四川省眉山市高中2020届高三数学下学期第二次诊断性考试试题文

绝密★启用前四川省眉山市普通高中2020届高三毕业班下学期第二次高考诊断在线考试数学(理)试题2020年3月（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1. 本次考试为“云考试”，答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上.2. 考生在试题作答、答题卷上传等方面按学校具体要求执行，规范作答.3. 考试结束后，在规定时间内上传本次考试的答题卷给学校指定的教师.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 集合 A={}10x x ＋＞,B ={}2320x x x －＋＞,则A I R ðB =A. (－1, 1)B. (1, 2)C. [1, 2]D. (－l, l)∪(l, +∞)2. 已知向量a r =(－m , 4),b r =(m , 1) (其中m 为实数),则“m =2”是“a r 丄b r”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(－1, 2), 则下列结论正确的是A. z ·i=2－iB. 复数z 的共轭复数是1－2iC. 5z =D.13i 1i 22z =＋＋ 4. 已知函数31,0()(),0x x f x g x x ⎧+>=⎨<⎩是奇函数,则((1))g f -的值为A. －10B. －9C. －7D.15. 给出以下四个命题：① 依次首尾相接的四条线段必共面；② 过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面；③ 空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角必相等; ④ 垂直于同一直线的两条直线必平行.其中正确命题的个数是 A. 0B. 1C. 2D. 36. 函数22()2cos (sin cos )2f x x x x =-＋＋的一个单调递增区间是 A. [－4π,4π] B . [－8π,38π] C. [8π,58π] D. [58π,98π] 7. 某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分）,下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩：55 57 59 61 68 64 62 59 80 88 98 95 60 73 88 74 86 77 79 94 97 100 99 97 89 81 80 60 79 60 82959093908580779968右面的算法框图中输入的i a 为上表中的学生的数学竞赛成绩, 运行相应的程序,输出m ,n 的值,则m －n = A. 6 B.8 C.10D.128. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且141=21n n S a n ＋－－,11a =,*n N ∈, 则{}n a 的通项公式n a = A. n B. 1n ＋ C. 21n －D. 21n ＋ 9. 已知实数,x y 满足约束条件2202202x y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩＋－－＋≥≥≤,则22x y ＋的取值范围是。

xx 届高考数学第二次诊断性考试试卷数 学注意事项：1．答选择题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目、试卷类型等写在答题纸上，并贴好条形码。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。

