解直角三角函数1

专题1.8解直角三角形（1）（知识讲解）【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.求∠A，(如∠A，a)，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.【典型例题】类型一、解直角三角形1．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=3 4则sin C=_______.【点拨】此题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数，求出BD是解本题的关键．举一反三：【变式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边的中点，CD＝2，tan B＝3 4(1)求AD和AB的长；(2)求∠B的正弦、余弦值．【变式2】如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD为∠BAC的平分线，且AD=2，AC解这个直角三角形．类型二、解非直角三角形2．如图，在ABC △中，6AB =，1sin 2B =，1tan 3C =，求ABC △的面积．1AD 举一反三：【变式1】如图，一艘货船以20n mile /h 的速度向正南方向航行，在A 处测得灯塔B 在南偏东40 方向，航行5h 后到达B 在北偏东60 方向，求C 处距离灯塔B的距离BC （结果精确到0.1，参考数据：sin 400.64≈ ，cos400.77≈ ，tan 400.84≈ 1.73≈）．【答案】65.4nmile【分析】过点B 作BH AC ⊥，在Rt △CBH 和Rt △BAH 中，根据三角函数的定义即可计算出C 处距离灯塔B 的距离BC ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，化为解直角三角形的问题是解题的关键．【变式2】如图，已知一居民楼AD 前方30m 处有一建筑物BC ，小敏在居民楼的顶部D 处和底部A 处分别测得建筑物顶部B 的仰角为19︒和41︒，求居民楼的高度AD 和建筑物的高度BC (结果取整数)．(参考数据:tan190.34︒≈，tan 410.87︒≈)【答案】居民楼的高度AD约为16米，建筑物的高度BC约为26米．【分析】通过作垂线，构造直角三角形，分别在Rt△BDE和RtABC中，根据锐角三角函数的意义求出BC、BE，进而求出AD，得出答案．解：过点D作DE⊥BC于点E，则DE＝AC＝30，AD＝EC，由题意得，∠BDE＝19︒，∠BAC＝41︒，在Rt△ABC中，BC＝AC•tan∠BAC＝30×tan41︒≈26.1≈26，在Rt△BDE中，BE＝DE•tan∠BDE＝30×tan19︒≈10.2，∴AD＝BC−BE＝26.1−10.2＝15.9≈16．答：居民楼的高度AD约为16米，建筑物的高度BC约为26米．【点拨】考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数，构造直角三角形利用锐角三角函数是解决问题的关键．类型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积3．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝12，CD＝求AD的长．【答案】6【分析】延长DA交CB的延长线于E，根据已知条件得到∠ABE=90°，根据邻补角的定义得到∠EAB=60°，得到∠E=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．解：延长DA交CB的延长线于E，∵∠ABC=90°，【点拨】本题考查了含30°角的直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，AB是长为10m，倾斜角为30°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度（结果保留整数）．【参考数据：sin65°＝0.90，tan65°＝2.14】【答案】大楼CE的高度是26m．【分析】作BF⊥AE于点F,根据三角函数的定义及解直角三角形的方法求出BF、CD即可.解：作BF⊥AE于点F．则BF＝DE．【变式2】一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为ABC ，点B 、C 、D 在同一条直线上，测得90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，32cm AB =，75BDE ∠=︒，其中一段支撑杆84cm CD =，另一段支撑杆70cm DE =，(1)求BC 的距离；(2)求支撑杆上的E 到水平地面的距离EF 是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈ 1.732≈）【答案】(1)16cm (2)105cm【分析】（1）根据直角三角形中60°角解直角三角形即可；（2）如图作DG ⊥EF ，PQ EF ∥，证明EF =EG +QC +CP ，再分别运用解直角三角形求出EG 、QC 、CP 即可．∵DG ⊥EF ，AF ⊥EF ，PQ ∴DG ⊥PQ ，AF ⊥PQ ，∴四边形FPQG 是矩形，∴3sin 60842CQ CD =⋅︒=⨯∵75,60BDE BDQ ∠=︒∠=︒∴∠EDG =75°-60°=15°。

直角三角函数直角三角函数（∠α是锐角）三角关系倒数关系：tanα²cotα=1sinα²cscα=1cosα²secα=1商的关系：平方关系：2三角规律三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。

而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。

三角函数本质：根据三角函数定义推导公式根据右图，有sinθ=y/ r; cosθ=x/r; tanθ=y/x; cotθ=x/y深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例：推导：首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。

角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。

A(cosα，sinα），B(cosβ，sinβ），A'(cos（α-β），sin（α-β））OA'=OA=OB=OD=1,D（1,0)∴[cos（α-β）-1]^2+[sin（α-β）]^2=(cosα-cosβ）^2+(sinα-sinβ）^2和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换（a+b)/2与（a-b)/2）单位圆定义单位圆六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。

