2019版高考数学二轮复习 专题五 立体几何 专题对点练16 空间中的平行与几何体的体积 文

第二篇专题五第2讲空间中的平行与垂直[限时训练·素能提升](限时50分钟，满分76分)一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2018·潍坊模拟)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析若α∥β，则m∥n，这与m、n为异面直线矛盾，所以A不正确．将已知条件转化到正方体中，易知α与β不一定垂直，但α与β的交线一定平行于l，从而排除B、C.故选D.答案 D2．(2018·乌鲁木齐二模)关于直线a，b及平面α，β，下列命题中正确的是A．若a∥α，α∩β＝b，则a∥bB．若α⊥β，m∥α，则m⊥βC．若a⊥α，a∥β，则α⊥βD．若a∥α，b⊥a，则b⊥α解析A是错误的，因为a不一定在平面β内，所以a，b有可能是异面直线；B是错误的，若α⊥β，m∥α，则m与β可能平行，可能相交，也可能线在面内，故B错误；C 是正确的，由直线与平面垂直的判断定理能得到C正确；D是错误的，直线与平面垂直，需直线与平面中的两条相交直线垂直．答案 C3．(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为A.22B.32C.52D.72解析如图，连接BE ，因为AB ∥CD ，所以异面直线AE 与CD 所成的角等于相交直线AE 与AB 所成的角，即∠EAB .不妨设正方体的棱长为2，则CE ＝1，BC ＝2，由勾股定理得BE ＝ 5.又由AB ⊥平面BCC 1B 1可得AB ⊥BE ，所以tan ∠EAB ＝BE AB ＝52.故选C. 答案 C4．如图，在三棱锥P －ABC 中，不能证明AP ⊥BC 的条件是 A ．AP ⊥PB ，AP ⊥PC B ．AP ⊥PB ，BC ⊥PBC ．平面BPC ⊥平面APC ，BC ⊥PCD ．AP ⊥平面PBC解析 A 中，因为AP ⊥PB ，AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ，所以AP ⊥平面PBC .又BC ⊂平面PBC ，所以AP ⊥BC ，故A 正确；C 中，因为平面BPC ⊥平面APC ，BC ⊥PC ，所以BC ⊥平面APC .又AP ⊂平面APC ，所以AP ⊥BC ，故C 正确；D 中，由A 知D 正确；B 中条件不能判断出AP ⊥BC ，故选B.答案 B5．(2018·石家庄质检)设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ；②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若α∩β＝n ，m ∥n ，m ∥α，则m ∥β； ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β 其中真命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①m ∥n 或m ，n 异面，故①错误；易知②正确；③m ∥β或m ⊂β，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误．答案 B6．(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A.334 B.233 C.324 D.32解析记该正方体为ABCD －A ′B ′C ′D ′，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即共点的三条棱A ′A ，A ′B ′，A ′D ′与平面α所成的角都相等．如图，连接AB ′，AD ′，B ′D ′，因为三棱锥A ′－AB ′D ′是正三棱锥，所以A ′A ，A ′B ′，A ′D ′与平面AB ′D ′所成的角都相等．分别取C ′D ′，B ′C ′，BB ′，AB ，AD ，DD ′的中点E ，F ，G ，H ，I ，J ，连接EF ，FG ，GH ，IH ，IJ ，JE ，易得E ，F ，G ，H ，I ，J 六点共面，平面EFGHIJ 与平面AB ′D ′平行，且截正方体所得截面的面积最大．又EF ＝FG ＝GH ＝IH ＝IJ ＝JE ＝22，所以该正六边形的面积为6×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝334，所以α截此正方体所得截面面积的最大值为334，故选A.答案 A二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分)7．(2018·全国卷Ⅲ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30°.若△SAB 的面积为8，则该圆锥的体积为________．解析 由题意画出图形，如图，设AC 是底面圆O 的直径，连接SO ，则SO 是圆锥的高．设圆锥的母线长为l ，则由SA ⊥SB ，△SAB 的面积为8，得12l 2＝8，得l ＝4.在Rt △ASO 中，由题意知∠SAO ＝30°，所以SO ＝12l ＝2，AO ＝32l ＝2 3.故该圆锥的体积V ＝13π×AO 2×SO ＝13π×(23)2×2＝8π.答案 8π8．(2018·烟台模拟)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，请你补充一个条件________，使平面MBD ⊥平面PCD .①DM ⊥PC ；②DM ⊥BM ；③BM ⊥PC ；④PM ＝MC (填写你认为是正确的条件对应的序号)．解析 因为在四棱锥A －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，所以BD ⊥PA ，BD ⊥AC ，因为PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC ，所以BD ⊥PC . 所以当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD . 而PC ⊂平面PCD ，所以平面MBD ⊥平面PCD . 答案 ①(或③)三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分)9．(2018·唐山期末)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ＝CC 1＝2，M 是AB 的中点．(1)求证：平面A 1CM ⊥平面ABB 1A 1； (2)求点M 到平面A 1CB 1的距离．解析 (1)证明 由A 1A ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，得A 1A ⊥CM .由AC ＝CB ，M 是AB 的中点，得AB ⊥CM .又A 1A ∩AB ＝A ，则CM ⊥平面ABB 1A 1，又CM ⊂平面A 1CM ，所以平面A 1CM ⊥平面ABB 1A 1. (2)设点M 到平面A 1CB 1的距离为h .连接MB 1.由题意可知A 1C ＝CB 1＝A 1B 1＝2MC ＝22，A 1M ＝B 1M ＝6， 则S △A 1CB 1＝23，S △A 1MB 1＝2 2.由(1)可知CM ⊥平面ABB 1A 1，则CM 是三棱锥C －A 1MB 1的高，由VC －A 1MB 1＝13MC ·S △A 1MB 1＝VM －A 1CB 1＝13h ·S △A 1CB 1，得h ＝2×2223＝233，即点M 到平面A 1CB 1的距离为233.10．(2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°.以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA .(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ ＝23DA ，求三棱锥Q －ABP 的体积．解析 (1)由已知可得，∠BAC ＝90°，BA ⊥AC . 又BA ⊥AD ，所以AB ⊥平面ACD .又AB ⊂平面ABC ，所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)由已知可得，DC ＝CM ＝AB ＝3，DA ＝3 2. 又BP ＝DQ ＝23DA ，所以BP ＝2 2.作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE 綊13DC .由已知及(1)可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，QE ＝1. 因此，三棱锥Q －ABP 的体积为V Q －ABP ＝13×QE ×S △ABP ＝13×1×12×3×22sin 45°＝1.11．(2018·兰州模拟)如图所示的空间几何体ABCDEFG 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，EG ∥AD ，EF ＝EG ＝1.(1)求证：平面CFG ⊥平面ACE ；(2)在AC 上是否存在一点H ，使得EH ∥平面CFG ？若存在，求出CH 的长，若不存在，请说明理由．解析(1)证明 连接BD 交AC 于点O ，则BD ⊥AC . 设AB ，AD 的中点分别为M ，N ， 连接MN ，则MN ∥BD .连接FM ，GN ，则FM ∥GN ，且FM ＝GN ， 所以四边形FMNG 为平行四边形， 所以MN ∥FG ，所以BD ∥FG ，所以FG ⊥AC . 因为AE ⊥平面ABCD ，所以AE ⊥BD . 所以FG ⊥AE ，又AC ∩AE ＝A ，所以FG ⊥平面ACE ，又FG ⊂平面CFG ，所以平面CFG ⊥平面ACE .(2)设平面ACE 交FG 于点Q ，则Q 为FG 的中点，连接EQ ，CQ ，连接BD 交AC 于点O ，取CO 的中点为H ，连接EH ，则CH ∥EQ ，CH ＝EQ ＝22，所以四边形EQCH 为平行四边形，所以EH∥CQ，所以EH∥平面CFG.所以在AC上存在一点H，使得EH∥平面CFG，且CH＝2 2.。

专题对点练17空间中的垂直、夹角及几何体的体积1.(2018江苏,15)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1⊥B1C1.求证:(1)AB∥平面A1B1C;(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.2.如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求证:BF⊥平面ACFD;(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.3.由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD.(1)证明:A1O∥平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.4.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=4.(1)设M是PC上的一点,证明:平面MBD⊥平面PAD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.5.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=2,O为AC的中点,PO⊥平面ABCD,且PO=6,M为PD的中点.(1)证明:AD⊥平面PAC;(2)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.6.(2018北京,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.求证:(1)PE⊥BC;(2)平面PAB⊥平面PCD;(3)EF∥平面PCD.7.如图①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=6,CE⊥AD于点E,把△DEC沿CE折到D'EC 的位置,使D'A=2,如图②.若G,H分别为D'B,D'E的中点.(1)求证:GH⊥D'A;(2)求三棱锥C-D'BE的体积.8.如图,在四棱锥S-ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1.(1)证明:SD⊥平面SAB;(2)求四棱锥S-ABCD的高.专题对点练17答案1.证明(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C,所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形,因此AB1⊥A1B.又因为AB1⊥B1C1,BC∥B1C1,所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC=B,A1B⊂平面A1BC,BC⊂平面A1BC,所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1,所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.2.(1)证明延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.因为平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC,所以AC⊥平面BCK,因此BF⊥AC.又因为EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK.所以BF⊥平面ACFD.(2)解因为BF⊥平面ACK,所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.在Rt△BFD中,BF=,DF=,得cos∠BDF=,所以,直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为.3.证明(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1∥OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1O∥O1C.又O1C⊂平面B1CD1,A1O⊄平面B1CD1,所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EM⊥BD,又A1E⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以A1E⊥BD,因为B1D1∥BD,所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1.又A1E,EM⊂平面A1EM,A1E∩EM=E,所以B1D1⊥平面A1EM,又B1D1⊂平面B1CD1,所以平面A1EM⊥平面B1CD1.4.(1)证明在△ABD中,因为AD=4,BD=8,AB=4,所以AD2+BD2=AB2.所以AD⊥BD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面PAD.又BD⊂平面MBD,故平面MBD⊥平面PAD.(2)解过点P作PO⊥AD交AD于点O,因为平面PAD⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD,所以PO为四棱锥P-ABCD的高.又△PAD是边长为4的等边三角形,因此PO=×4=2.在底面四边形ABCD中,AB∥DC,AB=2DC,所以四边形ABCD是梯形.在Rt△ADB中,斜边AB边上的高为, 此即为梯形ABCD的高,所以四边形ABCD的面积为S==24.故V P-ABCD=×24×2=16.5.(1)证明∵PO⊥平面ABCD,且AD⊂平面ABCD,∴PO⊥AD.∵∠ADC=45°,且AD=AC=2,∴∠ACD=45°,∴∠DAC=90°,∴AD⊥AC.∵AC⊂平面PAC,PO⊂平面PAC,且AC∩PO=O,∴AD⊥平面PAC.(2)解取DO的中点N,连接MN,AN,由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD,∴∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角.∵M为PD的中点,∴MN∥PO,且MN=PO=3,AN=DO=.在Rt△ANM中,tan∠MAN=,即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.6.证明(1)∵PA=PD,且E为AD的中点,∴PE⊥AD.∵底面ABCD为矩形,∴BC∥AD,∴PE⊥BC.(2)∵底面ABCD为矩形,∴AB⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,∴AB⊥平面PAD.∴AB⊥PD.又PA⊥PD,PA∩AB=A,∴PD⊥平面PAB.∵PD⊂平面PCD,∴平面PAB⊥平面PCD.(3)如图,取PC的中点G,连接FG,GD.∵F,G分别为PB和PC的中点,∴FG∥BC,且FG=BC.∵四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,∴ED∥BC,ED=BC,∴ED∥FG,且ED=FG,∴四边形EFGD为平行四边形,∴EF∥GD.又EF⊄平面PCD,GD⊂平面PCD,∴EF∥平面PCD.7.(1)证明连接BE,GH,AC,在△AED'中,ED'2=AE2+AD'2,可得AD'⊥AE.又DC==2,AC=2,可得AC2+AD'2=CD'2,可得AD'⊥AC.因为AE∩AC=A,所以AD'⊥平面ABCE,所以AD'⊥BE.又G,H分别为D'B,D'E的中点,所以GH∥BE,所以GH⊥D'A.(2)解设三棱锥C-D'BE的体积为V,则V=S△BCE·AD'=×2×2×2.8.(1)证明如图,取AB的中点E,连接DE,SE,则四边形BCDE为矩形,∴DE=CB=2,∴AD=.∵侧面SAB为等边三角形,AB=2,∴SA=SB=AB=2,且SE=.又SD=1,∴SA2+SD2=AD2,SB2+SD2=BD2,∴SD⊥SA,SD⊥SB.∵SA∩SB=S,∴SD⊥平面SAB.(2)解设四棱锥S-ABCD的高为h,则h也是三棱锥S-ABD的高.由(1)知,SD⊥平面SAB,由V S-ABD=V D-SAB,得S△ABD·h=S△SAB·SD.又S△ABD=AB·DE=×2×2=2,S△SAB=AB2=×22=,SD=1,所以h=.故四棱锥S-ABCD的高为.。