3．主观题请在规定区域答题。

请务必保持答题纸的整洁，不要折叠，考试结束，将答题纸交回。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设集合,2n A x x n Z ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，1,2B x x n n Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则A 与B 的关系是▲ ． 2．复数121iz i+=-的虚部为 ▲ ． 3．如图，在ABC V 中，12CD AE DA EB ==，记,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ， 则DE u u u r＝ ▲ ．（用a r 与b r 表示）4．在数列{}n a 中，已知11a =，1(2,)n n a n a n n N *-=+≥∈，则4a = ▲ ．5．函数2cos sin cos 1y x x x =+-的单调减区间是___▲_____． 6．若关于x 的方程x m =+有两个不同的实数根，则实数m 的取值范围是▲ ．7．设1a >，函数2()log (22)x xa f x a a =--，则使()0f x >的x 的取值范围是 ▲ ． 8．已知圆221:(1)1C x y ++=，圆2C 与圆1C 外切，且与直线3x =切于点(3,1)，则圆2C 的方程为 ▲ ．9．如图，水波的半径以50/cm s 的速度向外扩张，当半径为250cm 时，圆面积的膨胀率为 ▲ 2/cm s ．10．若函数[]2()(2)3,,f x x a x x a b =+++∈的图像关于直线1x =对称，则此()f b = ▲ ．11．如图，摩天轮的半径为40m ，点O 距地面的高度为50m 摩 天轮做匀速转动，每3min 转一圈，摩天轮上点P 的起始位置在 最低处．在摩天轮转动的一圈内，有 ▲ min 点P 距离地面超过70m ．12．已知圆22220x y x y +--=上有3个点到直线0x y a +-=的距离都等于2， 则a = ▲ ．13．给出以下四个命题：①已知命题:,tan 2p x R x ∃∈=；命题2:,10q x R x x ∀∈-+≥.则命题p 和q 都是真命题； ②过点(1,2)-且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线方程是10x y +-=； ③函数()ln 21f x x x =+-在定义域内有且只有一个零点； ④先将函数sin(2)3y x π=-的图像向左平移6π个单位，再将新函数的周期扩大为原来的两倍，则所得图像的函数解析式为sin y x =．其中正确命题的序号为 ▲ ．（把你认为正确的命题序号都填上）14．已知函数()f x 的定义域为(],2-∞，部分对应值如下表．()f x '为()f x 的导数，函数()y f x '=的图像如右图所示． x4- 0 2 ()f x1-11-若两正实数,a b 满足()1f a b +<，则11b a +-的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点2F 与抛物线24y x =的焦点重合，且经过点3(1,)2P ．⑴求此椭圆的方程及其离心率；⑵求以这个椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线的方程．16．（本小题满分14分）已知向量m =u r ，向量n r 是与向量m u r 夹角为3π的单位向量．⑴求向量n r；⑵若向量n r与向量(q =r共线，与向量22,)p x y =-u r 垂直，求254t y x =++的最大值．17．（本小题满分15分）设数列{}n a 的各项均为正数，它的前n 项的和为n S ，点(,)n n a S 在函数2111822y x x =++的图像上；数列{}n b 满足1111,()n n n n b a b a a b ++=-=．其中n N *∈．⑴求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； ⑵设n n n a c b =，求证：数列{}n c 的前n 项的和59n T >（n N *∈）．18．（本小题满分15分）在海岸A 处，发现北偏西075的方向，距离A 2n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏东045方向，距离A 1)n mile 的C处的缉私船奉命以mile/h 的速度追截走私船．此时，走私船正以10n mile/h 的速度从B 向北偏西030方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？19．（本小题满分16分）已知函数2()ln f x x a x =-和()g x x =-1x =处的切线平行．⑴试求函数()f x 和()g x 的单调增区间； ⑵设13b <<，求证：ln 2b b <．20．（本小题满分16分）定义在正整数集．．．．上的函数()f x 对任意,m n N *∈，都有 ()()()4()2f m n f m f n m n +=+++-，且(1)1f =．⑴求函数()f x 的表达式；⑵若21()m tm f x --≤对于任意的[]1,1m ∈-、x N *∈恒成立，求实数t 的取值范围；⑶对任意正整数n ，在162,n n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦内总存在1m +个实数121,,,,m m a a a a +L ， 使121()()()()m m f a f a f a f a ++++<L 成立，求m 的最大值．ABCD450 750 300数学附加题1．（本小题满分8分）求曲线249y x x =-+及直线3y x =+所围封闭区域的面积．2．（本小题满分10分）求直线1413x t y t=+⎧⎨=--⎩（t 为参数）被曲线)4πρθ=+所截得的弦长．3．（本小题满分10分）设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．（1）求矩阵M 的特征值及相应的特征向量；（2）求逆矩阵1M -以及椭圆22149x y +=在1M -的作用下的新曲线的方程．4．（本小题满分12分）假定某射手每次射击命中的概率为34，且只有3发子弹．该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为X ，求：⑴目标被击中的概率； ⑵X 的概率分布； ⑶均值()E X ．高三数学参考答案1．B A ⊆或B A ≠⊂ 2．323．233a b -r r 4．10 5．5,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 6．2m ≤< 7． ()log 3,a +∞ 8．22764()525x y -+=9．25000π 10．27 11．1 12．1或3 13．①③④ 14．()(),11,-∞-+∞U15．⑴由条件得2222211914c a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩21a b c =⎧⎪⇒=⎨⎪=⎩∴所求的椭圆的方程为22143x y +=， 其离心率12e =； ⑵由条件得，双曲线的半焦距2c =，实半轴长1a =，所以b =又因为此双曲线的焦点在x 轴上，中心在原点，所以双曲线的方程为2213y x -=． 16．⑴设向量(,)n x y =r，则2211x y y ⎧+=⎪+=，解之得：01x y =⎧⎨=⎩或212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， (0,1)n ∴=r或1)2n =-r ;⑵∵向量n r与向量(q =r共线，∴1)2n =-r ，又∵与向量22,)p x y =-u r 垂直，∴223110222x x y -+=，即223y x x =- ∴2222543543643(1)7t y x x x x x x x =++=-++=-++=--+ 由2230y x x =-≥，可得103x ≤≤， ∴当13x =时，t 取得最大值，最大值为173． 17． ⑴由已知条件得2111822n n n S a a =++， ①当2n ≥时，2111111822n n n S a a ---=++， ②①－②得：221111()()82n n n n n a a a a a --=-+-，即1111()()4n n n n n n a a a a a a ---+=+-，∵数列{}n a 的各项均为正数，∴14n n a a --=（2n ≥）， 又12a =，∴42n a n =-； ∵1111,()n n n n b a b a a b ++=-=， ∴1112,4n n b b b +==，∴112()4n n b -=⋅； ⑵∵1(21)4n nn na c nb -==-， ∴22113454(23)4(21)4n n n T n n --=+⋅+⋅++-⋅+-⋅L ，2214434(25)4(23)4(21)4n n n n T n n n --=+⋅++-⋅+-⋅+-⋅L ，两式相减得21555312(444)(21)4(2)4333n n n n T n n --=++++--=---⋅<-L ，∴59n T >．18． 由已知条件得，2AB =，1AC =，0120BAC ∠=，∴BC==在ABC V 中，sin sin AB BCACB BAC=∠∠，解之得sin ACB ∠= ∴045ACB ∠=，∴BC 为水平线， 设经过时间t 小时后，缉私船追上走私船，则在ACD V 中，10BD t =，CD =，0120DBC ∠=，1sin 2BDC ∠=，∴030BDC ∠=， ∴缉私船沿北偏西060的方向能最快追上走私船． 19．⑴∵()2af x xx '=-，()1g x '=， 由条件得(1)(1)f g ''=，即212aa -=-，解得2a =， 令2()20f x x x'=->，解得10,1x x -<<>，而0x >， ∴函数()f x 的单调增区间为()1,+∞， 同理()g x 的单调增区间为()1,+∞；⑵∵函数()f x 在()1,+∞上是增函数，且1b >， ∴22ln 1b b ->，同理1b ->-，∴22ln b b b ->，∵13b <<，∴(1)ln 22b b b b +<<，即ln 2b b +<． 20．⑴取1m =，(1)()(1)4(1)243f n f n f n n +-=++-=+，当2n ≥时，[][][]()(1)(2)(1)(3)(2)()(1)f n f f f f f f n f n =+-+-++--L 222n n =+-，又(1)1f =，∴2()22()f x x x x N *=+-∈； ⑵2117()2()48f x x =+-， ∴1x =时min ()1f x =，由条件得211m tm --≤在[]1,1m ∈-上恒成立，即220m tm --≤，若0m =，则t R ∈，若01m <≤，则2t m m ≥-，即1t ≥-， 若10m -≤<，则2t m m≤-，即1t ≤，综上：11m -≤≤；⑶∵()f x 在162,n n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上单调递增， ∴12116(2)()()()()()m m mf f a f a f a f a f n n+<+++<≤+L ∴只须16(2)()mf f n n<+对n N *∈恒成立， 而2161616()2()()2134f n n n n n n+=+++-≥，∴8134m <即674m <，又m N *∈，∴max 16m =．附加题答案：1．解方程组2493y x x y x ⎧=-+⎨=+⎩，得25x y =⎧⎨=⎩或36x y =⎧⎨=⎩，∴面积3323222151(349)(6)326S x x x dx x x x =+-+-=-+-=⎰．2．把1413x ty t =+⎧⎨=--⎩化为普通方程为4310x y +-=，把)4πρθ=+化为直角坐标系中的方程为220x y x y +-+=，∴圆心到直线的距离为110，∴弦长为75=． 3．（1）由条件得矩阵2003M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 它的特征值为2和3，对应的特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦及01⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）1102103M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 椭圆22149x y +=在1M -的作用下的新曲线的方程为221x y +=． 4． ⑴目标被击中的概率为31631()464-=； ⑵X 的分布列为X1 23 P （X ）34316 116⑶均值33121()1234161616E X =⨯+⨯+⨯=．。

