不等式概念及性质知识点详解与练习

不等式的概念及其基本性质一、知识点复习：1. 用 不等号 连接起来的式子叫不等式；常见的不等号有“>，≥，<，≤，≠”。

2．不等式的基本性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

如果a b >，那么c b c a +>+，c b c a ->-；（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

如果)0(>>c b a ，那么ac bc >，a b c c>； （3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

如果)0(<>c b a ，那么bc ac <，cb c a <； （4）如果a b >，那么b a <；（5）如果a b >，b c >，那么a c >。

二、经典题型分类讲解：题型1：考察不等式的概念1. （2017春金牛区校级月考）式子：①02>；②14≤+y x ；③03=+x ；④7-y ；⑤35.2>-m 。

其中不等式有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个题型2：考察不等式的性质2.（2017连云港四模）已知b a >，下列关系式中一定正确的是（ ）A 、22b a <B 、b a 22<C 、22+<+b aD 、b a -<-3. 若0a b <<，则下列式子：12a b +<+ ,1a b > , a b ab +< , 11a b<,其中正确的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4．下列说法不一定成立的是（ ）A ．若a b >，则a c b c +>+B ．若a c b c +>+，则a b >C ．若a b >，则22ac bc >D ．若22ac bc >，则a b >5.（2016秋太仓市校级期末）如果10<<x ，则下列不等式成立的是（ ）A 、x x x 12<<B 、x x x 12<<C 、21x x x <<D 、x x x <<21 题型3：利用不等式的性质确定字母的取值范围6. 已知关于x 的不等式2)1(>-x a 两边都除以a -1，得ax -<12，试化简：21++-a a 。

初三不等式必考知识点不等式是初中数学中的一种重要的数学概念，也是初三数学的必考知识点之一。

通过学习不等式，可以帮助学生提高数学推理能力和问题解决能力。

本文将介绍初三不等式的基本概念、性质以及解题方法，帮助同学们系统地掌握这一知识点。

一、不等式的基本概念不等式是用不等号（>、<、≥、≤）连接的两个数或者两个代数式。

其中，大于（>）和小于（<）表示严格不等关系，大于等于（≥）和小于等于（≤）表示不严格不等关系。

例如，2x + 3 > 5是一个不等式。

二、不等式的性质 1. 两个不等式的加法性质：如果a > b，那么a + c > b + c，其中c是任意实数。

2. 两个不等式的减法性质：如果a > b，那么a - c > b - c，其中c是任意实数。

3. 两个不等式的乘法性质：如果a > b，且c > 0，那么ac > bc；如果a > b，且c < 0，那么ac < bc。

4. 两个不等式的除法性质：如果a > b，且c > 0，那么a/c > b/c；如果a > b，且c < 0，那么a/c < b/c。

5. 不等式的对称性：如果a > b，则b < a；如果a ≥ b，则b ≤ a。

6. 不等式的传递性：如果a > b，且b > c，则a > c。

三、不等式的解题方法 1. 代数法代数法是解不等式的一种常用方法。

通过运用不等式的性质和运算法则，将不等式转化为简单的形式，从而求得不等式的解集。

常用的代数法有以下几种： - 加减消元法：根据不等式的加法性质和减法性质，通过加或减相同的数使不等式两端的系数相等，从而得到简单的不等式。

- 乘除消元法：根据不等式的乘法性质和除法性质，通过乘或除相同的数使不等式两端的系数相等，从而得到简单的不等式。

完整版的不等式知识点和基本题型不等式是数学中一种重要的关系符号，它用来描述数值之间的大小关系。

以下是不等式的基本知识点和常见题型：1. 不等式基本概念- 不等式是指在两个数之间用不同的关系符号来表示大小关系，比如大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。

- 不等式的解集是使不等式成立的所有实数的集合。

2. 不等式的性质- 若 a > b，则 b < a。

- 若 a > b 且 b > c，则 a > c。

- 若 a > b 且 a > 0，则 ac > bc（c > 0）。

- 若 a > b 且 c < 0，则 ac < bc（c < 0）。

- 若 a > b 且c ≠ 0，则 ac > bc。

3. 不等式的解法- 在不等式两边同时加（减）相同的数，不等式的方向不变。

- 在不等式两边同时乘（除）正数，不等式的方向不变。

- 在不等式两边同时乘（除）负数，不等式的方向反向。

- 若不等式两边有平方根，应考虑正负情况。

4. 不等式的常见题型4.1. 一元一次不等式- 形如 ax + b > c 或 ax + b < c 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x 为变量。

- 解法类似一元一次方程，通过移项和化简来求解。

4.2. 一元一次绝对值不等式- 形如 |ax + b| > c 或 |ax + b| < c 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x 为变量。

- 需要根据绝对值的定义来分情况讨论和求解。

4.3. 二元一次不等式- 形如 ax + by > c 或 ax + by < c 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x、y 为变量。