专题对点练16 空间中的平行与垂直1.(2017江苏无锡一模,16)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,E是棱AB上一点,且OE∥平面BCC1B1.(1)求证:E是AB的中点;(2)若AC1⊥A1B,求证:AC1⊥BC.证明 (1)连接BC1,取AB的中点E'.∵侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,∴O为AC1的中点.∵E'是AB的中点,∴OE'∥BC1.∵OE'⊄平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,∴OE'∥平面BCC1B1.∵OE∥平面BCC1B1,∴E,E'重合,∴E是AB的中点.(2)∵侧面AA1C1C是菱形,∴AC1⊥A1C.∵AC1⊥A1B,A1C∩A1B=A1,A1C⊂平面A1BC,A1B⊂平面A1BC,∴AC1⊥平面A1BC,∵BC⊂平面A1BC,∴AC1⊥BC.2.(2017江苏南京三模,15)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F分别为BC,CD上的点,且BD∥平面AEF.(1)求证:EF∥平面ABD;(2)若AE⊥平面BCD,BD⊥CD,求证:平面AEF⊥平面ACD.证明 (1)∵BD∥平面AEF,BD⊂平面BCD,平面BCD∩平面AEF=EF,∴BD∥EF.又BD⊂平面ABD,EF⊄平面ABD,∴EF∥平面ABD.(2)∵AE⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,∴AE⊥CD.由(1)可知BD∥EF.∵BD⊥CD,∴EF⊥CD.又AE∩EF=E,AE⊂平面AEF,EF⊂平面AEF,∴CD⊥平面AEF.又CD⊂平面ACD,∴平面AEF⊥平面ACD.3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,D,E,F分别为B1A,C1C,BC的中点,求证:(1)DE∥平面ABC;(2)B1F⊥平面AEF.证明如图,建立空间直角坐标系Axyz,不妨设AB=AA1=4,则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4).(1)取AB的中点为N,连接CN,则N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2),∴=(-2,4,0),=(-2,4,0),∴,∴DE∥NC.∵NC⊂平面ABC,DE⊄平面ABC,∴DE∥平面ABC.(2)=(-2,2,-4),=(2,-2,-2),=(2,2,0).∴=(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0,=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0.∴,即B1F⊥EF,B1F⊥AF.又AF∩EF=F,∴B1F⊥平面AEF.4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在线段BB1上,且EB1=1,D,F,G分别为CC1,C1B1,C1A1的中点.求证:(1)B1D⊥平面ABD;(2)平面EGF∥平面ABD.证明 (1)以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4),C1(0,2,4).设BA=a,则A(a,0,0),所以=(a,0,0),=(0,2,2),=(0,2,-2),=0,=0+4-4=0,即B1D⊥BA,B1D⊥BD.又BA∩BD=B,BA,BD⊂平面ABD,因此B1D⊥平面ABD.(2)由(1)知,E(0,0,3),G,F(0,1,4),则=(0,1,1),=0+2-2=0,=0+2-2=0,即B1D⊥EG,B1D⊥EF.又EG∩EF=E,EG,EF⊂平面EGF,因此B1D⊥平面EGF.结合(1)可知平面EGF∥平面ABD.5.(2017北京房山一模,理16)如图1,在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,将△BCD沿对角线BD折起到△BC'D的位置,使平面BC'D⊥平面ABD,E是BD的中点,FA⊥平面ABD,且FA=2,如图2.(1)求证:FA∥平面BC'D;(2)求平面ABD与平面FBC'所成角的余弦值;(3)在线段AD上是否存在一点M,使得C'M⊥平面FBC'?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.(1)证明∵BC'=C'D,E为BD的中点,∴C'E⊥BD.又平面BC'D⊥平面ABD,且平面BC'D∩平面ABD=BD,∴C'E⊥平面ABD.∵FA⊥平面ABD,∴FA∥C'E.又C'E⊂平面BC'D,FA⊄平面BC'D,∴FA∥平面BC'D.(2)解以DB所在直线为x轴,AE所在直线为y轴,EC'所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),A(0,-,0),D(-1,0,0),F(0,-,2),C'(0,0,),∴=(-1,-,2),=(-1,0,).设平面FBC'的一个法向量为m=(x,y,z),则取z=1,则m=(,1,1).∵平面ABD的一个法向量为n=(0,0,1),∴cos<m,n>=.则平面ABD与平面FBC'所成角的余弦值为.(3)解假设在线段AD上存在M(x,y,z),使得C'M⊥平面FBC',设=λ,则(x,y+,z)=λ(-1,,0)=(-λ,λ,0),∴x=-λ,y=(λ-1),z=0.而=(-λ,(λ-1),-),由m∥,得,λ无解.∴线段AD上不存在点M,使得C'M⊥平面FBC'.6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2BC,E,F,E1分别是棱AA1,BB1,A1B1的中点.(1)求证:CE∥平面C1E1F;(2)求证:平面C1E1F⊥平面CEF.证明以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设BC=1,则C(0,1,0),E(1,0,1),C1(0,1,2),F(1,1,1),E1.(1)设平面C1E1F的法向量为n=(x,y,z).∵=(-1,0,1),∴令x=1,得n=(1,2,1).∵=(1,-1,1),n·=1-2+1=0,∴⊥n.又CE⊄平面C1E1F,∴CE∥平面C1E1F.(2)设平面EFC的法向量为m=(a,b,c),由=(0,1,0),=(-1,0,-1),∴令a=-1,得m=(-1,0,1).∵m·n=1×(-1)+2×0+1×1=-1+1=0,∴平面C1E1F⊥平面CEF.〚导学号16804198〛7.(2017安徽安庆二模,理18)在如图所示的五面体中,四边形ABCD为直角梯形,∠BAD=∠ADC=,平面ADE⊥平面ABCD,EF=2DC=4AB=4,△ADE是边长为2的正三角形.(1)证明:BE⊥平面ACF;(2)求二面角A-BC-F的余弦值.(1)证明取AD的中点O,以O为原点,OA为x轴,过O作AB的平行线为y轴,OE为z轴,建立空间直角坐标系,则B(1,1,0),E(0,0,),A(1,0,0),C(-1,2,0),F(0,4,),∴=(-1,-1,),=(-1,4,),=(-2,2,0),∴=1-4+3=0,=2-2=0,∴BE⊥AF,BE⊥AC.又AF∩AC=A,∴BE⊥平面ACF.(2)解=(-2,1,0),=(-1,3,).设平面BCF的法向量n=(x,y,z),则取x=1,得n=.易知平面ABC的一个法向量m=(0,0,1).设二面角A-BC-F的平面角为θ,则cosθ==-.∴二面角A-BC-F的余弦值为-.〚导学号16804199〛8.(2017北京西城二模,理16)如图,在几何体ABCDEF中,底面ABCD为矩形,EF∥CD,AD⊥FC.点M在棱FC上,平面ADM与棱FB交于点N.(1)求证:AD∥MN;(2)求证:平面ADMN⊥平面CDEF;(3)若CD⊥EA,EF=ED,CD=2EF,平面ADE∩平面BCF=l,求二面角A-l-B的大小.(1)证明因为四边形ABCD为矩形,所以AD∥BC,所以AD∥平面FBC.又因为平面ADMN∩平面FBC=MN,所以AD∥MN.(2)证明因为四边形ABCD为矩形,所以AD⊥CD.因为AD⊥FC,所以AD⊥平面CDEF.所以平面ADMN⊥平面CDEF.(3)解因为EA⊥CD,AD⊥CD,所以CD⊥平面ADE,所以CD⊥DE.由(2)得AD⊥平面CDEF,所以AD⊥DE.所以DA,DC,DE两两互相垂直.建立空间直角坐标系Dxyz.不妨设EF=ED=1,则CD=2.设AD=a(a>0),由题意,得A(a,0,0),B(a,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),E(0,0,1),F(0,1,1).所以=(a,0,0),=(0,-1,1).设平面FBC的法向量为n=(x,y,z),则令z=1,则y=1.所以n=(0,1,1).又平面ADE的一个法向量为=(0,2,0),所以|cos<n,>|=.因为二面角A-l-B的平面角是锐角,所以二面角A-l-B的大小是45°.。

高考数学精品复习资料2019.5第2讲空间中的平行与垂直1．(20xx·北京)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.则“m∥β”是“α∥β”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．(20xx·安徽)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面3．(20xx·江苏)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等.热点一空间线面位置关系的判定空间线面位置关系判断的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．例1 (1)(20xx·广东)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交(2)平面α∥平面β的一个充分条件是( )A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α思维升华解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．跟踪演练1 已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题：①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；③若α⊥β，m∥α，则m⊥β；④若m⊥α，m∥β，则α⊥β.A．0 B．1C．2 D．3热点二空间平行、垂直关系的证明空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．例2 (20xx·广东)如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.(1)证明：BC∥平面PDA；(2)证明：BC⊥PD；(3)求点C到平面PDA的距离．思维升华垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l⊥α，a⊂α⇒l⊥a.跟踪演练2 如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．求证：(1)AF∥平面BCE；(2)平面BCE⊥平面CDE.热点三平面图形的折叠问题平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化、有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键．一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法．例3 如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？请说明理由．思维升华(1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口；(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论．跟踪演练3 (20xx·广东)如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如图(2)折叠，折痕EF∥DC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M－CDE的体积．1．不重合的两条直线m，n分别在不重合的两个平面α，β内，下列为真命题的是( ) A．m⊥n⇒m⊥βB．m⊥n⇒α⊥βC．α∥β⇒m∥βD．m∥n⇒α∥β2．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.(1)求证：D1C⊥AC1；(2)问在棱CD上是否存在点E，使D1E∥平面A1BD.若存在，确定点E位置；若不存在，说明理由．提醒：完成作业专题五第2讲二轮专题强化练专题五第2讲空间中的平行与垂直A组专题通关1．(20xx·西北工大附中四模)已知a、b、c是三条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列条件中，能推导出a⊥α的是( )A．a⊥b，a⊥c，其中b⊂α，c⊂αB．a⊥b，b∥αC．α⊥β，a∥βD．a∥b，b⊥α2．(20xx·湖北)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则( )A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件3．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是AA1，A1D1，CC1，BC的中点，给出以下四个结论：①A1C⊥MN；②A1C∥平面MNPQ；③A1C与PM相交；④NC与PM异面．其中不正确的结论是( )A．① B．②C．③ D．④4．已知α，β是两个不同的平面，有下列三个条件：①存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β；②存在一条直线a，a⊂α，a⊥β；③存在两条垂直的直线a，b，a⊥β，b⊥α.其中，所有能成为“α⊥β”的充要条件的序号是( )A．① B．②C．③ D．①③5．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD.则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC6．如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若AMMB＝ANND，则直线MN与平面BDC的位置关系是________．7.如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．8．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．9．(20xx·山东)如图，三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.10．(20xx·四川)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并证明你的结论；(3)证明：直线DF⊥平面BEG.B组能力提高11．(20xx·辽宁师范大学附属中学期中)已知平面α、β、γ，则下列命题中正确的是( ) A．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥αB．α⊥β，β⊥γ，则α∥γC．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，则a⊥bD．α∥β，β⊥γ，则α⊥γ12.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.13．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是________．(填序号)①AC⊥BE；②B1E∥平面ABCD；③三棱锥E－ABC的体积为定值；④直线B1E⊥直线BC1.14.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．(1)证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．学生用书答案精析第2讲空间中的平行与垂直高考真题体验1．B [m⊂α，m∥β⇏α∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴m∥β是α∥β的必要而不充分条件．]2．D [对于A，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A错；对于B，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故B错；对于C，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C错；对于D，若假设m，n垂直于同一平面，则m∥n，其逆否命题即为D选项，故D正确．]3．证明(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.热点分类突破例1 (1)D (2)D解析(1)若l与l1，l2都不相交则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l 1，l 2中的一条相交．(2)若α∩β＝l ，a ∥l ，a ⊄α，a ⊄β，则a ∥α，a ∥β，故排除A.若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，则a ∥β，故排除B.若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，b ⊂β，b ∥l ，则a ∥β，b ∥α，故排除C.故选D. 跟踪演练1 C [对于①，垂直于同一个平面的两条直线平行，①正确；对于②，直线n 可能在平面α内，所以推不出n ∥α，②错误；对于③，举一反例，m ⊂β且m 与α，β的交线平行时，也有m ∥α，③错误； 对于④，可以证明其正确性，④正确．故选C.]例2 (1)证明 因为四边形ABCD 是长方形，所以BC ∥AD ，因为BC ⊄平面PDA ，AD ⊂平面PDA ，所以BC ∥平面PDA .(2)证明 因为四边形ABCD 是长方形，所以BC ⊥CD ，因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面PDC ，因为PD ⊂平面PDC ，所以BC ⊥PD .(3)解 如图，取CD 的中点E ，连接AE 和PE .因为PD ＝PC ，所以PE ⊥CD ，在Rt△PED 中，PE ＝PD 2－DE 2＝42－32＝7.因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，PE ⊂平面PDC ，所以PE ⊥平面ABCD ，由(2)知：BC ⊥平面PDC ，由(1)知：BC ∥AD ，所以AD ⊥平面PDC ，因为PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD .设点C 到平面PDA 的距离为h ，因为V 三棱锥CPDA ＝V 三棱锥PACD ，所以13S △PDA ·h ＝13S △ACD ·PE ，即h ＝S △ACD ·PE S △PDA ＝12×3×6×712×3×4＝372，所以点C 到平面PDA 的距离是372.跟踪演练2 证明 (1)如图，取CE 的中点G ，连接FG ，BG .∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE 且GF ＝12DE .∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB ∥DE ，∴GF ∥AB .又AB ＝12DE ，∴GF ＝AB .∴四边形GFAB 为平行四边形，则AF ∥BG .∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ，∴AF ∥平面BCE .(2)∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF ⊥CD .∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF .又CD ∩DE ＝D ，故AF ⊥平面CDE .∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE .∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .例3 (1)证明 因为D ，E 分别为AC ，AB 的中点，所以DE ∥BC .又因为DE ⊄平面A 1CB ，BC ⊂平面A 1CB ，所以DE ∥平面A 1CB .(2)证明 由题图(1)得AC ⊥BC 且DE ∥BC ，所以DE ⊥AC .所以DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD .所以DE ⊥平面A 1DC .而A 1F ⊂平面A 1DC ，所以DE ⊥A 1F .又因为A 1F ⊥CD ，所以A 1F ⊥平面BCDE ，又BE ⊂平面BCDE ，所以A 1F ⊥BE .(3)解 线段A 1B 上存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ .理由如下：如图，分别取A 1C ，A 1B 的中点P ，Q ，则PQ ∥BC .又因为DE ∥BC ，所以DE ∥PQ .所以平面DEQ 即为平面DEP .由(2)知，DE ⊥平面A 1DC ，所以DE ⊥A 1C .又因为P 是等腰三角形DA 1C 底边A 1C 的中点，所以A 1C ⊥DP .所以A 1C ⊥平面DEP .从而A 1C ⊥平面DEQ .故线段A 1B 上存在点Q ，使得A 1C ⊥平面DEQ .跟踪演练3 (1)证明 因为PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AD .又因为ABCD 是矩形，CD ⊥AD ，PD 与CD 交于点D ，所以AD ⊥平面PCD .又CF ⊂平面PCD ，所以AD ⊥CF ，即MD ⊥CF .又MF ⊥CF ，MD ∩MF ＝M ，所以CF ⊥平面MDF .(2)解 因为PD ⊥DC ，BC ＝2，CD ＝1，∠PCD ＝60°，所以PD ＝3，由(1)知FD ⊥CF ， 在直角三角形DCF 中，CF ＝12CD ＝12.过点F 作FG ⊥CD 交CD 于点G ，得FG ＝FC sin 60°＝12×32＝34，所以DE ＝FG ＝34，故ME ＝PE ＝3－34＝334，所以MD ＝ME 2－DE 2＝ 3342－342＝62.S △CDE ＝12DE ·DC ＝12×34×1＝38.故V M －CDE ＝13MD ·S △CDE ＝13×62×38＝216.高考押题精练1．C [构造长方体，如图所示．因为A1C1⊥AA1，A1C1⊂平面AA1C1C，AA1⊂平面AA1B1B，但A1C1与平面AA1B1B不垂直，平面AA1C1C与平面AA1B1B不垂直．所以选项A，B都是假命题．CC1∥AA1，但平面AA1C1C与平面AA1B1B相交而不平行，所以选项D为假命题．“若两平面平行，则平面内任何一条直线必平行于另一个平面”是真命题，故选C.] 2．(1)证明在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，连接C1D，∵DC＝DD1，∴四边形DCC1D1是正方形，∴DC1⊥D1C.又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，∴AD⊥平面DCC1D1，又D1C⊂平面DCC1D1，∴AD⊥D1C.∵AD⊂平面ADC1，DC1⊂平面ADC1，且AD∩DC1＝D，∴D1C⊥平面ADC1，又AC1⊂平面ADC1，∴D1C⊥AC1.(2)解假设存在点E，使D1E∥平面A1BD.连接AD1，AE，D1E，设AD1∩A1D＝M，BD∩AE＝N，连接MN，∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN，要使D1E∥平面A1BD，可使MN∥D1E，又M是AD1的中点，则N是AE的中点．又易知△ABN≌△EDN，∴AB＝DE.即E是DC的中点．综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.二轮专题强化练答案精析第2讲 空间中的平行与垂直1．D [选项A 中缺少b ，c 相交；选项B ，由a ⊥b ，b ∥α可能a ⊂α；选项C 可能a ⊂α或a ∥α，选项D 正确．]2．A [由l 1，l 2是异面直线，可得l 1，l 2不相交，所以p ⇒q ；由l 1，l 2不相交，可得l 1，l 2是异面直线或l 1∥l 2，所以q ⇏p .所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件．故选A.]3．B [作出过M ，N ，P ，Q 四点的截面交C 1D 1于点S ，交AB 于点R ，如图所示中的六边形MNSPQR ，显然点A 1，C 分别位于这个平面的两侧，故A 1C 与平面MNPQ 一定相交，不可能平行， 故结论②不正确．]4．D [对于①，存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β，则α⊥β，反之也成立，即“存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β”是“α⊥β”的充要条件，所以①对，可排除B 、C. 对于③，存在两条垂直的直线a ，b ，则直线a ，b 所成的角为90°，因为a ⊥β，b ⊥α，所以α，β所成的角为90°，即α⊥β，反之也成立，即“存在两条垂直的直线a ，b ，a ⊥β，b ⊥α”是“α⊥β”的充要条件，所以③对，可排除A ，选D.]5．D [∵在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，∴BD ⊥CD ， 又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以CD ⊥平面ABD ，则CD ⊥AB ，又AD ⊥AB ，AD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥平面ADC ，又AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ADC ，故选D.]6．平行解析 由AM MB ＝AN ND，得MN ∥BD . 而BD ⊂平面BDC ，MN ⊄平面BDC ，所以MN ∥平面BDC .7．②④解析①错误，PA⊂平面MOB；②正确；③错误，否则，有OC⊥AC，这与BC⊥AC矛盾；④正确，因为BC⊥平面PAC.8．①③解析对于①，注意到该正方体的面中过直线AB的侧面与平面MNP平行，因此直线AB平行于平面MNP；对于②，注意到直线AB和过点A的一个与平面MNP平行的平面相交，因此直线AB与平面MNP相交；对于③，注意到此时直线AB与平面MNP内的一条直线MP平行，且直线AB位于平面MNP外，因此直线AB与平面MNP平行；对于④，易知此时AB与平面MNP相交．综上所述，能得出直线AB平行于平面MNP的图形的序号是①③.9．证明(1)方法一连接DG，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形．则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM∥BD，又HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.方法二在三棱台DEF-ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形HBEF为平行四边形，可得BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.又因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.(2)连接HE，GE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH. 10．(1)解点F，G，H的位置如图所示．(2)解平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD-EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是BCHE为平行四边形，所以BE∥CH，又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH，同理BG∥平面ACH，又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明连接FH，BD.因为ABCD-EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH，因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG，又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD，又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG，同理DF⊥BG，又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.11．D [选项A 中，缺少条件b ⊂β，错误；B 中，α、β、γ的关系可参考教室墙角处三个平面的关系，易知错误；C 中的a ，b 可能平行或斜交．由两平面平行的性质可知D 正确．]12．a 或2a解析 由题意易知，B 1D ⊥平面ACC 1A 1，所以B 1D ⊥CF .要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥DF 即可．令CF ⊥DF ，设AF ＝x ，则A 1F ＝3a －x .易知Rt △CAF ∽Rt △FA 1D ， 得AC A 1F ＝AF A 1D， 即2a x ＝3a －x a ，整理得x 2－3ax ＋2a 2＝0，解得x ＝a 或x ＝2a .13．①②③解析 因AC ⊥平面BDD 1B 1，故①、②正确；记正方体的体积为V ，则V E －ABC ＝16V 为定值，故③正确；B 1E 与BC 1不垂直，故④错误． 14．(1)证明 如图，因为ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，所以B 1C 1⊥面ABB 1A 1.因为A 1B ⊂面ABB 1A 1，所以B 1C 1⊥A 1B .又因为A 1B ⊥AB 1，B 1C 1∩AB 1＝B 1，所以A 1B ⊥面ADC 1B 1.因为A 1B ⊂面A 1BE ，所以平面ADC 1B 1⊥平面A 1BE .(2)解 当点F 为C 1D 1中点时，可使B 1F ∥平面A 1BE .证明如下：易知：EF ∥C 1D ，且EF ＝12C 1D . 设AB 1∩A 1B ＝O ，则B 1O ∥C 1D 且B 1O ＝12C 1D ， 所以EF ∥B 1O 且EF ＝B 1O ，所以四边形B 1OEF 为平行四边形．所以B 1F ∥OE .又因为B 1F ⊄面A 1BE ，OE ⊂面A 1BE .所以B1F∥面A1BE.。