高三数学放学期第二次诊疗考试一试题文第 I 卷（选择题，共60 分）一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的1．复数 z 知足 z(l+i)-2(i 为虚数单位 ) ，则 z 的虚部为(A)i(B) -i (C)-l (D)l2．设全集 U=R．会合 M={x|x<l} ， N={x|x>2} ，则 (C∪ M)∩ N=(A){x|x>2} (B){x|x ≥l} (C){x|l<x<2} (D){x|x ≥ 2)3．某中学有高中生1500 人，初中生1000 人为认识该校学生自主锻炼的时间，采纳分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为n 的样本，若样本中高中生恰有30 人，则 n 值为(A)20 (B) 50 (C)40 (D) 604．曲线 y=x3-x 在点 (1 ， 0) 处的切线方程为(A)2x-y=0 (B)2x+y-2=0 (C)2x+y+2=0 (D)2x-y-2=05．已知锐角α知足2sin2 α= l-cos2 α，则 tan α =1(B)l (C)2 (D)4(A)26．函数f ( x) cos x ln( x 2 1 x)在 [1 ， 1] 的图象大概为7．履行以下图的程序框图，则输出 S 的值为(A)16 (B)48 (C)96 (D)1288．已知函数f ( x) sin( x)(0 ), f ( ) 0 则函数f(x) 的图象的对称轴方程为2 4(A) x kx , k Z (B) x kx , k Z4 4(C) x 1 k , k Z (D) x 1 k ,k Z2 2 419．在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，点 P ， Q 分别为 AB ， AD 的中点，过点D 作平面α使 B 1P ∥平面α， A 1Q ∥平面α若直线 B 1D ∩平面α =M ，则MD1的值为MB 1(A)1 1 1 2(B)(C)2(D)43310．如图， 双曲线 C:x 2 y 2 =l(a>0 ，b>0) 的左，右焦点分别是 1（-c ，0），a 2b 2 FF 2（c ， 0) ，直线 ybc与双曲线 C 的两条渐近线分别订交于A ，B 两点，若2aBF 1F 2，则双曲线 C 的离心率为3(A)2 (B)4 2(C) (D)2 33 3x y 1 011 已知 EF 为圆 (x-l)2+(y+1) 2=l 的一条直径， 点 M(x ，y) 的坐标知足不等式组2x y 3 0 ，则 ME MF y 1的取值范围为(A)[9,13] (B)[4,13] (C)[4,12](D)[7,12]2212．已知函数 f (x)ln x-x，若存在 x l ∈ (0,+ ∞ ) ，x 2∈ R ，使得 f(x 1)=g(x 2)=k(k<0)x 2 2 ek ，g(x)=xe成立，则 ()xx 1的最大值为(A)e 2(B)e (C)4(D)1e 2e 2第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每题5 分，共 20 分．把答案填在答题卡上．13．已知函数 f(l)=1, x 0x 则 f(f(x-1))=．2x , x 014．在△ ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 B= ，a=2， b= 3 ，则△ ABC 的面积为．315. 设直线 l ： y=x-l 与抛物线 y2=2px （ p>0）订交于 A ， B 两点，若弦 AB 的中点的横坐标为 2，则 p 的值为 16．已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）全部极点都在球 O 的表面上，若球 O 的表面积为 28π，则该三棱柱的侧面积为____．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17（本小题满分 12 分）2已知 {a n} 是递加的等比数列，a1=l ，且 2a2，3a3， a4成等差数列．2(I) 求数列 {a n} 的通项公式；( Ⅱ ) 设b n1， n∈ N*, 求数列 {bn} 的前 n 项和 S n. log 2 a n 1 log 2 a n 218（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥P-ABCD中， O是边长为4 的正方形 ABCD的中心， PO⊥平面 ABCD， M， E 分别为AB， BC的中点．(I)求证：平面 PAC⊥平面 PBD；( Ⅱ ) 若 PE=3，求三棱锥B-PEM的体积．19.( 本小题满分 12 分）某动漫影视制作企业长久坚持文化自信，不停发掘中华优异传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优异动漫影视作品，获取市场和广大观众的一致好评，同时也为企业博得丰厚的收益，该企业2013 年至2019 年的年收益 y 对于年份代号 x 的统计数据以下表（已知该企业的年收益与年份代号线性有关）：(I)求 y 对于 x 的线性回归方程，并展望该企业2020 年 ( 年份代号记为8) 的年收益；( Ⅱ ) 当统计表中某年年收益的实质值大于由(I) 中线性回归方程计算出该年收益的预计值时，称该年为A 级收益年，不然称为 B级收益年将 (I) 中展望的该企业 2020 年的年收益视作该年收益的实质值，现从 2015 年至2020 年这 6 年中随机抽取 2 年，求恰有 1 年为 A 级收益年的概率．参照公式：20.（本小题满分 12 分）已知椭圆 E: x2 y 2（ a>b>0）的左，右焦点分别为F1(-l ，0) ，F2 (1 ，0) ，点 P(1 ，2)在椭圆 E上．a 2 b 2 1 2(I)求椭圆 E 的标准方程；( Ⅱ ) 设直线 l ：x=my+1(m∈R)与椭圆 E 订交于 A，B 两点，与圆 x2+y2=a2订交于 C，D 两点，当|AB| ?|CD| 2的值为 8 2时，求直线 x 的方程．321.（本小题满分 12 分）已知函数f(x)=x2-mx-mlnx，此中m>0．(I)若 m=l，求函数， (l) 的极值；( Ⅱ ) 设 g(x)=f(x)+mx．若g(x)>1在(1，+∞)上恒成立，务实数m的取值范围．x请考生在第 22， 23 题中任选择一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．（本小题满分10 分）选修4-4 ：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程为x m2 O为y（ m为参数）以坐标原点2m极点， x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ sin θ - ρcos θ +1=0.(I)求直线l 的直角坐标方程与曲线 C 的一般方程；1 1的值( Ⅱ ) 已知点 P(2， 1) ，设直线 l 与曲线 C 订交于 M， N两点，求|PN||PM |23.（本小题满分 10 分）选修 4-5 ：不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+3|．(I)解不等式 f(x) ≥6；( Ⅱ) 设 g(x)=-x 2+2ax，此中 a 为常数，若方程 f(x)=g(x) 在 (0 ， +∞ ) 上恰有两个不相等的实数根，务实数a 的取值范围，4。