- 解法类似于解一元一次不等式，通过移项和化简来求解。

4.4. 二次不等式- 形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x 为变量。

不等式知识点汇总不等式是数学中的一个重要概念，它在解决各种数学问题和实际生活中的优化问题中都有着广泛的应用。

下面我们来对不等式的相关知识点进行一个汇总。

一、不等式的定义用不等号（大于>、小于<、大于等于≥、小于等于≤）连接两个数或代数表达式的式子，叫做不等式。

例如：3 ＜ 5，x ＋ 2 ＞ 5，y 1 ≤ 3 等都是不等式。

二、不等式的基本性质1、对称性：如果 a ＞ b，那么 b ＜ a 。

2、传递性：如果 a ＞ b 且 b ＞ c，那么 a ＞ c 。

3、加法性质：如果 a ＞ b，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c 。

4、乘法性质：如果 a ＞ b 且 c ＞ 0，那么 ac ＞ bc ；如果 a ＞ b 且c ＜ 0，那么 ac ＜ bc 。

这些基本性质是解决不等式问题的基础，需要牢记并能够熟练运用。

三、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0（其中a ≠ 0）的不等式叫做一元一次不等式。

解一元一次不等式的一般步骤：1、去分母（如果有分母）。

2、去括号。

3、移项：把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边。

4、合并同类项。

5、系数化为 1：根据不等式的性质，将未知数的系数化为 1。

例如，解不等式 2x ＋ 5 ＞ 9 ，首先移项得到 2x ＞ 9 5 ，即 2x ＞4 ，然后系数化为 1 ，得到 x ＞ 2 。

四、一元二次不等式形如 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c ＜ 0（其中a ≠ 0）的不等式叫做一元二次不等式。

解一元二次不等式通常需要先求出对应的一元二次方程的根，然后根据二次函数的图象来确定不等式的解集。

例如，对于不等式 x² 3x ＋ 2 ＜ 0 ，先解方程 x² 3x ＋ 2 ＝ 0 ，因式分解为（x 1)（x 2) ＝ 0 ，解得 x ＝ 1 或 x ＝ 2 。

然后根据二次函数 y ＝ x² 3x ＋ 2 的图象，开口向上，与 x 轴的交点为 1 和 2 ，所以不等式的解集为 1 ＜ x ＜ 2 。

初中数学知识点——不等式引言：在初中数学中，不等式是一个非常重要的知识点，它是解决一元一次方程组和二元一次方程组的基础。

在本文中，我们将详细介绍不等式的相关知识点，并提供大量的练习题和参考答案，以帮助学生们深入了解和掌握这一知识点。

一、概念和性质1.1 不等式的类型不等式有三种类型：严格不等式、非严格不等式和混合不等式。

① 严格不等式：用“<”或“>”表示，例如：x > 5。

② 非严格不等式：用“≤”或“≥”表示，例如：x ≤ 5。

③ 混合不等式：既包括严格不等式，又包括非严格不等式，例如：3 < x ≤ 5。

1.2 不等式的解集不等式的解集是指所有满足不等式的数的集合。

例如：x + 2 > 5 的解集是{x | x > 3}。

1.3 不等式的性质不等式的性质包括：① 两个不等式相加或相减仍是不等式；② 不等式两边同时乘或除以一个正数，不等式方向不变；③ 不等式两边同时乘或除以一个负数，不等式方向反转。

二、解不等式2.1 解一元一次不等式解一元一次不等式的步骤如下：① 移项：将所有项移到一边；② 合并同类项：将同类项合并；③ 系数化为正数：如果某一项系数为负数，则将不等式两边同时乘上-1，使此项系数变为正数；④ 除以系数：将所有项的系数化为1。

例如：2x - 5 > 7步骤①：2x > 12；步骤②：2x - 12 > 0；步骤③：-2x + 12 > 0；步骤④：x > 6。

2.2 解一元一次不等式组解一元一次不等式组的方法和解一元一次方程组的方法类似，但是要注意不等式方向的改变，即如果某个不等式的符号反转了，则对应的不等式方向也要反转。

例如：{2x + y > 5; x - y ≤ 3}解法如下：① 将不等式组化为标准形式：{2x + y - 5 > 0; x - y - 3 ≤ 0}② 解方程x - y - 3 ≤ 0，得到x ≤ y + 3；③ 将x ≤ y + 3 代入2x + y - 5 > 0 中，得到3y > -1；④ 解不等式3y > -1，得到y > -1/3；⑤ 将y > -1/3 代入x ≤ y + 3 中，得到x ≤ 8/3。

不等式常用公式概念及拓展详细在高中数学中，不等式是一个非常重要且常见的概念。

它们经常用来描述数值的大小关系。

本文将详细介绍不等式的常用公式、概念以及一些拓展知识。

1.不等式的基本定义和性质不等式是一个表示两个数或两个代数式关于大小关系的陈述，包括大于、小于、大于等于和小于等于四种情况。

例如，a>b表示a大于b，a<b 表示a小于b，a≥b表示a大于等于b，a≤b表示a小于等于b。

不等式的性质：-若a>b，那么b<a；-若a>b，且b>c，那么a>c；-若a>b，那么a+c>b+c（这个性质可以推广到减法、乘法和除法）；-若a>0，那么a·b>a·c（若a<0，则反号）。