单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。

但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在0 和π/2弧度之间的角。

它也提供了一个图象，把所有重要的三角函数都包含了。

根据勾股定理，单位圆的等式是：图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。

逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。

设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。

这个交点的x和y坐标分别等于cosθ和sinθ。

图象中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有sinθ=y/1 和cosθ=x/1。

解直角三角形口诀直角三角形是数学中常见的一种特殊三角形，它的特点是其中一个内角为90度。

在解直角三角形相关题目时，我们可以利用一些口诀来辅助记忆和计算。

本文将介绍一些常用的解直角三角形口诀，帮助你更好地理解和应用直角三角形的知识。

1. 度角口诀解直角三角形时，我们常常需要根据给定的角度和边长求解其他未知量。

下面是一种度角口诀，它可以帮助我们快速记忆和运用解直角三角形的相关公式。

(1) 正弦定理：sin A = 对边 / 斜边，sin B = 邻边 / 斜边，sin C = 对边 / 斜边。

(2) 余弦定理：cos A = 邻边 / 斜边，cos B = 对边 / 斜边，cos C = 对边 / 斜边。

(3) 正切定理：tan A = 对边 / 邻边，tan B = 邻边 / 对边，tan C = 对边 / 邻边。

(4) 锐角三角函数的关系：sin^2 A + cos^2 A = 1，tan A = sin A / cos A。

2. 辅助角口诀在解直角三角形时，我们经常需要利用辅助角来求解未知量。

辅助角是指与所求角度相互对应的补角、余角或同角。

下面是一种辅助角口诀，帮助我们快速确定辅助角，并运用相关的解题方法。

(1) 补角关系：两个角相加等于90度。

如果所求角度大于90度，可以用补角的概念求解。

(2) 余角关系：两个角相加等于180度。

如果所求角度大于180度，可以用余角的概念求解。

(3) 同角关系：两个角相等。

如果已知某个角度的三角函数值或长度关系，可以利用同角关系来求解。

3. 特殊直角三角形口诀在解直角三角形时，有一些常见的特殊直角三角形口诀可以帮助我们快速计算。

下面是几个常见的特殊直角三角形口诀。

(1) 30-60-90三角形：边长比例为1：√3：2。

通过这个比例关系，我们可以快速求解30度和60度的三角函数值以及边长比例。

(2) 45-45-90三角形：边长比例为1：1：√2。

通过这个比例关系，我们可以快速求解45度的三角函数值以及边长比例。

解直角三角形直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度（直角）。

解直角三角形是指根据三角形已知的某些条件，推导出其他未知的角度或边长。

在解直角三角形时，常用到三角比例、勾股定理等概念和公式。

下面将详细介绍解直角三角形的方法和步骤。

一、已知两边长度求角度当已知一个直角三角形的两条直角边的长度时，可以通过求解正弦、余弦、正切等三角比例来确定其他两个角度的大小。

假设已知直角三角形的两条直角边长度分别为a和b。

1. 解正弦比例根据正弦定理，sinA=a/c，sinB=b/c，其中c为斜边的长度。

可根据已知的a和b，解出c，然后利用反正弦函数求解出A和B的大小。

2. 解余弦比例根据余弦定理，cosA=a/c，cosB=b/c，同样可以根据已知的a和b解出c，然后求解出A和B的大小。

3. 解正切比例根据正切定理，tanA=a/b，tanB=b/a，可以通过已知的a和b求解出A和B的大小。

二、已知一边长度求其他边长和角度当已知一个直角三角形的一个直角边和一个锐角边的长度时，可以通过勾股定理求解出另一个直角边的长度，并进一步求解出其他角度和边长。

假设已知直角三角形的一个直角边长度为a，一个锐角边长度为b。

1. 求解斜边的长度根据勾股定理，a²+b²=c²，可以解出斜边c的长度。

2. 求解未知角的大小根据已知的三边长度，利用正弦、余弦、正切等三角函数，可以求解出其他两个角的大小。

3. 求解另一个直角边的长度根据已知的斜边长度和一个直角角度，可以利用正弦、余弦等三角函数，求解出另一个直角边的长度。

三、应用解直角三角形的例子解直角三角形的方法在实际生活中有广泛的应用。

比如在测量、建筑、地理等领域都需要用到解直角三角形的知识。

1. 测量在测量中，我们常常需要通过已知的边长测量出其他未知的边长或角度。

例如在测量高楼建筑的高度时，可以利用解直角三角形的方法。

通过观察建筑物的倾斜角度，可以利用三角函数求解出建筑物的高度。

解直角三角形的方法和技巧直角三角形是三角形中最为基础和重要的一类三角形，因为它具有很多特殊的性质和应用。

解直角三角形的方法和技巧在数学的学习过程中非常重要，本文将为大家介绍10条关于解直角三角形的方法和技巧，并展开详细描述。

一、勾股定理勾股定理是解直角三角形最基本的定理，也是解直角三角形的最快捷的方法。

勾股定理的公式为：a² + b² = c²。

a和b表示直角边，c表示斜边。

当已知a和b的长度时，可以通过计算c的长度来确定直角三角形的大小和形状。

勾股定理非常广泛地应用于工程、科学和数学等领域，可以帮助我们计算物体的大小、距离和位置等。

二、正弦定理正弦定理也是解直角三角形的一种基本方法，它是一个三角形中的三角函数，公式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC。

