 38x 3-•的最大值．（2）x ＞﹣1，求函数y=1x )2)(5(+++x x 的最小值；26．已知某公司生产某款手机的年固定成本为400万元，每生产1万部还需另投入160万元．设公司一年内共生产该款手机x （x ≥40）万部且并全部销售完，每万部的收入为R （x ）万元，且R(x)= x 74000-2x400000．（1）写出年利润W （万元）关于年产量x （万部的函数关系式；（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．27．为了美化校园环境，学校打算在广场上建造一个绚丽多彩的矩形花园，中间有三个完全一样的矩形花坛，每个花坛面积均为294平方米，花坛四周的过道均为2米，如图所示，设矩形花坛的长为x ，宽为y ，整个矩形花园面积为S ．（1）试用x ，y 表示S ；（2）为了节约用地，当矩形花坛的长为多少米时，新建矩形花园占地最少，占地多少平米？人教A版必修一基本不等式同步练习卷参考答案与解析1.分析:方法一：由y＝2x（2﹣x），可求函数的最大值；方法二：由y＝2x（2﹣x）＝﹣2x2+4x，结合二次函数的性质可求．解：方法一：∵0＜x＜2，∴y＝2x（2﹣x）＝2，当且仅当x＝2﹣x即x＝1时取等号，函数的最大值是2．方法二：∵0＜x＜2，∴y＝2x（2﹣x）＝﹣2（x2-2x+1）+2＝﹣2（x﹣1）2+2，根据二次函数的性质可知，当x＝1时函数取得最大值2．故选D．2.分析：由4＝2a+b可求ab的范围，进而可求的最小值解：∵a＞0，b＞0，且4＝2a+b，∴0＜ab≤2，∴，∴的最小值为.故应选B．3.分析:直接利用关系式的恒等变换和基本不等式的应用求出结果．解：∵x＞0，y＞0，且，∴，当且仅当时等号成立．故选D．4.分析:将条件x+3y＝5xy进行转化，利用基本不等式的解法即可得到式子的最小值解：由x+3y＝5xy得＝+＝1，∴4x+3y＝（4x+3y）（+）＝+++≥+2＝+＝，当且仅当＝时取等号．故4x+3y的最小值是，故应选B．5.分析:将x+y＝1变成x+1+y＝2，将原式+＝•（+）＝（1+4++）后，用基本不等式可得．解：∵x＞0，y＞0，x+y＝1，∴x+1+y＝2，+＝•（+）＝（1+4++）≥（5+2）＝（当且仅当x＝，y＝取等号），故选D．6.分析:可设m＝a+1，n＝a+2b，即有+＝1，则a＝m﹣1，b＝（n﹣a）＝（n﹣m+1），可得2a+b＝（3m+n﹣3），由3m+n＝（3m+n）（+）＝4++，运用基本不等式可得所求最小值，注意等号成立的条件．解：a＞0，b＞0，且，设m＝a+1，n＝a+2b，即有+＝1，则a＝m﹣1，b＝（n﹣a）＝（n﹣m+1），可得2a+b＝2m﹣2+（n﹣m+1）＝（3m+n﹣3），由3m+n＝（3m+n）（+）＝4++≥4+2＝4+2，当且仅当n＝m＝+1时，上式取得等号．则（3m+n﹣3）≥（1+2）＝+．则2a+b的最小值为+．故选D．7.分析:由题意可得b＝且a﹣1＞0，代入消元并化简可得＝+，由基本不等式可得．解：∵正数a，b满足，∴b＝，由b＝＞0可得a﹣1＞0，∴＝+＝+＝+≥2＝2，当且仅当＝即a＝b＝3时取等号.故选：A．8.分析：首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy＝8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用代入已知条件，化简为函数求最值．解：考察基本不等式，整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0，即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4，故选B．＜m2﹣3m，利用“1”的代换的9.分析：将不等式有解，转化为求∴（x+）min思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于m的一元二次不等式的解集即可得到答案．解：∵不等式有解，∴（x+）＜m2﹣3m，∵x＞0，y＞0，且，∴x+min＝（x+）（）＝+2＝4，当且仅当，即x＝2，y＝8时取“＝”，∴（x+）＝4，故m2﹣3m＞4，即（m+1）（m﹣4）＞0，解得m＜﹣1或m＞4，∴实min数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．故选B．10.分析：由x2+xy﹣2＝0二元换一元，表示出3x+y＝2x+≥4，利用基本不等式求出最小值即可．解：因为x2+xy﹣2＝0，所以＝，所以3x+y＝3x+＝2x+≥4，当且仅当x＝1时等号成立，故选A．11.分析：由已知结合基本不等式，检验各选项的成立条件是否成立即可判断．解：由基本不等式可知，x＞0时，x+≥2，当且仅当x＝即x＝1时取等号，故A正确；B：＝，当x＝0时取得等号，故B正确；C：＝，令t＝，则t≥2，因为在[2，+∞）上单调递增，当t＝2时，取得最小值，故C 错误；D：在x＜0时，没有最大值，故D错误．故选AB．12.分析：直接利用射影定理和基本不等式的应用求出结果．解：根据图形，利用射影定理得：CD2＝DE•OD，由于：OD≥CD，所以：（a＞0，b ＞0）．由于CD2＝AC•CB＝ab，所以，所以由于CD≥DE，整理得：（a＞0，b＞0）．故选AC．13.分析：首先对于此类填空题需要一个一个判断，用排除法求解，对于命题B直接用特殊值法代入排除，其他命题用基本不等式代入求解即可判断．解：对于命题ab≤1：由，A正确；对于命题：令a＝1，b＝1时候不成立，B错误；对于命题a2+b2≥2：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝4﹣2ab≥2，C正确；对于命题：，D正确．故选ACD．14.分析：由已知结合基本不等式及相应的结论分别检验各选项即可判断．解：因为正实数a，b满足a+b＝1，对于A，+＝+＝2++≥2+2＝4，当且仅当＝且a+b＝1即a＝b＝时取等号，故A错误；对于B，a2+b2≥（）2×2＝，当且仅当a＝b时取等号，故B错误；对于C，ab≤（）2＝当且仅当a＝b＝时取等号，故C正确；对于D，（+）2＝a+b+2＝1+2≤1+a+b＝2，∴+，当且仅当a＝b＝时取等号，故D正确．故选CD．15.分析：由题意月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y ＝﹣200x+80000，两边同时除以x，然后利用不等式的性质进行放缩，从而求出最值；设该单位每月获利为S，则S＝100x﹣y，把y值代入进行化简，然后运用配方法进行求解．解：由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：＝＝200元.当且仅当，即x＝400元时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．设该单位每月获利为S，则S＝100x﹣y＝100x ﹣（﹣200x+80000）＝（x﹣300）2﹣35000.因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S 有最大值﹣40000元．故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．故选AD．16.分析：结合基本不等式的一正，二定三相等的条件检验各选项即可判断．