2.一元一次不等式一元一次不等式是一个以一个变量为未知数的一次方程。

例如，2x+1>5是一个一元一次不等式。

解一元一次不等式的方法与解一元一次方程类似，但需要注意在乘除法时要根据不等式的符号进行判断。

3.二元一次不等式二元一次不等式是含有两个变量的不等式，例如，2x+3y>6、要解二元一次不等式，需要将其转化为图形来表示。

可以通过绘制直线、曲线等方式来确定不等式的解集。

4.绝对值不等式绝对值不等式是含有绝对值的不等式。

例如，x-2，>3、解绝对值不等式时，需要考虑绝对值的两个情况，即x-2>3和x-2<-3、解出这两个方程后，将求得的解集取并集即可得到绝对值不等式的解集。

5.分式不等式分式不等式是含有分式的不等式。

例如，x/(x+3)>1、解分式不等式时，需要注意分母不能为0。

可以通过绘制函数图像的方法来确定不等式的解集。

6.不等式的加减法不等式的加减法是指对不等式的两边同时加上或减去相同的数，而保持不等式成立。

例如，若a>b，则a+c>b+c。

但是需要注意，当不等式两边乘以负数时，不等号的方向会发生翻转。

不等式知识点不等式，作为高中数学中一项重要的内容，贯穿着整个数学学习的过程。

它不仅在数学中有重要的地位，也在实际生活中应用广泛。

了解不等式的各种性质和解题方法，不仅可以帮助我们在数学考试中取得好成绩，更能在解决实际问题时发挥巨大的作用。

1. 不等式的基本概念不等式是用不等号连接的两个数或含有变量的代数式。

其中，大于号表示大于关系，小于号表示小于关系。

例如：3 > 2，x + 1 < 5等。

在不等式中，大于号和小于号都可以加上等于号，分别表示大于等于和小于等于的关系。

2. 不等式的性质（1）等价不等式性质：如果两个不等式左右两边互相相等，那么两个不等式的解集也相等。

例如：若a + b < c，则a + b + d < c + d。

（2）加减法性质：在不等式两边同时加或减相同的数，不等关系不变。

例如：若a < b，则a + c < b + c。

（3）乘除法性质：当不等号的一边为正数，另一边为负数时，改变不等关系。

例如：若a < b，则-a > -b。

但需注意，当两边同时乘或除以负数时，不等关系反转。

例如：若a < b，则-a > -b；若a > 0，则2a < a。

（4）倒置性质：如果不等式两边互相交换位置，不等关系也要交换。

例如：若a < b，则b > a。

3. 不等式的解法（1）图像法：将不等式等号两边的代数式分别画成函数图像，在坐标系中找出它们的共同区域，即为不等式的解集。

（2）试值法：根据不等式的性质，用一组特定的数值代替不等式中的变量，判断不等式是否成立。

（3）整理法：通过移动项的位置，使不等式看起来更简单。

例如：对于不等式a + b > c，可以移项为a + b - c > 0，更容易处理。

（4）分析法：对不等式进行逐步分析，通过推理和推导，得到不等式的解集。

4. 不等式在实际问题中的应用不等式在现实生活中有着广泛的应用。

不等式数学知识点高一一、不等式的概念和性质1. 不等式的定义不等式是数之间不相等关系的表示形式，可分为大于、小于、大于等于、小于等于四种不等式类型。

2. 不等式的解集表示法当不等式成立时，将满足不等式的数值表示为解集，用集合的形式表示。

3. 不等式的性质（1）对于同一不等式，两边同时加（减）同一个数，不等式的成立关系不变。

（2）对于同一不等式，两边同时乘（除）同一个正数，不等式的成立关系不变，但若同除，需考虑除数不能为零。

（3）对于同一不等式，两边同时乘以同一个负数，不等式的成立关系改变。

二、一元一次不等式1. 一元一次不等式的解法针对一元一次不等式，通过图像法或数值法求解。

2. 一元一次不等式的图像法（1）将一元一次不等式转化为方程，得到直线的方程。

（2）绘制直线图像，并根据不等式的符号确定阴影部分，即为不等式的解集。

3. 一元一次不等式的数值法（1）根据不等式的性质，将x的系数乘以-1，使其系数为正数。

（2）列出方程，求解x的值，并根据解的大小关系确定不等式的解集。

三、一元二次不等式1. 一元二次不等式的解法针对一元二次不等式，通过图像法或配方法（改变形式法）求解。

2. 一元二次不等式的图像法（1）将一元二次不等式转化为方程，得到抛物线的方程。

（2）绘制抛物线图像，并根据不等式的符号确定阴影部分，即为不等式的解集。

3. 一元二次不等式的配方法（1）根据不等式的性质，将一元二次不等式化为标准形式。

（2）通过配方法（改变形式法）将不等式化简为平方项的形式。

（3）根据不等式的解集性质，确定不等式的解集。

四、绝对值不等式1. 绝对值不等式的解法针对绝对值不等式，通过正负号讨论法求解。

2. 绝对值不等式的正负号讨论法（1）根据绝对值的性质，将绝对值不等式拆分为正负号的形式。

（2）分别讨论正负号情况下的不等式，并求解不等式的解集。

五、不等式的运算和复合不等式1. 不等式的运算法则（1）对于同一不等式，两边同时加、减、乘、除同一个数，不等式的成立关系不变。

高二不等式知识点总结不等式是数学中一种重要的关系式，它描述了两个数或两个式子之间的大小关系。

在高二阶段学习数学时，不等式是必不可少的知识点之一。

本文将对高二阶段学习的不等式知识点进行总结和概述。

一、一元一次不等式1. 不等式的定义：不等式是含有不等号（<、>、≤、≥）的数学式子。

2. 不等式的解：解不等式可以通过移项和绘制数轴的方法。

解集通常用区间表示。

3. 不等式的性质：不等式在两边同时加上一个相等的数或者在两边同时乘以一个正数时，不等关系不变；在两边同时乘以一个负数时，不等关系会颠倒。

4. 一元一次不等式的解法：考虑到正负数以及系数的情况，可以分为以下几种情况进行讨论。

二、一元二次不等式1. 一元二次不等式的定义：一元二次不等式是含有平方项的不等式。

2. 一元二次不等式的解法：可通过化为标准形式，配方法或绘制图像等方式进行求解，解集常用区间来表示。

3. 一元二次不等式的性质：与一元一次不等式类似，需要注意平方项对不等式性质的影响。

三、绝对值不等式1. 绝对值不等式的定义：绝对值不等式是含有绝对值的不等式。

2. 绝对值不等式的解法：可通过绝对值的定义以及正负号的讨论来解决。

四、分式不等式1. 分式不等式的定义：分式不等式是含有分式的不等式。

2. 分式不等式的通解：利用分式不等式的定义，可通过化简、拆分分式等方式求得通解。

五、不等式组1. 不等式组的定义：含有多个不等式的组合形式。

2. 不等式组的解法：可通过图示法、代入法、消元法等不同的方法求解。

六、不等式的应用1. 不等式在数学问题中的应用：不等式常常被应用于解决实际问题，如优化问题、约束条件等。

2. 不等式在证明中的应用：不等式在数学证明中具有重要的作用，可通过不等式进行推导、化简等。