第3讲 立体几何中的计算 课时讲义1. 高考对立体几何的计算，主要是能利用公式求常见几何体(柱体、锥体、台体和球)的表面积与体积．有时还需能解决距离、翻折、存在性等比较综合性的问题．2. 高考中常见的题型为：(1) 常见几何体的表面积与体积的计算；(2) 利用等积变换求距离问题；(3) 通过计算证明平行与垂直等问题；(4) 几何体的内切和外接．1. 棱长都是2的三棱锥的表面积为________． 答案：43解析： 因为四个面是全等的正三角形，则S 表面积＝4×34×4＝43.2. 如图，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是棱BB 1的中点，则四棱锥PAA 1C 1C的体积为________．答案：13解析：四棱锥PAA 1C 1C 的体积为13×22×2×1＝13.3. (2018·南京学情调研)将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27π cm 3，则该圆柱的侧面积为________cm 2.答案：18π解析：设正方形的边长为a cm ，则πa 2·a ＝27π，解得a ＝3，所以侧面积2π×3×3＝18π.4. (2018·海安质量测试)已知正三棱锥的体积为36 3 cm 3，高为4 cm ，则底面边长为________cm.答案：63解析： 设正三棱锥的底面边长为a ，则其面积为S ＝34a 2.由题意13·34a 2×4＝363，解得a ＝63., 一) 表面积与体积, 1) 如图，在以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的六面体中，△ABC 和△ABD 均为等边三角形，且平面ABC ⊥平面ABD ，EC ⊥平面ABC ，EC ＝3，AB ＝2.(1) 求证：DE ∥平面ABC ； (2) 求此六面体的体积．(1) 证明：作DF ⊥AB ，交AB 于点F ，连结CF. 因为平面ABC ⊥平面ABD ， 且平面ABC ∩平面ABD ＝AB ， 所以DF ⊥平面ABC.因为EC ⊥平面ABC ，所以DF ∥EC. 因为△ABD 是边长为2的等边三角形， 所以DF ＝3，因此DF ＝EC ，所以四边形DECF 为平行四边形，所以DE ∥CF.因为DE ⊄平面ABC ，CF ⊂平面ABC ， 所以DE ∥平面ABC.(2) 解：因为△ABD 是等边三角形，所以点F 是AB 的中点． 又△ABC 是等边三角形，所以CF ⊥AB. 由DF ⊥平面ABC 知，DF ⊥CF ， 所以CF ⊥平面ABD.因为DE ∥CF ，所以DE ⊥平面ABD ， 因此四面体ABDE 的体积为13S △ABD ·DE ＝1；四面体ABCE 的体积为13S △ABC ·CE ＝1，而六面体ABCED 的体积＝四面体ABDE 的体积＋四面体ABCE 的体积， 故所求六面体的体积为2.(2018·苏州暑假测试)如图，正四棱锥P ABCD 的底面一边AB 的长为2 3 cm ，侧面积为83 cm 2，则它的体积为________cm 3.答案：4解析：记正四棱锥P ABCD 的底面中心为点O ，棱AB 的中点为H, 连结PO ，HO ，PH ，则PO ⊥平面ABCD .因为正四棱锥的侧面积为83 cm 2，所以83＝4×12×23×PH ，解得PH ＝2.在直角△PHO 中，PH ＝2，HO ＝3，所以PO ＝1，所以V PABCD ＝13×S 四边形ABCD ×PO ＝13×23×23×1＝4(cm 3)．, 二) 翻折与切割问题, 2) 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠ABC ＝60°，BD ∩AC ＝O ，现将其沿菱形对角线BD 折起得到空间四边形EBCD ，使EC ＝2.(1) 求证：EO ⊥CD ；(2) 求点O 到平面EDC 的距离．(1) 证明：∵ 四边形ABCD 为菱形，∴ AC ⊥BD . ∵ BD ∩AC ＝O ，∴ AO ⊥BD ，即EO ⊥BD .∵ 在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠ABC ＝60°，∴ AD ＝CD ＝BC ＝2，AO ＝OC ＝1. ∵ EC ＝2，CO ＝EO ＝1，∴ EO 2＋OC 2＝EC 2，∴ EO ⊥OC . 又BD ∩OC ＝O ，∴ EO ⊥平面BCD ，∴ EO ⊥CD .(2) 解：设点O 到平面ECD 的距离为h ，由(1)知EO ⊥平面OCD .V 三棱锥O CDE ＝V 三棱锥E OCD ，即13S △OCD ·EO ＝13S △ECD ·h . 在Rt △OCD 中，OC ＝1，OD ＝3，∠DOC ＝90°，∴ S △OCD ＝12OC ·OD ＝32.在△CDE 中，ED ＝DC ＝2，EC ＝2，∴ S △CDE ＝12×2×22－（22）2＝72， ∴ h ＝S △OCD ·EO S △ECD ＝217，即点O 到平面EDC 的距离为217.如图①，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝12AD ＝a ，点E 是AD的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到如图②中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1BCDE .(1) 求证：CD ⊥平面A 1OC ；(2) 当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1BCDE 的体积为362，求a 的值．,①) ,②)(1) 证明：在图①中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，点E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC ，即在图②中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC . 又A 1O ∩OC ＝O ，所以BE ⊥平面A 1OC . 在图①中，BC ∥ED ，且BC ＝ED ，所以四边形BCDE 是平行四边形，所以BE ∥CD ， 所以CD ⊥平面A 1OC .(2) 解：因为平面A 1BE ⊥平面BCDE ，所以A 1O 是四棱锥A 1BCDE 的高． 根据图①可得A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2， 所以VA 1BCDE ＝13×S ×A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3.由26a 3＝362，解得a ＝6., 三) 立体几何中的以算代证问题, 3) (2018·泰州中学学情调研)在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝3a ，BC ＝2a ，D 是BC 的中点，E ，F 分别是AA 1，CC 1上一点，且AE ＝CF ＝2a.(1) 求证：B 1F ⊥平面ADF ； (2) 求三棱锥B 1ADF 的体积．(1) 证明：∵ AB ＝AC ，D 为BC 中点，∴ AD ⊥BC.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1B ⊥底面ABC ，AD ⊂底面ABC ，∴ AD ⊥B 1B.∵ BC ∩B 1B ＝B ，∴ AD ⊥平面B 1BCC 1. ∵ B 1F ⊂平面B 1BCC 1，∴ AD ⊥B 1F.在矩形B 1BCC 1中，C 1F ＝CD ＝a ，B 1C 1＝CF ＝2a ， ∴ Rt △DCF ≌Rt △FC 1B 1，∴ ∠CFD ＝∠C 1B 1F ， ∴ ∠B 1FD ＝90°，∴ B 1F ⊥FD . ∵ AD ∩FD ＝D ，∴ B 1F ⊥平面AFD . (2) 解： ∵ B 1F ⊥平面AFD ，∴ VB 1－ADF ＝13·S △ADF ·B 1F ＝13×12×AD ×DF ×B 1F ＝52a 33.如图①，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2.将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体DABC ，如图②.(1) 求证：BC ⊥平面ACD ； (2) 求几何体DABC 的体积．(1) 证明：(证法1)在图①中，由题意知，AC ＝BC ＝22，∴ AC 2＋BC 2＝AB 2，∴ AC ⊥BC .取AC 的中点O ，连结DO ，由AD ＝CD ，得DO ⊥AC .又平面ADC ⊥平面ABC ，且平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，DO ⊂平面ACD ， ∴ OD ⊥平面ABC ，∴ OD ⊥BC . 又AC ⊥BC ，AC ∩OD ＝O ， ∴ BC ⊥平面ACD .(证法2)在图①中，由题意得AC ＝BC ＝22，∴ AC 2＋BC 2＝AB 2， ∴ AC ⊥BC .∵ 平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，BC ⊂平面ABC ， ∴ BC ⊥平面ACD .(2) 解：由(1)知，BC 为三棱锥BACD 的高， 且BC ＝22，S △ACD ＝12×2×2＝2，∴ 三棱锥BACD 的体积V BACD ＝13S △ACD ·BC ＝13×2×22＝423，即几何体DABC 的体积为423.1. (2018·天津卷)如图，已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1BB 1D 1D 的体积为________．答案：13解析：如图，连结A 1C 1，交B 1D 1于点O ，很明显A 1C 1⊥平面BDD 1B 1，则A 1O 是四棱锥的高，且A 1O ＝12A 1C 1＝12×12＋12＝22，S 四边形BDD 1B 1＝BD ×DD 1＝2×1＝2，结合四棱锥体积公式可得其体积为V ＝13Sh ＝13×2×22＝13.2. (2018·江苏卷)如图，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．答案：43解析：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于2，所以该多面体的体积为2×13×1×(2)2＝43.3. (2017·北京卷)如图，在三棱锥PABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA ＝AB ＝BC ＝2，点D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．(1) 求证：PA ⊥BD ；(2) 求证：平面BDE ⊥平面PAC ；(3) 当PA ∥平面BDE 时，求三棱锥EBCD 的体积．(1) 证明：因为PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ∩BC ＝B ，所以PA ⊥平面ABC. 因为BD ⊂平面ABC ，所以PA ⊥BD.(2) 证明：因为AB ＝BC ，点D 为AC 的中点，所以BD ⊥AC. 由(1)知，PA ⊥BD ，PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC. 又BD ⊂平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面PAC.(3) 解：因为PA ∥平面BDE ，平面PAC ∩平面BDE ＝DE ，所以PA ∥DE. 因为点D 为AC 的中点，所以DE ＝12PA ＝1，BD ＝DC ＝2.由(1)知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ， 所以三棱锥EBCD 的体积为V ＝13×12×BD ×DC ×DE ＝13.4. (2017·全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥PABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°. (1) 求证：平面PAB ⊥平面PAD ；(2) 若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥PABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．(1) 证明：由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD .由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD .又PA ∩PD ＝P ，所以AB ⊥平面PAD . 又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .(2) 解：如图，在平面PAD 内作PE ⊥AD ，垂足为点E .由(1)知，AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥PE ，由AB ∩AD ＝A ，可得PE ⊥平面ABCD .设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x ，故四棱锥PABCD 的体积V PABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3.由题设得13x 3＝83，解得x ＝2. 从而PA ＝PD ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝22，所以△PBC 为等边三角形，可得四棱锥PABCD 的侧面积为 12PA ·PD ＋12PA ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin 60°＝6＋2 3.5. (2017·全国卷Ⅲ)如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD ＝CD .(1) 求证：AC ⊥BD ；(2) 已知△ACD 是直角三角形，AB ＝BD ，若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．(1) 证明：如图，取AC 的中点O ，连结DO ，BO .因为AD ＝CD ，所以AC ⊥DO .又由于△ABC 是正三角形，所以AC ⊥BO . 又DO ∩BO ＝O ，所以AC ⊥平面DOB . 因为BD ⊂平面DOB ，所以AC ⊥BD . (2) 解：连结EO .由(1)及题设知∠ADC ＝90°，所以DO ＝AO . 在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2. 又AB ＝BD ，所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2， 故∠DOB ＝90°.由题设知△AEC 为直角三角形，所以EO ＝12AC .又△ABC 是正三角形，且AB ＝BD ，所以EO ＝12BD ，故点E 为BD 的中点．所以点E 到平面ABC 的距离为点D 到平面ABC 的距离的12，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1∶1.(本题模拟高考评分标准，满分14分) (2018·长春模拟)如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .(1) 求证：平面AEC ⊥平面BED ；(2) 若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥EACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积．(1) 证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD . 因为BE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥BE .(2分) 因为BD ∩BE ＝B ，故AC ⊥平面BED .又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED .(6分)(2) 解：设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，得AG ＝GC ＝32x ，GB ＝GD＝x2. 因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x .(8分)由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形，可得BE ＝22x .由已知得三棱锥EACD 的体积为63，即13×12·AC ·GD ·BE ＝624x 3＝63，解得x ＝2.(9分)从而可得AE ＝EC ＝ED ＝6.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5.故三棱锥EACD 的侧面积为3＋25.(14分)1. 若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为________． 答案：2π解析： 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则有2πr ＝2，即r ＝1π，故圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫1π2×2＝2π.2. 如图，已知AF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，∠DAB ＝90°，AB ∥CD ，AD ＝AF ＝CD ＝2，AB ＝4.(1) 求证：AF ∥平面BCE ； (2) 求证：AC ⊥平面BCE ； (3) 求三棱锥EBCF 的体积．(1) 证明：∵ 四边形ABEF 为矩形，∴ AF ∥BE .又BE ⊂平面BCE ，AF ⊄平面BCE ， ∴ AF ∥平面BCE .(2) 证明：如图，过点C 作CM ⊥AB ，垂足为点M . ∵ AD ⊥DC ，∴ 四边形ADCM 为矩形， ∴ AM ＝DC ＝MB ＝AD ＝2.∴ AC ＝22，CM ＝2，BC ＝22，∴ AC 2＋BC 2＝AB 2，∴ AC ⊥BC . ∵ AF ⊥平面ABCD ，AF ∥BE ， ∴ BE ⊥平面ABCD ，∴ BE ⊥AC .∵ BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BC ∩BE ＝B ， ∴ AC ⊥平面BCE .(3) 解：∵ AF ⊥平面ABCD ，∴ AF ⊥CM .∵ CM ⊥AB ，AF ⊂平面ABEF ，AB ⊂平面ABEF ，AF ∩AB ＝A ，∴ CM ⊥平面ABEF ，∴ V 三棱锥EBCF ＝V 三棱锥CBEF ＝13×12×BE ×EF ×CM ＝16×2×4×2＝83.3. (2016·江苏卷)现需要设计一个仓库，它由上、下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P A 1B 1C 1D 1，下部分的形状是正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1(如图)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．(1) 若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2) 若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？解：(1) ∵ PO 1＝2 m ，正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍，∴ O 1O ＝8 m ，∴ 仓库的容积V ＝13×62×2＋62×8＝312(m 3)． (2) 若正四棱锥的侧棱长为6 m ，设PO 1＝x m ，则O 1O ＝4x m ，A 1O 1＝36－x 2 m ，A 1B 1＝2·36－x 2 m ， 则仓库的容积V (x )＝13×(2·36－x 2)2·x ＋(2·36－x 2)2·4x ＝－263x 3＋312x (0＜x＜6)， V ′(x )＝－26x 2＋312(0＜x ＜6)．当0＜x ＜23时，V ′(x )＞0，V (x )单调递增； 当23＜x ＜6时，V ′(x )＜0，V (x )单调递减． 故当x ＝23时，V (x )取最大值． 即当PO 1＝23 m 时，仓库的容积最大．请使用“课后训练·第19讲”活页练习，及时查漏补缺！。