a、b、c分别表示三角形任意两边和斜边，A、B、C表示这些边对应的角度。

如果已知了两个长度和一个角度，则可以通过正弦定理计算第三个长度。

正弦定理的应用十分广泛，可以帮助我们计算三角形的任意边的长度。

三、余弦定理余弦定理也是解直角三角形的一种基本方法，它也是一个三角形中的三角函数，公式为：c² = a² + b² - 2abcosC。

a、b表示三角形中两个边的长度，c表示斜边的长度，C表示斜边对应的角度。

如果已知了两个长度和一个角度，则可以通过余弦定理计算第三个长度。

余弦定理也是应用广泛的一个数学公式，可以帮助我们计算三角形的任意边的长度。

四、正切定理正切定理也是解直角三角形的一种基本方法，它是一个三角形中的三角函数，公式为：tanA = a/b或tanB = b/a。

a、b分别表示三角形中的两个直角边，A、B是它们对应的角度。

通过正切定理可以求得角度的大小或两直角边的比例。

五、特殊直角三角形的知识特殊直角三角形是指那些具有特殊边长和角度的直角三角形。

其中最为常见的是边长为3、4、5的特殊直角三角形。

初中直角三角函数公式
直角三角函数是初中数学学习中的一个重要知识点，下面整理了直角三角函数公式，供大家学习参考。

直角三角函数公式
正弦：sinA=a/c (即角A的对边比斜边)
余弦：cosA=b/c (即角A的邻边比斜边)
正切：tanA=a/b (即角A的对边比邻边)
余切：cotA=b/a (即角A的邻边比对边)
正割：secA=c/b (即角A的斜边比邻边)
余割：cscA=c/a (即角A的斜边比对边)
直角三角形的判定方法
判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。

判定2：若a^2+b^2=c^2，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。

判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。

判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。

判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。

那么这个三角形为直角三角形。

1.3 解直角三角形(1)一、教学内容解析：本节是在学习锐角三角函数之后，结合已学过的勾股定理和三角形内角和定理，研究解直角三角形的问题.本课内容既能加深对锐角三角函数概念的理解，又为后续解决与其相关的实际问题打下基础，在本章起到承上启下作用.二、教学目标：1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．三、教学重难点重点：直角三角形的解法.难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用.四、教学手段与教学方法教学手段：多媒体教学.教学方法：启发式教学、小组合作学习.五、教学过程：（一）、设疑，激发兴趣1、组织教学，激情口号：我自信、我出色，我努力、我成功.2、情景导入：同学们，幻灯片上的这幅图片是意大利著名的比萨斜塔，它已经有800多年的历史了，在它落成的时候由于地基等问题就已经发生了倾斜，但是在1972年比萨地区发生地震，造成塔顶中心点偏离垂直中心线达到了5.2米.比萨斜塔的高为54.5米，根据以上信息，我们可以把这道实际问题抽象成什么样的几何图形呢？在这个直角三角形中，AB代表比萨斜塔的高54.5米.BC代表塔顶到垂直中心线的距离5.2米，我们能否根据已知条件求出比萨斜塔的倾斜角∠A，或者∠B以及AB的长呢？你们有多少种求法？这就是本节课我们要学习的内容，解直角三角形.3、板书课题：1.3解直角三角形（1）4、请同学们齐读本节课的学习目标.（二）、活动一：自学初探各组组长检查各小组导学案第二部分主“动”展示完成情况.由各小组举牌主动展示以下三个问题.1、什么叫做解直角三角形？2、在一个直角三角形中，一共有几个元素，这五个元素分别是什么？那这五个元素之间有没有什么关系呢？哪组同学愿意主动展示一下第2道题？(1)三边之间关系：(2)两锐角之间关系：(3)边角之间关系：以上三点就是解直角三角形的依据，我们熟知后就可以拿来运用了.3、在直角三角形中，知道几个已知元素就可以求其余未知元素？（三）、活动二：合作再探现在我们回到比萨斜塔这道题，哪名同学愿意上黑板上写出已知元素和要求的未知元素，把它变成解直角三角形的问题.（教师通过这个过程可以观察到学生是否真的理解了什么叫做解直角三角形。

课题：2 5.3 解直角三角形（1 ）累计课时（6 ）授课班级_______ 授课时间_______ 授课教师_______ 审核人_______【学习目标】1.通过具体的一些实例，能将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系。

2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．渗透数形结合的数学思想3.培养学生良好的学习，思维习惯．培养学生用数学的意识；【学习重难点】【学习过程】一、 自主学习1、直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)三边之间关系： (勾股定理) (2)锐角之间关系： ．(3)边角之间关系：_______________________________________________________________________________2、△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AC=3，BC=6，求：sin ∠BCD 、cos ∠BCD 和tan ∠BCD 的值。