综上所述，高二阶段的不等式知识点主要包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式、不等式组等内容。

掌握这些知识点对高中数学的学习以及今后的学习和工作都具有重要的意义。

不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>,(3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加)(4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘)(5)倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且(7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。

()()()如：x x x +--<1120233、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。

初中不等式重要知识点总结一、不等式的基本概念1. 不等式的定义不等式是指两个不同实数之间的大小关系，用不等号表示的式子称为不等式。

例如：a ＞b，a、b为实数。

不等式包括开区间不等式和闭区间不等式。

开区间不等式：a ＞ b（>表示大于，不包括a）；闭区间不等式：a ≥ b（≥表示大于等于，包括a）。

2. 不等式的解集不等式的解集是所有满足不等式条件的实数构成的集合。

例如：不等式2x ＞ 6的解集为{x | x ＞ 3}。

3. 不等式的性质不等式与等式一样，具有传递性、对称性和反对称性。

传递性：若a ＞ b，b ＞ c，则a ＞c；对称性：若a ＞ b，则-b ＜ -a；反对称性：若a ＞ b，且b ＞ a，则a = b。

另外，对于不等式，还有加减法原理和乘除法原理。

加减法原理：不等式两边都加（减）同一个实数，不等式号的方向不变；乘除法原理：不等式两边都乘（除）同一个正数，不等式号的方向不变，都乘（除）同一个负数，不等式号的方向改变。

二、一元一次不等式1. 一元一次不等式的书写一元一次不等式是指形如ax + b ＞ 0或ax + b ＜ 0的不等式，其中a和b是常数，x是未知数。

一元一次不等式中，a不等于0。

2. 一元一次不等式的解法解一元一次不等式，主要有以下几种方法：（1）图解法：将不等式转化为方程，利用函数的图像找出满足不等式条件的实数解。

（2）试数法：通过代入试数的方式，找出满足不等式条件的实数解。

（3）分析法：通过移项整理和求解，找出满足不等式条件的实数解。

三、一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的定义一元一次不等式组是由若干个一元一次不等式构成的集合。

2. 一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组，主要有以下几种方法：（1）图解法：将不等式转化为方程，找出满足所有不等式条件的实数解，画出其图像，并找出图像的交集部分。

（2）试数法：通过代入试数的方式，找出满足所有不等式条件的实数解。

2.1 等式性质与不等式性质（基础知识+基本题型）知识点一不等式的有关概念1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号，，≥，≤，连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子，叫做不等式．2．同向不等式和异向不等式对于两个不等式，如果每一个不等式的左边都大于（或大于等于）右边或每一个不等式的左边都小于（或小于等于）右边，那么这两个不等式叫做同向不等式．例如，f x g x 与S x T x是同向不等式，()()f x g x ≤与()()S x T x ≤也是同向不等式．对于两个不等式，如果一个不等式的左边都大于（或大于等于）右边，而另一个不等式的左边小于（或小于等于）右边，那么这两个不等式叫做异向不等式．例如，f x g x 与S x T x是异向不等式，()()f x g x ≤与()()S x T x ≥也是异向不等式．提示文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过符号语言≥≤知识点二比较实数大小的依据与方法1．比较实数大小的依据在数轴上，不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示（如图 3.11所示），可以看出a，b之间具有以下性质：如果a b-等于零，那么>；如果a b-是正数，那么a ba b；如果a b<．反之也成立．它是本章内容的理论基础，是不等式性质的证明、证-是负数，那么a b明不等式和解不等式的主要依据．2．比较两个实数大小的方法⑴作差法：对于两个实数a，b，通过比较a b-与0的大小关系，从而得到实数a，b的大小关系，具体方法如下：a b a b-=⇔=；0-<⇔<．a b a b->⇔>；0a b a b⑵作商法：对于任意两个正数a ，b ，通过比较a b与1的大小关系，从而得到正数a ，b 的大小关系，具体方法如下：当0a ，0b 时，1a a bb >⇔>；1aa b b=⇔=；1aa b b<⇔<．知识点三 等式的性质等式有下面的基本性质：性质1 如果a b =，那么b a =；性质2 如果a b =，b c =，那么a c =；性质3 如果a b =，那么a c b c ±=±；性质4 如果a b =，那么ac bc =；性质5 如果a b =，0c ≠，那么a b c c=． 知识点四 不等式的性质性质 具体名称 性质内容注意 1 对称性 a b b a >⇔< ⇔ 2 传递性 a b ，b c a c >⇒> ⇒ 3 可加性a b a c b c >⇔+>+ ⇔4 可乘性 0a b ac bc c >⎫⇒>⎬>⎭c 的符号0a b ac bc c >⎫⇒<⎬<⎭5 同向可加性 a b a c b d c d >⎫⇒+>+⎬>⎭⇒ 6 同向同正可乘性 00a b ac bd c d >>⎫⇒>⎬>>⎭⇒7 可乘方性 0n n a b a b >>⇒>（n N ∈，1n ≥） 同正8可开方性0n n a b a b >>⇒>（n N ∈，2n ≥）9 取倒数11a bab a b>⎫⇒<⎬>⎭a，b同号考点一：用不等式表示不等关系180m，拟分割成大、例1.某人有楼房一幢，室内面积共218m，小两类房间作为旅游客房，大房间面积为215m 可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为2，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式.【思路点拨】把已知条件用等式或不等式列出来（代数化），把目标用代数式表示，再研究条件和目标的关系。