绝密★启用前四川省眉山市普通高中2020届高三毕业班第二次高考诊断性考试数学(理)试题(解析版)一、选择题：本题共12小题，毎小题5分，共60分.在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}|10A x x =+>，{}2|320B x x x =-+>，则R A B =（ ）A. (1,1)-B. (1,2)C. []1,2D. (1,1)(1,)-+∞ 【答案】C【解析】【分析】 分别解一元一次不等式、一元二次不等式求得集合,A B ，然后求得B R ，进而求得R A B .【详解】由题意得{}|1A x x =>-，{|1B x x =<或}2x >，则{}|12R B x x =≤≤， 所以{}|12AB x x =≤≤R . 故选：C【点睛】本小题考查不等式的解法，集合补集和交集的基本运算等基础知识；考查运算求解能力，集合思想.2.已知向量(,4)a m =-,(,1)b m =（其中m 为实数）,则“2m =”是“a b ⊥”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】结合向量垂直的坐标表示,将两个条件相互推导,根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.【详解】由2m =,则(2,4)(2,1)440a b ⋅=-⋅=-+=,所以a b ⊥；而当a b ⊥,则2(,4)(,1)40a b m m m ⊥=-⋅=-+=,解得2m =或2m =-.所以 “2m =”是“a b ⊥”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本小题考查平面向量的运算,向量垂直,充要条件等基础知识；考查运算求解能力,推理论证能力,应用意识.3.已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-,则下列结论正确的是（ ）A. 2z i i ⋅=-B. 复数z 的共轭复数是12i -C. ||5z =D. 13122z i i =++ 【答案】D【解析】【分析】首先求得12z i =-+,然后根据复数乘法运算、共轭复数、复数的模、复数除法运算对选项逐一分析,由此确定正确选项.【详解】由题意知复数12z i =-+,则(12)2z i i i i ⋅=-+⋅=--,所以A 选项不正确；复数z 的共轭复数是12i --,所以B 选项不正确；||z ==所以C 选项不正确；12(12)(1)1311222z i i i i i i -+-+⋅-===+++,所以D 选项正确. 故选：D【点睛】本小题考查复数的几何意义,共轭复数,复数的模,复数的乘法和除法运算。

眉山市高中2017级第二次诊断性考试数 学(文史类)（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1. 本次考试为“云考试”，答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上.2. 考生在试题作答、答题卷上传等方面按学校具体要求执行，规范作答.3. 考试结束后，在规定时间内上传本次考试的答题卷给学校指定的教师.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 集合 A={}10x x +＞，B ={}2320x x x +－≤，则A I B = A. (－1, 1) B. (1, 2)C. [1, 2]D. (－l, l)∪(l, +∞) 2. 已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(－1, 2), 则1i z += A.33i 22+－ B. 31i 22+－C. 13i 22+－D.13i 22+ 3. 给出以下四个命题：① 依次首尾相接的四条线段必共面；② 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③ 空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等; ④ 垂直于同一直线的两条直线必平行. 其中正确命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 34. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且476=3a a a ＋＋，则9S = A. 27B.272C. 9D. 35. 若3()=3f x a ax -+为奇函数,则曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为 A. －4 B. －9 C. 4 D. 9 6. 函数22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-的单调递增区间是A.(),44Z ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦＋k k kB. ()3,88Z ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦＋k k kC.()5,88Z ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦＋＋k k k D. ()3,88Z ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦＋k k k 7. 已知数列{}n a 为正项的递增等比数列,1612a a +=,2520a a =,则2020201920102009=a aa a --A. 5B. 10C.25D.1058. 已知实数,x y 满足约束条件2202202x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤，则22x y ＋的最小值是A.55B.45C.25D. 19. 某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩：右面的算法框图中输入的ia 为上表中的学生的数学竞赛成绩,运行相应的程序，输出m ，n 的值，则m －n = A. 6 B. 8 C. 10 D. 1210. 已知腰长为3，底边长2为的等腰三角形ABC ，D 为底边BC的中点，以AD 为折痕，将三角形ABD 翻折，使BD ⊥CD ， 则经过 A,B,C,D 的球的表面积为 A.10π B.12π C.16π D.20π11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ∈, 用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y =[x ]称为高斯函数，例如：[－0.5] =－1，[1.5] = 1，已知函数1()43242x xf x =⨯-⋅+（0＜x ＜2），则函数[()]y f x =的值域为A.1322⎡⎫⎪⎢⎣⎭－，B.｛－1，0，1｝C.｛－1，0，1，2｝D. {0，1，2｝12. 2, AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则 该抛物线的焦点到它的准线距离等于A.12B. 1C. 2D. 4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

文数学试题第1页（共8页）四川省2017级高三大数据精准教学第二次统一监测文科数学参考答案及评分标准评分说明：1．本解答只给出了一种（或两种）解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响程度决定后继部分的给分，但不得超过该正确部分解答得分的一半；如果后继部分的解得有严重错误，就不再给分。

3．只给整数分。

选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

题号123456789101112答案D B D B A D B A C A C D1．本小题主要考查一元二次不等式的解法、并集等基础知识；考查运算求解能力。

由()()130x x --≤得13x ≤≤，所以[]()(]1,31,21,3A B =-=- ．2．本小题主要考查复数模的概念、复数运算其运算等基础知识；考查运算求解能力。

由()34i 512i 12i 12i 5z +-===-+．3．本小题主要考查统计图表等基础知识；考查数据处理能力和应用意识；考查统计思想。

根据统计图表可知，A ，B ，C 项错误；D 项正确．4．本小题主要考查线性规划问题等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合等思想方法。

不等式组表示的可行域是以（0，0），（2，0），（0，2）为顶点的三角形及其内部，当目标函数2z x y =+过点（2，0）时，z 取得最大值4．5．本小题主要考查正弦定理，余弦定理等基础知识；考查运算求解能力及应用意识；考查化归与转化等思想方法。

由sin 2sin B A =，据正弦定理有2b a =；又3C π=，据余弦定理有223c a =．故3c a =．6．本小题主要考查函数图象和性质等基础知识；考查抽象概括能力；考查数形结合、特殊与一般等思想方法。