专题对点练17空间中的垂直、夹角及几何体的体积1.(2018江苏,15)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1⊥B1C1.求证:(1)AB∥平面A1B1C;(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.2.如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求证:BF⊥平面ACFD;(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.3.由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD.(1)证明:A1O∥平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.4.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=4.(1)设M是PC上的一点,证明:平面MBD⊥平面PAD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.5.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=2,O为AC的中点,PO⊥平面ABCD,且PO=6,M为PD的中点.(1)证明:AD⊥平面PAC;(2)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.6.(2018北京,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.求证:(1)PE⊥BC;(2)平面PAB⊥平面PCD;(3)EF∥平面PCD.7.如图①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=6,CE⊥AD于点E,把△DEC沿CE折到D'EC的位置,使D'A=2,如图②.若G,H分别为D'B,D'E的中点.(1)求证:GH⊥D'A;(2)求三棱锥C-D'BE的体积.8.如图,在四棱锥S-ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1.(1)证明:SD⊥平面SAB;(2)求四棱锥S-ABCD的高.专题对点练17答案1.证明(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C,所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形,因此AB1⊥A1B.又因为AB1⊥B1C1,BC∥B1C1,所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC=B,A1B⊂平面A1BC,BC⊂平面A1BC,所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1,所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.2.(1)证明延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.因为平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC,所以AC⊥平面BCK,因此BF⊥AC.又因为EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK.所以BF⊥平面ACFD.(2)解因为BF⊥平面ACK,所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.在Rt△BFD中,BF=,DF=,得cos∠BDF=,所以,直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为.3.证明(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1∥OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1O∥O1C.又O1C⊂平面B1CD1,A1O⊄平面B1CD1,所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EM⊥BD,又A1E⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以A1E⊥BD,因为B1D1∥BD,所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1.又A1E,EM⊂平面A1EM,A1E∩EM=E,所以B1D1⊥平面A1EM,又B1D1⊂平面B1CD1,所以平面A1EM⊥平面B1CD1.4.(1)证明在△ABD中,因为AD=4,BD=8,AB=4,所以AD2+BD2=AB2.所以AD⊥BD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD⊂平面ABCD, 所以BD⊥平面PAD.又BD⊂平面MBD,故平面MBD⊥平面PAD.(2)解过点P作PO⊥AD交AD于点O,因为平面PAD⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD,所以PO为四棱锥P-ABCD的高.又△PAD是边长为4的等边三角形,因此PO=×4=2.在底面四边形ABCD中,AB∥DC,AB=2DC,所以四边形ABCD是梯形.在Rt△ADB中,斜边AB边上的高为,此即为梯形ABCD的高,所以四边形ABCD的面积为S==24.故V P-ABCD=×24×2=16.5.(1)证明∵PO⊥平面ABCD,且AD⊂平面ABCD,∴PO⊥AD.∵∠ADC=45°,且AD=AC=2,∴∠ACD=45°,∴∠DAC=90°,∴AD⊥AC.∵AC⊂平面PAC,PO⊂平面PAC,且AC∩PO=O,∴AD⊥平面PAC.(2)解取DO的中点N,连接MN,AN,由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD,∴∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角.∵M为PD的中点,∴MN∥PO,且MN=PO=3,AN=DO=.在Rt△ANM中,tan∠MAN=,即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.6.证明(1)∵PA=PD,且E为AD的中点,∴PE⊥AD.∵底面ABCD为矩形,∴BC∥AD,∴PE⊥BC.(2)∵底面ABCD为矩形,∴AB⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,∴AB⊥平面PAD.∴AB⊥PD.又PA⊥PD,PA∩AB=A,∴PD⊥平面PAB.∵PD⊂平面PCD,∴平面PAB⊥平面PCD.(3)如图,取PC的中点G,连接FG,GD.∵F,G分别为PB和PC的中点,∴FG∥BC,且FG=BC.∵四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,∴ED∥BC,ED=BC,∴ED∥FG,且ED=FG,∴四边形EFGD为平行四边形,∴EF∥GD.又EF⊄平面PCD,GD⊂平面PCD,∴EF∥平面PCD.7.(1)证明连接BE,GH,AC,在△AED'中,ED'2=AE2+AD'2,可得AD'⊥AE.又DC==2,AC=2,可得AC2+AD'2=CD'2,可得AD'⊥AC.因为AE∩AC=A,所以AD'⊥平面ABCE,所以AD'⊥BE.又G,H分别为D'B,D'E的中点,所以GH∥BE,所以GH⊥D'A.(2)解设三棱锥C-D'BE的体积为V,则V=S△BCE·AD'=×2×2×2.8.(1)证明如图,取AB的中点E,连接DE,SE,则四边形BCDE为矩形,∴DE=CB=2,∴AD=.∵侧面SAB为等边三角形,AB=2,∴SA=SB=AB=2,且SE=.又SD=1,∴SA2+SD2=AD2,SB2+SD2=BD2,∴SD⊥SA,SD⊥SB.∵SA∩SB=S,∴SD⊥平面SAB.(2)解设四棱锥S-ABCD的高为h,则h也是三棱锥S-ABD的高.由(1)知,SD⊥平面SAB,由V S-ABD=V D-SAB,得S△ABD·h=S△SAB·SD.又S△ABD=AB·DE=×2×2=2,S△SAB=AB2=×22=,SD=1,所以h=.故四棱锥S-ABCD的高为.。

专题能力训练14 空间中的平行与垂直一、能力突破训练1.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()2.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,点P在△AEF内的射影为O.则下列说法正确的是()A.O是△AEF的垂心B.O是△AEF的内心C.O是△AEF的外心D.O是△AEF的重心3.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列命题:①若α⊥β,m∥α,则m⊥β;②若m⊥α,n⊥β,且m⊥n,则α⊥β;③若m⊥β,m∥α,则α⊥β;④若m∥α,n∥β,且m∥n,则α∥β.其中正确命题的序号是()A.①④B.②③C.②④D.①③4.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A. B. C. D.5.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点,动点P在表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的周长为.6.下列命题正确的是.(填上你认为正确的所有命题的序号)①空间中三个平面α,β,γ,若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ;②若a,b,c为三条两两异面的直线,则存在无数条直线与a,b,c都相交;③若球O与棱长为a的正四面体各面都相切,则该球的表面积为a2;④在三棱锥P-ABC中,若PA⊥BC,PB⊥AC,则PC⊥AB.7.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN∥平面PAB;(2)求四面体N-BCM的体积.8.如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.(1)求证:DC⊥平面PAC;(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.9.(2018天津,文17)如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=2,∠BAD=90°.(1)求证:AD⊥BC;(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值;(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.10.(2018北京,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.(1)求证:PE⊥BC;(2)求证:平面PAB⊥平面PCD;(3)求证:EF∥平面PCD.二、思维提升训练11.如图①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.图①图②(1)证明:CD⊥平面A1OC;(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36,求a的值.12.如图,AB是圆O的直径,点C是的中点,点V是圆O所在平面外一点,D是AC的中点,已知AB=2,VA=VB=VC=2.(1)求证:OD∥平面VBC;(2)求证:AC⊥平面VOD;(3)求棱锥C-ABV的体积.13.已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=,点D为AC的中点,点E在线段AA1上.(1)当AE∶EA1=1∶2时,求证:DE⊥BC1.(2)是否存在点E,使三棱锥C1-BDE的体积恰为三棱柱ABC-A1B1C1体积的?若存在,求AE的长,若不存在,请说明理由.14.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分线段PC,且分别交AC,PC于D,E两点,PB=BC,PA=AB.(1)求证:PC⊥平面BDE;(2)若点Q是线段PA上任一点,判断BD,DQ的位置关系,并证明你的结论;(3)若AB=2,求三棱锥B-CED的体积.专题能力训练14空间中的平行与垂直一、能力突破训练1.A解析易知选项B中,AB∥MQ,且MQ⊂平面MNQ,AB⊄平面MNQ,则AB∥平面MNQ;选项C中,AB∥MQ,且MQ⊂平面MNQ,AB⊄平面MNQ,则AB∥平面MNQ;选项D中,AB∥NQ,且NQ⊂平面MNQ,AB⊄平面MNQ,则AB∥平面MNQ,故排除选项B,C,D.故选A.2.A解析如图,易知PA,PE,PF两两垂直,∴PA⊥平面PEF,从而PA⊥EF,而PO⊥平面AEF,则PO⊥EF,∴EF⊥平面PAO,∴EF⊥AO.同理可知AE⊥FO,AF⊥EO,∴O为△AEF的垂心.3.B解析当α⊥β,m∥α时,有m⊥β,m∥β,m⊂β等多种可能情况,所以①不正确;当m⊥α,n⊥β,且m⊥n时,由面面垂直的判定定理知α⊥β,所以②正确;因为m⊥β,m∥α,所以α⊥β,③正确;若m∥α,n∥β,且m∥n,则α∥β或α,β相交,④不正确.故选B.4.A解析 (方法一)∵α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴m∥B1D1.∵α∥平面CB1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,∴n∥CD1.∴B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即∠B1D1C等于m,n所成的角.∵△B1D1C为正三角形,∴∠B1D1C=60°,∴m,n所成的角的正弦值为.(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移,补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF∥平面CB1D1,所以平面AEF即为平面α,m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.因为△AEF是正三角形,所以∠EAF=60°,故m,n所成角的正弦值为.5.解析如图,取CD的中点F,SC的中点G,连接EF,EG,FG.设EF交AC于点H,连接GH,易知AC⊥EF.又GH∥SO,∴GH⊥平面ABCD,∴AC⊥GH.又GH∩EF=H,∴AC⊥平面EFG.故点P的轨迹是△EFG,其周长为.6.②③④解析①中也可以α与γ相交;②作平面与a,b,c都相交;③中可得球的半径为r=a;④中由PA⊥BC,PB⊥AC得点P在底面△ABC的射影为△ABC的垂心,故PC⊥AB.7.(1)证明由已知得AM=AD=2.取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TN∥BC,TN=BC=2.又AD∥BC,故TN AM,四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.(2)解因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为PA.取BC的中点E,连接AE.由AB=AC=3得AE⊥BC,AE=.由AM∥BC得M到BC的距离为,故S△BCM=×4×=2.所以四面体N-BCM的体积V N-BCM=×S△BCM×.8.(1) 证明因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.又因为DC⊥AC,所以DC⊥平面PAC.(2)证明因为AB∥DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥AB.所以AB⊥平面PAC.所以平面PAB⊥平面PAC.(3)解棱PB上存在点F,使得PA∥平面CEF.证明如下:取PB中点F,连接EF,CE,CF.又因为E为AB的中点,所以EF∥PA.又因为PA⊄平面CEF,所以PA∥平面CEF.9.(1)证明由平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,AD⊥AB,可得AD⊥平面ABC,故AD⊥BC.(2)解取棱AC的中点N,连接MN,ND.又因为M为棱AB的中点,故MN∥BC.所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC 与MD所成的角.在Rt△DAM中,AM=1,故DM=.因为AD⊥平面ABC,故AD⊥AC.在Rt△DAN中,AN=1,故DN=.在等腰三角形DMN中,MN=1,可得cos∠DMN=.所以,异面直线BC与MD所成角的余弦值为.(3)解连接CM.因为△ABC为等边三角形, M为边AB的中点,故CM⊥AB,CM=.又因为平面ABC⊥平面ABD,而CM⊂平面ABC,故CM⊥平面ABD.所以,∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角.在Rt△CAD中,CD==4.在Rt△CMD中,sin∠CDM=.所以,直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.10.证明 (1)∵PA=PD,且E为AD的中点,∴PE⊥AD.∵底面ABCD为矩形,∴BC∥AD,∴PE⊥BC.(2)∵底面ABCD为矩形,∴AB⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,∴AB⊥平面PAD.∴AB⊥PD.又PA⊥PD,PA∩AB=A,∴PD⊥平面PAB.∵PD⊂平面PCD,∴平面PAB⊥平面PCD.(3)如图,取PC的中点G,连接FG,GD.∵F,G分别为PB和PC的中点,∴FG∥BC,且FG=BC.∵四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,∴ED∥BC,ED=BC,∴ED∥FG,且ED=FG,∴四边形EFGD为平行四边形,∴EF∥GD.又EF⊄平面PCD,GD⊂平面PCD,∴EF∥平面PCD.二、思维提升训练11.(1)证明在题图①中,因为AB=BC=AD=a,E是AD的中点,∠BAD=,所以BE⊥AC.即在题图②中,BE⊥A1O,BE⊥OC,从而BE⊥平面A1OC,又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.(2)解由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,且平面A1BE∩平面BCDE=BE,又由(1),A1O⊥BE,所以A1O⊥平面BCDE,即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.由题图①知,A1O=AB=a,平行四边形BCDE的面积S=BC·AB=a2.从而四棱锥A1-BCDE的体积为V=×S×A1O=×a2×a=a3,由a3=36,得a=6.12.(1)证明∵O,D分别是AB和AC的中点,∴OD∥BC.又OD⊄平面VBC,BC⊂平面VBC,∴OD∥平面VBC.(2)证明∵VA=VB,O为AB中点,∴VO⊥AB.在△VOA和△VOC中,OA=OC,VO=VO,VA=VC,∴△VOA≌△VOC,∴∠VOA=∠VOC=90°,∴VO⊥OC.∵AB∩OC=O,AB⊂平面ABC,OC⊂平面ABC,∴VO⊥平面ABC.又AC⊂平面ABC,∴AC⊥VO.∵VA=VC,D是AC的中点,∴AC⊥VD.∵VO⊂平面VOD,VD⊂平面VOD,VO∩VD=V,∴AC⊥平面VOD.(3)解由(2)知VO是棱锥V-ABC的高,且VO=.∵点C是的中点,∴CO⊥AB,且CO=1,AB=2,∴△ABC的面积S△ABC=AB·CO=×2×1=1,∴棱锥V-ABC的体积为V V-ABC=S△ABC·VO=×1×,故棱锥C-ABV的体积为. 13.(1)证明因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱,所以△ABC是正三角形.因为D是AC的中点,所以BD⊥AC.又平面ABC⊥平面CAA1C1,所以BD⊥DE.因为AE∶EA1=1∶2,AB=2,AA1=,所以AE=,AD=1,所以在Rt△ADE中,∠ADE=30°.在Rt△DCC1中,∠C1DC=60°,所以∠EDC1=90°,即DE⊥DC1.因为C1D∩BD=D,所以DE⊥平面BC1D,所以DE⊥BC1.(2)解假设存在点E满足题意.设AE=h,则A1E=-h,所以-S△AED-=2h-(-h)-h.因为BD⊥平面ACC1A1,所以h,又V棱柱=×2×=3,所以h=1,解得h=,故存在点E,当AE=,即E与A1重合时,三棱锥C1-BDE的体积恰为三棱柱ABC-A1B1C1体积的. 14.(1)证明∵DE垂直平分线段PC,PB=BC,∴DE⊥PC,BE⊥PC.又BE∩DE=E,∴PC⊥平面BDE.(2)解BD⊥DQ.证明如下:由(1)得,PC⊥BD.∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BD.又PC∩PA=P,∴BD⊥平面PAC,当点Q是线段PA上任一点时都有DQ⊂平面PAC,∴BD⊥DQ.(3)解∵PA=AB=2,∴PB=BC=2.∵AB⊥BC,∴AC=2,∴PC=4,CE=2,且BD=.∵△CDE∽△CPA,∴,∴DE=.由(2)可知:BD⊥DE,∴V B-CED=V C-BDE=S△BDE·CE=×2=.。