CB A D 二、 合作探究1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由下列条件解直角三角形：（1）已知∠A=30°，BC=8cm ，则 AB= ， AC= ；（2）已知a ＝156， b ＝56，求c= ;（3）已知c ＝30， ∠A ＝60°，求a = ；像这样，在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做 .2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由下列条件解直角三角形：（1）已知a ＝20，c ＝220，求∠B= ；（2）已知b ＝15，∠A ＝30°，求a= ．（3）已知∠A=60°，AC=3cm ，求AB= ，BC= 。

3、如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，2=AC ，6=BC ，解这个直角三角形三、 教师精点1、如图6-27，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，求拉线AC 的长以及拉线下端点A 与杆底D 的距离AD = (精确到0.01米)．2、归纳：a:“解直角三角形”是由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程。

初三数学：《解直角三角形》知识点总结知识点在不断更新的同时也需要及时的归纳总结，才能更好的掌握，接下来精品学习网初中频道给大家整理解直角三角形知识点整理，供大家参考阅读。

1解直角三角形一、锐角三角函数(一)、锐角三角函数定义在直角三角形ABC中，C=900，设BC=a，CA=b，AB=c，锐角A的四个三角函数是：(1)正弦定义：在直角三角形中ABC，锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA，即sin A=ca,(2)余弦的定义：在直角三角行ABC，锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦，记作cosA，即cos A=cb,(3)正切的定义：在直角三角形ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切，记作tanA，即tan A=ba，(4)锐角A的邻边与对边的比叫做A的余切,记作cotA即aAAAb的对边的邻边cot锐角A的正弦、余弦，正切、余切都叫做角A的锐角三角函数。

这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件：(1)锐角A必须在直角三角形中，且(2)在直角三角形ABC中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。

否则，不存在上述关系2注意:锐角三角函数的定义应明确(1)ca，cb，ba，ab四个比值的大小同△ABC的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，即当锐角A取固定值时，它的四个三角函数也是固定的;(2)sinA不是sinA的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是一个整体，其他三个三角函数记号也是一样;(3)利用三角函数定义可推导出三角函数的性质，如同角三角函数关系，互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等;(二)、同角三角函数的关系(1)平方关系：122sinCOS(2)倒数关系：tana cota=1(3)商数关系：sincoscot,cossintan注意：(1)这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同事还要注意它们的变形公式。

(2)sinsin22是的简写，读作“sin的平方”，不能将22sin 写成sin前者是a的正弦值的平方，后者无意义;(3)这里应充分理解“同角”二字，上述关系式成立的前提是所涉及的角必须相同，如1cottan,1223030cossin22，而1cossin22就不一定成立。