解：不等式恒成立的条件是a≥0，b≥0，故A不正确；当a为负数时，不等式成立．故B正确；由基本不等式可知C正确；对于，当且仅当，即，时取等号，故D正确．故选BCD．17.分析：由题意利用基本不等式，得出结论．解：实数x＞0，y＞0，且≥2，则xy≥4，当且仅当x＝4，y＝2时，等号成立．x+y ＝（x+y）•（+）＝2+++≥+2＝，当且仅当 x＝2y时，等号成立，故答案为：4；．18.分析：由已知结合基本不等式即可直接求解．解：因为正数a，b满足ab＝2a+2b+5，解可得，≥5，解可得ab≥25，当且仅当a＝b时取等号，因为2a+2b+5＝ab，当且仅当a＝b时取等号，解可得，a+b ≥10，故答案为：25，1019.分析：先换元，令s＝m+2，t＝n+2，则＝，m+2n＝s+2t﹣6；再采用“乘1法”，求出s+2t的最小值即可得解．解：令s＝m+2，t＝n+2，则s＞2，t＞2，且＝，∴m+2n＝（s﹣2）+2（t﹣2）＝s+2t ﹣6，而s+2t＝3（s+2t）•（）＝3（1+++2）≥3×（3+2）＝3（3+），当且仅当＝，即s＝t时，等号成立．∴s+2t的最小值为3（3+），∴m+2n＝s+2t ﹣6≥3（3+）﹣6＝3+6．故答案为：3+6．20.分析：结合a2+b2+c2≥ab+ac+bc，即可直接求解．解：因为a2+b2≥2ab，a2+c2≥2ac，b2+c2≥2bc，当且仅当a＝b＝c时，上述三个不等式同时取得等号＝，故a2+b2+c2≥ab+ac+bc，所以≥1，当且仅当a＝b＝c时取等号．故答案为：1．21.分析：根据题意，设直角三角形的直角边分别为a，b，由勾股定理可得a2+b2＝25，利用基本不等式的性质可得S＝ab≤（a2+b2）＝，即可得答案．解：根据题意，设直角三角形的直角边分别为a，b，由题意知斜边长等于5，则a2+b2＝25，则有S＝ab≤（a2+b2）＝，当且仅当a＝b时等号成立，故这个直角三角形的面积的最大值等于；故答案为．22.分析：变形利用基本不等式的性质即可得出．解：∵m＞0，n＞0，且满足2m+n＝2，则＝（2m+n）（）＝＝9，当且仅当且2m+n＝2即m＝，n＝，则的最小值是9．故答案为：923.分析:（1）利用（+）2＞（+）2，即可证明结论；（2）先利用“1”的代换，再利用基本不等式，即可得到结论．证明：（1）∵（+）2＞（+）2，∴+＞+，∴（2）∵a，b，c∈R+，且a+b+c＝1，∴左边＝＝8（a ＝b＝c时取等号），∴．24.分析:（1）由a，b，c＞0，可得a+≥2c，b+≥2a，c+≥2b，相加即可得证；（2）a＞0，b＞0，a+b＝1，可得a+b≥2，求得≥4，即可得证．证明：（1）由a，b，c＞0，可得：a+≥2c，b+≥2a，c+≥2b，相加可得（a+b+c）+（）≥2（a+b+c），即有≥a+b+c，当且仅当a＝b＝c取得等号；（2）a＞0，b＞0，a+b＝1，可得a+b≥2，即有0＜ab≤，即为≥4，即有++＝≥8，当且仅当a＝b＝时，取得等号．25. 分析:（1）根据题意，设t＝3x（8﹣3x），结合二次函数的性质分析可得当x＝时，t ＝3x（8﹣3x）有最大值16，进而分析可得y＝的最大值，即可得答案．（2）根据题意，函数的解析式变形可得y＝（x+1）++5，由基本不等式的性质分析可得答案. 解：（1）根据题意，设t＝3x（8﹣3x），0＜x＜2则t＝3x（8﹣3x）＝﹣9x2+24x，（0＜x＜2）.分析可得当x＝时，t＝3x（8﹣3x）有最大值16，则此时y＝有最大值＝4；故函数y＝的最大值为4．（2）根据题意，＝＝（x+1）++5，又由x＞﹣1，即x+1＞0，有（x+1）+≥2＝4，当且仅当x+1＝2时等号成立，则有y＝（x+1）++5≥9，故函数的最小值为9.26.分析:（1）当x≥100时，W＝xR（x）﹣（400+160x），化简即可求出；（2）利用基本不等式即可求出．解：（1）W＝xR（x）﹣（160x+400）＝x（﹣）﹣（160x+400）＝74000﹣﹣160x﹣400＝73600﹣﹣160x，（2）由（1）可得W＝73600﹣﹣160x≤73600﹣2＝73600﹣16000＝57600，当且仅当＝160x，即x＝50时取等号，所以当x＝50时，y取得最大值57600万元．27.分析:（1）整个矩形花园面积为S看成是一个矩形，其长为3y+8，宽x+4，由矩形的面积公式即得．（2）由（1），利用二元不等式a2+b2≥2ab，变两式的积为定值后，求整个矩形花园面积S最小值即可．解：（1）S＝（x+4）（3y+8）＝3xy+8x+12y+32．（2）由xy＝294得＝x∈（0，+∞）＝914+2×4×6×7＝1250.当且仅当，即x＝21时，等号成立．此时，矩形花园面积为1250平方米.。

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基本不等式(时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．若a，b∈R,且ab>0,则下列不等式中，恒成立的是( ）A．a2＋b2〉2ab B．a＋b≥2错误! C.错误!＋错误!>错误! D。

错误!＋错误!≥22．若a＞1，则a＋错误!的最小值是（)A．0 B．2 C.错误! D．33．若x＞0，f（x）＝错误!＋3x的最小值为( )A．12 B．－12 C．6 D．－64．函数y＝x错误!（0＜x＜2)的最大值是（)A。

14B。

错误! C．1 D．25．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件,则平均仓储时间为错误!天，且每件产品每天的仓储费用为1元,为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ）A．60件 B．80件 C．100件 D．120件6．点（x，y）在直线x＋3y－2＝0上移动时，z＝3x＋27y＋3的最小值为( )A.错误! B．3＋2错误! C．6 D．97．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则( ）A．x＝a＋b2B．x≤错误! C．x＞错误! D．x≥错误!8．已知正数a，b满足4a＋b＝30，使得错误!＋错误!取最小值的实数对（a，b）是（)A．（5,10) B．（6，6) C．（10，5） D．(7,2)9．不等式错误!≥9对任意正实数x，y恒成立,则正实数a的最小值为（) A．2 B．4 C．6 D．810．已知x>0,y〉0，且x＋y＝8,则(1＋x)(1＋y)的最大值为（）A．16 B．25 C．9 D．3611．若x，y是正数,则错误!错误!＋错误!错误!的最小值是（)A．2 B.错误! C．4 D。