2020届四川省绵阳市高三第二次诊断性测试数学（文）试题一、单选题1．设全集{}|0U x x =>，{}2|1xM x e e=<<，则UCM =（ ）A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(][)0,12,+∞D ．[)2,+∞【答案】D【解析】先确定集合M 的元素，再由补集定义求解． 【详解】由题意2{|1}{|02}x M x e e x x =<<=<<，∴{|2}U C M x x =≥．故选：D ． 【点睛】本题考查补集的运算，解题时需确定集合的元素后才能进行集合的运算．本题还考查了指数函数的单调性．2．已知i 为虚数单位，复数z 满足12z i i ⋅=+，则z =（ ） A ．2i - B ．2i + C ．12i - D ．2i -【答案】A【解析】由除法计算出复数z ． 【详解】 由题意122iz i i+==-． 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题．3．已知高一（1）班有学生45人，高一（2）班有50人，高一（3）班有55人，现在要用分层抽样的方法从这三个班中抽30人参加学校“遵纪守法好公民”知识测评，则高一（2）班被抽出的人数为（ ） A ．10 B ．12C ．13D ．15【答案】A【解析】分层抽样是按比例抽取人数． 【详解】设高一（2）被抽取x 人，则5030455055x =++，解得10x =． 故选：A ． 【点睛】本题考查分层抽样，属于基础题．4．已知向量()1,2a =r ，()1,b x =-，若//a b ，则b =（ ）A B ．52C D ．5【答案】C【解析】根据向量平行的坐标运算计算出x ，再由模的坐标表示求模． 【详解】∵//a b ，∴12(1)0x ⨯-⨯-=，2x =-，∴2(1)b =-=．故选：C ． 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，考查向量模的坐标表示．属于基础题．5．已知α为任意角，则“1cos 23α=”是“sin α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要【答案】B【解析】说明命题1cos 23α=⇒sin 3α=和sin 3α=⇒1cos 23α=是否为真即可． 【详解】21cos 212sin 3a α=-=，则sin α=，因此“1cos 23α=”是“sin α=”的必要不充分条件． 故选：B ． 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，只要命题p q ⇒为真，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．6．已知()2,0M ，P 是圆N ：224320x x y ++-=上一动点，线段MP 的垂直平分线交NP 于点Q ，则动点Q 的轨迹方程为（ ）A ．22195x y +=B ．22159x y -=C ． ,? a c ==D ．22195x y -=【答案】A【解析】利用6QM QN QP QN PN +=+==，确定M 点轨迹是椭圆，从而易求得其方程． 【详解】由题意圆标准方程为22(2)36x y ++=，圆心为(2,0)N -，半径为6，∵线段MP 的垂直平分线交NP 于点Q ，∴QP QM =， ∴6QM QN QP QN PN +=+==4MN >=， ∴Q 点轨迹是以,M N 为焦点，长轴长为6的椭圆，∴3,2a c ==，b =∴其轨迹方程为22195x y +=．故选：A ． 【点睛】本题考查用椭圆的定义求轨迹方程，属于基础题．根据椭圆定义确定动点轨迹是椭圆，然后求出,a b 得标准方程，要注意所求轨迹方程是不是圆锥曲线的标准方程． 7．已知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为 6.59y x =+，则下列说法中错误的是（ ）A．产品的销售额与广告费用成正相关B．该回归直线过点()2,22C．当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D．m的值是20【答案】C【解析】根据回归直线方程中x系数为正，说明两者是正相关，求出x后，再由回归方程求出y，然后再求得m，同样利用回归方程可计算出10x=时的预估值．【详解】因为回归直线方程中x系数为6.5＞0，因此，产品的销售额与广告费用成正相关，A正确；又0123425x++++==，∴ 6.52922y=⨯+=，回归直线一定过点(2,22)，B正确；10x=时， 6.510974y=⨯+=，说明广告费用为10万元时，销售额估计为74万元，不是一定为74万元，C错误；由10153035225my++++==，得20m=，D正确．故选：C．【点睛】本题考查回归直线方程，回归直线方程中x系数的正负说明两变量间正负相关性，回归直线一定过中心点(,)x y，回归直线方程中计算的值是预估值，不是确定值．8．甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（）A．18B．14C．38D．12【答案】B【解析】可用列举法写出三人选择景点的各种情形．然后计数后可概率．【详解】两景点用1，2表示，三人选择景点的各种情形为：甲1乙1丙1 ，甲1乙1丙2 ，甲1乙2丙1 ，甲2乙1丙1 ，甲2乙2丙1 ，甲2乙1丙2 ，甲1乙2丙2 ，甲2乙2丙2 共8种，其中三人去同一景点的有甲1乙1丙1 和甲2乙2丙2两种，所以概率为2184P==．故选：B ． 【点睛】本题考查古典概型，解题时可用列举法写出所有的基本事件．9．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A ，B 两点，若四边形OAFB （O 为坐标原点）的面积为bc ，则双曲线的离心率为（ ） A． B ．2CD ．3【答案】B【解析】把四边形OAFB 面积用,,a b c 表示出来，它等于bc ，变形后可求得离心率． 【详解】由题意(c,0)F ，渐近线方程为by x a =±，不妨设AF 方程为()b y x c a=--， 由()b y x c a b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得22c x bcy a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即(,)22c bc A a ，同理(,)22c bc B a -， ∴21(2)222OAFBbc bc S c a a =⨯⨯⨯=，由题意22bc bc a=，∴2c a =．故选：B ． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率．求离心率关键是找到关于,,a b c 的一个等式，本题中四边形OAFB 的面积是bc 就是这个等式，因此只要按部就班地求出其面积即可得． 10．已知圆C ：22280x y x +--=，直线l 经过点()2,2M，且将圆C 及其内部区域分为两部分，则当这两部分的面积之差的绝对值最大时，直线l 的方程为（ ） A ．220x y -+= B ．260x y +-= C ．220x y --= D ．260x y +-=【答案】D【解析】如图，设设AOB θ∠=(0)θπ<≤，求出直线l 分圆所成两部分面积之差的绝对值9(sin )S πθθ=-+，利用导数确定函数的单调性，确定出当θ最小时S 最大，由圆的性质知θ最小时，CM AB ⊥，从而可求得直线方程． 【详解】圆C 标准方程为22(1)9x y -+=，圆心为(1,0)C ，半径为3r =，直线l 交圆于,A B 两点，设AOB θ∠=(0)θπ<≤，如图，则直线l 分圆所成两部分中较小部分面积为22111sin 22S r r θθ=-，较大部分面积为22211(2)sin 22S r r πθθ=-+，∴这两部分面积之差的绝对值为22221sin 9(sin )S S S r r r πθθπθθ=-=-+=-+，'9(1cos )0S θ=-+≤，∴9(sin )S πθθ=-+是减函数，θ最小时，S 最大．在CAB ∆中，2222218cos 218r AB AB rθ--==，∴AB 最小时，cos θ最大，从而θ最小．∵AB 经过点M ，∴由圆的性质知当CM AB ⊥时，AB 取得最小值.此时112AB CM k k =-=-，∴直线l 方程为12(2)2y x -=--，即260x y +-=．故选：D ． 