解直角三角形 一教学目标1.掌握锐角三角函数的有关性质；2.掌握特殊角的三角函数值，并会利用进行简单的计算；3.会解直角三角形.教学过程师：（画出图形）图中有几个直角三角形？（生答）AC BC 与AEDE的值有何关系？为什么？（一生答）师：由此可见，在直角三角形中，当某个锐角的度数相等时，它的对边与相邻直角边的比值是一个定值，我们把这个定值叫做这个角的正切值.由上图你还发现了什么？（学生说出正弦、余弦的概念）（注意说明：三角函数值只与角的度数有关，与所在的三角形无关）考点一、锐角三角函数【处理办法】1.由图让学生分别表示出A ∠、B ∠的三个三角函数值； 2.得出锐角三角函数的有关性质.【教师说明】1.如何记住三角函数的概念？（正弦值是正对的边与弦的比值，余弦值是余下的直角边与弦的比值，正切值是正对的直角边与相邻直角边的比值）2.三角函数的增减性.如：sinA=ca，当a 不变时，随着点A 向点C 逐渐靠近，A ∠逐渐变大，斜边逐渐变短（让学生从图中直接观察发现），在0°----90°之间，正弦值随着角度的增大而增大；由于a<c, 故 sinA<1.其它类似得出.为便于学生记忆可告知：正弦、正切中有“正”，故成正比，即正弦、正切值随着角度的增大而增大.3.互为余角的三角函数关系：sinA=cosB ，cosA=sinB ；同角的三角函数关系：平方关系sin 2A+cos 2A=1,商数关系：tanA=AAcos sin .(可由直角三角形图形去记） 例（2015•淄博）若锐角α满足cosα＜22且tanα＜3，则α的范围是（ ） A ．30°＜α＜45° B ．45°＜α＜60° C ．60°＜α＜90° D ．30°＜α＜60° 【说明】教师说明思路即可.答案：B.考点二、特殊角的三角函数值【教师说明】可采用两种方法记住：（1）直观法，由左图及三角函数概念记住.(2)规律法，由右图表格中规律记住.（记30°、60°角正切值时，由增减性知角度大时为3）训练：（展示）1.（2013孝感）式子2)60tan 1(45tan 30cos 2︒--︒-︒的值是（ ） A. 23 －2 B. 0 C. 23 D.22.（2014四川凉山）在△ABC 中，若0)tan 1(21cos 2=-+-B A ，则∠C 的度数是（ ） A. 45° B. 60° C. 75° D. 105° 3.（2015•甘肃武威）已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣|+ =0，则α+β= ．4.（2011兰州）已知α是锐角，且sin(α+15°)=3计算1184cos ( 3.14)tan 3απα-⎛⎫---++ ⎪⎝⎭的值.【处理办法】前三道题一生回答并说明理由即可，第4题找两生黑板上做，其他学生在练习本上给出解题过程.【参考答案】1.B 2.C 3.75° 4.由sin(α+15°)=32得α=45°后代入求出原式=3. 考点三、解直角三角形【教师说明】解直角三角形就是根据已知条件（除直角外另两个条件其中至少有一个是边）利用锐角三角函数的概念、锐角三角函数间的关系、直角三角形中的边角关系求出未知边、角的过程.若图形中没有直角三角形，可通过作垂线构造出直角三角形.（一）直接求例（2011宜昌）如图是教学用直角三角板，边AC=30cm ，∠C=90°，tan ∠BAC=33,则边BC 的长为( )α 30°45°60°sin α 2122 23cos α 23 2221 tan α33 13A. 303cmB. 203cmC.103cmD. 53cm 【答案】C.（二）构造直角三角形例1（2015•山东日照）如图，在直角△BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使DC=BD ，连接AC ，若tanB=，则tan ∠CAD 的值（ ）A ．B ．C ．D ．【说明】引导学生思考∠CAD 在直角三角形中吗？要构造出直角三角形有哪些方法？哪种方法能与已知条件联系起来？【答案】过点C 作AD 的垂线求出.选D.另：本题也可采用度量估算的方法.例2(展示）（2010咸宁市）如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离 都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= ．【处理办法】学生思考、讨论、回答. 必要时教师引导.（引导语：1.要求sin α=?,必须放到直角三角形中，如何构造直角三角形？2.题中有“距离”如何应用上距离是1？）【提示】教师讲解时可与基本图形联系起来. 【参考答案】（1）过点D 作平行线的垂线，利用三角形全等、勾股定理求出.（2）利用平行线分线段成比例定理知AB 被平分，在小直角三角形中直接求出.答案：5训练：（展示）1.在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，则B sin 的值是( ) A ．1475 B ．53 C ．721 D ．14212.（2014山东威海）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A 、B 、O 都在格点上，则∠AOB 的正弦值是（ ）A ．10103 B ．21C ．31D ．10103.（2015•浙江湖州）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2， tan∠OAB=21，则AB的长是( )A. 4B. 23C. 8D. 43【处理办法】学生充分思考、交流后，教师再给以强调说明.【参考答案】1. D（说明：出现120°角时想到60°角，要求Bsin的值必须出现直角三角形）2.D(提示：过点B作AO的垂线，求出垂线段的长即可，注意垂线段的长用面积来求简单.也可延长OB交到第一个格点，连接点A和这个格点，得到直角三角形）（三）等角的转移例（2015•山东聊城改）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BC垂直于PD，交PD的延长线于点C，若PA=2，cosB=53，求⊙O半径的长．【说明】连接OD，把∠B转到∠POD后求出.【答案】3.训练：1.（2011兰州）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC＇B＇，则tanB＇的值为 ( )A．12B．13C．14D．24第1题图第2题图2.（2011芜湖）如图，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O (0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为( ).A．12B．34C．32D．453.（2014苏州）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8.若∠BPC=21∠BAC，则tan∠BPC= . 【答案】1.B 2.C(提示：把B∠转化到直角三角形中） 3.34（提示：①以点A为圆心，AB为半径作圆，然后把∠BPC转移到直角三角形中；②过点A作BC的垂线AD，求∠CAD的正切值即可.）回顾本节内容（学生回顾后教师展示）⎪⎩⎪⎨⎧解简单的直角三角形特殊角的三角函数值性质锐角三角函数的概念与解直角三角形。

解直角三角形直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为直角（即90度）。

在解直角三角形时，我们可以使用三角函数（正弦、余弦、正切）和勾股定理来求解未知的角度和边长。

本文将依次介绍解直角三角形的步骤以及相关公式和实例。

一、已知两边求第三边在解直角三角形中，如果已知两条边的长度，我们可以利用勾股定理求解第三边长。

勾股定理的表达式为：c² = a² + b²，其中c为斜边的长度，a和b分别为直角边的长度。

例题1：已知直角三角形的直角边a=3，直角边b=4，求斜边c的长度。

解答：根据勾股定理，可以得到c² = 3² + 4²计算得c² = 9 + 16 = 25取平方根得 c = 5所以斜边c的长度为5。

二、已知一边和一个角求其他边和角当已知一边和一个角时，我们可以利用三角函数来求解另一边和其他角度。

1. 已知斜边和一个锐角求直角边我们可以使用正弦函数、余弦函数和正切函数来解决这类问题。

例题2：已知直角三角形的斜边c=5，锐角A=30度，求直角边a和直角边b 的长度。

解答：(1) 求直角边a的长度：由正弦函数可得 sin(A) = a / c代入已知数据可得 sin(30°) = a / 5解方程得 a = 5 * sin(30°) = 5 * 0.5 = 2.5(2) 求直角边b的长度：由余弦函数可得 cos(A) = b / c代入已知数据可得 cos(30°) = b / 5解方程得 b = 5 * cos(30°) = 5 * 0.866 = 4.33（保留两位小数）所以直角边a的长度为2.5，直角边b的长度为4.33。