课时分层训练(三十六) 基本不等式(对应学生用书第307页)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．“x ≥1”是“x ＋1x ≥2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [x ＋1x ≥2⇔x ＞0，所以“x ≥1”是“x ＋1x ≥2”的充分不必要条件，故选A ．]2．已知x ，y ＞0且x ＋4y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．11B [∵x ＋4y ＝1(x ，y ＞0)，∴1x ＋1y ＝x ＋4y x ＋x ＋4y y ＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4y x ＋x y ≥5＋24y x ·x y＝5＋4＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝2y ＝13时，取等号.] 3．(2018·青岛质检)已知x ＞1，y ＞1，且lg x,2，lg y 成等差数列，则x ＋y 有( )A ．最小值20B ．最小值200C ．最大值20D ．最大值200B [由题意得2×2＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )，所以xy ＝10 000，则x ＋y ≥2xy ＝200，当且仅当x ＝y ＝100时，等号成立，所以x ＋y 的有最小值200，故选B.]4．设a ＞0，若关于x 的不等式x ＋ax －1≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a 的最小值为( ) 【 导学号：97190203】A ．16B ．9C ．4D ．2C [在(1，＋∞)上，x ＋a x －1＝(x －1)＋a x －1＋1≥2(x －1)×a(x －1)＋1＝2a ＋1(当且仅当x ＝1＋a 时取等号)，由题意知2a ＋1≥5.所以2a ≥4，a ≥2，a ≥4.]5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件B [每批生产x 件，则平均每件产品的生产准备费用是800x 元，每件产品的仓储费用是x 8元，则800x ＋x8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时“＝”成立，∴每批生产产品80件．]二、填空题6．正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． [9，＋∞) [∵a ，b 是正数，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3， ∴ab －2ab －3≥0，∴(ab ＋1)(ab －3)≥0，∴ab ≤－1(舍去)或ab ≥3. 即ab ≥9.]7．(2017·天津高考)若a ，b ∈R ，ab ＞0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．4 [∵a 4＋4b 4≥2a 2·2b 2＝4a 2b 2 (当且仅当a 2＝2b 2时“＝”成立)， ∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ， 由于ab ＞0， ∴4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当4ab ＝1ab 时“＝”成立，故当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab 时，a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为4.] 8．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元.【导学号：97190204】8 [年平均利润为y x ＝－x －25x ＋18 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋18，∵x ＋25x ≥2x ·25x ＝10，∴y x ＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤18－10＝8，当且仅当x ＝25x ， 即x ＝5时，取等号．] 三、解答题9．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x (4－2x )的最大值． [解] (1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x2＋83－2x ＋32. 当x <32时，有3－2x >0，∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52. (2)∵0<x <2，∴2－x >0，∴y ＝x (4－2x )＝2·x (2－x )≤2·x ＋2－x2＝2， 当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， ∴当x ＝1时，函数y ＝x (4－2x )的最大值为 2. 10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．[解] (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy，得xy ≥64， 当且仅当x ＝16且y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1， 则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y ·8yx ＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)11．正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(－∞，6]D ．[6，＋∞)D [因为a ＞0，b ＞0，1a ＋9b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b ≥10＋29＝16，由题意，得16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立，而x 2－4x －2＝(x －2)2－6，所以x 2－4x －2的最小值为－6， 所以－6≥－m ，即m ≥6.]12．(2018·郑州第二次质量预测)已知点P (a ，b )在函数y ＝e 2x 上，且a ＞1，b ＞1，则a ln b 的最大值为________．e [由点P (a ，b )在函数y ＝e 2x 上，得ab ＝e 2，则ln a ＋ln b ＝2，又a ＞1，b ＞1，则ln a ＞0，ln b ＞0.令a ln b ＝t ，t ＞1，则ln t ＝ln a ln b ≤⎝⎛⎭⎪⎫ln a ＋ln b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝e 时，取等号，所以1＜t ≤e ，所以a ln b 的最大值为e.]13．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N *)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t ，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|.(1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N *)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值. 【导学号：97190205】 [解] (1)W (t )＝f (t )g (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1t (120－|t －20|)＝⎩⎪⎨⎪⎧401＋4t ＋100t ，1≤t ≤20，559＋140t －4t ，20<t ≤30.(2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t ≥401＋24t ·100t ＝441(t ＝5时取最小值)．当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t －4t 递减， 所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323，所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元．。