【点睛】本题考查直线与圆相交问题，解题关键是引入AOB θ=∠，借助于扇形面积公式用θ表示出两个弓形面积之差的绝对值，再利用导数确定这个绝对值最大时的θ值，从而确定直线l 的位置，求得其方程．本题考查了函数思想的应用． 11．已知()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()31cos sin 3x x x f x x =-+，则满足不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的实数m 的取值范围为（ ）A ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,2C ．()10,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()2,+∞【答案】A【解析】由偶函数性质把不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭化为2(log )(1)f m f <，由导数确定函数()f x 在[0,)+∞上的单调性，利用单调性解不等式． 【详解】∵()f x 是偶函数，∴12222(log )(log )(log )(log )f m f m f m f m =-==，则不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭可化为22(log )2(1)f m f <，即2(log )(1)f m f <，0x ≥时，31()cos sin 3f x x x x x =-+，2'()cos sin cos (sin )f x x x x x x x x x =--+=-，令()sin g x x x =-，则'()1c o s 0g x x =-≥，∴()g x 是R 上的增函数，∴当0x >时，()(0)0g x g >=，∴0x ≥时，'()0f x ≥，∴()f x 在[0,)+∞上是增函数， ∴由2(log )(1)f m f <得2log 1m <，即21log 1m -<<，122m <<． 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解对数不等式．此各种类型不等式的解法是：本题这种类型的不等式有两种，一种是奇函数，不等式为12()()0f x f x +>，转化为12()()f x f x >-，一种是偶函数，不等式为12()()f x f x >，转化为12()()f x f x >，然后由单调性去函数符号“f ”．12．函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(][)1,23,+∞C ．()[)1,23,+∞D ．[)2,3【答案】D【解析】由零点存在定理1(0)()0f f a <得23a <<，但还要验证此时在1(0,)a上是否只有一个零点，然后讨论(0)0f =和1()0f a=两种情形是否符合题意． 【详解】（1）若由1(0)()0f f a<得(1log 2)(1log 3)0a a --<，lg 2lg 3(1)(1)0lg lg a a--<， (lg lg 2)(lg lg3)0a a --<，lg 2lg lg3a <<，∴23a <<．设2()(21)g x ax =-，()log (2)a h x ax =+，∵23a <<，∴()h x 在定义域内是增函数，作出()g x ，()h x 的示意图，如图．1(0)()1g g a ==，(0)log 21a h =<，1()log 31a h a =>，∴()g x 与()h x 的图象在1[0,]a 上只有一个交点，即()f x 在1[0,]a上只有一个零点，符合题意．（2）若(0)0f =，则1log 20a -=，2a =．如（1）中示意图，2()log (22)h x x =+是增函数，只是(0)(0)1h g ==，而11()(0)1()h h g a a>==，∴()g x 与()h x 的图象在1[0,]a 上只有一个交点，即()f x 在1[0,]a上只有一个零点，符合题意．（3）若1()0f a=，则1log 30a -=，3a =，如（1）中示意图，3()log (32)h x x =+是增函数，此时11()()1h g a a==，但(0)1g =，而3(0)log 21(0)h g =<=，因此在1(0,)2a 上()g x 与()h x 的图象还有一个交点，即()f x 在1[0,]a上有两个零点，不合题意．综上，a 的取值范围是[2,3)． 故选：D ． 【点睛】本题考查函数零点分布问题．()f x 在闭区间[,]m n 上只有一个零点，首先由零点存在定理()()0f m f n <确定参数范围，但是此种情形下必须验证在(,)m n 上是否是一个零点，零点存在定理只说明有零点，没有说明有几个零点．其次分别讨论()0f m =和()0f n =两种情形是否满足题意．二、填空题13．直线l ：()110ax a y -+-=与直线4630x y -+=平行，则实数a 的值是______. 【答案】2.【解析】由两直线平行的条件判断． 【详解】 由题意(1)1463a a -+-=≠-，解得2a =． 故答案为：2． 【点睛】本题考查两直线平行的充要条件，两直线1110A x B y C ++=和2220A x B y C ++=平行，条件12210A B A B -=是必要条件，不是充分条件，还必须有12210AC A C -≠或12210B C B C -≠，但在2220A B C ≠时，两直线平行的充要条件是111222A B C A B C =≠． 14．某同学在最近的五次模拟考试中，其数学成绩的茎叶图如图所示，则该同学这五次数学成绩的方差是______.【答案】30.8.【解析】写出茎叶图中的5个数据，计算均值后再计算方差． 【详解】五个数据分别是：110，114，119，121，126，其平均值为1101141191211261185x ++++==，方差为2222221[(110118)(114118)(119118)(121118)(126118)]5s =-+-+-+-+-30.8=故答案为：30.8 【点睛】本题考查茎叶图，考查方差的计算．读懂茎叶图是解题基础．15．函数()sin 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则()f x 在区间[],ππ-上的零点之和为______.【答案】23π. 【解析】先求出周期，确定ω，再由点(,1)6π确定ϕ，得函数解析式，然后可求出[,]-ππ上的所有零点． 【详解】 由题意411()3126T πππ=⨯-=，∴22πωπ==，又sin(2)16πϕ⨯+=且2πϕ<，∴6π=ϕ， ∴()sin(2)6f x x π=+．由sin(2)06x π+=得26x k ππ+=，212k x ππ=-，k Z ∈， 在[,]-ππ内有：7511,,,12121212ππππ--，它们的和为23π．【点睛】本题考查三角函数的零点，由三角函数图象求出函数解析式，然后解方程()0f x =得出零点，就可确定在已知范围内的零点．本题也可用对称性求解，由函数周期是π，区间[,]-ππ含有两个周期，而区间端点不是函数零点，因此()f x 在[,]-ππ上有4个零点，它们关于直线6x π=对称，由此可得4个零点的和．16．过点()1,0M -的直线l 与抛物线C ：24y x =交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的焦点，若4MBF MAF S S ∆∆=，则ABF ∆的面积为______. 【答案】3.【解析】不妨设,A B 在第一象限且由设1122(,),(,)A x y B x y ，由4MBF MAF S S ∆∆=，得2111422MF y MF y =⨯，从而214y y =．由,,A B M 共线及,A B 在抛物线上，可求得12,y y ． 【详解】不妨设,A B 在第一象限，如图，设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意(1,0)F ，∵4MBF MAF S S ∆∆=，∴2111422MF y MF y =⨯，∴214y y =． 又,,M A B 共线，∴121211y y x x =++，即122212111144y y y y =++，把214y y =代入得： 112211414114y yy y =++，显然10y ≠，解得11y =，∴24y =， ∴12112MAF S ∆=⨯⨯=，4MBF S ∆=，∴413FAB MBF MAF S S S ∆∆∆=-=-=．故答案为：3．