不等式的概念及性质知识点详解及练习一、不等式的概念及列不等式不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→→≤≥≠→→表示出不等关系列出代数式设未知数步骤列不等式””、“”、“”、“”、““不等号概念πφ 1、不等式的概念及其分类（1）定义：用“＞”、“﹤”、“≠”、“≥”及“≤”等不等号把代数式连接起来，表示不等关系的式子。

a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b 。

（2）分类：①矛盾不等式：不等式只是表示了某种不等关系，它表示的关系可能在任何条件下都不成立，这样的不等式叫矛盾不等式；如2＞3，x 2﹤0②绝对不等式：它表示的关系可能在任何条件下都成立，这样的不等式叫绝对不等式； ③条件不等式：在一定条件下才能成立的不等式叫条件不等式。

（3）不等号的类型：①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小； ②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；③“﹤”读作“小于”， 它表示左边的数比右边的数小；④“≥”读作“大于或等于”， 它表示左边的数不小于右边的数；⑤“≤”读作“小于或等于”， 它表示左边的数不大于右边的数；注意：要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。

（4）常见不等式基本语言的含义：①若x ＞0，则x 是正数；②若x ﹤0，则x 是负数；③若x ≥0，则x 是非负数；④若x ≤0，则x 是非正数；⑤若x-y ＞0，则x 大于y ；⑥若x-y ﹤0，则x 小于y ；⑦若x-y ≥0，则x 不小于y ；⑧若x-y ≤0，则x 不大于y ；⑨若xy ＞0（或yx ＞0），则x ，y 同号；⑩若xy ﹤0（或yx ﹤0），则x ，y 异号； （5）等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。

一、不等式的概念和性质 不等式的概念1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：252,314,10,10,0,35a x a x a a -<-+>-++≤+>≥≠等都是不等式．2.常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．注意：不等式３≥２成立；而不等式３≥３也成立，因为３＝３成立，所以不等式３≥３成立．3.不等号“>”和“<”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改变成与其相反的方向，如：“>”改变方向后，就变成了“<”。