(35)基本不等式一、选择题 1．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a >15C ．a <15D ．a ≤15解析：因为对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，所以对x ∈(0，＋∞)，a ≥⎝⎛⎭⎫x x 2＋3x ＋1max ， 而对x ∈(0，＋∞)，xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x ＋3＝15， 当且仅当x ＝1x 时等号成立，∴a ≥15.答案：A2．(2017·福建福州外国语学校期中)在下列各函数中，最小值为2的函数是( ) A ．y ＝x ＋1x (x ≠0)B ．y ＝cos x ＋1cos x ⎝⎛⎭⎫0<x <π2 C ．y ＝x 2＋3x 2＋2(x ∈R)D ．y ＝e x ＋4ex －2(x ∈R)[解析] 对于A 项，当x <0时，y ＝x ＋1x ≤－2，故A 错；对于B 项，因为0<x <π2，所以0<cos x <1，所以y ＝cos x ＋1cos x ≥2中等号不成立，故B 错；对于C 项，因为x 2＋2≥2，所以y ＝(x 2＋2)＋1x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2中等号也不能取到，故C 错；对于D 项，因为e x >0，所以y ＝e x ＋4e x －2≥2e x ·4ex －2＝2，当且仅当e x ＝2，即x ＝ln2时等号成立．故选D.[答案] D3．(2018·山东名校调研)若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x ＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15(3y ＋1x )＝15(4＋9＋3y x ＋12x y )≥15(4＋9＋236)＝5，当且仅当3y x ＝12xy ，即y ＝2x 时，“＝”成立，故4x ＋3y 的最小值为5. 答案：D4．(2017·湖南衡阳四校联考)设x ，y 为正实数，且x ＋2y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为( )A ．2＋2 2B ．3＋2 2C ．2D ．3[解析] 因为x ，y 为正实数，且x ＋2y ＝1，所以1x ＋1y ＝(x ＋2y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝3＋2y x ＋x y ≥3＋22y x ·x y ＝3＋22，当且仅当x ＝2y ＝2－1时取等号．所以1x ＋1y的最小值为3＋2 2.故选B.[答案] B5．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈ )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R) D.1x 2＋1>1(x ∈R) 解析：对选项A ，当x >0时，x 2＋14－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0，∴lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x ，故不成立；对选项B ，当sin x <0时显然不成立；对选项C ， x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立；对选项D ，∵x 2＋1≥1，∴0<1x 2＋1≤1，故不成立．答案：C6．(2015·陕西卷)设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r <pB ．p ＝r <qC ．q ＝r >pD ．p ＝r >q[解析] ∵0<a <b ，∴a ＋b 2>ab ，又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故f (ab )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，即q >p ，∵r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝f (ab )＝p ，∴p ＝r <q .故选B.[答案] B7.(2018·保定调研)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C ＝π3，a ＋b ＝λ，若△ABC 面积的最大值为93，则λ的值为( ) A ．8 B ．12 C ．16D ．21解析：S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ≤34·(a ＋b 2)2＝316λ2＝93，当且仅当a ＝b 时取“＝”，解得λ＝12. 答案：B8．(2017·河北保定一模)司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析( )A ．甲合适B ．乙合适C ．油价先高后低甲合适D ．油价先低后高甲合适[解析] 设甲每次加m 升油，乙每次加n 元钱的油，第一次加油x 元/升，第二次加油y 元/升．甲的平均单价为mx ＋my 2m ＝x ＋y 2，乙的平均单价为2n n x ＋n y ＝2xyx ＋y ，因为x ≠y ，所以x ＋y22xyx ＋y ＝x 2＋y 2＋2xy 4xy >4xy4xy＝1，即乙的两次平均单价低，乙的方式更合适，故选B.[答案] B9．(2018·贵州铜仁一中月考)若两个正实数x ，y 满足1x ＋2y ＝1，且不等式x ＋y 2<m 2－3m有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－4,1)C ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)D ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)[解析] x ＋y 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋y 2⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＝2＋y 2x ＋2xy≥2＋2y 2x ·2x y ＝4.