【点睛】本题考查直线与抛物线相交的面积问题．解题关键是善于发现MAF ∆和MBF ∆有共同的底MF ，从而由面积比得出,A B 两点的纵坐标比，再由,,M A B 共线及,A B 在抛物线上，求得,A B 的纵坐标，从而得三角形面积．三、解答题17．每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间t（小时）的频率分布直方图如图所示：（1）求样本学生一个月阅读时间t的中位数m.（2）已知样本中阅读时间低于m的女生有30名，请根据题目信息完成下面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.22⨯列联表附表：其中：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++.【答案】（1）10；（2）不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关. 【解析】（1）频率为0.5对应的点的横坐标为中位数；（2）100名学生中男生45名，女生55名，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m 的人数为50人，小于m的也有50人，阅读时间低于m的女生有30名，这样可得列联表中的各数，得列联表，依据2K公式计算2K，对照附表可得结论．【详解】（1）由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为0.0450.0650.5⨯+⨯=.所以阅读时间的中位数10m =.（2）由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m 的人数为1000.550⨯=人， 故列联表补充如下：2K 的观测值()2100253025201005050455599k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯ 1.01 2.706≈<，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关. 【点睛】本题考查频率分布直方图，考查独立性检验．正确认识频率分布直方图是解题基础．18．已知等差数列{}n a 的公差2d =，30a >，且-4a 与7a 的等比中项.数列{}n b 的通项公式为32n a n b +=.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）记)*n n c a n N=∈，求数列{}nc 的前n 项和nS.【答案】（1）222n n b -=；（2）2241n n S n n =+--.【解析】（1）由等差数列的通项公式表示出47,a a ，由等比中项定义求得1a ，注意30a >可确定只有一解，从而中得n a ，也即得n b ；（2）由（1）得1252n n c n -=-+，用分组求和法可求得n S ．【详解】（1）由题意得41136a a d a =+=+，711612a a d a =+=+.∴(()()211612a a -=+⋅+，解得13a =-或115a =-.又31220a a =+⨯>，得14a >-，故13a =-. ∴()32125n a n n =-+⋅-=-. ∴32222n a n n b +-==.（2）由（1）可知，1252n n n c a n -==-+.12n n S c c c =+++()123112512nn -=--+++-+⎡⎤⎣⎦-()325212n n n -+-=+-2241n n n =+--.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等比中项的定义，考查分组求和法以及等差数列和等比数列前n 项和公式，掌握等差数列与等比数列的通项公式和前n 项和公式是解题基础．19．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知()()()sin sin sin sin A B a b c C B +-=+.（1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，BC =，求sin B . 【答案】（1）23A π=；（2）12.【解析】（1）由正弦定理把角的关系转化为边的关系，再由余弦定理可求得A ； （2）把ABC ∆的面积用两种方法表示建立AD 与三角形各边的关系，由BC =，即即AD =23a bc =，再代入余弦定理2222cos a b c bc A =+-中可求得b c =，从而可得6B C π==，于是得sin B 的值．【详解】（1）在ABC ∆中，由正弦定理得()()()a b a b c c b +-=+，即222ab c bc =++.由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-， 结合0A π<<，可知23A π=.（2）在ABC ∆中，11sin 22ABC S AB AC BAC BC AD ∆=⋅∠=⋅a AD =⋅.由已知BC =，可得AD =在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos120a b c bc =+-︒， 即223bc b c bc =++，整理得()20b c -=，即b c =， ∴6A B π==.∴1sin sin 62B π==. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，第（2）问解题关键是把三角形面积用两种方法表示而建立等式：11sin 22ABC S bc A BC AD ∆==⋅． 20．已知椭圆C ：2212x y +=，动直线l 过定点()2,0且交椭圆C 于A ，B 两点（A ，B 不在x 轴上）.（1）若线段AB 中点Q 的纵坐标是23-，求直线l 的方程； （2）记A 点关于x 轴的对称点为M ，若点(),0N n 满足MN NB λ=，求n 的值. 【答案】（1）220x y --=；（2）1n =.【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB ：2x ty =+，直线方程与椭圆方程联立消元得y 的二次方程，由判别式得t 的取舍范围，由韦达定理得1212,y y y y +，利用AB 中点纵坐标是23-可求得t ，只要满足>0∆即可； （2）由题意()11,M x y -，MN NB λ=，说明M ，N ，B 三点共线，即MN MB k k =.这样可求出n ，化为只含12,y y 的式子后代入（1）中的1212,y y y y +就可求得n ． 【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB ：2x ty =+.由22222x ty x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得()222420t y ty +++=. 220t ∆=->，解得t >t <由韦达定理得12242t y y t -+=+，12222y y t =+.① ∵AB 中点Q 的纵坐标是23-，∴1243y y +=-，代入①解得1t =或2t =.又t >t <2t =. ∴直线l 的方程为220x y --=. （2）由题意得()11,M x y -，由MN NB λ=，知M ，N ，B 三点共线， 即MN MB k k =. ∴()()1211210y y y n x x x ----=--，即121121y y y n x x x +=--， 解得()121121y x x n x y y -=++.将112x ty =+，222x ty =+，代入得121222ty y n y y =++.②由①有12242t y y t -+=+，12222y y t =+.③ 将③代入②得到1n =. 【点睛】本题考查直线与椭圆相交问题，解题方法是“设而不求”的思想方法，解题时注意体会． 21．已知函数()212ln 2x f x ax x =+-，其中a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若3a ≥，记函数()f x 的两个极值点为1x ，2x （其中21x x >），求()()21f x f x -的最大值.