2. 已知直角边和一个锐角求斜边和其他角度同样，我们可以利用正弦函数、余弦函数和正切函数来解决这类问题。

例题3：已知直角三角形的直角边a=3，锐角B=60度，求斜边c和直角边b 的长度。

数学教学设计7.5 解直角三角形（1）教学目标1．使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角、边与边、边与角关系解直角三角形；2．通过学生的探索讨论发现解直角三角形所需的条件，使学生了解体会用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决；3．通过问题情境，以及对解直角三角形所需的条件的探究，运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想．教学重点直角三角形的解法．教学难点三角函数在解直角三角形中的灵活运用．教学过程（教师）学生活动设计思路新课引入——情景导入五星红旗你是我的骄傲，五星红旗我为你自豪……如何测量旗杆的高度？请同学们说说你的想法．积极思考，回答问题——大多数学生会凭直觉发表自己的观点，有的用尺子度量，有的说我们可以构建直角三角形解决．通过身边的情境让学生思考、交流、发言，调动学生的课堂参与的积极性，激发了他们研究的兴趣和探究的激情．实践探索活动一：（课件展示1）如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞多远？观察、思考、感悟．上面的例子是给了两条边．那么，如果给出一个角和一条边，能不能求出其他元素呢？请看下面的活动．活动二：（课件展示2）如图，为测量旗杆的高度，在C点测得A点的仰角为30°，点C到点B的距离56.3，求旗杆的高度（精确到0.1m）．解：略．观察、思考，并归纳、小结得出“在直角三角形中，除直角外，只要知道其中2个元素（至少有一个是边）”．（1）转化的数学思想方法的应用，把实际问题转化为数学模型解决；（2）巩固解直角三角形的定义和目标，初步体会解直角三角形的方法——直角三角形的边角关系（勾股定理、两锐角互余、锐角三角函数）使学生体会到“在直角三角形中，除直角外，只要知道其中2个元素（至少AB C有一个是边）就可以求出其余的3个元素” 交流讨论；归纳总结 ．归纳总结同学们回答的非常好，通过上面的两个活动，若要完整解该直角三角形，还需求出哪些元素？如图，在Rt △ABC 中， ∠C 为直角，其余5个元素之间有以下关系：（1）三边之间关系：a 2＋b 2＝c 2（勾股定理）．（2）锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°（直角三角形的两个锐角互余）．（3）边角之间的关系：学生交流讨论归纳（课件展示讨论的条件）师总结：解直角三角形，有下面两种情况（其中至少有一边） ：（1） 已知两条边（一直角边一斜边；两直角边） ；（2） 已知一条边和一个锐角（一直角边一锐角；一斜边一锐角）．自然就可以得出“定义” ．这是这节课的重点，让学生归纳和讨论，能让他们深刻理解解直角三角形有几种情况，必须满足什么条件能解出直角三角形 ，给学生展示的平台，增强学生的兴趣及自信心．例题讲解例1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，a ＝5．解这个直角三角形．例2 已知：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝104，b ＝ 20.49．（1）求c 的值（精确到0.01）；（2）求∠A 、∠B 的大小（精确到0.01°）．1．根据解直角三角形定义和方法进行分析．2．思考多种方法，选择最简便的方法．例2由学生独立分析，板练完成，并作自我评价，以掌握方法．通过例题学会灵活运用直角三角形有关知识解直角三角形，并能熟练分析问题，掌握所学基础知识及基本方法，并进一步提高学生“执果索因”的能力． sin cos tan a b a A A A c c b===，，．知识巩固1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形（边长精确到0.1，角度精确到0.1°）：求：（1）a＝9 ，b＝6；（2）∠A＝18°，∠C＝13．2．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，求：B、C两地之间的距离．积极思考解决办法——运用本节课所学数学知识解决问题，关键要对知识灵活运用．使学生巩固利用直角三角形的有关知识解决实际问题，考察建立数学模型的能力，转化的数学思想在学习中的应用，提高学生分析问题、解决问题的能力，以及在学习中还存在哪些问题，及时反馈矫正．课堂小结通过今天的学习，你学会了什么？共同小结．通过反思、归纳，培养概括能力；帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平．布置作业1.必做题：习题7.5第1、2题；2.选做题：如图所示，施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB＝4米，斜面距离BC＝4.25米，斜坡总长DE＝85米．（1）求坡角∠D的度数（结果精确到1°）；（2）若这段斜坡用厚度为17cm的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶？（参考数据：cos20°≈0.94，sin20°≈0.34，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95）课后完成必做题，并根据自己的能力水平确定是否选做思考题．学生可根据自己的能力去自主选做．这样就能实现《课程标准》中所要求的“让不同层次的学生得到不同的发展”．解直角三角形的概念（勾股定理）三边之间关系两锐角之间关系边角之间关系（锐角三角函简单应用17cm A BCD E F。