当且仅当y 2x ＝2xy，即y ＝2x 时等号成立，所以x ＋y 2最小值为4.因为x ＋y2<m 2－3m 有解，所以m 2－3m >4.解得m <－1或m >4.故选C.[答案] C10.设正实数x ，y ， 满足x 2－3xy ＋4y 2－ ＝0.则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．3解析：xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x －3≤14－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时 ＝2y 2，2x ＋1y －2z ＝－1y 2＋2y ＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大值为1. 答案：B二、填空题11．设b >a >0，且a ＋b ＝1，则12，2ab ，a 2＋b 2，b 四个数中最大的是 ．[解析] 根据基本不等式知a 2＋b 2>2ab (b >a >0)，因为b >a >0，且a ＋b ＝1，所以b >12>a .因为b －a 2－b 2＝b (a ＋b )－a 2－b 2＝a (b －a )>0，所以12，2ab ，a 2＋b 2，b 四个数中最大的是b .[答案] b12．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为 千米时，运费与仓储费之和最小，最小为 万元．解析：设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2x(k 2≠0)，∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元， ∴k 1＝5，k 2＝20，∴运费与仓储费之和为⎝⎛⎭⎫5x ＋20x 万元，∵5x ＋20x ≥25x ×20x ＝20，当且仅当5x ＝20x，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元． 答案：2 2013．(2018·青岛模拟)已知实数x ，y 均大于零，且x ＋2y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值为 ．解析：因为log 2x ＋log 2y ＝log 22xy －1≤log 2⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22－1＝2－1＝1，当且仅当x ＝2y ＝2，即x＝2，y ＝1时等号成立，所以log 2x ＋log 2y 的最大值为1. 答案：114．(2017·四川资阳期末)已知函数f (x )＝x 3＋3x (x ∈R)，若不等式f (2m ＋mt 2)＋f (4t )<0对任意实数t ≥1恒成立，则实数m 的取值范围是 ．[解析] 因为f (x )＝x 3＋3x (x ∈R)，满足f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数且f (x )在R 上单调递增．因为不等式f (2m ＋mt 2)＋f (4t )<0对任意实数t ≥1恒成立，则2m ＋mt 2<－4t 在t ≥1时恒成立，分离参数得m <－4t t 2＋2＝－4t ＋2t .因为t ＋2t ≥2t ·2t＝22(当且仅当t ＝2时取等号)，所以m <－ 2.[答案] (－∞，－2) 三、解答题15．(1)已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：1a ＋1b ＋1c≥9.(2)设a 、b 均为正实数，求证：1a 2＋1b 2＋ab ≥2 2.[证明] (1)∵a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．(2)∵1a 2＋1b2≥21a 2·1b 2＝2ab， 当且仅当a ＝b 时取等号．又2ab＋ab ≥22，当且仅当ab ＝2时取等号， ∴1a 2＋1b2＋ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，ab ＝2，即a ＝b ＝42时取等号．16．某品牌电脑体验店预计全年可以销售360台电脑，已知该品牌电脑的进价为3000元/台，为节约资金，经理决定分批购入，若每批都购入x 台(x 为正整数)，则每批需付运费300元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比，且每批购入20台时，全年需用去运费和保管费7800元．(1)求全年所付运费和保管费之和y 关于x 的函数关系式；(2)若全年只有8000元资金可用于支付运费和保管费，则能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？如果够用，求出每批进货的数量；如果不够用，最少还需多少？[解] (1)设储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑总价值的比例系数为k ，则y ＝360x ×300＋k (3000×x )＝108000x ＋3000kx .又当x ＝20时，y ＝7800，代入可得k ＝0.04.故所求y 关于x 的函数关系式为y ＝108000x＋120x (x ∈N )．(2)由(1)知，y ＝108000x ＋120x (x ∈N )．根据基本不等式可得，y ＝108000x＋120x ≥2108000x ×120x ＝2×3600＝7200，当且仅当108000x＝120x ，即x ＝30时，等号成立．故当每批购入30台时，支付的运费和保管费最低，为7200元，此时资金够用．。

考点36 基本不等式1．若正数满足，当取得最小值时，的值为（）A． B． 2 C． D． 5【答案】B2．抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意设，，，直线的方程为，联立方程，整理得，，，点M的纵坐标，弦的长度为，即3．已知实数、，满足，则的取值范围是A． B．C． D．【答案】D【解析】由，知，故选D.4．若两个正实数满足,且恒成立,则实数的取值范围是()A． B．C． (-4,2) D． (-2,4)【答案】C【解析】因为正实数满足，所以，当且仅当时，即时取得最小值8，因为恒成立，所以，即，解得，故选C.5．已知函数，若和图象有三条公切线，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A6．若为正实数，且，则的最小值为A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，因为为正实数，所以，当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为，故选：C.7．点在曲线上运动，，且的最大值为，若，，则的最小值为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4【答案】A8．设满足约束条件，则的最小值为A． 12 B． 13 C． D．【答案】A9．设正数满足,则的最小值为( )A． B． C． D．【答案】A【解析】因为x+2y=3,所以2x+4y=6,所以（x-y）+(x+5y)=6,所以=，当且仅当时取最小值.故答案为：A10．设x、y均为正实数，且，则xy的最小值为（）A． 4 B． C． 9 D． 16【答案】D【解析】将等式化简可得：，解得：，所以，所以最小值为16.故选D.11．在面积为1的中，，分别是，的中点，点在直线上，则的最小值是（）A． 1 B． C． D． 2【答案】C12．若正实数满足，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B13．已知，且，则的取值范围是___________.【答案】【解析】正数，，，或（空集），，故答案为.14．已知，则的最小值为__________．【答案】【解析】因为知，又，所以，而，经检验等号成立,故填.15．大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，是凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑。