【答案】（1）当a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当a >函数()f x在0,2a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭和2a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在22a a ⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭上单调递减； （2）32ln 22-. 【解析】（1）求出导函数'()f x ，由'()0f x >得增区间，由'()0f x <得减区间，注意题中函数定义域是(0,)+∞，因此对二次三项式28x ax -+分类情况为第一类：0a ≤或0∆≤，第二类0a >且>0∆．（2）与极值点有关的问题，不是直接代入极值点，而是用12,x x 表示极值点，由12,x x 是方程220x ax -+=的解，得12x x a +=，122x x =.2212221()()2ln 2f x f x x x ax -=+-21111(2ln )2x x ax -+-()()2222121112ln 2x x x a x x x =+---2222112ln 2x x x x -=-222211122ln x x x x x x -=-2211122lnx x x x x x =-+.不妨设12x x <，引入变量21xt x =，则1t >，21()()f x f x -就转化为t 的函数，由3a ≥求得t 的范围，由导数知识可得所求最大值． 【详解】（1）()()2'220x ax x a x x xf x -+=+-=>.令()22g x x ax =-+，则28a ∆=-.①当0a ≤或0∆≤，即a ≤时，得()'0f x ≥恒成立， ∴()f x 在()0,∞+上单调递增.②当00a >⎧⎨∆>⎩，即a >由()'0f x >，得0x <<x >由()'0f x <x <<.∴函数()f x在0,2a ⎛ ⎪⎝⎭和,2a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减.综上所述，当a ≤()f x 在()0,∞+上单调递增；当a >()f x在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减. （2）由（1）得，当a >()f x 有两极值点1x ，2x （其中21x x >）. 则1x ，2x 为()220x a g x x =-+=的两根，∴12x x a +=，122x x =.()()()()222212121112ln2x f x f x x x a x x x -=+--- 222222122111122ln 2ln 2x x x x x x x x x x --=-=-2211122lnx x x x x x =-+. 令()211x t t x =>， 则()()()2112ln f x f x h t t t t-==-+.由3a ≥，得()22121219222x x a t x x t +==++≥，即22520t t -+≥，解得2t ≥.∵()()22222121211'0t t t t t t th t ---+-=--==<， ∴()h t 在[)2,+∞上单调递减， ∴()()max 322ln 22h t h ==-. 即()()21f x f x -的最大值为32ln 22-.【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，函数的极值点以及与极值点有关的最值．在求单调区间时要注意分类讨论．在研究极值点有关的最值问题时，常常设极值点为12,x x ，由极值点的定义得出函数中参数与12,x x 的关系，即用12,x x 表示参数，并代入待求（证）式，同时设21x t x =（本题），可把待求（证）式转化为t 的函数式，从而再利用导数的知识确定这个函数得出结论．这类题难度较大，对学生的思维能力、推理论证能力、转化与化归能力要求较高．22．在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线2C 的直角坐标方程为221x y -=.（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的极坐标方程；（2）若()1,A ρα，2,6B πρα⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线2C 上两点，当0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求2211OA OB +的取值范围.【答案】（1）()2213x y -+=，2cos 21ρθ=；（2）⎝. 【解析】（1）由22cos sin 1ϕϕ+=消元后得普通方程，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入直角坐标方程可得极坐标方程；（2）直接把,A B 两点的极坐标代入曲线2C 的极坐标方程，得2212,ρρ，这样2211OAOB+就可转化为三角函数式，利用三角函数知识可得取值范围．【详解】（1）将1C 的参数方程化为普通方程为()2221x y r -+=. 由cos x ρθ=，sin y ρθ=， 得点2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为(，代入1C ，得23r =，∴曲线1C 的普通方程为()2213x y -+=.2C 可化为2222cos sin 1ρθρθ-=，即()222cos sin 1ρθθ-=，∴曲线2C 的极坐标方程为2cos 21ρθ=.（2）将点()1,A ρα，2,6B πρα⎛⎫- ⎪⎝⎭代入曲线2C 的极坐标方程，得21cos 21ρα=，22cos 213πρα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴22222111cos 2cos 1123OAOBπααρρ⎛⎫=++-+= ⎪⎝⎭3cos 222223πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. 由已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得52,336πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，23πα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭⎝. 所以2211OAOB +的取值范围是⎝. 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化．消元法和公式法是解决此类问题的常用方法．23．已知关于x 的不等式12121log x x a +--≤，其中0a >.（1）当4a =时，求不等式的解集；（2）若该不等式对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2|43x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或；（2）04a <≤. 【解析】（1）用分类讨论的方法去绝对值符号后再解不等式，最后要合并（求并集）； （2）设()121f x x x =+--，同样用分类讨论去绝对值符号化函数为分段函数，求得()f x 的最大值，解相应不等式可得a 的范围． 【详解】 （1）由4a =时，12log 2a =-.原不等式化为1212x x +--≤-，第 21 页 共 21 页 当12x ≥时，()1212x x +--≤-，解得4x ≥，综合得4x ≥； 当112x -<<时，1212x x ++-≤-，解得23x ≤-，综合得213x -<≤-； 当1x ≤-时，()1212x x -++-≤-，解得0x ≤，综合得1x ≤-.∴不等式的解集为2|43x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或. （2）设函数()2,111213,1212,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=-≤<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩， 画图可知，函数()f x 的最大值为32. 由123log 2a ≤，解得04a <≤. 【点睛】本题考查解含绝对值的不等式，解题方法是根据绝对值定义去掉绝对值符号，用分类讨论的方法分段解不等式．。