专题对点练16空间中的平行与几何体的体积1.如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,∠B1BA=,M,N分别为A1C1与B1C的中点,且侧面ABB1A1⊥底面ABC.(1)证明:MN∥平面ABB1A1;(2)求三棱柱B1-ABC的高及体积.2.(2018全国Ⅲ,文19)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?说明理由.3.(2018广西名校联盟)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥PC,CA=CB,M是AB的中点.点N在棱PC上,点D是BN 的中点.求证:(1)MD∥平面PAC;(2)平面ABN⊥平面PMC.4.如图,在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形,E是BC的中点.(1)求证:AE∥平面PCD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.5.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,侧棱AA1⊥平面ABC,且D,E分别是棱A1B1,AA1的中点,点F 在棱AB上,且AF=AB.(1)求证:EF∥平面BDC1;(2)求三棱锥D-BEC1的体积.6.如图,正方形ABCD的边长等于2,平面ABCD⊥平面ABEF,AF∥BE,BE=2AF=2,EF=.(1)求证:AC∥平面DEF;(2)求三棱锥C-DEF的体积.7.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,点M是棱CC1的中点.(1)在棱AB上是否存在一点N,使MN∥平面AB1C1?若存在,请确定点N的位置.若不存在,请说明理由;(2)当△ABC是等边三角形,且AC=CC1=2时,求点M到平面AB1C1的距离.8.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥平面BCC1B1,∠BCC1=,AB=BB1=2,BC=1,D为CC1的中点.(1)求证:DB1⊥平面ABD;(2)求点A1到平面ADB1的距离.专题对点练16答案1.(1)证明取AC的中点P,连接PN,PM.∵在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为A1C1与B1C的中点,∴PN∥AB1,PM∥AA1.∵PM∩PN=P,AB1∩AA1=A,PM,PN⊂平面PMN,AB1,AA1⊂平面AB1A1,∴平面PMN∥平面AB1A1.∵MN⊂平面PMN,∴MN∥平面ABB1A1.(2)解设O为AB的中点,连接B1O,由题意知△B1BA是正三角形,则B1O⊥AB.∵侧面ABB1A1⊥底面ABC,且交线为AB,∴B1O⊥平面ABC,∴三棱柱B1-ABC的高B1O=AB1=.∵S△ABC=×2×2×sin60°=,∴三棱柱B1-ABC的体积V=S△ABC·B1O==1.2.解(1)由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM⊥CM.又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.(2)当P为AM的中点时,MC∥平面PBD.证明如下:连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形,所以O为AC中点.连接OP,因为P为AM中点,所以MC∥OP.MC⊄平面PBD,OP⊂平面PBD,所以MC∥平面PBD.3.证明(1)在△ABN中,M是AB的中点,D是BN的中点,所以MD∥AN.又因为AN⊂平面PAC,MD⊄平面PAC,所以MD∥平面PAC.(2)在△ABC中,CA=CB,M是AB的中点,所以AB⊥MC.又因为AB⊥PC,PC⊂平面PMC,MC⊂平面PMC,PC∩MC=C,所以AB⊥平面PMC.又因为AB⊂平面ABN,所以平面ABN⊥平面PMC.4.(1)证明∵∠ABC=∠BAD=90°,∴AD∥BC.∵BC=2AD,E是BC的中点,∴AD=CE,∴四边形ADCE是平行四边形,∴AE∥CD.又AE⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,∴AE∥平面PCD.(2)解连接DE,BD,设AE∩BD=O,连接OP,则四边形ABED是正方形,∴O为BD的中点.∵△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形,∴BD=2,OB=,OA=,PA=PB=2,∴OP⊥OB,OP=,∴OP2+OA2=PA2,即OP⊥OA.又OA⊂平面ABCD,BD⊂平面ABCD,OA∩OB=O,∴OP⊥平面ABCD.∴V P-ABCD=S梯形ABCD·OP=×(2+4)×2×=2.5.(1)证明取AB的中点O,连接A1O.∵AF=AB,∴F为AO的中点.又E为AA1的中点,∴EF∥A1O.∵A1D=A1B1,BO=AB,AB A1B1,∴A1D BO,∴四边形A1DBO为平行四边形,∴A1O∥BD,∴EF∥BD.又EF⊄平面BDC1,BD⊂平面BDC1,∴EF∥平面BDC1.(2)解∵AA1⊥平面A1B1C1,C1D⊂平面A1B1C1,∴AA1⊥C1D.∵A1C1=B1C1=A1B1=2,D为A1B1的中点,∴C1D⊥A1B1,C1D=.又AA1⊂平面AA1B1B,A1B1⊂平面AA1B1B,AA1∩A1B1=A1,∴C1D⊥平面AA1B1B.∵AB=AA1=2,D,E分别为A1B1,AA1的中点,∴S△BDE=22-×1×2-×1×2-×1×1=.∴S△BDE·C1D=.6.(1)证明连接BD,记AC∩BD=O,取DE的中点G,连接OG,FG.∵点O,G分别是BD和ED的中点,∴OG BE.又AF BE,∴OG AF,∴四边形AOGF是平行四边形,∴AO∥FG,即AC∥FG.又AC⊄平面DEF,FG⊂平面DEF,∴AC∥平面DEF.(2)解在四边形ABEF中,过F作FH∥AB交BE于点H.由已知条件知,在梯形ABEF中,AB=FH=2,EF=,EH=1,则FH2=EF2+EH2,即FE⊥EB,从而FE⊥AF.∵AC∥平面DEF,∴点C与点A到平面DEF的距离相等,∴V C-DEF=V A-DEF.∵DA⊥AB,∴DA⊥平面ABEF,又S△AEF=AF·EF=×1×.∴三棱锥C-DEF的体积V C-DEF=V A-DEF=V D-AEF=S△AEF·AD=×2=.7.解(1)在棱AB上存在中点N,使MN∥平面AB1C1,证明如下:设BB1的中点为D,连接DM,NM,ND,因为点M,N,D是CC1,AB,BB1的中点,所以ND∥AB1,DM∥B1C1,所以ND∥平面AB1C1,DM∥平面AB1C1.又ND∩DM=D,所以平面NDM∥平面AB1C1.因为MN⊂平面NDM,所以MN∥平面AB1C1.(2)因为MN∥平面AB1C1,所以点M到平面AB1C1的距离与点N到平面AB1C1的距离相等.又点N为AB的中点,所以点N到平面AB1C1的距离等于点B到平面AB1C1的距离的一半.因为AA1⊥平面ABC,所以AB1=AC1=2,所以△AB1C1的底边B1C1上的高为.设点B到平面AB1C1的距离为h,则由,得×2××2××h,可得h=,即点M到平面AB1C1的距离为.8.(1)证明在四边形BCC1B1中,∵BC=CD=DC1=1,∠BCD=,∴BD=1.∵B1D=,BB1=2,∴B1D⊥BD.∵AB⊥平面BCC1B1,∴AB⊥DB1,∴DB1⊥平面ABD.(2)解对于四面体A1ADB1,A1到直线DB1的距离即为A1到平面BB1C1C的距离,A1到DB1的距离为2.设A1到平面ADB1的距离为h,△ADB1为直角三角形,AD·DB1=,∴×h=h.∵×2×2=2,D到平面AA1B1的距离为,∴×2×.∵,∴,解得h=.∴点A1到平面ADB1的距离为.。

专题对点练16 空间中的平行与几何体的体积1.如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,∠B1BA=,M,N分别为A1C1与B1C的中点,且侧面ABB1A1⊥底面ABC.(1)证明:MN∥平面ABB1A1;(2)求三棱柱B1-ABC的高及体积.2.(2018全国Ⅲ,文19)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?说明理由.3.(2018广西名校联盟)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥PC,CA=CB,M是AB的中点.点N在棱PC上,点D 是BN的中点.求证:(1)MD∥平面PAC;(2)平面ABN⊥平面PMC.4.如图,在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形,E是BC的中点.(1)求证:AE∥平面PCD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.5.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,侧棱AA1⊥平面ABC,且D,E分别是棱A1B1,AA1的中点,点F 在棱AB上,且AF=AB.(1)求证:EF∥平面BDC1;(2)求三棱锥D-BEC1的体积.6.如图,正方形ABCD的边长等于2,平面ABCD⊥平面ABEF,AF∥BE,BE=2AF=2,EF=.(1)求证:AC∥平面DEF;(2)求三棱锥C-DEF的体积.7.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,点M是棱CC1的中点.(1)在棱AB上是否存在一点N,使MN∥平面AB1C1?若存在,请确定点N的位置.若不存在,请说明理由;(2)当△ABC是等边三角形,且AC=CC1=2时,求点M到平面AB1C1的距离.8.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥平面BCC1B1,∠BCC1=,AB=BB1=2,BC=1,D为CC1的中点.(1)求证:DB1⊥平面ABD;(2)求点A1到平面ADB1的距离.专题对点练16答案1.(1)证明取AC的中点P,连接PN,PM.∵在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为A1C1与B1C的中点,∴PN∥AB1,PM∥AA1.∵PM∩PN=P,AB1∩AA1=A,PM,PN⊂平面PMN,AB1,AA1⊂平面AB1A1,∴平面PMN∥平面AB1A1.∵MN⊂平面PMN,∴MN∥平面ABB1A1.(2)解设O为AB的中点,连接B1O,由题意知△B1BA是正三角形,则B1O⊥AB.∵侧面ABB1A1⊥底面ABC,且交线为AB,∴B1O⊥平面ABC,∴三棱柱B1-ABC的高B1O=AB1=.∵S△ABC=×2×2×sin 60°=,∴三棱柱B1-ABC的体积V=S△ABC·B1O==1.2.解 (1)由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM⊥CM.又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.(2)当P为AM的中点时,MC∥平面PBD.证明如下:连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形,所以O为AC中点.连接OP,因为P为AM中点,所以MC∥OP.MC⊄平面PBD,OP⊂平面PBD,所以MC∥平面PBD.3.证明 (1)在△ABN中,M是AB的中点,D是BN的中点,所以MD∥AN.又因为AN⊂平面PAC,MD⊄平面PAC,所以MD∥平面PAC.(2)在△ABC中,CA=CB,M是AB的中点,所以AB⊥MC.又因为AB⊥PC,PC⊂平面PMC,MC⊂平面PMC,PC∩MC=C,所以AB⊥平面PMC.又因为AB⊂平面ABN,所以平面ABN⊥平面PMC.4.(1)证明∵∠ABC=∠BAD=90°,∴AD∥BC.∵BC=2AD,E是BC的中点,∴AD=CE,∴四边形ADCE是平行四边形,∴AE∥CD.又AE⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,∴AE∥平面PCD.(2)解连接DE,BD,设AE∩BD=O,连接OP,则四边形ABED是正方形,∴O为BD的中点.∵△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形,∴BD=2,OB=,OA=,PA=PB=2, ∴OP⊥OB,OP=,∴OP2+OA2=PA2,即OP⊥OA.又OA⊂平面ABCD,BD⊂平面ABCD,OA∩OB=O,∴OP⊥平面ABCD.∴V P-ABCD=S梯形ABCD·OP=×(2+4)×2×=2.5.(1)证明取AB的中点O,连接A1O.∵AF=AB,∴F为AO的中点.又E为AA1的中点,∴EF∥A1O.∵A1D=A1B1,BO=AB,AB A1B1,∴A1D BO,∴四边形A1DBO为平行四边形,∴A1O∥BD,∴EF∥BD.又EF⊄平面BDC1,BD⊂平面BDC1,∴EF∥平面BDC1.(2)解∵AA1⊥平面A1B1C1,C1D⊂平面A1B1C1,∴AA1⊥C1D.∵A1C1=B1C1=A1B1=2,D为A1B1的中点,∴C1D⊥A1B1,C1D=.又AA1⊂平面AA1B1B,A1B1⊂平面AA1B1B,AA1∩A1B1=A1,∴C1D⊥平面AA1B1B.∵AB=AA1=2,D,E分别为A1B1,AA1的中点,∴S△BDE=22-×1×2-×1×2-×1×1=.∴S△BDE·C1D=.6.(1)证明连接BD,记AC∩BD=O,取DE的中点G,连接OG,FG.∵点O,G分别是BD和ED的中点,∴OG BE.又AF BE,∴OG AF,∴四边形AOGF是平行四边形,∴AO∥FG,即AC∥FG.又AC⊄平面DEF,FG⊂平面DEF,∴AC∥平面DEF.(2)解在四边形ABEF中,过F作FH∥AB交BE于点H.由已知条件知,在梯形ABEF中,AB=FH=2,EF=,EH=1,则FH2=EF2+EH2,即FE⊥EB,从而FE⊥AF.∵AC∥平面DEF,∴点C与点A到平面DEF的距离相等,∴V C-DEF=V A-DEF.∵DA⊥AB,∴DA⊥平面ABEF,又S△AEF=AF·EF=×1×.∴三棱锥C-DEF的体积V C-DEF=V A-DEF=V D-AEF=S△AEF·AD=×2=.7.解 (1)在棱AB上存在中点N,使MN∥平面AB1C1,证明如下:设BB1的中点为D,连接DM,NM,ND,因为点M,N,D是CC1,AB,BB1的中点,所以ND∥AB1,DM∥B1C1,所以ND∥平面AB1C1,DM∥平面AB1C1.又ND∩DM=D,所以平面NDM∥平面AB1C1.因为MN⊂平面NDM,所以MN∥平面AB1C1.(2)因为MN∥平面AB1C1,所以点M到平面AB1C1的距离与点N到平面AB1C1的距离相等.又点N为AB的中点,所以点N到平面AB1C1的距离等于点B到平面AB1C1的距离的一半.因为AA1⊥平面ABC,所以AB1=AC1=2,所以△AB1C1的底边B1C1上的高为.设点B到平面AB1C1的距离为h,则由,得×2××2××h,可得h=,即点M到平面AB1C1的距离为.8.(1)证明在四边形BCC1B1中,∵BC=CD=DC1=1,∠BCD=,∴BD=1.∵B1D=,BB1=2,∴B1D⊥BD.∵AB⊥平面BCC1B1,∴AB⊥DB1,∴DB1⊥平面ABD.(2)解对于四面体A1ADB1,A1到直线DB1的距离即为A1到平面BB1C1C的距离,A1到DB1的距离为2.设A1到平面ADB1的距离为h,△ADB1为直角三角形,AD·DB1=,∴×h=h.∵×2×2=2,D到平面AA1B1的距离为,∴×2×.∵,∴,解得h=.∴点A1到平面ADB1的距离为.。

专题对点练空间中的平行与几何体的体积.
如图,已知斜三棱柱的所有棱长均为,∠分别为与的中点,且侧面⊥底面.
()证明∥平面;
()求三棱柱的高及体积.
.(全国Ⅲ,文)
如图,矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直是上异于的点.
()证明:平面⊥平面;
()在线段上是否存在点,使得∥平面?说明理由.
.
(广西名校联盟)如图,在三棱锥中⊥是的中点.点在棱上,点是的中点.
求证:()∥平面;
()平面⊥平面.
.
如图,在四棱锥中,∠∠°,△与△都是边长为的等边三角形是的中点. ()求证∥平面;
()求四棱锥的体积.
.
在三棱柱中,侧棱⊥平面,且分别是棱的中点,点在棱上,且.
()求证∥平面;
()求三棱锥的体积.
.
如图,正方形的边长等于,平面⊥平面∥.
()求证∥平面;
()求三棱锥的体积.
.。