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课时分层提升练 三十六基本不等式(25分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2021·郑州模拟)设a>0,b>0.若a+b=1,则1a +1b的最小值是 ( )A.2B.14C.4D.8【解析】选C.由题意1a +1b=a +b a+a +b b=2+b a +a b≥2+2√b a×a b=4,当且仅当b a =a b,即a=b=12时,取等号,所以最小值为4.2.(2021·济宁模拟)若x>2,则函数y=x 2−4x+8x−2的最小值为 ( )A.5B.4C.8D.6 【解析】选B.y=x 2−4x+8x−2=(x−2)2+4x−2=(x-2)+4x−2≥2√(x −2)·4x−2=4,当且仅当x-2=4x−2,即x=4时,等号成立.3.(2021·无锡模拟)设a,b,c 均为正数,且满足1a +4b =1,则使a+b>c 恒成立的c 的取值范围为 ( )A.(0,2)B.(2,+∞)C.(0,9)D.(9,+∞)【解析】选C.依题意a+b=(a+b)(1a+4b)=5+b a +4a b≥9,当且仅当{ba =4a b,1a+4b=1,即a=3,b=6时等号成立,所以使a+b>c 恒成立的c 的取值范围为(0,9). 4.设a>0,若关于x 的不等式x+a x−1≥5在(1,+∞)上恒成立,则a 的最小值为 ( )A.16B.9C.4D.2 【解析】选C.x+a x−1=(x-1)+ax−1+1≥2√(x −1)×a (x−1)+1=2√a +1≥5.所以2√a ≥4,√a ≥2,a ≥4.5.若两个正实数x,y 满足1x +4y=1,且不等式x+y4<m 2-3m 有解,则实数m 的取值范围是( )A.(-1,4)B.(-∞,-1)∪(4,+∞)C.(-4,1)D.(-∞,0)∪(3,+∞)【解析】选B.由题可知,1=1x +4y ≥2√4xy=√xy ,即√x y ≥4,于是有m 2-3m>x+y4≥√x y ≥4,故m 2-3m>4,化简得(m+1)(m-4)>0,即实数m 的取值范围为(-∞,-1)∪(4,+∞). 6.(2021·贵阳模拟)若4x +4y =1,则x+y 的取值范围为 ( ) A.[0,1] B.[-1,0] C.[-1,+∞) D.(-∞,-1]【解析】选D.由于1=4x +4y ≥2√4x ·4y =2x+y+1,即x+y+1≤0得x+y ≤-1.7.圆x 2+y 2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,b ∈R)对称,则ab 的取值范围 是 ( )A.(−∞,14] B.(0,14]C.(−14,0) D.(−∞,14)【解题提示】圆关于直线对称,则圆心在直线上,利用此条件可解. 【解析】选A.由已知得圆心坐标为(-1,2), 故-2a-2b+2=0,即a+b=1, 故ab ≤(a +b 2)2=14.二、填空题(每小题5分,共15分) 8.(2021·东营模拟)设x,y ∈N,且xy=24,则1x 2+y 2的最大值为 .【解析】由于1x 2+y2=1x 2+242x 2≤2√x 2×2x2=148, 当且仅当x 2=242x 2,即x=√24时等号成立, 而x,y ∈N,故当x=4,y=6或x=6,y=4时,1x 2+y 2取得最大值152.答案:1529.要制作一个容积为4m 3,高为1m 的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是(单位:元).【解析】由容器体积为4,高为1可知,容器的底面积为4.设底面长为x,则宽为4x ,总造价为W.由题意,W=(2·x ·1+2·4x ·1)·10+4×20=20(x +4x)+80≥20×2√4+80=160,当且仅当x=4x,即x=2时取“=”.答案:16010.(2021·茂名模拟)已知函数y=a 2x-4+1(a>0且a ≠1)的图象过定点A,且点A 在直线x m +yn =1(m,n>0)上,则m+n 的最小值为 .【解析】由已知,函数y=a 2x-4+1的图象过定点A(2,2),且点A 在直线x m +yn=1上,所以2m +2n =1,所以m+n=(m+n)(2m+2n)=4+2n m+2m n≥4+2√4=8,当且仅当{2nm =2m n,2m+2n=1,即m=n=4时取等号, 所以m+n 的最小值为8. 答案:8 三、解答题11.(10分)某单位建筑一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x 不得超过5米.房屋正面的造价为400元/平方米,房屋侧面的造价为150元/平方米,屋顶和地面的造价费用合计为5800元,假如墙高为3米,且不计房屋背面的费用,当侧面的长度为多少时,总造价最低?【解析】由题意可得,总造价 y=3(2x ·150+12x×400)+5800=900(x +16x)+5800(0<x ≤5),则y=900(x +16x)+5800≥900×2√x ·16x +5800=13000(元),当且仅当x=16x,即x=4时取等号.故当侧面的长度为4米时,总造价最低.(20分钟 35分)1.(5分)(2021·舟山模拟)已知x>0,y>0且x+2y+2xy=8,则x+2y 的最小值 为 ( )A.2B.2√2C.4D.8 【解析】选C.由已知8=x+2y+2xy ≤(x+2y)+(x +2y 2)2,整理得(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0,解得x+2y ≥4或x+2y ≤-8(舍去). 2.(5分)(2021·江门模拟)y=x 2+2x−1(x>1)的最小值为 ( )A.2√3+2B.2√3-2C.2√3D.2【解析】选A.由于x>1,所以x-1>0,y=x 2+2x−1=(x−1)2+2(x−1)+3x−1=(x-1)+2+3x−1≥2√(x −1)·3x−1+2=2√3+2,当且仅当x-1=3x−1时取等号.3.(12分)为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在2022年进行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t(t ≥0)万元满足x=4-k 2t+1(k 为常数).