三角函数及解直角三角形1、知识点梳理知识点一：锐角三角函数定义：在Rt△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为cosA= ∠A的正切：tanA= ，它们统称为∠A的锐角三角函数注意：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与有关，与直角三角形的无关2、取值范围<sinA< ，cosA< ，tanA>知识点二：特殊角的三角函数值：ΑSinαcosαtanα300450600注意：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的，要在理解的基础上结合表格进行记忆2、正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而知识点三：解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的个已知元素，求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形的依据：Rt∠ABC中，∠C=900 三边分别为a、b、c⑴三边关系：⑵两锐角关系⑶边角之间的关系：sinA cosA tanAsinB cosB tanB注意：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在图上标上仰角和俯角⑵坡度坡角：如图：斜坡AB的垂直度h和水平宽度l的比叫做坡度，用i表示，即i=坡面与水平面得夹角为用字母α表示，则i=tanα=hl。

⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角如图：OA表示OB表示OC表示OD表示（也可称东南方向）铅直水平线3、 利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：⑴把实际问题抓化为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）⑵根据条件特点，选取合适的锐角三角函数去解直角三角形⑶解出数学问题答案，从而得到实际问题的答案注意：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决2、近几年真题再现：1．（天津）tan60°的值等于（ ）A ．1BCD ．22．（温州）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA 的值是（ ）A ．3B ． 4C ．3D ． 4A ．B ．C ．D ．A ．B ．C ．D ．A ．12B ．C ．米D ．7 （潍坊）一渔船在海岛A 南偏东20°方向的B 处遇险，测得海岛A 与B 的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A 处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C 靠近，同时，从A 处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C 处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ）A ．/小B ．30海里/小时C ．/小时D ．/小时8（东营）某校研究性学习小组测量学校旗杆AB 的高度，如图在教学楼一楼C 处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D 处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB 的高度为 米．精确到0.1）11 （莱芜）如图，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，急需抢修，调度中心通知附近两个小岛A 、B 上的观测点进行观测，从A 岛测得渔船在南偏东37°方向C 处，B 岛在南偏东66°方向，从B 岛测得渔船在正西方向，已知两个小岛间的距离是72海里，A 岛上维修船的速度为每小时20海里，B 岛上维修船的速度为每小时28.8海里，为及时赶到维修，问调度中心应该派遣哪个岛上的维修船？（参考数据：cos37°≈0.8，sin37°≈0.6，sin66°≈0.9，cos66°≈0.4）3、考点训练考点一：锐角三角函数的概念例1 （贵阳）如图，P 是∠α的边OA 上一点，点P 的坐标为（12，5），则tan α等于（ ）A ． 513B ．1213C ．512D ．125对应训练1．如图，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则tan ∠AOB 的值是（ ）A ．23B ．32C ．13D ．13考点二：特殊角的三角函数值对应训练2．计算6tan45°-2cos60°的结果是（）A．B．4 C．D．5考点三：化斜三角形为直角三角形3．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且BD平分AC．若BD=8，AC=6，∠BOC=120°，则四边形ABCD的面积为．（结果保留根号）考点四：解直角三角形的应用例4 （2015•舟山）某学校的校门是伸缩门（如图1），伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°（如图2）；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°（如图3）．问：校门打开了多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin5°≈0.0872，cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736，cos10°≈0.9848）．思路分析：先求出校门关闭时，20个菱形的宽即大门的宽；再求出校门打开时，20个菱形的宽即伸缩门的宽；然后将它们相减即可．点评：本题考查了菱形的性质，解直角三角形的应用，难度适中．解题的关键是把实际问题转化为数学问题，只要把实际问题抽象到解直角三角形中，一切将迎刃而解．对应训练4．如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0米，∠PAB=38.5°，∠PBA=26.5．请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置．（以A，B为参照点，结果精确到0.1米）（参考数据：sin38.5°=0.62，cos38.5°=0.78，tan38.5°=0.80，sin26.5°=0.45，cos26.5°=0.89，tan26.5°=0.50）。