专题对点练16空间中的平行与几何体的体积1.如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,∠B1BA=,M,N分别为A1C1与B1C的中点,且侧面ABB1A1⊥底面ABC.(1)证明:MN∥平面ABB1A1;(2)求三棱柱B1-ABC的高及体积.2.(2018全国Ⅲ,文19)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?说明理由.3.(2018广西名校联盟)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥PC,CA=CB,M是AB的中点.点N在棱PC上,点D 是BN的中点.求证:(1)MD∥平面PAC;(2)平面ABN⊥平面PMC.4.如图,在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形,E是BC的中点.(1)求证:AE∥平面PCD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.5.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,侧棱AA1⊥平面ABC,且D,E分别是棱A1B1,AA1的中点,点F在棱AB上,且AF=AB.(1)求证:EF∥平面BDC1;(2)求三棱锥D-BEC1的体积.6.如图,正方形ABCD的边长等于2,平面ABCD⊥平面ABEF,AF∥BE,BE=2AF=2,EF=.(1)求证:AC∥平面DEF;(2)求三棱锥C-DEF的体积.7.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,点M是棱CC1的中点.(1)在棱AB上是否存在一点N,使MN∥平面AB1C1?若存在,请确定点N的位置.若不存在,请说明理由;(2)当△ABC是等边三角形,且AC=CC1=2时,求点M到平面AB1C1的距离.8.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥平面BCC1B1,∠BCC1=,AB=BB1=2,BC=1,D为CC1的中点.(1)求证:DB1⊥平面ABD;(2)求点A1到平面ADB1的距离.专题对点练16答案1.(1)证明取AC的中点P,连接PN,PM.∵在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为A1C1与B1C的中点,∴PN∥AB1,PM∥AA1.∵PM∩PN=P,AB1∩AA1=A,PM,PN⊂平面PMN,AB1,AA1⊂平面AB1A1,∴平面PMN∥平面AB1A1.∵MN⊂平面PMN,∴MN∥平面ABB1A1.(2)解设O为AB的中点,连接B1O,由题意知△B1BA是正三角形,则B1O⊥AB.∵侧面ABB1A1⊥底面ABC,且交线为AB,∴B1O⊥平面ABC,∴三棱柱B1-ABC的高B1O=AB1=.∵S△ABC=×2×2×sin 60°=,∴三棱柱B1-ABC的体积V=S△ABC·B1O==1.2.解(1)由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM⊥CM.又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.(2)当P为AM的中点时,MC∥平面PBD.证明如下:连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形,所以O为AC中点.连接OP,因为P为AM中点,所以MC∥OP.MC⊄平面PBD,OP⊂平面PBD,所以MC∥平面PBD.3.证明(1)在△ABN中,M是AB的中点,D是BN的中点,所以MD∥AN.又因为AN⊂平面PAC,MD⊄平面PAC,所以MD∥平面PAC.(2)在△ABC中,CA=CB,M是AB的中点,所以AB⊥MC.又因为AB⊥PC,PC⊂平面PMC,MC⊂平面PMC,PC∩MC=C,所以AB⊥平面PMC.又因为AB⊂平面ABN,所以平面ABN⊥平面PMC.4.(1)证明∵∠ABC=∠BAD=90°,∴AD∥BC.∵BC=2AD,E是BC的中点,∴AD=CE,∴四边形ADCE是平行四边形,∴AE∥CD.又AE⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,∴AE∥平面PCD.(2)解连接DE,BD,设AE∩BD=O,连接OP,则四边形ABED是正方形,∴O为BD的中点.∵△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形,∴BD=2,OB=,OA=,PA=PB=2, ∴OP⊥OB,OP=,∴OP2+OA2=PA2,即OP⊥OA.又OA⊂平面ABCD,BD⊂平面ABCD,OA∩OB=O,∴OP⊥平面ABCD.∴V P-ABCD=S梯形ABCD·OP=×(2+4)×2×=2.5.(1)证明取AB的中点O,连接A1O.∵AF=AB,∴F为AO的中点.又E为AA1的中点,∴EF∥A1O.∵A1D=A1B1,BO=AB,AB A1B1,∴A1D BO,∴四边形A1DBO为平行四边形,∴A1O∥BD,∴EF∥BD.又EF⊄平面BDC1,BD⊂平面BDC1,∴EF∥平面BDC1.(2)解∵AA1⊥平面A1B1C1,C1D⊂平面A1B1C1,∴AA1⊥C1D.∵A1C1=B1C1=A1B1=2,D为A1B1的中点,∴C1D⊥A1B1,C1D=.又AA1⊂平面AA1B1B,A1B1⊂平面AA1B1B,AA1∩A1B1=A1,∴C1D⊥平面AA1B1B.∵AB=AA1=2,D,E分别为A1B1,AA1的中点,∴S△BDE=22-×1×2-×1×2-×1×1=.∴S△BDE·C1D=.6.(1)证明连接BD,记AC∩BD=O,取DE的中点G,连接OG,FG.∵点O,G分别是BD和ED的中点,∴OG BE.又AF BE,∴OG AF,∴四边形AOGF是平行四边形,∴AO∥FG,即AC∥FG.又AC⊄平面DEF,FG⊂平面DEF,∴AC∥平面DEF.(2)解在四边形ABEF中,过F作FH∥AB交BE于点H.由已知条件知,在梯形ABEF中,AB=FH=2,EF=,EH=1,则FH2=EF2+EH2,即FE⊥EB,从而FE⊥AF.∵AC∥平面DEF,∴点C与点A到平面DEF的距离相等,∴V C-DEF=V A-DEF.∵DA⊥AB,∴DA⊥平面ABEF,又S△AEF=AF·EF=×1×.∴三棱锥C-DEF的体积V C-DEF=V A-DEF=V D-AEF=S△AEF·AD=×2=.7.解(1)在棱AB上存在中点N,使MN∥平面AB1C1,证明如下:设BB1的中点为D,连接DM,NM,ND,因为点M,N,D是CC1,AB,BB1的中点,所以ND∥AB1,DM∥B1C1,所以ND∥平面AB1C1,DM∥平面AB1C1.又ND∩DM=D,所以平面NDM∥平面AB1C1.因为MN⊂平面NDM,所以MN∥平面AB1C1.(2)因为MN∥平面AB1C1,所以点M到平面AB1C1的距离与点N到平面AB1C1的距离相等.又点N为AB的中点,所以点N到平面AB1C1的距离等于点B到平面AB1C1的距离的一半.因为AA1⊥平面ABC,所以AB1=AC1=2,所以△AB1C1的底边B1C1上的高为.设点B到平面AB1C1的距离为h,则由,得×2××2××h,可得h=,即点M到平面AB1C1的距离为.8.(1)证明在四边形BCC1B1中,∵BC=CD=DC1=1,∠BCD=,∴BD=1.∵B1D=,BB1=2,∴B1D⊥BD.∵AB⊥平面BCC1B1,∴AB⊥DB1,∴DB1⊥平面ABD.(2)解对于四面体A1ADB1,A1到直线DB1的距离即为A1到平面BB1C1C的距离,A1到DB1的距离为2.设A1到平面ADB1的距离为h,△ADB1为直角三角形,AD·DB1=,∴×h=h.∵×2×2=2,D到平面AA1B1的距离为,∴×2×.∵,∴,解得h=.∴点A1到平面ADB1的距离为.。