【例1】用不等式表示数量的不等关系．（1）a 是正数 （2）a 是非负数（3）a 的相反数不大于1 （4）x 与y 的差是负数 （5）m 的4倍不小于8（6）q 的相反数与q 的一半的差不是正数（7）x 的3倍不大于x 的13（8） a 不比0大【巩固】用不等式表示：⑴ x 的15与6的差大于2； ⑵ y 的23与4的和小于x ；⑶ a 的3倍与b 的12的差是非负数； ⑷ x 与5的和的30%不大于2-． 【巩固】用不等式表示：⑴a 是非负数； ⑵y 的3倍小于2； ⑶x 与1的和大于0；⑷x 与4的和大于1不等式的性质 不等式基本性质：基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．如果a b >，那么a c b c ±>± 如果a b <，那么32(1)x a x +≥-基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果a b >，并且0c >，那么ac bc >(或a b c c >) 如果a b <，并且0c >，那么ac bc <(或a b c c<) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >，并且0c <，那么ac bc <(或a b c c<) 如果a b <，并且0c <，那么ac bc >(或ax b >)不等式的互逆性：如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >． 不等式的传递性：如果a b >，b c >，那么a c >．易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．②在计算的时候符号方向容易忘记改变．【例2】⑴ 如果a b >，则2a a b >+，是根据 ；⑵ 如果a b >，则33a b >，是根据 ；⑶ 如果a b >，则a b -<-，是根据 ； ⑷ 如果1a >，则2a a >，是根据 ； ⑸ 如果1a <-，则2a a >-，是根据 ．【巩固】利用不等式的基本性质，用“＜”或“＞”号填空．⑴ 若a b <，则2a _______2b ； ⑵ 若a b >，则4a -______4b -；⑶ 若362x ->，则x ______4-；⑷ 若a b >，0c >，则ac ______bc ；⑸ 若0x <，0y >，0z <，则()x y z -_______0．【巩固】若a b <，用“>”或“<”填空⑴2_____2a b ++； ⑵2_____2a b --⑶11______33a b ； ⑷____a b -- 【巩固】若a b <，则下列各式中不正确的是（ ）A.88a b -<+B.1188a b < C. 1212a b -<- D.22a b -<-【例3】已知a b >，要使bm am -<-成立，则m 必须满足( )A ．0m >B ．0m =C ．0m <D ．m 为任意数【巩固】如果关于x 的不等式(1)1a x a +>+的解集为1x <，那么a 的取值范围是（ ）A.0a >B.0a <C.1a >-D.1a <-【巩固】若0a b <<，则下列不等成立的是( )A ．11a b< B ． 2ab b < C ． 2a ab > D ．||||a b <【巩固】如果a b >，可知下面哪个不等式一定成立( )A ． a b ->-B ．11a b< C ． 2a b b +> D ．2a ab >【巩固】如果2x >，那么下列四个式子中：①22x x > ②2xy y > ③2x x > ④112x <正确的式子的个数共有 ( ) A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【巩固】根据a b >，则下面哪个不等式不一定成立( )A ．22a c b c +>+B ． 22a c b c ->-C ． 22ac bc >D ．2211a bc c >++ 不等式的解集 1.不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值叫做不等式的解．例如：4-，2-，0，1，2都是不等式2x ≤的解，当然它的解还有许多． 2.不等式的解集：能使不等式成立的所有未知数的集合，叫做不等式的解集．不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解． 不等式的解集可以用数轴来表示．不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解． 在数轴上表示不等式的解集(示意图)：【例4】下列说法中错误的是（ ）A.不等式28x -<的解集是4x >-；B.40-是不等式28x <-的一个解C.不等式6x <的正整数解有无数多个D.不等式6x <正整数解有无限个【例5】在数轴上表示下列不等式的解集：⑴1x <； ⑵2x ≥-； ⑶2x <-或1x ≥； ⑷21x -≤<【巩固】在12-、1-、2-、0、3-、12、32-中，能使不等式32x +<成立的有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个【巩固】下列不等式：①76->-；②a a >-；③1a a +>；④0a >；⑤210a +>，其中一定成立的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个二、一元一次不等式的解法1.一元一次不等式：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为ax b<或ax b>的形式，其中x是未知数，,a b是已知数，并且0a≠，这样的不等式叫一元一次不等式．ax b<或ax b>(0a≠)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解一元一次不等式：去分母→去括号→移项→合并同类项(化成ax b<或ax b>形式)→系数化一(化成bxa>或bxa<的形式)【例6】求不等式3(1)5182x xx+-+>-的解集．【巩固】解不等式：5192311 236x x x+--+≤【巩固】解不等式2110155364x xx++--≥，并把它的解集在数轴上表示出来．【巩固】解不等式2(1)34(1)5x x x+->++【巩固】当x为何值时，代数式2113x+-的值不小于354x+的值？【例7】求不等式4512x-＜1的正整数解．【巩固】不等式132x x+>的负整数解是_______．【巩固】不等式111326y y y+---≥的正整数解为__________．【巩固】求不等式12123x x+-≥的非负整数解．三、一元一次不等式组的解法1.一元一次不等式和它的解法一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集2.解一元一次不等式组的一般步骤：①求出这个不等式组中各个不等式的解集：②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即可求出这个不等式组的解集注意：①利用数轴表示不等式的解集时，要注意表示数的点的位置上是空心圆圈，还是实心圆点；②若不等式组中各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解3.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况有如下四种：不等式组的口诀解法（一）同大取大如果两个不等式的解集都是大于某数时，那么不等式的解集就是大于大数（二）同小取小如果两个不等式的解集都是小于某数时，那么不等式组的解集就是小于小数（三）大小小大中间找如果不等式组中的一个不等式的解集是大于小数，另一个不等式的解集是小于大数，那么这个不等式组的解集就是小数与大数之间的部分（四）大大小小找不到如果不等式组中的一个不等式的解集是大于大数，另一个不等式的解集是小于小数，那么不等式组就是无解【例8】解不等式组31422xx x->-⎧⎨<+⎩，并把它的解集表示在数轴上．【巩固】求不等式组2(2)43251x xx x-≤-⎧⎨--⎩＜①②的整数解．【例9】解不等式：32122x--<≤；【巩固】解不等式：23121 42xx-≤≤+【例10】解不等式组：11141010372x x x x x ⎧-+>+⎪⎪--⎨⎪+>+⎪⎩；【巩固】解不等式组：323(1)12123x x x x x +≥--⎧⎪-+⎨->-⎪⎩【例11】解不等式组：2(20)203(34)2521623x x x x x -+≥-+⎧⎪-+⎨<⎪⎩【巩固】解不等式组：734342555(4)2(4)3x x x x x -+⎧-≥-⎪⎪⎨⎪+-≤-⎪⎩【例12】解不等式组()121123621[41]43x x x x x x x --+⎧->-⎪⎪⎨⎪---⎪⎩①≥②。

