习题课：电场力的性质
[学习目标] 1.会分析两等量同种电荷和两等量异种电荷的电场分布.2.会由粒子的运动轨迹分析带电粒子的受力方向和所在处的电场方向.3.会解答库仑力作用下带电体的平衡问题和加速问题.
一、电场力作用下的平衡
1.共点力的平衡条件：物体不受力或所受外力的合力为零.
2.处理平衡问题常用的数学知识和方法有直角三角形、相似三角形和正交分解法.
3.选取研究对象时，要注意整体法和隔离法的灵活运用.
例1 如图1所示，带电荷量分别为＋q 和＋4q 的两点电荷A 、B ，相距L ，问：
图1
(1)若A 、B 固定，在何处放置点电荷C ，才能使C 处于平衡状态？ (2)在(1)中的情形下，C 的电荷量和电性对C 的平衡有影响吗？
(3)若A 、B 不固定，在何处放一个什么性质的点电荷，才可以使三个点电荷都处于平衡状态？ 答案 见解析
解析 (1)由平衡条件，对C 进行受力分析，C 应在AB 的连线上且在A 、B 之间，设与A 相距
r ，则
k ·q ·q C r 2＝k ·4q ·q C L －r 2解得：r ＝L
3
(2)电荷量的大小和电性对平衡无影响，距离A 为L
3
处，A 、B 的合场强为0.
(3)若将C 放在A 、B 电荷两边，A 、B 对C 同为向右(或向左)的力，C 都不能平衡；若将C 放在A 、B 之间，C 为正电荷，则A 、B 都不能平衡，所以C 为负电荷.设放置的点电荷的电荷量为Q ，与A 相距r 1，分别对A 、B 受力分析，根据平衡条件对电荷A ：有k ·4q ·q L 2＝kQ ·q
r 21
对电荷B ：有
k ·4q ·q L 2
＝kQ ·4q
L －r 12
联立可得：r 1＝L 3，Q ＝4
9
q (负电荷)
即应在AB 连线上且在A 的右边，距A 点电荷L 3处放置一个电荷量为4
9
q 的负电荷.
1.同一直线上的三个自由点电荷都处于平衡状态时，每个电荷受到的合力均为零，根据平衡方程可得，电荷间的关系为：“两同夹异”、“两大夹小”、“近小远大”.
2对于三个自由电荷的平衡问题，只需对其中两个电荷列平衡方程，不必对第三个电荷列平衡方程.
例2 如图2所示，真空中两个相同的小球带有等量同种电荷，质量均为m ，分别用绝缘细线悬挂于绝缘天花板上同一点，平衡时，B 球偏离竖直方向θ角，A 球竖直且与墙壁接触，此时A 、B 两球位于同一高度且相距L .求：
图2
(1)每个小球带的电荷量q ； (2)B 球所受绳的拉力F T ； (3)墙壁对A 球的弹力F N . 答案 (1)L
mg tan θk (2)mg
cos θ
(3)mg tan θ 解析 (1)对B 球受力分析如图所示：B 球受三个力且处于平衡状态，其中重力与库仑力的合
力大小等于绳子拉力的大小，方向与绳子拉力方向相反，由图可知：F 库＝mg tan θ＝kq 2
L
2，
①
解得：q ＝L
mg tan θ
k
(2)由B 球的受力分析知，F T ＝mg
cos θ
.
② (3)分析A 球的受力情况知F N ＝F 库＝k q 2
L
2
③
结合①得F N ＝mg tan θ.
二、两等量点电荷周围的电场
1.等量同号点电荷的电场(电场线分布如图3)：
(1)两点电荷连线上，中点O处场强为零，向两侧场强逐渐增大.
(2)两点电荷连线中垂线上由中点O到无限远，场强先变大后变小.
2.等量异号点电荷的电场(电场线分布如图4)：
(1)两点电荷连线上，沿电场线方向场强先变小再变大，中点处场强最小.
(2)两点电荷连线的中垂线上电场强度方向都相同，总与中垂线垂直且指向负点电荷一侧.沿中垂线从中点到无限远处，场强一直减小，中点处场强最大.
图3 图4
例3两个带等量正电荷的点电荷，O点为两电荷连线的中点，a点在连线的中垂线上，若在a点由静止释放一个电子，如图5所示，关于电子的运动，下列说法正确的是( )
图5
A.电子在从a点向O点运动的过程中，加速度越来越大，速度越来越大
B.电子在从a点向O点运动的过程中，加速度越来越小，速度越来越大
C.电子运动到O点时，加速度为零，速度最大
D.电子通过O点后，速度越来越小，加速度越来越大，一直到速度为零
答案 C
解析带等量正电荷的两点电荷连线的中垂线上，中点O处的场强为零，向中垂线的两边先变大，达到一个最大值后，再逐渐减小到零.但a点与最大场强点的位置关系不能确定，当a 点在最大场强点的上方时，电子在从a点向O点运动的过程中，加速度先增大后减小；当a 点在最大场强点的下方时，电子的加速度则一直减小，故A、B错误；但不论a点的位置如何，电子在向O点运动的过程中，都在做加速运动，所以电子的速度一直增加，当达到O点时，加速度为零，速度达到最大值，C正确；通过O点后，电子的运动方向与场强的方向相同，与所受电场力方向相反，故电子做减速运动，由能量守恒定律得，当电子运动到a点关于O
点对称的b 点时，电子的速度为零.同样因b 点与最大场强的位置关系不能确定，故加速度大小的变化不能确定，D 错误.
针对训练 如图6所示为两个固定在同一水平面上的点电荷，距离为d ，电荷量分别为＋Q 和－Q .在它们的水平中垂线上固定一根长为L 、内壁光滑的绝缘细管，有一电荷量为＋q 的小球以初速度v 0从管口射入，则小球( )
图6
A.速度先增大后减小
B.受到的库仑力先做负功后做正功
C.受到的库仑力最大值为8kQq d
2
D.管壁对小球的弹力最大值为4kQq
d
2
答案 C
解析 由等量的异种电荷形成的电场特点，根据小球的受力情况可知在细管内运动时，合力为重力，小球速度一直增大，A 错误；库仑力水平向右，不做功，B 错误；在连线中点处库仑力最大，F ＝
kqQ ⎝ ⎛⎭
⎪⎫d 22＋kqQ ⎝ ⎛⎭
⎪⎫d 22＝8kqQ d
2，C 正确；管壁对小球的弹力与库仑力是平衡力，所以最大值为
8kqQ
d
2，D 错误.
三、电场线与带电粒子运动轨迹的综合分析
例4 如图7所示，实线为不知方向的三条电场线，从电场中M 点以相同速度垂直于电场线方向飞出a 、b 两个带电粒子，仅在电场力作用下的运动轨迹如图中虚线所示.则( )
图7
A.a 一定带正电，b 一定带负电
B.a 的速度将减小，b 的速度将增加