第2讲空间中的平行与垂直1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定定理与性质定理对命题的真假进行判断，属于基础题．2．以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等．热点一空间线面位置关系的判定空间线面位置关系判断的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断;解决问题．(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理;进行判断．例1 (1)(2017·四川省眉山中学月考)已知m，n为空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个不同的平面，下列命题正确的是( )A．若n⊥α，n⊥β，m⊂β，则m∥αB．若m⊥α，α⊥β，则m∥βC．若m，n在α内的射影互相平行，则m∥nD．若m⊥l，α∩β＝l，则m⊥α答案 A解析由题意知，n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊂β，则m∥α，A正确；若m⊥α，α⊥β，可能会现m⊂β， B错误；若m，n在α内的射影互相平行，两直线异面也可以， C错误；若m⊥l，α∩β＝l，可能会出现m⊂α， D错误．故选A.(2)(2017届泉州模拟)设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α( )A．有无数多个B．恰有4个C．只有1个D．不存在答案 A解析如图，由题知面PAD与面PBC相交，面PAB与面PCD相交，可设两组相交平面的交线分别为m，n，由m，n决定的平面为β，作α与β平行且与四条侧棱相交，交点分别为A1，B1，C1，D1，则由面面平行的性质定理得A1B1∥n∥C1D1，A1D1∥m∥B1C1，从而得截面必为平行四边形．由于平面α可以上下平移，可知满足条件的平面α有无数多个．故选A.思维升华解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．跟踪演练1 (1)α，β，γ是三个平面，m, n是两条直线，则下列命题正确的是( )A．若α∩β＝m, n⊂α，m⊥n，则α⊥βB．若α⊥β，α∩β＝m, α∩γ＝n，则m⊥nC．若m不垂直平面α，则m不可能垂直于平面α内的无数条直线D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β答案 D解析逐一分析所给的命题：A项，若α∩β＝m, n⊂α，m⊥n，并非一条直线垂直于平面内的两条相交直线，不一定有α⊥β，该说法错误；B项，若α⊥β，α∩β＝m, α∩γ＝n，无法确定m，n的关系，该说法错误；C项，若m不垂直平面α，则m可能垂直于平面α内的无数条直线，该说法错误；D项，若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β，该说法正确．故选D.(2)(2017届株洲一模)如图，平面α⊥平面β，α∩β＝直线l, A，C是α内不同的两点，B，D是β内不同的两点，且A，B，C，D∉直线l, M，N分别是线段AB，CD的中点．下列判断正确的是( )A．当CD＝2AB时，M，N两点不可能重合B．M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C．当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交D．当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行答案 B解析由于直线CD的两个端点都可以动，所以M，N两点可能重合，此时两条直线AB，CD共面，由于两条线段互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形，因此AC∥BD，则BD⊂β，所以由线面平行的判定定理可得AC∥β，又因为AC⊂α，α∩β＝l，所以由线面平行的性质定理可得AC∥l，故应排除答案A，C，D，故选B.热点二 空间平行、垂直关系的证明空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．例2 (1)(2017·全国Ⅱ)如图，四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°.①证明：直线BC ∥平面PAD ；②若△PCD 的面积为27，求四棱锥P —ABCD 的体积．①证明 在平面ABCD 内，因为∠BAD ＝∠ABC ＝90°，所以BC ∥AD . 又BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以BC ∥平面PAD .②解 如图，取AD 的中点M ，连接PM ，CM .由AB ＝BC ＝12AD 及BC ∥AD ，∠ABC ＝90°得四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD .因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PM ⊥AD ，PM ⊥底面ABCD .因为CM ⊂底面ABCD ，所以PM ⊥CM .设BC ＝x ，则CM ＝x ，CD ＝2x ，PM ＝3x ，PC ＝PD ＝2x . 取CD 的中点N ，连接PN ，则PN ⊥CD ， 所以PN ＝142x . 因为△PCD 的面积为27， 所以12×2x ×142x ＝27，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2. 于是AB ＝BC ＝2，AD ＝4，PM ＝2 3. 所以四棱锥P —ABCD 的体积V ＝13×2(2＋4)2×23＝4 3.(2)(2017·重庆市巴蜀中学三模)如图，平面ABCD ⊥平面ADEF ，四边形ABCD 为菱形，四边形ADEF 为矩形， M ，N 分别是EF ，BC 的中点， AB ＝2AF, ∠CBA ＝60°.①求证： DM ⊥平面MNA ； ②若三棱锥A －DMN 的体积为33，求MN 的长． ①证明 连接AC ，在菱形ABCD 中， ∠CBA ＝60°，且AB ＝BC ，∴△ABC 为等边三角形， 又∵N 为BC 的中点， ∴AN ⊥BC ， ∵BC ∥AD ， ∴AN ⊥AD ，又∵平面ABCD ⊥平面ADEF ，平面ABCD ∩平面ADEF ＝AD ，AN ⊂平面ABCD ， ∴AN ⊥平面ADEF ，又DM ⊂平面ADEF ，∴DM ⊥AN . ∵在矩形ADEF 中， AD ＝2AF ，M 为EF 的中点， ∴△AMF 为等腰直角三角形，∴∠AMF ＝45°， 同理可证∠DME ＝45°，∴∠DMA ＝90°， ∴DM ⊥AM ，又∵AM ∩AN ＝A ，且AM ，AN ⊂平面MNA ， ∴DM ⊥平面MNA .②设AF ＝x ，则AB ＝2AF ＝2x ，在Rt△ABN 中， AB ＝2x, BN ＝x, ∠ABN ＝60°， ∴AN ＝3x ，∴S △ADN ＝12×2x ×3x ＝3x 2.∵平面ABCD ⊥平面ADEF, AD 为交线， FA ⊥AD ， ∴FA ⊥平面ABCD ，设h 为点M 到平面ADN 的距离，则h ＝AF ＝x ，∴V M －ADN ＝13×S △ADN ×h ＝13×3x 2×x ＝33x 3，∵V M －ADN ＝V A －DMN ＝33，∴x ＝1. ∴MN ＝AN 2＋AM 2＝ 5.思维升华 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质，即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l ⊥α，a ⊂α⇒l ⊥a .跟踪演练2 (2017·北京市海淀区适应性考试)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝3， E 是侧棱PA 上的动点． (1)求四棱锥P －ABCD 的体积；(2)如果E 是PA 的中点，求证：PC ∥平面BDE ；(3)是否无论点E 在侧棱PA 的任何位置，都有BD ⊥CE ？证明你的结论． (1)解 ∵PA ⊥平面ABCD ，∴V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PA ＝13×12×3＝33，即四棱锥P －ABCD 的体积为33.(2)证明 连接AC 交BD 于O ，连接OE . ∵四边形ABCD 是正方形， ∴O 是AC 的中点，又∵E 是PA 的中点，∴PC ∥OE ， ∵PC ⊄平面BDE, OE ⊂平面BDE ， ∴PC ∥平面BDE .(3)解 无论点E 在任何位置，都有BD ⊥CE . 证明如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ， ∵PA ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PA ， 又∵AC ∩PA ＝A ，AC ，PA ⊂平面PAC ， ∴BD ⊥平面PAC .∵无论点E 在任何位置，都有CE ⊂平面PAC ， ∴无论点E 在任何位置，都有BD ⊥CE . 热点三 平面图形的折叠问题平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化，有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键．一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法．例3 (2017·孝义质检)如图(1)，在五边形ABCDE 中， ED ＝EA ，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，∠EDC ＝150°.如图(2)，将△EAD 沿AD 折到△PAD 的位置，得到四棱锥P －ABCD .点M 为线段PC 的中点，且BM ⊥平面PCD .(1)求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；(2)若四棱锥P －ABCD 的体积为23，求四面体BCDM 的体积．(1)证明 取PD 的中点N ，连接AN ，MN ，如图所示，则MN ∥CD ，MN ＝12CD .又AB ∥CD ，AB ＝12CD ，∴MN ∥AB 且MN ＝AB ，∴四边形ABMN 为平行四边形，∴AN ∥BM ， 又BM ⊥平面PCD ， ∴AN ⊥平面PCD ， ∴AN ⊥PD ，AN ⊥CD .由ED ＝EA ，即PD ＝PA 及N 为PD 的中点，可得△PAD 为等边三角形， ∴∠PDA ＝60°，又∠EDC ＝150°， ∴∠CDA ＝90°，∴CD ⊥AD ， 又AN ∩AD ＝A ，AN ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴CD ⊥平面PAD ，又∵CD ⊂平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD .(2)解 设四棱锥P －ABCD 的高为h ，四边形ABCD 的面积为S ，则V P －ABCD ＝13hS ＝23，又S △BCD ＝23S ，四面体BCDM 的高为h2.∴V BCDM ＝13×h 2×S △BCD ＝16×23hS＝16×23×63＝233，∴四面体BCDM 的体积为233.思维升华 (1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口．(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论．跟踪演练3 (2017届四川省成都市九校模拟)如图，在直角梯形ABCD 中， AD ∥ BC, AB ⊥BC, BD ⊥DC ，点E 是BC 边的中点， 将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE, AC, DE, 得到如图所示的空间几何体．(1)求证： AB ⊥平面ADC ；(2)若AD ＝1，AB ＝2，求点B 到平面ADE 的距离． (1)证明 因为平面ABD ⊥平面BCD ， 平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，又BD ⊥DC ，DC ⊂平面BCD ，所以DC ⊥平面ABD . 因为AB ⊂平面ABD ，所以DC ⊥AB .又AD ⊥AB ，DC ∩AD ＝D ，AD ，DC ⊂平面ADC ， 所以AB ⊥平面ADC .(2)解 因为AB ＝2，AD ＝1，所以BD ＝ 3. 依题意△ABD ∽△DCB ， 所以AB AD ＝CD BD，即21＝CD 3. 所以CD ＝ 6. 故BC ＝3.由于AB ⊥平面ADC ，AB ⊥AC ，E 为BC 的中点，所以AE ＝BC 2＝32.同理DE ＝BC 2＝32.所以S △ADE ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22.因为DC ⊥平面ABD ， 所以V A —BCD ＝13CD ·S △ABD ＝33.设点B 到平面ADE 的距离为d ，则13d·S△ADE＝V B—ADE＝V A—BDE＝12V A—BCD＝36，所以d＝62，即点B到平面ADE的距离为62.真题体验1．(2017·全国Ⅰ改编)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是______．答案(1)解析对于(1)，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，∴直线AB与平面MNQ相交；对于(2)，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；对于(3)，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；对于(4)，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ，又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.2．(2017·江苏)如图，在三棱锥A—BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.证明(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以AB∥EF.又EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.押题预测1．不重合的两条直线m，n分别在不重合的两个平面α，β内，下列为真命题的是( )A．m⊥n⇒m⊥βB．m⊥n⇒α⊥βC．α∥β⇒m∥βD．m∥n⇒α∥β押题依据空间两条直线、两个平面之间的平行与垂直的判定是立体几何的重点内容，也是高考命题的热点．此类题常与命题的真假性、充分条件和必要条件等知识相交汇，意在考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力．答案 C解析构造长方体，如图所示．因为A1C1⊥AA1，A1C1⊂平面AA1C1C，AA1⊂平面AA1B1B，但A1C1与平面AA1B1B不垂直，所以平面AA1C1C与平面AA1B1B不垂直．所以选项A，B都是假命题．CC1∥AA1，但平面AA1C1C与平面AA1B1B相交而不平行，所以选项D为假命题．“若两平面平行，则一个平面内任何一条直线必平行于另一个平面”是真命题，故选C.2．如图(1)，在正△ABC中，E，F分别是AB，AC边上的点，且BE＝AF＝2CF.点P为边BC上的点，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF⊥平面BEFC，连接A1B，A1P，EP，如图(2)所示．(1)求证：A1E⊥FP；(2)若BP＝BE，点K为棱A1F的中点，则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．押题依据以平面图形的翻折为背景，探索空间直角与平面位置关系的考题创新性强，可以考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，预计将成为今年高考的命题形式．(1)证明在正△ABC中，取BE的中点D，连接DF，如图所示．因为BE＝AF＝2CF，所以AF＝AD，AE＝DE，而∠A＝60°，所以△ADF为正三角形．又AE＝DE，所以EF⊥AD.所以在题图(2)中A1E⊥EF，又A1E⊂平面A1EF，平面A1EF⊥平面BEFC，且平面A1EF∩平面BEFC＝EF，所以A1E⊥平面BEFC.因为FP⊂平面BEFC，所以A1E⊥FP.(2)解在平面A1FP上存在过点K的直线与平面A1BE平行．理由如下：如题图(1)，在正△ABC中，因为BP＝BE，BE＝AF，所以BP＝AF，所以FP∥AB，所以FP∥BE.如图所示，取A1P的中点M，连接MK，因为点K为棱A1F的中点，所以MK∥FP.因为FP∥BE，所以MK∥BE.因为MK⊄平面A1BE，BE⊂平面A1BE，所以MK∥平面A1BE.故在平面A1FP上存在过点K的直线MK与平面A1BE平行．A组专题通关1．(2017·河南省六市联考)如图，G, H, M, N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH, MN 是异面直线的图形的序号为( )A．①② B．③④C．①③ D．②④答案 D解析由题意可得图①中GH与MN平行，不合题意；图②中的GH与MN异面，符合题意；图③中GH与MN相交，不合题意；图④中GH与MN异面，符合题意．则表示GH, MN是异面直线的图形的序号为②④.故选D.2．(2017·宣城调研)已知m, n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题，错误的命题是( )A．若m∥α，m∥β，α∩β＝n，则m∥nB．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥nC．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝m，则m⊥αD．若α∥β，m∥α，则m∥β答案 D解析由m∥α，m∥β，α∩β＝n，利用线面平行的判定与性质定理可得m∥n，A正确；由α⊥β，m⊥α，n⊥β，利用线面、面面垂直的性质定理可得m⊥n，B正确；由α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝m，利用线面、面面垂直的性质定理可得m⊥α，C正确；由α∥β，m∥α，则m∥β或m⊂β，可得D不正确．故选D.3．已知平面α及直线a，b下列说法正确的是( )A．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行B．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直C．若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行D．若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直答案 D解析 由题意逐一分析所给的选项．若直线a ，b 与平面 α所成角都是30°，则这两条直线不一定平行； 若直线a ，b 与平面 α所成角都是30°，则这两条直线可能垂直； 若直线a ，b 平行，则这两条直线中可能两条都与平面α不平行； 若直线a ，b 垂直，则这两条直线与平面 α不可能都垂直． 故选D.4．已知m ，n ，l 1，l 2表示不同的直线，α，β表示不同的平面，若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l 2⊂β，l 1∩l 2＝M ，则α∥β的一个充分条件是( ) A ．m ∥β且l 1∥α B ．m ∥β且n ∥β C ．m ∥β且n ∥l 2 D ．m ∥l 1且n ∥l 2答案 D解析 对于选项A ，当m ∥β且l 1∥α时，α，β可能平行也可能相交，故A 不是α∥β的充分条件；对于选项B ，当m ∥β且n ∥β时，若m ∥n ，则α，β可能平行也可能相交，故B 不是α∥β的充分条件；对于选项C ，当m ∥β且n ∥l 2时，α，β可能平行也可能相交，故C 不是α∥β的充分条件；对于选项D ，当m ∥l 1，n ∥l 2时，由线面平行的判定定理可得l 1∥α，l 2∥α，又l 1∩l 2＝M ，由面面平行的判定定理可以得到α∥β，但α∥β时，m ∥l 1且n ∥l 2不一定成立，故D 是α∥β的一个充分条件．故选D.5．对于四面体A —BCD ，有以下命题：①若AB ＝AC ＝AD ，则AB ，AC ，AD 与底面所成的角相等；②若AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，则点A 在底面BCD 内的射影是△BCD 的内心； ③四面体A —BCD 的四个面中最多有四个直角三角形；④若四面体A —BCD 的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为π6.其中正确的命题是( ) A ．①③ B ．③④ C ．①②③ D ．①③④ 答案 D解析 ①正确，若AB ＝AC ＝AD ，则AB ，AC ，AD 在底面的射影相等，即与底面所成角相等；②不正确，如图，点A 在平面BCD 的射影为点O ，连接BO ，CO ，可得BO ⊥CD ，CO ⊥BD ，所以点O 是△BCD 的垂心；③正确，如图， AB ⊥平面BCD, ∠BCD ＝90°，其中有4个直角三角形；④正确，正四面体的内切球的半径为r ，棱长为1，高为63，根据等体积公式13×S ×63＝13×4×S ×r ，解得 r ＝612，那么内切球的表面积S ＝4πr 2＝π6，故选D. 6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为线段B 1D 1上的一个动点，则下列结论中正确的是________．(填序号) ①AC ⊥BE ； ②B 1E ∥平面ABCD ；③三棱锥E －ABC 的体积为定值； ④直线B 1E ⊥直线BC 1. 答案 ①②③解析 因为AC ⊥平面BDD 1B 1，故①正确；因为B 1D 1∥平面ABCD ，故②正确；记正方体的体积为V ，则V E －ABC＝16V ，为定值，故③正确；B 1E 与BC 1不垂直，故④错误． 7．下列四个正方体图形中，点A ，B 为正方体的两个顶点，点M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)答案 ①③解析 对于①，注意到该正方体的面中过直线AB 的侧面与平面MNP 平行，因此直线AB ∥平面MNP ；对于②，注意到直线AB 和过点A 的一个与平面MNP 平行的平面相交，因此直线AB 与平面MNP 相交；对于③，注意到此时直线AB 与平面MNP 内的一条直线MP 平行，且直线AB 位于平面MNP 外，因此直线AB 与平面MNP 平行；对于④，易知此时AB 与平面MNP 相交．综上所述，能得出直线AB 平行于平面MNP 的图形的序号是①③.8.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，点D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .答案 a 或2a解析 由题意易知，B 1D ⊥平面ACC 1A 1， 所以B 1D ⊥CF .要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可．令CF⊥DF，设AF＝x，则A1F＝3a－x. 易知Rt△CAF∽Rt△FA1D，得ACA1F＝AFA1D，即2a3a－x＝xa，整理得x2－3ax＋2a2＝0，解得x＝a或x＝2a.9．(2017·山东)由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱锥C1－B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.(1)证明：A1O∥平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.证明(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，由于ABCD－A1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C.又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点，所以EM⊥BD.又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A1E⊥BD.因为B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1.又A1E，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM＝E，所以B1D1⊥平面A1EM.又B1D1⊂平面B1CD1，所以平面A1EM⊥平面B1CD1.10．(2017届宁夏六盘山高级中学模拟)如图所示，矩形ABCD中，AB＝3, BC＝4，沿对角线BD把△ABD 折起，使点A在平面BCD上的射影E落在BC上．(1)求证：平面ACD ⊥平面ABC ； (2)求三棱锥A －BCD 的体积． (1)证明 ∵AE ⊥平面BCD ，∴AE ⊥CD . 又BC ⊥CD ，且AE ∩BC ＝E ， ∴CD ⊥平面ABC . 又CD ⊂平面ACD ， ∴平面ACD ⊥平面ABC .(2)解 由(1)知，CD ⊥平面ABC ， 又AB ⊂平面ABC ，∴CD ⊥AB . 又AB ⊥AD ，CD ∩AD ＝D ， ∴AB ⊥平面ACD .∴V A －BCD ＝V B －ACD ＝13·S △ACD ·AB .又在△ACD 中，AC ⊥CD ，AD ＝BC ＝4，AB ＝CD ＝3， ∴AC ＝AD 2－CD 2＝42－32＝7， ∴V A －BCD ＝13×12×7×3×3＝372.B 组 能力提高11．如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝1，M ，N 分别在AD 1，BC 上移动，且始终保持MN ∥平面DCC 1D 1，设BN ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 C解析 过M 作MQ ∥DD 1，交AD 于点Q ，连接QN . ∵MN ∥平面DCC 1D 1，MQ ∥平面DCC 1D 1，MN ∩MQ ＝M ，∴平面MNQ ∥平面DCC 1D 1，又平面ABCD 与平面MNQ 和DCC 1D 1分别交于直线QN 和直线DC ， ∴NQ ∥DC ，可得QN ＝CD ＝AB ＝1，AQ ＝BN ＝x ，∵MQ AQ ＝DD 1AD＝2，∴MQ ＝2x .在Rt△MQN 中，MN 2＝MQ 2＋QN 2，即y 2＝4x 2＋1， ∴y 2－4x 2＝1 (0≤x ≤1)，∴函数y ＝f (x )的图象为焦点在y 轴上的双曲线上支的一部分．故选C.12.(2017届江西省重点中学协作体联考)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， AA 1＝6，AB ＝3，AD ＝8, 点M 是棱AD 的中点，N 在棱AA 1上，且满足AN ＝2NA 1, P 是侧面四边形ADD 1A 1内一动点(含边界)，若C 1P ∥平面CMN ，则线段C 1P 长度的最小值是________． 答案17解析 取A 1D 1的中点Q ，过点Q 在平面ADD 1A 1内作MN 的平行线交DD 1于E ，则易知平面C 1QE ∥平面CMN ，在△C 1QE 中作C 1P ⊥QE ，则C 1P ＝17为所求．13.(2017届江西省重点中学协作体联考)如图，多面体ABCB 1C 1D 是由三棱柱ABC －A 1B 1C 1截去一部分后而成， D 是AA 1的中点．(1)若F 在CC 1上，且CC 1＝4CF ，E 为AB 的中点，求证：直线EF ∥平面B 1C 1D ； (2)若AD ＝AC ＝1，AD ⊥平面ABC, BC ⊥AC, 求点C 到面B 1C 1D 的距离．(1)证明 方法一 取AC 的中点G ，CC 1的中点为H ，连接AH ，GF ，GE ，如图所示．∵AD 綊C 1H ，∴四边形ADC 1H 为平行四边形， ∴AH ∥C 1D ，又F 是CH 的中点， G 是AC 的中点， ∴GF ∥AH, ∴GF ∥C 1D ，又GF ⊄平面C 1DB 1，C 1D ⊂平面C 1DB 1，∴GF ∥平面C 1DB 1, 又G ，E 分别是AC ，AB 的中点， ∴GE ∥BC ∥B 1C 1，又GE ⊄平面C 1DB 1，B 1C 1⊂平面C 1DB 1，∴GE ∥平面C 1DB 1,又GE ∩GF ＝G ，GE ⊂平面GEF ，GF ⊂平面GEF ， ∴平面GEF ∥平面DB 1C 1，又EF ⊄平面DB 1C 1，EF ⊂平面GEF ，∴EF ∥平面DB 1C 1.方法二 取B 1D 的中点M ，连接EM ，MC 1，则EM 是梯形ABB 1D 的中位线， ∴EM ∥BB 1，EM ＝12()AD ＋BB 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12CC 1＋CC 1＝34CC 1， 又C 1F ＝CC 1－CF ＝34CC 1, BB 1∥CC 1，∴ EM 綊C 1F ，故四边形EMC 1F 为平行四边形， ∴C 1M ∥EF ， 又EF ⊄平面C 1DB 1, C 1M ⊂平面C 1DB 1, ∴EF ∥平面C 1DB 1.(2)解 AD ⊥平面ABC, AC ⊂平面ABC, ∴AD ⊥AC ， 又AD ＝AC ＝1, CC 1＝2AD ，AD ∥CC 1， ∴C 1D 2＝DC 2＝AC 2＋AD 2＝2AD 2＝2，C 1C 2＝4， 故CC 21＝CD 2＋C 1D 2，即C 1D ⊥CD ， 又BC ⊥AC, AD ⊥BC ，AC ∩AD ＝A ， ∴BC ⊥平面ACC 1D ，又CD ⊂平面ACC 1D ， ∴BC ⊥CD ，又B 1C 1∥BC, ∴B 1C 1⊥CD ，又DC 1∩B 1C 1＝C 1，∴CD ⊥平面B 1C 1D ，∴点C 到平面B 1C 1D 的距离为CD 的长，即为 2.14．(2017届云南省师范大学附属中学月考)如图，矩形AB ′DE (AE ＝6，DE ＝5)，被截去一角(即△BB ′C )，AB ＝3, ∠ABC ＝135°，平面PAE ⊥平面ABCDE, PA ＋PE ＝10.(1)求五棱锥P －ABCDE 的体积的最大值； (2)在(1)的情况下，证明： BC ⊥PB . (1)解 因为AB ＝3，∠ABC ＝135°，所以∠B ′BC ＝45°， BB ′＝AB ′－AB ＝5－3＝2， 所以截去的△BB ′C 是等腰直角三角形， 所以S ABCDE ＝S AB ′DE －S △BB ′C ＝6×5－12×2×2＝28.如图，过P 作PO ⊥AE ，垂足为O ， 因为平面PAE ⊥平面ABCDE ，平面PAE ∩平面ABCDE ＝AE ，PO ⊂平面PAE ， 所以PO ⊥平面ABCDE, PO 为五棱锥P －ABCDE 的高．在平面PAE 内， PA ＋PE ＝10>AE ＝6, P 在以A ，E 为焦点，长轴长为10的椭圆上，由椭圆的简单的几何性质知，点P 为短轴端点时， P 到AE 的距离最大， 此时PA ＝PE ＝5, OA ＝OE ＝3， 所以PO max ＝4，所以()V P －ABCDE max ＝13S ABCDE ·PO max＝13×28×4＝1123.(2)证明 连接OB ，如图，由(1)知， OA ＝AB ＝3， 故△OAB 是等腰直角三角形，所以∠ABO ＝45°， 所以∠OBC ＝∠ABC －∠ABO ＝135°－45°＝90°， 即BC ⊥BO .由于PO ⊥平面ABCDE ，所以PO ⊥BC ， 而PO ∩BO ＝O ，PO ，BO ⊂平面POB ， 所以BC ⊥平面POB ，又PB ⊂平面POB ，所以BC ⊥PB .。