假如不搞促销活动,那么该产品的年销量只能是1万件.已知2022年生产该产品的固定投入为6万元,每生产1万件该产品需要再投入12万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分).(1)将该厂家2022年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数. (2)该厂家2022年的年促销费用投入多少万元时,厂家利润最大? 【解析】(1)由题意有1=4-k1,得k=3,故x=4-32t+1.故y=1.5×6+12xx×x-(6+12x)-t=3+6x-t=3+6(4−32t+1)-t=27-182t+1-t(t ≥0).(2)由(1)知:y=27-182t+1-t=27.5-[9t+12+(t +12)].由于9t+12+(t +12)≥2×√9t+12(t +12)=6,当且仅当9t+12=t+12,即t=2.5时等号成立.故y=27-182t+1-t=27.5-[9t+12+(t +12)]≤27.5-6=21.5.所以当年促销费用投入2.5万元时,厂家利润最大. 【加固训练】某车间分批生产某种产品,每批的生产预备费用为800元.若每批生产x 件,则平均仓储时间为x8天,且每件产品每天的仓储费用为1元,为使平均到每件产品的生产预备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品 件. 【解析】记平均到每件产品的生产预备费用与仓储费用之和为f(x), 则f(x)=800+x8×x×1x=800x+x 8≥2√800x×x8=20,当且仅当800x=x8,即x=80(x>0)时,等号成立.故每批应生产产品80件,可使f(x)最小. 答案:804.(13分)已知不等式x 2-5ax+b>0的解集为{x|x>4或x<1}. (1)求实数a,b 的值. (2)若0<x<1,f(x)=ax +b 1−x,求f(x)的最小值.【解题提示】(1)由三个二次的关系可得{4+1=5a,4×1=b,解方程组可得.(2)由(1)知f(x)=1x +41−x=(1x+41−x)[x+(1-x)]=5+1−x x+4x1−x,由基本不等式可得.【解析】(1)由题意可得{4+1=5a,4×1=b,解得{a =1,b =4,所以实数a,b 的值分别为1,4. (2)由(1)知f(x)=1x +41−x,由于0<x<1,所以0<1-x<1, 所以1x >0,41−x>0,所以f(x)=1x +41−x=(1x+41−x)[x+(1-x)]=5+1−x x+4x1−x ≥5+2√1−xx·4x1−x=9,当且仅当1−xx=4x 1−x,即x=13时,等号成立.所以f(x)的最小值为9.关闭Word 文档返回原板块。

2021年高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分36基本不等式1．下列命题正确的是( )A．若x≠kπ，k∈Z，则sin2x＋1sin2x≥4B．若a＜0，则a＋4a≥－4C．若a＞0，b＞0，则lg a＋lg b≥2lg a·lg bD．若a＜0，b＜0，则ab＋ab≥2解析：当sin2x＝1时，1＋1＝2＜4，所以A错；若a＜0，则a＋4a≤－4，B错；因为lg a，lg b可以小于零，C错；由a＜0，b＜0，所以ba，ab都大于零，D正确．答案：D2．若正实数x，y满足x＋y＋1x＋1y＝5，则x＋y的最大值是( )A．2 B．3 C．4 D.5解析：∵xy≤x＋y24，x＞0，y＞0，∴1xy≥4x ＋y2，x ＋y xy ≥4x ＋y. ∴x ＋y ＋4x ＋y ≤5.设x ＋y ＝t ，即t ＋4t≤5，得到t 2－5t ＋4≤0，解得1≤t ≤4，∴x ＋y 的最大值是4.答案：C3．已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( )A ．a ＋b ≥2abB.a b ＋ba≥2C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2 D.a 2＋b 2＞2ab 解析：当a ，b 都是负数时，A 不成立，当a ，b 一正一负时，B 不成立，当a ＝b 时，D 不成立，因此只有C 是正确的．答案：C4．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A ．1 B.6 C ．9 D.16解析：方法一：因为1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ⇒(a －1)(b －1)＝1，所以1a －1＋9b －1≥21a －1·9b －1＝2×3＝6.方法二：因为1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，1a －1＋9b －1＝b －1＋9a －9ab －a －b ＋1＝b ＋9a－10＝(b ＋9a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b －10≥16－10＝6.方法三：因为1a ＋1b ＝1，所以a －1＝1b －1，所以1a －1＋9b －1＝(b －1)＋9b －1≥29＝2×3＝6. 答案：B5．设a ＞0，b ＞0.若3是3a 与32b 的等比中项，则2a ＋1b的最小值为( )A ．8B.4 C ．1D.14解析：由题意可知3＝3a 32b ＝3a ＋2b ，即a ＋2b ＝1. 因为a ＞0，b ＞0，所以2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (a ＋2b )＝a b ＋4ba＋4≥2a b ·4ba＋4＝8，当且仅当a b ＝4b a ，即a ＝2b ＝12时取“＝”． 答案：A6．若x ，y ∈(0,2]且xy ＝2，使不等式a (2x ＋y )≥(2－x )(4－y )恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．a ≤12B.a ≤2C ．a ≥2 D.a ≥12解析：由x ，y ∈(0,2]，xy ＝2，得a ≥2－x 4－y2x ＋y＝10－22x ＋y2x ＋y＝102x ＋y－2. 又由2x ＋y ≥22xy ＝4，∴a ≥12.答案：D7．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则x ＋8yxy的最小值为__________．解析：由已知得x ＋2y 2＝1，则x ＋8y xy ＝1y ＋8x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋8x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋x y ＋16y x ≥12(10＋216)＝9，当且仅当x ＝43，y ＝13时取等号．答案：98．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3＞0}，B ＝{x |ax 2＋bx ＋c ≤0}，若A ∩B ＝{x |3＜x ≤4}，A ∪B ＝R ，则b 2a ＋ac2的最小值为__________．