初中不等式的知识点归纳一、不等式的概念。

1. 不等式的定义。

- 用不等号（＞、≥、＜、≤或≠）表示不等关系的式子叫做不等式。

例如：3x + 5>2，a - 1≤0等。

2. 不等式的解。

- 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

例如，对于不等式x + 1>0，x = 1就是它的一个解，因为当x = 1时，1+1 = 2>0。

3. 不等式的解集。

- 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

例如，不等式x - 3>0的解集是x>3，这表示所有大于3的数都是这个不等式的解。

4. 解不等式。

- 求不等式解集的过程叫做解不等式。

二、不等式的基本性质。

1. 性质1（不等式的传递性）- 如果a>b，b>c，那么a>c。

例如：若5>3，3>1，则5>1。

2. 性质2（不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变）- 如果a>b，那么a±c>b±c。

例如：若x>2，那么x+1>2 + 1，即x+1>3；x-3>2-3，即x - 3>-1。

3. 性质3（不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变）- 如果a>b，c>0，那么ac>bc（或(a)/(c)>(b)/(c)）。

例如：若2x>4，两边同时除以2（2是正数），得到x>2。

4. 性质4（不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）- 如果a>b，c<0，那么ac（或(a)/(c)<(b)/(c)）。

例如：若-3x>6，两边同时除以 - 3（-3是负数），得到x<-2。

三、一元一次不等式。

1. 一元一次不等式的定义。

- 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。

其一般形式是ax + b>0或ax + b<0（a≠0），例如2x - 1>0，3 - x<0等。

不等式知识点归纳不等式是数学中的一种常见表达方式，用于比较两个数量的大小关系。

它是数学分析、代数和几何中的重要概念之一，有着广泛的应用。

本文将介绍不等式的基本概念、性质、解法以及常见类型的练习题，帮助读者全面了解和掌握不等式知识。

一、不等式的基本概念不等式是将两个数或者表达式进行比较的一种数学符号表达方法。

通常使用不等号（<, >, ≤, ≥）表示大小关系。

其中，< 表示严格小于，> 表示严格大于，≤ 表示小于等于，≥ 表示大于等于。

例如，a < b 表示 a 小于 b，a > b 表示 a 大于 b，a ≤ b 表示 a 小于等于 b，a ≥ b 表示 a 大于等于b。

二、不等式的性质1. 传递性：如果 a < b，b < c，则可以推出 a < c；如果a > b，b > c，则可以推出 a > c。

2. 加减性：如果 a < b，则 a ± c < b ± c；如果 a > b，则 a ± c > b ± c。

其中，c 是常数。

3. 乘除性：如果 a < b，且 c > 0 或 c < 0，则 ac < bc；如果 a < b，且 c < 0 或 c > 0，则 ac > bc。

注意，当 c = 0 时，乘除性不成立。

4. 倒数性：如果 a < b，且 c < 0 或 c > 0，则 1/a > 1/b；如果 a < b，且 c > 0 或 c < 0，则 1/a < 1/b。

注意，当a 或b 为0时，倒数性不成立。

三、不等式的解法解一个不等式，就是找出使得不等式成立的数的范围。

常见的解不等式的方法有以下几种。

1. 加减法：将不等式中的项移项，使得不等式变为一个与变量 x 有关的代数式 f(x)，然后通过分析 f(x) 的符号变化来确定不等式的解集。

不等式及其性质（基础）知识讲解知识梳理要点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点诠释：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．要点二、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．要点诠释：对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】类型一、不等式的概念1．用不等式表示：(1)x与-3的和是负数；(2)x与5的和的28％不大于-6;(3)m除以4的商加上3至多为5．【思路点拨】列不等式时，应抓住“大于”、“不大于”、“不是”、“至多”、“非负数”等表示不等关系的关键性词语，进而根据这些关键词的内涵列出不等式．【答案与解析】解：(1)x-3＜0；(2)28％(x+5)≤-6；(3)34m +≤5． 【总结升华】在不等式及其应用的题目中，经常会出现一些表示不等关系的词语．正确理解这些关键词很重要．如：若x 是非负数，则x ≥0；若x 是非正数，则x ≤0；若x 大于y ，则有x-y ＞0；若x 小于y ，则有x-y ＜0等．举一反三：【变式】a a +的值一定是（ ）．A.大于零B.小于零C.不大于零D. 不小于零【答案】D.2.下列叙述：①a 是非负数则a ≥0；②“a 2减去10不大于2”可表示为a 2-10＜2； ③“x 的倒数超过10”可表示为1x ＞10；④“a ，b 两数的平方和为正数”可表示为a 2+b 2＞0．其中正确的个数是（ ）.A.1个B.2个C.3个D. 4个【答案与解析】①非负数是大于等于零的实数，即a ≥0．故①正确；②“a 2减去10不大于2”可表示为a 2-10≤2；故②错误；③“x 的倒数超过10”就是“③“x 的倒数大于10”，可表示为1x＞10．故③正确；④“a ，b 两数的平方和为正数”，即“；④“a ，b 两数的平方和大于零”，可表示为a 2+b 2＞0．故④正确．综上所述，正确的说法有3个．故选C ．【总结升华】考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、＜、≤、≥、≠． 类型二、不等式的基本性质3.（2015春•天津期末）判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．（1）若 b ﹣3a ＜0，则b ＜3a ；（2）如果﹣5x ＞20，那么x ＞﹣4；（3）若a ＞b ，则 ac 2＞bc 2；（4）若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；（5）若a ＞b ，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）．（6）若a ＞b ＞0，则＜． ．【答案与解析】解：（1）若由b ﹣3a ＜0，移项即可得到b ＜3a ，故正确；（2）如果﹣5x ＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误；（3）若a ＞b ，当c=0时则 ac 2＞bc 2错误，故错误；（4）由ac 2＞bc 2得c 2＞0，故正确；（5）若a ＞b ，根据c 2+1，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）正确．（6）若a＞b＞0，如a=2，b=1，则＜正确．故答案为：√、×、×、√、√、√．【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．4.如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是( ).A．a+c＞b+c B．c-a＞c-b C．ac＞bc D．a b c c【思路点拨】根据不等式的性质分析判断．【答案】A.【解析】A、在不等式的两边同时加上c不等号方向不变，故本选项正确；B、在不等式的两边同时乘以-1，加上c后不等号方向改变，故本选项错误；C、两边同时乘以负数c，不等号方向改变，故本选项错误；D、两边同时除以负数c，不等号方向改变，故本选项错误；【总结升华】不等式的性质是不等式变形的重要依据．关键要注意不等号的方向．性质1和性质2类似于等式的性质但性质3中，当不等式两边乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变．举一反三：【变式】（2015春•秦淮区期末）根据不等式的基本性质，将“mx＜3”变形为“x＞3m”，则m的取值范围是．【答案】m＜0.解：∵将“mx＜3”变形为“x＞3m”，∴m的取值范围是m＜0．故答案为：m＜0．。