解直角三角函数的应用（一）教学目标：【知识与技能】1、会运用所学知识解直角三角形。

2、熟练掌握锐角三角函数关系，并能灵活解决数学问题。

【过程与方法】经历直角三角形边角关系的过程，并能把锐角三角函数关系式熟练地应用于解决数学问题中。

【情感、态度与价值观】通过学习形成数形结合的分析方法和应用意识，培养学生良好的思维习惯，将看似复杂的图形问题用简单的数学知识来解决，从而体现数学的简洁美。

教学重点、难点教学重点：掌握直角三角形边角之间的关系。

教学难点：如何应用直角三角形的边角关系及其变形来解决有关数学问题。

教法与学法导航【教学方法】讲练结合法、启发引导法。

【学法方法】自主学习、合作探究学习。

教学过程㈠回顾1、三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理）2、锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝0903、边角之间的关系（锐角三角函数）c a A =sin c b A =c o s b a A =t a n c bA =c o tAb4、特殊三角函数值5、单元知识网络直角三角形的边角关系解直角三角形已知一边一锐角解直角三角形已知两边解直角三角形非直角三角形:添设辅助线转为解直角三角形已知斜边一锐角解直角三角形已知一直角边一锐角解直角三角形已知两直角边解直角三角形已知一斜边一直角边解直角三角形解直角三角形实际应用直接抽象出直角三角形抽象出图形，再添设辅助线转化为直角三角形求解㈡抢答在△ABC 中，∠C= 90°已知∠B=45°，BC=2,则 AB=____ ， AC= __ ， ∠A=_________。

㈢练一练：1、在△ABC 中，BC=6，AC=36，∠A=030， 求AB 的长。

2、如图，在三角形ABC 中∠B= 30°， ∠ACB 的外角为60°，BC=100m ， 求点A 到BC 的距离.B如图，在△ABC 中，已知AC=6，∠C=75°，∠B=45°，求△ABC 的面积。

直角三角形的三角函数直角三角形是指一个角为90度的三角形。

在直角三角形中，三角函数起到了非常重要的作用。

本文将重点讨论直角三角形的三角函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数，并且会给出它们的定义、公式以及在解决实际问题中的应用。

一、正弦函数(sin)正弦函数是指一个角的正弦值与其对边长度之比。

在直角三角形中，正弦函数的定义如下：sin(A) = a / c其中，A表示角A的度数，a表示角A的对边长度，c表示斜边的长度。

二、余弦函数(cos)余弦函数是指一个角的余弦值与其邻边长度之比。

在直角三角形中，余弦函数的定义如下：cos(A) = b / c其中，A表示角A的度数，b表示角A的邻边长度，c表示斜边的长度。

三、正切函数(tan)正切函数是指一个角的正切值与其对边长度之比。

在直角三角形中，正切函数的定义如下：tan(A) = a / b其中，A表示角A的度数，a表示角A的对边长度，b表示角A的邻边长度。

直角三角形中三角函数的公式还可以通过勾股定理来进一步推导，根据勾股定理，我们有以下关系式：a^2 + b^2 = c^2其中，a、b、c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度。

利用这些定义和公式，我们可以在解决直角三角形相关的问题时运用三角函数。

实际应用中，直角三角形的三角函数经常用于测量和计算，尤其是当我们只知道一个角和一个边的长度时，可以根据三角函数的定义和公式求解其他未知量。

例如，当我们已知一个角的度数和一个边的长度时，可以通过正弦函数、余弦函数或正切函数来计算其他边的长度。

另外一个常见的应用是在解决角度及其相关问题时，可以通过三角函数来计算不同角度之间的关系，比如角的补角和余角等。

总结：直角三角形的三角函数在数学和物理等领域中具有广泛的应用。

正弦函数、余弦函数和正切函数是解决直角三角形相关问题的重要工具，通过这些函数的定义和公式，我们可以计算直角三角形各个边的关系，解决实际问题。

熟练掌握这些三角函数和相关知识，对于深入理解几何概念和解决实际问题具有重要意义。

三角函数解直角三角形
解直角三角形的三角函数主要有正弦函数、余弦函数和正切函数。

在一个直角三角形中，我们通常将直角所在的角定义为角A，以直角的斜边为对边，斜边与直角边的交点为顶点B，直角边上的另一点叫作顶点C。

根据三角形内角和为180度的性质，我们知道直角边与斜边之间的另一个角定义为角C。

由此，可以得出以下三角函数的定义：
1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，角A的正弦值定义为直角边
AC的长度与斜边AB的长度的比值，即sin(A) = AC / AB。

2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，角A的余弦值定义为直角边
BC的长度与斜边AB的长度的比值，即cos(A) = BC / AB。

3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，角A的正切值定义为直角边
AC的长度与直角边BC的长度的比值，即tan(A) = AC / BC。

这些三角函数在解直角三角形的过程中起到了重要的作用。

我们可以
通过已知两个角度和一个边长，或者已知一个角度和两个边长，利用
三角函数的关系式来求解直角三角形的其他未知边长或角度。

需要注意的是，三角函数的值都是有范围的，比如正弦函数和余弦函
数的值域在[-1, 1]之间，而正切函数的值域则是全体实数。

因此，在
解直角三角形的过程中，我们需要根据具体的问题来判断解的合理性，并进行适当的推理和计算。

总的来说，三角函数解直角三角形是一种重要的数学应用，可以帮助
我们理解和解决涉及直角三角形的各种实际问题。