解析：∵x 2－2x －3＞0，∴x ＜－1或x ＞3. ∵A ∩B ＝{x |3＜x ≤4}，A ∪B ＝R ， ∴B ＝{x |－1≤x ≤4}．∴－1和4是ax 2＋bx ＋c ＝0的根．∴－1＋4＝－b a ，(－1)×4＝ca .∴b ＝－3a ，c ＝－4a ，且a ＞0.∴b 2a ＋ac 2≥2b 2c 2＝2b c ＝－6a －4a ＝32， 当且仅当b 2a ＝ac 2取等号．答案：329．若实数a ，b ，c 满足2a ＋2b ＝2a ＋b,2a ＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c ，则c 的最大值是__________．解析：由基本不等式得2a ＋2b ≥22a 2b ＝2×2a ＋b 2，即2a ＋b ≥2×2a ＋b 2，所以2a ＋b ≥4.令t ＝2a ＋b ，由2a ＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c 可得2a ＋b ＋2c ＝2a ＋b ·2c ，所以2c ＝t t －1＝1＋1t －1，由t ≥4，得1＜t t －1≤43，即1＜2c ≤43，所以0＜c ≤log 243＝2－log 23，故答案为2－log 23.答案：2－log 2310．设关于x 的不等式|x －2|＜a (a ∈R )的解集为A ，且32∈A ，－12∉A .(1)∀x ∈R ，|x －1|＋|x －3|≥a 2＋a 恒成立，且a ∈N ，求a 的值；(2)若a ＋b ＝1，求13|b |＋|b |a的最小值，并指出取得最小值时a 的值． 解析：(1)∵32∈A ，－12∉A ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2＜a ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－2≥a ，即12＜a ≤52.∵|x －1|＋|x －3|≥|(x －1)－(x －3)|＝2， ∴a 2＋a －2≤0，∴－2≤a ≤1，∴12＜a ≤1.又a ∈N ，∴a ＝1.(2)∵12＜a ≤52，∴13|b |＋|b |a ＝a ＋b 3|b |＋|b |a ＝b 3|b |＋a 3|b |＋|b |a ≥－13＋2a 3|b |×|b |a ＝23－13.当且仅当⎩⎨⎧ b ＜0，a 2＝3b 2，即⎩⎨⎧a ＝33－1，b ＝－13－1时上式取等号．又∵12＜33－1＝3＋32≤52，∴13|b |＋|b |a 的最小值是23－13，取最小值时a ＝3＋32. B 级 能力提升练11．已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则a 2＋4b 2＋1ab的最小值为( )A.72 B.4C.16136D.172解析：因为1＝a ＋2b ≥22ab ，所以ab ≤18，当且仅当a ＝2b ＝12时取等号．又因为a 2＋4b 2＋1ab≥2a 2·4b 2＋1ab＝4ab ＋1ab .令t ＝ab ，所以f (t )＝4t ＋1t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18单调递减，所以f (t )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝172.此时a ＝2b ＝12.答案：D12．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x ＞－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b ＝( )A ．－3 B.2 C ．3D.8解析：y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5，由x ＞－1，得x ＋1＞0，9x ＋1＞0，所以由基本不等式得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2x ＋1×9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即(x ＋1)2＝9，所以x ＋1＝3，即x ＝2时取等号，所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3.答案：C13．[xx·武汉模拟]经观测，某公路段在某时段内的车流量y (万辆/小时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间有函数关系y ＝92vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时车流量y 最大？最大车流量为多少？(2)为保证在该时段内车流量至少为1万辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？解析：(1)y ＝92vv 2＋3v ＋1 600＝92v ＋1 600v＋3≤922v ·1 600v＋3＝9283≈1.108. 当v ＝1 600v，即v ＝40千米/小时，车流量最大，最大值约为1.108万辆/小时．(2)据题意有92vv 2＋3v ＋1 600≥1，化简得v 2－89v ＋1 600≤0，即(v －25)(v －64)≤0，所以25≤v ≤64.所以汽车的平均速度应控制在[25,64](千米/小时)这个范围内．14．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧168－x －1，0≤x ≤4，5－12x ，4＜x ≤10.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a (1≤a ≤4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值(精确到0.1，参考数据：2取1.4)．解析：(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度f (x )＝4y ＝⎩⎨⎧648－x －4，0≤x ≤4，20－2x ，4＜x ≤10.则当0≤x ≤4时，由648－x－4≥4，解得0≤x ≤8， 所以此时0≤x ≤4.当4＜x ≤10时，由20－2x ≥4，解得x ≤8， 所以此时4＜x ≤8.综合得0≤x ≤8，若一次投放4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天． (2)设从第一次喷洒起，经x (6≤x ≤10)天， 浓度g (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12x ＋a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤168－x －6－1＝10－x ＋16a 14－x －a ＝(14－x )＋16a14－x－a －4≥214－x·16a14－x－a －4＝8a －a －4.因为14－x ∈[4,8]，a－4.令8a－a－4≥4，解得24－162≤a≤4，所以a的最小值为24－162≈1.6.31124 7994 禔32464 7ED0 绐23618 5C42 层38715 973B 霻Q30678 77D6 矖€23703 5C97 岗^(x .27106 69E2 槢。