初中数学知识归纳不等式的基本概念和性质初中数学知识归纳——不等式的基本概念和性质不等式是数学中常见的一种关系表示方法，用于描述数值的大小关系。

在初中数学学习中，不等式是一个重要的知识点，掌握不等式的基本概念和性质对于解题和拓展数学思维非常关键。

本文将对初中数学中不等式的基本概念、不等式的性质以及一些相关的解题方法进行归纳总结。

一、不等式的基本概念1. 不等式的定义：不等式是用不等号（<、>、≤、≥）表示的两个数之间的大小关系。

例如，a < b表示a小于b，a > b表示a大于b，a ≤ b 表示a小于等于b，a ≥ b表示a大于等于b。

2. 不等式的解：对于单个不等式，解是使得不等式成立的数的取值范围。

解可以是有限集合，也可以是无限集合。

二、不等式的性质1. 不等式的传递性：对于任意实数a、b、c，如果a < b且b < c，则有a < c。

这意味着如果不等式链中的不等号方向一致，则整个不等式链成立。

2. 不等式的加减性：对于不等式a < b和任意实数c，有a + c < b + c。

同样地，如果a > b，则有a - c > b - c。

这就是不等式的加减性质。

3. 不等式的乘除性：对于不等式a < b和正实数c，有ac < bc；如果a > b且c为负实数，则有ac > bc。

同样地，如果c为正实数，且a > b，则ac > bc。

这就是不等式的乘除性质。

4. 反向不等式：对于不等式a < b，取相反数得到-a > -b。

同样地，如果a > b，则-a < -b。

反向不等式是指改变不等号方向后得到的不等式。

三、不等式的解题方法1. 图解法：对于简单的不等式，可通过图形来解决。

将不等式表示的数轴上的点标出，并根据不等号表示的关系确定解的范围。

2. 存在性法：对于含未知数的不等式，可以通过判断某个特定数是否满足不等式，并验证该数范围的其他数是否满足不等式来确定解的范围。

七年级不等式知识点初中不等式在我们学习数学的过程中非常重要，不仅在初中阶段，而且在高中和大学阶段也应用非常广泛。

在不等式中，学习不同的知识点可以帮助我们更好地理解不等式，提高我们的数学能力。

本文将介绍七年级不等式的一些基本知识点，包括不等式的定义和性质，代数不等式以及几何不等式等等。

一、不等式的定义与性质1. 定义：不等式是两个数或者两个算式之间用“<”、“>”、“≤”、“≥”等符号连接而成的关系。

不等式中，左边的数或者算式称为不等式的左边，右边的数或者算式称为不等式的右边。

2. 性质：（1）不等式中，将左右两边同时加上或者减去一个相同的数，不等式的不等关系不变。

例如：a < b，那么a + c < b + c;a > b，那么a - c >b - c。

（2）不等式中，将左右两边同时乘以或者除以一个正数，不等式的不等关系不变。

例如：a < b，且c > 0，那么ac < bc;a > b，且c > 0，那么a/c > b/c。

（3）不等式中，将左右两边同时乘以或者除以一个负数，不等式的不等关系反转。

例如：a < b，且c < 0，那么ac > bc;a > b，且c < 0，那么a/c < b/c。

二、代数不等式1. 基本不等式：对于任意正整数n，有1 + 2 + 3 + … + n < n²。

证明：由等差数列求和公式可得，1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2，因此，不等式可以改写为n(n + 1)/2 < n²，简化得n < (n + 1)/2，两边同乘以2可得2n < n + 1，即n < 1 + n，恒成立。

2. 绝对值不等式：对于实数a和b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。

证明：不妨设a ≥ 0，b ≥ 0，那么|a + b| = a + b = |a| + b ≤ |a| + |b|；若a ≥ 0，b ≤ 0，那么|a + b| ≤ |a| + |b| = a - b，两边加上b得a +b ≤ a + b，恒成立；若a ≤ 0，b ≥ 0，那么|a + b| ≤ |a| + |b| = -a + b，两边加上a得b≤ b，恒成立；若a ≤ 0，b ≤ 0，那么|a + b| = -a - b = -|a| - |b| ≤ -|a + b|，即|a + b| ≤ |a| + |b|。