专题对点练17空间中的垂直、夹角及几何体的体积1.(2018江苏,15)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1⊥B1C1.求证:(1)AB∥平面A1B1C;(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.2.如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求证:BF⊥平面ACFD;(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.3.由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD.(1)证明:A1O∥平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.4.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=4.(1)设M是PC上的一点,证明:平面MBD⊥平面PAD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.5.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=2,O为AC的中点,PO⊥平面ABCD,且PO=6,M为PD的中点.(1)证明:AD⊥平面PAC;(2)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.6.(2018北京,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.求证:(1)PE⊥BC;(2)平面PAB⊥平面PCD;(3)EF∥平面PCD.7.如图①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=6,CE⊥AD于点E,把△DEC沿CE折到D'EC的位置,使D'A=2,如图②.若G,H分别为D'B,D'E的中点.(1)求证:GH⊥D'A;(2)求三棱锥C-D'BE的体积.8.如图,在四棱锥S-ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1.(1)证明:SD⊥平面SAB;(2)求四棱锥S-ABCD的高.专题对点练17答案1.证明(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C,所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形,因此AB1⊥A1B.又因为AB1⊥B1C1,BC∥B1C1,所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC=B,A1B⊂平面A1BC,BC⊂平面A1BC,所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1,所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.2.(1)证明延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.因为平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC,所以AC⊥平面BCK,因此BF⊥AC.又因为EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK.所以BF⊥平面ACFD.(2)解因为BF⊥平面ACK,所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.在Rt△BFD中,BF=,DF=,得cos∠BDF=,所以,直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为.3.证明(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1∥OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1O∥O1C.又O1C⊂平面B1CD1,A1O⊄平面B1CD1,所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EM⊥BD,又A1E⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以A1E⊥BD,因为B1D1∥BD,所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1.又A1E,EM⊂平面A1EM,A1E∩EM=E,所以B1D1⊥平面A1EM,又B1D1⊂平面B1CD1,所以平面A1EM⊥平面B1CD1.4.(1)证明在△ABD中,因为AD=4,BD=8,AB=4,所以AD2+BD2=AB2.所以AD⊥BD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD⊂平面ABCD, 所以BD⊥平面PAD.又BD⊂平面MBD,故平面MBD⊥平面PAD.(2)解过点P作PO⊥AD交AD于点O,因为平面PAD⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD,所以PO为四棱锥P-ABCD的高.又△PAD是边长为4的等边三角形,因此PO=×4=2.在底面四边形ABCD中,AB∥DC,AB=2DC,所以四边形ABCD是梯形.在Rt△ADB中,斜边AB边上的高为,此即为梯形ABCD的高,所以四边形ABCD的面积为S==24.故V P-ABCD=×24×2=16.5.(1)证明∵PO⊥平面ABCD,且AD⊂平面ABCD,∴PO⊥AD.∵∠ADC=45°,且AD=AC=2,∴∠ACD=45°,∴∠DAC=90°,∴AD⊥AC.∵AC⊂平面PAC,PO⊂平面PAC,且AC∩PO=O,∴AD⊥平面PAC.(2)解取DO的中点N,连接MN,AN,由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD,∴∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角.∵M为PD的中点,∴MN∥PO,且MN=PO=3,AN=DO=.在Rt△ANM中,tan∠MAN=,即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.6.证明(1)∵PA=PD,且E为AD的中点,∴PE⊥AD.∵底面ABCD为矩形,∴BC∥AD,∴PE⊥BC.(2)∵底面ABCD为矩形,∴AB⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,∴AB⊥平面PAD.∴AB⊥PD.又PA⊥PD,PA∩AB=A,∴PD⊥平面PAB.∵PD⊂平面PCD,∴平面PAB⊥平面PCD.(3)如图,取PC的中点G,连接FG,GD.∵F,G分别为PB和PC的中点,∴FG∥BC,且FG=BC.∵四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,∴ED∥BC,ED=BC,∴ED∥FG,且ED=FG,∴四边形EFGD为平行四边形,∴EF∥GD.又EF⊄平面PCD,GD⊂平面PCD,∴EF∥平面PCD.7.(1)证明连接BE,GH,AC,在△AED'中,ED'2=AE2+AD'2,可得AD'⊥AE.又DC==2,AC=2,可得AC2+AD'2=CD'2,可得AD'⊥AC.因为AE∩AC=A,所以AD'⊥平面ABCE,所以AD'⊥BE.又G,H分别为D'B,D'E的中点,所以GH∥BE,所以GH⊥D'A.(2)解设三棱锥C-D'BE的体积为V,则V=S△BCE·AD'=×2×2×2.8.(1)证明如图,取AB的中点E,连接DE,SE,则四边形BCDE为矩形,∴DE=CB=2,∴AD=.∵侧面SAB为等边三角形,AB=2,∴SA=SB=AB=2,且SE=.又SD=1,∴SA2+SD2=AD2,SB2+SD2=BD2,∴SD⊥SA,SD⊥SB.∵SA∩SB=S,∴SD⊥平面SAB.(2)解设四棱锥S-ABCD的高为h,则h也是三棱锥S-ABD的高.由(1)知,SD⊥平面SAB,由V S-ABD=V D-SAB,得S△ABD·h=S△SAB·SD.又S△ABD=AB·DE=×2×2=2,S△SAB=AB2=×22=,SD=1,所以h=.故四棱锥S-ABCD的高为.。

第5讲空间中的平行与垂直关系A组基础达标1.(2018·浙江卷)已知平面α，直线m，n知足m⊂α，n⊂α，那么“m∥n”是“m∥α”的________条件．2.假设直线l不平行于平面α，且l⊄α，那么以下说法正确的选项是________．(填序号)①α内的所有直线与l异面；②α内不存在与l平行的直线；③α内存在唯一的直线与l平行；④α内的直线与l都相交．3. (2018·南京考前综合题)已知l，m是空间两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面．给出以下命题：①若l∥α，l∥m，那么m∥α；②若l⊂α，m⊂β，α∥β，那么l∥m；③若l⊂α，m⊂β，l⊥m，那么α⊥β；④若α⊥β，l⊥α，m⊥β，那么l⊥m.其中是真命题的有________．(填序号)4.设l，m是不同的直线，α，β，γ是不重合的平面，那么以下命题正确的选项是________．(填序号)①若l⊥m，m⊥α，那么l⊥α或l∥α.②若l⊥γ，α⊥γ，那么l∥α或l⊂α.③若l∥α，m∥α，那么l∥m或l与m相交．④若l∥α，α⊥β，那么l⊥β或l⊂β.5. (2018·南京、盐城一模)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，M，N别离是AB，A1B1的中点．(1) 求证：BN∥平面A1MC；(2) 若A1M⊥AB1，求证：AB1⊥A1C.(第5题)6. (2018·扬州期末)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E别离为AB，AC的中点．(1) 求证：B1C1∥平面A1DE；(2) 假设平面A1DE⊥平面ABB1A1，求证：AB⊥DE.(第6题)B组能力提升1. (2018·徐州铜山考前卷)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知∠ACB＝90°，BC＝CC1，E，F别离为AB，AA1的中点．(1) 求证：EF∥平面BC1A1；(2) 求证：EF⊥B1C.(第1题)2. (2018·海安等三校联考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AA1，M，N别离为A1B和B1C1的中点．(1) 求证：MN∥平面A1ACC1；(2) 求证：平面A1BC⊥平面MAC.(第2题)3. (2018·南师大考前模拟二)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，BC＝BB1，D为AB的中点．(1) 求证：BC1∥平面A1CD；(2) 求证：BC1⊥平面AB1C.(第3题)4. (2018·盐城中学最后一卷)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为长方体，P是CD的中点，Q是A1B1的中点．(1) 求证：AQ∥平面PBC1；(2) 若BC＝CC1，求证：平面A1B1C⊥平面PBC1.(第4题)。

5.2 空间中的平行与垂直【课时作业】A 级1．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，“m ∥β”是“α∥β”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 当m ∥β时，过m 的平面α与β可能平行也可能相交，因而m ∥β⇒/ α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m ⊂α，所以m ∥β.综上知，“m ∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．答案： B2．(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( )A.22 B ．32 C.52D ．72解析： 如图，因为AB ∥CD ，所以AE 与CD 所成的角为∠EAB . 在Rt△ABE 中，设AB ＝2， 则BE ＝5，则tan ∠EAB ＝BE AB ＝52， 所以异面直线AE 与CD 所成角的正切值为52.故选C. 答案： C3．已知三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( )A.5π12 B ．π3C.π4D ．π6解析： 如图，取P 1为底面ABC 的中心，连接PP 1，AP 1，由底面是边长为3的正三角形，知底面三角形的高为32，面积为334，又三棱柱的体积为94，则高PP 1＝3，AP 1＝1，∠PAP 1为所求角，因为tan ∠PAP 1＝3，所以∠PAP 1＝π3.答案： B4．如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 是等边三角形； ③三棱锥D ­ABC 是正三棱锥； ④平面ADC ⊥平面ABC . 其中正确的是( ) A ．①②④ B ．①②③ C ．②③④D ．①③④解析： 由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，结合②知③正确；由①知④不正确．故选B.答案： B5．如图，在斜三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，若P 为三角形A 1B 1C 1内一点(不含边界)，则点P 在底面ABC 的投影可能在( )A ．△ABC 的内部B ．△ABC 的外部 C ．直线AB 上D ．以上均有可能解析： 因为AC ⊥AB ，AC ⊥BC 1， 所以AC ⊥平面ABC 1，AC ⊂平面ABC ， 所以平面ABC 1⊥平面ABC ，所以C 1在平面ABC 上的射影H 必在两平面的交线AB 上．若P 为三角形A 1B 1C 1内一点(不含边界)，则点P 在底面ABC 的投影可能在△ABC 的外部． 答案： B6．若P 为矩形ABCD 所在平面外一点，矩形对角线的交点为O ，M 为PB 的中点，给出以下四个命题：①OM ∥平面PCD ；②OM ∥平面PBC ；③OM ∥平面PDA ；④OM ∥平面PBA .其中正确的命题是________．解析： 由已知可得OM ∥PD ，∴OM ∥平面PCD 且OM ∥平面PAD .故正确的只有①③. 答案： ①③7．已知a，b，l表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，l⊄α，则l⊥α.其中正确的命题是________．(填序号)解析：①在正方体A1B1C1D1­ABCD中，可令平面A1B1CD为α，平面DCC1D1为β，平面A1B1C1D1为γ，又平面A1B1CD∩平面DCC1D1＝CD，平面A1B1C1D1∩平面DCC1D1＝C1D1，则CD与C1D1所在的直线分别表示a，b，因为CD∥C1D1，但平面A1B1CD与平面A1B1C1D1不平行，即α与γ不平行，故①错误．②因为a，b相交，假设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确．③由两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，易知③正确．④当a∥b时，l垂直于平面α内两条不相交直线，不可得出l⊥α，④错误．故填②③.答案：②③8.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A 在PB、PC上的正投影，给出的下列结论正确的是________．①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.解析：由题意知PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.又AC⊥BC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.所以BC⊥AF.因为AF⊥PC，BC∩PC＝C，所以AF⊥平面PBC，PB⊂平面PBC，所以AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，所以PB ⊥平面AEF ，所以PB ⊥EF . 故①②③正确． 答案： ①②③9．(2018·郑州市第一次质量测试)如图，在三棱锥P ­ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，AB ＝6，BC ＝23，AC ＝26，D 为线段AB 上的点，且AD＝2DB ，PD ⊥AC .(1)求证：PD ⊥平面ABC ；(2)若∠PAB ＝ π4，求点B 到平面PAC 的距离．解析： (1)证明：∵cos ∠ABC ＝236＝33，∴CD 2＝22＋(23)2－2×2×23cos ∠ABC ＝8，∴CD ＝22， ∴CD 2＋AD 2＝AC 2，则CD ⊥AB .∵平面PAB ⊥平面ABC ，∴CD ⊥平面PAB ，PD ⊂平面PAB ，∴CD ⊥PD ， ∵PD ⊥AC ，AC ∩CD ＝C ，∴PD ⊥平面ABC . (2)由(1)得PD ⊥AB ，∵∠PAB ＝π4，∴PD ＝AD ＝4，PA ＝42，在Rt △PCD 中，PC ＝PD 2＋CD 2＝26， ∴△PAC 是等腰三角形，∴可求得S △PAC ＝8 2. 设点B 到平面PAC 的距离为d ，由V B ­PAC ＝V P ­ABC ，得13S △PAC ×d ＝13S △ABC ×PD ，∴d ＝S △ABC ×PDS △PAC＝3. 故点B 到平面PAC 的距离为3.10．在如图所示的多面体ABCDE 中，已知ABCD 是边长为2的正方形，平面ABCD ⊥平面ABE ，∠AEB ＝90°，AE ＝BE .(1)若M 是DE 的中点，试在AC 上找一点N ，使得MN ∥平面ABE ，并给出证明； (2)求多面体ABCDE 的体积．解析： (1)连接BD ，交AC 于点N ，则点N 即为所求，证明如下： ∵ABCD 是正方形，∴N 是BD 的中点， 又M 是DE 的中点，∴MN ∥BE ， ∵BE ⊂平面ABE ，MN ⊄平面ABE ， ∴MN ∥平面ABE .(2)取AB 的中点F ，连接EF ，∵△ABE 是等腰直角三角形，且AB ＝2， ∴EF ⊥AB ，EF ＝12AB ＝1，∵平面ABCD ⊥平面ABE ， 平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，EF ⊂平面ABE ，∴EF ⊥平面ABCD ，即EF 为四棱锥E ­ABCD 的高， ∴V 四棱锥E ­ABCD ＝13S 正方形ABCD ·EF ＝13×22×1＝43.B 级1．如图，四棱锥S ­ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是( )A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面 SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角解析： 易证AC ⊥平面SBD ，因而AC ⊥SB ，A 正确；AB ∥DC ，DC ⊂平面SCD ，故AB ∥平面SCD ，B 正确；由于SA ，SC 与平面SBD 的相对位置一样，因而所成的角相同．故选D. 答案： D2．把平面图形M 上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M ′称为图形M 在这个平面上的射影．如图，在长方体ABCD ­EFGH 中，AB ＝5，AD ＝4，AE ＝3.则△EBD 在平面EBC 上的射影的面积是( )A ．234B ．252C ．10D ．30解析： 连接HC ，过D 作DM ⊥HC ，连接ME ，MB ，因为BC ⊥平面HCD ，又DM ⊂平面HCD ，所以BC ⊥DM ，因为BC ∩HC ＝C ，所以DM ⊥平面HCBE ，即D 在平面HCBE 内的射影为M ，所以△EBD 在平面HCBE 内的射影为△EBM ，在长方体中，HC ∥BE ，所以△MBE 的面积等于△CBE 的面积，所以△EBD 在平面EBC 上的射影的面积为12×52＋32×4＝234，故选A.答案： A3．如图所示，平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝2，AD ＝4.将△CBD 沿BD 折起到△EBD 的位置，使平面EBD ⊥平面ABD .(1)求证：AB ⊥DE ；(2)求三棱锥E ­ABD 的侧面积和体积．解析： (1)证明：在△ABD 中，因为AB ＝2，AD ＝4，∠DAB ＝60°，所以BD ＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠DAB ＝23，所以AB 2＋BD 2＝AD 2，所以AB ⊥BD .又平面EBD ⊥平面ABD ，平面EBD ∩平面ABD ＝BD ，AB ⊂平面ABD ，所以AB ⊥平面EBD . 又DE ⊂平面EBD ，所以AB ⊥DE .(2)由(1)知AB ⊥BD .因为CD ∥AB ，所以CD ⊥BD ，从而DE ⊥BD .在Rt △DBE 中，因为DB ＝23，DE ＝DC ＝AB ＝2，所以S △EDB ＝12BD ·DE ＝2 3.因为AB ⊥平面EBD ，BE ⊂平面EBD ，所以AB ⊥BE . 因为BE ＝BC ＝AD ＝4，所以S △EAB ＝12AB ·BE ＝4.因为DE ⊥BD ，平面EBD ⊥平面ABD ，平面EBD ∩平面ABD ＝BD ，所以DE ⊥平面ABD ，而AD ⊂平面ABD ，所以DE ⊥AD ，故S △EAD ＝12AD ·DE ＝4.故三棱锥E ­ABD 的侧面积S ＝S △EDB ＋S △EAB ＋S △EAD ＝8＋2 3. 因为DE ⊥平面ABD ，且S △ABD ＝S △EBD ＝23，DE ＝2， 所以V 三棱锥E ­ABD ＝13S △ABD ×DE ＝13×23×2＝433.4．如图，四棱锥P ­ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝3，E 是侧棱PA 上的动点．(1)求四棱锥P ­ABCD 的体积；(2)如果E 是PA 的中点，求证：PC ∥平面BDE ；(3)不论点E 在侧棱PA 的任何位置，是否都有BD ⊥CE ？证明你的结论．解析： (1)因为PA ⊥平面ABCD ，所以V P ­ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PA ＝13×12×3＝33，即四棱锥P ­ABCD 的体积为33.(2)证明：如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接OE . 因为四边形ABCD 是正方形，所以O 是AC 的中点， 又E 是PA 的中点，所以PC ∥OE ， 因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以PC∥平面BDE.(3)不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE.证明如下：因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，因为PA⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以BD⊥PA，又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.因为不论点E在侧棱PA的任何位置，都有CE⊂平面PAC，所以不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE.。